1. No category

MÉTODOS NUMÉRICOS
Iván F. Asmar Ch.
TALLER 3a
Problema 1. Use el método directo que considere más apropiado para resolver el siguiente sistema
utilizando aritmética finita:
 0.2641x1 + 0.1735 x 2 + 0.8642 x 3 = −0.7521

− 0.8641x1 − 0.4243 x2 + 0.0711x 3 = 0.2501
 0.9411x + 0.0175 x + 0.1463x = 0.6310
1
2
3

Solución: Se observa que la matriz de coeficientes del sistema no es estrictamente dominante
diagonalmente por filas, ni tampoco es simétrica, así que se sugiere una estrategia de pivoteo, y como los
coeficientes del sistema son más o menos del mismo orden de magnitud 10 −1 , 10 −2 , se recomienda la
estrategia de pivoteo parcial. Para hacer uso del DERIVE, trabajamos con precisión 4 dígitos (OptionsPrecision:4) y entramos la matriz aumentada del sistema:
AU : = [ [ 0.2641 , 0.1735 , 0.8642 , − 0.7521], [ − 0.8641 , 0.4243 , 0.0711 , 0.2501 ] ,
[ 0.9411 , 0.0175 , 0.1463 , 0.6310 ]]
La expresión anterior al entrar en la ventana de Álgebra toma la forma
a) Para j = 1 (primera columna), escogemos el pivote como sigue:
Máx{ 0.2641 , − 0.8641 , 0.9411
} = 0.9411 =
a 31 ≠ 0,
k = 3 ≠ 1 = j , entonces debemos
↑
intercambiar las filas 1 y 3. La instrucción en DERIVE para intercambiar tales filas es SWAP(AU,1,3).
Una vez simplificada esta expresión continuamos con la eliminación:
0.0175 0.1463 0.6310 
 0.9411 0.0175 0.1463 0.6310 
 0.9411




 E  −00..8641

9411 
→ 0
− 0.4082 0.2054 0.8294 
 − 0.8641 − 0.4243 0.0711 0.2501    
 0.2641 0.1735 0.8642 − 0.7521
 0.2641
0.1735 0.8642 − 0.7521



21
 0.9411 0.0175 0.1463 0.6310  E  0.2641   0.9411 0.0175 0.1463 0.6310 






0.9411 
− 0.4082 0.2054 0.8294  

→ 0
− 0.4082 0.2054 0.8294 
 0
 0.2641 0.1735 0.8642 − 0.7521
 0
0.1685 0.8231 − 0.9291



31
Para la eliminación en DERIVE, se ejecuta la instrucción PIVOT(#_,1,1), donde #_ es el número que
identifica (en la ventana de Álgebra) a la matriz sobre la cual se hace la eliminación. Esta instrucción
hace ceros debajo de la posición (1,1) , es decir, elimina los coeficientes de x1 en cada una de las
ecuaciones 2 y 3.
Para j = 2 (segunda columna), escogemos el pivote como sigue:
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
1
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Máx{ − 0.4082 , 0.1685
} = 0.4082 =
a ∗2 2 ≠ 0, k = 2 = j , así que no necesitamos hacer
↑
intercambio y continuamos con la eliminación:
 0.9411 0.0175 0.1463 0.6310  E  0.1685   0.9411 0.0175 0.1463 0.6310 






− 0.4082 
→ 0
− 0.4082 0.2054 0.8294 
− 0.4082 0.2054 0.8294  
 0
 0
 0
0.1685 0.8231 − 0.9291
0
0.9079 − 0.5866 


32
Para la eliminación en DERIVE se ejecuta la instrucción PIVOT(#_,2,2): approX.
Por sustitución regresiva, obtenemos:
− 0.5866
0.8294 − 0.2054(− 0.6461)
x~3 =
= −0.6461 , ~
x2 =
= −2.356 ,
0.9079
− 0.4082
0.6310 − 0.1463(− 0.6461) − 0.0175(− 2.356)
~
= 0.8148
x1 =
0.9410
Luego la solución aproximada obtenida es X = (0.8148 , − 2.356 , − 0.6461) .
~
T
~
Qué se puede decir acerca de la precisión de esta solución aproximada X ?
~
X−X
Para intentar responder esta pregunta, utilizaremos las cotas para el error relativo
la teoría:
R
b
Cond ∞ ( A) = A
∞
A−1
∞
∞
∞
~
X−X
1
≤
Cond ∞ (A)
X ∞
∞
≤ Cond ∞ (A )
R
b
X
, dadas en
∞
∞
, y la instrucción en DERIVE para calcular este número de condición es
COND_INF( A), siendo
A la matriz de coeficientes del sistema dado.
Para este caso,
COND _ INF ( A) = 6.756 ≈ 1 , así que la matriz A está bien condicionada (el sistema AX = b dado, está
bien condicionado).
~
~
Calculemos el vector error residual correspondiente a la solución aproximada X , R = AX − b , y
recordemos que para evitar la pérdida de cifras significativas, trabajamos en doble precisión, o sea 8
~
dígitos (Options-Precision: 8). Antes de cambiar la precisión, entramos los vectores X y b como vectores
fila:
~
XA := [0.8148 , − 2.356 , − 0.6461] = X y b := [− 0.7521, 0.2501, 0.6310 ]
Ahora sí, Options-Precision:8, y calculamos A. XA − b (el . para indicar la multiplicación de la matriz A
[
2
−4
]
, − 4.5559014 ×10 −4 , 5.3850066 ×10 −5 .
Volvemos a precisión de 4 dígitos (Options-Precision: 4) y aproximamos el resultado de A. XA − b , para
por el vector XA), el resultado obtenido es 1.630 5851 ×10
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
MÉTODOS NUMÉRICOS
(
∞
)
T
R = 1.630 × 10− 4 , − 4.555 × 10− 4 , 5.385 × 10 − 5 ,
obtener
b
Iván F. Asmar Ch.
así
R
que
∞
= 4.555 × 10 −4 ,
= 0.7521 , y entonces
5 × 10 − 5 < 8.964 × 10 − 5 =
4.555 × 10
0.7521
−4
1
≤
6.756
~
X−X
X
∞
≤ 6.756
∞
4.555 × 10 − 4
= 0.004091 < 5 × 10 − 3
0.7521
Conclusión: La solución aproximada X = (0.8148 , − 2.356 , − 0.6461) aproxima a la solución exacta
X del sistema dado con por lo menos tres cifras significativas y no más de cuatro. La solución exacta del
~
T
sistema es X = (0.8147, − 2.356, − .6460) .
T
La instrucción en DERIVE para obtener la solución
exacta de un sistema AX = b con solución única es RESUELVA_1( A,b): Simplify.
Problema 2. Considere el siguiente sistema lineal
+ 2x4
4 x1 + x2
 x − 3x + x
 1
2
3

x
x
x
4
+
+
2
3 + x4
 1

x 2 + x3 − 2 x 4
=2
= −3
=4
=0
Lo primero que observamos es que el sistema dado está ordenado en la forma más apropiada para
aplicar los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel, ya que la matriz de coeficientes de este sistema
es lo más parecida a una matriz estrictamente dominante diagonalmente por filas.
a) ANÁLISIS DE CONVERGENCIA PARA EL MÉTODO DE JACOBI
1) La matriz de coeficientes del sistema dado es
1 0
2
4


0
1 − 3 1
A= 
1
1 4
1


0
1
1
−
2


que
no
es
estrictamente
dominante
diagonalmente
por
filas,
porque
a 44 = 2 ≤ 1 + 1 = a41 + a 42 + a43 . Luego no se puede concluir todavía sobre la convergencia
del método de Jacobi.
BJ = D
Usando
−1
(L + U ) :
la
matriz
de
coeficientes
A := 4, 1, 0, 2 , 1, − 3,1, 0 , 1, 1, 4,1 , 0, 1,1, − 2 , y luego simplificamos la instrucción BJ( A) con lo
cual obtenemos la matriz de iteración
[[
DERIVE,
Debemos encontrar la matriz de iteración del método de Jacobi
][
] [
entramos
] [
]]
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
3
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES

 0

 1

BJ =  3
1
−
 4
 0

2)
−
1
4
1
3
0
−
1
− 
2
0

1
− 
4
0 

0
1
4
1
2
0
1
2
BJ
En DERIVE, la instrucción NORMA_INF( B J ) simplifica en
∞
= 1 ≥ 1 , así que no podemos
concluir todavía, a partir de esta norma matricial, sobre la convergencia del método de Jacobi. En
`
DERIVE, la instrucción NORMA _ INF B J simplifica en B J 1 = 1 ≥ 1 , y tampoco podemos concluir
( )
sobre convergencia, todavía.
3)
Debemos calcular el radio espectral de la matriz de iteración B J , ρ(B J ) . Esta vez, empezamos
encontrando el polinomio característico de la matriz
BJ .
En DERIVE, la instrucción
96 w 4 + 28w 2 + 4w − 3
.
96
CHARPOLY( B J ,w) simplifica en el polinomio característico de B J :
Trabajando con p(w) = 96 w + 28 w + 4 w − 3 , encontramos que los valores propios de la matriz
4
BJ
son
w1 ≈ −0.334610 ,
2
w 2 ≈ 0.244717
y
w3, 4 ≈ 0.0449461 ± 0.616126i .
Como
w3, 4 ≈ 0.617763 (instrucción en DERIVE ABS(w3, 4 )) , entonces ρ(B J ) ≈ 0.617763 < 1 . Por
tanto el método de Jacobi converge converge a la única solución X del sistema dado, cualquiera sea
(0 )
4
la aproximación inicial X ∈ R . Iterando con el método de Jacobi, tomando aproximación inicial
T
< 5 × 10 −3 , se obtiene
X ( 0) = (0, 0, 0, 0 ) y criterio de aproximación X ( k ) − X (k −1)
∞
X (13 ) = (− 0.200239, 1.11780, 0.561029, 0.838094 ) ≈ X
T
(ya que
X (13 ) − X (12)
satisface
X ( k ) − X (k −1)
∞
∞
≈ 0.00375458 < 5 × 10 −3 y k = 13 es el menor entero positivo que
< 5 × 10 −3 ). La instrucción en DERIVE para calcular las iteraciones es




JACOBI  A , [2 , − 3, 4 , 0] , [0 , 0 , 0, 0] , 15
{
14243 1
424
3 N  : approX.

()
b
X0


Cuál es la precisión de la solución aproximada X
(13)
?
X − X (13 )
Para esto, analicemos las cotas para el error relativo
4
X
∞
:
∞
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
MÉTODOS NUMÉRICOS
Iván F. Asmar Ch.
R (13)
1
≤
b ∞ Cond ∞ ( A)
144424443
∞
5×10 − 5 <3 .8 ...×10 − 4 =
X − X (13 )
X
∞
≤
∞
0. 00739 1
4
4 .816
R (13 )
Cond ∞ ( A)
∞
b ∞
14442444
3
4 .816
0 .00739
= 0. 008 ...<0 .05 =5×10 − 2
4
(13)
Luego X
aproxima a la solución exacta X del sistema dado con una precisión de por lo menos sus
dos primeras cifras significativas y no más de cuatro.
b) ANÁLISIS DE CONVERGENCIA PARA EL MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
1) Ya vimos que la matriz A de coeficientes del sistema dado no es estrictamente dominante
diagonalmente por filas, así que no se puede concluir todavía sobre convergencia del método de
Gauss-Seidel. Debemos encontrar la matriz de iteración BG−S = ( D − L ) U del método de GaussSeidel:
−1
En DERIVE, la instrucción BG( A) simplifica en la matriz de iteración
1

0 −
4

1
0 −

12
=
1
0
12

 0
0

BG − S
0
1
3
1
−
12
1
8
1

2
1
− 
6
1
− 
12 
1
− 
8
−
2) En DERIVE, la instrucción NORMA_INF( BG−S ) simplifica en
BG−S
∞
=
3
< 1 , así que el
4
método de Gauss-Seidel converge a la única solución X del sistema dado, cualquiera sea la
X (0 ) y se tienen cotas para el error
aproximación inicial
`
NORMA_INF( BG − S ) simplifica en
BG−S
=
1
X − X (k )
∞
(observe que
7
< 1 , así que también podemos concluir sobre la
8
convergencia del método de Gauss-Seidel a partir de esta norma matricial, pero ya que
BG − S
∞
< BG − S
1
, usaremos la norma
.
∞
para los cálculos posteriores).
3) Aunque ya tenemos conclusión sobre la convergencia del método de Gauss-Seidel, calculemos
ρ(BG− S ) .
En DERIVE la instrucción EIGENVALUES( BG−S , w) simplifica en los valores propios de la matriz
BG−S , que son w1 = 0 , w 2 = −
1
1
y w3 = −
( w1 = 0 es valor propio de multiplicidad 2, ya que el
4
24
↓
polinomio característico de BG−S
(
)
w 2 96 w 2 + 28w + 1
es
).
96
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín
5
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Como ρ(BG−S ) =
1
< 1 , el método de Gauss-Seidel converge a la única solución X del sistema dado,
4
(0 )
cualquiera sea la aproximación inicial X .
Ya que disponemos de cotas teóricas para el error
X − X (k )
∞
, encontremos el menor número de
iteraciones k, de acuerdo con la teoría, para que al aplicar el método de Gauss-Seidel con
aproximación inicial X
= (0, 0, 0, 0 ) , se obtenga una aproximación de la solución exacta X del
sistema dado, con una precisión de por lo menos tres cifras significativas.
( 0)
X − X (k )
Como
X
∞
T
k
k
≤ BG − S
∞
k
∞
3
3
=   , bastará resolver para k la desigualdad   < 5 × 10− 3 .
4
4
X − X (k )
ln 5 × 10 −3
∞
< 5 × 10− 3
La solución de esta desigualdad es, k >
= 18.4... , así que
X ∞
 3
ln 
 4
(19 )
para todo k ≥ 19 . Calculando X
, usando el método de Gauss-Seidel con aproximación inicial
T
T
(19 )
( 0)
X = (0, 0, 0, 0 ) , se obtiene X
= (− 0.2, 1.12, 0.56, 0.84 ) ≈ X . En DERIVE, las iteraciones
(
en
el
método
de
Gauss-Seidel
G_SEIDEL ( A , [ 2, − 3, 4, 0], [0, 0, 0, 0], 19 ) .
)
se
obtienen
con
la
instrucción
Cuál es la solución exacta X del sistema dado?
[
]
En DERIVE, la instrucción RESUELVA_1( A,b) con b := 2, −3, 4,0 simplifica en la solución exacta
T
 1 28 14 21 
X =  − , , ,  del sistema dado.
 5 25 25 25 
Si observa las iteraciones en los dos métodos, puede ver el tipo de convergencia para el método de
Jacobi y compararla con la convergencia para el método de Gauss-Seidel.
¿Cuántas iteraciones serán necesarias, de acuerdo con la teoría, para que al aplicar el método de
Gauss-Seidel con aproximación inicial X
= (0, 0, 0, 0 ) , se obtenga una aproximación de la
solución exacta X del sistema dado con una precisión de por lo menos sus tres primeras cifras
decimales exactas?
( 0)
6
T
Universidad Nacional de Colombia - Sede Medellín