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Congresso de Métodos Numéricos em Engenharia 2015
Lisboa, 29 de Junho a 2 de Julho, 2015
© APMTAC, Portugal, 2015
FORMULACIÓN DE UN ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON
DISCONTINUIDADES INTERIORES PARA EL MODELADO DEL
DAÑO EN ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO
Enrique Tenorio Montero1* y Gelacio Juárez Luna2
1: Departamento de Materiales
Universidad Autónoma Metropolitana
Azcapotzalco
San Pablo 180, Reynosa Tamaulipas, 02200, Azcapotzalco, México D.F.
e-mail: [email protected], [email protected]
web: http:// www.azc.uam.mx
Palabras clave: Colapso, Discontinuidades, daño, dislocación, articulación, ablandamiento
Resumen Se formula un elemento viga-columna con discontinuidades interiores para
modelar la formación de articulaciones, en el que se considera el desarrollo de rótulas,
dislocaciones transversales y axiales. En este elemento se utilizan modelos constitutivos
para considerar la capacidad de momento, fuerza cortante y axial, basados en la
mecánica y en pruebas experimentales reportadas en la literatura, las cuales incluyen el
comportamiento constitutivo del concreto con acero de refuerzo. Para validar la
capacidad de modelar el daño de los elementos finitos desarrollados, se presentan
ejemplos numéricos de túneles, vigas y marcos estructurales de concreto reforzados
sujetos a cargas que inducen daño en sus elementos. Las curvas carga contra
desplazamiento calculadas son congruentes con las reportadas experimentalmente, por lo
cual se valida el elemento viga-columna para modelar la evolución del daño en
estructuras.
1. INTRODUCCIÓN
Una estructura presenta daño incipiente cuando las acciones externas o internas alcanzan los
valores umbrales de la resistencia de los materiales; el incremento del daño puede llevar al
colapso de las estructuras. El daño puede darse cuando se presentan fenómenos como:
inestabilidad elástica (pandeo), excesiva deformación plástica (fluencia generalizada), fatiga
(cargas cíclicas), corrosión, fractura, etc. El estudio del inicio del daño y evolución al colapso
en estructuras es de importancia para conocer la carga última o su capacidad residual, lo cual
depende del comportamiento constitutivo de los materiales, así como de las acciones de
fuerzas dinámicas o sobrecargas que afectan las estructuras. En estructuras, como los
edificios, sus elementos estructurales pueden ser afectados por cargas adicionales a las del
diseño o por acciones externas tales como: sismos, explosiones, colapso de estructuras
vecinas, actividades de construcción, etc. Para estudiar el daño y la evolución al colapso en
estructuras se utiliza principalmente el método de los elementos finitos, a través de elementos
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
sólidos o unifilares con los cuales se construyen los modelos numéricos. A estos elementos se
les deben incorporar los comportamientos constitutivos de los materiales, con los cuales se
simula el desarrollo de las no linealidades que puedan presentarse. Se han realizado diversos
estudios en el desarrollo de elementos finitos para el análisis no-lineal en estructuras; sin
embargo, casi siempre están condicionados para comportamientos específicos, por lo cual no
presentan todas las discontinuidades posibles en el sistema estructural analizado, como los
que se mencionan en [1] quienes formularon un elemento finito tipo viga de Timoshenko con
la capacidad de modelar discontinuidades de rotación y desplazamiento transversal, que
requiere de funciones definidas por los autores como operadores de deformación necesarios
para mejorar la solución, con los que se obtienen matrices de rigideces asimétricas que pueden
presentan dificultades numéricas en el proceso de cálculo. Posteriormente, [2] desarrollaron
un elemento finito con discontinuidades embebidas con base en la teoría de vigas de EulerBernoulli, en el que sólo se considera la discontinuidad de rotación. [3] modelaron el daño en
el elemento viga-columna como articulaciones plásticas, utilizando modelos constitutivos
momento-curvatura elastoplásticos o con ablandamiento positivo, que no consideran el
ablandamiento que se presenta después de alcanzar la carga última. [4] desarrolló un modelo
multi-escala para el estudio de discontinuidades interiores axiales y rotacionales, en el cual
utilizaron elementos sólidos en 2D para la micro-escala y elementos vigas Euler-Bernoulli
para la macro-escala; [5] desarrollaron unas formulaciones para vigas gruesas y delgadas con
discontinuidades embebidas con base en funcionales de energía, cuyas aproximaciones con
elementos finitos proporcionan matrices simétricas, bien condicionadas, las cuales fueron
validadas con ejemplos reportados en la literatura. Estos autores presentan una formulación de
modelos constitutivos por flexión y cortante, asumiendo que existe ablandamiento después de
alcanzar un valor umbral, sin considerar el acoplamiento de ambos efectos, ni un fundamento
energético para definir el área debajo de las respectivas curvas momento-salto rotación o
cortante-salto desplazamiento transversal; un elemento finito con discontinuidades interiores
basado en la teoría de Euler-Bernoulli se formuló en [6], en el que sólo se considera la
discontinuidad de la rotación, consideraron el comportamiento constitutivo momentocurvatura de una viga de concreto reforzada, semejante al desarrollado por [4], en el que el
ablandamiento es posterior al intervalo plástico. Posteriormente, [7] desarrolló un elemento
finito que considera la no-linealidad axial en vigas tipo Euler-Bernoulli y Timoshenko,
mediante una sección de viga discretizada en fibras, a las que les atribuyó el comportamiento
constitutivo esfuerzo-deformación. Estas fibras son consideradas como barras esforzadas
axialmente debido a fuerzas axiales aplicadas o fuerzas producto de los momentos
flexionantes.
Lo anterior indica que los elemento finitos viga-columna estudiados no desarrollan todas las
discontinuidades en cualquiera de los desplazamientos y rotación posible, lo cual motiva al
desarrollo e implantación del elemento viga-columna con la capacidad de simular el
comportamiento desde el intervalo lineal hasta la evolución del daño que lleve al colapso de la
estructura. El elemento finito se formula a partir de funcionales de energía de barras y vigas
con base en la teoría de Euler-Bernoulli y Timoshenko a los que se les incluyen
discontinuidades embebidas de desplazamiento axial y transversal, así como de rotación,
debidas a la acción respectiva de carga axial, cortante y momento.
2
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
2. ELEMENTO VIGA-COLUMNA CON DISCONTINUIDADES INTERIORES
El elemento finito viga-columna se formula agrupando los elementos vigas y barra, ambos
con discontinuidades interiores. El elemento barra tiene la capacidad de desarrollar
discontinuidad axial, mientras que el elemento viga delgada desarrolla una discontinuidad de
rotación y la viga gruesa que incluye deformaciones por cortante presenta discontinuidades en
la rotación y/o en el desplazamiento transversal.
2.1. Elemento barra con discontinuidades interiores
El elemento mostrado en la Figura 1 corresponde a una barra con longitud L, sección
transversal A y módulo elástico E, la cual se sujeta a carga hasta que ocurre una concentración
de deformaciones en una zona S, donde se presenta una discontinuidad o salto ��� en los
desplazamientos axiales, tal que el domino de la barra Ω Ì [0,L], queda dividido por la
discontinuidad S, por lo tanto Ω= Ω-+ Ω+.
∆ [| u |]
n1
x
1
L
d1
n1
Ω-
1
2
S
n2
d1
Ω+
S
2
n2
Figura 1. Elemento barra con discontinuidades interior
El funcional de energía de este elemento, de acuerdo a [10], dependiente del campo de
desplazamientos, u, y el salto �u � es:
(
) ∫ [W (ε) − b ⋅ u ]d Ω − F ⋅ u + ∫
∏ u,=
 u 
i
Ω
i
�u �
0
(1)
TS ⋅  u  d  u 
ε
en el que W (ε ) = ∫ σ (ε )d ε es la energía de deformación del elemento,
Fi ⋅ ui
es el trabajo
0
externo debido a las cargas concentradas y
∫
 u 
0
TS ⋅  u  d  u  es el trabajo en la discontinuidad.
El campo de desplazamientos se aproxima como:
u=
(x) N (x) d + M s (x)  u 
(2)
donde d son los desplazamientos en los nodos del elemento y N (x) contiene las funciones de
forma estándar del elemento, tal que:
N (x) = [ N1
=
N1 (x)
La función
MS ,
N2 ]
x2 − x
x − x1
=
, N 2 ( x)
L
L
mostrada en la Figura 2, que aproxima el salto de desplazamiento se define
3
(3)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
como:
en la que
(4)
M=
H S ( x ) − ϕ ( x)
S ( x)
H S (x)
es la función salto de Heaviside y ϕ (x) es una función continua tal que:
ϕ ( x=
) 0 ∀x ∈ Ω −
(5)
ϕ ( x=
) 1 ∀x ∈ Ω +
MS
HS
Ωh
(=
(
+ ) 1
Ω
Ω
Ω
ϕ (X)
+
S
Ω
) - (
S
Ω
Ωh
+
Ω
1
)
Figura 2. Representación gráfica de la función MS
Las deformaciones continuas se aproximan como:
(6)
donde las derivadas de las funciones de forma definidas en las ecs. (3) y (5), respectivamente,
son:
ε=
(x) B(x) ⋅ d + BC (x) ⋅  u 
1
[ −1 1]
L
1
BC ( x ) = −
L
B ( x=
)
Sustituyendo las ecs. (2) y (6) en la ec. (1), se obtiene:
(
)
d ,  u )
∏=
(
T
T

∫ C
Ω
(d B
T
T
− d N ( x) +  u  N
T
T
C
)(
(7)
)
(
)
T
T
+  u  BCT ⋅ Bd + BC  u  − b ⋅ d T N T ( x) +  u  N CT  ⋅ d Ω

)F + ∫
i
�u �
0
�u �
∫ TS (  u  ) d  u 
(8)
0
La ec. (8) se deriva y linealiza con series de Taylor respecto a d y  u  y se tiene:
 BT CB ⋅ dv
V∫

 BT CB ⋅ dv
∫ C
V

  ∆d   ∆f 
ext
⋅
=
 ∆f 
∆

u


T
T
∫ BC CBC ⋅ dv + ∫Γ CN ⋅ d Γ       int 
V
∫ B CB
T
C
⋅ dv
V
(9)
Sustituyendo los términos de la ec. (7) en la ec. (9)se obtiene la matriz de rigideces de una
barra con discontinuidades interiores siguiente:
 AE
 L

 − AE
 L

 AE
 L
− AE
L
AE
L
− AE
L
AE


L

− AE 

L

AE
+ ACNT 
L

( n −1)
4
( n)
 ∆d1 


⋅  ∆d 2 
∆  u  
  
( n −1)
 n1 
 
=
 n2 
 
 nS 
(10)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
donde CNT =
∂TS
es el operador constitutivo tangente para la discontinuidad axial.
∂  u 
El vector de fuerzas residuales en los nodos y en la discontinuidad, para cada paso de carga n
se define, respectivamente, como:
( n −1)
 n1 
 Fext1 
=



n
 2
 Fext 2 
)
nS ( =
n −1
(n)
−
AE   1 −1  d1 

⋅ 
L   −1 1   d 2 

AE 
[ −1
L 
1] +  u 
( n −1) 

( n −1)
1
( n −1) 

+   ⋅  u 

 −1
+ ATS  u 
( n −1)
(11)
(12)
2.2. Elemento viga delgada con discontinuidades
Se considerarán como vigas delgadas aquellas cuya relación peralte entre longitud sea
h/L<0.2, de otra forma se considerarán como vigas gruesas. En la Figura 3 se muestra un
elemento con una carga distribuida q, momentos M y fuerzas transversales f en sus extremos.
Las propiedades geométricas y mecánicas son la longitud L, momento de inercia I y módulo
elástico E. En este tipo de viga sólo pueden ocurrir articulaciones debidas a discontinuidades
en el campo de las rotaciones  θ  .
q
f
1
m1
2
1
[|θ|]
mS
f2
m2
Localización de
falla
Figura 3. Elemento viga delgada con discontinuidad en rotación
El funcional de energía, desarrollado por [10], para la viga delgada con discontinuidades es:
(13)
∏=
( w, �θ �) ∫ (ψ M (κ w ) − q ( x ) ⋅ w ) dx + ∫ ψ M (  θ  )ds − M * ⋅θ Γ − V * ⋅ w Γ
L
S
S
donde ψM corresponde a la densidad de energía a flexión, dependiente de la curvatura
continua, κ , como se muestra en la Figura 4a. La densidad de energía de deformación, ψMs,
liberada debido a la formación de una articulación depende del salto de las rotaciones [|θ|],
como se muestra en la Figura 4b. La carga distribuida q(x) actúa sobre la viga, mientras que
los momentos y los cortantes prescritos en los extremos son, respectivamente, M* y V*. La ec.
(13) se puede reescribir como:
1  ∂ 2 w( x) ∂ϕ ( x)  θ
( w, �θ �) ∫ 
∏
=
−
2
L 2
∂x
 ∂x
T
2
  EI  ∂ w( x) − ∂ϕ ( x)  θ


2
∂x

 ∂x
−M * ⋅θ − V * ⋅ w Γ
Γ
5
 
 dx − ∫L q ( x)w( x)dx + ∫S M  θ  dS
(14)

Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
M
Ms
M
Mu
ψ
Ms
ψ ([|
M
M([| |])
|])
[| |]
κ
b)
a)
Figura 4. Densidad de energía de deformación en: a) en la parte continua de la viga y b) en la zona de
localización (adaptado de [9])
El campo de desplazamientos regulares w( x), se interpola como:
w( x) = N ( x ) d
(15)
donde d es el vector de desplazamientos en los nodos y N(x) son las funciones de forma de
interpolación, que en el caso de vigas Euler-Bernoulli son:
N=
1
1
1 3
1
1
2 x3 − 3Lx 2 + L3 ) , N=
3Lx 2 − 2 x 2 ) , N=
x L − 2 x 2 − 2 x 2 L2 + L3 x ) , N=
( Lx3 − L2 x2 ) (16)
2
3
4
3 (
3 (
3 (
L
L
L
L3
Sustituyendo la ec. (15) en la ec. (14)se obtiene:
, �θ �)
∏( d=
∫
L
0
1  ∂ 2 N ( x)d ∂ϕ ( x)  θ
−

2  ∂x 2
∂x
L
− ∫ d T N T q ( x) dx + ∫
S
0
La función lineal ϕ ( x) está dada por:
∫
�θ �
0
T
2
  EI  ∂ N ( x) d − ∂ϕ ( x)  θ


2
∂x

 ∂x
 
 dx

(17)
M  θ  d  θ  dS − M * ⋅ N ( x )d − V * ⋅ N ( x)d
Γ
Γ
x
L
ϕ( x ) =
(18)
Aproximando los desplazamientos de la ecs. (15) con las ecs. (16) y (18) se obtienen las
matrices B ( x ) y BC , respectivamente, como:
∂ 2 N ( x)
1
= B ( x ) = 3 12 x − 6 L 6 xL − 4 L2
L
∂x 2
−12 x + 6 L 6 xL − 2 L2  ,
Sustituyendo las ec. (19) en la ec. (17) se obtiene:
( d , �θ �)
∏=
∫
L
0
+∫
S
∂ϕ
1
= BC =
L
∂x
T
L
1
 B( x) d − BC  θ   EI  B( x)d − BC  θ   dx − ∫ d T N T ( x)q( x )dx
0
2
∫
�θ �
0
(
)
M  θ  d  θ  dS − d T N ( x )T ⋅ M * − d T N ( x)T ⋅ V *Γ
(19)
(20)
Γ
Diferenciando la ec.(20) respecto a d y  θ  , respectivamente, e igualando a cero para
garantizar un valor extremo, y linealizando con series de Taylor se tiene:
∫
L
∫
L
0
0
L
L
(
)
B( x ) EIB ( x) ∆d ⋅ dx − ∫ B ( x) EIBC ∆  θ  ⋅ dx + ∫ B ( x ) σ B ( x ) d − BC  θ  ⋅ dx − Fext =
0
T
T
0
L
0
L
(
T
)
BC T EIB( x) ∆d ⋅ dx − ∫ BC T EIBC ∆  θ  + ∫ BC T σ B ( x)d − BC  θ  dx + M
0
0
6
(�θ �) + IC
T
b
∆  θ  =
0
(21)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
donde CbT =
∂M �θ �
∂ �θ �
, es el operador constitutivo tangente del momento-salto rotación. Los dos
primeros términos de cada línea de la ec. (21) representan las rigideces del elemento y, los
términos restantes representas los residuos de fuerzas y momentos, y el equilibrio del
elemento es:
 L B ( x)T EIB( x)dx
 ∫0

T
 BC EIB( x)dx
B( x )T EIBC dx   ∆d

 θ
L
T
T  ∆
∫0 BC EIBC dx + Cb I  
∫
L
0
  fa 
=
   fi 
(22)
Sustituyendo las ec. (19) en la ec. (22) e integrando, se obtiene la matriz de rigideces del
elemento viga delgada con la discontinuidad embebida en la rotación:
 12 EI
 L3

 6 EI
 L2

 − 12 EI
 L3
 6 EI

2
 L

 0

6 EI
L2
4 EI
L
6 EI
− 2
L
2 EI
L
EI
L
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
−
0
6 EI
L2
2 EI
L
6 EI
− 2
L
4 EI
L
EI
−
L



EI


L


0

EI 

−
L 

EI
+ ICbT 

L
0
( n −1)
n
 ∆w1 
 f1 
 ∆θ 
m 
1 

 1
 ∆w2  =  f 2 


 
 ∆θ 2 
 m2 
∆  θ  

 mS 
  
n−1
(23)
Donde los términos del vector de los residuos para cada incremento de desplazamiento o
carga n son:
( n −1)
 f1 
m 
1
 =
 f2 
 
 m2 
mS
 f1ext 
M 
 1ext 
 f 2 ext 


 M 2 ext 



n−1
( n−1)
( n)
6 L −12 6 L   w1 
 12
0 


 
2
2 
n −1
EI  6 L 4 L −6 L 2 L  θ1 
EI 1 
− 3
+
 θ 






L 0
L −12 −6 L 12 −6 L w2


 
2
2 
θ
6
2
6
4
L
L
L
L

 2 
1 
( n −1)
 w1 
 
n −1
θ
EI
EI
=
− [ 0 1 0 1]  1 
+
 θ  − M  θ 
 w2 
L
L  
 
θ 2 
(
)
(24)
(25)
2.3. Elemento viga gruesa con discontinuidades
El desplazamiento transversal y los giros son independientes en vigas gruesas, por lo que este
elemento puede presentar saltos en el desplazamiento transversal  w  y en la rotación  θ 
como se muestra en la Figura 5. Sus propiedades mecánicas y geométricas son: el módulo
elástico E, momento de inercia I, longitud L y sección transversal de área efectiva a cortante
AS.
7
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
q
f
1
1
m1
2
[|θ|]
f
2
m2
[| w |]
fS
mS
Localización de
falla
Figura 5. Elemento viga de gruesa con discontinuidad en desplazamiento transversal y rotación
El funcional de energía del elemento viga de Timoshenko, desarrollado por [10], es:

T
  −
 1  ∂θ 
∫L  2  ∂x 

 

 




=
 w,θ ,��w��,���θ ���



T  − 
 −
 −


 ∂θ  1  ∂ w − 
 ∂ w −

−θ  α 
−θ  + qw dx + ∫Γ M S ���θ ���
EI   + 
∂x
 ∂x  2  ∂x

















( )d Γ + ∫Γ VS (��w��)d Γ
(26)
en la que VS y M S son el cortante y momento en la zona de la discontinuidad,
respectivamente, w y θ son los desplazamientos y rotaciones continuas que se aproximan
como:
(27)
θ ( x ) = θ ( x ) − ϕ ( x ) ⋅  θ  , w( x) = w( x ) − ϕ ( x ) ⋅  w 
Puesto que los campos de rotación y desplazamientos son independientes, éstos se aproximan
respectivamente como:
θ ( x) =
N θ ( x ) ⋅ θ , w( x ) =
N w ( x) ⋅ w
(28)
Sustituyendo la ec. (28) en la ec. (27) y respectivamente en la ec. (26) se tiene:
(
) ∫
=
∏ w, θ ,  w  ,  θ 
+∫
L
0
L
0
(
)
1  ∂ N θ ( x ) ⋅ θ − ϕ ( x ) ⋅  θ  

2 
∂x

T
 ∂ ( N θ ( x ) ⋅ θ − ϕ ( x ) ⋅ )  θ  
L
T
 dx − ∫0 ( N w ( x ) ⋅ w ) qdx
∂x


EI 
T
  ∂ ( N w ( x ) ⋅ w − ϕ ( x ) ⋅  w 

1  ∂ ( N w ( x ) ⋅ w − ϕ ( x ) ⋅  w 
− N θ ( x ) ⋅ θ − ϕ ( x ) ⋅  θ   α 
− N θ ( x ) ⋅ θ − ϕ ( x ) ⋅  θ   dx

∂x
∂x
2 
 

(
(
)
(
)
(29)
)
+ ∫Γ M S  θ  d Γ + ∫Γ VS  w  (  w  ) d Γ
El término α = AS GS , es la rigidez a cortante, en la que AS y GS son el área efectiva y el
módulo a cortante, respectivamente. Las funciones de forma N, la función lineal ϕ ( x ) , las
matrices B y BC se definen como:
N w= Nθ=
[ N1
N 2 ] , Bθ= Bw= B=
∂N
L−x
x
, N1=
, N 2=
L
L
∂x
x
1
−1
ϕ ( x ) ==
, B
[ −1 1] , BC =
L
L
L
Para obtener un valor extremo del funcional, la ec. (29) se deriva respecto a cada variable
independiente y se iguala a cero. Posteriormente, se linealiza con series de Taylor y se
8
(30)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
obtiene:
∫
L
0
L
L
L
BT α B ∆w ⋅ dx − ∫ BT α BC  ∆w  ⋅ dx − ∫ BT α N ∆θ ⋅ dx + ∫ BT αϕ∆  θ dx
0
0
0
(31)
L
+ ∫ BT  Bw − BC  w  − Nθ θ + BC  θ   dx − Fext =0
0
− ∫ N T α B∆w ⋅ dx +  ∫ N T α N ⋅ dx + ∫ BT EIB ⋅ dx ∆θ + ∫ N T α BC ∆  w 
0
0
0
 0

L
L
L
L
(
)
(32)
0
−  ∫ N T αϕ dx + ∫ BT EIBC dx  ∆  θ  − ∫ BT Bθ − BC  θ  − ∫ N T ( Bw − BC  w  − Nθ + ϕ  θ  ) dx =
0
0
0
 0

L
L
L
L
L
L
L
L
− ∫ BC T α B ∆w ⋅ dx + ∫ BC T α BC ∆  w  ⋅ dx + ∫ BCα N ∆θ − ∫ BC T αϕ∆  θ  dx
0
0
0
0
(
L
)
�w�
(
)
0
− ∫ BC T Bw − BC  w  − Nθ + ϕ  θ  dx + ∫ Vs  w  d  w  + AS CST ∆  w  =
0
0
∫
L
0
(33)
ϕ T α B∆w ⋅ dx − ∫ ϕ T α BC ∆  w  −  ∫ BC T EIB ⋅ dx + ∫ ϕ T α N ⋅ dx  ∆θ
L
L

0
L
0

0
(
)
L
L
L
L
+  ∫ BC T EIBC dx + ∫ ϕ T αϕ ⋅ dx  ∆  θ  − ∫ BC T Bθ − BC  θ  dx + ∫ ϕ T  Bw − BC  w  − Nθ + ϕ   θ dx (34)
 0

0
0
0
∫
 θ 
0
M (�θ �)d  θ  + ICbT ∆  θ  =
0
Las ecs. (31) a (34) representan el equilibrio del elemento viga gruesa con discontinuidades
interiores, las cuales se ordenan para representarse matricialmente y se sustituyen los términos
de la ec. (30) y se obtiene la matriz de rigideces del elemento vigas gruesas con
discontinuidades interiores.
donde
α
 L

− α
 L

α
 2
 α
−
 2
α

 L
 α
−
 2
−
α
L
α
2
α
α
L
2
α
2
EI α L
+
L
3
EI α L
−
+
L
6
L
2
2
−
−
α
α
α
2
−
α
EI α L
−
L
6
−
α
α
2
L
α
−
2
EI α L
+
L
6
EI α L
+
L
3
L
α
−
2
α
α
α
2
L
EI α L
−
L
3
α
2
+ AS CST
−
α
2
9
α


2

α


2

EI α L 
−

L
6
EI α L 

−
L
3


α
−

2


EI α L
T
+
+ ICb 
L
3

−
( n −1)
(n)
 ∆w1 
 ∆w 
 2
 ∆θ1 
 ∆θ 
 2
  w  


  θ  
 f1 
f 
 2
 m 
= 1
 m2 
 fS 
 
mS 
( n −1)
(35)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
 f1 
 
 f2 
( n −1)
F 
=  ext1 
 Fext 2 
 α
− L
 m1 
 = 0 + 
− α
 m2 
 L
 α
f S ( n −1) = 0 +  −
 L
α
mS ( n −1) = 0 + 
2
(
− M  θ 
)
( n)
α

− L
− α
 L
α
 α
α
( n −1)
− 



w
n
−
1


L
1
+  2   w  +  2
 
α   w2 
 α 
− α
 2 
 2
L 
−
α
( n −1)
L   w1 
 
α   w2 
L 
 α L EI 
 3 + L 


−
 α L EI 
−


L 
 6
( n −1)
α   w1 
 
L   w2 
( n −1)
−
α   w1 
 
2   w2 
α
 α L EI  
α L 
 α
−
( n −1)


 6 
− 2 
L   θ1 
n −1
n −1
 6
−
  θ 
  w  + 
 

θ
α
α
L
 α L EI   2 




+


 3 
 2 
L 
 3
( n −1)
α  θ1 
 
2  θ 2 
α
−
2
 α
( n −1)

− 
θ
n −1


2
1
−  2   θ 
 
α  θ 2 
α 
 2 
2 
−
n −1
n −1
α 
α 
−    w  +    θ  − V  w 
2
L
(
( n −1)
 α L EI   α L EI   θ1 
+ 
−
+
 
  
L   3
L   θ 2 
 6
)
n −1
(36)
n −1
n −1
α 
 α L EI 
+    w  − 
+   θ 
L
2
 3
n −1
donde CST =
(
∂V  w 
∂  w 
)
y CbT =
(
∂M  θ 
∂  θ 
)
son los operadores tangente en el salto del
desplazamiento transversal y rotacional, respectivamente.
2.4. Agrupamiento de los elementos barra y viga con discontinuidades interiores
Los elementos viga-columna con discontinuidades interiores se obtienen agrupando los
términos de la matriz de rigideces del elemento finito barra de la ec. (10) con los elementos
viga delgada de la ec. (23) y viga gruesa de la ec. (35), respectivamente.
Es de interés mencionar que en las ecs. (37) y (38) las acciones axiales son independientes de
las rotaciones o desplazamientos transversales, los grados de libertad están enumerados como
se muestran en la Figura 6.
 AE
 L

 0


 0

 AE
−
 L

 0


 0

 AE
 L

 0

0
0
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
4 EI
L
0
0
−
12 EI
L3
6 EI
L2
6 EI
L2
2 EI
L
−
0
0
AE
L
0
−
0
0
0
EI
L
AE
L
0
−
AE
L
0
0
0
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
6 EI
L2
2 EI
L
0
0
−
12 EI
L3
6 EI
− 2
L
6 EI
L2
4 EI
L
−
0
0
0
−
EI
L
10
AE
L
0
0
−
AE
L
0
0
AE
+ ACNT
L
0




0

  ∆d   n 
EI   1   1 
∆w1 
 
 f1 
L
  ∆θ1   m1 
  
 
0
 n2 
 ⋅  ∆d 2  =
  ∆w2   f 2 
  
0
 
  ∆θ 2   m2 
EI   ∆ �u �  n 
  S
−
 
L  ∆ �θ � m 

  S

0


EI
+ ICbT 
L

0
(37)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
 AE
 L

 0


 0

 AE
−
 L

 0


 0

 AE
 L

 0


 0

3
0
0
α
α
L
2
α
EI
2
L
0
−
−
+
α
α
L
2
α
2
−
EI
L
αL
α
α
L
2
α
EI
2
L
−
2
0
αL
Ω-
0
6
−
αL
6
S
EI
−
L
−
α
α
EI
2
L
+
α
α
L
2
α
EI
2
L
−
αL
AE
L
5
7
Ω+
2
−
α
α
L
2
EI
2
L
T
α
αL
6
0
α
+ AC N
−
0





 ∆d
 n 
 
  ∆w   f 
  
 
  ∆θ   m 

 ∆d   n 
  
 
f 
 ⋅  ∆w2  =
  ∆θ   m 
  
 
  ∆ �u �  n 
 ∆ w   f 
  � �  
  ∆ �θ � m 






1
1
1
1
1
1
2
2
(38)
2
αL
2
3
2
S
S
0
S
α
L
T
+ AS C S
−
3
4
L
0
0
3
2
−
0
αL
EI
L
0
3
α
AE
0
2
0
6
−
−
L
0
6
α
0
−
αL
0
α
0
2
0
α
0
L
+
L
0
L
0
−
2
AE
0
−
L
α
L
AE
0
α
−
AE
8
1
0
L
0
3
+
0
AE
0
0
0
−
−
−
α
EI
2
L
+
α
2
αL
3
T
+ ICb
2
8
9
1
Ω-
a)
5
6
7
S
4
Ω+
b)
Figura 6. Grados de libertad en vigas con discontinuidades: a) delgadas y b) gruesas
3. MODELOS CONSTITUTIVOS
Se utiliza un modelo constitutivos de daño para representar el deterioro de las propiedades
mecánicas del material cuando se alcanza una superficie de falla. El modelo de daño se
clasifica como continuo, en el que se considera que el deterioro se encuentra distribuido en el
elemento finito, y el modelo de daño discreto, en el cual la degradación se desarrolla en una
zona dentro de los elementos dañados, que generalmente utiliza variables de tracción contra
salto de desplazamiento para describir el comportamiento. Se desarrollan modelos
constitutivos en función de fuerzas contra desplazamientos o momentos contra giros, como se
muestra en la Figura 7 donde se tienen los casos continuo y discreto.
F
F
Fu
Fu
C
(1-d) C
(1−ω) C
[|
χ
Figura 7. Modelo de daño: a) continuo b) discreto
11
|]
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
El modelo de daño isotrópico para elementos viga formulado por [9] se define como:
ψ ( χ , r )= (1 − d (r ) )ψ O
∂ψ ( χ , r )
F=
= (1 − d ) C : χ
∂χ
Densidad de energía libre
Ecuación constitutiva
q
d (r) =
1 − ; d ∈ [0,1] ; q ∈ [ 0, rO ]
r
 r ∈ [ rO , ∞ ]

r(t ) = γ 
Fu
rO r=
=
t =0
C

Variable de daño
Evolución de daño
(39)
Regla de ablandamiento
 q ∈ [0, r0 ]
F : C −1 : F − q; 
 q t = 0 = r0
=
q H d ( r ) r; H d=
(r ) q '( r ) ≤ 0
Condición de carga o descarga
Consistencia
f (τ F , q) < 0; γ ≥ 0; γ f (τ F , q) =
0
γ f (τ F , q ) = 0
f (τ F , q ) = τ F − q =
Criterio de daño
En la que ψ es la densidad de energía libre, representada por el área bajo la curva del modelo
constitutivo, χ representa el vector de desplazamientos, C son las constantes elásticas, F el
vector de fuerzas, d es la variable de daño que depende de la variable de ablandamiento q , H
es el parámetro de ablandamiento, γ es el multiplicador de daño que determina la condición de
carga o descarga. La función f (τ F , q ) limita la superficie de falla del material, en el espacio de
fuerzas.
El modelo de daño discreto para elementos viga es:
ψ u =
T (�u �) d �u �
( )
ψ (�u �, α )= (1 − ω )ψ 0 (�u �) ,  0 � � ∫0
�u �
Energía libre discreta
Ecuación constitutiva

∂ψ (�u �, α )
F=
=
∂ �u �
q (α )
Variable de daño
ω = 1−
Ley de evolución del daño
α = λ =
Criterio de daño
Regla de ablandamiento
α
(1 − ω ) C �u �
; ω ∈ [ −∞,1]
(40)
∂
(α ) ; α ∈ ( 0, ∞ )
∂t
f (T , q ) =
F ( C ) =F [C ] F
τT − q; τT =

q=
H q '(α ) ≤ 0
(α ) H α ;=
−1
−1
f ≤ 0; λ ≥ 0; λ f =
0
λ f = 0
Condición de carga-descarga
Consistencia
donde ω es la variable de daño definida en términos de la variable de ablandamiento q ; �u �es
el vector de saltos de los desplazamientos, el resto de las variables se definen de igual forma
_
que las del modelo de daño continuo pero con el término discreto, e.g., H es el parámetro de
ablandamiento discreto.
La razón de cambio de fuerzas entre los desplazamientos se define como un operador
constitutivo tangente de un modelo continuo, C T , y la razón de cambio de fuerzas entre los
12
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
saltos de desplazamientos corresponde al operador constitutivo discreto del modelo discreto
CdT , como se definen, respectivamente, en la ecuación siguiente:
=
CT
∂F
∂F
=
, CdT
∂χ
∂ �χ �
(41)
Cuando un elemento se encuentra en la condición de carga, en intervalo no lineal, los
operadores constitutivos tangentes se calculan con la ec.(42), y para el intervalo elástico o
condición de descarga, con la ec.(43).
C T =(1 − d ) C −
q − Hr
q − Hα
( C : χ ⊗ χ : C ) , CdT =(1 − ω ) C − 3 ( C ⋅ �u �⊗ �u �⋅ C )
3
r
α
CT =
(1 − d ) C, CdT =
(1 − ω ) C
(42)
(43)
Las Figuras 8 a 10 muestran los comportamientos constitutivos implementados, en los que se
utiliza el modelo de daño discreto en el intervalo de ablandamiento negativo.
M ([|u|])
M( κ )
U
Mu
Y
My
Ma
Mu
A
h2EI
h1EI
h3EI
Mf
EI
Hm=
F
(1-d) EI
κa
EI
l
(1−ω) EI
l
κy
κu
κf
κ
b)
a)
[|θ|]
Figura 8. Comportamiento constitutivo momento contra: a) curvatura, b) salto rotación
V ([|w|])
V
Vu
Vu
Vy
h1 GAs
GAs
γy
(1-d) GAs
Hv=
h2GAs
γ
γu
GAs
l
(1−ω) GA s
l
[|w |]
Figura 9. Comportamiento constitutivo cortante contra: a) deformación por cortante, b) salto desplazamiento
transversal.
13
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
N ([| u |])
N (ε)
Nu
Nu
Ksn=
EA
(1-d) EA
Kns
εu
ε
EA
l
(1−ω) EA
l
[|u |]
b)
a)
Figura 10. Comportamiento constitutivo fuerza normal contra: a) deformación axial, b) salto desplazamiento
axial.
4. EJEMPLOS NUMÉRICOS
4.1. Viga sujeta a momento en el extremo
Una viga en voladizo se somete a un momento incremental en el extremo libre como se
muestra en la Figura 11a. La viga tiene una longitud L=2.5m y una sección transversal
simplemente reforzada mostrada en la Figura 12a. Las propiedades mecánicas del concreto
son: módulo de Young Ec=37.272 GPa y esfuerzo a compresión del concreto f’c=38 MPa. El
acero de refuerzo consiste de 4 barras del acero número 4 con las propiedades mecánicas
siguientes: módulo de Young Es=200 GPa y esfuerzo de fluencia fy=400 MPa. Los
comportamientos constitutivos de momento contra curvatura con y sin fuerza axial aplicada,
así como el comportamiento de fuerza normal contra deformación axial en compresión, se
muestran respectivamente en la Figura 13. En la Figura 14 se muestran los comportamientos
constitutivos discretos, en los que el modelo se divide en diez elementos de veinticinco
centímetros de longitud, y se considera la fuerza axial no aplicada. Se aplicó la rotación
gradualmente en el extremo derecho de la viga, donde se calculó el momento como la
reacción en ese extremo cuyo resultado se muestra en la curva momento, M, contra salto en la
rotación, �φ �, en la Figura 15 en la que se observa que la energía disipada, 9.87 kN m, es
congruente con la energía aportada por el sistema calculada en el comportamiento constitutivo
momento-salto de rotación.
M
M
a)
L
b)
L
Figura 11. Geometría y aplicación de fuerzas
14
N
Viga
0.4 m
Asv=1#3
As
0.03 m
0.3 m
4#4
As
4#6
As
0.04 m
0.04 m
a)
0.4 m
0.5 m
As
Asv=1#3
As
0.2 m
0.03 m
0.04 m
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
0.3 m
Columna
b)
500
5000
400
4000
300
3000
N (kN)
M (kN-m)
Figura 12. Secciones transversales de vigas: a) simplemente reforzada, b) doblemente reforzada con barras #4 y
c) doblemente reforzada con barras #5
200
Sin fuerza axial
100
1000
Con fuerza axial
0
0.00
0.10
0.20
0.30
κ (1/m)
2000
0.40
0
0.50
0
0.001
a)
0.002
0.003
ε (mm/mm)
0.004
0.005
b)
Figura 13. Comportamientos constitutivos: a) momento-curvatura y b) fuerza normal-deformación axial
100
5000
500
4000
400
M (kN-m)
200
N (kN)
M (kN-m)
300
3000
2000
a)
0
0.02
0.04
0.06
[|ϕ|] (rad)
0
0.08
b)
200
100
1000
0
300
0
0
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008
[|u|] (m)
c)
0
0.01
0.02
0.03
[|ϕ|] (rad)
0.04
Figura 14. Comportamientos constitutivos discretos; a) momento-salto rotación y b) fuerza normal-salto
desplazamiento axial, c) momento-salto rotación
En la Figura 15b se muestra la curva momento contra rotación de la solución completa, la cual
es congruente con la obtenida por [7], quién desarrolló el mismo ejemplo utilizando
elementos vigas de Euler-Bernoulli con discontinuidades.
15
300
300
250
250
200
200
M (kN-m)
M (kN-m)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
150
100
50
150
Viga-columna
100
Jukic
50
0
0.000
0.020
0.040
0.060
[|ϕ|] (rad)
0
0.080
0
0.02
0.04
a)
0.06
0.08 0.1
ϕ (rad)
0.12
0.14
0.16
b)
Figura 15. Curva de la variación momento contra rotación: a) momento contra salto rotación, b) comportamiento
total
4.2. Viga en voladizo sujeta a momento y fuerza axial
A una viga en voladizo, mostrada en la Figura 11b, se le aplicó primeramente una carga axial,
N= 100 kN y, posteriormente, se impuso gradualmente la rotación en el extremo de la viga
con el que se determinó la variación del momento M. La fuerza normal modifica el
comportamiento constitutivo momento-curvatura, pues incrementa la capacidad de momento
de la sección y reduce la de rotación, como se muestra en la Figura 13a. El comportamiento
constitutivo momento, M, contra salto de rotación, �φ �, que se utilizó para el modelo de daño
discreto se muestra en la Figura 14c.
500
400
M (kN-m)
M (kN-m)
400
300
200
100
0
0
0.01
0.02
[|ϕ|] (rad)
0.03
300
200
Jukic
100
Viga-columna
0
0.04
a)
0
0.02
0.04
0.06
ϕ (rad)
0.08
0.1
b)
Figura 16. Variación del momento M, debido al incremento de rotaciones, ϕ: a) salto de rotación, b)
comportamiento total.
El modelo se discretizó con 10 elementos, al igual que el caso de solo flexión. En la Figura
16a se muestra la curva momento, M, contra salto de rotación, �φ �, que representa la energía
disipada en la discontinuidad, G f = 6.85 kN m, igual que la aportada por el sistema, que es la
misma para cualquier elemento, debido a que el momento flexionante es uniforme y la fuerza
normal es constante en toda la extensión de la viga. La curva total obtenida numéricamente, se
compara con la obtenida por [7], donde se observa que son congruentes hasta una rotación de
16
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
0.57 rad; sin embargo, para rotaciones mayores, se presentan diferencias atribuidas a los
modelos constitutivos distintos utilizados en ambas soluciones.
4.4. Túnel construido con dovelas
Una prueba experimental realizada por [9], que consistió de una estructura formada por tres
anillos dovelados para conformar un túnel de diámetro interno d=8.65 m, las dovelas tienen
un ancho L=1.50 m y espesor h=0.40 m; con acero de refuerzo longitudinal Al= 6.48 cm2 y
transversal At=2.85 cm2, de acuerdo a los parámetros mostrados en la Figura 17a. La junta
longitudinal, como se muestra en la Figura 17b, tiene un ancho b=1.39 m y una altura a=0.17
m. Las propiedades mecánicas del concreto son: módulo de Young Ec=33.5 GPa y esfuerzo a
compresión f’c=27 MPa. El acero de refuerzo tiene como propiedades mecánicas: módulo de
Young Es=200 GPa y esfuerzo a la fluencia fy=435 MPa.
φ
At
h
b
Al
a
a
L
a)
M
N
Al
b)
N
M
Figura 17. a) sección transversal del elemento de concreto reforzado y b) geometría de la junta longitudinal
La Figura 18 a y b, muestra respectivamente el estado máximo de cargas a la cual la
estructura fue sometida, que está compuesta por una carga uniforme de 654.94 kN en cada
gato y una carga de ovalización de 25 kN; y la discretización del modelo numérico donde Kv
representa la rigidez a cortante entre los anillos vecinos aportada por el contacto entre las
maderas contrachapadas. Los comportamientos constitutivos para el elemento viga-columna
de las dovelas y junta longitudinal se muestran en la Figuras 19 y 21, y los comportamientos
constitutivos discretos para los intervalos de saltos de rotación, desplazamientos transversales
y axiales, para los elementos dovelas y junta longitudinal se muestran en las Figuras 20 y 22.
677.47
670.53
660.51
649.37
679.94
677.47
670.53
660.51
639.35
639.35
632.41
632.41
Junta
longitudinal
Area de
contacto
entre anillos
629.93
629.93
632.41
632.41
639.35
639.35
649.37
660.51
a)
Elemento
Junta
Longitudinal
649.37
Anillo
central
Kv
Elemento
Viga-columna
Dovela
649.37
Anillos
colindantes
Kv
Elemento
Viga-columna
Kv
Kv
660.51
670.53
670.53
677.47 679.94 677.47
b)
Figura 18 a) cargas aplicadas y b) discretización del modelo numérico
17
500
400
400
300
300
200
100
0
0
0.02
a)
0.04
0.06
κ (1/m)
15000
200
100
0
20000
N (kN)
500
V (kN)
M (kN-m)
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
b)
10000
5000
0
0.001
0.002
0.003
0
0.004
γ (rad)
c)
0
0.001 0.002 0.003 0.004
ε (m/m)
500
20000
400
400
15000
300
300
200
100
0
N (kN)
500
V (kN)
M (kN-m)
Figura 19. Modelos constitutivos del elemento viga-columna para las dovelas: a) momento-curvatura, b)
cortante-deformación y c) fuerza normal-deformación axial
200
5000
100
0
a)
0
0.002 0.004 0.006
[|ϕ|] (rad)
b)
10000
0
0
0.0001 0.0002 0.0003 0.0004
[|w|] (m)
c)
0
0.0002 0.0004 0.0006
[|u|] (m)
Figura 20. Comportamientos constitutivos discretos de las dovelas: a) momento contra salto de rotación, b)
cortante contra salto de desplazamiento transversal y c) fuerza normal contra salto en el desplazamiento axial.
100
2000
8000
1500
6000
N (kN)
150
V (kN)
M (kN-m)
200
1000
2000
500
50
0
0.00 0.02
0
0.04 0.06
ϕ (rad)
0.08
0.10
4000
0
0
0.001
0.002
d (m)
0.003
0
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
ε (m/m)
b)
a)
c)
Figura 21. Modelos constitutivos para la junta longitudinal: a) momento-rotación idealizado, b) cortantedesplazamiento y c) fuerza normal-deformación
125
2000
8000
1500
6000
1000
N (kN)
150
V (kN)
M (kN-m)
175
500
100
a)
0
0.02 0.04 0.06 0.08
[|ϕ|] (rad)
0.1
0.12
0
b)
4000
2000
0
0.0002 0.0004 0.0006 0.0008
[|w|] (m)
0
c)
0
0.0004
[|u|] (m)
0.0008
Figura 22. Comportamientos constitutivos discretos en la junta longitudinal: a) momento contra salto de
rotación, b) cortante contra salto de desplazamiento y c) fuerza normal contra salto en desplazamiento axial
En la prueba experimental, al igual que en los resultados numéricos, se determinó el
acortamiento en la línea a-b, mostrada en la Figura 23a, debido a la carga de ovalización,
18
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
dado que la carga uniforme no produce la configuración ovalada. Los resultados
experimentales y numéricos se comparan en la Figura 23b, en la cual se observa similitud
entre ellas para valores menores a 10 kN, para valores mayores se presentan diferencias las
cuales se atribuyen a las posibles irregularidades físicas del modelo experimental.
a
Carga de ovalización kN/gato
30
a'
b'
a)
b
25
20
15
Viga-columna
10
Experimental
5
0
b)
0
10
20
30
Acortamiento vertical (mm)
Figura 23. Comportamiento del modelo experimental y numérico: a) conformación deformada y b) curva carga
contra el acortamiento vertical
Los elementos mecánicos máximos obtenidos con el modelo numérico se muestran en la
Figura 24, en las cuales se observa que los valores de fuerza normal y cortante no alcanzan los
valores umbrales en los respectivos modelos constitutivos, a diferencia del diagrama de
momentos en las cuales existen elementos tanto de las juntas longitudinales como en las
dovelas que exceden la capacidad a flexión, por lo que se presentan las articulaciones
mostradas en la Figura 25a, lo cual es congruente con los resultados experimentales que
reportan el agrietamiento en el anillo central como se muestra en la Figura 25b.
221.90
220.03
84.21
2895.9
83.21
2935.1
235.22
233.90
83.94
237.03
a)
2963.9
2897.6
83.37
c)
b)
Figura 24. Elementos mecánicos: a) momento (kN-m), cortante (kN) y c) fuerza normal (kN)
19
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
b)
a)
Figura 25. Zonas articuladas en el anillo central: a) modelo numérico y b) prueba experimental (adaptado de [9])
5. CONCLUSIONES
Una vez realizada la formulación, implantación y aplicación del elemento finito viga-columna
se concluye que:
•
El elemento finito viga-columna es capaz de modelar adecuadamente discontinuidades
en los campos de desplazamientos y rotación de vigas y columnas, de acuerdo a los
resultados obtenidos en los modelos numéricos resueltos.
•
La estructura matricial para ambos casos, viga-columna gruesa o delgada, permite el
cálculo de rigideces para elementos con y sin daño en cualquiera de los tres grados de
libertad, por lo que es posible el cálculo de estructuras bajo comportamiento elástico o
inelástico.
•
Las matrices de rigideces de ambos elementos son simétricas, lo que facilita el proceso
de cálculo y evita problemas de inestabilidad numérica que pueden presentar otras
aproximaciones.
•
Los modelos constitutivos de daño permite modelar el comportamiento completo del
elemento desde su comportamiento elástico, inicio y evolución de las discontinuidades
hasta el colapso total.
•
Aun cuando los ejemplos de aplicación se realizaron a estructuras de concreto reforzado,
los elementos desarrollados no se limitan solo a este tipo de material, ya que basta
modificar los comportamientos constitutivos de otros materiales que forman el elemento
estructural, para que estos puedan ser utilizados.
•
Los elementos se aplican eficientemente para el estudio de estructuras sometidas a
cargas monotónicas, las cuales se pueden aplicar mediante desplazamientos graduales
para evitar inestabilidad numérica en el proceso de cálculo.
•
Con el elemento viga-columna se puede conocer la capacidad residual de una estructura
que ha experimentado daño y requiera ser utilizada o recomendar la reparación.
20
Enrique Tenorio Montero y Gelacio Juárez Luna
•
Con el elemento viga-columna se pueden realizar modelados numéricos para simular
pruebas experimentales previas a su ejecución y con ello tener una aproximación de los
resultados esperados.
AGRADECIMIENTOS
Ambos autores agradecen a la Universidad Autónoma Metropolitana por las facilidades
proporcionadas a la realización de este trabajo. El primer autor agradece la beca de estudios
de Doctorado al CONACYT y a la Universidad Tecnológica de Panamá por las facilidades
otorgadas.
REFERENCIAS
[1] D. Ehrlich y F. Armero, “Finite element methods for the analysis of softening plastic
hinge in beams and frames”, Computer and Mechanics, Vol. 35, pp. 237-264, (2004).
[2] F. Armero y D. Ehrlich, “Numerical modeling of softening hinges in thin EulerBernoulli beams”, Computer and Structures, Vol. 84, pp. 641-656, (2006).
[3] J. B. Baker y J. Hyman, Plastic design of frames, Cambridge University Press, Vols. I
y II, (1969).
[4] J. Dujc, B. Brank, y A. Ibrahimbegovic, “Multi-scale computational model for failure
analysis of metal frames that includes softening and local buckling”, Computer
Methods in Appl. Mech. Eng. Vol. 199, pp. 1371-1385, (2010).
[5] G. Juárez y A. G. Ayala, “Finite element variational formulation for beams with
discontinuities”, Finite Elements in Analysis and Desing, Vol. 54, pp. 37-47, (2012).
[6] M. Jukic, B. Brank y A. Ibrahimbegovic, “Embedded discontinuity finite element for
failure analysis of planar reinforced concrete beams and frames”, Engineering
Structures, Vol. 50, pp. 115-125, (2013).
[7] M. Jukic, “Finite element for modeling of localized failure in reinforced concrete”,
Disertación doctoral, Ljubljana, Univerza v Ljubljana, Slovenia, (2013).
[8] G. Juárez, “Modelado numérico de problemas de fractura en sólidos mediante
discontinuidades interiores”, Disertación, Universidad Nacional Autónoma de
México, México, (2006).
[9] G. Juárez, y A. G. Ayala, “Finite element variational formulation for beams with
discontinuities”, Finite Elements in Analysis and Desing, Vol. 54, pp. 37-47, (2012).
[10] F. J. Vecchio y M.B. Emara, “Shear deformations in reinforced concrete frames”, ACI
Structural Journal Vol. 89 (1), pp. 46–56, (1992).
[11] C. B. M. Blom y G. P. C. van Oosterhout, “Full-scale laboratory test on a segment
lining”, Reporte Técnico, Project Organization HSL South, Países Bajos, (2001).
21