1. No category

Clase de Cálculo / 25 - 2015
Salomón Alarcón Araneda
Universidad Técnica Federico Santa Marı́a, Valparaı́so, Chile
Derivación implı́cita
Definición
Sea f una función real. La expresión y = f (x), con x ∈ Dom(f ), corresponde a
una ecuación en dos variables donde la variable y está definida explı́citamente
en función de la variable x. En este caso decimos que y está definida
explı́citamente por la función f (x).
Ejemplo
Las siguientes funciones están definidas explı́citamente,
a) y = x 3 − 4x + 2
b) y =
x +2
,
x −2
x 6= 2
Observación
No todas las funciones están definidas explı́citamente.
c) y = e x + tan x.
Definición
Una expresión del tipo F (x, y ) = 0, donde F representa una función de
variables x e y , corresponde a una ecuación en dos variables de manera tal que
la variable y está ligada mediante F a la variable x. En este caso decimos que
y queda definida implı́citamente por una o más funciones que dependen de x,
las cuales no siempre se pueden determinar explı́citamente.
Ejemplo
La ecuación xy = 1 define implı́citamente una función que depende de x.
Obtén, si es posible, una fórmula explı́cita para y en función de x.
Solución. Despejando y , obtenemos
y=
1
,
x
x 6= 0.
Ejemplo
La ecuación x 2 + 3y 2 = 5 representa una o más funciones implı́citas de y en
función de x. Determina, si es posible, alguna fórmula explı́cita para y en
función de x.
Solución. Resolviendo
la ecuación cuadrática para y , obtenemos explı́citamente
√
para |x| < 5 :
r
r
5 − x2
5 − x2
y =−
. y=
3
3
Ejemplo
La ecuación yx = tan(yx) representa una o más funciones implı́citas de y en
función de x. Determina, si es posible, alguna fórmula explı́cita para y en
función de x.
Solución. No posible despejar y en función de x, pues se trata de una ecuación
trascendente. Sin embargo, si ponemos y = f (x), en muchos casos podremos
estudiar la ecuación
x f (x) = tan(x f (x)). Notación
Si y = f (x), entonces
dy
df
= f 0 (x) =
(x)
dx
dx
d 2f
d 2y
= f 00 (x) =
(x)
y 00 =
dx 2
dx 2
d 3f
d 3y
= f 000 (x) =
(x)
y 000 =
3
dx
dx 3
y0 =
.........
y (n) =
d ny
d nf
= f (n) (x) =
(x).
dx n
dx n
Ejemplo
Considere la curva definida implı́citamente por x 2 + y 2 = 4. Usando regla de la
cadena y derivando implı́citamente con respecto a x, encuentre y 0 e y 00 .
Solución. Derivando implı́citamente obtenemos:
2x + 2y · y 0 = 0.
∴
dy
x
= y0 = − .
dx
y
Ahora, para encontrar y 00 , derivamos y 0 , aplicando la regla de la derivada de un
cuociente
2
0
1
·
y
−
x
·
− yx
1·y −x ·y
y2 + x2
4
d y
00
=
y
=
−
=
−
=−
= − 3.
2
2
2
dx
y
y
y3
y
∴
d 2y
4
= y 00 = − 3 .
dx 2
y
Ejemplo
Considera la curva (xy + ln y )2 = 5xy . Usando regla de la cadena y derivando
implı́citamente con respecto a x, encontrar y 0 .
Solución. Derivando implı́citamente obtenemos:
1
2 (xy + ln (y )) y + x · y 0 + · y 0 = 5y + 5x · y 0
y
2
⇒ 2y (xy + ln (y )) + 2x (xy + ln (y )) · y 0 + (xy + ln (y )) · y 0 = 5y + 5x · y 0
y
2
⇒ 2x (xy + ln (y )) + (xy + ln (y )) − 5x · y 0 = 5y − 2y (xy + ln (y ))
y
∴
5y − 2y (xy + ln (y ))
dy
= y0 =
.
dx
2x (xy + ln (y )) + y2 (xy + ln (y )) − 5x
Ejemplo
Considera la curva (xy + ln y )2 = 5xy . Usando el resultado obtenido en el
ejemplo previo, encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva en el
punto (5, 1).
Solución. Desde el resultado en el ejemplo previo se sigue que
dy 5 − 10
5
1
= y 0 (5, 1) =
=−
=−
dx (5,1)
50 + 10 − 25
35
7
Luego, la ecuación de la recta tangente a la curva que pasa por el punto (5, 1)
es:
1
y − 1 = − (x − 5).
7
Ejercicios Propuestos
1
Hallar
dy
si:
dx
a) y 3 +y 2 −5y −x 2 = −4
2
3
b) xy 2 −yx 2 = 3
2
c) sin(xy ) = e y +2.
2
2
Calcular la
pendientede la recta tangente a la gráfica de x + 4y = 4 en
√
1
el punto
2, − √ . (La gráfica es una elipse de lado mayor 2 y lado
2
menor 1, este último sobre el eje y ).
Calcular la pendiente de la gráfica de 3(x 2 + y 2 )2 = 100xy en el punto
(3, 1).
d 2y
a partir de x 2 + y 2 = 25. Encontrar la ecuación de la recta
dx 2
normal a esta curva en el punto (4, 3).
4
Hallar
5
Encontrar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la
gráfica de la curva:
√
b) y 2 = x en el punto (1, −1).
a) x 2 + 2x = y en el punto (1, 9)
Un uso de la derivación implı́cita
Teorema
Sean f y g dos funciones reales y sea D = Dom(f ) ∩ Dom(g ). Si f y g son
derivables en D, con f (x) > 0 ∀x ∈ D, entonces la función real H definida por
g (x)
H(x) = f (x)
es derivable en D y verifica que
f 0 (x)
0
0
.
H (x) = H(x) · g (x) · ln f (x) + g (x) ·
f (x)
Demostración. Como f (x) > 0 ∀x ∈ D, entonces H(x) > 0 ∀x ∈ D, ln H(x)
está bien definido ∀x ∈ D. De esta forma,
H(x) = (f (x))g (x) ⇒ ln H(x) = g (x) · ln f (x)
H 0 (x)
f 0 (x)
= g 0 (x) · ln f (x) + g (x) ·
H(x)
f (x)
f 0 (x)
.
⇒ H 0 (x) = H(x) · g 0 (x) · ln f (x) + g (x) ·
f (x)
⇒
Example
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones:
i πh
i πh
a) f (x) = (cos x)sen x , x ∈ 0,
b) f (x) = cos(x sen x ), x ∈ 0,
.
2
2
Solución.
a) Tenemos,
((cos x)sen x )0 = (cos x)sen x
cos x · ln(cos x) + sen x ·
1
· (− sen x)
cos x
= (cos x)sen x (cos x · ln(cos x) − sen x · tan x) .
b) Tenemos,
((cos(x sen x ))0 = (− sen(x sen x ))x sen x
1
cos x · ln x + sen x ·
x
= − sen(x sen x ) · x −1+sen x (x · cos x · ln x + sen x) .
Ecuaciones Paramétricas
El movimiento de una partı́cula en el plano R2 se puede representar
mediante el gráfico de una curva C.
Luego, las coordenadas (x, y ) ∈ C representan la posición de la partı́cula
en un instante t.
Es decir, la posición de la partı́cula en un instante t se puede representar
mediante las ecuaciones
x = f (t)
∧
y = g (t).
Las ecuaciones previas reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de
la curva C.
Notar que la ecuación cartesiana de una curva C determinada por los
puntos
{(x, y ) ∈ R2 : x = f (t) ∧ y = g (t)}
puede obtenerse considerando
y = F (x), con x = f (t); y
y = g (t) = F f (t) .
Ejemplo
Sea C la curva determinada por las ecuaciones paramétricas x = a cos t y
y = a sin t, t ∈ [0, 2π[, a > 0. Determine la ecuación cartesiana de la curva C y
trace su gráfica en el plano R2 .
Solución. Notemos que x = a cos t, y = a sen t implican que
x 2 + y 2 = a2 cos2 t + a2 sin2 t ⇔ x 2 + y 2 = a2 .
Luego, la ecuación cartesiana de la curva C está dada por la ecuación
x 2 + y 2 = a2 , que corresponde a la ecuación de la circunferencia de radio a
centrada en el origen, cuyo gráfica es:
Ejemplo
Sea C la curva determinada por las ecuaciones paramétricas x = t 2 y y = t 3 ,
t ≥ 0. Determine la ecuación cartesiana de la curva C y trace su gráfica en el
plano R2 .
Solución. Notemos que x = t 2 , y = t 3 implica que
1
x2 =t
∧
1
1
1
3
y3 = t ⇔ y3 = x2 ⇔ y = x2.
3
Luego, la ecuación cartesiana de la curva C está dada por la ecuación y = x 2 ,
con x ≥ 0; y su gráfica por:
Debemos advertir que no siempre será fácil determinar la ecuación
cartesiana de una ecuación definida paramétricamente, ası́ como tampoco
será fácil determinar su gráfica.
Sin embargo, como veremos más adelante, es posible obtener información
acerca de su gráfica, conociendo algunas derivadas de la variable y
considerada como una función que depende de x.
Por lo tanto, nos interesa derivar ecuaciones definidas paramétricamente,
lo que haremos derivando implı́citamente con respecto a t.
En efecto, dada la ecuación cartesiana de una curva C definida
paramétricamente por {(x, y ) ∈ R2 : x = f (t) ∧ y = g(t)}, podemos
considerar y = F (x), con x = f (t), y = g (t) = F f (t) , y obtener
dy
como sigue:
y0 =
dx
dy
dy
dy dx
dy
dx
=
·
⇒
= dt
si
6= 0.
dx
dt
dx
dt
dx
dt
|
{z
}
Regla de la Cadena
| {z dt}
dy
Despejando
dx
De igual forma podemos encontrar
y 00 =
y
000
2
d
d y
=
dx 2
dx
d
d 3y
=
=
dx 3
dx
y ası́ sucesivamente.
dy
dx
d 2y
dx 2
d(y 0 )
d(y )
=
= dt ,
dx
dx
dt
0
d(y 00 )
=
=
dx
d(y 00 )
dt ,
dx
dt
Ejercicios Propuestos
1
2
3
4
Encontrar y 0 , y 00 y y 000 a partir de las ecuaciones paramétricas:
a) x = 2t − t 2 , y = 3t − t 3
b) x = a cos t, y = a sin t.
Sea C la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x(t) = t 2 ∧ y (t) = t 3 − 3t, t > 0.
a) Mostrar que C tiene dos tangentes en el punto (3, 9) y encuentre sus
ecuaciones.
b) Encontrar los puntos de C donde la recta tangente es horizontal y
donde es vertical.
Sea C la cicloide dada por las ecuaciones
x(θ) = a(θ − sen θ), y (θ) = a(1 − cos θ), con a > 0.
a) Encontrar la tangente a la cicloide donde θ = π3 .
b) Hallar los puntos de la cicloide donde la recta tangente es horizontal
y donde es vertical.
Sea C la curva definida paramétricamente por
x(t) = 2 sen t, y (t) = 3 cos t, con 0 < t < 2π.
a) Hallar
dy
dx
y
d2y
dx 2
.
b) Encontrar los valores de t para los cuales
d2y
dx 2
> 0.
Fin de la vigesimoquinta clase