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MOVIMIENTO CIRCULAR
Cinemática
Dinámica
Ejemplos
CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Línea de referencia
Δθ
ϖ≡
Δt
lim Δθ dθ
ω≡
=
Δt → 0 Δt
dt
RELACION ENTRE EL ANGULO EL ARCO Y EL RADIO
S
θ
R
S
θ=
R
RADIANES
π =?
Velocidad angular
Una mariquita está sentada al borde exterior de
un disco rotante, y un bicho se sienta a la mitad
del camino entre ella y el eje de rotación
rotación. El
disco hace una revolución completa una vez
cada segundo. La velocidad angular del bicho
comparada
d con lla velocidad
l id d angular
l d
de lla
mariquita es:
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
La mitad
Igual.
El doble.
Imposible determinarla
Velocidad angular
Considere el objeto girando uniformemente mostrado
j ¿
¿Si la velocidad angular
g
del objeto
j
es un
en el dibujo.
vector (apunta en una cierta dirección en el espacio)
Qué dirección particular debemos asociar con esta
velocidad angular?
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
±x
±y
±z
Alguna otra dirección
Cinemática del MCU
• Movimiento con W= constante
dθ
=w
dt
θ = wt + θ 0
θ = θ0
t =0
θ = wt + C
• Es una línea recta
• Propiedades numéricas diferentes a w:
2π = wT
1
w
ν= =
T 2π
• Calcular Período de la tierra
tierra, de spin y orbital
orbital, w=?
LA VELOCIDAD ANGULAR Y LA VELOCIDAD
TANGENCIAL
r
v
ΔS
R
Δθ
R
r
v
Δθ
ω=
Δt
S
θ=
R
ω=
ΔS
RΔt
v
ω=
R
w
V = rw
Demostrar
vt = rw
Δw
α≡
Δt
lim Δw dw
α≡
=
Δt → 0 Δt
dt
at = αr
Demostrar:
v x = − wy
Que la dirección
de la aceleración
es centrípeta
v y = wx
ax = −w x
2
a y = −w y
2
2
vt
ar = rw =
= vt w
r
2
Cinemática del Movimiento Circular Acelerado
• Movimiento con
ddw
=α
dt
α = constante
w = αt + w0
w = w0
dθ
= αt + w0
dt
1 2
θ = αt + w0t + θ 0
2
w − w0 = 2α (θ − θ 0 )
2
2
t =0
Aceleración y velocidad en el plano
Cuerpo
Lanzado
verticalmente
hacia arriba
Movimiento de
un proyectil
Movimiento
circular
Aceleración
Una mariquita está sentada al borde exterior de un disco
rotante que está reduciendo su velocidad. Al momento
mostrado en la figura, la componente radial de la
aceleración de la mariquita es:
•
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3
3.
4.
5.
6.
7.
En la dirección de +x.
En la dirección de -x.
E la
En
l di
dirección
ió d
de +y.
En la dirección de -y.
En la dirección de +z.
z.
En la dirección de -z.
Cero.
Aceleración
Una mariquita está sentada al borde exterior de un disco
rotante que está reduciendo su velocidad. Al momento
mostrado en la figura, la componente tangencial de la
aceleración de la mariquita es:
•
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3
3.
4.
5.
6.
7.
En la dirección de +x.
En la dirección de -x.
E la
En
l di
dirección
ió d
de +y.
En la dirección de -y.
En la dirección de +z.
z.
En la dirección de -z.
Cero.
Movimiento circular aceleración
Si el objeto aumenta su velocidad a lo largo de la
trayectoria circular mostrada abajo, su aceleración
apunta:
4
1.
2.
3.
4.
5.
Hacia el centro de la trayectoria circular.
g
a la trayectoria.
y
En una dirección tangencial
Hacia afuera.
Hacia adentro
Ninguna de las anteriores
Aceleración en la rotación
Un objeto sigue la trayectoria circular mostrada abajo en sentido
contrario a las agujas del reloj. En la medida que este se mueve, el
p
continuamente al p
punto fijo
j S. El objeto
j
vector de aceleración apunta
:
1.
2.
3.
4.
5.
6
6.
7.
Aumenta la velocidad en P, Q, y R.
Reduce la velocidad en P, Q, y R.
Aumenta la velocidad en P y reduce la velocidad en R.
Reduce la velocidad en P y aumenta la velocidad en R.
Aumenta la velocidad en Q.
Reduce la velocidad en Q
Q.
Ningún objeto puede ejecutar tal movimiento.
Ejercicios
• Calcular: Velocidad tangencial de la tierra
en el ecuador y a una latitud de 30 grados
• Calcular ff, w
w, vt , de un satélite terrestre de
90 minutos de período y a una altura de
200 km.
km
Dinámica del Movimiento circular
Fneta = mar = mrw
2
Fuerzas en un giro
Usted es el copiloto en un carro de carreras que se acerca a una
curva después de una larga recta. Cuando el carro gira a la
q
siguiendo
g
una trayectoria
y
de arco circular con
izquierda
velocidad constante, usted se siente apretado contra la puerta
del automóvil. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta
(asuma que el automóvil no se resbala en la pista)?
1.
2.
3.
4.
5.
Una fuerza centrípeta lo empuja a usted contra la puerta.
No hay ninguna fuerza que lo empuje a usted contra la puerta.
La fuerza de fricción del piso lo empuja usted contra la puerta.
No hay ninguna fuerza centrípeta que actúa sobre usted.
Usted no puede analizar esta situación en términos de las
f
fuerzas
que actúan
tú sobre
b usted
t d porque usted
t d está
tá acelerando.
l
d
6. Dos de las anteriores.
7. Ninguna de las anteriores.
Fuerzas en una curva
Un camión, con un balón en el piso libre de
rodar sobre el mismo, hace un giro a la
derecha. ¿Cuál de las siguientes fuerzas
causan que el balón ruede al lado izquierdo
sobre el piso del camión?
1.
La fuerza de fricción
2.
La fuerza centrífuga
3.
La normal del piso del camión
4.
La fuerza de la gravedad
g
fuerza
5.
Ninguna
Fuerza centrípeta
Una usuaria del parque de diversiones está montada
en el cilindro rotante, allí ella se encuentra pegada a
la pared del cilindro por su espalda.
espalda Cual de los
diagramas abajo representa mejor las fuerzas que
actúan sobre ella?
Velocidad angular
En el cilindro rotante en el parque de diversiones, el
cilindro debe rotar con cierta velocidad angular
mínima para que el usuario de masa m1 se pegue a la
pared. ¿Esta velocidad angular mínima cambia para
un usuario de masa m2>m1?
1. Sí
2 No
2.
Fuerzas en una rotación vertical
Una piedra atada a una cuerda se gira en un
plano vertical. Sean T1, T2, T3, y T4 las
tensiones en las posiciones 1, 2, 3, y 4
respectivamente para que la piedra tenga una
velocidad v0 en todas las posiciones
posiciones.
1.
2.
3.
4.
T3 T2
T3>
T2> T1 = T4
T1 = T2 = T3 = T4
T1> T2 = T4> T3
Ninguno de los anteriores
T + mgg = mrw
2
Fuerzas colineales
Fuerza centrípeta y tensión
Una pelota atada a una cuerda se gira en un
círculo vertical con rapidez constante. ¿En
qué punto en el círculo es más grande la
tensión?
1. En la cima
2. En el fondo
3. La tensión es la misma en todas partes
para contestar
4. La información es insuficiente p
esta pregunta
N + mg = mrw
Fuerzas colineales
2
Fuerza y aceleración centrípeta
¿Cuál(es) de los siguientes tipos de fuerza
pueden producir una aceleración centrípeta?
1.
1
2.
3
3.
4.
5
5.
La fuerza normal
La fuerza de fricción
La fuerza de tensión
La fuerza gravitatoria
Todas las anteriores
Fuerza centrípeta, Fricción
Considere un pequeño cubo sobre una plataforma de un
tocadiscos rotando. Como se muestra en la figura, el
diagrama de cuerpo libre para el cubo se muestra a la
derecha. El cubo gira:
1. Debido a su inercia.
2. Debido de su inercia rotatoria.
3. Debido a la fricción.
4. Debido a alguna otra razón.
5 No gira
5.
gira, ¡Vuela hacia el centro!
mv
f =
r
2
N cos θ − f sin θ − mg = 0
2
f
mv
=
− mg tan
t θ
cos θ
r
mv 2
N sin θ + f cos θ =
r
Peralte ideal
v2
tan θ =
rg
Fuerza centrípeta
Un cuerpo de inercia M se está moviendo
circularmente con velocidad uniforme sobre una
mesa sin fricción como se muestra en la figura.
figura El
cuerpo esta atado por una cuerda a otro de igual
inercia que esta suspendido en reposo debajo de la
mesa. La mitad de la cuerda está sobre la mesa y la
otra mitad por debajo. ¿Cuál es la aceleración
centrípeta del cuerpo rotando?
1.
2.
3.
4.
5
5.
Menor que g
Igual a g
Mayor que g
Cero
Falta información
Fuerza centrípeta
Un cuerpo de inercia M se está moviendo circularmente
con velocidad uniforme sobre una mesa sin fricción
como se muestra en la figura. El cuerpo esta atado por
una cuerda
d a otro
t de
d igual
i
l inercia
i
i que esta
t suspendido
did
en reposo debajo de la mesa. Ahora, el cuerpo colgante
se jala hacia abajo de tal forma que la porción colgante
de la cuerda es más larga que la porción sobre la mesa
(sin cambiar la longitud total de la cuerda), el cuerpo
colgante permanece en reposo. ¿Cual es ahora la
aceleración centrípeta
p
del cuerpo
p rotante?
1.
1
2.
3.
4
4.
5.
Menor que g
Igual a g
Mayor que g
C
Cero
Falta información
mv 2
T sin θ =
r
v2
tan θ =
rg
Fuerza centrípeta, MCU
Dos monedas idénticas se colocan una encima de la otra sobre la
plataforma de un tocadiscos. La plataforma gira a velocidad angular
constante y las monedas rotan sin resbalarse. ¿Cuáles de las
siguientes
i i t afirmaciones
fi
i
son ciertas?
i t ?
1. La fuerza neta que actúa sobre la moneda del fondo tiene la misma
magnitud y dirección que la fuerza neta que actúa sobre la moneda
de encima.
2. La fuerza neta en cada moneda depende del coeficiente de fricción
estática.
3 La
3.
L fuerza
f
de
d ffricción
i ió estática
táti ejercida
j id por lla plataforma
l t f
giratoria
i t i
sobre la moneda del fondo es mayor que la fuerza de fricción
estática ejercida por la moneda del fondo sobre la moneda de
encima.
4. La fuerza normal ejercida por la plataforma giratoria sobre la
moneda del fondo es mayor que la fuerza normal ejercida por la
moneda del fondo sobre la moneda de encima
5. El torque neto sobre cualquier moneda es cero.
Gravitación Movimiento circular uniforme
Suponga que la tierra no tiene atmósfera y que
una bola es disparada
p
desde la cima del Monte
Everest en una dirección tangente al piso. Si la
velocidad inicial fuera suficientemente grande
como para que la bola viaje en una trayectoria
circular alrededor de la tierra, la aceleración de
la bola debería ser:
• Mucho menor que g (debido a que la bola no
cae al piso).
p )
• Aproximadamente igual a g.
• Depende de la velocidad de la bola.
Problema de dos cuerpos
Condición geométrica : r1 + r2 = R
Condición dinámica :
m2
r1 =
m1 + m2
m1
r2 =
m1 + m2
• Centro de masa
m1r1w2 = m2 r2 w2
Sistema de referencia
•
•
•
•
Considere a dos personas en los lados
opuestos de un carrusel girando. Uno de ellos
l
lanza
una pelota
l
h i ell otro. En
hacia
E que sistema
i
de referencia el recorrido de la pelota es una
línea recta,, visto desde arriba?: ¿(
¿(a)) En el
sistema de referencia del carrusel o (b) En el de
Tierra?
1 Solo (a)
1.
2. (a) y (b) aunque los recorridos parecen
curvarse
3. Solo (b)
4. ninguno; porque la pelota es lanzada en
movimiento circular y su trayectoria es curva
curva.
Velocidad angular
g
Una mariquita está sentada al borde exterior de
un disco rotante que está reduciendo su
velocidad.
l id d El vector que expresa su velocidad
l id d
angular es:
•
•
•
•
•
•
•
1.
2.
3.
4.
5
5.
6.
7
7.
En la dirección de +x.
En la dirección de -x.
En la dirección de +y.
En la dirección de -y.
E la
En
l di
dirección
ió d
de +z.
En la dirección de -z.
Cero
Cero.
Fuerza aceleración
Considere las tres situaciones siguientes: (ignore la fricción)
p
sobre una p
pista. Ellos tienen la misma
i)) Dos carros están en reposo
masa y están separados una distancia d.
ii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la
misma masa y están conectados por una varilla muy liviana de
g
d.
longitud
iii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la
misma masa y están conectados por un resorte muy liviano de
longitud de equilibrio d.
Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en
cada caso. La aceleración del centro de masa del sistema de los
dos carros es:
•
•
•
•
•
Mas grande
M
d en ell caso ii.
Mas grande en el caso ii.
Mas grande en el caso iii.
Igual en los dos casos
casos.
Igual en los tres casos.
Resortes
Considere un cuerpo suspendido de un resorte
extendido Si se suelta,
extendido.
suelta el cuerpo viajará hacia
arriba hasta cierto punto y luego se detiene,
invierte su dirección y comienza a bajar. Cual de
las siguientes afirmaciones es correcta?
• Cuando la fuerza neta ((Fnet) sobre el cuerpo
p
apunta hacia arriba el cuerpo se mueve hacia
arriba y cuando apunta hacia abajo el cuerpo se
mueve hacia abajo.
• Cuando Fnet apunta hacia arriba, el cuerpo se
mueve hacia abajo, y cuando Fnet apunta hacia
abajo el cuerpo apunta hacia arriba
arriba.
• Ninguna de las anteriores.
Fuerza aceleración
Considere las tres situaciones siguientes: (ignore la fricción)
p
sobre una p
pista. Ellos tienen la misma
i)) Dos carros están en reposo
masa y están separados una distancia d.
ii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la
misma masa y están conectados por una varilla muy liviana de
g
d.
longitud
iii) Dos carros están en reposo sobre una pista. Ellos tienen la
misma masa y están conectados por un resorte muy liviano de
longitud de equilibrio d.
Se aplica una fuerza externa F al carro del extremo izquierdo en
cada caso. La aceleración en el carro de la izquierda es:
•
•
•
•
•
Mas grande en el caso i.
Mas grande en el caso ii.
Mas grande en el caso iii.
Igual en los dos casos.
Ig al en los tres casos
Igual
casos.
Fuerzas en una curva
Un automóvil se encontró fuera de la vía. Cuando la
policía vino a investigar, ellos notaron que los
objetos en la parte de atrás del automóvil estaban
amontonados contra la pared del lado del pasajero.
¿Qué pueden concluir ellos sobre lo que le pasó al
automóvil?
1. Visto desde arriba, el auto giró en el sentido de las
agujas del reloj cuando se salió de la vía.
2 Visto desde arriba
2.
arriba, el auto giró en el sentido
contrario de las agujas del reloj cuando se salió de
la vía.
3. No giró cuando se salió de la vía.
Preguntas
g
séptima
p
sesión
• Describa
las
regularidades
observadas
experimentalmente en la colisión de dos cuerpos
en línea recta.
• En qué consiste el “experimento pensado” de
Ch i ti Huygens.
Christian
H
• Como se define el impulso y el momento o
cantidad de movimiento? ((momentum)) y
describa la relación matemática entre ellos.
• En que consiste el principio de conservación de
la cantidad de movimiento y cual es su relación
con la segunda ley de Newton.
• Que es y como se calcula el centro de masa de
un sistema
i t
d partículas.
de
tí l