1. No category

Ejercicio nº 7 Pórtico doble altura
De la estructura croquizada de peso propio despreciable se pide: diagramas de
solicitaciones a escala y acotados.
2 t.
2 t.
2 t / m.
1 t.
ETAPA I : M.E.P. y factores de reparto
2
A
D
3
4 t / m.
4
Barra
3 m.
I
nº
2 t.
C
7
B
8
E
G
F
2 m.
6 m.
4 m.
5
6
1
1-5
2-4
3
6
7-8
H
6 m.
2 m.
K
M.E.P. mt
EI
Izda
1 1
1 4/3
3 1
1 1
2 4/3
Dcha
-24
+24
-12
+12
ETAPA II : Equilibrio de nudos. Se liberan los nudos uno a uno, se equilibra y transmite en su caso.
Se comienza por el nudo más desequilibrado.
-19,94
K3v = 0,5 K3
3 m.
Nudo A:
K2 = 4/3 EI →
r2 = .727
K3v = 1/2 EI →
r3 = .273
______________
Σ Kj = 1,833EI
____________
Σ rj = 1
+1,69
+0,84
+5,82
+2,24
+1,69
6 m.
+0,84
2 m.
+8,06
4 m.
1
-0,82
+1,12
+11,64
7
+8,00
+11,94
2
3
.73
+0,30
+4,36
-24,00
.27
-9,75
+13,12
.36
+2,25
-12,00
+1,12
+12,00
.27
.36
K1 = EI
Nudo B:
→
r1 = .272
K2 = 4/3 EI →
r2 = .364
K7 = 4/3 EI →
r7 = .364
_______________
_________
Σ Kj = 11/3 EI
Σ rj = 1
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Etapa III procedimiento directo e indirecto.
ETAPA III: Procedimiento indirecto. Se generan momentos en una sola planta
ETAPA III Procedimiento directo. Superposición de procedimiento indirecto.
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Ejercicio nº7 etapas IIIα y IV α
ETAPA III de Cross: Los nudos se desplazan pero no giran.
Si los desplazamientos son desconocidos los momentos son función de los parámetros: “ α, β, … “
cuyo número coincide con el grado de desplazabilidad. (En este caso 2).
δ2
1 t.
A
M4
M2
M4
M2
B
C
M2α =1,5 K2 * δ2/L2 = M4α
≈ -1000 α
ETAPA IV de Cross
+456
Nudo C:
r3 = .47
.27
Etapa IV α
-1000
-65
+139
+470
-1000
Σ rj = 1
r2 = .727
K6v = 1/2 EI →
r3 = .273
Σ Kj = 1,833EI
.73
____________
4/3 EI →
______________
-101
+139
-38
K3v = 3/2 EI →
K7 =
+30
-50
+279
-19
r2 = .53
Σ Kj = 2EI
+38
-38
K2 = 4/3 EI →
______________
.36
+259
-19
6m
+22
+207
Nudo A:
.53
.47
.36
+11
+104
2m
K6v = 1/2K6
(medio pilar)
+229
1
+115
7
+30
-32
+279
+235
-456
K3v = 1,5 K3
3
-488
2
-74
+530
____________
Σ rj = 1
K1 = EI
Nudo B:
→
r1 = .273
K2 = 4/3 EI →
r2 = .364
K7 = 4/3 EI →
r7 = .364
_______________
_________
Σ Kj = 11/3 EI
Σ rj = 1
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
.27
Ejercicio nº 7 etapas III β y IV β
ETAPA III de Cross: Los nudos se desplazan pero no giran.
Si los desplazamientos son desconocidos los momentos son función de los parámetros: “ α, β, … “
cuyo número coincide con el grado de desplazabilidad. (En este caso 2).
δ1
M1
2 t.
M1β =1,5 K1 * δ1/L1 = M5β ≈ -1000 β
M6β ≈ - 500 β
M5
A
M6
B
C
M1
M6
M5
-90
Nudo A:
______________
Σ Kj = 2,833EI
.53
.47
+411
+452
+10
-13
+232
+182
-27
+116
+363
.36
.27
+3
+86
-500
.73
+1
+43
-500
.36
-411
+182
-85
-27
-42
+363
+6
-13
ETAPA IV de Cross
-456
r3 = .47
-1000
K3v = 3/2 EI →
-1000
r2 = .53
-20
+274
K2 = 4/3 EI →
-10
+137
6m
-746
2m
K6v = 1/2K6
(medio pilar)
+294
1
+30
7
-873
K3v = 1,5 K3
3
+90
2
+7
-97
Etapa IV β
____________
Σ rj = 1
K1 = EI
K7 =
Nudo C:
4/3 EI →
r2 = .727
K6v = 1/2 EI →
r3 = .273
______________
Σ Kj = 1,833EI
____________
Σ rj = 1
Nudo B:
→
r1 = .273
K2 = 4/3 EI →
r2 = .364
K7 = 4/3 EI →
r7 = .364
_______________
_________
Σ Kj = 11/3 EI
Σ rj = 1
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
.27
Etapa V.
ETAPA V: Se plantean tantas ecuaciones de equilibrio como incógnitas paramétricas tengamos:”α β γ…”
1 t.
Visos. = 0 t.
VII = 6,666 t.
VIV α = 314,666 α
Corte
Barra 2
VIVß
3
Visos. = 0 t.
VII = 6,666 t.
VIV α = 314,666 α
Corte
Barra 4
VIVß
= 128 ß.
= 128 ß.
(-456 - 488) / 3 = 314,666 α
(+294 + 90) / 3 = 128 ß.
Suma de fuerzas cortantes + F ext. = 0
1 t. - 2(314,666) α + 2(128) ß = 0
1 t.
3
4
2
2 t.
Corte
Barra 1
8
7
Visos. = 0 t.
VII = 0,705 t.
VIV α = 86 α
VIVß
Corte
Barra 6
= 405 ß.
Visos. = 0 t.
Corte
VII = 0 t.
Barra 5
VIV α = 2 (14) = 28 α
VIVß
(+229 + 115) / 4 = 86 α
(-873 - 746) / 4 = 405 ß.
Suma de fuerzas cortantes + F ext. = 0
3 t - 144 α - 1244 ß = 0
= 2 (217) = 434 ß
Visos. = 0 t.
VII = 0,705 t.
VIV α = 86 α
VIVß
= 405 ß.
(-38 - 19) / 4 = 14 α
(-411 - 456) / 4 = 217 ß.
α = + 0,002696955132...
ß = + 0,002723763295...
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Momentos definitivos en extremo de barra.
-3,10
-2,38
-2,91
-8,57 -12,92
-1,32 -1,23
+0,81 +0,25
-8,06 -11,94
+0,62
-2,03
-0,20
-0,10
+11,68
+1,23
+0,70
+9,75
+0,31
-2,24
-2,48
-11,90
+1,12
+0,10
-13,12
-1,69
-2,44
-2,58
+14,34
+1,12
+0,10
+13,12
-8,00
-0,84
-1,32 -1,23
+8,06 +11,94
+0,62
+1,69
-7,82
+1.23
+0,70
-9,75
+0,31
+0,84
+0,81 +0,25
-0,25
+1,23
+19,94
-2,03
+8,00
-0,25
+1,23
-19,94
-2,38
+20,92
+0,28
-18,96
-1,23
+7,55 +10,96
Momentos definitivos en extremos de barra. Puede comprobarse en color azul la primera
aproximación de momentos en la etapa II de Cross, en azul, y las correcciones por el efecto
del viento (etapas α y β) en una edificación de poca altura (dos planitas)
M.F.
-18,96
-20,92
-8,00
-8,00
-10,96
-12,92
-7,82
-0,28
-14,34
+2,44
+7,55
-1,23
Valores en m.t.
-11,90
-2,58
-11,68
-8,57
+3,10
-2,91
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Diagramas solicitaciones cortante y axil.
↓ 0,16 t
↑ 0,16 t
↑ 11,84 t
↑ 12,16 t
6
2
6t↑
6t↑
6
6.17
↓ 0,24 t ↓ 6,17 t
↑ 12 t
-12,04
10,91
12,16
7.16
↑ 0,04 t
↑ 12 t
↓ 1,09 t
↑ 1,09 t
↑ 10,91 t
↑ 13,09 t 13,09
0,24
1,25
Valores en toneladas
↑ 12 t
↓ 1,25 t
↑ 12 t
↓ 0,09 t
↑ 11,96 t
11,96
↑ 1,50 t
↑ 0,24 t
↑ 12,04 t
↑ 7,16 t ↓ 7,16 t
↑ 12 t
↑ 1,25 t
↑ 6,17 t
2
↑ 12 t
↓ 1,50 t
11,84
V.
1,50
-7,04
N.
C
-17,84
C
+5,66
+4,41
T
T
C
C
C
Valores en toneladas
-28,75
-25,13
Dintel planta 2ª
1 t.
-7,17
-7,17
7,17 t.
Dintel planta 1ª
6,17 t.
+4,41
+4,41
+4,41 +5,66
5
0,24 t.
-30,12
3
6,17 t.
2 t.
-18,16
C
+5,66
+5,66
5,66 t.
6
1,25 t.
5,66 t.
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Comprobación del equilibrio general.
2 t.
2 t.
2 t / m.
1 t.
2
3
A
4
4 t / m.
3 m.
2 t.
B
7
Rdy= 28,75 t
E
Rdx= 0,24 t
2 m.
6 m.
F
Rex= 1,25 t
Rfx= 1,50 t
Rfy= 30,12 t
Rey= 25,13 t
Md = -1,23 mt.
4 m.
5
6
1
D
8
C
Me = -2,58 mt.
6 m.
Mf = -2,91 mt.
2 m.
Equilibrio general:
1º/Suma de fuerzas horizontales igual a cero.
+1 +2 –0,24 –1,25 –1,50 = + 0,01 t
OK !
2/º Suma de fuerzas verticales igual a cero:
– 2 –(2 *16) – 2 –(4 *12) +28,75 +25,13 + 30,12 = –84 + 84 = 0
OK!
3º/ Suma de momentos respecto de cualquier punto igual a cero. ΣMe = 0
–1,23 –2,58 –2,91 +(28,75 *6) –(30,12 *6) +(1*7) +(2*4) = –6,72 – 8,22 +15 = + 0,06 mt
OK!
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Ejemplo nº 7: Pórtico varias alturas.(método matricial).
2 t.
2 t.
2 t / m.
1 t.
ETAPA I : M.E.P. y factores de reparto
A
2 B
3
D
4 t / m.
4
Barra
3 m.
2 t.
7
B
A
C
8
G
F
2 m.
A
K 1+K2 +K7
B
1/2 * K 2
C
1/2 * K7
D
H
6 m.
A
B
1/2 * K 2
6 m.
C
D
U 1 1,5*K /L 1,5*K /L
2 2
2 2
1,5*K 1 /L 1
1,5*K 6/L 6
1/2 * K 8
*
1/2 * K 4
1,5*K4 /L 4
1/2 * K4
K4 +K5 +K 8
1,5*K4 /L 4
1,5*K4 /L 4
1,5*K4 /L 4
3(K 2+K 4)/h1
1/2 * K 8
1,5*K 6 /L 6
+24
-12
+12
2
3(K 1+K 6+K 5)/h2
1,5*K 5 /L 5
3
B
1,5 K4 * D/ L 4
1,5 K4 * E / L 4
1,5 K2 * B / L 2
+12,00
B
+16,00
C
0,00
=
-16,00
-12,00
U1
-1,00
U2
-3,00
U2
D
1,5 K2 * A / L 2
A
E
2
+ 1 t.
V isos. = 0 t.
Dcha
-24
D
1,5*K 5 /L 5
+ 1 t.
B
1 1
1 4/3
3 1
1 1
2 4/3
1,5*K2 /L 2
1/2 * K3
K3 +K4
Izda
U2
1,5*K2 /L 2
1/2 * K3
U 2 1,5*K /L 1
1
U1
E
K 6+K 7+K8
M.E.P. mt
2 m.
1/2 * K 7
K2 +K3
E
4 m.
5
K
EI
1-5
2-4
3
6
7-8
E
6
1
I
nº
2
4
D
2
A
4
E
C
V isos. = 0 t.
2
3 ( K 2 +K 4 ) / h1
+ 1 t.
3
U1
+ 1 t.
B
4
2
4
+ 2 t.
7
A
8
C
1,5 K1 * A / L 1
1,5 K7 * C/ L 7
1,5 K8 * E / L 8
V isos. = 0 t.
V isos. = 0 t.
V isos. = 0 t.
2
3 ( K 1 +K 6 + K 5 ) / h 2
C
7
1
8
6
1
E
5
E
6
1
A
+ 2 t.
D
3
2
6
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
5
5
Ejemplo nº 7: Pórtico varias alturas.(método matricial).
2 t.
2 t.
2 t / m.
1 t.
ETAPA I : M.E.P. y factores de reparto
2
A
3
D
4 t / m.
4
Barra
3 m.
2 t.
C
7
B
8
G
F
2 m.
6 m.
4 m.
5
H
6 m.
K
EI
1-5
2-4
3
6
7-8
E
6
1
I
nº
1 1
1 4/3
3 1
1 1
2 4/3
M.E.P. mt
Izda
Dcha
-24
+24
-12
+12
2 m.
Paso 3º/ Equilibrio de momentos en los nudos:
ΣM A = 0
ΣMB = 0
ΣFh1 = 0
ΣFh2 = 0
A
C
B
A
11/3
2/3
B
2/3
7/3
C
2/3
0,5
2/3
2/3
U2
0,375
2/3
0,375
U1
E
2/3
11/3
E
U1
D
ΣM D = 0
2/3
0,5
D
ΣMC = 0
ΣM E = 0
U2
0,375
2/3
2/3
0,375
7/3
2/3
2/3
2/3
11/3
2/3
2/3
2/3
8/9
0,375
*
0,375
0,5625
A
+12,00
B
+16,00
C
0,00
D
=
E
-16,00
-12,00
U1
-1,00
U2
-3,00
Paso 4º/ Cálculo de incógnitas:
αA = + 3,1236
αB= + 8,7196
αC = + 0,2638
αD= – 7,4220
Δ 1 = - 4,0756
Δ 2 = - 7,2670
αF = 0,00
αG = 0,00
αE = - 0,4870
αH = 0,00
Tomás Cabrera (E.U.A.T.M.)
Ejemplo nº 7: Pórtico varias alturas. Momentos en extremo de barra
1
⎛
⎞
M 1 A = 0, 00 + 1* ⎜ +3,1236 + * α F +1,5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = +0, 40mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 1F = 0, 00 + 1* ⎜ 0 + * +3,1236 + 1,5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = −1,16mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 2 A = 0, 00 + 4 / 3* ⎜ +3,1236 + * +8, 7196 + 1, 5 * −4, 0756 / 3 ⎟ = +7, 26mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 2 B = 0, 00 + 4 / 3* ⎜ +8, 7196 + * +3,1236 + 1, 5 * −4, 0756 / 3 ⎟ = +10,99mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 3 B = −24, 00 + 1* ⎜ +8, 7196 + * −7, 4222 + 1,5 *0 / 8 ⎟ = −18,99mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 3 D = +24, 00 + 1* ⎜ −7, 4220 + * +8, 7196 + 1,5 *0 / 8 ⎟ = +20,94mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 4 D = 0, 00 + 4 / 3* ⎜ −7, 4220 + * −0, 4870 + 1,5 − 4, 0756* / 3 ⎟ = −12,94mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 4 E = 0, 00 + 4 / 3* ⎜ −0, 4870 + * −7, 4220 + 1,5 * −4, 0756 / 3 ⎟ = −8,31mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 5 E = 0, 00 + 1* ⎜ −0, 4870 + * α H +1,5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = −3, 21mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 5 H = 0, 00 + 1* ⎜ 0 + * −0, 4870 + 1,5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = −2,97 mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 6C = 0, 00 + 1* ⎜ +0, 2638 + * α G +1, 5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = −2, 46mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 6G = 0, 00 + 1* ⎜ 0 + * +0, 2638 + 1,5 * −7, 2670 / 4 ⎟ = −2,59mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 7 A = −12, 00 + 4 / 3* ⎜ +3,1236 + * +0, 2638 + 1,5 *0 / 4 ⎟ = −7, 66mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 7 C = +12, 00 + 4 / 3* ⎜ +0, 2638 + * +3,1236 + 1, 5 *0 / 4 ⎟ = +14, 43mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 8C = −12, 00 + 4 / 3* ⎜ +0, 2638 + * −0, 4870 + 1,5 *0 / 4 ⎟ = −11,97 mt
2
⎝
⎠
1
⎛
⎞
M 8 E = +12, 00 + 4 / 3* ⎜ −0, 4870 + * +0, 2638 + 1,5*0 / 4 ⎟ = +11, 53mt
2
⎝
⎠ Cabrera (E.U.A.T.M.)
Tomás