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Matemáticas Aplicadas
BANCO AGRARIO
Capacitación en ALM y Riesgo de Liquidez
Septiembre 2015
Diego Jara
[email protected]
Juan Pablo Lozano
[email protected]
Preámbulo y Motivación
OBJETIVO DEL CURSO
Introducir al estudiante en la gestión del riesgo de
liquidez y ALM con énfasis en:
 Curvas de rendimiento
 Valoración de bonos y créditos
 Análisis y gestión de riesgo
 Asset–liability management (ALM)
 Riesgo de Liquidez
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Curso
1.
Evaluación Inicial (septiembre 28)
2.
Valoración y Curvas de Rendimiento (septiembre 28)
3.
4.








Curvas de Rendimiento: spot y forward
Valoración de Bonos
Curvas de Spread Crediticio y Valoración de Créditos
Tasas Variables (IPC, DTF, IBR,etc.)
Calibración de Curvas a Mercado
Riesgo de Tasas de Interés (septiembre 28 y octubre 5)
Duración de Bonos
Cobertura y Mitigación de Riesgo
Factores de Riesgo y Movimiento de Curvas: Componentes Principales
Riesgo de Portafolio (octubre 5 y 7)
Cálculo del VaR (modelos históricos y modelos prospectivos): portafolios de créditos y de
inversión
 Análisis y Seguimiento

ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Curso
5.
6.
7.














ALM (octubre 7 y 14)
Activos y Pasivos: instrumentos y fuentes de descalce
Brecha de plazos, Flujos y Duración
Enfoque de Portafolio: Sensibilidad a las Curvas de Rendimiento
Enfoque de Portafolio: Key-rate Durations
Gestión del Riesgo de Descalce entre Activos y Pasivos
Aplicación Práctica: Caso de Estudio
Riesgo de Liquidez (octubre 14 y 19)
Normativa SARL
Proyección de Flujos de Caja: Flujos Determinísticos y Estocásticos
Simulación de Monte Carlo para Proyección de Flujos
Indicadores Basilea III (Riesgo de Liquidez)
Cuantificación y Actualización del Riesgo de Liquidez
Indicadores de Modelos: Backtests
Estrategias de gestión del riesgo de liquidez; pautas para administrar este riesgo
Aplicación práctica: caso de estudio
Evaluación Final (octubre 19)
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Curso
Resumen del Plan Temático
Septiembre 28
Octubre 5
Octubre 7
Octubre 14
Octubre 19
Evaluación Inicial
Riesgo de Tasas
de Interés
Riesgo de
Portafolio
ALM
Riesgo de Liquidez
Valoración y
Curvas de
Rendimiento
Riesgo de
Portafolio
ALM
Riesgo de
Liquidez
Evaluación Final
Riesgo de Tasas
de Interés
ALM y Riesgo de Liquidez
Matemáticas Aplicadas
BANCO AGRARIO
Capacitación en ALM y Riesgo de Liquidez
MÓDULO 1: VALORACIÓN Y CURVAS DE RENDIMIENTO
Septiembre 2015
Diego Jara
[email protected]
Juan Pablo Lozano
[email protected]
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Introducción
 Algunos términos usados frecuentemente:
 Bono cero cupón: Bono que paga el valor par del bono en
madurez y no paga ningún cupón.
 Tasa compuesta continuamente: Tasa que se compone en
un tiempo infinitesimal. Si no se dice lo contrario se
supone que las tasas se denominan en este formato.
 Spreads: diferencia entre una tasa (o curva) y otra.
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Valor del Tiempo
 El gobierno de Colombia promete pagar $1 en
T = 10 años
 ¿Cuanto vale esta promesa (hoy)?
 Supongamos que su puede observar este precio (por ejemplo,
mediante el mercado secundario de deuda pública): $0.65 (VP)
 FACTOR DE DESCUENTO A 10 AÑOS: 0.65
 Curva de Factores de Descuento (depende de T)
 FD(1) = 1
 Función positiva y
decreciente en T
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Tasas de Interés
 Cuál es la tasa de interés del caso anterior?
 Depende. El mundo transa en precios (solo hay un precio,
en principio). Las tasas son inventadas artificialmente para
facilitar comparaciones.
 Tasa simple:
(1 + rT)  0.65 = 1  r = 5.38%
 Tasa compuesta anualmente:
(1 + r)T  0.65 = 1  r = 4.40%
 Tasa compuesta semestralmente:
(1 + r/2)2T  0.65 = 1  r = 4.35%
 Tasa compuesta continuamente (si la frecuencia tiende a 0):
erT 0.65 = 1  r = 4.31%
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
 … y bueno, podemos complicar esto con periodo
vencido o anticipado, conteos de días, etc.
 Idealmente solo existiría la tasa compuesta
continuamente.
 Los estándares se acomodan a los estándares de
emisión de bonos (frecuencia del pago de cupón)
 Valor presente de un flujo futuro fijo es
VP = VF  Factor Descuento (T)
 Valoración de flujos futuros: suma de sus valores
presentes.
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Estructura a Términos
 Curva Spot Cero Cupón
Para cada término T, se supone conocido el factor
de descuento (o precio del bono cero cupón)
Luego se calcula la tasa r(T) para cada término, y se
grafica la función resultante.
 Tasas forward f(0, t, T)
En el tiempo 0, se quiere pactar un préstamo en el
futuro: que comience en t y termine en T.
A qué tasa debería pactarse?
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Estructura a Términos
 Aquí hay una forma de crear el préstamo (para el
que pide prestado):
o
o
o
Vender un bono cero cupón a T
Comprar FD(T) / FD (t) bonos cero cupón a t
Resultado: hoy, $0. En t, + $FD(T)/FD (t). En T, -$1.
 Esto da una tasa de interés (forward)
f(0, t, T) = (FD(t)/FD (T))(1/(T-t)) - 1.
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Estructura a Términos
 En el caso de tasas compuestas continuamente, se tiene lo
siguiente
 Tasa spot r(T):
FD(T) = e-r(T)T

Tasa forward f(T):
FD(T  ε ) /FD(T)  FD(T,T  )  e -f(T)ε
d log( FD(T ))
f (T )  lim log[ FD(T   ) / FD(T )] 
 0
dT
T
f ( s ) ds

0
FD(T )  e


Veamos unos ejemplos…
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Estructura a Términos
 Tasas Par
Son los cupones que tendrían bonos (a distintos
plazos) si el precio de todos fuera PAR (100)
 Como encontrar tasas par de tasas spot cero cupón?
 Como encontrar tasas spot cero cupón de tasas par?
ALM y Riesgo de Liquidez
Curvas de Rendimiento
Teorías de la Curva
 Expectativas: E [Tasas futuras] = Tasas forward
 Preferencias de Liquidez: inversionistas prefieren el
corto plazo y emisores prefieren el largo plazo 
empinamiento de la curva
 Hábitat Preferido: cada parte de la curva llega a un
equilibrio por mercados distintos
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Valoración de Bonos
BONOS
 Precio vs. Tasa
o
Supongamos situación estándar de cupón fijo, sin
amortizaciones
Flujos C1, C2, …, Cn Frecuencia f (fn = T)
Cupón C (porcentaje anual) Principal (nocional) = N
Para i  n, Ci = N  C /f , Cn = N  (1 + C /f)
o
Precio P:
n
Ci

i


1

r
/
f
i 1
 T

C/ f
1


 N

f ti
f T 


1

r
/
f
1 1  r / f 
ti  f

ALM y Riesgo de Liquidez
Valoración de Bonos
BONOS
 Se puede manipular más:





P
CN
r


1
N
1 


n 
n
 1  r / f   1  r / f 
Observación: si C = r, entonces P = N
Si C  r, entonces P  N; si C  r, entonces P  N
Típicamente N = 100 (par) para cálculos
Caso TES: f = 1
Las ecuaciones deben adecuarse si T = +(n-1):
P


100
C

n
(
1

r
)

1

1


  n 1
(1  r )
r

 Este es el precio sucio
ALM y Riesgo de Liquidez
Valoración de Bonos
BONOS




Precio Limpio = PS – CA
CA = Cupón  N/D
N: Días transcurridos en el periodo del cupón
D: Días en el período del cupón
140
130
120
110
100
Precio Limpio
Precio Sucio
90
80
 Veamos ejemplos en R…
ALM y Riesgo de Liquidez
Valoración de Bonos
BONOS
 Por ahora solo hemos usado TES en COP.
 Bonos en UVR funcionan igual; Cambia solo el
valor en COP.
 No solo hay bonos de tasa fija, se tienen bonos
indexados a tasas variables (IPC, IBR, DTF, etc.).
 Estos se analizarán más adelante
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
 Curvas de spread crediticio
o
Una curva de tasas en exceso de la curva de
rendimientos base, por ejemplo de TES
Fuente: “The Term Structure of Credit Spreads and Credit Default Swaps - an empirical investigation”. Truck, S. et al.
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
Spread de la curva es relacionada con la calidad crediticia
de la entidad emisora.
 Probabilidad de supervivencia: probabilidad de que la
entidad sobreviva hasta el próximo pago del cupón.
 Probabilidad de default: probabilidad que la entidad haga
default en el periodo hasta el próximo cupón.
 En el momento de generar un crédito a una persona
natural sería ideal tener una curva de spread para ésta.
o Por medio del scoring crediticio se puede determinar la
calidad crediticia de una persona.
o Se obtienen diferentes tasas de interés: constantes, DTF
+ spread, etc.

ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
 Ejemplo Simple
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
Suponga un bono con valor $100 a un año por un emisor riesgoso
Suponga la tasa “libre de riesgo” igual a 4%
Suponga el “spread” del emisor igual a 3%
El bono paga $107 en un año, sin otros flujos
Supongamos una tasa de recuperación del 20%
Por simplicidad, supongamos que solo se puede entrar en default en un
año
Qué probabilidad de incumplimiento implica este mercado?
La ecuación de valoración es
V(0)= 100 = VP(107)  P [No default] + VP(20%  107)  P [default]
Luego P [default]  4.7%
Esta es una probabilidad de valoración  de neutralidad al riesgo
Las de las tablas de las calificadoras son la probabilidades “físicas”
Diferencia  Prima de riesgo
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
Credit Default Swaps (CDS)

Derivado, donde una parte paga por protección de crédito
Cupón Periódico (Sin Default)
Banco
100% del Nocional (en default)
Contraparte
Bonos (en default)



El cupón es el “spread” de crédito
Refleja condiciones del mercado y riesgo percibido en el emisor
El bono entregado en default es escogido por la posición larga,
entre una canasta de entregables  Opcionalidad
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
CDS



o
o
o
o
o

o
o
o

o
o
En Colombia no hay mercado de CDS, pero es interesante analizar su
estructura y comportamiento
Riesgo crediticio de la contraparte sobre obligaciones determinadas
Eventos de Crédito
Aceleración
Falta de Pago
Reestructuración
Repudio / Moratoria
Quiebra (no aplica a entidades soberanas)
Obligaciones (de referencia y/o entregables)
Bonos
Deuda o préstamos
Pagos
Liquidación
Física o financiera
Subasta para liquidar derivados
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
CDS/Bond Basis




o
o
De dónde sale el spread? Del mercado
Típicamente existe una relación muy cercana con el mercado de
deuda del emisor (en la misma moneda)
Pero puede haber diferencias importantes 
CDS/Bond BASIS = spread de CDS – spread del Bono
El Basis depende de elementos del mercado y diferencia en los
instrumentos
Financiamiento del bono subyacente (tasa repo)  en momentos de difícil
financiamiento (2008), es preferible estar corto protección que largo un bono
Opcionalidad en el CDS (canasta de entregables)  todo lo demás igual, es
preferible estar largo el bono que estar corto protección
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
CDS Basis – Dinámica en el 2008-2009
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
Valoración de crédito
 Se mantienen los mismos principios
o Probabilidad de neutralidad al riesgo
o Valor esperado bajo esta probabilidad del valor presente del pago
final
o No arbitraje
 Cambian las distribuciones usadas
o Se usan modelos con saltos que representan eventos especiales
o Proceso de Poisson combinado con Movimiento Browniano
o Típicamente se modela la evolución de la intensidad 
o Se modelan intensidades correlacionadas con otras variables de
valoración (tasas de cambio, curvas de rendimiento, commodities,
acciones, …)
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)

La “variable” crediticia observable es la curva de CDS:
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)



o
o
o

A partir de la curva de crédito se pueden inferir las
probabilidades de default (o de supervivencia) a distintos plazos
Esta es una probabilidad de valoración (de la medida de
“neutralidad al riesgo”) – no es una probabilidad “física”
Planteemos un modelo muy simple:
Cupones semestrales
Solo se permite default justo antes de pagar un cupón
Recuperación se supone determinística y constante a distintos plazos
Para un periodo, se tiene
-(1-R) D1
0
1-p
p
1 R
p
C 1 R
C D1
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)
Árbol de probabilidades de un CDS
1 − 𝑝1
-(1-R)*FD1
0
1 − 𝑝2
𝑝1
C*FD1
𝑝2
-(1-R)*FD2
1 − 𝑝3
-(1-R)*FD3
1 − 𝑝𝑁
C*FD2
-(1-R)*FDN
C*FDN-1
𝑝3
C*FD3
ALM y Riesgo de Liquidez
𝑝𝑁
C*FDN
Créditos (Curvas y Valoración)



o
o
o
o
o

Para N periodos, podemos llamar pi la probabilidad de supervivencia del
periodo i-1  i
Ci es el cupón (semestral) para el CDS de plazo i (varía con i si la curva
no es plana)
Eventos sobre los cuales se va a ponderar el valor presente de los flujos:
Default en el periodo 1
Default en el periodo 2
…..
Default en el periodo N
No default antes del vencimiento del CDS
La igualdad del valor esperado de los flujos presentes a 0 (valor inicial del
derivado) lleva a la ecuación
(1  R)(1  p1 ) D1   p1 p2 ...(1  pN ) DN   CN  p1D1   p1 p2 ... pN DN 


Conociendo p1, p2, …, pN-1, se despeja pN (hagámoslo…)
Veamos un ejemplo en R…
ALM y Riesgo de Liquidez
Créditos (Curvas y Valoración)

Flujos de caja riesgosos se valoran con estas probabilidades de
incumplimiento:
V  pdefault  Recuperacion  (1  pdefault )  Flujo Riesgoso

Bonos y otros conjuntos de flujos riesgosos suman los flujos
individuales
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS IBR (TASA IBR)
Es una tasa de interés a corto plazo. (O/N, 1M, 3M).
Refleja el precio al que los agentes participantes (bancos) están
dispuestos a ofrecer o a captar recursos en el mercado
monetario.
 Construcción:


o
o
o


8 bancos participantes.
Tasas de préstamos interbancarios a distintos plazos.
La IBR es la mediana de estas tasas.
Sigue muy de cerca la tasa BanRep.
Es una tasa nominal.
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS IBR

o

El valor de un cupón de un bono indexado a IBR con un spread
de x% es:
𝐶𝐼𝐵𝑅 = 𝑁 ∗ (𝐼𝐵𝑅𝑖 + 𝑥%) ∗
𝑡𝑖
360
El día del comienzo del bono o el día que se paga un cupón el
bono vale PAR si el spread es 0.
C=IBR
1 año
Par + C
Bonos de Tasa Variable
BONOS DTF
 Tasa DTF: La DTF, es una tasa de interés calculada




como un promedio ponderado semanal por monto, de
las tasas promedios de captación diarias de los CDTs a
90 días.
Vigencia Semanal.
Efectiva Annual.
Cupon equivale a intereses en un CDT a 90 días.
Por lo general el cupón viene con un spread sobre
DTF.
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS DTF

El cupón de un bono indexado a DTF con un spread de x% es:
C DTF  4  ((1  DTFproy  x%)1/ 4  1)
o

El último pago es el cupón más el nocional.
Veamos un ejemplo en R…
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS DTF

o
o
o
Proyección de DTF:
Simular Tasa BanRep de manera Markoviana.
Ajustes de modelos de reversion a la media de los basis entre tasas.
(Media móvil para DTF).
Simulaciones de la IBR 3M y DTF.
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
DIFERENCIA DTF e IBR

o
o
o

o
o
o
o
DTF:
Tasa de captación de CDTs a 90 días.
No refleja el verdadero costo del dinero o el precio de la liquidez en el
mercado interbancario.
Muchas captaciones son hechas a plazos distintos a 90 días. (Rezago e
ineficiencia).
IBR:
Se encuentra más acorde con las condiciones del mercado.
Distintos plazos.
Es una tasa nominal.
Es más “fácil” de proyectar.
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS IPC
 Bonos IPC funcionan similarmente.
 Se supone que en el futuro cada observación del
IPC es igual al último dato .
 Fórmula de cupón y de tasa de descuento
o
o
Cupón = (1+IPCúltimo)  (1+Spread Cupón)
Tasa = (1+IPCúltimo)  (1+Spread Mercado)
 Veamos un ejemplo en R…
ALM y Riesgo de Liquidez
Valoración de Bonos
BONOS
 Para valorar bonos IPC, se pueden usar técnicas de
valoración de derivados.
 Brody ,Crosby, Li:
ALM y Riesgo de Liquidez
Bonos de Tasa Variable
BONOS IPC
 En el momento de valorar un bono (derivado) en
IPC hay que tener en cuenta la estacionalidad del
índice.
ALM y Riesgo de Liquidez
Plan del Módulo
 Introducción
 Curvas de rendimiento: spot y forward
 Valoración de bonos tasa fija
 Curvas de spread crediticio y valoración de créditos
 Tasas Variables (IPC, DTF, IBR)
 Calibración de curvas a Mercado
ALM y Riesgo de Liquidez
Calibración de Curvas
Construcción de la Curva
 Se observan algunos puntos de mercado.
 Cómo crear una curva razonable?
 Qué significa razonable?
 Métodos paramétricos y no paramétricos.
 En resumen:
o
o
o
o
Se tiene una función con n parámetros por determinar
Se observan precios de M bonos (M > n)
Se encuentra el error cuadrado promedio (ponderado,
posiblemente) de la valoración usando la curva
Se determinan los parámetros que minimizan este error
ALM y Riesgo de Liquidez
Calibración de Curvas
Construcción de la Curva (Parametricamente)
 Un método muy popular es el de Nelson – Siegel
 INFOVAL usa este método para construir las curvas cero cupón
de valoración
 Curva forward con cuatro parámetros:
t
f (t )   0  1e t /   2 e t /


De aquí sale la curva spot:
t
r (t )  t   f ( s)ds 
0
1  e t /
r (t )   0  ( 1   2 )
  2 e t / 
t /
ALM y Riesgo de Liquidez
Calibración de Curvas
Construcción de la Curva
 Veamos el ejemplo.
1. Fijar arbitrariamente los 4 parámetros
2. Usar esta curva para valorar TES
3. Encontrar la diferencia entre el mercado y esta
curva
4. Encontrar los parámetros que minimizan el error
absoluto.
ALM y Riesgo de Liquidez
Calibración de Curvas
Construcción de la Curva (No Paramétrica)
 Probemos ahora una curva no paramétrica.
 Tenemos, al igual que antes, las tasas de unos TES
observados.
 La calibración varía dependiendo de la función que se
quiera ajustar.
 Veamos 2 ejemplos en R:


Función constante a trozos.
Función lineal a trozos.
ALM y Riesgo de Liquidez
Resumen del Módulo
 Tasa cero cupón r: Tasa única para descontar por
medio de composición:

1
(1+𝑟)𝑇
=
1
𝑇 (1+𝑦 )
𝑖
𝑖=1
 Tasa forward f: Tasa para pactar un préstamo que
comience en t y termine en T en el tiempo 0.
 Para valorar un crédito, la fórmula básica es:
V  pdefault  Recuperacion  (1  pdefault )  Flujo Riesgoso
 Sin embargo hay que pensar en el árbol binomial
para comprender la valoración mejor.
ALM y Riesgo de Liquidez
Resumen del Módulo





Los bonos con tasa variable (IPC o DTF) pueden ser
bastante complicados de valorar dada la incertidumbre de
las tasas futuras.
Para el caso de un bono en IPC también se debe tomar en
cuenta la estacionalidad del índice.
Para los bonos indexados a DTF se pueden hacer
proyecciones estocásticas ligadas al movimiento de la tasa
BanRep.
Para calibrar una curva a mercado hay 2 métodos:
Paramétrico o No paramétrico.
Se optimizan los parámetros (o las tasas mismas) para que
se reduzca el error entre la valoración a mercado y las tasas
calibradas.
ALM y Riesgo de Liquidez
PREGUNTAS?
ALM y Riesgo de Liquidez