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Problemas para entrenamiento
(abril 2015)
1. Seis pesas (de 1 g, 2 g, 3 g, 4 g, 5 g y 6 g) se repartieron en tres cajas, dos en cada caja.
Las pesas de la primera caja pesan juntas 9 g y las de la segunda pesan 8 g. ¿Qué pesas están
en la tercera caja?
(a) 5 g y 2 g
(b) 6 g y 1 g
(c) 3 g y 1 g
(d) 4 g y 2 g
(e) 4 g y 3 g
2. Angélica dice que el 25 % de sus libros son novelas, mientras que 19 de sus libros son
de poesı́a. Si sabemos que el total de sus libros está entre 50 y 100, ¿cuál es este total?
(a) 50
(b) 56
(c) 63
(d) 72
(e) 93
3. En un torneo la mitad de los competidores se eliminan en cada ronda (si al principio
de la ronda el número de competidores es impar, uno de ellos se selecciona al azar y se queda
para la siguiente ronda). Si empiezan 100 competidores, ¿cuántas rondas deben pasar para
que quede un ganador final?
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 10
(e) 11
4. Un barco recoge 30 naúfragos en una isla. Como resultado, los alimentos del barco
que eran suficientes para 60 dı́as ahora son suficientes sólo para 50 dı́as. ¿Cuántas personas
habı́a en el barco antes de llegar a la isla?
(a) 15
(b) 40
(c) 110
(d) 140
(e) 150
5. Un grupo de estudiantes quiere pedir una pizza. Si cada uno de ellos coopera con $14,
les harı́an falta $4 para pagar la cuenta. Si cada uno de ellos coopera con $16 sobrarı́an $6
de la cuenta. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno para pagar la cuenta exacta?
(a) $14.40
(b) $14.60
(c) $14.80
(d) $15
(e) $15.20
1
29
1
1
de los alumnos tiene ojos azules, 87
de los alumnos es pelirrojo y
6. En cierta escuela 69
es zurdo. ¿Cuál es el mı́nimo número de alumnos que puede tener la escuela?
(a) 29
(b) 87
(c) 185
(d) 2001
(e) 174 087
7. Tres amigos fueron a la dulcerı́a. Luis gastó 29 pesos y compró 1 caramelo y 2 paletas.
Águeda gastó 43 pesos y compró 1 caramelo y 2 chocolates. ¿Cuánto gastó Julio si compró 1
caramelo, 1 paleta y 1 chocolate?
(a) 33 pesos
(b) 36 pesos
(c) 38 pesos
(d) 39 pesos
(e) 42 pesos
8. Cuando a un barril le falta el 30 % para llenarse contiene 30 litros más que cuando
sólo está lleno al 30 % de su capacidad. ¿Cuántos litros le caben al barril?
(a) 60
(b) 75
(c) 90
(d) 100
(e) 120
9. Rebeca vive en el mismo edificio que yo, pero aún no sé en qué departamento. Al
preguntarle a los vecinos obtuve las siguientes respuestas:
Vecino 1: El número de su departamento es el 9.
Vecino 2: El número de su departamento es primo.
Vecino 3: El número de su departamento es par.
Vecino 4: El número de su departamento es 15.
El portero no quiso decirme en que departamento vive Rebeca, pero me aseguró que exactamente dos de las afirmaciones anteriores son falsas. ¿En qué departamento vive Rebeca?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 9
(e) 15
10. En la figura ABCD es un cuadrado y OBC es un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide
el ángulo ∠OAC?
(a) 30o
(b) 25o
(c) 20o
(d) 18o
(e) 15o
11. Cada tercer dı́a Luis dice la verdad y los demás miente. Hoy Luis ha dicho exactamente
4 de los enunciados de los incisos. ¿Cuál es el enunciado que no dijo hoy?
(a) Tengo la misma cantidad de amigas que de amigos.
(b) Soy amigo de una cantidad prima de personas.
(c) Mi nombre es Luis.
(d) Siempre digo la verdad.
(e) Soy amigo de tres personas más altas que yo.
12. Cinco enteros se escriben en cı́rculo de forma que no haya dos o tres números consecutivos cuya suma sea múltiplo de tres. ¿Cuántos de esos cinco números son divisibles entre
tres?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) imposible de determinar
13. Mónica salió a correr durante dos horas. Su recorrido empezó en un terreno plano
donde su velocidad fue de 4 Km/h y siguió con un terreno inclinado donde su velocidad fue
de 3 Km/h. Regresando por el mismo lugar, la velocidad en la parte inclinada fue de 6 km/h
mientras que la velocidad en la parte plana fue de 4 Km/h. ¿Cuál es la distancia total (ida
y vuelta) que recorrió Mónica?
(a) imposible de determinar
(b) 6 Km
(c) 7.5 Km
(d) 8 Km
(e) 10 Km
14. El cuadrado de la figura se va llenando con números según se muestra. ¿Cuál de los
siguientes números NO puede ser x?
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x
10
4 9
3 5 8
1 2 6 7
(a) 128
15. Si
(a)
7
12
a
b
(b) 256
=
1
9
y
b
c
(c) 81
= 31 , ¿a qué es igual
(b)
25
8
(d) 121
(e) 400
b−a
?
c−b
(c)
4
1
(d)
4
9
(e)
3
10
16. El área del cuadrado de la figura es a y el área de cada uno de los cı́rculos es b.
¿Cuánto vale el área encerrada dentro de la lı́nea gruesa?
(a) 3b
(b) a + b
(c)a + 2b
(d) 3a
(e) 2a + b
17. En la figura se muestra un rectángulo ABCD de 6×3. Sabiendo que el área sombreada
es el doble del área del triángulo EBF , ¿cuánto mide EF ?
A...............................................................................................................................................................B
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D
E
F
C
(a) 3.6
(b) 3.8
(c) 4
(d) 4.2
(e) 4.4
18. En un examen de matemáticas que tenı́a 10 preguntas se daban 5 puntos por cada
respuesta correcta y se quitaban 3 puntos por cada error. Todos los alumnos respondieron
todas las preguntas. Si Javier obtuvo 34 puntos, Daniel obtuvo 10 puntos y César obtuvo 2
puntos, ¿cuántas respuestas correctas tuvieron entre los tres?
(a) 13
(b)15
(c) 17
(d) 18
(e) 21
19. Ana, Nacho y José están jugando cartas. En cada juego el ganador obtiene tres puntos,
el que queda en segundo lugar obtiene un punto y el perdedor no obtiene ninguno (nunca
hay empates). Después de cuatro juegos Ana tiene cinco puntos y Nacho tiene cuatro puntos.
¿Cuántos juegos ganó José?
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
20. ¿Cuántos números n satisfacen al mismo tiempo las 5 condiciones siguientes?
n es par,
n deja residuo 1 al dividirlo entre 5,
n es múltiplo de 7,
n es más pequeño que 1000,
la suma de los dı́gitos de n es 23.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
21. ¿Cuántos enteros positivos n cumplen que al dividir 399 entre n queda 14 de residuo?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
22. En la figura, ABCD es un rectángulo, P , Q, R y S son los puntos medios de sus
lados y T es el punto medio del segmento RS. Si el área de ABCD es 1, ¿cuál es el área del
triángulo P QT ?
(a)
5
16
(b)
3
8
(c)
1
5
(d)
1
6
(e)
1
4
23. Yola, Tino, David, Georgina y Quique están sentados alrededor de una mesa circular
de forma que la distancia entre cada dos vecinos es distinta. Cada uno dice en voz alta el
nombre de su vecino más cercano. Si el nombre de Yola y Tino se escuchó dos veces y el de
David una vez, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
(a) Yola y Tino no son vecinos.
(b) Georgina y Quique no son vecinos.
(c) Georgina y Quique son vecinos.
(d) La situación descrita es imposible.
(e) Ninguna de las anteriores es verdadera.
24. Las casillas de una cuadrı́cula de 2002 × 2002 están numeradas con 1, 2, 3 y 4 de
acuerdo al patrón que se muestra en la figura. Una ficha se pone en la casilla de la esquina
izquierda superior. A cada paso la ficha puede moverse a una casilla vecina que esté abajo
o a la derecha. Después de 2002 pasos, ¿qué número tendrála casilla sobre la que estarála
ficha?
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(a) 3
1
2
3
4
1
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
2
3
4
1
2
1
2
3
4
1
(b) 1 o 3
(c) 2 o 3
(d) 3 o 4
(e) cualquiera
25. En mi cocina tengo un barril lleno de vino con capacidad de 64 litros. Se reemplazan 16
litros de vino con 16 litros de agua y se revuelve hasta obtener una mezcla uniforme. Después
se reemplazan 16 litros de la mezcla con 16 litros de agua y se revuelve bien. ¿Cuántos litros
de vino quedan en el barril?
(a) 16
(b) 24
(c) 27
(d) 36
(e) 40
26. El rectángulo de la figura estáformado por 6 cuadrados. La longitud de cada uno de
los lados del cuadrado pequeño es 1 cm. ¿Cuál es la longitud del lado del mayor de los 6
cuadrados?
(a) 4 cm
(b) 5 cm
(c) 6 cm
(d) 7 cm
(e) 8 cm
27. El producto de las edades de mis hijos es 1664. La edad del más grande es el doble
que la del más pequeño. ¿Cuántos hijos tengo?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
(e) 6
28. En la figura, BC || AE y BD || CE. Sea x el área del cuadrilátero ABCD y sea y el
área del triángulo ACE. ¿Cómo se comparan x y y?
B
C
A
E
D
(a) x = y
(b) x > y
(c) x < y
(d) depende de cuál es mayor entre AD y BC
(e) imposible determinarlo
29. En la división de 999 entre n, donde n es un entero de dos cifras, el residuo es 3.
¿Cuál es el residuo de la división de 2001 entre n?
(a) 3
(b) 5
(c) 6
(d) 7
(e) 9
30. En cada cuadradito del dibujo debe escribirse un número de tal manera que en
cada renglón, en cada columna y en las dos diagonales haya progresiones aritméticas (una
progresión aritmética es aquélla que en cada paso incrementa la misma cantidad, como por
ejemplo: 3, 7, 11, 15, 19, . . .). Se han escrito algunos números. ¿Qué número debe ir en lugar
de x?
21
16
27
x
(a) 49
(b) 42
(c) 33
(d) 28
(e) 4
31. En la figura los semicı́rculos son tangentes entre sı́. Si A es el área del cuadrado y B
es la suma de las áreas de los 6 semicı́rculos, ¿cuánto vale A − B?
4
(a) 8
√ (b) 16 − 3π
(d) 16 − 8π + 2 5π
(c) 16√− 4π
(e) 16 − 4π + 5π
32. ¿Para cuántos valores positivos del entero n, el número
(a) 0
(b) 1
(c) 4
(d) 6
16(n+1)
n−1
es también entero?
(e) 16
33. En el triángulo ABC un punto D se encuentra sobre el lado BC y un punto E
estásobre el lado AC. Si el área de ABC es 5 y las áreas de ABD y BEC son ambas 4, ¿cuál
es el área de BDE?
A
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•
B
(a) 3
(b)
•
D
16
5
(c)
9
4
•
C
(d) 2
(e)
5
2
34. Si 2x+1 + 2x = 3y+2 − 3y , donde x y y son enteros, ¿cuál es el valor de x?
(a) 0
(b) 3
(c) -1
(d) 1
(e) log2 (3)
35. Manuel tiene 2003 tarjetas numeradas del 1 al 2003 y colocadas en orden de menor
a mayor en una pila. Sin mirar, Manuel quita paquetes de tres tarjetas consecutivas hasta
que sólo quedan 2 tarjetas. ¿Cuál de los siguientes no puede ser el número de una de las dos
tarjetas restantes?
(a) 1000
(b) 1001
(c) 1002
(d) 1003
(e) 1004
36. En un campeonato de futbol habı́a 4 equipos; cada equipo jugó contra todos los demás
una vez. En cada partido el equipo ganador obtuvo 3 puntos y el perdedor 0; en caso de
empate cada equipo obtuvo 1 punto. La puntuación total final fue: 7 puntos para el equipo
A, 4 puntos para el equipo B, 3 puntos para el equipo C y 3 puntos para el equipo D. ¿Cuál
fue el resultado del partido de A contra D?
(a) A ganó
(b) D ganó
(c) empataron
(d) depende del resultado de A contra C
(e) depende del resultado de A contra B
37. Los ángulos en las esquinas de la estrella son los marcados. ¿Cuánto vale x?
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x
45o
60o
15o
25o
(a) depende de la estrella
(b) 15o
(c) 25o
(d) 30o
(e) 35o
38. Si la suma de todos los números que pueden formarse revolviendo tres enteros distintos
a, b y c entre 1 y 9 es 1554, ¿cuál es el menor de estos números?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 5
(e) 7
39. Dos lados de un triángulo acutángulo y la altura sobre el tercer lado tienen longitudes
12, 13 y 15 (tal vez no en ese orden). ¿Cuál es el área del triángulo?
(a) 168
(b) 156
(c) 80
(d) 84
(e) no se puede saber
40. Un paralelogramo está dividido en 4 triángulos como se muestra en la figura. Sólo
una de las siguientes opciones dice los valores que pueden tener las áreas de los triángulos.
¿Cuál es?
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(a) 4, 5, 8, 9
(d) 11, 13, 15, 16
(b) 5, 6, 7, 12
(c) 10, 11, 12, 19
(e) ninguna de las anteriores es posible