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15vo CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)
ARTÍCULO No. SIS03
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
Sincronización y Control de Sistemas Lineales y
no Lineales
J. Martinez Martinez, S.A. Rodríguez Paredes, J. de León Morales, J. G. Alonso Alfaro, A. Roldan
Caballero

I. INTRODUCCIÓN
Resumen— Este artículo presenta un análisis del problema de
Sincronización maestro- esclavo de Sistemas Lineales y Sistemas
no Lineales con características homogéneas. Se selecciona como
Sistema Lineal un sistema multicompuesto masa-resorte y como
Sistema no Lineal un sistema cooperativo de robots
manipuladores. A nivel simulación se prueban estrategias de
control para seguimiento de trayectoria y de sincronización que
permitan a un sistema esclavo sincronizarse con las trayectorias
de un sistema maestro. Para el problema de sincronización de
Sistemas Lineales se plantea una estrategia de control de
seguimiento de trayectoria por medio de retroalimentación
estática del vector de estados. Por otro lado para el caso de
Sistemas no Lineales la estrategia de control para seguimiento de
trayectoria es analizada con un enfoque energético
específicamente por el método de pasividad. En ambos casos se
realiza una estimación de estados por medio de observadores.
E
n muchos sistemas de la naturaleza y sistemas creados por
el hombre la sincronización es un fenómeno natural, un
ejemplo conocido es la sincronización observada entre la
rotación y el movimiento orbital de la luna, de tal manera que
siempre le da la misma cara a la tierra. El problema es que la
sincronización no siempre se da de esa manera natural en todos
los sistemas, de ahí que resulta de interés estudiar la posibilidad
de forzar a los sistemas a sincronizarse, acoplando otro sistema
o agregando las conexiones necesarias para lograr esta
sincronización. A este proceso de lograr una sincronización
forzada le llamaremos sincronización controlada [1].
La sincronización controlada se ha vuelto un tópico importante
en los últimos años debido a su aplicación en teleoperación,
procesos de manufactura, sistemas trabajando en esquemas
coordinados, tareas de ensamble, sistemas multi-robot, etc. El
comportamiento
colaborativo
ofrece
flexibilidad
y
maniobrabilidad que difícilmente puede obtenerse con un
sistema individual. Un campo importante dentro del tema de la
sincronización, es la sincronización de sistemas robóticos [1],
[2], [3], [4].
Existen otros trabajos realizados sobre sincronización de
sistemas dinámicos caóticos o complejos, por ejemplo los
abordados en [5], [6], [7], [8], donde se estudia la
sincronización de sistemas caóticos como sistemas de Lorenz,
Jerk y osciladores de Van der Pool.
En este trabajo se presenta un enfoque de sincronización
maestro- esclavo, para sistemas conformados por subsistemas
con características homogéneas en el cual se presentan
estrategias de control, probadas analíticamente y validadas a
nivel simulación para la sincronización de sistemas dinámicos
lineales y sistemas dinámicos no lineales. Algunos ejemplos de
sistemas lineales son sistemas masa-resorte. Por otro lado el
sistema dinámico no lineal abordado en este artículo está
conformado por 2 manipuladores robóticos de 2 grados de
libertad el cual uno funge como maestro y otro como esclavo.
Palabras Clave— Sincronización, Sistemas Lineales, Sistemas
no Lineales, pasividad, observadores.
Abstract—This paper presents an analysis of the problem of
master-slave synchronization of linear and nonlinear systems with
similar characteristics. A mass-spring multicomponent system is
selected as a Linear System and a cooperative system of robot
manipulators as a Nonlinear System. A level simulation tracking
control strategies and synchronization are tested to enable a slave
system synchronized with the trajectories of a master system. For
the problem of synchronization of linear systems a tracking
control strategy is implemented through static state vector
feedback. In addition to the case of nonlinear systems a tracking
control strategy is analyzing with an energy focus specifically by
the method of passivity. In both cases, state estimation is
performed by observers.
Keywords— Synchronization,
systems, passivity, observers.
linear
systems,
nonlinear
Jesús Martínez estudiante del Instituto Politécnico Nacional/SEPI ESIME,
Unidad Azcapotzalco, Distrito Federal, México. E-mail: [email protected]
Salvador A. Rodríguez adscrito al Instituto Politécnico Nacional/SEPI
ESIME, Unidad Azcapotzalco, Distrito Federal, México. E-mail:
[email protected]
Jesús de León Morales adscrito a la Universidad Autónoma de Nuevo
León/FIME, Ciudad Universitaria, San Nicolás de Los Garza, Nuevo León,
México. E-mail: [email protected]
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
Jorge Alonso estudiante del Instituto Politécnico Nacional/SEPI ESIME,
Unidad
Azcapotzalco,
Distrito
Federal,
México.
E-mail:
[email protected]
Alfredo Roldán estudiante del Instituto Politécnico Nacional/SEPI ESIME,
Unidad
Azcapotzalco,
Distrito
Federal,
México.
E-mail:
[email protected]
1
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ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)
ARTÍCULO No. SIS03
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
El problema de la sincronización parece ser una sencilla
extensión de los controladores de seguimiento clásicos, sin
embargo, implica retos que no se consideran en el diseño de
estos. En la sincronización de sistemas dinámicos existen varios
problemas fundamentales, no tener acceso al vector completo
de estados, la influencia de perturbaciones externas sobre los
sistemas, no contar con modelos exactos de los sistemas, tener
un gran número de sistemas a sincronizar, como están
conectados entre ellos, y encontrar la ley de control que se
encargue de llevar a todos estos sistemas a la sincronización [9],
[10], [11]. El problema de no tener acceso completo al vector
de estados se debe a que, en la actualidad los sistemas no
cuentan normalmente con sensores de velocidad o de
aceleración, ya que estos, por su alto costo aumentan de manera
considerable el costo de instrumentación de estos. Para hacer
frente a esta clase de problemas se ha propuesto utilizar una
herramienta virtual computacional que se encarga de estimar el
valor de la velocidad a partir de la medición de la posición la
cual normalmente se encuentra disponible [12], [13], [14], [15].
sincronización sólo se producirá en casos particulares. Una
interpretación es ver a (7), (8) como un observador de (5), (6)
𝑞𝑚
dada la señal de salida 𝑝𝑚 = (𝐼 ∅) (𝑞̇ ). Así que en aquellas
𝑚
aplicaciones donde (5), (6) es capaz de diseñar libremente a (7),
(8), se proporciona una posible solución para el problema de
sincronización. Sin embargo, los sistemas (5), (6) y (7), (8) son
sistemas que se dan de antemano, de modo que la
sincronización no ocurrirá en forma general. Por lo que, se
puede considerar una versión controlada del problema, en que
permitimos que la dinámica del esclavo depende de una
variable de control 𝑣.
El problema de sincronización controlada formulado
anteriormente se puede ver como un problema extendido de
seguimiento de trayectoria. La sincronización se da cuando (5),
(6) genera las señales que debe seguir (7), (8). Para esto se
necesita de un compensador tal que el error de sincronización
𝒆𝒔 (𝑡) ≔ 𝑞𝑒 − 𝑞𝑚 satisfaga
lim 𝒆𝒔 (𝑡) = 0 ;
(10)
𝑡→∞
A continuación se reescribe el sistema (5), (6) y (7), (8) en la
forma general de un Sistema Lineal propuesta en las ecuaciones
(3), (4), el maestro
𝒒̇ 𝑚 = 𝐴𝒒𝒎 + 𝐵𝑢;
(11)
𝑝𝑚 = 𝐶𝒒𝒎 ;
(12)
y el esclavo
𝒒̇ 𝑒 = 𝐴𝒒𝒆 + 𝐵𝑣;
(13)
𝑝𝑒 = 𝐶𝒒𝒆 ;
(14)
con 𝑞𝑚 , 𝑞𝑒 ∈ ℝ𝑛 y 𝑢, 𝑣 ∈ ℝ𝑚 . Bajo el supuesto de que (C, A)
es observable y (A, B) es controlable, el problema de
sincronización controlada tiene solución [18].
Puesto que (C, A) es observable, existe una matriz K de tal
manera que todos los valores propios de (A + KC) están en la
parte izquierda abierta del plano complejo. Además, el hecho
de que (A, B) es controlable implica que existe una matriz F de
tal manera que todos los valores propios de (A + BF) están en
el parte izquierda abierta del plano complejo. Con lo cual se
puede comprobar que por medio de retroalimentación estática
de se resuelve el problema de sincronización controlada.
Enseguida se analiza a detalle esta propuesta.
Considere el sistema maestro (11), (12) definido para todo 𝑥0 ∈
ℝ𝑛 , 𝑢 ∈ ℝ𝑚 y el controlador
̅̇𝒎 = 𝐴𝒒
̅𝒎 + 𝐵𝜙;
𝒒
(15)
̅𝒎 ;
𝑝̅𝑚 = 𝐶𝒒
(16)
Para garantizar la estabilidad, se reescriben los sistemas (11),
(12) y (15), (16) en el espacio del error
̅𝒎 ;
𝒆: = 𝒒𝒎 − 𝒒
(17)
entonces
̅𝒎 ) + 𝐵(𝑢 − 𝜙);
𝒆̇ = 𝐴(𝒒𝒎 − 𝒒
(18)
por lo tanto se selecciona el control
𝑢 = 𝐹𝒆 + 𝜙; 𝐹 ∈ ℝ𝑚×𝑛 ;
(19)
así el sistema (18) en lazo cerrado se escribe como
𝒆̇ = (𝐴 + 𝐵𝐹)𝒆;
(20)
el cual es estable si los valores propios de (A + BF) se
encuentran en la parte izquierda abierta del plano complejo para
toda F.
II. DESARROLLO Y/O CAMPO TEÓRICO
A. Sincronización de Sistemas Lineales.
En Teoría de Control [16], es posible ver a los sistemas
dinámicos como objetos descritos por sistemas de ecuaciones
de primer orden de la forma
𝐱̇ = 𝐟(x(t), u(t), t);
(1)
𝐲 = 𝐡(x(t), u(t), t);
(2)
En el caso general lineal [16], [17], si todas las matrices son
constantes, el sistema de ecuaciones puede ser escrito
𝐱̇ = 𝐀x(t) + 𝐁u(t);
(3)
𝐲 = 𝐂x(t) + 𝐃u(t);
(4)
y el modelo es llamado Lineal e Invariante en el tiempo (LTI).
Ahora se proponen los siguientes sistemas con características
homogéneas que conforman el sistema multicompuesto
maestro/esclavo
𝑞𝑚
∅
𝐼
∅
𝑞̇
( 𝑚) = (
) (𝑞̇ ) + (
) 𝑢;
(5)
𝐴2,1 𝐴2,2
𝐵2,1
𝑞̈ 𝑚
𝑚
𝑞𝑚
𝑝𝑚 = (𝐼 ∅) (𝑞̇ ) ;
(6)
𝑚
𝑞𝑒
𝐼
∅
)( ) + (
) 𝑣;
(7)
𝐴2,2 𝑞̇ 𝑒
𝐵2,1
𝑞𝑒
𝑝𝑒 = (𝐼 ∅) (𝑞̇ ) ;
(8)
𝑒
𝑛
donde 𝑞𝑚 , 𝑞̇ 𝑚 , 𝑞𝑒 , 𝑞̇ 𝑒 están en ℝ . Se asume que el origen es
uno de los puntos de equilibrio del sistema conformado por las
ecuaciones (5) y (6). El sistema (5), (6) es el maestro, y el
sistema (7), (8) es el esclavo. La sincronización entre el maestro
y el esclavo se produce no importando cómo se inicializan, se
tiene que asintóticamente sus estados coincidirán, i.e.
𝑞𝑒
𝑞𝑚
0
lim ‖(𝑞̇ ) − (𝑞̇ )‖ = ( ) ;
(9)
𝑡→∞
0
𝑒
𝑚
Normalmente, el sistema esclavo (7), (8) depende de (5), (6) a
𝑞𝑚
través de la señal de accionamiento 𝑝𝑚 = (𝐼 ∅) (𝑞̇ ), lo que
𝑚
explica la terminología maestro-esclavo. Es claro que la
∅
𝑞̇
( 𝑒) = (
𝐴
𝑞̈ 𝑒
2,1
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En forma semejante, se presenta un observador [19], asociado
a (11), (12) i.e.
̂̇𝑚 = 𝐴𝒒
̂𝒎 + 𝐵𝑢 + 𝐾(𝑝̂𝑚 − 𝑝𝑚 );
𝒒
(21)
̂𝒎 + 𝐷𝑢;
𝑝̂𝑚 = 𝐶𝒒
(22)
enseguida se reescriben los sistemas (11), (12) y (21), (22) en
el espacio del error
̂𝒎 − 𝒒𝒎 ;
𝝃=𝒒
(23)
así el sistema retroalimentado es
𝝃̇ = (𝐴 + 𝐾𝐶)𝝃;
(24)
Representando el sistema maestro con su controlador y
observador en el dominio del error se tiene
̇
𝐴 + 𝐾𝐶
∅
𝝃
( 𝝃) = (
)( )
(25)
⏟ 𝐵𝐹
𝐴 + 𝐵𝐹 𝒆
𝒆̇
provean del máximo de beneficios y que resuelvan
inconvenientes experimentados por otros esquemas de control.
Figura 2.- Robots coordinados por medio de sincronización maestro-esclavo.
Λ
el sistema es estable si se verifica que los valores propios de Λ
se encuentran en la parte izquierda abierta del plano complejo.
̂𝒎 del sistema
De interés es inducir las trayectorias estimadas 𝒒
maestro al sistema esclavo (13), (14) de tal manera que se
cumpla la ecuación (10). Por lo cual se propone la siguiente ley
de control de sincronización
̂̇𝑚 = 𝐴𝒒
̂𝒎 + 𝐵Φ𝑠 ;
𝒒
(26)
̂𝒎 ;
𝑝̂𝑚 = 𝐶𝒒
(27)
reescribiendo los sistemas (13), (14) y (26), (27) en el espacio
del error se tiene
̂𝒎 ;
𝒆𝒔 : = 𝒒𝒆 − 𝒒
(28)
por lo tanto el controlador propuesto para el sistema esclavo
(13), (14) es
𝑣 = 𝐺𝒆𝒔 + Φ𝑠 ; 𝐺 ∈ ℝ𝑚×𝑛 ;
(29)
Así en lazo cerrado la sincronización maestro-esclavo de un
Sistema Dinámico Lineal se reescribe como
𝒆̇ 𝑠 = (𝐴 + 𝐵𝐺)𝒆𝒔 ;
(30)
el cual es estable si los valores propios de (A + BG) se
encuentran en la parte izquierda abierta del plano complejo para
toda 𝐺 ∈ ℝ𝑚×𝑛 .
Una representación gráfica de este tipo de sincronización se
encuentra en el diagrama de bloques de la Figura 1.
Un Sistema Dinámico no Lineal conformado por
manipuladores robóticos con características homogéneas en
sincronización maestro-esclavo, como el que se encuentra en la
Figura 2, es analizado enseguida desde un enfoque energético.
Definición del Sistema Lagrangiano Multi-robot.
En [20], [21], se plantea la utilización de la formulación de
Lagrange por su simplicidad en el tratamiento de sistemas
complejos involucrados en dinámicas múltiples. Las
ecuaciones de movimiento para un robot con múltiples
articulaciones (𝐪𝑖 ∈ ℝ𝑛 ) se pueden derivar por medio de las
ecuaciones de Euler-Lagrange
1
𝑑 𝜕𝐿𝑖 (𝐪𝑖 ,𝐪̇ 𝑖 )
𝜕𝐿 (𝐪 ,𝐪̇ )
𝐿𝑖 = 𝐪̇ 𝑖 𝑇 𝐌𝒊 (𝐪𝑖 )𝐪̇ 𝑖 − 𝑉𝑖 ;
[
] − 𝑖 𝑖 𝑖 = 𝛕𝑖 ; (31)
2
𝜕𝐪̇ 𝑖
𝜕𝐪𝑖
𝝏𝐪̇ 𝑖
𝛕𝑖 son las fuerzas generalizadas o torques actuando en el
i−ésimo robot (para este caso particular, i = m,e) y
𝐂𝒊 (𝐪𝑖 , 𝐪̇ 𝑖 )𝐪̇ 𝑖 ∈ ℝ𝑛 representan las fuerzas de Coriolis y
centrifugas.
Para este caso definamos al sistema maestro como
𝐌𝒎 (𝐪𝑚 )𝐪̈ 𝑚 + 𝐂𝒎 (𝐪𝑚 , 𝐪̇ 𝑚 )𝐪̇ 𝑚 + 𝐠 𝑚 (𝐪𝑚 ) = 𝛕𝑚 ; (33)
y el esclavo
𝐌𝒆 (𝐪𝑒 )𝐪̈ 𝑒 + 𝐂𝒆 (𝐪𝑒 , 𝐪̇ 𝑒 )𝐪̇ 𝑒 + 𝐠 𝑒 (𝐪𝑒 ) = 𝛕𝑒 ;
(34)
En Sincronización de Sistemas Robóticos existen dos tareas
importantes de control. La primera es plantear una estrategia de
control que permita que el sistema Maestro pueda seguir una
trayectoria deseada. Y la segunda plantear una estrategia de
control de sincronización maestro-esclavo.
De acuerdo con la propuesta de [22], se propone el siguiente
controlador PD+ para seguimiento de trayectoria,
𝛕𝑚 = 𝐌𝒎 (𝐪𝑚 )𝐪̈ 𝑑 + 𝐂𝒎 (𝐪𝑚 , 𝐪̇ 𝑚 )𝐪̇ 𝑑 + 𝐠 𝑚 (𝐪𝑚 ) − 𝑲𝑝 𝐞𝒅 −
𝑲𝑣 𝐞̇ 𝒅 ; 𝑲𝑝 = 𝑲𝑝 𝑇 > 0; 𝑲𝑣 = 𝑲𝑣 𝑇 > 0;
(35)
El control PD+, es un algoritmo de control que incluye control
proporcional del error de posición, control proporcional del
error de velocidad más la dinámica completa de robot. En la
Figura 1.- Diagrama de bloques en Matlab-Simulink de un Sistema Lineal en
sincronización maestro-esclavo.
B. Sincronización de Sistemas Dinámicos Lineales.
En la conformación de sistemas cooperativos de robots
manipuladores, la investigación ha dado como resultado la
síntesis de múltiples leyes de control. Sin embargo, al hablar de
aplicaciones reales, surgen diferentes problemas relacionados
con restricciones físicas o bien de costo. Por lo tanto, resulta de
gran importancia el análisis de técnicas de sincronización que
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𝑑𝑡
donde (1 ≤ i ≤ p) denota el índice del robot o sistema dinámico
que comprenden una red, y p es el número total de los elementos
individuales. Para este caso particular la ecuación (31) puede
ser representada como
𝐌𝒊 (𝐪𝑖 )𝐪̈ 𝑖 + 𝐂𝒊 (𝐪𝑖 , 𝐪̇ 𝑖 )𝐪̇ 𝑖 + 𝐠 𝑖 (𝐪𝑖 ) = 𝛕𝑖 ;
(32)
𝝏𝑉𝑖
𝑛
donde 𝐠 𝑖 (𝐪𝑖 ) =
∈ ℝ y denota las fuerzas de gravedad,
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donde 𝑙𝑑 > 0 y escalar.
Del mismo modo se puede construir un observador para obtener
̂𝑒 , 𝐪
̂̇𝑒 , 𝐪
̂̈𝑒 ∈ ℝ𝑛 que representan la estimación de los estados
𝐪
del robot esclavo 𝐪̇ 𝑒 , 𝐪̇ 𝑒 y 𝐪̈ 𝑒 respectivamente.
estructura de este esquema de control también se involucra la
trayectoria de seguimiento, velocidad y aceleración deseada.
La implementación del esquema de control (35), requiere del
conocimiento exacto del modelo dinámico del robot, lo cual
significa que los valores numéricos de sus parámetros
dinámicos se conocen [23].
Por otro lado para que el sistema alcance una sincronización
maestro-esclavo se requiere que 𝐪𝑒 alcance la referencia 𝐪𝑚 ,
por lo que los errores de sincronización 𝐞𝒔 , 𝐞̇ 𝒔 , 𝐞̈ 𝒔 ∈ ℝ𝑛 están
definidos por
𝐞𝒔 = 𝐪𝑒 − 𝐪𝑚 ; 𝐞̇ 𝒔 = 𝐪̇ 𝑒 − 𝐪̇ 𝑚 ; 𝐞̈ 𝒔 = 𝐪̈ 𝑒 − 𝐪̈ 𝑚 ; (36)
Partiendo de (36) se puede la reescribir la ecuación del esclavo
(34) como
𝐌𝑒 (𝐪𝑒 )𝐞̈ 𝑠 + 𝐂𝒆 (𝐪𝑒 , 𝐪̇ 𝑒 )𝐞̇ 𝑠 + 𝐠 𝑒 (𝐪𝑒 ) = 𝛕𝑒 ;
(37)
donde el objetivo es (𝐞𝒔 𝐞̇ 𝒔 ) = (0 0), por lo que se propone la
siguiente ley de control
𝛕𝑒 = 𝐌𝑒 (𝐪𝑒 )𝐪̈ 𝑚 + 𝐂𝒆 (𝐪𝑒 , 𝐪̇ 𝑒 )𝐪̇ 𝑚 + 𝐠 𝑒 (𝐪𝑒 )
−𝑲𝑝 𝐞𝑠 −𝑲𝑣 𝐞̇ 𝒔 ; 𝑲𝑝 = 𝑲𝑝 𝑇 > 0; 𝑲𝑣 = 𝑲𝑣 𝑇 > 0; (38)
ahora se propone la siguiente función candidata de Lyapunov
1
1
𝜐 = 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝐌𝑒 (𝐪𝑒 )𝐞̇ 𝑠 + 𝐞𝑇𝑠 𝑲𝑝 𝐞𝑠 ; 𝑲𝑝 = 𝑲𝑝 𝑇 > 0;
(39)
2
2
Para garantizar la estabilidad de (38), se realiza
1
𝜐̇ = 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝐌𝑒 (𝐪𝑒 )𝐞̈ 𝑠 + 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝐌̇𝑒 (𝐪𝑒 )𝐞̇ 𝑠 + 𝐞𝑇𝑠 𝑲𝑝 𝐞𝑠 ;
(40)
2
aplicando la propiedad de antisimetría en (40) se tiene,
𝜐̇ = −𝐞̇ 𝑇𝑠 𝐂𝒆 (𝐪𝑒 , 𝐪̇ 𝑒 )𝐞̇ 𝑠 − 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝑲𝑝 𝐞𝑠 − 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝑲𝑣 𝐞̇ 𝑠
1
+ 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝐌̇𝑒 (𝐪𝑒 )𝐞̇ 𝑠 + 𝐞̇ 𝑇𝑠 𝑲𝑝 𝐞̇ 𝑠 ;
(41)
2
𝑇
𝜐̇ = −𝐞̇ 𝑠 𝑲𝑣 𝐞̇ 𝑠 ≤ 0;
(42)
por lo tanto (38) es estable y se logra la sincronización entre
(33) y (34) .
̂̇𝑚 , 𝐪
̂̈𝑚 , con lo cual la ley
Si no se conoce 𝐪̇ 𝑚 , 𝐪̈ 𝑚 se estiman 𝐪
de control de sincronización (38), se reescribe de la forma
siguiente
̂̈𝑚 + 𝐂𝒆 (𝐪𝑒 , 𝐪
̂̇𝑒 ) 𝐪
̂̇𝑚 + 𝐠 𝑒 (𝐪𝑒 ) − 𝑲𝑝 𝐞𝑠 −
𝛕𝑒 = 𝐌𝑒 (𝐪𝑒 )𝐪
𝑇
𝑲𝑣 𝐞̂̇𝒔 ; 𝑲𝑝 = 𝑲𝑝 > 0; 𝑲𝑣 = 𝑲𝑣 𝑇 > 0;
(43)
𝑛
̇
̇
̈
̂𝑚 , 𝐪
̂𝑒 , 𝐪
̂𝑚 ∈ ℝ representan la estimación de 𝐪̇ 𝑚 , 𝐪̇ 𝑒 y
donde 𝐪
𝐪̈ 𝑚 respectivamente, además 𝐞̂̇𝑠 es
̂̇𝑚 ;
𝐞̂̇𝑠 = 𝐪̇ 𝑒 − 𝐪
(44)
En [24], se propone un observador no lineal desde un enfoque
de pasividad para robots manipuladores, este es utilizado para
̂𝑚 , 𝐪
̂̇𝑚 , 𝐪
̂̈𝑚 . Este observador tiene la estructura
poder estimar 𝐪
siguiente en variables de estado
̂̇𝑚 = 𝐳 + 𝐿𝑑 𝐪
̂𝑚 ;
𝐪
𝐳̇ = 𝐌𝒎 (𝐪𝑚 )[𝛕𝑚 − 𝐂𝒎 (𝐪𝑚 , 𝐪̇ 0 )𝐪̇ 0 + 𝐠 𝑚 (𝐪𝑚 ) +
̃𝑚 ]𝐿𝑝2 𝐪
̃𝑚 ;
𝐿𝑝1 𝐪
(45)
̂𝑇𝑚 𝐳 𝑇 ] son los estados del observador, 𝐪
̂̇𝑚 representa
donde [𝐪
̃𝑚 ≡ 𝐪𝑚 − 𝐪
̂𝑚 es el error de estimación
la estimación de 𝐪̇ 𝑚 , 𝐪
de posición del robot maestro, 𝐿𝑑 = 𝐿𝑇𝑑 > 0, 𝐿𝑝1 = 𝐿𝑇𝑝1 ≥ 0,
𝐿𝑝2 = 𝐿𝑇𝑝2 > 0, y
̂̇𝑚 − Λ2 𝐪
̃𝑚 ;
𝐪̇ 0 = 𝐪
(46)
con Λ2 = Λ𝑇2 ≥ 0.
Se asume que 𝐿𝑑 , 𝐿𝑝1 , 𝐿𝑝2 y Λ2 son matrices constantes y
diagonales. Sin embargo, 𝐿𝑑 y 𝐿𝑝2 , pueden ser escritos como
𝐿𝑑 = 𝑙𝑑 𝐼 + Λ2 ;
(47)
𝐿𝑝2 = 𝑙𝑑 Λ2 ;
(48)
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III. CONCLUSIONES
Por medio de Matlab-Simulink se realizó la simulación de los
sistemas maestro esclavo.
En la gráfica mostrada en la Figura 3, se observa como la
sincronización maestro-esclavo de un Sistema Dinámico Lineal
masa resorte. Seleccionando los valores apropiados de las
ganancias K y F, el sistema esclavo logra alcanzar la trayectoria
del maestro en aproximadamente 6 segundos por consiguiente
la ecuación (10) se cumple como se observa en la Figura 4.
Figura 3.- Sincronización de un Sistema Dinámico Lineal.
Figura 4.- Error de sincronización de un Sistema Dinámico Lineal.
De igual manera se propuso un Sistema Multi-robot maestroesclavo como sistema no lineal. A nivel simulación, Robots
articulados de 2 grados de libertad y con características
homogéneas, consiguen sincronizarse haciendo una adecuada
selección de las ganancias 𝑲𝑝 y 𝑲𝑣 de la ley de sincronización
mostrada en la ecuación (43), así como también de las
ganancias 𝐿𝑑 , 𝐿𝑝1 y 𝐿𝑝2 del observador no lineal propuesto para
̂𝑚 , 𝐪
̂̇𝑚 , 𝐪
̂̈𝑚 del robot maestro y 𝐪
̂𝑒 , 𝐪
̂̇𝑒 , 𝐪
̂̈𝑒 del robot
encontrar 𝐪
esclavo.
En este caso es importarte observar que la sincronización se
logra en las 2 articulaciones como se observa en las Figuras 5 y
6.
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Figura 5.- Sincronización de las primeras articulaciones del Sistema Multirobot.
Figura 8.- Gráfica que muestra la comparación la medición de la trayectoria
estimada del esclavo en color verde y una estimada del maestro en color azul.
Con esto se concluye que la sincronización artificial o
controlada de sistemas dinámicos se logra siempre y cuando se
generan las condiciones necesarias de conexión entre sistemas
maestro-esclavo y de estimación completa del vector de estado.
Como trabajo futuro se sugiere comprobar estas estrategias de
control de sincronización a nivel experimental.
IV. AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Instituto Politécnico Nacional y a la
Sección de estudios de Estudios de Posgrado e Investigación de
la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad
Azcapotzalco, por el apoyo brindado a través del Proyecto SIP
20150901.
Figura 6.- Sincronización de las segundas articulaciones del Sistema Multirobot.
V. REFERENCIAS
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Controlled Synchronization of Huijgens’ Pendula, K.Y.
Pettersen et al. (Eds.): Group Coord. and Cooperat. Cntrl.,
LNCIS 336, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, pp. 205–
216, 2006.
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Institute of Technology (MIT), 2007.
[3] Chung, S. J. y Slotine, J. J., Cooperative Robot Control and
Concurrent Synchronization of Lagrangian Systems, IEEE
Paper, November 2008.
[4] Nijmeijer H. y Rodriguez A., Synchronizacion of
Mechanical Systems, Series Editor: Leon O. Chua. World
Scientific Publishing Co. Pte., 2003.
[5] Nijmeijer, H., A dynamical control view on
synchronization, Physica D 154, pp. 219–228, 2001.
[6] Manrubia, M., Emergence of Dynamical Order Synchronization Phenomena in Complex Systems, Editorial
World Scientific, 2004 .
[7] Moseklide, Maistrenko y Postnov, Chaotic Synchronization
- Appliacation to Living Systems, Editorial World Scientific,
2002.
[8] Ji, D., et al., Synchronization of neutral complex dynamical
networks with coupling time-varying delays, Nonlinear
Cabe mencionar que las trayectorias que alcanza el sistema
̂𝑚 =
esclavo son las estimadas del robot esclavo es decir, 𝐪
𝑞𝑚1
(𝑞 ).
𝑚2
Otro resultado que es importante mencionar es que el
observador lineal propuesto no solo permite estimar los estados
̂̇𝑚 y 𝐪
̂̈𝑚 , también nos ayuda a reducir considerablemente el
𝐪
ruido de medición como puede compararse en las Figuras 7 y
8.
Figura 7.- Gráfica que muestra la comparación de la medición de la
trayectoria real del maestro en color verde y una estimada en color azul.
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[9] Pham, Q. C., y Slotine, J. J., Stable concurrent
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Networks, Vol. 20, pp. 62-77, 2007.
[10] Estrada, H. J., Sincronización de sistemas mecánicos con
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México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
VI. BIOGRAFÍA
Jesús Martínez Martínez recibió el título de Ingeniero en
Robótica Industrial por parte de la Escuela Superior de
Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) Unidad Azcapotzalco
del Instituto Politécnico Nacional (IPN), en 2009, el grado de
Maestría en Ingeniería de Manufactura en el área de Robótica y
Control, en la Sección e Estudios de Posgrado e Investigación
de la ESIME Unidad Azcapotzalco, en 2013. Actualmente se
encuentra realizando el Doctorado en la misma institución. Sus
áreas de interés incluyen sincronización, control lineal y no
lineal de sistemas, observadores y sistemas robóticos.
Salvador Antonio Rodríguez Paredes recibió el título de
Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica por parte de la
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME)
Unidad Zacatenco del Instituto Politécnico Nacional (IPN), en
1996, el grado de Maestría en Ciencias Ingeniería Eléctrica en
la especialidad en Control Automático por el Centro de
Investigación y Estudios Avanzados (CINVESTAV-IPN), en
1998 y el Doctorado en Automática y Prodúctica por parte del
Laboratorio de Automatización del Instituto Politécnico de
Grenoble (INPG), Francia, en 2003. Sus áreas de interés
incluyen investigación sobre la estabilidad y la pasividad de
sistemas con parámetros concentrados y distribuidos, teoría y
aplicaciones, análisis bajo los enfoques de Lyapunov,
Lagrangianos, Hamiltonianos y retardos.
Jesús de León Morales recibió el título Licenciatura en Física
en la Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas de la
Universidad Autónoma de Nuevo León desde 1981, Maestría
en Control Automático del Centro de Investigaciones y de
Estudios Avanzados, en 1987 y el Doctorado en Control
Automático de Procesos en la Universidad Claude Bernard
Lyon I, en Francia, en 1992. Actualmente es profesor
investigador de la Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
de la Universidad Autónoma de Nuevo León (FIME, UANL).
Fue Premio de Investigación UANL 2009 en área de Ciencias
Exactas, miembro del Sistema Nacional de Investigadores nivel
2, miembro del Comité de evaluadores del CONACYT a nivel
Nacional, líder del Cuerpo Académico CASEP y miembro
Regular de la Academia Mexicana de Ciencia. Sus áreas de
interés incluyen Control de sistemas electromagnéticos,
sistemas colaborativos, maquinas inteligentes y drones.
Jorge Guillermo Alonso Alfaro nació en 1982. Cursó
Ingeniería Electromecánica en el Instituto Tecnológico de
Toluca de 2001 a 2006. Cursó la Maestría en Ingeniería de
Manufactura en la Sección de Estudios de Posgrado e
Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y
Eléctrica del IPN, de 2012 a 2014, actualmente cursa el
Doctorado en Ingeniería de Sistemas Robóticos y Mecatrónicos
desde el 2015 en la misma institución, donde su trabajo de
investigación está enfocado al control e instrumentación de
UAV´s, los Sistemas Robóticos y Mecatrónicos, así como el
control de los mismos.
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15vo CONGRESO NACIONAL DE INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA Y DE SISTEMAS (CNIES 2015)
ARTÍCULO No. SIS03
ARTÍCULO ACEPTADO POR REFEREO
Alfredo Roldán Caballero. Nació en Tlaxcala, México en
1990. Obtuvo el grado de Ingeniería en Mecatrónica por la
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla (BUAP) en
2013, actualmente se encuentra cursando la Maestría en
Ingeniería de Manufactura en la Escuela Superior de Ingeniería
Mecánica y eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico
Nacional (IPN) en la línea de robótica y control, sobre la
instrumentación y seguimiento de trayectorias de vehículos
aéreos no tripulados, bajo la dirección del Dr. Salvador Antonio
Rodríguez Paredes. Dentro de sus intereses de investigación se
encuentra el diseño y control en robótica móvil, así como la
dinámica y control de Sistemas Mecatrónicos.
México D.F., 19 al 23 de octubre 2015
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