materia23 - Preuniversitario Derecho a la U

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 22
UNIDAD: GEOMETRÍA
GEOMETRÍA PROPORCIONAL I
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos, se dirán semejantes, cuando los ángulos de uno de ellos sean, respectivamente,
congruentes con los ángulos del otro o también cuando, tengan sus lados homólogos
proporcionales.
C
R
ABC  PQR si y solo si
A  P, B  Q, C  R
y
AB
BC
CA
=
=
PQ
QR
RP
A
B
P
Q
OBSERVACIONES
Esta definición establece la idea de similitud de forma: es decir, dos triángulos son
semejantes, si y sólo si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.
 Dos polígonos de un mismo número de lados, se dirán semejantes, cuando los ángulos de
uno de ellos sean respectivamente congruentes con los ángulos del otro y cuando además,
tengan sus lados homólogos proporcionales.
 La congruencia es un caso particular de semejanza.

EJEMPLOS
1.
Si en la figura 1, ABC  A’B’C’, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdaderas?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2.
A’B’ = 6
A’C’ = 12
’ = 3
Sólo I
Sólo III
Sólo I y II
Sólo II y III
I, II y III
C’
C
fig. 1
4

A
9
3
2
B
’
A’
B’
Dos triángulos isósceles son semejantes. Si la base de uno de ellos mide 10 cm y un lado
no basal mide 20 cm, ¿cuál es la medida del lado mayor del otro si su base mide 15 cm?
A)
B)
C)
D)
E)
30
40
50
60
70
cm
cm
cm
cm
cm
1
3.
En la figura 2, si ABE  BCD, y los puntos A, B y C son colineales entonces, AC mide
A)
B)
C)
D)
E)
4.
14
15
18
20
25
A
B
2x + 1
fig. 2
C
9x + 2
¿Cuáles de los siguientes triángulos, son semejantes entre sí?
II)
III)
40°
40°
140°
100°
A)
B)
C)
D)
E)
140°
60°
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
Ninguno de ellos
El triángulo ABC de la figura 3, es isósceles y rectángulo en C. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
12
3
I)
5.
D
E
ACD  ABC
BCD  BAC
ADC  ACB
C
fig. 3
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
A
Son polígonos semejantes:
I)
II)
III)
Dos rectángulos.
Dos triángulos equiláteros.
Dos pentágonos regulares.
De las afirmaciones anteriores es (son) siempre verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
2
D
B
TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Para establecer la semejanza entre dos triángulos no es necesario verificar cada una de las
seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas
provocan necesariamente la ocurrencia de las otras restantes.
TEOREMA 1 (TEOREMA FUNDAMENTAL) (AA)
Para que dos triángulos sean semejantes, dos ángulos de uno de ellos deben ser congruentes
con dos ángulos del otro.
O sea, en la figura 1:
C
R
Si A  P y B  Q
fig. 1
entonces
ABC  PQR
A
COROLARIO 1
B
Q
P
Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero.
O sea, en la figura 2:
C
Si DE // AB ,
entonces
CDE  CAB
fig. 2
E
D
COROLARIO 2
A
B
Al trazar en el interior de un triángulo ABC un segmento ED, no paralelo al lado de AB, de tal
forma que EDC  BAC, entonces el EDC es semejante con el ABC.
C
O sea, en la figura 3:
fig. 3
Si EDC ≅ CAB,
D
entonces
CDE  CAB
E
A
COROLARIO 3
B
Si se prolongan dos lados de un triángulo y se traza una paralela al otro lado, se determina un
nuevo triángulo semejante al primero.
D
E
O sea, en la figura 4:
Si DE // AB ,
entonces
CDE  CBA
fig. 4
C
A
3
B
EJEMPLOS
1.
En la figura 5, los puntos D, E y F son puntos medios de los lados CA , CB y AB ,
respectivamente. ¿Cuál de los siguientes triángulos, no es semejante con el DEC en ese
orden?
C
A)
B)
C)
D)
E)
fig. 5
AFD
EDF
FBE
ABC
EFD
D
3
F
A
2.
B
¿En cuál(es) de las siguientes situaciones los triángulos ABC y ADE son semejantes?
I)
II)
III)
C
A)
B)
C)
D)
E)
E
50º
A
50º
100º
A
B
C
D
E
3.
E
D
80º
B
A
E
50º
50º
B
C
D
Sólo en I
Sólo en II
Sólo en I y en II
Sólo en I y en III
En I, en II y en III
Si el triángulo escaleno de la figura 6 es rectángulo en C y CD es altura, entonces ¿cuál de
las siguientes afirmaciones es verdadera?
C
A) ADC  DCB
fig. 6
B) DBC  CAD
C) DCB  DBC
D) ACD  ABC
A
E) CDB  ABC
4
D
B
4.
En la figura 7, PQ // MN . Si PM mide el triple de RP , ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I)
II)
III)
Los triángulos PQR y MNR son semejantes.
PQ
1
=
MN
4
RQ
1
=
RN
3
R
P
fig. 7
Q
M
A)
B)
C)
D)
E)
5.
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
Si en la figura 8, ABC  EDC , entonces la medida de CB es
A)
B)
C)
D)
E)
C
3
4
5
8
10
3
5
fig. 8
E
D
4
8
A
6.
N
B
En la figura 9, PQ // MN . Si MN = 2 · PQ, PR = 6 y QR = 8, ¿cuánto mide MR ?
A)
3
B)
4
C)
6
D) 12
E) 16
P
Q
R
M
5
fig. 9
N
TEOREMA 2 (LAL)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan un ángulo congruente comprendido entre
dos lados proporcionales.
R
O sea, en la figura 1:
C
Si A  P y
b
AC
AB
=
, entonces ABC  PQR
PR
PQ
B
c
A
fig. 1
k·b
P
Q
k·c
TEOREMA 3 (LLL)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan sus lados proporcionales.
C
O sea, en la figura 2:
R
Si
k·q
AB
BC
CA
=
=
, entonces ABC  PQR
PQ
QR
RP
k·p
A
q
P
B
k·r
p
fig. 2
Q
r
TEOREMA 4 (LLA>)
Para que dos triángulos sean semejantes, basta que tengan dos de sus lados respectivamente
proporcionales, y los ángulos opuestos a los mayores de estos lados, congruentes.
O sea, en la figura 3:
C
R
AB > AC
Si C  R y
AC
AB
=
,
PR
PQ
AB > AC,
Entonces ABC  PQR
k·q
q
>AC
PQ>PR
A
PQ > PR
B
k·r
fig. 3
>AC
PQ>PR
r
P
Q
EJEMPLOS
1.
Los triángulos de la figura 4, son semejantes según el teorema
A)
B)
C)
D)
E)
AA
LAL
LLA >
LLL
AAA
U

R
6
4
8
6
12


P
fig. 4

Q
S
16
T
2.
¿Cuáles de los siguientes triángulos son semejantes entre si?
I)
II)
III)
6
20°
40°
6
A)
B)
C)
D)
E)
3.
80°
12
80°
12
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
I, II y III
No hay triángulos semejantes.
Si en los triángulos de la figura 5,
semejantes si:
RP
PQ
=
= 1,5, entonces los triángulos PQR y ZYW son
WZ
ZY
Z
III) R  W
A)
B)
C)
D)
E)
4.
R
Y
I) QR : WY = 3 : 2
II) P  Z
Q
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
W
fig. 5
P
¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo escaleno de la
figura 6?
a
b
fig. 6
c
I)
II)
1,3 a
1,3 b
III)
2a + 4
2b + 4
1,3 c
A)
B)
C)
D)
E)
2c + 4
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
I, II y III
7
a
2
b
2
c
2
5.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones permiten deducir que el triángulo ABC es
semejante en ese orden con el triángulo KLM de la figura 7?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Con
Con
Con
Con
Con
KL = 8
ML = 12
CBA  MLK
sólo I
sólo II
I y II
I y III
II y III
C
M
fig. 7
3
6
A
6
B
4
K
L
Según los datos de la figura 8, ¿cuál es la medida de PQ ?
A)
B)
C)
D)
E)
12
18
24
27
54
A
C
36
R
70°
20
18
9
10
70°
B
8
P
Q
fig. 8
TEOREMA 5
En triángulos semejantes, dos lados homólogos están en la misma razón que dos trazos
homólogos cualesquiera y también están en la misma razón que sus perímetros (fig. 1).
C
C’
b
t
h
Perímetro ABC
= c = a =
= ....
b'
tc'
ha'
Perímetro A'B'C'
b
tc
a
tc’
b’
fig. 1
a’
ha’
ha
c
A
A’
B
c’
B’
TEOREMA 6
Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en
que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera (fig. 1).
ΔA'B'C'
ΔABC
2
2
2
t 
h 
Área
b
=   =  c  =  a  = ....
Área
 b' 
 t c' 
 ha' 
OBSERVACIÓN:
Estos teoremas también son válidos en polígonos semejantes .
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, ABC  A’B’C’. Si AB : A’B’=1 : 2, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
C’
A)
B)
C)
D)
E)
Área ABC : Área A’B’C’ =1 : 2
tc : tc’ = 2 : 1
hc : hc’ = 1 : 1
CA : C’A’= 1 : 4
a : a’ = 1 : 2
fig. 2
C
tc
hc
A
2.
hc’
a
B
a’
tc’
A’
B’
Los lados de dos pentágonos regulares están en la razón 3:7. Entonces, la razón de sus
áreas es
A) 3
B) 6
C) 9
D) 9
E) 12
:
:
:
:
:
7
14
28
49
49
9
3.
En la figura 3, el trazo DE // AC y el perímetro del DBE es 12 cm. ¿Cuál es el perímetro
del ABC?
C
A)
B)
C)
D)
E)
30
32
33
36
48
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 3
E
D
A
B
4
12
4.
En la figura 4, ABC  PQR, los perímetros respectivos, están en la razón 3 : 1 y
AD = 12 cm, entonces PS mide
C
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
5.
cm
cm
cm
cm
cm
fig. 4
R
D
40°
A
B
S
40°
P
Q
Las alturas homólogas de dos triángulos semejantes miden 4 2 y 10 2 . Entonces, la
razón de sus perímetros, respectivamente, es
A) 16 : 10
B) 10 : 4
C) 4 : 2
D)
E)
6.
2: 2
2: 5
En la figura 5, el área del ABC es 48 cm2. Si DE // BC , ¿cuál es el área del ADE?
E
A) 120 cm2
B) 108 cm2
C) 72 cm2
D) 52 cm2
E)
48 cm2
fig. 5
C
15
10
A
10
B
D
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas se cortan por tres o más paralelas, los segmentos determinados en una de ellas
son, respectivamente, proporcionales a los segmentos determinados en la otra.
En la figura 1, L1 y L2 son rectas y AD // BE // CF
A
Entonces:
AB
DE
=
BC
EF
D
B
E
fig. 1
F
C
L2
L1
EJEMPLOS
1.
En la figura 2, L1 // L2 // L3, entonces x mide
A) 5,4
B) 6,0
C) 8,0
D) 13,5
E) 15,0
L1
fig. 2
12
9
20
L2
x
L3
2.
Si en la figura 3, L1 // L2 // L3, entonces x – y =
A)
B)
C)
D)
E)
8
10
12
16
18
L1
12
6
4
y
x
L2
L3
11
12
fig. 3
3.
¿En cuál(es) de las siguientes figuras se cumple que L 1 // L2?
I)
II)
III)
6
4
L1
A)
B)
C)
D)
E)
4.
18
L2
4
12
L3
L1
L2
L1
L2
L3
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
En el trapecio ABCD, de bases AB y DC , de la figura 4, ¿cuál es el valor de x?
A)
B)
C)
D)
E)
D
10
12
18
24
30
C
x+6
x+2
fig. 4
9
12
B
A
5.
12
6
6
12
8
4
18
En la figura 5, FG // DE // AB y FD: FA = 3 : 5, entonces es correcto afirmar que
C
A)
B)
C)
D)
E)
CF : FG = 3 : 5
DE : AB = 3 : 5
CD : DE = 3 : 5
GE : EB = 3 : 2
ninguna de las opciones anteriores.
F
D
A
6.
fig. 5
G
E
B
En el PQR de la figura 6, ST // PQ . Si RT : TQ = 3 : 5 y PQ = 12 cm, entonces ST
mide
R
fig. 6
A) 7,2 cm
B) 4,5 cm
S
T
C) 4 cm
D) 2 cm
E) 1,25 cm
Q
P
12
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo la bisectriz de un ángulo interior corta al lado opuesto en la misma razón que
los lados adyacentes
C
fig. 6
AD
AC
=
DB
CB
CD es bisectriz
D
A
B
EJEMPLOS
1.
En el triángulo ABC de la figura 1, AD es bisectriz. Si AC : AB = 3 : 4, entonces BD : DC =
C
A)
B)
C)
D)
E)
3
3
4
4
7
:
:
:
:
:
4
7
3
7
4
fig. 1
D
A
2.
B
En el triángulo ABC de la figura 2, CD es bisectriz del ángulo ACB, AC = 2, AD = 4,
y CB = 6. ¿Cuál es la medida de DB ?
C
A)
4
B)
6
C) 12
D) 18
E) 20
3.
fig. 2
A
D
B
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura 3, los catetos a y b miden 21 y 28,
respectivamente. Si CD es bisectriz del ángulo recto entonces las medidas de m y n son
C
A)
6 y 8
B)
6 y 9
C)
8 y 12
D) 12 y 15
E) 20 y 15
b
A
13
m
fig. 3
a
D
n
B
HOMOTECIA
Es una transformación que a partir de un punto fijo (centro de homotecia) multiplica todas las
distancias por un mismo factor (razón de homotecia). Es decir, al aplicar una homotecia de
centro O y razón k a un punto P cualquiera, se obtiene otro punto P’, tal que P, O y P’ son
colineales y OP’ = k · OP
En la figura 1, si O es centro de homotecia y k es la razón de homotecia
C’
OA'
OB'
OC'
=
=
=k
OA
OB
OC
C
B
O
entonces
B’
ABC  A’B’C’
A
fig. 1
A’
OBSERVACIONES
La homotecia permite ampliar o reducir figuras, manteniendo la forma.
Al aplicar una homotecia se obtiene una figura semejante a la original, por lo tanto, se
cumplen todas las propiedades de las figuras semejantes.
 Si k > 1 implica una ampliación de la figura, si k < 1 implica una reducción de la figura.
 Al aplicar una homotecia de razón negativa se obtiene una imagen invertida de la figura
original.


EJEMPLOS
1.
Dado un hexágono de perímetro 36 cm. si se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1,
entonces el perímetro del nuevo hexágono es
A)
9
B) 18
C) 36
D) 72
E) 108
2.
cm
cm
cm
cm
cm
Dado un pentágono de área 108 cm 2. Al cual se le aplica una homotecia de razón
k = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es
A)
9 cm2
B) 12 cm2
C) 36 cm2
D) 324 cm2
E) 972 cm2
14
3.
Dado el ABC al cual se le aplica una homotecia con centro en P y razón k = -1 : 2, y se
obtiene el A’B’C’. La figura que mejor representa esta transformación corresponde a
C
A)
A
B)
A
B
P
B’
A’
C
B
A
B
C’
C)
C
P
B’
A’
B’
C’
C’
P
D)
P
E)
C
B
A
P
C
C’
A
B
C’
B’
A’
A’
B’
RESPUESTAS
Ejemplos
1
2
3
4
5
6
1y2
C
A
E
B
E
D
4y5
E
C
D
C
E
E
6, 7 y 8
B
B
D
D
C
B
9 y 10
E
D
D
B
E
B
11 y 12
B
B
D
A
D
B
13
C
C
E
14 y 15
D
B
B
Págs.
A’
15