1. No category

En este minicurso, analizaremos los puntos extremos para una función f en varias
variables lo cual es contexto local. Utilizaremos la herramienta de la matriz hessiana de
la función f en el punto crı́tico. Enunciaremos el Lema de Morse para obtener mayor
información sobre los puntos crı́ticos. Finalmente consideramos el caso de extremos
condicionados en varias variables, multiplicadores de Lagrange.
1. Antecedentes del álgebra lineal
Definición 1. Sea F un campo y V un espacio vectorial de dimensión finita. Se
dice que una forma bilineal B es una función B : V × V → F tal que satisface
• B(u1 + u2 , v) = B(u1 , v) + B(u2 , v)
• B(u, v1 + v2 ) = B(u, v1 ) + B(u, v2 )
• B(au, v) = B(u, av) = aB(u, v).
Se cumplen para cualquier u1 , u2 , v1 , v1 ∈ V y a ∈ F.
Definición 2. Sea B : V × V → F una forma bilineal entonces se dice simétrica
si B(u, v) = B(v, u). Para todo u, v ∈ V .
2. Matriz Asociada a una forma bilineal Sea {v1 , ..., vn } una base para el espacio
vectorial V de dimensión finita n entonces la forma bilineal B : V × V → F tiene
asociada la siguiente matriz



AB = 

B(v1 , v2 ) · · ·
B(v2 , v2 ) · · ·
..
.
···
B(vn , v1 ) B(vn , v2 ) · · ·
B(v1 , v1 )
B(v2 , v1 )
..
.
B(v1 , vn )
B(v2 , vn )
..
.



.

B(vn , vn )
Definición 3. Sea B : V × V → F una forma bilineal tal que dimV = n. Se
define el rango de la forma bilineal B (denotado por ρ) como el rango de la
matriz asociada AB en cualquier base.
Definición 4. Una forma bilineal B : V × V → F tal que dimV = n, se dice
degenerada si su rango es ρ ≤ n. Y no degenerada si el rango ρ = n.
Observemos que si B : V × V → F es una forma bilineal no degenerada para todo
x, y ∈ V − {0} entonces B(x, y) 6= 0. Ahora nos enfocaremos a la conexión natural
que existe con el análisis.
Definición 5. Sea f : A ⊂ Rn → R, con A un conjunto abierto. Si Ux0 es una
vecindad de x0 , con x0 ∈ A tal que f (x0 ) ≥ f (x) para todo x ∈ Ux0 . Entonces
x0 es un máximo local de f . Similarmente si f (x0 ) ≤ f (x) para todo x ∈ Ux0 .
Entonces x0 es un mı́nimo local de f .
1
Definición 6. Un punto x0 es un punto extremo si es un máximo o un mı́nimo.
Además un punto x0 es un punto crı́tico si f es una función diferenciable y
Df (x0 ) = 0. Cuando un punto crı́tico que no es extremo se llama punto silla.
Recordemos que una función g es clase C2 , si la función g y las derivadas de orden
2 existen y son continuas. Supongamos ahora que tenemos una matriz de 2 × 2 y
que representa una forma bilineal simétrica. Es decir, si A es
A=
a b
b c
,
entonces A definida positiva si y solo si a > 0 y ac − b2 > 0. Una manera de
probar lo anterior es como sigue. Sea
a b
x
(x, y)
= ax2 + 2bxy + dy 2 > 0
b c
y
porque es definida positiva por hipótesis. Además ax2 + 2bxy + dy 2 = 0 si y solo si
x = y = 0. Entonces, si x = 1, y = 0 ax2 +2bxy +dy 2 = a si y solo si a > 0. Ahora,
si x es libre y y = 1 entonces ax2 + 2bx + d > 0, al derivar para obtener los puntos
−b 2
−b
crı́ticos son 2ax + 2b = 0 es decir en x = −b
a si y solo si a( a ) + 2b( a ) + d > 0
2
si y solo si ad − b > 0.
Lo anterior nos lleva a generalizar el criterio de la siguiente manera Si g : U ⊂
Rn → R una función de clase C2 la hessiana de g en x0 es una función bilineal
simétrica definida por
Hx0 (g) : Rn × Rn → R
tal que
Hx0 (g) := D2 g(x0 )(x, y).
La matriz hessiana Hx0 (g) en la base canónica es


2g
∂2g
· · · ∂x∂1 ∂x
∂x1 ∂x1
n
 .

..
 .

···
.
 .

∂2g
∂2g
·
·
·
∂x ∂x
∂x ∂x
n
Si


∆k = 

n
1
∂2g
∂x1 ∂x1
..
.
∂2g
∂xk ∂x1
···
···
···
n
∂2g
∂x1 ∂xk
..
.
∂2g
∂xk ∂xk
,
x0


,

con k = 1, 2, · · · n, es la submatriz que se obtiene de la matriz hessiana al eliminar
las n − k filas y columnas.
2
Lo anterior nos conduce al siguiente criterio:
• Hx0 (g) > 0 es definida positiva si y solo si ∆k > 0 para todo k = 1, 2, · · · n.
En este caso se dice g tiene un mı́nimo local en x0 .
• Hx0 (g) < 0 es definida negativa si y solo si ∆k < 0 para todo k − impar y
∆k > 0 para k − par . En este caso se dice g tiene un máximo local en x0 .
• En cualquier otro caso, se dice que x0 es un punto silla para g.
De lo anterior vemos que la Hessiana de una función g : Rn → R nos describe el
comportamiento local de la función g cerca del punto crı́tico. El lema de Morse
nos dice que el punto crı́tico bajo un cambio de coordenadas es efectivamente un
paraboloide por ejemplo.
Lema 0.0.1. de Morse
Sean A ⊂ Rn conjunto abierto y g : A → R función infinito diferenciable. Si
Dg(x0 ) = 0 y Hx0 (g) 6= 0. Entonces, existen vecindades Ux0 ⊂ Rn V0 ⊂ Rn y
una función f : V → U suave con inversa diferenciable tal que g ◦ f = h tal que
2
+ · · · + yn2 ] con k algún entero fijo entre
h(y) = g(x0 ) − [y12 + y22 + · · · + yk2 ] + [yk+1
0 y n.
Observación 1. Al número k se le llama el ı́ndice del punto crı́tico x0 .
En el caso x2 + y 2 tenemos un mı́nimo local y por el lema de Morse el indice es
cero. Ver la siguiente figura.
3
Para el caso de punto silla tenemos indice 1
Finalmente en el caso de un máximo el ı́ndice es 2
4
Ahora analizaremos los extremos pero cuando están restringidos a una hipersuperfice, digamos S. Para ello necesitamos el teorema de los multiplicadores de
Lagrange
Teorema 0.1. Sean f : U ⊂ Rn → Rn y g : U ⊂ Rn → Rn , funciones C 1 dadas.
Sean x0 ∈ U , g(x0 ) = c0 y S = g −1 (c0 ) el conjunto de nivel de g con valor en c0 .
Supóngamos que ∇g(x0 ) 6= 0. Si f |S , denota la restricción de f a S tiene un un
máximo o un mı́nimo en x0 , entonces exı́ste un número real λ tal que
∇f (x0 ) = λ∇g(x0 ).
∂g
Demostración.- Supongamos que ∂x
(x0 ) 6= 0. Entonces existe una función h
n
tal que g(x1 , ..., xn−1 , h(x1 , ..., xn−1 )) = 0 para todo (x1 , ..., xn−1 ) en un conjunto
abierto U ⊂ Rn−1 . Sea k(x1 , ..., xn−1 ) = f (x1 , .., xn−1 , h(x1 , ..., xn−1 )). Queremos
máximizar k. Si k tiene un máximo o un mı́nimo en un punto, entonces
∂k
∂f
∂f ∂h
=
+
.
∂xi
∂xi ∂xn ∂xi
Pero
∂g
∂g ∂h
+
= 0,
∂xi ∂xn ∂xi
de donde
∂f
=
∂xi
Si consideramos
λ=
∂f
∂xn
∂g
∂xn
∂g
∂xi
∂f
∂xn
∂g
∂xn
Ejemplo
Para maximizar V = xyz, sujeto a 2xy + 2xz + 2yz = 2a, vamos a considerar la
función auxiliar
F (x, y, z) = xyz + λ(xy + xz + yz − a).
Luego, derivando e igualando a cero para encontrar los puntos crı́ticos, llegamos
a:
∂F
= yz+λ(y+z) = 0
∂x
,
∂F
= xz+λ(x+z) = 0
∂y
5
,
∂F
= xy+λ(x+y) = 0.
∂z
Figura 1: El volumen máximo de la caja se logra teniendo la caja en forma de un cubo,
es decir un paralelepipedo de las mismas dimensiones en su alto largo y ancho.
Entonces vamos a poder resolver ası́: λ = − 3xyz
2a .
Ahora, substituyendo arriba obtenemos
3x
3y
yz 1 −
(y + z) = 0
,
xz 1 − (x + z) = 0
2a
2a
p
De donde x = y = z = a3 .
,
3z
xy 1 − (x + y) = 0
2a
Una interpretación de los datos iniciales representa encontrar el volumen máximo
V restringuidos a construir una caja de dimensiones x, y, z cuya área de las tapas
es fija, 2a.
Otro ejemplo
Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular con lados paralelos a los
ejes cartesianos, inscrita en el elipsoide dado por
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1.
a2
b
c
Para la solución consideramos la función auxiliar
2
x
y2 z2
F (x, y, z) = 8xyz + λ
+
+
a2
b2
c2
6
Ası́
∂F
2x
= 8yz+λ 2 = 0
∂x
a
∂F
2y
= 8xz+λ 2 = 0
∂y
b
,
,
∂F
2z
= 8xy+λ 2 = 0.
∂z
c
Figura 2: Análogos: inscribir un rectángulo en una elipse tratando de lograr el área
máxima e inscribir un paralelepipedo de volumen máximo.
De esta relación obtendremos
24xyz + 2λ
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2
a2
b
c
= 0,
pero usando la restricción simpiflicamos a 24xyz + 2λ = 0, es decir
λ = −12xyz.
Substitutendo esto en
∂F
∂x
encontramos
8yz − 12xyz
2x
= 0.
a2
Como buscamos soluciones con y, z 6= 0 entonces podemos dividir para obtener
x2 = 13 a2 , ed decir
1
x = √ a.
3
Y similarmente podemos tener y = √13 b tanto como z =
máximo es
8abc
8xyz = √ .
3 3
7
√1 c.
3
Luego el volumen
§ Problemas extra
(a) Encuentre de que tipo es el extremo de f (x, y) = x2 − y 2 estableciendo de
que tipo es la segunda derivada en el punto crı́tico.
(b) Determine de que tipo son los puntos crı́ticos de f (x, y) = x2 y 2 − x2 y −
3xy 2 + 3xy + 2y 2 − 2y utilizando el hessiano evaluando en las puntos crı́ticos.
(c) Encontrar la distancia mı́nima desde el origen hasta la intersección de xy = 6
con 7x + 24z = 0.
(d) Maximize el volumen de una lata cilı́ndrica con tapas suponiendo que se
tiene un material de un área dada fija.
(e) Halle los puntos extremos de f (x, y) = (x − y)3 sujetos a la restricción
x2 + y 2 = 1.
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