1. No category

RESÚMENES DE CURSILLOS Y DE CHARLAS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
CURSILLOS
La correspondencia a MacKay para subgrupos abelianos de SL(3, C)
Alexander Quintero Velez
Universidad del Valle
La correspondencia de McKay establece una relación entre las representaciones de un subgrupo
finito G de SL(n, C) y las desingularizaciones del espacio singular cociente Cn /G . Para n = 2, dicha
correspondencia se ve materializada por el hecho de que el grafo dual al diagrama de intersección de
las curvas excepcionales de la desingularización minimal de C2 /G puede ser reconstruido a partir
de las representaciones irreducibles del grupo G . En este cursillo nos vamos a concentrar en el caso
n = 3. Si G es un subgrupo abeliano finito de SL(3, C), las desigularizaciones de C3 /G pueden ser
descritas utilizando triangulaciones de ciertos conjuntos en un retículo 3-dimensional. Pese a que no
existe una única desingularización “minimal”, es posible definir una desingularización distinguida
que nos permite erigir una correspondencia de McKay generalizada. El propósito del cursillo es
estudiar y caracterizar la triangulación que induce dicha desingularización. El mismo estará guiado
por ejemplos concretos y cálculos explícitos. Si el tiempo lo permite, se discutirá brevemente la
explicación natural de la correspondencia de McKay en términos de D-branas en diferentes fases
geométricas de un modelo sigma lineal.
Una introducción a las representaciones de Galois y a la teoria de Iwasawa
Guillermo Mantilla-Soler
Universidad de los Andes
El estudio del grupo de clases C`(K) de un cuerpo de números K es uno de los problemas más
centrales en la teoría de números. El grupo C`(K) es abeliano finito y su tamaño hK , conocido
como su class number, contiene mucha información aritmética del cuerpo K. Para cuerpos de
números arbitrarios calcular hK no está al alcance de la tecnología actual, sin embargo existen
casos especiales, como lo son las llamadas torres Zp , para los cuales se conoce bien la p-parte de los
class numbers. A finales de los años 50 Kenichi Iwasawa inició el estudio del crecimiento del orden
de los grupos de clases en ciertas torres de cuerpos de números. El inicio de la Teoría de Iwasawa
es el descubrimiento, por parte de Iwasawa, de un comportamiento uniforme en el tamaño de los
p-subgrupos de Sylow de los grupos C`(Kn ) donde los Kn forman una torre de cuerpos de números
con ciertas propiedades Galois teóricas muy especiales.
K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Kn ⊆ ...
Un primera meta de este cursillo es presentar los resultados de Iwasawa mencionados arriba, y
dar una idea de los métodos utilizados en las pruebas de los mismos. El segundo propósito del curso
es explicar, de manera superficial, y aprovechando su uso en la Teoría de Iwasawa rudimentaria,
qué es una representación de Galois. Uno de los ejemplos que muestra la importancia de las
representaciones de Galois es el papel fundamental que tienen para Taylor y Wiles en su prueba
de modularity of elliptic curves y su famosa consecuencia; el último teorema de Fermat.
1
2
RESÚMENES DE CURSILLOS Y DE CHARLAS MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
CHARLAS
SESION INAUGURAL
Sobre ciertos morfismos racionales al producto de espacios proyectivos
Pedro Hernández Rizzo
Universidad de Antioquia
Motivados por el estudio y relación entre las series lineales limites y los mapas de Abel, en esta
charla introduciremos a partir de ciertas problemáticas independientes los morfismos racionales
definidos sobre espacios proyectivos a productos de espacios proyectivos determinados por proyectivizaciones de ciertos espacios vectoriales. Nuestro interés recaerá sobre el estudio de la clausura
de las imágenes de estas aplicaciones.
Convergencia débil de grafos aleatórios hacía una transformación de la red
Browniana
León Alexander Valencia
Universidad de Antioquia
La red Browniana (BW) es una red aleatoria que formalmente consiste de movimientos Brownianos coalescientes unidimensionales comenzando de cualquier punto del espacio tiempo R × R.
En esta charla presentaremos algunos ejemplos de sucesiones de grafos aleatorios que convergen
débilmente a transformaciones (homeomorfismo) de la BW.
El papel de los morfismos relacionales en la teoría de semigrupos
Mariana Narváez
Universidad Distrital
El concepto de morfismo relacional es clave para la caracterización de la resolubilidad de un
semigrupo asociado a una variedad de grupos finitos. La definición de morfismo relacional aparece
por primera vez en el libro Automata, languages, and machines de S. Eilenberg, siendo Tilson
(1937) el primer divulgador científico del concepto de morfismo relacional, de sus propiedades y
del papel del conjunto de los morfismos relacionales, como el conjunto de morfismos de la categoría RSgp, cuyos objetos son los semigrupos, presentada en el articulo Categories as algebra an
essential ingredient in the theory of monoids.
Esta charla se dividirá en tres partes. En la primera parte, presentamos el concepto de morfismo
relacional, el desarrollo de la categoría RSgp y estudiamos también las características que poseen
tales morfismos, su composición, inyectividad, sobreyectividad y estructuras que preserva. En segunda instancia presentamos dos tipos de factorización de los morfismos relacionales, los cuales
permiten dar la existencia de morfismos relacionales a partir de subsemigrupos, congruencias sobre
semigrupos y epimorfismos entre semigrupos y semigrupos cocientes. Posteriormente, revisamos
dos teoremas donde se presentan el caso de morfismos relacionales entre grupos y resultados respecto a subgrupos normales y clases de grupos.
Finalmente introducimos el núcleo de un morfismo relacional. Su estudio nos permitirá comprender
su relación con el concepto de residual de un grupo en la teoría de variedades y formaciones de
monoides y grupos.
RESÚMENES DE CURSILLOS Y DE CHARLAS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
3
Derivaciones del haz tangente impar en la categoría de dg-variedades
Camilo Rengifo
Universidad de los Andes
Gracias al teorema de De Rham el álgebra diferencial graduada es el objeto algebraico que se
utiliza para calcular invariantes topológicos sobre una variedad suave en diferentes situaciones,
por ejemplo en el contexto equivariante. Es bien sabido que en la categoría de variedades suaves
la mayoría de funtores no son representables en el sentido de Yoneda, por ejemplo Ωn,cl ( ). No
obstante, en la categoría de dg-variedades es posible representar ciertos funtores de forma natural.
Adicionalmente, en la categoría de dg-variedades podemos desarrollar algunas técnicas de geometría
diferencial que permiten estudiar estructuras algebraicas tales como algebroides de Lie y de Courant
sobre variedades suaves. Así pues, en esta charla presentaré una descripción de la categoría de dgvariedades. Además, dada X una variedad suave describiré el haz tangente impar T [1]X = X ]
como un ejemplo de dg-variedad y su haz de derivaciones el cual permite describir ciertos tipos de
algebroides de Lie y algebroides de Courant exactos sobre X.
Trazas y Determinantes en Operadores Pseudodiferenciales
Carolina Neira
Universidad Nacional de Colombia
En variedades cerradas de dimensión mayor que uno, existe una clasificación de trazas funcionales sobre ciertos conjuntos de operadores pseudodiferenciales clásicos que actúan sobre la variedad.
Asociados a estas trazas, existen aplicaciones multiplicativas conocidas como determinantes, las
cuales satisfacen propiedades similares a las de los determinantes en matrices. En esta charla consideramos algunos de estos funcionales y estudiamos algunas de sus propiedades.
Matroides Valuadas e Ideales
Simón Soto
Universidad de los Andes
Junto a Felipe Rincón, estamos estudiando las matroides valuadas y la relación que estas puedan
tener con lo ideales. Para mostrar esto, primero se definirá que es una valuación, luego se dáran las
ideas básicas de qué es una matroide valuada, al igual que ejemplos. La segunda parte se enfocará
en los ideales tropicales, por ende, se darán definiciones y ejemplos para así poder llegar a ver la
posible relación que existe entre las matroides valuadas y los ideales.
Superálgebra de Jordan ortosimpléctica Jospn|2m (F)
Andrés Franco
Universidad de Antioquia
Estudiamos con detalle la estructura de la superálgebra de Jordan ortosimpléctica Jospn|2m (F).
Primero mostramos cómo se construye esta superálgebra vía una superinvolución en Mn+2m (F).
Seguidamente caracterizamos sus elementos (matrices cuadradas de tamaño n+2m), luego introducimos una notación bastante útil que nos permite exhibir un conjunto generador para Jospn|2m (F)
y posteriormente construimos las tablas de multiplicación para esta superálgebra. Finalmente realizamos un estudio parcial sobre la validez de un análogo al Teorema Principal de Wedderburn
(TPW) para Jospn|2m (F), exhibiendo un contraejemplo para el caso n = m = 1.
4
RESÚMENES DE CURSILLOS Y DE CHARLAS MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
Contrucciones geométricas singulares utilizando el principio de inducción transfinita
Mariana Vicaría
Universidad de los Andes
En esta charla se dará una breve introducción sobre los ordinales y el principio de inducción
transfinita, con el objetivo de mostrar algunas aplicaciones de este principio en el ámbito geométrico. Por ejemplo, se puede demostrar que existe un subconjunto del plano R2 que intersecta a
toda recta en exactamente dos puntos y que R3 se puede ver como la unión disyunta de círculos
de radio 1.
Máquinas de soporte vectorial y el problema de clasificación
Diana Carolina Montañés
Universidad de los Andes
En el problema de clasificación de datos en un número finito de categorías tenemos datos de
la forma (Xi , Yi ), con i ≤ n, en donde Xi es un vector de características en d dimensiones y
Yi su categoría correspondiente. Hoy en día tenemos muchos contextos en donde contamos con
información de este tipo, la idea es usarla como datos de entrada y a partir de ellos entrenar una
máquina que nos permita predecir la clase a la que pertenecen los nuevos datos.
Esta metodología tiene aplicaciones en todas las área en las que se pretenda clasificar un elemento
de acuerdo a sus características, por ejemplo, en la medicina y en el arte.
Las máquinas de soporte vectorial son un método de aprendizaje supervisado el cual puede ser
interpretado de la siguiente manera: se representan los vectores de las características en el espacio,
y se identifican las fronteras que mejor separen los puntos de cada categoría. Teniendo las fronteras
definidas se podrán clasificar muestras futuras. Durante la charla se abordará el problema de
clasificación, algunas de sus aplicaciones y el uso de máquinas de soporte vectorial para resolverlo.
Estructuras de Poisson de orden superior y teoría de campos
Nicolás Martínez
IMPA
En años recientes, el estudio de geometría de Poisson y geometría de formas simplécticas (variedades Poisson no degeneradas) han tenido un gran avance debido a sus aplicaciones en diferentes
áreas de las matemáticas. Una de las ramas actuales de investigación es el estudio de las formas simplécticas de orden superior, pero para estas no se ha definido aun una estructura Poisson-superior.
En esta charla mostrare un forma de aproximar este problema por medio de teoría de algebroides
de Lie y como esta se puede aplicar al formalismo hamiltoniano en teoría de campos en el mismo
sentido de estructuras de Poisson en mecánica clásica.
Construcciones de 3-variedades y la esfera de Poincaré
Juanita Pinzón
University of Georgia
En 1910 Henri Poincaré publicó un artículo en el que afirmaba que los grupos de homología
eran suficientes para determinar si una 3-variedad es la 3-esfera S 3 . Cuatro años más adelante
Poincaré mismo publicó la descripción de una 3-variedad con los mismos grupos de homología que
S 3 pero distinta a esta última. Hoy en día este espacio se conoce como la esfera de Poincaré y
parte de su encanto radica en que se puede describir de distintas maneras, todas construcciones
de enorme importancia en el estudio de 3-variedades. La idea de la charla es describir algunas de
estas construcciones a través de la esfera de Poincaré. Algunas de las construcciones que intentaré
describir son cirugía de Dehn, espacios recubridores ramificados y espacios cocientes.
RESÚMENES DE CURSILLOS Y DE CHARLAS
MATEMÁTICAS POR ESTUDIANTES 2015
5
Grupos isocategóricos de orden pequeño
Yiby Karolina Morales
Universidad de los Andes
La categoría RepC (G) de representaciones complejas de un grupo finito G, considerada como
categoría tensorial y simétrica, determina salvo isomorfismo al grupo G. Sin embargo, esto no es
cierto si se considera RepC (G) únicamente como categoría tensorial. En el año 2001 Etingof-Gelaki,
Davydov e Izumi-Kosaky encontraron ejemplos de grupos no isomorfos cuyas categorías de representaciones complejas son tensorialmente equivalentes. En este caso se dice que los grupos son
isocategóricos. Existe una descripción dada por Davydov de los grupos isocategóricos a un grupo
dado G, en términos de grupos de automorfismos sobre ciertas G-álgebras de Galois complejas.
El objetivo de la charla es explicar cómo es posible utilizar la descripción de Davydov para encontrar todos los grupos isocategóricos a un grupo cualquiera G, de orden 32 y 64, utilizando la
herramientas computacionales (GAP).
Some results in the Theory of Weighted Classes With the Most General Omega
Weights
Joel Restrepo
Universidad de Antioquia
The report is on last results in the theory of weighted classes with the most general omega
weights. The generality of the theory permits to exhaust all holomorphic, harmonic, delta subharmonic functions in the bounded domains of the complex plane, which are conformally equivalent to
the unit disc, while the results relate to harmonic functions of any possible growth near the finite
boundary of the upper half-plane. We introduce (together with my advisor) some ω-weighted classes of harmonic functions in the upper half-plane and found their descriptive representations. Also,
a description of the boundary values of functions from the considered classes is given by means of
a notion of ω-capacity on the real axis, which becomes an analog of Frostman’s α-capacity in a
particular case.
Departamento de Matemáticas, Universidad de los Andes, Carrera 1 N. 18A - 10, Bogotá, COLOMBIA.
Tel: +571 3394999 ext. 3705 Fax: +571 3324427
E-mail address: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]