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Sección Departamental de Matemática Aplicada
E.T.S. Arquitectura. U.P.M.
Curvas y Superficies
Hoja 2. Superficies
1. Obtener una representación paramétrica regular para cada una de las siguientes
superficies de R3 :
(a) El paraboloide de ecuación cartesiana: z = 4x2 + y 2 .
(b) La hoja del cilindro hiperbólico de ecuación cartesiana: x2 − y 2 = 1, con x > 0.
(c) La superficie de revolución obtenida al girar la parábola de ecuaciones cartesianas: y = 1 + x2 , z = 0 alrededor del eje X.
(d) La superficie formada por rectas que se apoyan en la elipse de ecuaciones
2
2
cartesianas: x9 + y4 = 1, z = 0, y son paralelas a la recta de ecuaciones:
x − y + z = 1, x − 2z = 0.
(e) Hallar la superficie reglada, denominada conoide, formada por rectas que se
apoyan en la circunferencia x2 + z 2 = 4, y = 1, en el eje OZ y son paralelas al
plano x + z − 3 = 0.
2. Se considera√la √
superficie S parametrizada por ~r(u, v) = (eu cos v, eu sin v, u) y el
punto P = ( 22 , 22 , 0).
(a) Hallar el plano tangente y la recta normal a S en P .
(b) Hallar las curvas coordenadas en el punto P . ¿Qué ángulo forman?
(c) Hallar el ángulo formado por las curvas imagen de v =
mediante la parametrización dada.
π
4
+u y v =
π
4
−u
(d) Indicar la integral doble que representa el área de la superficie imagen mediante
la parametrización dada de [−1, 0] × [0, π].
3. Se considera la superficie S parametrizada por ~r(u, v) = (ev cos u, ev sin u, (v − 1)2 ),
(u, v) ∈ [0, 2π) × [−1, 2] y el punt0 P = (0, 1, 1).
(a) Calcular los puntos singulares de S.
(b) Hallar el ángulo que forman las curvas imagen de v = 0 y v = u − π2 .
4. Consideramos la superficie generada al girar alrededor del eje OZ la curva z = log x
contenida en el plano y = 0.
(a) Si v es el ángulo de rotación, obtener una parametrización de la superficie.
(b) Determinar el vector normal y el plano tangente en el punto P = (1, 0, 0).
(c) Determinar la primera forma fundamental en el punto P = (1, 0, 0).
(d) Hallar las curvas paramétricas en el punto P . ¿Son ortogonales?
(e) Se considera la curva contenida en la superficie dada por ~γ (t) = ~r(t + 1, t) con
t ∈ [0, 2π] que pasa por P . ¿Qué ángulo forma ~γ con las curvas paramétricas
en P ?
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5. Se considera la superficie S parametrizada por ~r(u, v) = (u cos v + sin v, cos v −
u sin v, u) siendo u ∈ R, v ∈ (−π, π).
Justificar razonadamente si la superficie presenta puntos en los que las curvas coordenadas se cortan ortogonalmente.
6. Parametrizar la catenoide obtenida al girar la catenaria con parametrización ~γ (v) =
(2 cosh v, 0, 2v) alrededor del eje OZ. Representar sus curvas paramétricas en un
punto regular y hallar el ángulo que forman, utilizando la primera forma fundamental.
7. Se considera la superficie S con representación paramétrica
~r(u, v) = u, (u2 − 1) cos v, (u2 − 1) sin v , u ∈ [1, 2], v ∈ [0, 2π).
Se pide:
(a) Determinar los puntos singulares.
(b) Matriz de la primera forma fundamental en el punto P de coordenadas (2, −3, 0).
(c) Hallar el ángulo que forman las dos curvas coordenadas que contienen al punto
P de coordenadas (2, −3, 0).
8. Hallar el área del helicoide parametrizado como

 x(u, v) = u cos v
y(u, v) = u sin v

z(u, v) = v
con 0 ≤ u ≤ 1 y 0 ≤ v ≤ 2π.
9. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie parametrizada por
(u, v) ∈ R2
~r(u, v) = (u2 + v 2 , u3 , v 3 ),
que sea paralelo al plano 3x − 2y − 2z = 0. Hallar el vector unitario normal a dicha
superficie en el punto (2, 1, 1).
10. Hallar la primera forma fundamental de las superficies parametrizadas por:
(a) x(u, v) = u, y(u, v) = v, z(u, v) = uv,
(u, v) ∈ R2 .
(b) x(u, v) = u, y(u, v) = u + v, z(u, v) = u − v,
(u, v) ∈ R2 .
11. Dada la siguiente parametrización de la esfera de radio 1 y centro el origen de
coordenadas,
~r(u, v) = (cos u cos v, cos u sin v, sin u),
(u, v) ∈ (−π/2, π/2) × [0, 2π),
se pide:
(a) Expresión de la primera forma fundamental.
(b) La longitud de la curva imagen de la curva parámetro u = k1 (constante) sobre
la esfera.
(c) La longitud de la curva imagen de la curva parámetro v = k2 (constante) sobre
la esfera.
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12. Hallar el área de las superficies dadas por:
(a) ~r(u, v) = (2 cos v, 2 sin v, u),
(u, v) ∈ [0, 3] × [0, 2π).
(b) z = xy, para (x, y) ∈ D = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 ≤ 1}.
13. Se considera la superficie dada por la siguiente parametrización:
~r(u, v) = (u+v, u2 −v 2 , u−v),
(u, v) ∈ D = {(u, v) ∈ R2 |
1
≤ v ≤ u, 1 ≤ u ≤ 2}.
u
(a) Hallar la longitud de las curvas imagen de z = k, constante.
(b) Hallar los puntos de la superficie en los que las curvas paramétricas son ortogonales.
14. Se considera la superficie S parametrizada por
~r(u, v) = (u, u + v, u3 − v 2 )
y la curva contenida es S parametrizada por
α
~ (t) = (0, t, −t2 ).
Hallar el ángulo que forma la curva dada con cada una de las curvas coordenadas
en el punto P = (0, 1, −1),
15. Demostrar que la primera forma fundamental de una superficie S en un punto P depende de la parametrización de la superficie elegida. (Pista: tomar dos parametrizaciones diferentes de la superficie de ecuación z = x2 + y 2 ).