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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Clave-101-1-V-1-00-2015
CURSO
SEMESTRE
CÓDIGO DEL CURSO
MatemáticaBásica 1
Primero
101
TIPO DE EXAMEN
Primer Examen Parcial
FECHA DE EXAMEN
18 De Febrero De 2015
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
RESOLVIÓ EL EXAMEN
Javier López
NOMBRE DE LA PERSONA QUE
REVISO EL EXAMEN
Ing. Mario de León
Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Ingeniería
Departamento de Matemática
Jornada matutina
Matemática Básica 1
Temario F
Guatemala 18 de febrero de 2015
Primer examen parcial
Tema 1 (25 puntos)
Determinar el valor del área sombreada:
Tema 2 (30 puntos)
Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)
2
3
2
2
1
1
2
4
6
3
6
Tema 3 (25 puntos)
Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva:
es
centímetros mayor que su altura y
√5
6
Tema 4 (20 puntos)
Un vitral se va a construir con vidrio de 3
colores (blanco, rojo y azul) en una ventana
circular de 6 metros de radio, colocando un
rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la
base. Calcule los metros cuadrados de cada
color de vidrio que tendrá que comprar para
diseñar el vitral, como se observa en la figura.
7
1
La diagonal de un rectángulo
centímetros mayor que su base.
dimensiones del rectángulo.
√3
Determinar las
SOLUCIÓN DE EXAMEN
Tema 1 (25 puntos)
Determinar el valor del área sombreada:
! "#$
&
Determinar la altura del triángulo.
'
'
'
'
! %
(8
'
√64
√48
&
(4
16
√16 ∗ 3
4√3 ) 6.93
Encontrar las dimensiones del triángulo sombreado utilizando triángulos semejantes para
determinar
4
4√ 3
8
4 ∗ 4√3
8
16 ∗ √3
8
4
√
4
8
4∗4
8
4∗4
8
,
Paso 3. Con las dimensiones encontradas en el paso anterior encontrar
! %! - . /012#
1
∗
2
1
∗
2
∗
∗'
1
∗
2
∗
1
∗ (2 ∗ (2√3
2
1
∗ (2 ∗ (2√3
2
Paso 4. Encontrar
2√3
restando el área del sector circular al triangulo.
! %! - . /012#
! %! - . /012#
! %! - . /012#
1
∗
2
1
∗ 4 ∗ 4√3
2
1
∗ 4 ∗ 4√3
2
3456 75 8496:;<=>
! %!2 &! -#
∗'
?√
1
∗
2
. 12
∗@
El Angulo"@"se obtiene, el triángulo cumple con los ángulos30° 60° 90° , donde la hipotenusa
tiene una longitud 2, siendo ésta 8 unidades, la base 2/2, siendo 4 unidades, y la hipotenusa es
√E
2, siendo 4√3.
! %!2 &! -#
! %!2 &! -#
! %!2 &! -#
@
(F ∗
360
. 12
60
(F ∗ 4
360
. 12
1
(F ∗ 16
6
. 12
3456 75= G5H8>4 H94H<=64
3
3456 75 8496:;<=>
3
?√
?
I
3456 75= G5H8>4 H94H<=64
3G
?
I
√
&
J?√
?
IK ) ?. LM
Tema 2 (30 puntos)
Resolver la desigualdad a) y las ecuaciones b) y c)
2
3
2
2
1
1
2
4
6
2
3(2
1
(2
2 (2
3
6
,
2
3
1
2
,
N
1
N
0
1(2
2
(2
1 (2
1
2
3(2
(2
1
1(2
2
1 (2
2
0
3(2
(2
1
1(2
2
1 (2
2
0
6
(2
3 2
1 (2
2
2
(2
4
5
1 (2
2
4
0
Encontrando los puntos críticos del Numerador
,
5
O
M
Encontrando los puntos críticos del denominador
2
2
,
,
1
2
N
N
0
0
√5
6
0
0
0
6
√3
7
1
Reescribiendo los posibles intervalos de la solución
5
5 1
1
, 1K , (1, ∞
S,T Q,Q K,J
4
4 2
2
( ∞Q, Q
4
2
2
5
S
4
( ∞Q, Q
Factor/Intervalo
5
1
2
-
Signo
5Q Q 1
,
K,
4 2
+
+
T
1
, 1K
2
+
+
-
J
(1, ∞
+
+
+
+
La solución de la desigualdad se encuentra en los intervalos
OQ Q N
,
K U(N, ∞
M
T
V
W
M
2
X W
4
2
6
6
[
[
[
6
6
3
E
3
2
2
3
3
3
3 Z
Y3
12
4
9(
3
13
12
4
9
27
13
[
6
13
E
E
XW
3
3
3
(
W
6
12
E
4
4
15
9
27
4
0
0
\
]
4
1
±1, ±2, ±4
±1
±1,
±2,
±4
Utilizando división sintética para obtener las raíces del polinomio
1
-6
1
4
-5
15
-1
4
14
1
-5
-1
14
18
1
1 no es solución
1
-6
-1
4
7
15
-11
4
-4
1
-7
11
4
0
-1
-1 es solución
Reescribiendo el polinomio
E
7
11
4
0
1
-7
4
11
-12
4
-4
1
-3
-1
0
4
4 es solución
Reescribiendo el polinomio
3
1
0
Se utiliza la formula cuadrática para determinar las raíces restantes
E,[
( 3 ± ( 3
2(1
,N
,
,M
,
_√N
`√N
4(1 ( 1
3 ± √13
2
N
M
)3.30278
)-0.302776
H √O,
X
√5
(5
(5
8
2 (5
2 (5
Y (5
15
(
√O ∗ NM
7
7
6 ∗ (3
6 ∗ (3
6 ∗ (3
6 (3
1
7
16
17
42
16
3 (
14
0
17
,N
,
X
?
42
NM
√ ∗ NM
?
7
7
1
0
8
4
7
7
(3
(3
7
7 Z
N
1
6 ∗ (3
6 ∗ (3
(5
7
a
7
6 ∗ (3
2 (5
(5
Comprobación
√3
6 ∗ √3
2 (5
1
√3
6
2√5
6
8
6
√5
6
√ ,
16
0
a
N
14 si cumple con la igualdad
√O ∗
X
√ ∗
≠O
a
N
3no cumple con la igualdad
7
1
1
Tema 3 (25 puntos)
Por medio del planteo y resolución de una ecuación resuelva:
es
centímetros mayor que su altura y
La diagonal de un rectángulo
centímetros mayor que su base.
dimensiones del rectángulo.
,
0
2
,
( 28
2
2(2
( 28
( 28
2(2
2
c
d
2
14
28
O
K
J,
81
4
9
2
( 28
L
K
J,
81
14
14
53
5
4
53
2
53
2
0
V ± √V
6
M6H
4(2 (53
28
4(2 (53
28
Dimensiones
NN. aM MNX
NN. aM MNX
L
O
25
25
4
√360
) 11.743416
743416
4
√360
) 2.25658351
25658351
4
) a. M MNX
) L. M MNX
Determinar las
Tema 4 (20 puntos)
Un vitral se va a construir con vidrio de 3
colores (blanco, rojo y azul) en una ventana
circular de 3 metros de radio, colocando un
rectángulo inscrito cuya altura es el doble de la
base. Calcule los metros cuadrados de cada
color de vidrio que tendrá que comprar para
diseñar el vitral,
l, como se observa en la figura.
(2
5
e
144
5
4
√5
√5
144
144
144
144
5
∗e
144
5
12
∗ √5
5
Area Vidrio Rojo
3fghigj ijkj
N
3fghigj ijkj
∗'
N 12 ∗ √5
12 ∗ √5
∗l m
n∗m
no
5
5
144 ∗ 5
J
K
25
3fghigj ijkj
NMM
O
Area Vidrio Azul
3fghigj ijkj
∗'
N 12 ∗ √5
12 ∗ √5
∗l m
n∗m
no
5
5
3fghigj ijkj
3fghigj tspuvj
N
3fghigj pqrs
144 ∗ 5
J
K
25
Area Vidrio Blanco
I∗4
3fghigj tspuvj
3fghigj pqrs
I ∗ (X
3fghigj tspuvj
3fghigj tspuvj
XI
NMM
O
3fghigj ijkj
NMM
O
??
O
OO. MLa
NMM
O
O