1. No category

Tema 9: Problemas métricos
en el plano.
Ejercicio 1.
Calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden
33 cm y 56 cm, respectivamente.
Solución:
a 2 = b 2 + c 2 → a = b 2 + c 2 = 33 2 + 56 2 = 4225 = 65
La hipotenusa mide 65 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver este ejercicio, contamos con dos datos, a los que les daremos un nombre,
concretamente: b y c. Para obtener la longitud, debemos calcular a. Para darle nombre un valor,
debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor.
Figura 1.
2. Ahora repetimos el procedimiento con el otro dato. Ahora, siempre que, dentro del mismo bloque,
escribamos las letras b o c, será como escribir los valores a los que se refieren. Es importante saber, que
si escribimos estas letras en otro bloque, Wiris interpretará que son simples incógnitas.
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 2.
3. Finalmente, para obtener el valor de a, resolveremos una ecuación. Para plantear una, pinchamos en la
pestaña ‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el
siguiente esquema.
Figura 3.
4. Ahora sólo nos queda rellenar ambos miembros de la ecuación y pinchar en el icono igual para
conocer el resultado. Asimismo, debemos recordar que para insertar una potencia debemos pinchar en
el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 4.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
2
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Ejercicio 2.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 97 cm, y uno de los catetos, 72 cm. Calcular la
longitud del otro cateto.
Solución:
b = 97 2 − 72 2 = 4225 = 65
El cateto desconocido mide 65 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. De la misma manera que en el ejercicio anterior, daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos
nombres serán a y c puesto que conocemos la hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir
el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada
uno de los dos datos, recordando que si escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris
interpretará que son simples incógnitas.
Figura 5.
2. Para obtener el valor de b, resolveremos una ecuación. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el siguiente
esquema.
Figura 6.
3
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Por último, sólo nos queda rellenar ambos miembros de la ecuación y pinchar en el icono igual para
conocer el resultado. Recordaremos que para insertar una potencia debemos pinchar en el icono
‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 7.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 3.
En los siguientes triángulos rectángulos, se dan dos catetos y se pide la hipotenusa (si su medida
no es exacta, dala con una cifra decimal):
a) 37 cm y 45 cm
b) 16 cm y 30 cm
Solución:
a)
a 2 = b 2 + c 2 → a = b 2 + c 2 = 37 2 + 45 2 = 3394 = 58,2
La hipotenusa mide 58,2 cm.
b)
a 2 = b 2 + c 2 → a = b 2 + c 2 = 16 2 + 30 2 = 1156 = 34
La hipotenusa mide 34 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver este ejercicio, contamos con dos datos, a los que les daremos un nombre,
concretamente: b y c. Para obtener la longitud, debemos calcular a. Para darle nombre a un valor,
debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos el
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
proceso con las dos letras recordando que tanto estas dos como las operaciones en las que nos
refiramos a estos valores, deben estar en el mismo bloque.
Figura 8.
2. Para obtener el valor de a, resolveremos una ecuación. Para plantear una, pinchamos en la pestaña
‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Entonces nos aparecerá el siguiente
esquema.
Figura 9.
3. Rellenaremos ambos miembros de la ecuación y después pincharemos en el icono ‘igual’ para conocer
el resultado. También, debemos recordar que para insertar una potencia debemos pinchar en el icono
‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 10.
5
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
5. Repetiremos todos los pasos para el apartado b. Debemos tener en cuenta, que si bien los valores y la
operación deben estar en el mismo bloque, todo esto puede estar en uno diferente a las operaciones del
apartado a.
Figura 11.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 4.
En los siguientes triángulos rectángulos, se da la hipotenusa y un cateto, y se pide el otro cateto
(exactamente o con una cifra decimal):
a) 45 cm y 37 cm
b) 39 cm y 15 cm
Solución:
a) a 2 = b 2 + c 2 → b =
a 2 − c 2 = 45 2 − 37 2 = 656 = 25,6
El cateto desconocido mide 25,6 cm.
b) a 2 = b 2 + c 2 → b =
a 2 − c 2 = 39 2 − 15 2 = 1296 = 36
El cateto desconocido mide 36 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. De la misma manera que en el ejercicio anterior, daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos
nombres serán a y c puesto que conocemos la hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir
6
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
el nombre, en este caso es una letra y después un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada
uno de los dos datos, recordando que si escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris
interpretará que son simples incógnitas.
Figura 12.
2. Para obtener el valor de b, resolveremos una ecuación. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Rellenamos ambos miembros del
esquema de la ecuación y pinchar en el icono igual para conocer el resultado. Recordaremos que para
insertar una potencia debemos pinchar en el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la
pestaña ‘Operaciones’.
Figura 13.
3. Repetiremos todos los pasos para el apartado b. Debemos tener en cuenta, que si bien los valores y la
operación deben estar en el mismo bloque, todo esto puede estar en uno diferente a las operaciones del
apartado a.
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3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 14.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 5.
De un rombo conocemos una diagonal, 24 cm, y el lado, 13 cm. Halla la otra diagonal.
Solución:
Figura 15.
Como podemos observar, las dos diagonales cortan el rombo en cuatro triángulos. Si analizamos
uno de los cuatro triángulos, observamos que uno de los lados del rombo coincide con la hipotenusa,
mientras que los catetos se corresponden con la mitad de las diagonales.
Por lo tanto, debemos calcular uno de los catetos siguiendo el siguiente procedimiento:
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
a 2 = b 2 + c 2 → b = a 2 − c 2 = 13 2 − 12 2 = 25 = 5
El cateto desconocido mide 5 cm pero como hemos dicho que los catetos suponen la mitad del
total de las diagonales (por lo que hemos utilizado 12 en la ecuación y no 24), y por lo tanto, la diagonal
es el doble del resultado: Diagonal = 2 * 5 = 10cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Daremos nombre a nuestros datos. En este caso, esos nombres serán a y c puesto que conocemos la
hipotenusa. Para darle nombre un valor, debemos escribir el nombre, en este caso es una letra y después
un signo ‘=’ y el valor. Repetiremos este proceso con cada uno de los dos datos, recordando que si
escribimos estas letras o la operación en otro bloque, Wiris interpretará que son simples incógnitas.
Figura 16.
2. Para obtener el valor de b, resolveremos una ecuación. Para ello, pinchamos en la pestaña
‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver ecuación’. Rellenamos ambos miembros del
esquema de la ecuación y pinchar en el icono igual para conocer el resultado. Recordaremos que para
insertar una potencia debemos pinchar en el icono ‘Potencia’ que se encuentra también dentro de la
pestaña ‘Operaciones’.
Figura 17.
9
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Finalmente, para saber el valor de la diagonal, multiplicamos el resultado por 2. Para introducir el
signo de multiplicación utilizamos el asterisco que encontramos en el teclado (*). Cuando tengamos
planteada la multiplicación, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 18.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 6.
Averigua cómo son los triángulos de lados:
a) 7 cm, 8 cm, 11 cm
b) 11 cm, 17 cm, 15
cm
c) 34 m, 16 m, 30
m
d) 65 m, 72 m, 97 m
Solución:
a)
7 cm, 8 cm, 11 cm
7 2 + 8 2 = 113; 112 = 121 Como 112 > 7 2 + 8 2 , entonces el triángulo es obtusángulo.
b) 11 cm, 17 cm, 15 cm
112 + 15 2 = 346; 17 2 = 289 Como 17 2 < 112 + 15 2 , entonces el triángulo es acutángulo.
c) 34 cm, 16 cm, 30 cm
16 2 + 30 2 = 1156; 34 2 = 1156 Como 34 2 = 16 2 + 30 2 , entonces el triángulo es rectángulo.
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
d) 65 cm, 72 cm, 97 cm
65 2 + 72 2 = 9409; 97 2 = 9409 Como 97 2 = 65 2 + 72 2 , entonces el triángulo es rectángulo.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para saber qué tipo de triángulo son, realizamos dos operaciones aritméticas muy simples.
Para ello, tenemos que saber sólo dos cosas. En primer lugar, que el signo de suma es el que
encontramos en el teclado (+) y en segundo lugar, que para obtener una potencia, escribimos la
base, después pinchamos en el icono potencia y por último, rellenamos el hueco obtenido con
el dato de la potencia como veremos a continuación.
Figura 19.
2. Apartado a.
Figura 20.
11
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Apartado b.
Figura 21.
4. Apartado c.
Figura 22.
5. Apartado d.
Figura 23.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Ejercicio 7.
Halla el radio de la circunferencia sabiendo que:
OP = 39 cm
PT = 36 cm
Figura 24.
Solución:
El segmento tangente, PT, es perpendicular al radio, OT. PT y OT son catetos del triángulo PTO.
PO es la hipotenusa. Por lo tanto:
2
2
2
2
2
2
PO = PT + TO → PO = PT + TO → 39 2 = 36 2 + TO 2 → TO = 39 2 − 36 2 = 15 cm
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos una ecuación, pinchando en el icono ‘Resolver’, que se encuentra en la pestaña
‘Operaciones’.
Figura 25.
13
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Después, rellenamos los dos miembros del esquema con los datos del ejercicio, y pinchamos
en el icono ‘=’ para saber el resultado. Para insertar una potencia, pinchamos en el icono
‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones.
Figura 26.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 8.
r = 15 cm, r ' = 6 cm
O O' = 41 cm
Figura 27.
Halla la longitud del segmento TT '
14
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Solución:
Figura 28.
412 = 9 2 + T ' 2 → T ' 2 = 412 − 9 2 → T = 412 − 9 2 = 40
Por lo tanto, podemos decir que el trozo de tangente común mide 40 centímetros.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Resolveremos una ecuación, pinchando en el icono ‘Resolver’, que se encuentra en la pestaña
‘Operaciones’.
Figura 29.
2. Después, rellenamos los dos miembros del esquema con los datos del ejercicio, y pinchamos
en el icono ‘=’ para saber el resultado. Para insertar una potencia, pinchamos en el icono
‘Potencia’, dentro de la pestaña ‘Operaciones.
Figura 30.
15
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 9.
En un triángulo de lados 4 cm, 6 cm y 8 cm, calcular la altura sobre el lado mayor.
Figura 31.
Solución:
La altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos.
Aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:
x 2 + h 2 = 4 2  h 2 = 16 − x 2


2
2
2
2
2
h + (8 − x ) = 6  16 − x + x − 16 x + 64 = 36 
(
) (
)
16 − x 2 + x 2 − 16 x + 64 = 36 → 16 x = 64 + 16 − 36 → x = 2,75
Conocido x , calculamos h:
h 2 = 16 − 2,75 2 → h = 16 − 2,75 2 → h = 2,9 cm
Este procedimiento permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la medida de sus
lados, pues, al conocer la base y la altura, el cálculo del área resulta obvio.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para obtener el valor de h y el de x, resolveremos un sistema de ecuaciones. Para ello, pinchamos en la
pestaña ‘Operaciones’, y dentro de ella, en el icono ‘Resolver sistema’. Entonces nos aparecerá una
16
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
ventana en la que indicaremos que queremos que tenga dos ecuaciones y pincharemos en el icono
‘Aceptar’.
Figura 32.
2. Finalmente rellenaremos los huecos con nuestras ecuaciones y pincharemos en el icono ‘=’ para
conocer el resultado. Sin embargo, debemos tener en cuenta que para insertar una potencia, pinchamos
en el icono ‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones, asimismo como que para que los
resultados sean decimales, no tenemos más que escribir un punto (que es el equivalente a la coma
decimal en Wiris) en alguna parte de la orden que demos.
Figura 33.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
17
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 10.
Los lados paralelos de un trapecio miden 17 m y 38 m. Los otros dos, 13 m y 20 m. Hallar su altura.
Figura 34.
Solución:
La altura a es cateto de los dos triángulos señalados. La suma de los otros dos catetos señalados.
La suma de los otros dos catetos es: 38 - 17 = 21 m.
Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:
(21 − x )2
x 2 + a 2 = 13 2 
2
Restando: x 2 − (21 − x ) = 13 2 − 20 2 →
2
2 
+ a = 20 
(
)
→ x 2 − 441 − 42 x + x 2 = 169 − 400 → 42 x − 441 = −231 → 42 x = 210 → x = 5
5 2 + a 2 = 13 2 → a 2 = 13 2 − 5 2 = 144 → a = 12 m
La altura pedida mide 12 m.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Plantearemos un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio. Para ello, pinchamos en el icono
‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento, aparecerá la
siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos ecuaciones y pinchamos en el
icono ‘Aceptar’:
18
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Figura 35.
2. El siguiente paso es escribir las dos ecuaciones tal y como están planteadas en la resolución del
ejercicio. Recordaremos que para insertar una potencia, pinchamos en el icono ‘Potencia’, que se
encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 36.
3. Cuando tengamos planteado el sistema, pinchamos en el icono ‘=’, y obtendremos la solución para
nuestro ejercicio.
Figura 37.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
19
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 11.
Averigua si el triángulo de lados 29 cm, 35 cm y 48 cm es rectángulo, acutángulo u obtusángulo.
Halla la longitud de la altura sobre el lado mayor.
Solución:
Figura 38.
Para saber qué tipo de triángulo es, utilizamos la siguiente fórmula, en la que a es el lado mayor:
a2 = b2 + c2
Si los dos términos son iguales, el triángulo es rectángulo, si el del mayor es mayor que la suma de
los otros dos, es obtusángulo, mientras que si sucede al contrario, el triángulo es acutángulo.
Por lo tanto, sustituimos los valores en la función para conocer el tipo de triángulo:
48 2 = 35 2 + 29 2 → 2304 > 2066
Por lo tanto, sabemos que el triángulo es obtusángulo.
La altura h divide al triángulo original en dos triángulos rectángulos.
Aplicamos el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:
x 2 + h 2 = 29 2  h 2 = 841 − x 2


2
2
2
2
2
h + (48 − x ) = 35  841 − x + x − 96 x + 2304 = 1225 
(
) (
)
841 − x 2 + x 2 − 96 x + 2304 = 1225 → 96 x = 2304 + 841 − 1225 → x = 20
Conocido x , calculamos h:
h 2 = 841 − 20 2 → h = 841 − 20 2 → h = 21 cm
20
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Este procedimiento permite calcular la superficie de un triángulo conociendo la medida de sus
lados, pues, al conocer la base y la altura, el cálculo del área resulta obvio.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para saber qué tipo de triángulo es, elevamos al cuadrado cada uno de los lados menores y los
sumamos. Después, elevamos al cuadrado el lado mayor:
Figura 39.
2. Para calcular la altura del triángulo sobre el lado mayor, plantearemos un sistema de ecuaciones. Para
ello, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese
momento, aparecerá la siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos
ecuaciones y pinchamos en el icono ‘Aceptar’:
Figura 40.
3. El siguiente paso es escribir las dos ecuaciones tal y como están planteadas en la resolución del
ejercicio. Recordaremos que para insertar una potencia, pinchamos en el icono ‘Potencia’, que se
encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
21
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 41.
4. Cuando tengamos planteado el sistema, pinchamos en el icono ‘=’, y obtendremos la solución para
nuestro ejercicio.
Figura 42.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 12.
Los lados de un trapecio miden 13 m, 20 m, 19 m y 40 m. Los dos últimos son paralelos. Halla la
altura del trapecio.
Solución:
(21 − x )2
x 2 + a 2 = 13 2 

+ a 2 = 20 2 
La altura a es cateto de los dos triángulos señalados. La suma de los otros dos catetos señalados.
La suma de los otros dos catetos es: 40 - 20 = 20 m.
Aplicamos el teorema de Pitágoras en los dos triángulos rectángulos:
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
(21 − x )2
x 2 + a 2 = 13 2 
2
Restando: x 2 − (21 − x ) = 13 2 − 20 2 →
2
2 
+ a = 20 
(
)
→ x 2 − 441 − 42 x + x 2 = −231 → 42 x − 441 = −231 → 42 x = 210 → x = 5
5 2 + a 2 = 13 2 → a 2 = 13 2 − 5 2 = 144 → a = 12 m
La altura pedida mide 12m.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Plantearemos un sistema de ecuaciones para resolver el ejercicio. Para ello, pinchamos en el icono
‘Resolver sistema’, que encontramos en la pestaña ‘Operaciones’. En ese momento, aparecerá la
siguiente ventana en la que señalaremos que nuestro sistema es de dos ecuaciones y pinchamos en el
icono ‘Aceptar’:
Figura 43.
2. El siguiente paso es escribir las dos ecuaciones tal y como están planteadas en la resolución del
ejercicio. Recordaremos que para insertar una potencia, pinchamos en el icono ‘Potencia’, que se
encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
Figura 44.
23
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Cuando tengamos planteado el sistema, pinchamos en el icono ‘=’, y obtendremos la solución para
nuestro ejercicio.
Figura 45.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 13.
Calcular el área del triángulo de lados 11 cm, 13 cm y 20 cm.
Solución:
Aplicaremos la fórmula de Herón:
Perímetro: p = 11 + 13 + 20 = 44 cm → s = 22 cm
A = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c ) = 22 ⋅ 11 ⋅ 9 ⋅ 2 = 4356 = 66 cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, sumamos todos los lados del triángulo. Para ello, sólo tenemos que escribir los
números con los correspondientes signos de suma que encontramos en el teclado (+). Cuando esté todo
planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 46.
24
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
2. El siguiente paso es darle nombre a los tres lados y al perímetro. Para eso, escribimos el nombre que
queramos darle, después un signo = y por último el valor correspondiente.
Figura 47.
3. Ahora sólo nos queda realizar una operación aritmética usando los nombres de los valores en vez de
estos. Recordamos que para referirnos a un valor, figura, función… a los que les hemos dado un nombre,
debemos hacerlo siempre dentro del mismo bloque. Además, vemos que para insertar una raíz cuadrada,
pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Raíz cuadrada’. Cuando esté planteada,
pinchamos en el símbolo ‘=’ para resolverla.
Figura 48.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
25
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Ejercicio 14.
Hallar el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 37 cm y 55 cm, y el lado oblicuo, 14 cm.
Figura 49.
Solución:
(55 − 37 ) : 2 = 9
cm
a = 14 2 − 9 2 = 115 = 10,7 cm
A=
37 + 55
⋅ 10,7 = 492,2 cm 2
2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver este ejercicio, debemos saber varias cosas. En primer lugar, que para insertar paréntesis,
potencias, raíces cuadradas y fracciones, debemos pinchar en sus respectivos iconos, dentro de la
pestaña ‘Operaciones’.
Figura 50.
2. Los signos de suma y resta los insertamos con el teclado (+ y -). Cuando tengamos las operaciones
planteadas, pinchamos en el icono ‘=’ y obtendremos el resultado.
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Figura 51.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 15.
Halla el área de un triángulo cuyos lados miden 10 m, 17 m y 21 m.
Solución:
Aplicaremos la fórmula de Herón:
Perímetro: p = 10 + 17 + 21 = 48 cm → s = 24 cm
A = s ⋅ (s − a ) ⋅ (s − b ) ⋅ (s − c ) = 24 ⋅ 14 ⋅ 7 ⋅ 3 = 7056 = 84 cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, sumamos todos los lados del triángulo. Para ello, sólo tenemos que escribir los
números con los correspondientes signos de suma que encontramos en el teclado (+). Cuando esté todo
planteado, pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 52.
27
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. El siguiente paso es darle nombre a los tres lados y al perímetro. Para eso, escribimos el nombre que
queramos darle, después un signo = y por último el valor correspondiente.
Figura 53.
3. Ahora sólo nos queda realizar una operación aritmética usando los nombres de los valores en vez de
estos. Recordamos que para referirnos a un valor, figura, función… a los que les hemos dado un nombre,
debemos hacerlo siempre dentro del mismo bloque. Además, vemos que para insertar una raíz cuadrada,
pinchamos en la pestaña ‘Operaciones’ y después en el icono ‘Raíz cuadrada’. Cuando esté planteada,
pinchamos en el símbolo ‘=’ para resolverla.
Figura 54.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
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[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Ejercicio 16.
Halla el área del hexágono regular en el que cada uno de sus lados mide 10 cm.
Solución:
En primer lugar, calculamos el perímetro: p = n ⋅ L = 6 ⋅ 10 = 60 cm
Para calcular el área, tenemos que calcular primero la apotema. En un hexágono regular, el lado y
el radio miden lo mismo, por lo que r=10 cm. El radio, la mitad del lado y la apotema forman un
triángulo rectángulo:
Figura 55.
Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:
a 2 + b 2 = c 2 → a 2 + 5 2 = 10 2 → a 2 + 25 = 100 → a 2 = 100 − 25 → a = 75 → a = 8,66
La apotema mide 8,66 centímetros, por lo que el área será:
A=
p ⋅ a 60 ⋅ 8,66
=
= 259,8 cm 2
2
2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es realizar una multiplicación. Para hacerlo, usamos el asterisco (*) como signo de
multiplicar. Cuando tengamos los datos y el signo, pinchamos en ‘=’ para conocer el resultado.
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3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 56.
2. Lo siguiente es resolver una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se encuentra en
la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros de nuestra
ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’ conocemos el
valor de a.
Figura 57.
3. Finalmente, para averiguar cuánto es el área, resolvemos una fracción, la cual insertaremos pinchando
en el icono ‘Fracción’, y luego rellenamos tanto el numerados como el denominador y pinchamos en ‘=’
para obtener la solución.
Figura 58.
30
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 17.
Halla el área de un rombo de lado 3 dm, sabiendo que una diagonal mide 46 cm.
Solución:
En primer lugar, debemos observar que los datos de nuestro ejercicio no están en la misma unidad de
medida, y que (pasando los dos a la unidad menor), el lado es de 30 cm.
Si dibujamos el rombo, vemos que se forman cuatro triángulos. Cada triangulo está formado por un
lado, y la mitad de ambas diagonales. Por lo tanto, utilizando el Teorema de Pitágoras averiguaremos la
longitud de la mitad de la otra diagonal que es uno de los catetos.
Figura 59.
a 2 + b 2 = c 2 → a 2 + 23 2 = 30 2 → a 2 + 529 = 900 → a 2 = 900 − 529 → a = 371 → a = 19,26
Por lo tanto, la segunda diagonal es igual a 19,26*2=38,52 cm.
Con las dos diagonales calculamos el área:
A=
d ⋅ D 38,52 ⋅ 46
=
= 885,96 cm 2
2
2
31
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es realizar una división para obtener uno de los catetos. Para hacerlo, usamos la barra
que encontramos en el teclado (/) como signo de dividir. Cuando tengamos los datos y el signo,
pinchamos en ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 60.
2. Lo siguiente es resolver una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se encuentra en
la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros de nuestra
ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’ conocemos el
valor de a.
Figura 61.
3. Finalmente, para averiguar cuánto es el área, resolvemos una fracción, la cual insertaremos pinchando
en el icono ‘Fracción’, y luego rellenamos tanto el numerados como el denominador y pinchamos en ‘=’
para obtener la solución.
32
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Figura 62.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 18.
Dos de los lados de un triángulo isósceles miden 30 cm y 13 cm. Halla su área.
Solución:
En primer lugar, averiguaremos la altura:
2
 13 
h + b = c → h +   = 30 2 → h 2 + 42,25 = 900 → h 2 = 900 − 42,25 → h = 857,75 → h = 29,29
2
2
2
2
2
Con la base y la altura calculamos el área:
A=
b ⋅ h 13 ⋅ 29,29
=
= 190,385 cm 2
2
2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. En primer lugar, resolveremos una ecuación pinchando en el icono ‘Resolver ecuación’ que se
encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Entonces, sólo nos quedará rellenar los huecos con los miembros
de nuestra ecuación, pinchando en el icono ‘Potencia’ en la pestaña ‘Operaciones’. Al pinchar en ‘=’
conocemos el valor de h.
33
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 63.
3. Finalmente, para averiguar cuánto es el área, resolvemos una fracción, la cual insertaremos pinchando
en el icono ‘Fracción’, y luego rellenamos tanto el numerados como el denominador y pinchamos en ‘=’
para obtener la solución.
Figura 64.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
34
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Ejercicio 19.
Halla el área de las figuras coloreadas.
a)
Figura 65.
Solución:
A partir de la diagonal se forman dos triángulos. De esos triángulos, conocemos la hipotenusa y además
sabemos que los dos catetos son iguales. Por lo tanto, planteamos el Teorema de Pitágoras con lo que
sabemos:
l 2 + l 2 = h 2 → l 2 + l 2 = 10 2 → 2l 2 = 100 → l 2 =
Ahora calculamos el área del cuadrado:
100
→ l = 50 → l = 7,07cm
2
A = lado 2 = 7,07 2 = 50 cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es resolver una ecuación, para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Después rellenamos los huecos del esquema que se plantea y
pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.
Figura 66.
35
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
2. Para calcular el área, resolvemos una potencia. Lo primero es escribir la base de la potencia
recordando que la coma decimal en Wiris se sustituye por un punto. Después, pinchamos en el icono
‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’ y rellenamos el hueco. Cuando esté planteada,
pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 67.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
b)
Figura 68.
Solución:
Como es un trapecio isósceles, los dos triángulos que se forman son iguales. Estos triángulos tienen
como uno de los lados la altura (que tendremos que calcular), parte de la base del trapecio (que sale de:
(22-12)/2) y el lado que comparte con el trapecio (13 cm). Por lo tanto, tenemos dos de los tres lados de
un triángulo rectángulo, así que aplicamos el Teorema de Pitágoras:
36
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
a 2 + b 2 = c 2 → a 2 + 5 2 = 13 2 → a 2 + 25 = 169 → a 2 = 144 → a = 144 → a = 12 cm
Ahora calculamos el área del trapecio:
A=
b + b'
12 + 22
⋅a =
⋅ 12 = 204 cm 2
2
2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. El primer paso es resolver una ecuación, para lo que pincharemos en la pestaña ‘Operaciones’ y
después en el icono ‘Resolver ecuación’. Después rellenamos los huecos del esquema que se plantea y
pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.
Figura 69.
2. Para calcular el área, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el esquema de la
fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando ya
tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para sumar usaremos el
signo de suma del teclado y para multiplicar, el asterisco (*) . Cuando esté planteada, pinchamos en el
icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 70.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
37
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
c)
Figura 71.
Solución:
Sabemos que: AC = 93 m , BH = 52 m , DK = 23 m .
Podemos ver que a partir de la línea horizontal se forman dos triángulos. De esos triángulos, conocemos
la base y la altura, así que calcularemos las áreas:
Atriángulo _ sup erior =
Atriángulo _ inf erior =
b ⋅ h 93 ⋅ 52
=
= 2418 cm 2
2
2
b ⋅ h 93 ⋅ 23
=
= 1069,5 cm 2
2
2
Por lo tanto, el área de la figura es:
A = 2418 + 1069,5 = 3487,5 cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para calcular las áreas de los triángulos, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el
esquema de la fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
Cuando ya tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para
multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer el resultado.
38
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Figura 72.
2. El segundo paso es una suma, para lo que escribimos ambos sumandos y el signo (+) que
encontramos en el teclado. Cuando esté lista la suma, pinchamos en el símbolo ‘=’ y obtenemos la
solución.
Figura 74.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
39
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
d)
Figura 75.
Solución:
Como podemos ver, el cálculo de la zona amarilla es bastante complejo, pero podemos calcular el área
de los dos triángulos iguales que están coloreados de blanco y al área del cuadrado, para que restando
el primero al segundo, obtengamos el área que resta.
Cálculo de uno de los triángulos blancos:
Uno de los catetos es igual a un lado del cuadrado y el otro es la diferencia entre un lado y 8
centímetros. Por lo tanto, tenemos la base y la altura del triángulo:
A=
b ⋅ h 12 ⋅ 20
=
= 120 cm 2
2
2
Ahora calculamos el área del cuadrado:
A = l 2 = 20 2 = 400 cm 2
Finalmente, el área coloreada de amarillo es igual a:
A = 400 − (120 ⋅ 2 ) = 160 cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para calcular las áreas de los triángulos, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el
esquema de la fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
Cuando ya tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para
multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer el resultado.
40
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
Figura 76.
2. Para calcular el área, resolvemos una potencia. Lo primero es escribir la base de la potencia
recordando que la coma decimal en Wiris se sustituye por un punto. Después, pinchamos en el icono
‘Potencia’ que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’ y rellenamos el hueco. Cuando esté planteada,
pinchamos en el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 77.
3. Finalmente, realizamos un cálculo usando los paréntesis, el signo de resta y el de multiplicación que
encontramos en el teclado. Pinchamos en ‘=’ para obtener la solución.
Figura78.
41
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 20.
Calcular el área de un segmento circular de 60º de amplitud en un círculo de 12 cm de radio.
Figura 79.
Solución:
El área del segmento circular se halla restando, del área del sector, el área del triángulo.
π ⋅ 12 2 ⋅ 60º
= 75,4 cm 2
•
Área del sector:
•
Área del triángulo. Observa que es equilátero, ya que OA = OB y Aˆ Oˆ Bˆ = 60º
360º
Altura: h = 12 2 − 6 2 ≈ 10,4 cm
Área:
•
12 ⋅ 10,4
= 62,4 cm 2
2
Calcula el área del segmento circular:
75,4 − 62,4 = 13 cm 2
42
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para calcular las áreas de los triángulos, resolvemos una operación aritmética. Lo primero es escribir el
esquema de la fracción, pinchando en el icono ‘Fracción’, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’.
Cuando ya tengamos el esquema planteado, lo rellenamos con los datos, recordando que para
multiplicar usamos el asterisco (*) del teclado, para la potencia usamos la función ‘Potencia’ que se
encuentra también en la pestaña ‘Operaciones’. Para insertar π , pinchamos en el icono correspondiente,
que se encuentra en la pestaña ‘Símbolos’. Cuando esté planteada, pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer el resultado.
Figura 80.
2. Para obtener la altura y el área del triángulo calculamos una raíz y una fracción. Para ello, pinchamos
en los iconos correspondientes de la pestaña ‘Operaciones’. Después pinchamos en el icono ‘=’ para
conocer el resultado.
Figura 81.
43
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
3. Finalmente, para calcular el área del segmento circular restamos dos valores. Para el signo de restar,
utilizamos el guión del teclado (-).
Figura 82.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 21.
Calcula la altura de este triángulo, aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos
rectángulos que aparecen. Después, halla su área.
Figura 83.
Solución:
Planteamos un sistema de ecuaciones:
44
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
a 2 = b 2 + c 2 → b = a 2 − c 2 = 25 2 − (28 − x )2 


a 2 = b 2 + c 2 → b = a 2 − c 2 = 17 2 − x 2

625 − 784 − x 2 + 56 x = 289 − x 2 → 56 x = 448 → x = 8
Cuando ya tengamos el valor de x, sustituimos en una de las dos ecuaciones para obtener la altura:
b = 17 2 − 8 2 = 15
La altura, que es igual al cateto, vale 15 cm.
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’ que se encuentra en
la pestaña ‘Operaciones’. Después, indicamos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pinchamos en
el botón ‘Aceptar’.
Figura 84.
2. Después rellenamos el esquema planteado recordando que para insertar una potencia pinchamos en
el icono ‘Potencia, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando esté planteada, pinchamos en
el icono ‘=’ para conocer el resultado.
45
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 85.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
Ejercicio 22.
Halla la altura del trapecio siguiente. Después, calcula su área.
Figura 86.
Solución:
Planteamos un sistema de ecuaciones:
a 2 = b 2 + c 2 → b = a 2 − c 2 = 25 2 − (28 − x )2 


a 2 = b 2 + c 2 → b = a 2 − c 2 = 17 2 − x 2

625 − 784 − x 2 + 56 x = 289 − x 2 → 56 x = 448 → x = 8
Cuando ya tengamos el valor de x, sustituimos en una de las dos ecuaciones para obtener la altura:
b = 17 2 − 8 2 = 15
46
[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 9. Problemas métricos en el plano.
La altura, que es igual al cateto, vale 15 cm.
Para calcular el área del trapecio, obtendremos primero los valores de las áreas de las tres figuras
que lo componen, para después sólo tener que sumarlos. Para ello, sólo nos faltan dos datos que
son las bases de los dos triángulos, que al ser rectángulos los obtendremos de aplicar el teorema
de Pitágoras.
BASE DEL TRIÁNGULO 1:
a 2 = b 2 + c 2 → 25 2 = 15 2 + c 2 → c = 25 2 − 15 2 = 400 = 20cm.
BASE DEL TRIÁNGULO 2:
a 2 = b 2 + c 2 → 17 2 = 15 2 + c 2 → c = 17 2 − 15 2 = 64 = 8cm.
ÁREA DEL TRIÁNGULO 1:
A=
b ⋅ a 20 ⋅ 13
=
= 130cm 2
2
2
ÁREA DEL TRIÁNGULO 2:
A=
b ⋅ a 8 ⋅ 13
=
= 52cm 2
2
2
ÁREA DEL CUADRADO:
A = lado ⋅ lado = 12 ⋅ 13 = 156cm 2
ÁREA DEL TRAPECIO:
AT = A1 + A2 + A3 = 130 + 52 + 156 = 338cm 2
- Ahora lo resolveremos con Wiris:
1. Para resolver un sistema de ecuaciones, pinchamos en el icono ‘Resolver sistema’ que se encuentra en
la pestaña ‘Operaciones’. Después, indicamos cuántas ecuaciones queremos que tenga y pinchamos en
el botón ‘Aceptar’.
47
3º ESO [EDUCANDO CON WIRIS]
Figura 87.
2. Después rellenamos el esquema planteado recordando que para insertar una potencia pinchamos en
el icono ‘Potencia, que se encuentra en la pestaña ‘Operaciones’. Cuando esté planteada, pinchamos en
el icono ‘=’ para conocer el resultado.
Figura 88.
Enlace con el ejercicio resuelto en la Web:
48