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Capı́tulo 20
Guı́as de Onda
A partir de las ecuaciones de Maxwell discutimos primeramente el comportamiento de las
ondas electromagnéticas en el espacio libre (en medios dieléctricos y conductores). Posteriormente vimos como es posible guiar ondas entre dos conductores paralelos, y estudiamos las
ecuaciones fundamentales de la lı́nea de transmisión. Ahora veremos un fenómeno interesante
que ocurre a altas frecuencias, y es que si uno de los conductores es removido, los campos
igualmente se propagan. Es decir, a frecuencias suficientemente altas un tubo metálico hueco
sirve tan bien como uno con cables. Esto en realidad nos es muy familiar, todos sabemos que
ciertas ondas electromagnéticas se propagan en un tubo hueco (Nosotros vemos luz a través
de un tubo!). Pero no es posible transmitir ondas de baja frecuencia (por ejemplo una señal
de teléfono) a través de un único tubo metálico. Nos resultará de particular interés entonces
determinar la máxima longitud de onda (o mı́nima frecuencia) que debe tener una onda para
que se pueda propagar por una guı́a de onda de determinadas dimensiones
En la figura se ilustra una guı́a de onda rectangular
613
20.1.
Propagación de ondas entre placas paralelas
Veamos el caso de la propagación de ondas electromagnéticas en una región confinada por
dos planos conductores, ubicados en x = 0 y x = a, como se muestra en la siguiente figura
En la región interior a las placas (dieléctrico lineal, homogéneo e isotrópico) los campos
deben satisfacer las ecuaciones de Maxwell sin fuentes
~ · E(~
~ x, t) = 0
∇
~ × E(~
~ x, t) + ∂ B(~
~ x, t) = 0
∇
∂t
~ · B(~
~ x, t) = 0
∇
~ x, t)
~ × B(~
~ x, t) = µ ∂ E(~
∇
∂t
Recordemos que ambos campos satisfacen la ecuación de onda, y la deducción es muy simple
al considerar la siguiente identidad
~ ×∇
~ × E(~
~ x, t) = ∇
~ ∇
~ · E(~
~ x, t) − ∇
~ 2 E(~
~ x, t)
∇
ante la ausencia de fuentes el campo eléctrico es de divergencia nula, luego
∂ ~
2~
~
~
~
~
~
B(~x, t)
∇ × ∇ × E(~x, t) = −∇ E(~x, t) = −∇ ×
∂t
2
~ x, t) = ∂ ∇
~ x, t)
~ 2 E(~
~ × B(~
~ x, t) = µ ∂ E(~
∇
∂t
∂t2
el mismo procedimiento es análogo para el campo magnético y se obtiene la conocida
ecuación de onda para los campos
2
~ 2 E(~
~ x, t) − µ ∂ E(~
~ x, t) = 0
∇
∂t2
2
~ x, t) − µ ∂ B(~
~ x, t) = 0
~ 2 B(~
∇
∂t2
Al igual que antes, utilizaremos el método de separación de variables y supondremos que
los campos tienen una dependencia armónica en el tiempo, de la forma
614
~ x, t) = E(~
~ x)eiwt
E(~
~ x, t) = B(~
~ x)eiwt
E(~
Ası́, la parte espacial de los campos satisface la ecuación de Helmhotz
~ x) + µw2 E(~
~ x) = 0
~ 2 E(~
∇
~ 2 B(~
~ x) + µw2 B(~
~ x) = 0
∇
Supongamos que la dependencia en z (que será la dirección de propagación) es, al igual que
para las ondas planas, de la forma
~ x) = E(x,
~
E(~
y)e−γz
donde γ es un número complejo de la forma γ = α + iβ. Con esto estamos diciendo que los
campos tendrán la forma
~ x, t) = E(x,
~
~
E(~
y)e−αz−iβ eiwt = E(x,
y)e−αz ei(wt−βz)
~
~ x, t) = B(x,
~
y)e−αz ei(wt−βz)
B(~
y)e−αz−iβ eiwt = B(x,
que son efectivamente ondas que se propagan en la dirección z. Notemos además que el espacio
confinado entre las placas es de extensión infinita en la dirección y, lo que implica una clara
simetrı́a de los campos, que deben ser totalmente independientes de la coordenada y, de esta
forma
−γz
~ x) = E(x)e
~
E(~
−γz
~ x) = B(x)e
~
B(~
En el caso más general posible, se tendrá
~
E(x)
= Ex (x)î + Ey (x)ĵ + Ez (x)k̂
~
E(x)
= Bx (x)î + By (x)ĵ + Bz (x)k̂
En términos de sus componentes, las ecuaciones rotacionales equivalen a
∂Ez ∂Ey
∂Bz ∂By
−
= iwµEx ,
−
= −iwBx
∂y
∂z
∂y
∂z
∂Bx ∂Bz
∂Ex ∂Ez
−
= iwµEy ,
−
= −iwBy
∂z
∂x
∂z
∂x
∂Ey ∂Ex
∂By ∂Bx
−
= iwµEz ,
−
= −iwBz
∂x
∂y
∂x
∂y
Reduciendolas para el tipo de ondas que hemos propuesto, se debe resolver el siguiente
sistema
∂2 ~
~ x) + µw2 E(~
~ x) = 0
E(~x) + γ 2 E(~
∂x2
∂2 ~
~ x) + µw2 B(~
~ x) = 0
B(x) + γ 2 B(~
∂x2
γBy = iwµEx , γEy = −iwBx
615
−γBx −
∂Bz
∂Ez
= iwµEy , −γEx −
= −iwBy
∂x
∂x
∂By
∂Ey
= iwµEz ,
= −iwBz
∂x
∂x
De aquı́ podemos despejar
γ
iwµEx = −i
w
Ex =
también
∂Ez
γEx +
∂x
−γ
µw2 + γ 2
∂Ez
∂x
1 ∂Bz
− iwµEy
γEy = −iwBx = −iw
γ ∂x
∂Bz
−iw
Ey =
2
2
γ + w µ ∂x
de la misma forma es posible demostrar
∂
γ
Bz
Bx = − 2
2
γ + w µ ∂x
∂Ez
−iwµ
By =
2
2
γ + w µ ∂x
En resumen, buscamos soluciones de la forma
−γz iwt
~
~
E(~x, t) = E(x)e e = Ex (x)î + Ey (x)ĵ + Ez (x)k̂ e−γz eiwt
−γz iwt
~
~
B(~x, t) = B(x)e e = Bx (x)î + By (x)ĵ + Bz (x)k̂ e−γz eiwt
que satisfacen
616
Notar que salvo un caso muy particular que se discutirá más adelante, es necesaria la existencia de la componente según z de al menos uno de los dos campos. El que los campos puedan
admitir una componente en la dirección de propagación puede resultar algo confuso para alguien que está acostumbrado al caso de las ondas planas como soluciones de las ecuaciones de
Maxwell. Sucede que en dicho caso los campos necesariamente son transversales a la dirección
de propagación, ¿hay alguna inconsistencia? La respuesta es que en este problema las soluciones
serán una superposición de ondas planas, como veremos más adelante
20.1.1.
Ondas Transversales Eléctricas TE
Una onda transversal eléctrica corresponde al caso en que el campo eléctrico no posee una
componente en la dirección de propagación, es decir Ez = 0 ( y entonces, para que los campos
no se anulen en todo el espacio, Bz 6= 0). Se tiene en este caso
Ex = 0, Ey =
Bx = −
−iw ∂Bz
h2 ∂x
γ ∂
Bz , By = 0
h2 ∂x
~ x, t) = Ey (x)ĵe−γz eiwt y
Entonces el campo eléctrico es de la forma E(~
∂2
Ey (x) + h2 Ey (x) = 0
∂x2
Notar que h depende de γ el cual, en general, es un número complejo. Es posible demostrar
(se verá más adelante) que para el caso en que las placas son perfectamente conductoras, γ es
puramente real o puramente imaginario (es decir, h es siempre un número real!), dependiendo
de la frecuencia. Supongamos entonces que el rango de frecuencias (por determinar luego) es
el adecuado para que γ sea puramente imaginario, y entonces las ondas se propagarán sin
atenuación. La solución puede ser escrita en la forma
Ey (x) = A sin hx + B cos hx
la condición de borde de Dirichlet en las placas conductoras requiere
Ey (0) = 0 → B = 0
Ey (a) = A sin ha = 0
esto impone una condición sobre los posibles valores que puede tomar h
h=
mπ
, m = 1, 2, 3, ...
a
Ası́
Ey = A sin
El campo magnético se obtiene de considerar
Ey =
mπ x
a
−iw ∂Bz
dBz
ih2
→
=
Ey
h2 ∂x
dx
w
617
mπ mπ imπ
ih2 a
A cos
x =−
A cos
x
Bz = −
wmπ
a
wa
a
y
mπ γ dBz
iγ
=
−
A
sin
x
h2 dx
w
a
mπ x
Ey = A sin
a
mπ imπ
A cos
x
Bz = −
wa
a
mπ iγ
Bx = − A sin
x
w
a
Bx = −
Finalmente
Cada valor de m define lo que se llama un modo. Ası́, una onda transversal eléctrica asociada
al modo de propagación m es designada como T Em0 . El segundo ı́ndice es nulo pues los campos
no tienen una dependencia en la coordenada y, algo que si ocurrirá cuando estudiemos el caso
de guı́as de onda rectangulares. El menor modo que existe para el caso de placas paralelas
para ondas transversales eléctricas es el T E10 (Si m = 0 los campos se anulan). Finalmente los
campos TE tienen por solución
~ x, t) = A sin mπ x ei(wt−βz) ĵ
E(~
a
mπ mπ
imπ
β
~ x, t) =
A sin
x î −
A cos
x ẑ ei(wt−βz)
B(~
w
a
wa
a
Para ilustrar la forma que adquiere el campo eléctrico en la guı́a, se muestra el campo en
dirección y magnitud en planos con z constante
Campo eléctrico para modo T E10 para distintos valores de z, ambos con t constante
Notar que el campo se anula en las superficies x = 0 y x = a (en este caso a = 10). Además,
la magnitud es modulada por una función sinusoidal en la variable z
618
El siguiente gráfico muestra la magnitud del campo eléctrico en función de z para el modo
T E01
A continuación se ilustra la forma del campo eléctrico para distintos modos
Campo eléctrico para modo T E20 , a la izquierda para un z constante, a la derecha se muestra
la magnitud del campo eléctrico como función de z. Todo esto en un tiempo fijo
Campo eléctrico para modo T E30
619
El campo magnético está contenido en el plano x − z para cualquier y fijo. En las siguientes
figuras se muestra la forma del campo magnético (y su magnitud en color) para distintos modos
de propagación
Campo magnético para modo T E10 (izquierda) y T E20 (derecha). El campo está contenido en
el plano X-Z
Campo magnético para modo T E30 (izquierda) y T E40 (derecha)
20.1.2.
Ondas Transversales Magnéticas
Una onda transversal eléctrica corresponde al caso en que el campo magnético no posee una
componente en la dirección de propagación, es decir Bz = 0 . Se tiene en este caso
γ ∂Ez
, Ey = 0
h2 ∂x
−iwµ ∂Ez
Bx = 0, By =
h2 ∂x
Resolviendo la ecuación de onda para el campo magnético (cuya única componente es según
Ex = −
j)
∂2 ~
~ y (x) = 0
By (x) + h2 B
∂x2
donde
h2 = γ 2 + w2 µ
La solución es de la forma
By (x) = A sin hx + B cos hx
El campo eléctrico según z se relaciona con By según
By =
−iwµ ∂Ez
h2 ∂x
∂Ez
ih2
By =
wµ
∂x
620
de forma que
Ez (x) =
ih
(−A cos hx + B sin hx)
wµ
y éste debe ser nulo en x = 0 y x = a. La primera condición equivale a A = 0, mientras que
la segunda
ih
B sin ha = 0
Ez (a) =
wµ
los posibles valores que puede tomar h están dados por
mπ
, m = 0, 1, 2, ...
a
Ası́, las componentes no nulas de los campos son
mπ x
By = C cos
a
mπ imπC
Ez =
sin
x
waµ
a
mπ βC
cos
x
Ex =
wµ
a
h=
Existen infinitos modos de propagación que estarán determinados por el valor de m, pero
hay que notar que en este caso el modo m = 0 si es posible (los campos no se anulan), lo que
no es posible en el modo TE. En conclusión, los campos para ondas transversales magnéticas
están dados por
mπ mπ βC
imπC
~ x, t) =
E(~
cos
x î +
sin
x ẑ ei(wt−βz)
wµ
a
waµ
a
~ x, t) = C cos mπ x ei(wt−βz) ĵ
B(~
a
621
20.2.
Constante de propagación y frecuencia crı́tica
Tanto las ondas TE y TM se propagan en la dirección z con una velocidad
w
β
además, la relación entre h y γ está dada por
v=
γ=
p
h2 − w2 µ
donde h está limitado en valores discretos dados por
h=
mπ
, m = 0, 1, 2...
a
de esta forma
r
mπ 2
− w2 µ
a
para que la propagación de ondas sea posible, es necesario que γ sea un imaginario puro,
concretamente γ = iβ, lo que ocurre si
mπ 2
< w2 µ
a
es decir
γ=
1 mπ 2
µ a
y la constante de propagación está dada por
r
mπ 2
2
β = w µ −
a
Notar que hay una frecuencia crı́tica dada por
w2 >
1 mπ 2
µ a
la cual es la mı́nima que deben tener los campos para que se puedan propagar a través de
la guı́a. Notar que esta frecuencia crı́tica es mayor mientras más grande es m (modos altos
poseen frecuencias crı́ticas mayores). Para frecuencias menores que wc , γ será un número real
y entonces los campos serán atenuados exponencialmente a lo largo de z y no existirá una
propagación debido a que en este caso β = 0. En definitiva, la frecuencia de corte está dada
por
wc2 =
m
wc
= √
2π
2a µ
La longitud de onda está relacionada con la constante de propagación según
fc =
λ=
y la velocidad de fase
vf =
2π
2π
=q
β
w2 µ −
w
=q
β
w
w2 µ −
622
mπ 2
a
mπ 2
a
20.2.1.
Ondas transversales Electromagnéticas
Es importante notar que para el caso de ondas transversales magnéticas, el mı́nimo valor
de m posible tal que los campos no son nulos es m = 0. En este caso se tendrá
~ x, t) = βC ei(wt−βz) î
E(~
wµ
~ x, t) = Cei(wt−βz) ĵ
B(~
Notar que el campo eléctrico también es transversal! Por este motivo la onda recibe el
nombre de transversal electromagnética (TEM). Este es el tipo de propagación que se da
a lo largo de las lı́neas de transmisión. Se tiene
√
γ = iw µ
√
β = w µ
1
v= √ =c
µ
2π
c
λ= √ =
w µ
f
Se tiene además
r
µEx
β
µ
Ex
=
=
=
Hy
By
w
que corresponde a la impedancia intrı́nseca del medio
20.2.2.
Velocidad de propagación
¿Qué son realmente los modos de propagación?. El modo TEM, en el que los campos son
transversales a la dirección de propagación, se representa en la siguiente figura
Este es simplemente el caso de dos placas paralelas operando como lı́nea de transmisión. Un
voltaje sinusoidal entre las placas generará campos tal cual como se indican en la figura.
¿Qué ocurre en una guı́a de onda? A medida que aumenta la frecuencia, algo muy interesante sucede con la forma en que los campos se pueden transmitir. Una posibilidad de onda
guiada se muestra en la siguiente figura
623
En este caso también hay una onda guiada en la dirección z, pero el origen de ésta es una
infinita progresión de ondas reflejadas en las placas conductoras. Ası́, se pueden transmitir
campos al colocar una antena que irradie al interior de la guı́a de onda. Pero cuidado!, éstas
ondas se pueden propagar siempre y cuando se cumplan algunas condiciones, por ejemplo, para
el ángulo de incidencia ϑ. Los vectores de onda ~ku y ~kd asociados con las ondas que se propagan
hacia arriba y hacia abajo, respectivamente, tienen por supuesto magnitudes idénticas
w
√
= w µ
c
pues corresponden a ondas planas que se propagan en un medio dieléctrico. Los campos que
vemos en una guı́a de onda surgen de la superposición de éstas ondas. Para que una onda de
éste tipo realmente se propague, todas las ondas que se propagan hacia arriba deben estar en
fase (lo mismo debe tenerse para las ondas que se propagan hacia abajo). Esta condición sólo
se puede satisfacer para ciertos ángulos de incidencia discretos. Un cierto valor particular de ϑ
para el cual ésto ocurra, junto a la correspondiente forma de los campos, es lo que determina
un modo de propagación. Como vimos, para cada modo de propagación además existe una
frecuencia de corte fc , ası́, si la frecuencia de operación es menor a fc , el modo no se propagará.
Si la frecuencia de operación es mayor que fc , entonces habrá propagación. El modo TEM
carece de frecuencia de corte. Para cada valor de la frecuencia de operación, la guı́a podrı́a
soportar distintos modos de propagación, y la cantidad de éstos que admita dependerá de las
dimensiones de la guı́a. El número de modos de operación aumenta a medida que crece la
frecuencia de operación.
| ~ku |=| ~kd |=
Representación de ondas TE (a la izquierda) y TM (a la derecha) en una guı́a de planos
paralelos
Veamos ahora como interpretar geométricamente las condiciones para las cuales los distintos
modos de propagación son posibles. En la siguiente figura se ilustra una onda que se propaga
hacia arriba y que incide con un cierto ángulo sobre la placa conductora superior. Esta onda
es reflejada dos veces (en el conductor de arriba y en el de abajo) para formar la segunda onda
que aparece en la figura
Notar que los frentes de onda de ambas no coinciden, y entonces las ondas no están en fase. En
la siguiente figura, el ángulo de incidencia se ha arreglado de forma que todas las ondas que se
propagan hacia arriba si estén en fase
624
Esta condición automáticamente hará que las ondas que se propaguen hacia abajo también
se encuentren en fase. En la siguiente figura se muestra el vector de onda ~ku , junto con sus
componentes (km y βm ), además de algunos frentes de onda
El subı́ndice m está relacionado por supuesto, con el ángulo de incidencia ϑm , y entonces, con
el modo de propagación. Por un análisis puramente geométrico se ve que, para cualquier valor
de m
βm =
donde por supuesto k =
w
c
=
√
p
2
k 2 − km
µw y se obtiene la ya familiar expresión
βm =
p
2
w2 µ − km
veremos entonces que debe cumplir km . La condición es que la diferencia de fase de una
onda que es reflejada sobre el conductor superior y luego reflejada por el transmisor inferior
debe ser un múltiplo entero de 2π. (En otras palabras, todas las ondas hacia arriba están en
fase, y todas las ondas hacia abajo también). Supongamos entonces que congelamos el tiempo,
y un observador medirá cambios de fase en la onda que se muestra en la figura. Al inicio, el
observador está por sobre el conductor inferior y recorre una distancia vertical d hasta que llega
al conductor superior
625
El observador en este tramo medirá un cambio de fase igual a km d (rad). Al llegar a la
superficie superior, el observador podrı́a notar un cambio de fase debido a la reflexión de la
onda. Este será π si la onda está polarizada TE, o cero si la polarización es TM. La explicación
de esto se ve en la siguiente figura
A la izquierda se muestra que en polarización TE el campo eléctrico reflejado se invierte y
entonces el campo neto en la superficie del conductor es nulo. Esto corresponde a un cambio
de fase de π, y es fácil de ver considerando una onda ficticia transmitida que resulta de de
rotar la onda reflejada de forma que esté alineada con la onda incidente. A la derecha,
(polarización TM), la onda reflejada sufre una inversión de la componente según z del campo
eléctrico, esto equivale a un cambio de fase de 0, y es fácil de ver al considerar la onda ficticia
transmitida que surge de rotar la onda reflejada para alinearla con la onda incidente
Ahora, el observador se mueve a lo largo de las ondas reflejadas hasta volver al conductor
inferior, nuevamente medirá un cambio de fase de km d
Finalmente, después de incluı́r el cambio de fase producto de la segunda reflexión (ahora en el
conductor inferior), el observador habrá vuelto al punto inicial. En este punto, estará midiendo
la fase del nuevo frente de ondas que se propaga hacia arriba
Este corrimiento de fase debe ser un múltiplo entero de 2π, entonces
2 (km d + φ) = 2mπ
donde φ es el corrimiento de fase en cada reflexión, el cual es 0 o π, de forma que no tiene
efecto alguno en el corrimiento de fase total. Ası́
626
km d = mπ
km =
mπ
d
resultado válido tanto para modos TE y TM. Es por supuesto el mismo resultado obtenido
anteriormente. Notar que de esta interpretación geométrica es posible obtener aquellos ángulos
de incidencia que permiten la propagación de las ondas
km = k cos ϑm
ϑm = cos−1
mπ kd
= cos−1
mπc wd
Entonces, para un modo determinado de propagación
βm =
r
w2 µ
−
mπ 2
a
donde hemos vuelto a utilizar a como la separación entre las placas. Esto define para cada
modo una frecuencia de corte
m
wc
= √
fc =
2π
2a µ
y la longitud de onda mı́nima que deberı́a tener la onda en el vacı́o
√
2a µ
2a
c
λc = = √ =
f
m µ
m
Notar que para una guı́a de onda llena de aire, la longitud de onda (en vacı́o) a la cual el
modmo más bajo se puede propagar es
λ1 = 2a
La longitud de onda que se mide en la ingenierı́a de las guı́as de onda corresponde a
λ=
y la velocidad de fase
vf =
2π
2π
=q
β
w2 µ −
w
=q
β
mπ 2
a
w
w2 µ −
mπ 2
a
la cual es siempre mayor que la velocidad de la luz. Por supuesto que esta velocidad de
fase no corresponde a la velocidad con que se transmite la energı́a. Recordar que los diferentes modos corresponden a la superposición de ondas reflejadas en las placas conductoras, de
forma que la velocidad a la que se propaga la energı́a es siempre menor que la velocidad de la luz.
627
20.3.
Atenuación en Guı́as de Placas paralelas
Hasta ahora hemos considerado que las placas paralelas que conforman la guı́a son perfectamente conductoras. Por supuesto que ésto no es ası́, y entonces tendrán una cierta resistividad.
Debido a las corrientes inducidas sobre las placas habrá potencia disipada como calor de Joule.
En la figura se muestra la densidad de corriente inducidas en las paredes conductoras, para el
caso de una guı́a de onda de placas paralelas
20.3.1.
Factor de atenuación para ondas TEM
En el caso de ondas transversales electromagnéticas se tiene
~ x, t) = βC ei(wt−βz) î
E(~
wµ
~ x, t) = Cei(wt−βz) ĵ
B(~
la densidad de corriente lineal en cada plano conductor está dada por
~
J~s = n̂ × H
~ =
donde n̂ es la normal sobre el conductor y H
1 ~
B.
µ
Sobre cada conductor, n̂ = ±î, de
forma que la corriende inducida sólo tendra una componente según k̂, y
C
| J~s |=
| cos(wt − βz) |
µ
que corresponde a la corriente por metro cuadrado sobre un plano conductor
IS =
C
| cos(wt − βz) |
µ
y entonces la potencia disipada por metro cuadrado es
P =
Is2 RS
2
C
=
cos2 (wt − βz)RS
µ
donde RS es la resistencia por unidad de largo, que en este caso es
r
wµm
RS =
2σm
con µm y σm la permeabilidad y la conductividad del conductor, respectivamente. Tomando
el promedio temporal
628
1
< P >=
2
2
C
RS
µ
las pérdidas totales por unidad de largo y para un ancho de b metros de la guı́a es
2
C
RS b
Pd =
µ
Por otro lado, el módulo del vector Poynting es
2
~ ×H
~ |= η | H
~ |2 = η C cos2 (wt − βz)
| S |=| E
µ2
el promedio temporal es
1 C2
< S >= η 2
2 µ
y entonces en promedio temporal la potencia transmitida para una sección transversal de
la guı́a de ancho b es
1 C2
PT = η 2 ba
2 µ
y entonces la razón entre la potencia disipada por unidad de longitud y la potencia transmitida es
Pd
= 2α
PT
donde α es el factor de atenuación exponencial para cada campo. Ası́, se tendrá en este caso
! RS
1
C 2 RS b
=
α=
2
2 µ2 12 η Cµ2 ba
ηa
r
1 wµm
α=
ηa 2σm
20.3.2.
Factor de atenuación para ondas TE y TM
Los campos electromagnéticos para modos TE están dados por
mπ ~
E(~x, t) = A sin
x ei(wt−βz) ĵ
a
mπ mπ β
imπ
~
B(~x, t) =
A sin
x î −
A cos
x ẑ ei(wt−βz)
w
a
wa
a
El campo magnético en x = 0 y x = a (superficies conductoras) está dado por
~ = − imπ Aei(wt−βz) ẑ
B
wa
tomando la parte real
~ = − mπ A sin(wt − βz)ẑ
B
wa
629
La densidad de corriente tendrá una única componente según j (notar que no existe un
flujo de corriente en la dirección de propagación de la onda). La magnitud de la densidad de
corriente en las supericies conductoras es
| Jsy |=| Hz |=
mπA 2
sin (wt − βz)
waµ
La pérdida de energı́a en la placa es entonces, en promedio
p
2
m2 π 2 A2 wµm /2σm
1 mπA
Rs =
Pd =
2 waµ
2w2 µ2 a2
por otro lado, el vector de Poynting en la dirección z está dado por
~ x, t) × H(~
~ x, t) = − 1 Ey Bx = − 1 A2 sin2 mπ x β cos2 (wt − βz)
S(~x, t)z = E(~
µ
µ
a
w
z
tomando el promedio temporal
A2 β
2 mπ
< S >=
sin
x
2µw
a
la potencia transmitida en la dirección z para una sección transversal de ancho 1 es
ˆ 1 ˆ a
βA2 a
A2 β
2 mπ
sin
x =
PT =
dy
dx
2µw
a
4wµ
0
0
Con esto, el coeficiente de atenuación está dado por
α=
1
2
Pd
PT
√
q
m
2m2 π 2 wµ
σm
q
=
2 2
a3 µw w2 µ − ma2π
El mismo procedimiento se utiliza para obtener el coeficiente de atenuación para ondas TM,
obteniéndose
q
m
w 2 wµ
σm
α= q
2 2
a w2 µ − ma2π
630
Problema
En una gran biblioteca se requiere transmitir una señal WiFi a lo largo del edificio. Para maximizar la eficiencia en la señal transmitida, un ingeniero postula la idea de propagar la señal
entre dos placas paralelas de aluminio (conductividad 3,97 × 107 S/m), ubicadas en un espacio
disponible entre dos grupos de vigas en el entretecho. La superficie de las placas puede ocupar
toda el área del entretecho, sin embargo por las restricciones de espacio entre las dos vigas, la
separación entre ellas no puede ser más que 5 cm. Adicionalmente, el ingeniero propone llenar el
espacio entre las placas con espuma de styrofoam (r = 1,03) o de polyetileno (r = 2,56) como
medio separador y soporte entre ellas, y además como medio adicional de aislación térmica para
el edificio. El edificio tiene una longitud de 100 m y la señal se introduce en uno de los extremos
con una antena especial. Se debe recordar que la señal WiFi actualmente tiene una frecuencia
de 2,4 Ghz
a) ¿Cuál de los dos rellenos (polyetileno o styrofoam) es más conveniente desde el punto de
vista de la propagación de la señal WiFi?
b) ¿Qué modos son posibles de transmitir para ondas tipo TE y tipo TM?
c) Si el máximo aceptado para la atenuación de potencia de la señal es de 50 %, ¿qué modo es
más conveniente transmitir?
d) En el futuro la frecuencia para la señal WiFi se incrementará a 5,25 Ghz, ¿servirá la instalación construı́da para 2.4 Ghz?
e) ¿Qué modos se pueden transmitir si la señal WiFi es de 5.25 Ghz?
Solución
a) La frecuencia de corte para ondas tipo TE y TM está dada por
fm =
m
√
2a µ
ası́, la mı́nima frecuencia de operación es aquella dada por el modo m = 1
f1 =
1
2a r 0 µ0
√
Ası́, para el caso del styrofoam es
f1sty
3 × 108
√
= 2,9559 × 109
=
2 × 0,05 1,03
si se utiliza polyetileno entonces
f1pol =
3 × 108
√
= 1,875 × 109
2 × 0,05 2,56
Notar entonces que la frecuencia de operación de la WiFi es menor que la frecuencia de
corte si se utiliza Styrofoam, es decir, con este material ni siquiera es posible transmitir los
modos más bajos de ondas TE o TM. Se debe utilizar polyetileno
b) Es claro que es posible transmitir los modos T E10 y T M10 . La frecuencia de corte para
los modos siguientes (T E20 , T M20 ) es
f2 =
2
= 3,75 × 109
2a r 0 µ0
√
la cual supera a la frecuencia de operación de la WiFi, es decir, los únicos modos posibles
son T E10 , T M10
631
c) Para transmisión en modo T E10 , el coeficiente de atenuación está dado por
√ 2p
2π wµm /σm
q
α1 =
2
a2 µw w2 µ − πa2
donde µm y σm son la permeabilidad magnética y la conductividad de los conductores,
respectivamente. En este caso, µm = µ0 , además, para el dieléctrico de polyetileno µ = µ0 ,
= r 0
α1 = 0,002567
Para transmisión en modo T M10 , el coeficiente de atenuación es
p
w 2wµ0 /σm
α2 = p
a w2 µ0 r 0 − (π/a)2
α2 = 0,004207
Entonces la fracción de potencia incidente que es recibida en el extremo del edificio (de largo
100 m) es
AT E10 = e−2×100α1 = 0,59383
AT M10 = e−2×100α2 = 0,431125
Vemos que sólo el modo T E10 cumple con el requerimiento de una atenuación inferior al 50 %
d) La instalación servirá evidentemente para señal WiFi a 5.25 Ghz , y para propagación
en modo T E10 se tendrá un nuevo coeficiente de atenuación de
√ 2p
2π wµ0 /σm
q
α=
2
2
a µ0 w w2 r 0 µ0 − πa2
la nueva frecuencia es w = 2π × 5,25 × 109
α = 0,00053037
entonces la fracción de potencia original recibida en el extremo del edificio es
At = e−2×100α = 0,899359
La atenuación en modo T E10 ahora es alrededor de un 10 %
e) La frecuencia de corte para los modos T E20 , T M20 fue obtenida anteriormente, y está dada
por
para los modos T E30 y T M30 es
f3 =
f2 = 3,75 × 109
3
= 5,625 × 109 > 5,25Ghz
√
2a µ0 r 0
de forma que los modos posibles de propagación para WiFi a 5,25 Ghz son T E10 , T E20 ,
T M10 , T M20
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