1. No category

26 de marzo de 2015
Profesores: Xabier Marcano, Vı́ctor Martı́n
Dirección: Instituto de Fı́sica Teórica, despachos 413 y 313.
E-mail: [email protected] , [email protected]
HOJA 9: QED y dispersión profundamente inelástica
9.1 Considerar la dispersión de dos partı́culas a dos partı́culas 1 + 2 → 3 + 4, con masas
diferentes. Situarse en el sistema centro de masas (C.M.).
p
1
a) Demostrar que (p1 p2 )2 − m21 m22 = λ 2 (s, m21 , m22 )/2, con la función cinemática λ(x, y, z) =
x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz.
b) Expresar el módulo del trimomento entrante y saliente, |~
pi | y |~
pf | respectivamente, en
terminos de la energı́a total y de las masas de las partı́culas entrantes o salientes (según
corresponda).
c) La sección eficaz diferencial con respecto al espacio de fases invariante Lorentz (LIP S) de
una colisión dos a dos (AB → CD) se puede escribir como
dσ =
1
|M̄|2 dLIP S,
2EA 2EB |vA − vB |
d3 pC
d3 pD
. Demostrar que la sección
(2π)3 2EC (2π)3 2ED
eficaz diferencial en el C.M. en función del ángulo sólido viene dada por
donde dLIP S = (2π)4 δ 4 (pA + pB − pC − pD )
pf |
dσ
1 |~
=
|M̄|2 .
2
dΩ
pi |
64π s |~
d) La sección eficaz en el sistema C.M. viene dada por
pf |
dσ
1 |~
=
|M̄|2 ,
2 |~
dΩ
p
|
64π s i
con M la amplitud del proceso 1 + 2 → 3 + 4. Obtener t ≡ (p1 − p3 )2 en funcion del ángulo
de dispersión y la energı́a total. Calcular la sección eficaz diferencial en terminos de esta
variable, es decir, dσ .
dt
9.2 Deep Inelastic Scattering con quarks sin espı́n:
Considerar primero un proceso de colisión elástico de un electrón con una partı́cula escalar
cargada negativamente (por ejemplo, un π − ), e− π − → e− π − , teniendo en cuenta el vértice π − →
Aµ π − de QED para particulas escalares dado por ie(pµπ− ,in + pµπ− ,out ).
a) Dibujar el diagrama para el scattering e− π − → e− π − y calcular la sección eficaz diferencial
por angulo sólido dΩdσCM cuando los electrones no están polarizados (sumar sobre helicidades
finales y promediar sobre las inciales). Despreciar las masas.
b) A partir del resultado anterior extraer
Inelastic Scattering).
dσ
d cos θ
y
dσ
dq 2
(con q 2 = t tradicionalmente en Deep
c) Considerar ahora la dispersión profundamente inelástica e− p → e− X, con X representando
los posibles hadrones finales. Consideremos el caso con p2X = m2X m2p y que la dispersión se
produce en un modelo quark alternativo donde los quarks son partı́culas de espı́n 0 (escalares)
a través de la dispersión del electrón con un quark mediante un fotón intermedio en el mismo
modo en que tenı́amos antes la dispersion elástica e− π − . La única diferencia es que ahora el
quark inicial lleva una fracción x del cuadrimomento del protón inicial.
√
La energı́a total ŝ en C.M. del par e− q viene dada por ŝ = x s al igual que antes.
Si la probabilidad de que el quark de tipo i (i = u, d, s...) tenga una fracción de momento x
es pi (x) dx, entonces utiliza los resultados de b), escribe la sección eficaz de e− p → e− X en
terminos de s, q 2 y x (ahora tenemos una variable cinematica más ya que p2X no esta fijado).
Expresar esta sección eficaz en terminos de estas dos variables en la forma [1]
2 2
d2 σ
q 2 F2 (x, q 2 )
q
4πα2
2
,
F1 (x, q ) + 1 +
=
xs
xs
x
dx d(q 2 )
q4
y extraer las dos funciones de estructura F1 y F2 .
Demostrar que si los quarks fueran escalares F2 (x, q 2 ) tendrı́a la misma forma que antes pero
ahora tendrı́amos F1 (x, q 2 ) = 0.
√
9.3 Considerar el proceso e+ e− → q q̄ mediado por un fotón. A bajas energı́as ( s <
∼ 0.5 GeV)
+
−
los dos quarks del vertice γ → q q̄ hadronizan en un par π π . Esta interacción γ → π + π − viene
entonces dada por el vértice efectivo −ie(pµπ+ − pµπ− ). Despreciar la masa del electrón y del pion.
a) Dibujar el diagrama de Feynman a orden árbol que proporciona este proceso.
b) Calcular la amplitud. Para ello considerar el sistema centro de masas (CM)
Ayuda: Considerar un electrón dextrógiro (R) en la dirección +z y un positrón levógiro (L)
en la dirección −z, es decir, con espinores respectivos (en la representación de Weyl)
 


0
0
p
p
 0 


0
0  0  .
,
uR (k) = 2Ee 
v
(k
)
=
2E
L
e
 1 
 0 
0
−1
c) Observar la distribución angular y determinar el momento angular orbital total L y su
componente M en la dirección z.
q
q
3
3
Ayuda: utilizar los armónicos esféricos Y10 (θ, φ) = 4π
cos θ, Y1+1 (θ, φ) = − 8π
sin θ eiφ ,
q
3
Y1−1 (θ, φ) = 8π
sin θ e−iφ .
2
d) ¿Qué consecuencias tiene este resultado para el fotón virtual intermedio y su polarización
desde el punto de vista de la conservación del momento angular?
µ
e) La corriente electromagnética Jem
de quarks ligeros (u, d, s) tiene conjugación de carga
C = −1. Además, continene dos componentes J3µ y J8µ : una con I = 1 y G = +1 y otra
con I = 0 y G = −1. Basándose en esto, deducir cuáles son los números cuánticos de
la resonancı́as hadrónicas intermedias que que podemos producir en la reacción estudiada.
Asumir conservación de isospı́n.
f ) Repetir los apartados b), c) y d) para las otras tres posibles combinaciones de polariza+
− +
− +
ciones incidentes, e−
L eR , eR eR y eL eL .
Ayuda adicional: para un electrón levógiro (L) en la dirección +z y un positrón dextrógiro
(R) en la dirección −z se tiene, respectivamente (en la representación de Weyl)
 
 
0
1
p
p
 1 

0 


vR (k 0 ) = 2Ee0 
uL (k) = 2Ee 
 0 ,
 0 .
0
0
g) Promediar sobre polarizaciones iniciales y calcular la sección eficaz diferencial
dσ
dΩ .
h) Integrar el ángulo sólido y extraer la sección eficaz σ(s). Comparar este resultado con
¯ s̄s) (despreciar la masa de los quarks).
σ(e+ e− → ūu, dd,
Ayuda: La sección eficaz a quarks sin masa es igual a la sección eficaz a muones sin masa,
2
2
2
2
σ(e+ e− → µ+ µ− ) = 4πα
3s , veces un factor (Qu + Qd + Qs ) NC debido a la carga de los quarks
ligeros y el número de colores que podemos producir.
References
[1] D.H. Perkins, Introduction to high energy physics, published in Reading, USA: Addison-Wesley
(1972) 353 p ISBN-9780521621960.
[2] M.E. Peskin and D.V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press
1995.
3