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Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierı́a y Agrimensura
Departamento de Matemática
Escuela de Ciencias Exactas y Naturales
GEOMETRÍA I
Licenciatura en Matemática - Profesorado en Matemática - Año 2014
Equipo docente: Dr. Francisco Vittone - Prof. Ana Laura Alet - Melani Barrios.
Unidad 13: Curvas y superficies en el espacio.
1.
Introducción
En esta segunda parte de la materia nos hemos abocado al estudio de la geometrı́a analı́tica. Vimos como a
partir de la introducción de coordenadas hemos podido utilizar herramientas algebraicas para resolver problemas
geométricos. Nuestro principal objetivo fue obtener las ecuaciones cartesianas y paramétricas de algunas curvas
elementales y estudiar sus propiedades. Estas curvas son las rectas y las secciones cónicas. A partir de nuestro
estudio hemos logrado resolver un problema algebraico importante: clasificar qué lugar geométrico describen las
raices de un polinomio lineal o cuadrático en dos variables, y de un polinomio lineal en tres variables. Es decir,
hemos visto que las soluciones de
ax + by + c = 0
pueden pensarse como las coordenadas de puntos que yacen sobre una recta en el plano normal al vector
n = (a, b), y las soluciones de
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
representan las coordenadas de puntos del plano que yacen sobre una cónica (eventualmente degenerada).
La única superficie en el espacio que hemos estudiado es el plano, y hemos visto que las coordenadas de sus
puntos constituyen el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma
ax + by + cz + d = 0.
De esta manera en este estudio interrelacionado de la geometrı́a y el álgebra surgen dos problemas fundamentales:
1. dada una ecuación de la forma F (x, y) = 0 o F (x, y, z) = 0 interpretar que lugar geométrico del plano o
del espacio describen sus soluciones, y qué propiedades geométricas tienen estos lugares geométricos;
2. dado un lugar geométrico del plano o del espacio, encontrar una o más condiciones algebraicas (ecuaciones
o inecuaciones) que lo describen, es decir, que satisfacen únicamente las coordenadas de los puntos que
a él pertenecen.
1
En esta última unidad trataremos de resolver ambos problemas para algunos casos particulares importantes
de superficies en el espacio.
El próximo problema a resolver en la dirección que hemos tomado, es sin duda determinar qué lugar geométrico del espacio representa una ecuación cuadrática en tres variables, es decir, una ecuación de la forma
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0.
Una ecuación de este tipo representará generalmente una superficie en el espacio denominada superficie cuádrica.
El ejemplo más simple de una superficie cuádrica es la superficie esférica.
Recordemos que dado un punto P0 y un número real positivo r, una superficie esférica (muchas veces
llamada directamente esfera) de centro P0 y radio r es el lugar geométrico de los puntos P del espacio tales
que d(P, P0 ) = r.
Si P0 (x0 , y0 , z0 ), y denotamos E(P0 , r) a la esfera de centro P0 y radio r, tenemos
p
P ∈ E(P0 , r) ⇔ d(P, P0 ) = r ⇔
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r
⇔ (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2
Distribuyendo, vemos que una superficie esférica tiene siempre una ecuación de la forma
Ax2 + Ay 2 + Az 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0
donde A = 1, G = −2x0 , H = −2y0 , I = −2z0 , J = (x20 + y02 + z02 ) − r2 .
Concluiremos esta unidad con el estudio de las curvas en el espacio. Ya hemos visto que una recta en el
espacio no admite una única ecuación cartesiana, sino que debe ser representada como un sistema de ecuaciones
lineales en tres variables, cada una de las cuales representa la ecuación de un plano en el espacio. Esta será la
situación general para una curva en el espacio, para dar sus ecuaciones cartesianas deberemos pensarla como
intersección de dos superficies. Sin embargo, existen muchas curvas en el espacio que no pueden obtenerse como
intersección de dos superficies. Para describirlas consideraremos sus ecuaciones paramétricas.
2.
Superficies cuádricas
Dedicaremos esta sección al estudio de las ecuaciones del tipo
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0.
(1)
y de los lugares geométricos del espacio que ellas determinan.
Esto quiere decir que suponemos dado un sistema de coordenadas Oxyz en el espacio, y nos interesa
determinar el conjunto
L = {Q(x, y, z) : Ax2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0}.
Diremos que L es el lugar geométrico asociado a la ecuación (1), o que (1) es la ecuación cartesiana de L en
el sistema de coordenadas Oxyz. Veremos en seguida que si cambiamos el sistema de coordenadas, la ecuación
de L cambia, pero es importante recalcar una vez más que L sigue siendo el mismo subconjunto del espacio.
2
Observemos que los coeficientes fundamentales de la ecuación (1) son A, B y C. En caso que los tres se
anulen, (1) representará un plano en el espacio, cuyas propiedades ya hemos estudiado. Nos ocuparemos por lo
tanto de ver que lugares geométricos describe cuando alguno de los tres coeficientes A, B o C es no nulo.
Dividiremos el estudio en varios casos, dependiendo de los coeficientes A, B y C.
Supongamos primero que A, B, C 6= 0. Si completamos cuadrados, veremos que (1) es equivalente a
A(x − x0 )2 + B(y − y0 )2 + C(z − z0 )2 = K
(2)
para adecuados x0 , y0 , z0 y K (por ejemplo, x0 = −G/2A). Por lo tanto el lugar geométrico que describe es
L = {P (x, y, z) : A(x − x0 )2 + B(y − y0 )2 + C(z − z0 )2 = K}
Para simplificar el estudio de (2),comenzaremos eligiendo un sistema de coordenadas adecuado O0 x0 y 0 z 0 en el
cual
L = {P (x0 , y 0 , z 0 ) : Ax02 + By 02 + Cz 02 = K}
2.1.
Cambio de coordenadas por traslación de ejes
Repetiremos aquı́ para el espacio lo que hemos ya hecho en el plano. Consideremos un sistema de coordenadas
Oxyz dado en el espacio. Sea ahora O0 un punto del espacio de coordenadas (x0 , y0 , z0 ) en el sistema Oxyz
y consideremos un sistema de coordenadas O0 x0 y 0 z 0 centrado en O0 , de modo que la escala en O0 x0 y 0 z 0 y en
Oxyz sea la misma, los ejes x0 , y 0 y z 0 sean paralelos a los ejes x, y y z respectivamente, y ambos estén
igualmente orientados. Esto es, si P1 , P2 , y P3 , y P10 , P20 y P30 son los puntos de coordenadas (1, 0, 0), (0, 1, 0),
−−−→
−−−→
−−→
−−→
(0, 0, 1) en los sistemas Oxyz y O0 x0 y 0 z 0 respectivamente, entonces OP1 = O0 P10 = i, OP2 = O0 P20 = j y
−−→ −−0−→0
OP3 = O P3 = k.
Consideremos ahora un punto P de coordenadas (x, y, z) en el sistema Oxyz y de coordenadas (x0 , y 0 , z 0 )
en el sistema O0 x0 y 0 z 0 . Entonces resulta claro que
−−→0
−−→
−−→
OO = x0 i + y0 j + z0 k; OP = x i + y j + z k; O0 P = x0 i + y 0 j + z 0 k
3
−−→ −−→ −−→
Observando que OP = OO0 + O0 P resulta
x = x0 + x0 ; y = y0 + y 0 ; z = z0 + z 0
de donde se obtienen las ecuaciones siguientes que relacionan las coordenadas de un punto en el sistema Oxyz
con sus coordenadas en el sistema O0 x0 y 0 z 0 :

0

 x = x0 + x
y = y0 + y 0 ,


z = z0 + z 0

0

 x = x − x0
y 0 = y − y0

 0
z = z − z0
(3)
Analicemos algunos ejemplos.
Consideremos dado un sistema de coordenadas Oxyz y sea E la esfera de centro en O0 (1, 1, 2) y radio 2.
Entonces en el sistema Oxyz, E tiene ecuación
(x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 2)2 = 4.
Consideremos ahora el sistema O0 x0 y 0 z 0 . Si P es un punto del espacio de coordenadas (x, y, z) en el sistema
Oxyz y coordenadas (x0 , y 0 , z 0 ) en el sistema O0 x0 y 0 z 0 , entonces

0

 x =x−1
y0 = y − 1

 0
z =z−2

0

 x=1+x
y = 1 + y0 ,


z = 2 + z0
y por lo tanto la ecuación de E en el sistema O0 x0 y 0 z 0 es
x02 + y 02 + z 02 = 1.
Sea ahora π el plano de ecuación
x − 2y + 3z − 5 = 0
en el sistema Oxyz. Entonces en el sistema O0 x0 y 0 z 0 , tendremos
P (x0 , y 0 , z 0 ) ∈ π ⇔
⇔
(x0 + 1) − 2(y 0 + 1) + 3(z 0 + 2) − 5 = 0
x0 − 2y 0 + 3z 0 = 0
lo cual es lógico, pues O0 ∈ π.
Volviendo al estudio de los lugares geométricos descritos por ecuaciones del tipo (1), con A, B, C 6= 0, vimos
que si L es un tal lugar geométrico, su ecuación en el sistema Oxyz puede escribirse como
A(x − x0 )2 + B(y − y0 )2 + C(z − z0 )2 = K
Por lo tanto en el sistema O0 x0 y 0 z 0 , centrado en el punto O0 (x0 , y0 , z0 ), L estará descrito por una ecuación de
la forma
Ax02 + By 02 + Cz 02 = K
4
Observemos que si K 6= 0, podemos dividir ambos miembros por K. Luego nos interesará estudiar lugares
geométricos cuya ecuación en algún sistema de coordenadas es alguna de las siguientes.
Ãx2 + B̃y 2 + C̃z 2 = 1
(4)
Ãx2 + B̃y 2 + C̃z 2 = 0.
(5)
Anlizaremos posteriormente qué ocurre cuando alguno de los coeficientes A, B o C se anulan.
2.2.
Elipsoides y esferas
Supongamos que tenemos un lugar geométrico E dado en un sistema de coordenadas Oxyz por la ecuación
(4) con Ã, B̃, C̃ > 0. Entonces existirán a, b, c > 0 tales que
à =
1
1
1
, B̃ = 2 , C̃ = 2
2
a
b
c
.
Por lo tanto la ecuación de E puede escribirse como
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
(6)
Observemos primero que el origen de coordenadas O(0, 0, 0) es el centro de simetrı́a de E. En efecto, si
P (x, y, z) ∈ E y P 0 = SO (P ), entonces P 0 (−x, −y, −z) y
(−x)2 (−y)2 (−z)2
x2 y 2 z 2
+
+
=
+ 2 + 2 = 1.
a2
b2
c2
a2
b
c
Por lo tanto P 0 ∈ E y entonces
SO (E) = E.
E es además simétrica respecto de los planos coordenados. En efecto, consideremos P (x, y, z) ∈ E y sea P 00
su simétrico respecto del plano xy. Entonces P 00 (x, y, −z) y es fácil verificar que si (x, y, z) satisfacen (6),
(x, y, −z) también la satisfacen. Con los otros planos coordenados ocurre lo mismo.
Para darnos una idea de la gráfica de E, intersecamos a E con planos paralelos a los planos coordenados.
Consideremos primero las intersecciones con los planos coordenados. Si intersecamos E con el plano xy,
obtenemos una curva tal que las coordenadas de sus puntos verifican las ecuaciones
 2
 2
y2 z2
y2
 x
 x
+
+
=
1
+
=1
⇔
a2
b2
c2
a2
b2
 z=0
 z=0
Es decir, E ∩ plano xy es una elipse (o una circunferencia) en el plano xy. Es importante notar que aquı́ los
valores a, b y c no tienen relación con los valores que definimos para estudiar las secciones cónicas, pudiendo
ser a ≥ b o a < b. Esto implica que el eje focal de esta elipse puese ser el eje x o el eje y. De cualquier manera,
sus vértices son los puntos de coordenadas
V1 (a, 0, 0), V2 (−a, 0, 0), V3 (0, b, 0), V4 (0, −b, 0).
5
Si intersecamos E con el plano yz, obtendremos la curva de ecuaciones
 2
 2
y2 z2
z2
 y
 x
+
+
=
1
+
=1
⇔
a2
b2
c2
b2
c2
 x=0
 x=0
que representa una elipse en el plano yz de vértices
V3 , V4 , V5 (0, 0, c), V6 (0, 0, −c).
Finalmente, la intersección de E con el plano xz, es la curva de ecuaciones
 2
 2
y2 z2
z2
 x
 x
+
+
=
1
+
=1
⇔
a2
b2
c2
a2
c2
 y=0
 y=0
que es una elipse de vértices V1 , V2 , V5 y V6 .
Para completar el análisis de la gráfica de E, lo intersecaremos con planos paralelos a los planos coordenados.
Las curvas que se obtienen de intersecar una superficie con un plano de estas caracterı́sticas se denominan trazas
de la superficie.
Tomaremos un plano paralelo al plano yz, o sea, de ecuación x = k. El análisis con los otros planos es
análogo y lo dejamos como ejercicio.
Sean entonces πk el plano de ecuación x = k. Entonces E ∩ πk es la curva tal que las coordenadas de sus
puntos verifican el sistema de ecuaciones
 2
 2
y2 z2
z2
k2
 y
 x
+
+
=
1
+
=
1
−
⇔
a2
b2
c2
b2
c2
a2
 x=k
 x=k
Tenemos entonces:
6
Si
k2
a2
< 1, o sea, si |k| < a, entonces E ∩ πk es una elipse en πk .
Si |k| = a, entonces E ∩ πa = {V1 } y E ∩ π−a = {V2 }.
Si |k| > a, entonces E ∩ πk = ∅.
Observemos que si |k| < a, entonces la elipse en el plano πk tiene centro en Pk (k, 0, 0) y ecuación
z2
y2
+
= 1, x = k
Bk2 Ck2
r
k2
donde Bk = b 1 − 2 < b. De la misma manera, Ck < c.
a
r
2
k
Bk = b 1 − 2 varı́a de b (k = 0) a 0 (k = a). Es decir que los planos πk cortan a E en elipses cada vez
a
más pequeñas centradas en puntos sobre el eje x que degeneran en los puntos V1 y V2 .
De manera completamente análoga, vemos que un plano de ecuación y = k intersecará a E en una elipse si
|k| < b, en el punto V3 o V4 si |k| = b y vacı́o si |k| > b. Y un plano de ecuación z = k intersecará a E en una
elipse si |k| < c, en el punto V5 o V6 si |k| = c y en el vacı́o si |k| > c.
Con el análisis anterior estamos en condiciones de reconstruir la gráfica de E. Mostramos en la siguiente
figura dos gráficas de lugares geométricos que verifican la ecuación (6) donde se evidencian las elipses que
se obtienen al cortar E con planos paralelos a los planos coordenados, y la interpretación geométrica de los
coeficientes a, b y c.
Observemos que si a = b = c, entonces (6) representa una esfera centrada en el origen de coordenadas de
radio a.
Definiciones:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas
Oxyz, L tiene una ecuación de la forma (6). Entonces L se denomina elipsoide de centro O. Los puntos
V1 , V2 , V3 , V4 , V5 y V6 que se obtienen de intersecar L con los ejes coordenados se denominan vértices del
elipsoide. Cuando a = b = c, L es una esfera de centro O y radio a.
Finalizamos observando que en el caso Ã, B̃, C̃ > 0, la ecuación (5) representa un punto en el espacio.
7
Ejemplos:
1. Sea E el lugar geométrico del espacio descrito por la ecuación
4x2 + 9y 2 + 18z 2 − 8x − 36y + 36z + 22 = 0.
Completando cuadrados tenemos
P (x, y, z) ∈ E
⇔ 4(x2 − 2x) + 9(y 2 − 4y) + 18(z 2 + 2z) + 22 = 0
⇔ 4(x − 1)2 − 4 + 9(y − 2)2 − 36 + 18(z + 1)2 − 18 + 22 = 0
(x − 1)2 (y − 2)2 (z + 1)2
⇔
+
+
=1
9
4
2
Si consideramos ahora el punto O0 (1, 2, −1), entonces las ecuaciones que relacionan las coordenadas
(x, y, z) de un punto P en el sistema Oxyz con las coordenadas (x0 , y 0 , z 0 ) de P en el sistema O0 x0 y 0 z 0
son


0+1
0


x
=
x

 x =x−1
y = y0 + 2 ,
y0 = y − 2




z = z0 − 1
z0 = z + 1
y 02
z 02
x02
+
+
= 1 en el sistema O0 x0 y 0 z 0 y por lo tanto E es un elipsoide con
9
4√ 2
centro en O0 y a = 3, b = 2, c = 2.
Luego E tiene ecuación
Sus vértices son los puntos V1 , · · · , V6 cuyas coordenadas en el sistema O0 x0 y 0 z 0 son (3, 0, 0), (−3, 0, 0),
√
√
(0, 2, 0), (0, −2, 0), (0, 0, 2), (0, 0, − 2). Por lo tanto las coordenadas de los vértices en el sistema Oxyz
√
√
original son V1 (4, 2, −1), V2 (−2, 2, −1), V3 (1, 4, −1), V4 (1, 0, −1), V5 (1, 2, 2 − 1) y V6 (1, 2, − 2 − 1).
En la siguiente figura mostramos dos vistas del elipsoide. Los ejes que aparecen son los ejes originales en
el sistema Oxyz.
En las siguientes figuras mostramos la intersección del elipsoide con los planos y 0 z 0 y x0 z 0 , en la primera,
y con el plano x0 y 0 en la segunda.
8
2. Sea E el elipsoide de vértices V1 (2, 0, 1), V2 (0, 0, 1), V3 (1, 2, 1), V4 (1, −2, 1), V5 (1, 0, 2), V6 (1, 0, 0).
El punto medio del segmento V1 V2 es el punto O0 (1, 0, 1). Es fácil ver que O0 es además el punto medio
del segmento V3 V4 y de V5 , V6 y por lo tanto O0 es el centro del elipsoide. Por lo tanto en el sistema
O0 x0 y 0 z 0 , E tendrá una ecuación de la forma
x02 y 02 z 02
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
donde a = d(O0 , V1 ) = 1, b = d(O0 , V3 ) = 2 y c = d(O0 , V5 ) = 1. Concluimos que la ecuación de E en
y 02
+ z 02 = 1. Como las coordenadas de un punto en los sitemas Oxyz y
el sistema O0 x0 y 0 z 0 es x02 +
4
O0 x0 y 0 z 0 se relacionan por las ecuaciones
x0 = x − 1, y 0 = y, z 0 = z − 1
resulta que la ecuación de E en el sistema Oxyz es
(x − 1)2 +
y2
+ (z − 1)2 = 1.
4
Esbozamos en la siguiente figura la gráfica de E.
9
2.3.
Hiperboloides y conos
Supongamos ahora que H es un lugar geométrico del espacio cuya ecuación es de la forma (4) en un sistema
Oxyz con uno de los coeficientes Ã, B̃ o C̃ negativo. Supondremos que Ã, B̃ > 0 y que C̃ < 0. El estudio de
los otros casos es completamente análogo. Podremos entonces encontrar coeficientes positivos a, b, c tales que
(4) se escribe como
x2 y 2 z 2
(7)
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
Al igual que como hicimos con los elipsoides, es fácil verificar que H es simétrico respecto de O y de los planos
coordenados.
Analizaremos primero las trazas de H sobre los planos coordenados. Si cortamos H con el plano yz, obtenemos una hipérbola de ecuaciónes
 2
z2
 y
−
=1
b2
c2
 x=0
o sea, es una hipérbola en el plano yz con eje focal el eje y. De manera análoga, la traza de H sobe el plano
xz es una hipérbola con eje focal el eje x y la traza sobre el plano xy es una elipse.
Si ahora analizamos las trazas sobre planos de ecuación x = k obtenemos
hipérbolas con eje focal paralelo al eje y si 1 −
k2
a2
> 0, o sea si |k| < a;
dos rectas secantes si |k| = a;
hipérbolas con eje focal paralelo al eje z si |k| > a.
Un análisis análgo vale para las trazas sobre planos de ecuación y = k.
Observemos que cuando intersecamos con planos de la forma z = k obtenemos siempre elipses con centros
2
sobre el eje z, pues 1 + kc2 > 0 cualquiera sea el valor de k.
Mostramos en la siguiente figura un esbozo de la gráfica de H con las distintas trazas.
10
Observemos que si la ecuación de H fuese de la forma
x2 y 2 z 2
− 2 + 2 =1 o
a2
b
c
−
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
su grafica serı́a respectivamente de la siguiente forma:
Definición:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas Oxyz,
L tiene una ecuación de la forma
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 = 1, 2 − 2 + 2 = 1 o − 2 + 2 + 2 = 1.
2
a
b
c
a
b
c
a
b
c
(8)
Entonces L se denomina hiperboloide de una hoja de centro O.
Analizaremos ahora el caso en que dos de los coeficientes Ã, B̃ y C̃ en (4) sean negativos. Supondremos
que Ã, B̃ < 0 y C̃ > 0. En ese caso, existirán números reales positivos a, b y c tales que (4) puede representarse
como
x2 y 2 z 2
− 2 − 2 + 2 = 1.
(9)
a
b
c
Sea H el lugar geométrico descrito por (9). Para determinar H procederemos como en los casos anteriores.
Comenzamos determinando las trazas sobre los planos coordenados. Cuando intersecamos H con el plano
xy, obtenemos que las coordenadas de los puntos P (x, y, z) que estén en esta intersección deben verificar

 x2 y 2
− 2 − 2 =1
a
c
 z=0
Con lo cual
H ∩ plano xy = ∅.
Cuando intersecamos H con el plano xz, obtendremos una curva cuyos puntos deberán verificar

 x2 z 2
− 2 + 2 =1
a
c
 y=0
11
que es una hipérbola en el plano xz con eje focal el eje z y vértices V1 (0, 0, c), V2 (0, 0, −c).
Finalmente cuando intersecamos H con el plano yz obtendremos una curva cuyos puntos deberán verificar

 y2 z2
− 2 + 2 =1
b
c
 y=0
que es nuevamente una hipérbola, ahora en el plano yz, con eje focal el eje z y los mismos vértices V1 (0, 0, c),
V2 (0, 0, −c).
Observemos que si bien H tiene intersección vacı́a con el plano xy, cuando consideramos la intersección
con planos paralelos a éste, es decir, de ecuación z = k, obtenemos que los puntos P (x, y, z) de la intersección
verifican obtendremos una curva cuyos puntos deberán verificar
 2
y2
k2
 x
+
=
−1
a2
b2
c2
 z=k
Luego la intersección es uno de los vértices V1 o V2 en caso que |k| = c, la intersección es vacı́a si |k| < c y es
una elipse en el plano z = k si |k| > c.
Esbozamos la gráfica de H en la siguiente figura.
Si la ecuación de H fuese de la forma
−
x2 y 2 z 2
+ 2 − 2 =1
a2
b
c
un análisis análogo muestra que la gráfica deberá ser de la forma
12
Dejamos como ejercicio esbozar la gráfica del lugar geométrico que se obtiene cuando el coeficiente que acompaña a x2 es positivo.
Definición:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas Oxyz,
L tiene una ecuación de la forma
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
x2 y 2 z 2
−
−
=
1,
−
−
+
=
1
o
−
+ 2 − 2 = 1.
a2
b2
c2
a2
b2
c2
a2
b
c
(10)
Entonces L se denomina hiperboloide de dos hojas de centro O. Los vértices comunes V1 y V2 de las hipérbolas
que se obtienen L con dos de los planos coordenados se denominan vértices del hiperboliode.
Es evidente que en (4) los tres coeficientes Ã, B̃ y C̃ no pueden ser los tres negativos, pues en ese caso (4)
representa el conjunto vacı́o. Por lo tanto hemos completado el estudio de las superficies representadas por una
ecuación del tipo (4).
Dedicaremos lo que resta de esta sección a estudiar qué lugares geométricos describen las ecuaciones del
tipo (5). Ya hemos visto que en el caso que Ã, B̃ y C̃ sean los tres positivos, esta ecuación describe un punto
en el espacio.
Supongamos ahora que uno de estos tres coeficientes es negativo. Más aún supondremos que C̃ < 0. En
ese caso (5) puede escribirse como
x2 y 2
z2
+
=
.
(11)
a2
b2
c2
Sea C el lugar geométrico que describe (11).
Si intesecamos C con el plano xy, obtenemos un punto, el origen de coordenadas O.
Si intersecamos C con el plano xz, obtenemos que un punto P (x, y, z) pertenece a esta intersección si y
sólo si sus coordenadas verifican
 2
(
a
z2
 x
|x| = |z|
=
2
2
c
⇔
a
c
 y=0
y=0
O sea que C ∩ plano xz es un par de rectas que se intersecan en O. Lo mismo ocurre si intersecamos C con el
plano yz.
Si ahora consideramos las intersecciones de C con planos de la forma z = k, obtenemos que los puntos de
la intersección verifican
 2
y2
k2
 x
+
=
a2
b2
c2
 z=k
que es una elipse en el plano z = k siempre que k 6= 0.
Concluimos que C es un doble cono elı́ptico (sus secciones transversales son elipses) de vértice O y cuyo
eje es el eje z. Esbozamos su gráfica en la siguiente figura:
13
Definición:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas Oxyz,
L tiene una ecuación de la forma
x2 y 2
z2 y2 z2
x2
x2 z 2
y2
+
=
,
+
=
o
+
=
.
a2
b2
c2 b2
c2
a2
a2
c2
b2
(12)
Entonces L se denomina cono elı́ptico de vértice O.
Si finalmente dos de los coeficientes en (4) fuesen negativos (por ejemplo Ã, B̃ < 0, tendrı́amos un lugar
geométrico descrito por una ecuación de la forma
x2 y 2
z2
+
=
a2
b2
c2
que es el cono ya estudiado.
Damos por lo tanto concluido el estudio de la ecuación (1) para el caso en que A, B y C sean todos no
nulos. Dedicaremos las próximas secciones a estudiar el caso en que uno o dos de estos coeficientes se anulen.
Ejemplos:
1. Consideremos el lugar geométrico L del espacio definido por la ecuación
1
x2 + y 2 − z 2 − 2x − 2y − 2z + 1 = 0.
2
Completando cuadrados, vemos que esta ecuación es equivalente a
(x − 1)2 +
(y − 2)2
− (z + 1)2 = 1.
2
Luego L es un hiperboloide de una hoja centrado en P0 (1, 2, −1) cuya gráfica se esboza en la siguiente
figura.
14
2. Consideremos el lugar geométrico L de ecuación
x2 − y 2 − z 2 − 2x + 10y − 4z − 29 = 0
Completando cuadrados, obtenemos que esta ecuación es equivalente a
(x − 1)2 − (y − 5)2 − (z + 2)2 = 1.
Por lo tanto L es un hiperboloide de dos hojas centrado en (1, 5, −2) cuya gráfica se esboza a continuación:
2.4.
Superficies parabólicas y cilindros
Dedicaremos esta sección al estudio de los lugares geométricos descritos por la ecuación (1) cuando uno o
dos de los coeficientes A, B o C se anulan. Recordemos que (1) es la ecuación
Ax2 + By 2 + Cz 2 + Gx + Hy + Iz + J = 0
Supongamos primero que se anule sólo uno de los coeficientes principales. Haremos el análisis para el caso
en que C = 0. Los casos A = 0 o B = 0 son análogos y se dejan como ejercicio.
15
Supondremos además que I 6= 0 en caso que C = 0 (y de manera análoga, que G 6= 0 si A = 0 o H =
6 0
en caso que B = 0). En este caso, completando cuadrados y cambiando eventualmente a un sistema con ejes
paralelos a los originales, la ecuación (1) se reduce a una ecuación del tipo
Ãx2 + B̃y 2 + C̃z = 0
(13)
Nuevamente el lugar geométrico que describa (13) dependerá de los signos de los coeficientes à y B̃.
Supongamos primero que son ambos positivos. Por lo tanto existirán números reales a, b y c de modo que
(13) puede escribirse como
x2 y 2
z
+ 2 =
a2
b
c
Sea P el lugar geométrico que describe esta ecuación. Si intersecamos P con el plano xy obtenemos el origen
de coordenadas O(0, 0, 0).
Si intersecamos P con el plano xz, o sea, hacemos y = 0, obtendremos una parábola con vértice en O
contenida en el plano xz, cuya directriz es paralela al eje x (su eje es el eje z) y contenida en el semiplano
y = 0, z ≥ 0 si c > 0 o en el semiplano y = 0, z ≤ 0 si c < 0.
Obtenemos un resultado análogo si intersecamos P con el plano yz.
Si ahora intersecamos P con planos de ecuación z = k, obtendremos elipses para los valores k > 0 y vacı́o
para k < 0 si c > 0, o elipses para los valores k < 0 y vacı́o para k > 0 en el caso que c < 0.
En el caso c > 0 la gráfica de P es la siguiente:
Si c < 0, la gráfica de P es simétrica respecto de la anterior respecto del plano xy, o sea, está contenida en
el semiespacio z ≤ 0.
Definición:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas Oxyz,
L tiene una ecuación de la forma
x2 y 2
z y2 z2
x
x2 z 2
y
+
=
,
+
=
o
+ 2 = .
2
2
2
2
2
a
b
c b
c
a
a
c
b
Entonces L se denomina paraboliode elı́ptico de vértice O.
16
(14)
Supongamos ahora que los coeficientes à y B̃ en (13) tienen signos distintos (observemos que si son ambos
negativos, multiplicando ambos miembros de la ecuación por −1 estamos en el caso de un paraboloide elı́ptico).
Supondremos que à > 0 y B̃ < 0.
Existirán entonces números reales a, b y c tales que (13) puede escribirse como
x2 y 2
z
− 2 =
a2
b
c
Sea P 0 el lugar geométrico asociado a esta ecuación. Si intersecamos P 0 con el plano xz, obtenemos una
parábola p1 de ecuaciones
 2
z
 x
=
2
a
c
 y=0
es decir, una parábola en el plano xz con vértice en O(0, 0, 0), directriz paralela al eje x (el eje de la parábola
es el eje z) y contenida en el semiplano y = 0, z ≥ 0 si c > 0 y contenida en el semiplano y = 0, z ≤ 0 si
c < 0.
Si intersecamos P 0 con el plano yz, obtenemos una parábola p2 de ecuaciones

z
 y2
− 2 =
b
c
 x=0
es decir, una parábola en el plano yz con vértice en O(0, 0, 0), directriz paralela al eje x (el eje de la parábola
es el eje z) y contenida en el semiplano y = 0, z ≤ 0 si c > 0 o en el semiplano y = 0, z ≥ 0 si c < 0.
Finalmente, si intersecamos P 0 con el plano xy obtenemos una curva de ecuaciones
 2
(
a
y2
 x
|x| = |y|
=
b
⇔
a2
b2
 z=0
z=0
que representa dos rectas que se intersecan en O.
Si ahora consideramos la intersección de P 0 con planos de ecuación x = k, obtenemos una curva de
ecuaciones
 2
k2
z
 y
−
=−
2
b
c
c
 x=k
que representa una parábola en el plano x = k cuya directriz es paralela al eje y y su eje de simetrı́a es paralelo
al eje z. Luego su vértice se obtiene de intersecarla con el plano yz.
Por otra parte, como P 0 intersecado con el plano yz es la parábola p2 , obtenemos que estas nuevas parábolas
en los planos de ecuación x = k tienen sus vértices sobre la parábola p2 .
Si ahora intersecamos P 0 con planos de la forma z = k obtendremos hipérbolas. Dejamos como ejercicio
verificar que si c > 0, entonces estas hipérbolas tienen eje focal paralelo al eje y y sus vértices sobre la parábola
p2 si k > 0 y eje focal paralelo al eje z y sus vértices sobre la parábola p1 si k < 0.
Esbozamos la gráfica de P 0 a continuación:
17
Definición:
Sea L un lugar geométrico del espacio. Supongamos que en un determinado sistema de coordenadas Oxyz,
L tiene una ecuación de la forma
z y2 z2
x
x2 z 2
y
x2 y 2
−
=
,
−
=
o
− 2 = .
2
2
2
2
2
a
b
c b
c
a
a
c
b
(15)
Entonces L se denomina paraboliode hiperbólico.
Analicemos finalmente qué ocurre si en la ecuación (1) tenemos los dos coeficientes que acompañan a una
misma variable iguales a cero.
O sea, tenemos una ecuación de alguna de las
Ax2 + By 2 + Gx + Hy + J = 0,
By 2 + Cz 2 + Hy + Iz + J = 0,
Ax2 + Cz 2 + Gx + Iz + J = 0
(16)
No debemos confundir la ausencia de una variable en (16) con el hecho de que estas ecuaciones representan,
en general, una superficie en el espacio y NO una curva.
De hecho sea C el lugar geométrico que define, por ejemplo, la ecuación
Ax2 + By 2 + Gx + Hy + J = 0.
Si intersecamos C con el plano xy, obtendremos una curva de ecuaciones
(
Ax2 + By 2 + Gx + Hy + J = 0
z=0
(17)
que representa una cónica en el plano xy (o una cónica degenerada). Si tomamos un punto (x0 , y0 , 0) de esta
curva, podemos verificar fácilmente que la recta de ecuaciones paramétricas


 x = x0
y = y0 , t ∈ R


z=t
está completamente contenida en C. Por lo tanto, para esbozar la gráfica de C debemos graficar sobre el plano
xy la cónica correspondiente, y todas las rectas perpendiculares al plano xy por puntos de la cónica.
Obtenemos ası́ un cilindro generalizado como mostramos en la siguiente figura:
18
En el caso que (17) sea una cónica degenerada, (16) representará dos planos secantes, en caso que (17)
represente dos rectas secantes; dos planos paralelos en caso que (17) represente dos rectas paralelas, una recta
perpendicular a algún plano coordenado en caso que (17) represente un punto o el vacı́o en caso que (17) sea
el conjunto vacı́o.
Ejemplos:
1. El lugar geométrico de ecuación
(y − 1)2 (z − 1)2
x
−
=
4
3
2
representa un paraboloide hiperbólico centrado en P0 (0, 1, 1) y su gráfica se esboza en la siguiente figura:
2. Consideremos el lugar geométrico L en el espacio de ecuación
x2 − y 2 − 2x + 4y − 3 = 0.
La ausencia de la variable z nos indica que L será un cilindro. Completando cuadrados obtenemos que la
ecuación de L es
(x − 1)2 − (y − 2)2 = 0.
Luego L es un cono con generatrices paralelas al eje z y directriz la unión de las dos rectas x − 1 = y − 2,
x − 1 = 2 − y. En particular, L es la unión de dos planos.
19
3. Si ahora L es el lugar geométrico de ecuación
x2 − y 2 − 2x + 4y − 4
completando cuadrados obtenemos que esta ecuación es equivalente a
(x − 1)2 − (y − 2)2 = 1
que representa un cilindro cuya generatriz es una hipérbola.
2.5.
Ejercicios propuestos
1. En cada uno de los siguientes items, identificar qué superficie en el espacio está determinada por las
ecuaciones dadas y esbozar su gráfica.
a) x2 + y 2 = 1;
b) 3z 2 = 0
c) 4x2 + 9z 2 = 36.
2. Determinar las ecuaciones de la superficie esférica indicada en cada caso:
a) Tiene centro P (1, 2, −4) y radio 3.
b) Tiene centro en P (1, 1, 1) y pasa contiene al punto Q(1, 3, −5).
c) Tiene centro en P (3, 6, −4) y es tangente al plano de ecuación 2x − 2y − z − 10 = 0.
(
(x − 1)2 + (y + 3)2 = 2
d) La circunferencia de ecuación
es un cı́rculo máximo de la esfera.
z=3
e) P Q es un diámetro, con P (−1, 2, −3), Q(2, 3, −1).
f ) Está inscripta en el cilindro de ecuación (x − 4)2 + (y − 5)2 = 9 y su centro está en el plano
3x + 8y − 8z = 4.
g ) Pasa por los puntos de coordenadas (7, 9, 1), (−2, −3, 2), (1, 5, 5), (−6, 2, 5).
3. Dada la esfera E de ecuación (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 4:
a) determinar las ecuciones del plano tangente a E en en punto Q(1, 0, 2);
b) determinar las ecuaciones de la circunferencia que se obtiene de intersecar E con el plano z = 1.
4. Hallar el vértice y el foco de la parábola que resulta al intersectar el paraboloide hiperbólico de ecuación
z 2 x2
y
−
= con el plano de ecuación x = 1.
4
9
3
5. Determinar qué superficie determina cada una de las ecuaciones siguientes y esbozar su gráfica:
20
a) x2 + 2y 2 − 6z = 0;
j) (x + 1)2 + (y − 3)2 = 0.
b) 4x2 + 12y 2 + 36z 2 = 36;
k)
y2
z2
x2
+
+
= 0.
25 16
9
l) 3x2 + 8y 2 − 4z 2 − 24 = 0.
c) 9x2 − 4z 2 = 36
x2 y 2 z 2
−
−
= 1;
9
9
9
x2
y2
z2
e)
+
−
= 1;
9
16
4
x2 y 2 z 2
+
−
= 0;
f)
9
9
9
g ) y2 + z2 = 4
d)
m) y 2 + z = 2
n) 9x2 + 4y 2 + 36z 2 − 18x + 16y − 11 = 0.
ñ) x2 − 4y 2 + 2z 2 − 6x − 8y + 8z + 9 = 0.
o) x2 − 4y 2 + 2z 2 − 6x − 8y + 8z + 9 = 0.
(x − 2)2 (z − 1)2
+
= 4y.
36
25
(z − 2)2 (y − 2)2
q)
−
− x = 0.
36
25
p)
h) x2 − 4y 2 = 8z.
i) x2 + y 2 + z 2 − 6x + 4y − 3z = 15.
6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya diferencia a los puntos fijos de
coordenadas (−4, 3, 1) (4, 3, 1) es igual a 6. Determinar qué tipo de superficie es.
7. Hllar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al punto de coordenadas
(2, −1, 3) es igual al doble de su distancia al eje x. Determinar qué tipo de superficie es.
3.
Curvas en el espacio
Como hemos ya visto en la sección anterior y cuando estudiamos la recta en el espacio, prácticamente nunca
podremos describir una curva en el espacio a través de una ecuación en tres variables, pues la mayorı́a de estas
ecuaciones, salvo algunos casos degenerados, representan superficies.
Es cierto, por ejemplo, que las ecuaciones
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 0,
(y − 7)10 + (z − 2)10 = 0, (x + 1)4 + (z + 2)4 = 0
representan rectas en el espacio. La primera es la recta paralela al eje z por el punto de coordenadas (1, 1, 0),
la segunda es la recta paralela al eje x por el punto de coordenadas (0, 7, 2) y la tercera representa una recta
paralela al eje y por el punto de coordenadas (−1, 0, −2).
Sin embargo estas son excepciones.
En general, para describir una recta en el espacio necesitamos definirla como intersección de dos planos y
por lo tanto sus ecuaciones cartesianas están dadas por un sistema de dos ecuaciones en las variables x, y y z.
De manera análoga, si pretendemos por ejemplo describir la circunferencia de radio 1, centrada en el origen
y contenida en el plano xy, no podemos representarla mediante la ecuación
x2 + y 2 = 1
pues esta ecuación, en el espacio, es la ecuación de un cilindro circular recto. Sin embargo, la circunferencia
es la intersección de este cilindro con el plano xy y por lo tanto las coordenadas de sus puntos verificaran el
21
sistema
(
x2 + y 2 = 1
.
z=0
Otra forma de obtenerla, es intersecando una esfera de radio 1 centrada en el origen con el plano xy, y por lo
tanto también podemos describirla mediante las ecuaciones
(
x2 + y 2 + z 2 = 1
.
z=0
En general, para dar las ecuaciones cartesianas de una curva en el espacio, debemos considerarla como
intersección de sos superficies, y por lo tanto una curva está descrita por un sistema de ecuaciones y no por una
única ecuación.
Si S es una superficie en el espacio, su ecuación viene dada por
F (x, y, z) = 0
donde F es una función en tres variables (por supuesto no todas las superficies en el espacio admiten una
descripción de este tipo, pero no las estudiaremos aquı́).
Por ejemplo, en el caso de un elipsoide de ecuación
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 =1
a2
b
c
la función F que lo define es
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 − 1.
a2
b
c
En el caso de una esfera de radio r centrada en (x0 , y0 , z0 ), la función asociada es
F (x, y, z) =
F (x, y, z) = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 − r2 .
De esta manera, si S1 y S2 son dos superficies de ecuaciones F1 (x, y, z) = 0 y F2 (x, y, z) = 0 respectivamente, y S1 ∩ S2 es una curva γ, las ecuaciones cartesianas de γ vendrán dadas por el sistema de ecuaciones
(
F1 (x, y, z) = 0
.
F2 (x, y, z) = 0
No existe una teorı́a general sobre cómo son las ecuaciones de determinadas curvas en función de las superficies
que las definen al intersecarse. De hecho existen muchas formas distintas de definir una misma curva como
intersección de dos superficies. Trabajaremos por lo tanto con algunos ejemplos particulares.
Ejemplos:
1. Supongamos que queremos encontrar las ecuaciones de una circunferencia de radio 3 con centro en
P0 (1, 2, 3) contenida en el plano de ecuación
2x − y + z − 3 = 0.
22
Observemos primero que P0 pertenece efectivamente al plano. Esta circunferencia puede obtenerse intersecando el plano con una esfera de centro en P0 y radio 3. Por lo tanto sus ecuaciones serán
(
(x − 1)2 + (y − 2)3 + (z − 3)2 = 9
2x − y + z − 3 = 0
2. Consideremos la curva γ dada por las ecuaciones
( 2
(y−1)2
x
+
8 +
2
z=5
(z−3)2
8
=1
La ecuación
x2 (y − 1)2 (z − 3)2
+
+
=1
(18)
8
2
8
representa un elipsoide con centro en el punto O0 (0, 1, 3) y la ecuación z = 5 es un plano π (paralelo al
plano xy). Por lo tanto si γ realmente es una curva (o sea no es vacı́o ni un vértice del elipsoide) será una
elipse en el plano π. Reemplazando con z = 5 en la ecuación (18) obtenemos que las coordenadas de los
puntos de γ verifican
( 2
( 2
( 2
(y−1)2
(y−1)2
x
1
1
x
x
2
+
+
=
1
+
=
4 + (y − 1) = 1
8
2
2
8
2
2
⇔
⇔
z=5
z=5
z=5
Por lo tanto γ es una elipse en el plano π con centro en el punto C(0, 1, 5) y con a = 2, b = 1. Por lo
tanto sus vértices son los puntos V1 (2, 1, 5), V2 (−2, 1, 5), V3 (0, 0, 5) y V4 (0, 2, 5).
Observemos que existen infinitas formas de representar a γ. Por ejemplo
( 2
2
(y−1)2
x
+ (z−5)
=1
8 +
2
c2
z=5
para cualquier valor de c que representa la intersección de un elipsoide con un plano.
Otra forma de describir γ es directamente mediante el sistema
( 2
x
2
4 + (y − 1) = 1
z=5
que representa la intersección de un cilindro elı́ptico con un plano.
Finalmente proponemos el sistema
(
x2
4
x2
4
+ (y − 1)2 +
+ (y −
1)2
−
(z−5)2
12
(z−5)2
3
=1
=1
que representa la intersección en γ de un elipsoide con un hiperboloide de una hoja.
3. Analicemos la curva dada por el siguiente sistema de ecuaciones:
(
γ)
x2 + y 2 = 1
z = x2
23
Entonces γ se obtiene como la intersección de un cilindro circular con eje el eje z, y un cilindro parabólico
cuyas generatrices son paralelas al eje y.
Este es el primer ejemplo de una curva no plana (o sea, que no está contenida en un plano) de los que
hemos visto. Esbozamos su gráfica en la siguiente figura:
No todas las curvas en el espacio pueden describirse como intersección de dos superficies. Es el caso de la
hélice cilı́ndrica que mostramos en la siguinte figura:
Para describir la hélice y muchas otras curvas en el espacio, necesitamos de las ecuaciones paramétricas.
Como ya hemos visto en el caso de la recta y de las secciones cónicas, dar las ecuaciones paramétricas de
una curva consiste en describir las coordenadas (x, y, z) de los puntos de la curva (o (x, y) en el caso de curvas
planas) en función de un parámetro. Es decir, dada una curva γ, sus ecuaciones paramétricas serán de la forma


 x = x(t)
y = y(t) , t ∈ I


z = z(t)
(19)
donde I es algún subintervalo de R o todo R.
En el caso de una curva en el plano, tendremos por supuesto ecuaciones del tipo
(
x = x(t)
, t ∈ I.
y = y(t)
(20)
En el caso de una recta en el espacio que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) en la dirección del vector
u = (u1 , u2 , u2 ), vimos que I = R y en (19) debemos definir
x(t) = x0 + tu1 , y(t) = y0 + tu2 , z(t) = z0 + tu3 .
24
O en el caso de una elipse en el plano con centro en P0 (x0 , y0 ), I = [0, 2π) y debemos definir en (20)
x(t) = x0 + a cos t, y(t) = y0 + b sen t.
No existe una teorı́a general para encontrar las ecuaciones paramétricas de una curva, o para determinar
que curva representan determinadas ecuaciones paramétricas.
Observemos que x(t), y(t) y z(t) pueden pensarse como funciones reales, cuyo dominio es un intervalo de
R, es decir, tenemos
x : I → R, y : I → R, z : I → R.
y es común pedir como condición mı́nima para la definición de curva que las funciones x, y y z sean funciones
continuas. Esto se interpreta como que es posible realizar el gráfico de la curva sin levantar el lápiz.
De esta manera puede definirse una curva en el espacio como cualquier lugar geométrico tal que las
coordenadas de sus puntos pueden definirse a través de ecuaciones del tipo (19) donde x, y y z son funciones
continuas de t.
Una definición análoga puede hacerse para curvas en el plano.
Observemos que con esta definición, la hipérbola no es técnicamente una curva sino la unión de dos curvas,
y es por ello que cuando quisimos encontrar sus ecuaciones paramétricas debimos parametrizar por separado
cada una de sus ramas.
Finalizaremos esta sección analizando varios ejemplos.
Ejemplos:
En los primeros ejemplos encontraremos las ecuaciones paramétricas de las curvas que definimos como
intersección de dos superficies en los ejemplos anteriores. Dejaremos la circunferencia del ejemplo 1 para el final.
4. Analicemos la elipse dada en el ejemplo 2 de esta sección. Observemos primero que el sistema original es
equivalente al sistema
 2
 x
+ (y − 1)2 = 1
4
 z=5
y por lo tanto el centro es P0 (0, 1, 5), el eje focal es paralelo al eje x, la distancia entre el centro y cada
uno de los vértices sobre el eje focal es 2 y la distancia entre el centro y cada uno de los otros vértices
es 1. Luego podemos usar lo que sabemos sobre elipses en el plano para determinar que sus ecuaciones
paramétricas son


 x = 2 cos θ
y = 1 + sen θ , θ ∈ [0, 2π).


z=5
5. Consideremos ahora la curva dada en el ejemplo 3, llamémosla γ. En este caso, veremos como a partir
de las ecuaciones cartesianas podemos derivar las ecuaciones paramétricas. Sea P (x, y, z) un punto de γ.
Observemos primero que sus coordenadas x e y verifican la ecuación
x2 + y 2 = 1.
25
Por lo tanto deberá existir un número real θ tal que
x = cos θ, y = sen θ.
Como además debe verificarse que z = x2 , resulta inmediato que las ecuaciones paramétricas de γ son


 x = cos θ
y = sen θ , θ ∈ [0, 2π).


z = cos2 θ
6. Sea C la circunferencia dada en el ejemplo 1 de esta sección. Su centro es el punto P0 (1, 2, 3), su radio
es 3, y está contenida en el plano π de ecuación 2x − y + z − 3 = 0.
√
√
Observemos primero que los vectores v 1 = 33 (1, 1, −1) y v2 = 22 (0, 1, 1) constituyen una base ortonormal de los vectores paralelos a π. En efecto, es fácil verificar que v1 × v2 = 0, lo que implica que
v1 y v2 son perpendiculares, que |v1 | = |v2 | = 1, y si n = (2, −1, 1) es el vector normal a n, entonces
v1 × n = v2 × n = 0, lo que implica que v1 y v2 son paralelos a π.
−−→
Consideremos ahora un punto P en C. Entonces como P0 P es un vector paralelo a π, existirán constantes
a y b tales que
−−→
P0 P = av1 + bv2 .
−−→
Haciendo el producto interno con v1 y v2 , como |P0 P | = 3, resulta inmediato que
−−→
−−→ˆ
−−→
−−→ˆ
a = P0 P × v1 = 3 cos(P0 P , v1 ); b = P0 P × v2 = 3 cos(P0 P , v2 ).
−−→
Sea θ el ángulo que forman P0 P y v1 , con θ ∈ [0, 2π], orientado en el sentido de recorrido que va de v1
−−→ˆ
a v2 . Entonces (P0 P , v2 ) = π2 − θ y por lo tanto
a = 3 cos θ, b = 3 sen θ.
−−→
Concluimos que P0 P = 3 cos θ v1 + 3 sen θ v2 .
−−→
Por otra parte, si P (x, y, z), P0 P = (x − 1, y − 2, z − 3), e igualando componentes en la ecuación anterior
resulta

√
3 cos θ
x
=
1
+


√
√
y = 2 + 3 cos θ + 3 2 2 sen θ , θ ∈ [0, 2π).
√

√

z = 3 − 3 cos θ + 3 2 2 sen θ
7. Consideremos la curva γ cuyas ecuaciones paramétricas son


 x = cos θ
y = sen θ , θ ∈ R.


z = sen θ
Observemos que entonces las coordenadas de un punto P (x, y, z) de γ verifican las ecuaciones
x2 + y 2 = cos2 θ + sen2 θ = 1,
x2 + z 2 = cos2 + sen2 θ = 1
y por lo tanto γ una de las dos curvas que se obtienen de intersecar dos cilindros.
26
De hecho, el sistema de ecuaciones
(
x2 + y 2 = 1
x2 + z 2 = 1
define dos curvas. Una es la curva γ, y la otra es la curva dada por las ecuaciones paramétricas


 x = cos θ
, θ ∈ R.
y = sen θ


z = − sen θ
8. Una hélice cilı́ndrica es una curva sobre un cilindro circular recto de modo que la coordenada z de sus
puntos es proporcional al ángulo que forma la proyección del vector posición del punto sobre el plano xy
con el versor i.
Supongamos que P (x, y, z) es un punto de la hélice sobre un cilindro cuya base es un cı́rculo de radio
−−→
a. Entonces la proyección del vector posición OP sobre el plano xy es el vector v = (x, y, 0). Sea θ el
ángulo (orientado) que forma v con el versor i. Entonces es claro que
x = a cos θ, y = b cos θ
y por definición, debe existir un número real k de modo que z = kθ. Luego sus ecuaciones paramétricas
son


 x = a cos θ
y = a sen θ , θ ∈ R.


z = kθ
Observemos que si r es una generatriz del cilindro que pasa por un punto (x0 , y0 , 0) de la base, sus
ecuaciones cartesianas son
(
x = x0
.
y = y0
Sea θ0 tal que x0 = a cos θ0 , y0 = a sen θ0 y sea Pn el punto de la hélice que describen los parámetros
θ0 + 2πn, con n ∈ Z.
Entonces Pn tiene coordenadas (a cos(θ0 + 2πn), a sen(θ0 + 2πn), k(θ0 + 2πn)) = (x0 , y0 , k(θ0 + 2πn)).
Es decir, todos los puntos Pn están sobre la recta r y la distancia entre dos puntos consecutivos es 2πk.
El número 2πk se denomina paso de la hélice.
27
3.1.
Ejercicios propuestos
1. Identificar y esbozar las gráficas de las curvas en R3 dadas por los sistemas de ecuaciones siguientes:
(
a)
(
b)
x + 2y − z = 3
2x − y + 2z = −1
(
y 2 = 4z
x=3
(
9x2 + 4y 2 = 36
z=5
c)
x2 + y 2 + z 2 = 9
z=2
d)
2. Hallar las ecuaciones cartesianas de las siguientes curvas:
a) Una circunferencia de centro P0 (1, 1, 1) y radio 5 en el plano de ecuación x + 2y − 3z = 0.
b) Una elipse de vértices V1 , V2 , V3 y V4 , donde V1 y V2 están sobre el eje focal, con d(V1 , V2 ) = 3,
d(V3 , V4 ) = 2, centro C = (1, 2, 3), eje focal paralelo al eje z y contenida en un plano paralelo al
plano yz.
c) La intersección de una esfera centrada en el origen de radio 2 y el paraboloide de ecuación z = x2 +y 2 .
Mostrar que se trata de una circunferencia y hallar su centro y su radio.
3. Encontrar las ecuaciones paramétricas de las curvas del ejercicio 1 y del ejercicio 2.
4. En cada caso, hallar las coordenadas de los puntos de intersección de la curva γ dada con la superficie S
dada.


 x = 2 cos θ
a) γ)
y = 2 sen θ , θ ∈ R, S)x2 −y 2 +z 2 = 4.


z = 2 sen θ


 x=t
b) γ)
y = t2 , t ∈ R, S)x2 + 2y − z = 2.


z = t3
5. Esbozar las gráficas de las curvas del espacio dadas por las siguientes ecuaciones paramétricas. Cuando
sea posible describirlas como intersección de dos superficies.


 x=1+t
a)
t ∈ [0, 25]
y =3−t


z = 8 + 2t


 x = 3 cos t
b)
t ∈ [0, 2π]
y = 4 sen t


z=5


 x = 2 + sen t
c)
t ∈ [0, π]
y=3


z = cos t


 x = 2 cos t
d)
t ∈ [0, 2π]
y = 5t


z = sen t


 x=2
e)
t∈R
y = 1 + senh t


z = 2 cosh t


 x = cos 3t
f)
t∈R
y = sen 3t


z=t
28
4.
Superficies parametrizadas y superficies de revolución
Al igual que hemos encontrado ecuaciones paramétricas de las curvas, podemos encontrar ecuaciones paramétricas de una superficie. No todas las superficies admiten ecuaciones paramétricas, nos dedicaremos en esta
sección a estudiar algunos casos importantes.
Recordemos que un plano que pasa por el punto P0 (x0 , y0 , z0 ) y tiene come vectores dirección los vectores
u = (u1 , u2 , u3 ) y v = (v1 , v2 , v3 ), admite ecuaciones paramétricas de la siguiente forma:


 x = x0 + s u1 + t v1
y = y0 + s u2 + t v2 , α, β ∈ R.


z = z0 + s u3 + t v3
Esto nos indica que ası́ como las curvas (en el plano o en el espacio) pueden ser descritas utilizando un parámetro,
para parametrizar los puntos de una superficie necesitaremos dos parámetros.
De esta manera, decimos que una superficie admite ecuaciones paramétricas si las coordenadas de sus
puntos pueden obtenerse en función de dos parámetros. En ese caso, genéricamente expresamos las ecuaciones
paramétricas de una superficie como


 x = x(s, t)
y = y(s, t) , s ∈ I, t ∈ J


z = z(s, t)
(21)
Comenzaremos introduciendo un nuevo tipo de superficies, denominadas superficies de revolución.
Supongamos que tenemos una curva γ contenida en el semiplano del plano yz definido por aquellos puntos
con y ≥ 0. Entonces las coordenadas de los puntos de γ pueden ser parametrizadas como


 x=0
y = α(t) t ∈ I


z = β(t)
(decidimos cambiar el nombre de las funciones que parametrizan la curva para evitar confusiones con las funciones
que parametrizan las respectivas coordenadas en la superficie).
Sea S la superficie que se genera al rotar γ alrededor del eje z.
29
Sea P (x, y, z) un punto de S. Observemos que si intersecamos S con el plano paralelo π al plano xy que
pasa por P (o sea, el perpendicular al eje z por P ), obtenemos una circunferencia C con centro en el punto de
coordenadas (0, 0, z).
Por otra parte, C intersecará a γ en un punto. Por lo tanto, existirá un parámetro t tal que este punto de
intersección puede representarse como
(0, α(t), β(t)).
Es claro entonces que el radio de C es y(t) y que todos los puntos del plano π (y por lo tanto de C) tienen
componente z = β(t).
C tiene por lo tanto ecuaciones paramétricas de la forma


 x = α(t) cos θ
y = α(t) sen θ , θ ∈ [0, 2π)


z = β(t)
Observemos que el parámetro t en las ecuaciones anteriores está fijo. Hemos probado entonces que las
coordenadas de cualquier punto de S pueden ser descritas como


 x = α(t) cos θ
y = α(t) sen θ , t ∈ I, θ ∈ [0, 2π)


z = β(t)
(22)
y por lo tanto éstas son las ecuaciones paramétricas de S.
Si ahora suponemos que la curva está contenida en el semiplano del plano yz pero con z ≥ 0 y giramos
alrededor del eje z, obtendremos que las ecuaciones paramétricas de la superficie de revolución S generada son


 x = β(t) cos θ
, t ∈ I, θ ∈ [0, 2π)
y = α(t)


z = β(t) sen θβ(t)
(23)
Si ahora tenemos una curva contenida en el plano xy que admite una parametrización de la forma (α(t), β(t), 0)
con α(t) ≥ 0, la superficie de revolución que se obtiene de girar esta curva alrededor del eje y admite ecuaciones
paramétricas de la forma


 x = α(t) cos θ
, t ∈ I, θ ∈ [0, 2π)
y = β(t)


z = α(t) sen θ
(24)
y si suponemos que β(t) ≥ 0 y rotamos alrededor del eje x, sus ecuaciones serán de la forma


 x = α(t)
y = β(t) cos θ , t ∈ I, θ ∈ [0, 2π)


z = β(t) sen θ
30
(25)
Ecuaciones análogas pueden obtenerse cuando la curva está contenida en algún semiplano del plano xz (las
analizaremos en la práctia).
Ejemplos:
1. Sea C un cilindro circular recto cuya base es una circunferencia de radio a. Entonces La intersección de
C con el plano yz es la unión de las dos rectas de ecuaciones
y = a o y = −a.
Es claro que el cilindro es la superficie de revolución que se obtiene de rotar la recta de ecuación y = a
alrededor del eje z. Los puntos de esta recta admiten una parametrización de la forma (0, a, t), t ∈ R.
Por lo tanto para encontrar sus ecuaciones paramétricas debemos reemplazar en (22) con
α(t) = a, β(t) = t.
Luego las ecuaciones paramétricas del cilindro son


 x = a cos θ
y = a sen θ , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π).


z=t
2. Sea S una esfera centrada en el origan de radio a. Observemos que S es la superficie de revolución
que se obtiene de girar una semicircunferencia de radio a contenida en el plano yz con y ≥ 0. Esta
semicircunferencia admite una parametrización de la forma


 x=0
3 5
π, π
y = a cos t , t ∈

2 2

z = a sen t
En este caso debemos reemplazar con
α(t) = a cos t, β(t) = a sen t
en (22) y obtenemos que la esfera de radio a admite las siguientes ecuaciones paramétricas:


 x = a cos t cos θ
3 5
π, π , θ ∈ [0, 2π).
y = a cos t sen θ , t ∈

2 2

z = a sen t
31
(26)
3. Supongamos ahora que S es una esfera con centro en P0 (x0 , y0 , z0 ) de radio a. Entonces sus ecuaciones
cartesinas son
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = a2 .
Sea P (x, y, z) ∈ S y pongamos x0 = x − x0 , y 0 = y − y0 , z 0 = z − z0 . Entonces el punto P 0 (x0 , y 0 , z 0 )
pertenece a la esfera centrada en el origen de radio a pues sus coordenadas verifican x02 + y 02 + z 02 = 1.
Luego existen parámetros t y θ de modo que (x0 , y 0 , z 0 ) pueden ser parametrizados según las ecuaciones
(26). Es decir, x0 = a cos t cos θ, etc. Luego las ecuaciones paramétricas de la esfera S son


 x = x0 + a cos t cos θ
3 5
π, π , θ ∈ [0, 2π).
y = y0 + a cos t sen θ , t ∈

2 2

z = z0 + a sen t
4. Sea E el elipsoide de ecuación cartesiana
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
+
= 1.
a2
b2
c2
Sea P (x, y, z) ∈ E y pongamos
x0 =
(x − x0 )2
(y − y0 )2
(z − z0 )2
0
0
,
y
=
,
z
=
.
a2
b2
c2
Entonces P 0 (x0 , y 0 , z 0 ) trivialmente pertenece a la esfera centrada en el origen de radio 1. Por lo tanto sus
coordenadas pueden expresarse como

 x−x
0 = cos t cos θ
0


x

 a = cos t cos θ
y−y0
⇒
= cos t sen θ .
y 0 = cos t sen θ
b

 z−z
 0

0
z = sen t
c = sen t
Despejando obtenemos que las ecuaciones paramétricas de E son


 x = x0 + a cos t cos θ
3 5
π, π , θ ∈ [0, 2π).
y = y0 + b cos t sen θ , t ∈

2 2

z = z0 + c sen t
5. Consideremos ahora el hiperboloide de una hoja H dado por la ecuación
x2 + y 2 − z 2 = 1.
Observemos que al intersecar H con planos paralelos al plano xy obtenemos circunferencias de ecuación
(
x2 + y 2 = 1 + z02
.
z = z0
Esto nos indica que el hiperboliode de una hoja es la superficie de revolución que se obtiene de hacer girar
alrededor del eje z la rama de la hipérbola H ∩ plano yz con y ≥ 0.
32
Esta curva admite las siguientes ecuaciones cartesianas y paramétricas:


2
2


 y −z =1
 x=0
⇒
x=0
y = cosh t .




y≥0
z = senh t
Por lo tanto debemos reemplazar con α(t) = cosh t y β(t) = senh t en (22) para obtener que las
ecuaciones paramétricas de H son


 x = cosh t cos θ
(27)
y = cosh t sen θ , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π)


z = senh t
Consideremos ahora el hiperboloide de una hoja H0 de ecuación
(x − x0 )2 (y − y0 )2 (z − z0 )2
+
−
=1
a2
b2
c2
centrado en C(x0 , y0 , z0 ).
Sea P (x, y, z) un punto de H0 y sea P 0 (x0 , y 0 , z 0 ) donde
x0 =
x − x0
y − y0
z − z0
, y0 =
, z0 =
.
a
b
c
Entonces P 0 ∈ H y (x0 , y 0 , z 0 ) pueden expresarse utilizando (27). Despejando x, y y z obtenemos que las
ecuaciones paramétricas de H0 son


 x = x0 + a cosh t cos θ
y = y0 + b cosh t sen θ , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π)


z = z0 + c senh t
6. Si consideramos el hiperboloide de dos hojas H de ecuación
−x2 + y 2 − z 2 = 1
Nuevamente, es fácil verificar que H es la superficie de revolución que se obtiene de girar la mitad de la
hipérbola de ecuaciones

2
2

 y −z =1
x=0


y≥0
alrededor del eje z. Si analizamos la gráfica de esta superficie, vemos que tiene dos partes, una contenida
en el semiespacio z ≥ 0 y otra en z ≤ 0. Cada una de estas partes se denomina una componente conexa
de la superficie. Esto se debe a que dos puntos que estén en una misma componente se pueden unir
siempre por una curva contenida en ella, mientras que dos puntos que no lo estén no.
Una superficie no conexa nunca puede ser parametrizada totalmente con una única paramerización (lo
mismo ocurrió cuando encontramos las ecuaciones paramétricas de la hipérbola).
33
Por lo tanto debemos hacer girar la curva


y2 − z2 = 1



 x=0

y≥0



 z≥0


 x=0
⇒
y = senh t , t ∈ [0, ∞)


z = cosh t
o bien la curva de ecuaciones paramétricas


 x=0
, t ∈ [0, ∞)
y = senh t


z = − cosh t
alrededor del eje z para obtener la parametrización de cada una de las componentes de H.
Posteriormente, transformando las coordenadas como en los ejemplos anteriores obtenemos la parametrización de las componentes de cualquier hiperboloide de dos hojas.
7. Finalizamos esta serie de ejemplos encontrando la parametrización del hiperboloide hiperbólico P de
ecuación
z − z0
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
=
.
2
2
a
b
c
Esta no es una superficie de revolución, y su parametrización no puede obtenerse a partir de una superficie
de revolución como en los ejemplos anteriores.
Sin embargo, es uno de los casos más sencillos, ya que una de las coordenadas (en este caso la z), puede
expresarse en función de las otras dos. En efecto, en este caso tenemos
(x − x0 )2 (y − y0 )2
−
z = z0 + c
a2
b2
Por lo tanto podemos parametrizarla poniendo



 x=s
y=t

2

 z = z0 + c (s−x20 ) −
a
(t−y0 )2
b2
, s, t ∈ R
Observemos que podrı́amos haber puesto


 x = x0 + as
x − x0
y − y0
= s,
= t ⇒ x = x0 + as, y = y0 + bt ⇒
, s, t ∈ R.
y = y0 + bs

a
b

2
2
z = z0 + c(s + t )
4.1.
Ejercicios propuestos
1. Hallar las ecuaciones paramétricas de las superficies dadas en el ejercicio 5 de la sección 2.5.
34