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Lógica - CM0260
Lógica de predicados monádicos
Andrés Sicard Ramírez
Universidad EAFIT
Semestre 2015-2
Introducción
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
Introducción
lógica de predicados de orden superior
lógica de predicados de primer orden
lógica de predicados monádicos
lógica proposicional
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Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
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Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
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Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
El argumento
1
𝑃
2
𝐻
/∴ 𝑀
es inválido.
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Motivación
Ejemplo
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
𝑃 : Todos los hombres son mortales
𝐻: Socrátes es humano
𝑀 : Socrátes es mortal
El argumento
1
𝑃
2
𝐻
/∴ 𝑀
es inválido.
La validez del argumento depende de la estructura interna de los
enunciados simples.
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Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
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Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
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Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal
𝑠: Sócrates
𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal
𝑀 𝑠: Sócrates es mortal
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Proposiciones singulares
Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, … , 𝑡
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑢, 𝑣, 𝑤, 𝑥, 𝑦 y 𝑧
Proposición singular
Sujeto + atributo/predicado
Ejemplos
Socrátes es mortal
𝑠: Sócrates
𝑀 𝑥: 𝑥 es mortal
𝑀 𝑠: Sócrates es mortal
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𝐻𝑥: 𝑥 es humano
𝐻𝑎, 𝐻𝑏, 𝐻𝑐, …
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Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni
falsas.
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Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen variables individuales. No son ni verdaderas ni
falsas.
Lógica de predicados monádicos
Los predicados sólo tienen una variable.
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Funciones proposicionales: Instanciación
Instanciación
El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función
proposicional sustituyendo las variables por constantes.
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Funciones proposicionales: Instanciación
Instanciación
El proceso de obtener una proposición singular a partir de una función
proposicional sustituyendo las variables por constantes.
Ejemplo
𝐻𝑥: 𝑥 es humano
𝐻𝑠 es una instancia de sustitución de 𝐻𝑥
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Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
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Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores
(∀𝑥): Cuantificador universal
(∃𝑥): Cuantificador existencial
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Funciones proposicionales: Generalización
Proposición general
Una proposición general no contiene nombre de individuos. Se obtiene a
partir de una función proposicional por generalización (cuantificación).
Cuantificadores
(∀𝑥): Cuantificador universal
(∃𝑥): Cuantificador existencial
Notación: Copi [1998], Hurley [2012] y LogicCoach 11 usan la
notación ‘(𝑥)’ en lugar de la notación ‘(∀𝑥)’.
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥,
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Funciones proposicionales: Generalización
Ejemplo
Todo es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑥 es mortal,
dado cualquier 𝑥, 𝑀 𝑥,
(∀𝑥)𝑀 𝑥.
Ejemplo
Algo es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑥 es mortal,
existe cuando menos un 𝑥 tal que 𝑀 𝑥,
(∃𝑥)𝑀 𝑥.
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Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera
cuando todas sus instancias de sustitución son verdades.
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Verdad de las proposiciones generales
La cuantificación universal de una función proposicional es verdadera
cuando todas sus instancias de sustitución son verdades.
La cuantificación existencial de una función proposicional es verdadera
cuando al menos una instancia de sustitución es verdadera.
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Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
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Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
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Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥
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Negación de las proposiciones generales
Ejemplos
Proposición general
Negación
Todo es mortal: (∀𝑥)𝑀 𝑥
Algo no es mortal: (∃𝑥)∼𝑀 𝑥
Algo es mortal: (∃𝑥)𝑀 𝑥
Nada es mortal: (∀𝑥)∼𝑀 𝑥
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
Convenciones
Existe al menos un individuo.
Φ: Representa cualquier símbolo de atributo/predicado (variable
predicativa).
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
contrarias
(∀𝑥)Φ𝑥
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
nt
ra rias
o
icdt ic
d
a
to
tr
ria
on
c
(∃𝑥)Φ𝑥
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subcontrarias
s
(∃𝑥)∼Φ𝑥
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
contrarias
(∀𝑥)Φ𝑥
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
nt
ra rias
o
icdt ic
d
a
to
tr
ria
on
c
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
s
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones contrarias: Ambas pueden ser falsas, pero no pueden ser
ambas verdaderas.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
contrarias
(∀𝑥)Φ𝑥
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
nt
ra rias
o
icdt ic
d
a
to
tr
ria
on
c
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
s
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones subcontrarias: Ambas pueden ser verdaderas, pero no
pueden ambas ser falsas.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
contrarias
(∀𝑥)Φ𝑥
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
nt
ra rias
o
icdt ic
d
a
to
tr
ria
on
c
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
s
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
Proposiciones contradictorias: Una debe ser verdadera y la otra falsa.
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Relaciones generales entre las cuantificaciones universal y
existencial
contrarias
(∀𝑥)Φ𝑥
(∀𝑥)∼Φ𝑥
co
nt
ra rias
o
icdt ic
d
a
to
tr
ria
on
c
(∃𝑥)Φ𝑥
subcontrarias
s
(∃𝑥)∼Φ𝑥
Relaciones
En cada lado, la verdad de la proposición más baja es implicada por la
verdad de la proposición de arriba.
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Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
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(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
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Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
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Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
(2) es una función proposicional
Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, …
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Alcance de un cuantificador
Ejemplo
(1) es diferente a (2):
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(1)
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
(2)
La función proposicional asociada a (1) es 𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥
Instancias de substitución: 𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎, 𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏, …
(2) es una función proposicional
Instancias de substitución: (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑎, (∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑏, …
Convención
Un cuantificador tiene como alcance, la más pequeña de las componentes
que la puntuación permita.
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Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)
Negativa universal (E)
Afirmativa particular (I)
Negativa particular (O)
Ejemplos
(A)
(E)
(I)
(O)
Todos los humanos son mortales
Ningún humano es mortal
Algunos humanos son mortales
Algunos humanos no son mortales
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(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
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Proposiciones generales “tradicionales”
Afirmativa universal (A)
Negativa universal (E)
Afirmativa particular (I)
Negativa particular (O)
Ejemplos
(A)
(E)
(I)
(O)
Todos los humanos son mortales
Ningún humano es mortal
Algunos humanos son mortales
Algunos humanos no son mortales
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
Observación: Mirar la figura en Copi [1998, pág. 92].
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los miembros son padres o ingenieros.
𝑀 𝑥: 𝑥 es miembro
𝑃 𝑥: 𝑥 es padre
𝐼𝑥: 𝑥 es ingeniero
(∀𝑥)[𝑀 𝑥 ⊃ (𝑃 𝑥 ∨ 𝐼𝑥)]
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Algunos senadores son o desleales o mal aconsejados.
𝑆𝑥: 𝑥 es senador
𝐷𝑥: 𝑥 es desleal
𝑀 𝑥: 𝑥 es mal aconsejado
(∃𝑥)[𝑆𝑥 ∧ (𝐷𝑥 ∨ 𝑀 𝑥)]
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Representación de enunciados
Ejemplo
Representar las siguientes oraciones en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Las manzanas y los plátanos son nutritivos.
𝑀 𝑥: 𝑥 es una manzana
𝑃 𝑥: 𝑥 es un plátano
𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritivo
[(∀𝑥)(𝑀 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] ∧ [(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝑁 𝑥)] (proposición general
compuesta)
(∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∨ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (proposición general simple)
(∀𝑥)[(𝑀 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) ⊃ 𝑁 𝑥] (incorrecta!)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Los ejecutivos todos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑆𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.5*, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Sólo los ejecutivos tienen secretarias. (𝐸𝑥: 𝑥 es un ejecutivo. 𝑆𝑥: 𝑥 tiene
una secretaria.)
Representación: (∀𝑥)(𝑆𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó
a cenar.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.12, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Ningún visitante se quedó a cenar. (𝑉 𝑥: 𝑥 es un visitante. 𝐶𝑥: 𝑥 se quedó
a cenar.)
Representación: ∼(∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ 𝐶𝑥) o (∀𝑥)(𝑉 𝑥 ⊃ ∼𝐶𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥
escapó a la destrucción.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.13, pág. 94)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Nada en la casa escapó a la destrucción. (𝐶𝑥: 𝑥 estaba en la casa. 𝐸𝑥: 𝑥
escapó a la destrucción.)
Representación: (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ ∼𝐸𝑥)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades
excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma
en cantidades excesivas.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.16, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Algunos medicamentos son peligrosos sólo si se toman en cantidades
excesivas. (𝑀 𝑥: 𝑥 es un medicamento. 𝑃 𝑥: 𝑥 es peligroso. 𝐸𝑥: 𝑥 se toma
en cantidades excesivas.)
Representación: (∃𝑥)[𝑀 𝑥 ∧ (𝑃 𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)]
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta.
𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.)
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Representación de enunciados
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.17, pág. 95)
Traducir la siguiente oración a la notación lógica de las funciones
proposicionales y cuantificadores, usando las abreviaciones que se sugieren.
Todas las frutas y las verduras son sanas y nutritivas. (𝐹 𝑥: 𝑥 es una fruta.
𝑉 𝑥: 𝑥 es una verdura. 𝑆𝑥: 𝑥 es sana. 𝑁 𝑥: 𝑥 es nutritiva.)
Representación: (∀𝑥)[(𝐹 𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ (𝑆𝑥 ∧ 𝑁 𝑥)]
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son
observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.6, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los novelistas son observadores. Algunos poetas no son
observadores. Por lo tanto, ningún novelista es poeta.
𝑁 𝑥: 𝑥 es un novelista
𝑂𝑥: 𝑥 es observador
𝑃 𝑥: 𝑥 es un poeta
Representación:
1
(∀𝑥)[𝑁 𝑥 ⊃ 𝑂𝑥]
2
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝑂𝑥)
/∴ ∼(∃𝑥)(𝑁 𝑥 ∧ 𝑃 𝑥)
Una forma alternativa de representar la conclusión es (∀𝑥)(𝑁 𝑥 ⊃ ∼𝑃 𝑥).
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No
todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son
políticos.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.8, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son inteligentes. Algunos políticos son inteligentes. No
todos los políticos son inteligentes. Luego, todos los estadistas son
políticos.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista
𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente
𝑃 𝑥: 𝑥 es un político
Representación:
1
(∀𝑥)[𝐸𝑥 ⊃ 𝐼𝑥]
2
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ 𝐼𝑥)
3
∼(𝑉 𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐼𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
Una forma alternativa de representar la tercera premisa es (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥).
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Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.
Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son
inteligentes.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
68/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.9, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Todos los estadistas son políticos. Algunos estadistas son inteligentes.
Algunos políticos no son estadistas. Luego, algunos políticos no son
inteligentes.
𝐸𝑥: 𝑥 es un estadista
𝐼𝑥: 𝑥 es inteligente
𝑃 𝑥: 𝑥 es un político
Representación:
1
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
2
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝐼𝑥)
3
(∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐸𝑥)
/∴ (∃𝑥)(𝑃 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
69/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.
Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son animales.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
70/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio II.10, pág. 107)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Los caballos y las vacas son mamíferos. Algunos animales son mamíferos.
Algunos animales no son mamíferos. Luego todos los caballos son animales.
𝐶𝑥: 𝑥 es un caballo
𝑉 𝑥: 𝑥 es una vaca
𝑀 𝑥: 𝑥 es una mamífero
𝐴𝑥: 𝑥 es un animal
Representación:
1
(∀𝑥)[(𝐶𝑥 ∨ 𝑉 𝑥) ⊃ 𝑀 𝑥]
2
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝑀 𝑥)
3
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ ∼𝑀 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐶𝑥 ⊃ 𝐴𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
71/152
Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego
algunos que votan no son residentes.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Representación de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio III.6, pág. 108)
Representar el siguiente argumento en la lógica de predicados monádicos.
Escribir explícitamente las abreviaciones empleadas.
Sólo los ciudadanos votan. No todos los residentes son ciudadanos. Luego
algunos que votan no son residentes.
𝐶𝑥: 𝑥 es un ciudadano
𝑉 𝑥: 𝑥 vota
𝑅𝑥: 𝑥 es residente
Representación:
1
(∀𝑥)[𝑉 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥]
2
∼(∀𝑥)(𝑅𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
/∴ (∃𝑥)(𝑉 𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥)
Una forma alternativa de representar la segunda premisa es
(∃𝑥)(𝐶𝑥 ∧ ∼𝑅𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
73/152
Proposiciones generales y número de individuos
Supuesto de la lógica de predicados
Existe al menos un individuo.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Proposiciones generales y número de individuos
Supuesto de la lógica de predicados
Existe al menos un individuo.
𝑐
Notación: 𝑝 ∷ 𝑞 significa que 𝑝 es condicionalmente lógicamente
equivalente a 𝑞.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
75/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
76/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
77/152
Proposiciones generales y número de individuos
Si hay exactamente un individuo 𝑎:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎,
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ Φ𝑎.
Si hay exactamente dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏).
Si hay exactamente 𝑘 individuos 𝑎, 𝑏, … , 𝑘:
𝑐
(∀𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∧ Φ𝑏 ∧ ⋯ ∧ Φ𝑘),
𝑐
(∃𝑥)Φ𝑥 ∷ (Φ𝑎 ∨ Φ𝑏 ∨ ⋯ ∨ Φ𝑘).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
78/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Validez de Argumentos
“Un argumento que involucra cuantificadores es válido si y sólo si es válido
no importando cuántos individuos hay, siempre que haya cuando menos
uno.”1
1
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 103.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
80/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
81/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎
𝐸𝑎
𝑃𝑎
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
Validez
82/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎
𝐸𝑎
𝑃𝑎
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
83/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
84/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
85/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 104)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Todos los elefantes son pesados. Luego,
todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∀𝑥)(𝐸𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
/∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎)
(𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) /∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎)
𝐵𝑎
T
𝐸𝑎
F
𝑃𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐸𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎
T
𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎
F
Validez
×
El argumento es inválido!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
86/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
87/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para un individuo 𝑎 el argumento es válido.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
88/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
89/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
El argumento es inválido para la asignación:
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
90/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejemplo pág. 105)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
Todas las ballenas son pesadas. Algunos elefantes son pesados. Por lo
tanto, todas las ballenas son elefantes.
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝑃 𝑥)
(∃𝑥)(𝐸𝑥 ∧ 𝑃 𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐸𝑥)
Para dos individuos 𝑎 y 𝑏:
(𝐵𝑎 ⊃ 𝑃 𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝑃 𝑏)
(𝐸𝑎 ∧ 𝑃 𝑎) ∨ (𝐸𝑏 ∧ 𝑃 𝑏)
/∴ (𝐵𝑎 ⊃ 𝐸𝑎) ∧ (𝐵𝑏 ⊃ 𝐸𝑏)
El argumento es inválido para la asignación:
𝐵𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐵𝑏
T
𝐸𝑎
F
𝐸𝑏
T
𝑃𝑎
T
𝑃𝑏
T
91/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)
(∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
92/152
Invalidez de argumentos empleado universos finitos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio I.4, pág. 107)
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ ∼𝐼𝑥)
(∃𝑥)(𝐽 𝑥 ∧ ∼𝐼𝑥) /∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝐽 𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏 y la asignación:
𝐻𝑎
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝐼𝑎
F
𝐽𝑎
F
𝐻𝑏
T
𝐼𝑏
F
𝐽𝑏
T
93/152
Invalidez de argumentos empleando universos finitos
Ejemplo
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
94/152
Invalidez de argumentos empleando universos finitos
Ejemplo
Demuestre que el siguiente argumento es inválido:
(∀𝑥)𝐻𝑥 ⊃ (∀𝑥)𝑀 𝑥
/∴ (∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
El argumento es inválido con dos individuos 𝑎 y 𝑏:
𝐻𝑎
T
𝐻𝑏
F
𝑀𝑎
F
𝑀𝑏
F
(𝐻𝑎 ∧ 𝐻𝑏) ⊃ (𝑀 𝑎 ∧ 𝑀 𝑏)
T
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
(𝐻𝑎 ⊃ 𝑀 𝑎) ∧ (𝐻𝑏 ⊃ 𝑀 𝑏)
F
Validez
×
95/152
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos
Teorema
“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,
si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido
en cualquier modelo, o universalmente válido.”2
2
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]
menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
96/152
Decidibilidad de la lógica de predicados monádicos
Teorema
“Si un argumento contiene 𝑛 símbolos de predicados diferentes, entonces,
si es válido para un modelo que contenga 2𝑛 individuos, entonces es válido
en cualquier modelo, o universalmente válido.”2
Observación: El teorema anterior sólo es válido para símbolos de predicados
monádicos.
2
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica, pág. 106. Ackermann [1954, pág. 35]
menciona que la prueba original es de Löwenheim [1915].
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
97/152
Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)
Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)
Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥
están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
3
Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
98/152
Variables libres y ligadas
Definición (Variable libre)
Una variable que no se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Definición (Variable ligada)
Una variable que se encuentra dentro del alcance de un cuantificador.
Ejemplos
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥: La primera, segunda y tercera ocurrencia de 𝑥
están ligadas. La cuarta ocurrencia de 𝑥 está libre.3
(∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ (∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐶𝑥): La primera, segunda y tercera
ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador universal. La cuarta, quinta y
sexta ocurrencia de 𝑥 están ligadas al cuantificador existencial.
3
Para Copi [1998], la primera ocurrencia de la variable 𝑥 ocurre en (∀𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
99/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
100/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
101/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
102/152
Funciones proposicionales
Función proposicional
Expresiones que contienen al menos una variable libre.
Proposiciones
Expresiones cuya toda ocurrencia de una variable debe ser ligada.
Ejemplos
Las funciones proposicionales pueden contener:
Proposiciones singulares: 𝐹 𝑎 ∧ 𝐺𝑎
Proposiciones generales: (∀𝑥)(𝑃 𝑥 ⊃ 𝐶𝑥) ⊃ 𝐶𝑥
Varias variables libres: 𝐹 𝑢 ∧ 𝐺𝑣
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
103/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a
partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar
cada ocurrencia libre de la misma variable.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
104/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a
partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar
cada ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
105/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a
partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar
cada ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
106/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a
partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar
cada ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
Instancia incorrecta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
107/152
Instanciación de funciones proposicionales
Regla
Al reemplazar variables por constantes para obtener una proposición a
partir de una función proposicional, la misma constante debe reemplazar
cada ocurrencia libre de la misma variable.
Ejemplo
Función proposicional:
Instancia correcta:
Instancia incorrecta:
Instancia correcta:
𝐹 𝑥 ∨ (𝐺𝑦 ∧ 𝐻𝑥)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑎)
𝐹 𝑎 ∨ (𝐺𝑏 ∧ 𝐻𝑐)
𝐹 𝑐 ∨ (𝐺𝑐 ∧ 𝐻𝑐)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
108/152
Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
109/152
Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
(∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
110/152
Generalización de funciones proposicionales
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∀𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∀𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
(∃𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥), (∃𝑦)(𝐹 𝑦 ⊃ 𝐺𝑦), (∃𝑧)(𝐹 𝑧 ⊃ 𝐺𝑧), …
Ejemplo
Función proposicional: 𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦
y (∀𝑦)(𝐹 𝑥 ∧ 𝐺𝑦)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
111/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
112/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
113/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
114/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las
proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de
inferencia o por una equivalencia lógica y
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
115/152
Prueba formal de validez
Argumento
𝑃1
⋮
𝑃𝑛
∴𝐶
Prueba formal de validez
1
n
n+1
n+m
𝑃1
⋮
𝑃𝑛 /∴ 𝐶
𝑆1
⋮
𝑆𝑚
𝑃1 , … , 𝑃𝑛 y 𝐶 son proposiciones,
cada 𝑆𝑖≠𝑚 puede ser una proposición o una función proposicional,
cada 𝑆𝑖 es un supuesto de alcance limitado o se sigue de las
proposiciones o funciones proposicionales anteriores por una regla de
inferencia o por una equivalencia lógica y
la última proposición 𝑆𝑚 es la conclusión 𝐶.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
116/152
Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
117/152
Inferencias con funciones proposicionales
Nuestras reglas de inferencia trabajan con funciones proposicionales.
Ejemplo
Aunque 𝐹 𝑥 y 𝐺𝑥 son funciones proposicionales, la siguiente inferencia es
correcta:
42
𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥
43
𝐹𝑥
44
𝐺𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
MP 42, 43
118/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
119/152
Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de
funciones proposionales?
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Inferencias con funciones proposicionales
Acerca de la validez
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de otras funciones proposionales?
¿En qué sentido puede decirse que una función proposicional válidamente
se sigue de ciertas proposiciones?
¿En qué sentido puede decirse que una proposición válidamente se sigue de
funciones proposionales?
Respuesta: Cuando cualquier instancia de sustitución produce un
argumento válido.
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Reglas de inferencia
Observación: Copi y Hurley presentan las reglas de inferencia gradualmente
[Copi 1998, § 4.2 y § 4.5] y [Hurley 2012, § 8.2 y § 8.4]. Nuestra
presentación corresponde a las reglas presentadas en Hurley [2012, § 8.4]
(y usadas por LogicCoach) y éstas serán las reglas evaluadas.
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Reglas de inferencia
Instanciación de cuantificadores
“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and
replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial
letter.”[Hurley 2012, pág. 452]
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Reglas de inferencia
Instanciación de cuantificadores
“Instantiation is an operation that consists in deleting a quantifier and
replacing every variable bound by that quantifier with the same instantial
letter.”[Hurley 2012, pág. 452]
Generalización de cuantificadores
“Generalization... is an operation that consists in (1) introducing a
quantifier immediately prior to a statement, a statement function, or
another quantifier, and (2) replacing one or more occurrences of a certain
instantial letter in the statement or statement function with the same
variable that appears in the quantifier. For universal generalization, all
occurrences of the instantial letter must be replaced with the variable in
the quantifier, and for existential generalization, at least one of the
instantial letters must be replaced with the variable in the
quantifier.”[Hurley 2012, pág. 454-5]
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales
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Convenciones
Constantes individuales: 𝑎, 𝑏, … , 𝑣, 𝑤
Atributos (predicados): Letras mayúsculas
Variables individuales: 𝑥, 𝑦 y 𝑧
𝔉𝑥 y 𝔉𝑦: Denotan funciones proposicionales
𝔉𝑎: Denota una proposición
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Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
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(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
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Regla de inferencia: Instanciación universal
Instanciación universal (UI)
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 96)
Todos los hombres son mortales. Socrátes es humano. Luego, Socrátes es
mortal.
1
(∀𝑥)(𝐻𝑥 ⊃ 𝑀 𝑥)
2
𝐻𝑠
3
𝐻𝑠 ⊃ 𝑀 𝑠
UI 1
4
𝑀𝑠
MP 3, 2
/∴ 𝑀 𝑠
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
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𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1
(∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥
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Regla de inferencia: Generalización existencial
Generalización existencial (EG)
𝔉𝑎
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑦
(∃𝑥)𝔉𝑥
Ejemplo
1
(∀𝑥)𝐴𝑥 /∴ (∃𝑥)𝐴𝑥
2
𝐴𝑥
UI 1
3
(∃𝑥)𝐴𝑥
EG 2
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Regla de inferencia: Instanciación existencial
Instanciación existencial (EI)
(∃𝑥)𝔉𝑥
𝔉𝑎
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Restricción: El individuo 𝑎 debe ser un
individuo nuevo que no aparece en ningún
renglón anterior (incluyendo el renglón de la
conclusión del argumento).
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Regla de inferencia: Instanciación existencial
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 123)
1
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ 𝐺𝑥)
2
(∃𝑦)𝐹 𝑦
3
𝐹𝑎
EI 2
4
𝐹 𝑎 ⊃ 𝐺𝑎
UI 1
5
𝐺𝑎
MP 4, 3
6
(∃𝑧)𝐺𝑧
EG 5
/∴ (∃𝑧)𝐺𝑧
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Regla de inferencia: Generalización universal
Generalización universal (UG)
𝔉𝑦
(∀𝑥)𝔉𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
Restricción: UG no debe ser usada dentro del
alcance de un supuesto si la variable 𝑦 está
libre en la línea donde se introdujo el
supuesto.
Restricción: UG no debe ser usada si la
variable 𝑦 está libre en cualquier línea
precedente obtenida por EI.
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Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo (Hurley (2012), pág. 453)
1
(∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐵𝑥)
2
(∀𝑥)(𝐵𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
3
𝐴𝑦 ⊃ 𝐵𝑦
UI 1
4
𝐵𝑦 ⊃ 𝐶𝑦
UI 2
5
𝐴𝑦 ⊃ 𝐶𝑦
HS 3, 4
6
(∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
UG 5
/∴ (∀𝑥)(𝐴𝑥 ⊃ 𝐶𝑥)
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Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo
1
(∃𝑥)𝐹 𝑥
2
𝐹𝑎
EI 1
3
(∀𝑥)𝐹 𝑥
UG 2 Error!
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
/∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
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Regla de inferencia: Generalización universal
Ejemplo
1
(∃𝑥)𝐹 𝑥
/∴ (∀𝑥)𝐹 𝑥
2
𝐹𝑎
EI 1
3
(∀𝑥)𝐹 𝑥
UG 2 Error!
Error: La letra instanciada es una constante.
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Reglas de inferencia
Observación: Las reglas de inferencia UI, UG, EI y EU son reglas de
“renglón completo”.
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Copi [1998], ejercicio 3, pág. 101)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ⊃ ∼𝐺𝑥)
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ 𝐺𝑥) /∴ (∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
𝐻𝑎 ∧ 𝐺𝑎
𝐹 𝑎 ⊃ ∼𝐺𝑎
𝐻𝑎
𝐺𝑎
∼∼𝐺𝑎
∼𝐹 𝑎
𝐻𝑎 ∧ ∼𝐹 𝑎
(∃𝑥)(𝐻𝑥 ∧ ∼𝐹 𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
EI 2
UI 1
Simp 3
Simp 3
DN 6
MT 4, 7
Conj 5, 8
EG 9
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
[(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)
(∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Demostraciones de validez de argumentos
Ejercicio (Hurley (2012), pág. 459)
Construir una prueba formal de validez para el siguiente argumento:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥] ⊃ 𝐶𝑗
(∃𝑥)(𝐴𝑥 ∧ 𝐷𝑥)
(∃𝑥)(𝐵𝑥 ∧ 𝐸𝑥) /∴ 𝐶𝑗
𝐴𝑚 ∧ 𝐷𝑚
𝐵𝑛 ∧ 𝐸𝑛
𝐴𝑚
𝐵𝑛
(∃𝑥)𝐴𝑥
(∃𝑥)𝐵𝑥
(∃𝑥)𝐴𝑥 ∧ (∃𝑥)𝐵𝑥
𝐶𝑗
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
EI 2
EI 3
Simp 4
Simp 5
EG 6
EG 7
Conj 8, 9
MP 1, 10
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Regla de inferencia: Cambio de cuantificador
Cambio de cuantificador (CQ: Change of Quantifier)
(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)∼𝔉𝑥
∼(∀𝑥)𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)∼𝔉𝑥
(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ ∼(∃𝑥)𝔉𝑥
∼(∀𝑥)∼𝔉𝑥 ∷ (∃𝑥)𝔉𝑥
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)
Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥).
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (Copi [1998], ejemplo pág. 134)
Demostrar que [(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥)] ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥).
Primera parte
1
(∀𝑥)𝐹 𝑥 ∨ (∀𝑥)𝐺𝑥
/∴ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
2
(∀𝑥)𝐹 𝑥
ACP
3
𝐹𝑦
UI 2
4
𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦
Add 3
5
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
UG 4
6
(∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
CP 2–5
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)
Segunda parte
7
(∀𝑥)𝐺𝑥
ACP
8
𝐺𝑦
UI 7
9
𝐹 𝑦 ∨ 𝐺𝑦
Add 8
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
UG 9
10
11
(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
CP 7–10
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Verdades lógicas que involucran cuantificadores
Ejemplo (continuación)
Finalmente
12
[(∀𝑥)𝐹 𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
∧ [(∀𝑥)𝐺𝑥 ⊃ (∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
Conj 6, 11
13
[(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)] ∨ [(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)]
CD 12, 1
14
(∀𝑥)(𝐹 𝑥 ∨ 𝐺𝑥)
Taut 13
Lógica - CM0260. Lógica de predicados monádicos
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Referencias
Ackermann, W. (1954). Solvable Cases of the Decision Problem. North-Holland
Publishing Company.
Copi, Irving M. (1998). Lógica Simbólica. Compañía Editorial Continental.
Hurley, Patrick J. (2012). A Concise Introduction to Logic. 11.a ed. Wadsworth,
Cengage Learning.
Löwenheim, Leopold (1915). Über Möglichkeiten im Relativkalkül.
Mathematische Annalen 76.4, págs. 447-470.
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