1. Healthcare

2 POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS
PA R A
1
2
3
Expresa las siguientes operaciones como un número decimal.
a) 2,5 ؒ 107
b) 3,12 ؒ 10؊5
a) 2,5 и 107 ϭ 25 000 000
b) 3,12 и 10Ϫ5 ϭ 0,000 031 2
Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias.
23 ؒ 45 ؒ 3؊4
a) —2—
(؊9) ؒ 63
5؊2 ؒ 153 ؒ 32
b) —2—
(؊25) ؒ 302
23 и 45 и 3Ϫ4
23 и 210 и 3Ϫ4
210
a) ᎏᎏ
ᎏ
2
3 ϭ ᎏ
4
3
3 ϭ ᎏ1ᎏ
(Ϫ9) и 6
3 и2 и3
31
5Ϫ2 и 153 и 32
5Ϫ2 и 33 и 53 и 32
33
b) ᎏᎏ
4
2
2 ϭ ᎏ
2 ᎏ
2
2 ϭ ᎏ
5 ᎏ
(Ϫ25) и 30
5 и5 и3 и2
5 и 22
Calcula las siguientes raíces.
a)
a)
4
E M P E Z A R
5
ෆ
͙243
5
b)
5
ෆ ϭ ͙3ෆ5 ϭ 3
͙243
b)
4
ෆ
͙؊16
c)
4
ෆ no se puede.
͙Ϫ16
c)
3
39
͙ෆ
4
ᎏ9ᎏ
3
͙3ෆ9 ϭ 3 ϭ 33 ϭ 27
Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial para el suelo y los seres vivos cuando esta presenta un pH inferior a 5.
¿Qué concentración de iones H؉ se corresponde con esta concentración del pH? Exprésalo en forma de
potencia y de número decimal.
1
1
1
pH ϭ Ϫlog [Hϩ] ⇒ 5 ϭ Ϫlog [Hϩ] ⇒ 5 ϭ log ᎏᎏ
⇒ 105 ϭ ᎏᎏ
⇒ [Hϩ] ϭ ᎏᎏ5 ϭ 10Ϫ5 ϭ 0,00001
[Hϩ]
[Hϩ]
10
PA R A
P R A C T I C A R
Notación científica
2.1 Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.
a) Masa del electrón: 1,67 ؒ 10؊27 kg
b) Radio medio del Sol: 9,97 ؒ 108 m
c) Tamaño de un virus: 0,000 000 000 235 m
d) Radio medio de la órbita terrestre: 1,49 ؒ 1011 m
a) Ϫ27
b) 8
c) Ϫ10
d) 11
2.2 Escribe en notación científica los siguientes números.
28
a) 12 345 678
c) ؊354 125 000 000
b) Sesenta billones
d) 0,0097 ؒ 1023
a) 1,234 567 8 и 107
c) Ϫ3,541 25 и 1011
b) 6 и 1013
d) 9,7 и 1020
2.3 Escribe en notación científica estos números:
a) 0,000 000 000 331
c) ؊0,000 000 001 23
b) Cuarenta y tres milésimas
d) 967 ؒ 10؊25
a) 3,31 и 10Ϫ10
c) Ϫ1,23 и 10Ϫ9
b) 4,3 и 10Ϫ2
d) 9,67 и 10Ϫ23
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.4 En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los múltiplos y submúltiplos de
las unidades de medida.
Expresa en notación científica y en microculombios la siguiente medida de carga eléctrica: 3 picoculombios
3 picoculombios ϭ
ϭ 3 и 10Ϫ12 culombios ϭ
ϭ 3 и 10Ϫ12 и 106 microculombios ϭ
ϭ 3 и 10Ϫ6 microculombios
2.5 Expresa en notación científica y en la unidad indicada:
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Miria
Kilo
Hecto
Deca
——
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
1018
1015
1012
109
106
104
103
102
101
100
10Ϫ1
10Ϫ2
10Ϫ3
10Ϫ6
10Ϫ9
10Ϫ12
10Ϫ15
10Ϫ18
a) 320 miriámetros en centímetros
b) 6000 nanosegundos en milisegundos
c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios
d) 0,01 gigagramos en decigramos
a) 320 и 104 metros ϭ 320 и 104 и 102 centímetros ϭ 3,2 и 108 centímetros
b) 6000 и 10Ϫ9 segundos ϭ 6000 и 10Ϫ9 и 103 milisegundos ϭ 6 и 10Ϫ3 milisegundos
c) 1,75 и 108 и 103 kilovoltios ϭ 1,75 и 1011 kilovoltios
d) 10Ϫ2 и 109 gramos ϭ 107 и 10 decigramosϭ 108 decigramos
2.6 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) 0,32 ؒ 1014 ؉ 7,128 ؒ 1012
c) 4,88 ؒ 10؊14 ؉ 7,921 ؒ 10؊12
b) 3,1109 ؒ 1045 ؊ 2244 ؒ 1040
d) 36,79 ؒ 10؊25 ؊ 2244 ؒ 10؊28
a) 0,32 и 1014 ϩ 7,128 и 1012 ϭ 32 и 1012 ϩ 7,128 и 1012 ϭ 39,128 и 1012 ϭ 3,9128 и 1013
b) 3,1109 и 1045 Ϫ 2244 и 1040 ϭ 3,1109 и 1045 Ϫ 0,022 44 и 1045 ϭ 3,088 46 и 1045
c) 4,88 и 10Ϫ14 ϩ 7,921 и 10Ϫ12 ϭ 0,0488 и 10Ϫ12 ϩ 7,921 и 10Ϫ12 ϭ 7,9698 и 10Ϫ12
d) 36,79 и 10Ϫ25 Ϫ 2244 и 10Ϫ28 ϭ 3,679 и 10Ϫ24 Ϫ 0,2244 и 10Ϫ24 ϭ 3,4546 и 10Ϫ24
2.7 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) (1,65 ؒ 106) ؒ (0,8 ؒ 109)
c) (2,8 ؒ 10؊26) ؒ (15 ؒ 1043)
b) (22,1 ؒ 1054) ؒ (8,4 ؒ 100 000)
d) (2,3 ؒ 10؊15) ؒ (4,5 ؒ 10؊11)
a) (1,65 и 106) и (0,8 и 109) ϭ 1,65 и 0,8 и 1015 ϭ 1,32 и 1015
b) (22,1 и 1054) и (8,4 и 100 000) ϭ 185,64 и 1059 ϭ 1,8564 и 1061
c) (2,8 и 10Ϫ26) и (15 и 1043) ϭ 42 и 1017 ϭ 4,2 и 1018
d) (2,3 и 10Ϫ15) и (4,5 и 10Ϫ11) ϭ 10,35 и 10Ϫ26 ϭ 1,035 и 10Ϫ25
29
2.8 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) 2,3 ؒ 1029 ϩ 1029 ؒ 512 ؒ 10؊2
b) (0,007 37 ؒ 1019) : (1,1 ؒ 10؊19)
c) 2,6 ؒ 10؊5 ؊ (3,2 ؒ 10؊4)2
d) 834 ؒ 10؊4 ϩ 0,000 001 2 : (3 ؒ 10؊9)
a) 2,3 и 1029 ϩ 1029 и 512 и 10Ϫ2 ϭ 2,3 и 1029 ϩ 5,12 и 1029 ϭ 7,42 и 1029
b) (0,007 37 и 1019) : (1,1 и 10Ϫ19) ϭ 7,37 и 1016 : (1,1 и 10Ϫ19) ϭ 6,7 и 1035
c) 2,6 и 10Ϫ5 Ϫ (3,2 и 10Ϫ4)2 ϭ 2,6 и 10Ϫ5 Ϫ 1,024 и 10Ϫ7 ϭ 2,589 76 и 10Ϫ5
d) 834 и 10Ϫ4 ϩ 0,000 0012 : (3 и 10Ϫ9) ϭ 8,34 и 10Ϫ2 ϩ 1,2 и 10Ϫ6 : (3 и 10Ϫ9) ϭ 8,34 и 10Ϫ2 ϩ 4 и 102 ϭ 4,000 834 и 102
PA R A
A P L I C A R
2.9 Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un millón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usando la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.
Ocuparían aproximadamente 0,1 и 106 ϭ 105 milímetros, es decir, unos 100 metros.
2.10 Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notación
científica.
Cada año dura aproximadamente 365,25 días. Rosa tiene aproximadamente 365,25 и 24 и 60 и 60 segundos, es decir, 3,155 76 и 107
segundos.
2.11 El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 ؊ 1 granos de trigo.
a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.
b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.
a) La cantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, más de 18 trillones. El orden de magnitud es 19.
b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 и 1015 kg, aproximadamente, o 3 и 1012 toneladas.
2.12 El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada apuesta costara 0,80 euros, ¿cuánto habría que gastar para rellenar todas las columnas posibles?
Habría que gastar 0,80 и 315ϭ 1,147 912 56 и 107 ϭ 11 479 125,60 euros, unos 11,5 millones de euros.
2.13 La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 ؒ 1024 kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330
gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?
Harían falta 5,98 и 1024 : (330 и 10Ϫ3) ϭ 1,8 и 1025 botes, aproximadamente.
2.14 Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 litros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?
Tendrá entre 4,3 и 106 и 5000 y 5,9 и 106 и 5000 hematíes, es decir, entre 2,15 и 1010 y 2,95 и 1010 hematíes.
2.15 La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es decir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.
La respuesta depende del número de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores serán 9,999 999 999 и 1099 y Ϫ9,999 999
999 и 1099. Los valores más próximos a cero serán 9,999 999 999 и 10Ϫ99 y Ϫ9,999 999 999 и 10Ϫ99.
30
Potencias de exponente fraccionario. Radicales
PA R A
P R A C T I C A R
2.16 Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.
5
a)
͙2ෆ
b)
25
͙ෆ
7
ᎏ1ᎏ
5
ᎏ5ᎏ
7
a) 2
8
ᎏ2ᎏ
2
b) 2
c) 2
c)
͙2ෆ28
d)
Ί๶2—1—
4
3
Ϫᎏ
3
ᎏ
4
ϭ 214
d) 2
2.17 Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.
3
a)
͙2ෆ12
c)
1012
͙ෆ
b)
36
͙ෆ
d)
1
——
Ί๶
10
a)
͙2ෆ12 ϭ 2
b)
͙3ෆ6 ϭ 3 ϭ 33 ϭ 27
2
ᎏ1ᎏ
2
ϭ 26 ϭ 64
ᎏ6ᎏ
2
3
12
2
ᎏ1ᎏ
3
3
c)
ෆ12 ϭ 10
͙10
d)
Ί๶
3
ϭ 104 ϭ 10 000
Ϫ12
ᎏᎏ
1
3
ᎏᎏ
ϭ 10Ϫ4 ϭ 0,0001
12 ϭ 10
10
2.18 Calcula las siguientes potencias.
a) 160,5
c) 80,333…
b) 2560,25
d) 1000 0000,1666…
ᎏ1ᎏ
2
ᎏ1ᎏ
3
a) 160,5 ϭ 16 ϭ ͙16
ෆϭ4
ᎏ1ᎏ
3
c) 80,333… ϭ 8 ϭ ͙8ෆ ϭ 2
ᎏ1ᎏ
6
4
b) 2560,25 ϭ 256 4 ϭ ͙256
ෆϭ4
6
d) 1000 0000,1666… ϭ 1000 000 ϭ ͙ෆ
1000 000
ෆ ϭ 10
2.19 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.
a)
͙5ෆ
a)
52, ͙ෆ
53, ͙ෆ
54
͙ෆ
4
6
8
E j e r c i c i o
3
b)
͙2ෆ
b)
22, ͙ෆ
23, ͙2ෆ4
͙ෆ
6
9
12
5
c)
͙7ෆ4
c)
712, ͙ෆ
716
͙7ෆ8, ͙ෆ
10
15
20
r e s u e l t o
2.20 Ordena de menor a mayor:
3
4
73, ͙ෆ
75, ͙ෆ
75.
͙ෆ
Primero se reducen a índice común. En este caso, el mínimo común múltiplo de los índices es 12.
12
3
73 ϭ ͙ෆ
718
͙ෆ
12
4
75 ϭ ͙ෆ
720
͙ෆ
12
75 ϭ ͙ෆ
715
͙ෆ
Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El orden pedido es el siguiente.
4
3
͙7ෆ5 Ͻ ͙7ෆ3 Ͻ ͙7ෆ5
2.21 Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.
8
10
16
3
4
a)
213, ͙2
ෆ17, ͙2ෆ23
͙ෆ
a)
130
17
23
, ͙2ෆ
ϭ ͙ෆ
2136, ͙2ෆ
ϭ ͙ෆ
2115
͙2ෆ13 ϭ ͙2ෆ
b)
481 89ෆ
0 304, ͙100
100 00ෆ
0 000, ͙ෆ
35 ϭ ͙ෆ
14 348ෆ
907 ⇒ ͙ෆ
35 Ͻ ͙100
ෆ ϭ ͙ෆ
ෆ ϭ ͙ෆ
ෆ Ͻ ͙28
ෆ
͙28
8
80
12
10
b)
80
3
16
80
12
⇒
16
8
35
ෆ, ͙100
ෆ, ͙ෆ
͙28
10
13
223 Ͻ ͙2ෆ
Ͻ ͙ෆ
217
͙ෆ
4
12
4
3
31
2.22 Calcula las siguientes operaciones.
10
͙ෆ2 ؒ ͙ෆ
a) ——
͙ෆ5
b)
3
3
ෆ : ͙2ෆ
͙16
c)
27
—
Ί—๶53— ؒ Ί—๶
5
d)
24
͙ෆ2 : ͙ෆ
5
5
5 и 27
ᎏᎏ ϭ ͙9ෆ ϭ 3
Ίᎏ๶25ᎏ0 ϭ ͙4ෆ ϭ 2 c) Ίᎏ๶53ᎏ и Ίᎏ๶25ᎏ7 ϭ Ί๶
3и5
b) ͙16
d) ͙2ෆ : ͙2ෆ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ
ෆ : ͙2ෆ ϭ ͙8ෆ ϭ 2
Ί๶22 ͙12ෆ
20 ϭ
ෆ ϭᎏ
͙ෆ2 и ᎏ
͙10
͙ෆ
a) ᎏ
ᎏ
͙ෆ5
͙ෆ5
3
3
3
5
5
4
5
4
5
3
4
4
e)
33 ؒ ͙3
ෆ17
͙ෆ
f)
ෆ
Ί—๶14— : ͙2000
e)
͙3ෆ3 и ͙3ෆ17 ϭ ͙3ෆ20 ϭ 35
f)
1
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
ෆ ϭ Ί๶
Ίᎏ๶14ᎏ : ͙2000
8000
20
c)
͙2ෆ
͙ෆ
c)
2 ϭ ͙ෆ
2 ϭ2
ෆ
ෆ
͙͙
3
3
4
4
4
3
3
3
2.23 Calcula las siguientes operaciones.
4
7
4
7
3
a)
(͙ෆ
2)
a)
(͙ෆ
2)
3
ϭ ͙ෆ
221 ϭ 25 ͙2ෆ
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
4
4
7
b)
(͙ෆ
3ؒ2 )
b)
(͙ෆ
3и2 )
3
3
7
ϭ ͙ෆ
37 и 221 ϭ 33 и 210 ͙6ෆ
3
3
18
18
6
3
2.24 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
a) E ‫ ؍‬mc 2, despeja c.
4
b) V ‫␲ —— ؍‬r 3, despeja r.
3
E
a) E ϭ mc2 ⇒ ᎏᎏ ϭ c2 ⇒ c ϭ
m
Ίᎏ๶mEᎏ
4
3V
b) V ϭ ᎏᎏ ␲r3 ⇒ r3 ϭ ᎏ ᎏ ⇒ r ϭ
3
4␲
3V
ᎏ
Ίᎏ๶
4␲
3
2.25 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
1
a) v ‫ ؍‬v0 ؒ t ؉ —— a ؒ t 2, despeja a.
2
b) (a ؊ x)2 ؉ b2 ‫ ؍‬c2, despeja x.
1
1
2(v Ϫ v0 и t)
a) v ϭ v0 и t ϩ ᎏᎏ a и t2 ⇒ v Ϫ v0 и t ϭ ᎏᎏ a и t2 ⇒ ᎏᎏ
ϭa
2
2
t2
2
2
b) (a Ϫ x)2 ϩ b2 ϭ c2 ⇒ (a Ϫ x)2 ϭ c2 Ϫ b2 ⇒ a Ϫ x ϭ Ϯ ͙cෆ
Ϫ b2 ⇒ a Ϯ ͙cෆ
Ϫ b2 ϭ x
PA R A
2.26 Los lados de un corral miden
͙2ෆ
y
ෆ
͙32
A P L I C A R
metros. ¿Puede ser su área un número natural?
Sí, el área es ͙2ෆ и ͙32
ෆ ϭ ͙64
ෆ ϭ 8 m2.
3
2.27 La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es ——, y los volúmenes son 1728 y 4096 metros
4
cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes y compárala con la de sus lados.
3
3
El lado del primer depósito mide ͙1728
ෆ ϭ 12 metros. El lado del segundo mide ͙4096
ෆ ϭ 16 metros. La razón es correcta.
΂΃
1728
27
3 3
La razón de sus volúmenes es ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ , el cubo de la razón de sus lados.
4096
64
4
32
2.28 El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de entre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?
Ί๶
Ί๶
3V
3V
4
El diámetro se calcula a partir de la fórmula del volumen. V ϭ ᎏᎏ ␲r3 ⇒ r ϭ 3 ᎏᎏ ⇒ d ϭ 2 и 3 ᎏᎏ. Como el volumen está entre
4␲
4␲
3
13 000 y 17 000 cm3, el diámetro está entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones posibles, 30 o 31 cm.
2.29 Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.
Dada la arista a, el volumen del cubo es V ϭ a3, y su superficie es S ϭ 6 · a2.
La fórmula pedida es V ϭ a3 ϭ
΂Ί๶ ΃
S 3
ᎏᎏ .
6
2.30 Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes resultados.
a) 5 751 425 457 b) 816 302 041 c) 15 241 383 936 d) 6 195 264 100 e) 999 998 000 001 f) 1 000 468 054 756
Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?
Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Por tanto, se equivocó en a).
Si el número tiene seis cifras, está en el intervalo [105, 106). El cuadrado estará en [1010, 1012), tendrá al menos 11 cifras y menos de
13. Por tanto, los números de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeños, y el del f) es demasiado grande.
Se puede comprobar que los números restantes son correctos: 15 241 383 936 ϭ 123 4562 y 999 998 000 001 ϭ 999 9992.
Operaciones con radicales
PA R A
E j e r c i c i o
P R A C T I C A R
r e s u e l t o
2.31 Calcula las raíces de los siguientes números decimales.
a)
ෆ
͙0,81
a)
ෆϭ
͙0,81
b)
ෆ
͙؊0,81
c)
3
ෆ5ෆ
͙؊0,12
81
͙ෆ
81
9
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,9
Ίᎏ๶
100
1
0
1
0
0
͙ෆ
b) El índice es par y el radicando es negativo. No tiene raíces reales.
c)
3
ෆ5ෆ ϭ
͙Ϫ0,12
1
͙ෆ1
1
Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏ3 ᎏ ϭ Ϫᎏ ᎏ ϭ Ϫ0,5
8
2
͙8ෆ
Ί๶ Ί๶
3
125
Ϫᎏ ᎏ ϭ
1000
3
3
2.32 Calcula las raíces de los siguientes números.
a)
ෆ4ෆ
͙0,006
a)
ෆϭ
͙0,0064
b)
64
8
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,08
Ί๶
10 000
100
ෆ…
ෆ
͙0,111
b) ͙0,111…
ෆϭ
Ίᎏ๶19ᎏ ϭ ᎏ13ᎏ ϭ 0,333…
c)
ෆ44…
ෆ
͙0,694
c)
ෆ4…
ෆϭ
͙0,6944
Ίᎏ๶23ᎏ56 ϭ ᎏ56ᎏ ϭ 0,8333…
2.33 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
3
a)
23 ؒ 35ෆ
ؒ 57
͙ෆ
b)
a5 ؒ b12ෆ
ؒ c7
͙ෆ
a)
28 и 35 ෆ
и 57 ϭ 24 и 32 и 53 и ͙ෆ
3и5
͙ෆ
b)
a5 и b12ෆ
и c7 ϭ a и b4 и c2 и ͙ෆ
a2 и c
͙ෆ
3
2.34 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
Ί๶๶
2 и3
2и3
a)
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ͙2ෆ
и3
Ί๶
5
5
a)
5
26 ؒ 312
—2—
50
6
5
12
20
2
4
5
2
b)
Ί๶
2 и4
2 и2
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙2ෆ ϭ 2 и ͙2ෆ
Ίᎏ
๶
Ί๶
8
2
4
28 ؒ 45
——
83
8
b)
4
5
3
8
4
10
4
9
2
4
9
33
2.35 Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.
Ί๶
23 ؒ 34
c) —— ؒ
5
27
a) 23 ؒ 35 ؒ ͙ෆ
Ί๶
ab3
—
d) —؊2
c
13
a) 23 и 35 и ͙2ෆ7 ϭ ͙ෆ
26 и 310ෆ
и 27 ϭ ͙2ෆ
и 31ෆ0
23 и 34
c) ᎏᎏ и
5
4
Ί๶ Ί๶๶๶
ab
a
aba
ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙ෆ
abc
Ί๶
c Ί๶
bc
c bc
3
4
b) 35 и 7 и ͙ෆ
3 и 72 ϭ ͙ෆ
321 и 76
d)
511 ؒ 2
—1—
30
a3
—3—3
bc
b) 35 ؒ 7 ؒ ͙ෆ
3 ؒ 72
4
3
Ϫ2
511 и 2
ᎏ1ᎏ
ϭ
30
3
3
3
2 6 3
3 3
Ϫ4 3 3
3 10
29 и 312 и 511 и 2
ᎏ
ᎏ ϭ ͙ෆ
2 и 32ෆ
и 58
53 и 310
2.36 Realiza las operaciones indicadas.
3
4
6
a)
a2 ؒ ͙ෆ
a3 ؒ ͙ෆ
a5
͙ෆ
a)
a2 и ͙ෆ
a3 и ͙ෆ
a5 ϭ ͙ෆ
a8 и ͙ෆ
a9 и ͙ෆ
a10 ϭ ͙ෆ
a27 ϭ ͙ෆ
a9
͙ෆ
b)
Ί๶ Ί๶ Ί๶ Ί๶๶ Ί๶
3
4
23
ᎏᎏ7 и
3
4
b)
6
12
37 и 25
ᎏᎏ ϭ
7
6
12
12
29
ᎏ2ᎏ1 и
3
12
12
314 и 210
ᎏᎏ
ϭ
72
12
Ί๶ Ί๶
4
23
——7 ؒ
3
6
37 ؒ 25
——
7
4
12
219
ᎏ
7 ᎏ
3 и 72
2.37 Realiza las operaciones indicadas.
3
x2y7 ؒ ͙ෆ
xy
͙ෆ
b) ——
6
11 8
x y
͙ෆ
4
a)
3
ؒ3
͙2ෆ
—
3
ؒ 32
͙2ෆ
4
23 и 3
͙ෆ
a) ᎏ
ϭ
3
и 32
͙2ෆ
c)
29 и 33
ᎏ
ᎏϭ
24 и 38
3
6
6
c)
и ͙3ෆෆ ϭ ͙ෆ
3 иෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3
͙ෆ
͙3ෆ
5
4
2
5
4
25
ᎏᎏ5
3
12
b)
2
4
Ί๶ Ί๶
12
x2y7 и ͙xy
ෆ
͙ෆ
ᎏᎏ
6 11 8
y
͙xෆ
4
3 ؒ ͙ෆ
3
ෆ
͙ෆ
4 14
y и ͙ෆ
x3y3
͙xෆ
ᎏᎏ
6 11 8
x y
͙ෆ
ϭ
4
5
10
20
4
ϭ
14
Ί๶
6
y9
ᎏ ᎏ4
x
10
7
2.38 Realiza las siguientes operaciones.
a)
3
d)
ෆ ؊ ͙2ෆ ؊ 6 ͙ෆ3 ؉ ͙32
ෆ
͙24
Ί—๶58—
e)
ෆ؊
͙50
3
b) 2 ͙5
ෆ؊
6
ෆ؉
͙25
3
c)
80a2 ؉ ͙ෆ
20a4
ෆ2 ؊ ͙ෆ
͙5a
a)
ෆ ϭ 2 ͙2ෆ Ϫ 5 ͙2ෆ ϩ 10 ͙2ෆ ϭ 7 ͙2ෆ
͙8ෆ Ϫ 5 ͙2ෆ ϩ ͙200
3
6
b) 2 ͙5ෆ Ϫ ͙25
ෆϩ
f) 10 ؒ
18
72
— ؉ ——
Ί—๶
Ί๶
4
25
3
3
ෆ ؉ 5 ؒ ͙0,003
ෆ
͙0,024
Ίᎏ๶58ᎏ ϭ 2͙5ෆ Ϫ ͙5ෆ ϩ ᎏ12ᎏ ͙5ෆ ϭ ᎏ32ᎏ ͙5ෆ
3
3
3
3
3
c)
ෆ2 Ϫ ͙80a
ෆ2 ϩ ͙20a
ෆ4 ϭ a ͙5ෆ Ϫ 4a ͙5ෆ ϩ 2a2 ͙5ෆ ϭ (2a2 Ϫ 3a) ͙5ෆ
͙5a
d)
ෆ Ϫ ͙2ෆ Ϫ 6 ͙3ෆ ϩ ͙32
ෆ ϭ 2 ͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ Ϫ 6 ͙3ෆ ϩ 4 ͙2ෆ ϭ 3 ͙2ෆ Ϫ 4 ͙3ෆ
͙24
e)
ෆϪ
͙50
3
3
3
3
Ίᎏ๶14ᎏ8 ϩ Ίᎏ๶72ᎏ25 ϭ 5͙2ෆ Ϫ ᎏ32ᎏ ͙2ෆ ϩ ᎏ65ᎏ ͙2ෆ ϭ ᎏ41ᎏ70 ͙2ෆ
3
3
2 3
1 3
5 3
f) 10 и ͙0,024
ෆ ϩ 5 и ͙0,003
ෆ ϭ 10 и ᎏ1ᎏ0 ͙3ෆ ϩ 5 и ᎏ1ᎏ0 ͙3ෆ ϭ ᎏ2ᎏ ͙3ෆ
34
3
ෆ
͙8ෆ ؊ 5 ͙2ෆ ؉ ͙200
3
5 3
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2 ͙ෆ
3
2.39 Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza — y
5 ͙5
ෆ
7
—
.
5
72
͙ෆ
En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el denominador.
2 ͙3ෆ
2 ͙3ෆ и ͙2ෆ
2 ͙ෆ6
2 ͙6ෆ
͙ෆ6
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5 ͙2ෆ
5 ͙2ෆ и ͙2ෆ
5и2
5 и ͙ෆ
2
5
En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.
5
5
7 и ͙7ෆ3
7 и ͙7ෆ3
7 и ͙7ෆ3
7
5
ᎏ
ᎏ
ᎏᎏ
ᎏ
ϭ
ϭ
ϭ
ϭ ͙7ෆ3
5
5 2
5
5
5
2
3
7
7
7
7 и ͙ෆ
7
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ
5
2.40 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ——
͙ෆ2
12
—
c) —
7
25
͙ෆ
͙2ෆ
e) ——
3
͙ෆ ؒ ͙5ෆ
2
b) ——
5 ͙6
ෆ
40
—
d) —
4
͙2ෆ17
29
ෆ
͙—
f) —
6
211
͙ෆ
3
3͙2ෆ
3͙ෆ2
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2
2
и
2
2
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
7
12
12͙ෆ
22
12͙ෆ
22
c) ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
ϭ 6͙2ෆ2
7 ᎏ ϭ ᎏ
7
7
5
5
2
2
2
2
͙ෆ
͙2ෆ и ͙ෆ
2
2͙ෆ6
͙ෆ6
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
5и6
5͙ෆ6
15
40
40͙2ෆ3
5͙ෆ
23
40͙ෆ
23
d) ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
4 ᎏ ϭ ᎏ
4 ᎏ ϭ ᎏᎏ
5
2
4
220
͙2ෆ17
͙ෆ
4
7
4
29
29 и ͙2ෆ
͙ᎏ
ෆ
͙ෆ
͙2ෆ19
ᎏ
ϭ
ᎏ
6
6 ᎏ ϭ ᎏᎏ
4
͙2ෆ11
͙2ෆ12
4
4
4
PA R A
P r o b l e m a
͙ෆ2
͙ෆ2͙ෆ3͙ෆ5
͙ෆ
30
e) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
3
и
5
3
5
3
5
1
5
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ͙ෆ͙ෆ͙ෆ
7
f)
4
6
12
A P L I C A R
r e s u e l t o
2.41 El profesor asegura que el número
(2 ؉ ͙ෆ
3
ෆ)(2 ؊ෆ
͙3ෆ) es entero. ¿Es posible?
͙ෆ
Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.
ϩ ͙3ෆ
Ϫ (͙3ෆෆ
) ϭ ͙ෆ
4 Ϫ 3 ϭ ͙1ෆ ϭ 1
ෆ
ෆ)(2 Ϫෆ
͙3ෆ) ϭ ͙2ෆ
͙(2
2
2
En efecto, el resultado es un número entero.
2.42 Comprueba si el número siguiente es un número entero:
(4 ؉ 2ෆ
؊ 2͙ෆ
2
ෆ).
͙2ෆ)(4ෆ
͙ෆ
3
ϩ 2͙
2ෆ)(4 Ϫ
2͙2ෆ)ෆ ϭ ͙ෆ
4 Ϫ (2ෆ
16 Ϫ 8 ϭ ͙8ෆ ϭ 2
ෆ
ෆ
ෆ
͙2ෆ) ϭ ͙ෆ
͙(4
3
3
2
2
3
3
Es un número entero.
2.43 Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un número inicial y usando repetidamente la tecla
veces dicha tecla.
20 →
͙ෆ
→ 4,472… →
͙ෆ
→ 2,114… →
͙ෆ
. Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres
͙ෆ
→ 1,454… ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza
en el número 300? ¿Y empezando en el 1000? Indica la operación realizada usando una sola raíz.
30
ෆ.
͙ෆ
ෆ
͙ෆ
ෆ
ෆ0ෆ ϭ ͙300
͙͙
Para el número 1000, necesita también 4 pulsaciones. Obtiene ͙͙
10
00
ෆ
ෆ.
ෆ
ෆ
ෆ ϭ ͙1000
͙͙
ෆ
ෆ
Para el número 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene
16
16
35
2.44 Adivina un número a sabiendo que:
• Su raíz cúbica es mayor que 4.
• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17.
• El número es un entero múltiplo de 10.
El número a cumple:
3
͙aෆ Ͼ 4 ⇒ a Ͼ 64
3
a2 Ͻ 17 ⇒ a2 Ͻ 173 ⇒ a Ͻ ͙ෆ
173 ϭ 70,09…
͙ෆ
El número está en el intervalo (64, 70,09… ]. Como debe ser entero y múltiplo de 10, la solución es 70.
Logaritmo de un número
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.45 Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:
a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 ؉ log 25
b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 Ϸ 0,301.
a) log 40 ϩ log 25 ϭ log (40 и 25) ϭ log 1000 ϭ 3
b) log 8 ϭ log 23 ϭ 3 и log 2 Ϸ 3 и 0,301 ϭ 0,903
PA R A
A P L I C A R
2.46 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 10 000
c) log2 256
b) log3 81
d) log3 243
a) log 10 000 ϭ log 104 ϭ 4
c) log2 256 ϭ log2 28 ϭ 8
b) log3 81 ϭ log3 34 ϭ 4
d) log3 243 ϭ log3 35 ϭ 5
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.47 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,25
c) log4 2
b) log 0,001
d) log9 27
1
1
a) log2 0,25 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ2 ϭ log2 2Ϫ2 ϭ Ϫ2
4
2
1
1
b) log 0,001 ϭ log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ3 ϭ log 10Ϫ3 ϭ Ϫ3
1000
10
1
1
ᎏᎏ
ᎏᎏ
1
c) 4 ϭ 22 ⇒ 2 ϭ ͙4ෆ ϭ 4 2 ⇒ log4 2 ϭ log4 4 2 ϭ ᎏᎏ
2
ᎏ1ᎏ
2
d) 9 ϭ 32 ⇒ 3 ϭ ͙9ෆ ϭ 9 ;
36
΂ ᎏ2ᎏ΃
1 3
27 ϭ 33 ϭ 9
ᎏ3ᎏ
2
ϭ9
3
ᎏᎏ
3
2
log9 27 ϭ log9 9 ϭ ᎏᎏ
2
2.48 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,125
d) log 0,000 01
g) log16 64
b) log3 0,333…
2
c) log3 ——
54
e) log16 2
h) log8 4
f) log64 2
i) log4
͙2ෆ
1
a) log2 0,125 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2Ϫ3 ϭ Ϫ3
8
6
1
f) log64 2 ϭ log64 ͙64
ෆ ϭ ᎏ6ᎏ
1
b) log3 0,333… ϭ log3 ᎏᎏ ϭ log3 3Ϫ1 ϭ Ϫ1
3
ᎏᎏ
4
3
4
g) log16 64 ϭ log16 26 ϭ log16 (͙16
ෆ)6 ϭ log16 16 ϭ ᎏ2ᎏ
2
1
1
c) log3 ᎏᎏ ϭ log3 ᎏᎏ ϭ log3 ᎏᎏ3 ϭ log3 3Ϫ3 ϭ Ϫ3
54
27
3
ᎏᎏ
3
2
3
h) log8 4 ϭ log8 22 ϭ log8 (͙8ෆ)2 ϭ log8 8 ϭ ᎏᎏ
3
d) log 0,00001 ϭ log 10Ϫ5 ϭ Ϫ5
i)
6
2
1
ᎏᎏ
4
1
log4 ͙2ෆ ϭ log4 ͙4ෆ ϭ log4 4 4 ϭ ᎏᎏ
4
1
ᎏᎏ
4
1
4
e) log16 2 ϭ log16 ͙16
ෆ ϭ log16 16 ϭ ᎏ4ᎏ
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.49 Conociendo los valores aproximados de log 2 ‫ ؍‬0,301 y log 3 ‫ ؍‬0,477, calcula los siguientes usando las
propiedades de los logaritmos.
a) log 24
b) log 5
a) log 24 ϭ log (23 и 3) ϭ log 23 ϩ log 3 ϭ 3 log 2 ϩ log 3 ϭ 3 и 0,301 ϩ 0,477 ϭ 1,38
10
b) log 5 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 10 Ϫ log 2 ϭ 1 Ϫ 0,301 ϭ 0,699
2
2.50 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior.
a) log 36
9
d) log ——
24
g) log 75
b) log 64
e) log 20
h) log 0,2
2
c) log ——
3
f) log 150
i) log 0,8333…
a) log 36 ϭ log (22 и 32) ϭ log 22 ϩ log 32 ϭ 2 log 2 ϩ 2 log 3 ϭ 2 и 0,301 ϩ 2 и 0,477 ϭ 1,556
b) log 64 ϭ log 26 ϭ 6 log 2 ϭ 6 и 0,301 ϭ 1,806
2
c) log ᎏᎏ ϭ log 2 Ϫ log 3 ϭ Ϫ0,176
3
9
3
d) log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 Ϫ 3 log 2 ϭ Ϫ0,426
24
8
e) log 20 ϭ log (2 и 10) ϭ log 2 ϩ log 10 ϭ 0,301 ϩ 1 ϭ 1,301
3 и 100
f) log 150 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 ϩ log 100 Ϫ log 2 ϭ 2,176
2
3 и 100
g) log 75 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 3 ϩ log 100 Ϫ 2 log 2 ϭ 1,875
4
2
h) log 0,2 ϭ log ᎏᎏ ϭ log 2 Ϫ log 10 ϭ 0,301 Ϫ 1 ϭ Ϫ0,699
10
5
10
i) log 0,8333… ϭ log ᎏᎏ ϭ log ᎏᎏ ϭ log 10 Ϫ log 12 ϭ 1 Ϫ (2 log 2 ϩ log 3) ϭ Ϫ0,079
6
12
37
2.51 Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos.
a) log3 2
c) log3 32
e) log2 30
b) log2 9
d) log2 10
f) log8 2
log 2
0,301
a) log3 2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,631
log 3
0,477
log 9
log 32
2 log 3
2 и 0,477
b) log2 9 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,169
log 2
log 2
log 2
0,301
log 32
5 log 2
c) log3 32 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,155
log 3
log 3
1
log 10
d) log2 10 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 3,322
0,301
log 2
log 30
log 3 ϩ log 10
e) log2 30 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 4,907
log 2
log 2
log 2
log 2
log 2
1
f) log8 2 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ3 ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
log 8
log 2
3 log 2
3
2.52 Calcula las siguientes operaciones.
a) log3 7 ؒ log7 3
c) log7 (log3 (log2 8))
b) ؊log3 5 ؒ log5 9
d) log4 (log2 (log3 (10 ؊ log 10)))
log 7 log 3
a) log3 7 и log7 3 ϭ ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ 1
log 3 log 7
log 5 log 9
log 32
2 log 3
b) Ϫlog3 5 и log5 9 ϭ ᎏᎏ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ ϭ Ϫ2
log 3 log 5
log 3
log 3
c) log7 (log3 (log2 8)) ϭ log7 (log3 (log2 23)) ϭ log7 (log3 3) ϭ log7 1 ϭ 0
d) log4 (log2 (log3 (10 Ϫ log 10))) ϭ log4 (log2 (log39)) ϭ log4 (log2 2) ϭ log4 1 ϭ 0
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.53 Sabiendo los valores de log a ‫ ؍‬0,5 y log b ‫ ؍‬0,3, calcula log
Usando las propiedades de los logaritmos,
log
Ί๶
3
a2 ؒ b
——.
10
Ί๶
3
a2 и b
1
a2 и b
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ log ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ (log (a2 и b) Ϫ log 10) ϭ
10
10
3
3
1
1
ϭ ᎏᎏ (log a2 ϩ log b Ϫ 1) ϭ ᎏᎏ (2 log a ϩ log b Ϫ 1)
3
3
Se sustituyen los valores dados.
log
Ί๶
3
a2 и b
1
1
ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ (2 и 0,5 ϩ 0,3 Ϫ 1) ϭ ᎏᎏ и 0,3 ϭ 0,1
10
3
3
͙ෆa
2.54 Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log ——.
100b3
ᎏ1ᎏ
͙ෆa
1
1
2
log ᎏᎏ3 ϭ log ͙aෆ Ϫ log 100b3 ϭ log a Ϫ (log 100 ϩ log b3) ϭ ᎏᎏ log a Ϫ 2 Ϫ 3 log b ϭ ᎏᎏ 0,5 Ϫ 2 Ϫ 3 и 0,3 ϭ Ϫ2,65
100b
2
2
38
PA R A
A P L I C A R
2.55 Antes de la invención de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos para operar con números grandes. En la tabla figuran algunas potencias de 2.
Exponente
0
1
2
3
4
Valor
1
2
4
8
16
Exponente
5
6
7
8
9
32
64
128
256
512
Valor
Exponente
Valor
10
11
12
13
14
1024
2048
4096
8192
16 384
Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, para calcular 32 ؒ 64 buscaban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y buscaban en la tabla el número correspondiente (2048).
Calcula, usando esa tabla, 16 ؒ 128 y 16 384 : 256.
Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto, se suman los exponentes (11) y se busca el valor correspondiente, 2048.
Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valor
correspondiente, 64.
2.56 Si log 2 ‫ ؍‬0,301, ¿cuánto valdrá log 20? ¿Y log 200? ¿Y log 2000? ¿Qué número tendrá por logaritmo 8,301?
Como 20 ϭ 2 и 10, log 20 ϭ log 2 ϩ log 10 ϭ log 2 ϩ 1 ϭ 1,301. De la misma forma, log 200 ϭ 2,301, log 2000 ϭ 3,301, y así sucesivamente. El número 8,301 se descompone como la suma de 8 (log 108) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el logaritmo de 2 и 108.
2.57 Halla el valor de x en la siguiente expresión, aplicando las propiedades de los logaritmos.
log (x ؉ 1)2 ‫ ؍‬6
log (x ϩ 1)2 ϭ 6 ⇒ 2 log (x ϩ 1) ϭ 6 ⇒ log (x ϩ 1) ϭ 3 ⇒ x ϩ 1 ϭ 103 ϭ 1000 ⇒ x ϭ 1000 Ϫ 1 ϭ 999
2.58 ¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número y el de su inverso?
1
log ᎏᎏ ϭ log 1 Ϫ log a ϭ 0 Ϫ log a. Son opuestos.
a
1
2.59 Escribe como un único logaritmo la siguiente expresión: 3 log a ؉ —— log b ؉ 1 ؊ 5 log c.
2
ᎏ1ᎏ
2
ᎏᎏ
1
a3 и ͙bෆ и 10
a3 и b и 10
2
3 log a ϩ ᎏᎏ log b ϩ 1 Ϫ 5 log c ϭ log a3 ϩ log b ϩ log 10 Ϫ log c5 ϭ log ᎏᎏ
ϭ log ᎏᎏ
5
2
c5
c
1
M AT E M Á T I C A S
A P L I C A D A S
PA R A
A P L I C A R
2.60 Calcula la intensidad de los siguientes sonidos.
a) Música a mucha potencia: 6,4 Pa
b) Martillo neumático: 1,1 Pa
6,4
a) Np ϭ 20 и log ᎏᎏ
ϭ 110,10 db
2 и 10Ϫ5
1,1
b) Np ϭ 20 и log ᎏᎏ
ϭ 94,81 dbϭ 94,81db
2 и 10Ϫ5
2.61 Busca información sobre la escala de Ritcher. ¿Qué magnitud mide? ¿Mediante qué fórmula? ¿Se trata
de una escala logarítmica?
La escala de Richter mide la energía desprendida en un terremoto.
La fórmula que emplea es M ϭ log A ϩ 3 log (8 и ⌬t) Ϫ 2,92, siendo A la amplitud (en mm) de las ondas tipo S y ⌬t el tiempo, en
segundos, transcurrido entre la aparición de ondas tipo P y tipo S. Es por tanto una escala logarítmica.
39
A C T I V I D A D E S
F I N A L E S
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
2.62 Escribe en notación científica estas cantidades.
a) 0,000 000 007 71
b) 0,000 041
c) 992 600 000 000
d) 4 840 000 000
a) 0,000 000 007 71 ϭ 7,71 и 10Ϫ9
c) 992 600 000 000 ϭ 9,926 и 1011
b) 0,000 041 ϭ 4,1 и 10Ϫ5
d) 4 840 000 000ϭ 4,84 и 109
2.63 Escribe correctamente en notación científica:
a) 887 ؒ 105
b) 5785,46 ؒ 10؊8
c) 0,005 2 ؒ 1012
d) 0,004 ؒ 10؊24
a) 887 и 105 ϭ 8,87 и 107
b) 5785,46 и 10Ϫ8 ϭ 5,785 46 и 10Ϫ5
c) 0,0052 и 1012 ϭ 5,2 и 109
d) 0,004 и 10Ϫ24 ϭ 4 и 10Ϫ27
2.64 En una muestra hay 5,23 ؒ 106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 ؒ 10؊10 gramos. ¿Cuál es el peso
total?
5,23 и 106 и 2,5 и 10Ϫ10 ϭ 1,3075 и 10Ϫ3 gramos.
2.65 Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.
2
——
7
a)
34
͙ෆ
a)
34 ϭ ͙ෆ
38 ϭ ͙ෆ
312 ϭ ͙ෆ
316
͙ෆ
7
14
21
28
2.66 Ordena de menor a mayor
5
c) 8 3
b) 5
30
3
5
27,
͙ෆ
30
42
27 ϭ ͙2ෆ
Ϸ ͙ෆ
4,4 и 1ෆ
012;
͙ෆ
6
ᎏ2ᎏ
3
4
b) 5 ϭ ͙ෆ
52 ϭ ͙ෆ
53 ϭ ͙ෆ
54
3,
3
c) 8 ϭ 4 ϭ ͙ෆ
42 ϭ ͙ෆ
24 ϭ ͙ෆ
26
6
ෆ.
͙32
30
30
3 ϭ ͙ෆ
330 Ϸ ͙ෆ
2 и 1014ෆ,
6
30
30
3,3 и 1ෆ
07
ෆ ϭ ͙2ෆ25 Ϸ ͙ෆ
͙32
5
El orden es ͙32
27 Ͻ 3.
ෆ Ͻ ͙ෆ
2.67 Calcula las siguientes raíces.
a)
ෆ
͙576
b)
ෆ1ෆ
͙0,008
a)
6
и 32 ϭ 23 и 3 ϭ 24
ෆ ϭ ͙2ෆ
͙576
b)
ෆϭ
͙0,0081
81
9
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ 0,09
Ίᎏ
๶
10 000
100
c)
ෆ…
ෆ
͙1,777
c)
ෆϭ
͙1,777…
c)
Ί๶๶
Ίᎏ๶19ᎏ6 ϭ ᎏ43ᎏ
2.68 Extrae de la raíz todos los factores posibles.
a)
Ί๶
a)
Ί๶
5
5
23
b) ᎏᎏ4
3
c)
40
x12y54
—1—
z 00
23
b) ——4
3
320 ؒ 210
——
56
x12y54
x2y10 5 2 4
ᎏ1ᎏ
ᎏ xy
00 ϭ ᎏ20
z
z ͙ෆ
Ί๶๶
6
24 6 2 4
24 3
320 и 210
23 и 33 и 2 6 2 4
ᎏᎏ
ϭᎏ
3 и 2 ϭ ᎏ ᎏ ͙ෆ
3 и 2 ϭ ᎏ ᎏ ͙ෆ
3 и 22
6
4 ᎏ ͙ෆ
5
3 и5
3и5
3и5
Ί๶๶ Ί๶๶
3
Ί๶๶
6
45 и 64 и 3
ᎏᎏ
ϭ
182
3
3 12
3
210 и 24 и 34 и 3
ᎏ
ᎏ ϭ ͙ෆ
2 и 3 ϭ 24 и ͙3ෆ
22 и 34
3
45 ؒ 64 ؒ 3
——
182
2.69 Realiza las operaciones indicadas.
a3 ؒ ͙a
ෆ
͙ෆ
—
b) —
3
2
a
͙ෆ
4
8
6
a)
2 ؒ 3 ؒ ͙ෆ
2 ؒ3
͙ෆ
a)
25 и 36 и ͙ෆ
29 и 35 ϭ ͙ෆ
215 и 318ෆ
и 236 иෆ
320 ϭ ͙ෆ
251 и 338ෆ
͙ෆ
5
6
8
9
5
6
24
4
2
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ
3
c)
4
3
24
a3 и ͙ෆa
12 7
a9a6
͙ෆ
b) ᎏᎏ
ϭ 12 ᎏᎏ
a
3 2
8 ϭ ͙ෆ
a
a
͙ෆ
c)
Ί๶
2 ϭ
ෆ
͙ෆ
ෆ
͙͙
3
4
3
8
͙2ෆ3 ϭ ͙2ෆ
3и2и4
2.70 Realiza las operaciones indicadas.
3
8
—
Ί—๶
54
ෆ ؊ ͙12
ෆ ؉ 3͙3ෆ
͙75
c)
25 ؊ 9 ؒ
͙ෆ
b) 5͙2
ෆ ؉ 4͙8ෆ ؊ 10͙18
ෆ
d)
ෆ…
ෆ ؒ 36 ؊ 20 ؒ ͙0,125
ෆ
͙0,222
a)
a)
b)
3
ෆ Ϫ ͙12
ෆ ϩ 3͙3ෆ ϭ 5͙3ෆ Ϫ 2͙3ෆ ϩ 3͙3ෆ ϭ 6͙3ෆ
͙75
5͙2ෆ ϩ 4͙8ෆ Ϫ 10͙18
ෆ ϭ 5͙2ෆ ϩ 8͙2ෆ Ϫ 30͙2ෆ ϭ Ϫ17͙2ෆ
Ίᎏ๶58ᎏ4 ϭ 2͙4ෆ Ϫ 9Ίᎏ๶24ᎏ7 ϭ 2͙4ෆ Ϫ ᎏ93ᎏ ͙4ෆ ϭ Ϫ͙4ෆ
2
1
1
20
d) ͙0,222…
ෆ и 36 Ϫ 20 и ͙0,125
ෆ ϭ Ίᎏ๶9ᎏ и 36 Ϫ 20 и Ίᎏ๶8ᎏ ϭ ᎏ3ᎏ ͙2ෆ и 36 Ϫ ᎏ4ᎏ ͙2ෆ ϭ 7͙2ෆ
c)
3
͙2ෆ5 Ϫ 9 и
3
3
3
3
3
3
2.71 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 100 000
b) log5 625
c) log7 343
a) log 100 000 ϭ log 105 ϭ 5
b) log5 625 ϭ log5 54 ϭ 4
c) log7 343 ϭ log7 73 ϭ 3
a) log2 0,125
c) log81 3
e) log1000 10
3
b) log4 ——
48
d) log25 5
f) log1000 100
2.72 Calcula los siguientes logaritmos.
1
a) log2 0,125 ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2Ϫ3 ϭ Ϫ3
8
1
d) log25 5 ϭ log25 ͙25
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
3
1
b) log4 ᎏᎏ ϭ log4 ᎏᎏ ϭ log4 4Ϫ2 ϭ Ϫ2
48
16
3
1
e) log1000 10 ϭ log1000 ͙1000
ෆ ϭ ᎏ3ᎏ
4
1
c) log81 3 ϭ log81 ͙81
ෆ ϭ ᎏ4ᎏ
3
2
f) log1000 100 ϭ log1000 102 ϭ log1000 ΂͙1000
ෆ΃2 ϭ ᎏ3ᎏ
2.73 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias.
25 ؒ 34
b) log ——
76
a) log (25 ؒ 37)4
c) log
͙ෆ
Ί๶
a
——
b
a) log (25 и 37)4 ϭ log (220 и 328) ϭ log 220 ϩ log 328 ϭ 20 log 2 ϩ 28 log 3
25 и 34
b) log ᎏᎏ
ϭ log (25 и 34) Ϫ log 76 ϭ 5 log 2 ϩ 4 log 3 Ϫ 6 log 7
76
c) log
Ί๶
4
͙aෆ
͙aෆ
ᎏᎏ ϭ log ᎏ
b
͙bෆ
1
1
ϭ ᎏᎏ log a Ϫ ᎏᎏ log b
4
2
41
2.74 Calcula los siguientes logaritmos.
b) log3 (log2 (10 ؉ log 0,01))
a) log2 (log 10 000)
a) log2 (log 10 000) ϭ log2 4 ϭ 2
b) log3 (log2 (10 ϩ log 0,01)) ϭ log3 (log2 (10 Ϫ 2)) ϭ log3 (log2 8) ϭ log3 3 ϭ 1
2.75 Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica.
c) 26 ؒ 10؊12 hectómetros
d) 3 trillones de nanómetros
a) 3 millones de kilómetros
b) Una millonésima de milímetro
a)
b)
c)
d)
3 millones de kilómetros ϭ 3 и 106 kilómetros ϭ 3 и 109 metros
Una millonésima de milímetro ϭ 10Ϫ6 milímetros ϭ 10Ϫ9 metros
26 и 10Ϫ12 hectómetros ϭ 26 и 10Ϫ12 и 102 metros ϭ 2,6 и 10Ϫ9 metros
3 trillones de nanómetros ϭ 3 и 1018 nanómetros ϭ 3 и 1018 и 10Ϫ9 metros ϭ 3 и 109 metros
2.76 El factorial de un número se define:
n! ‫ ؍‬n · (n – 1) ؒ … ؒ 2 ؒ 1
Por ejemplo:
6! ‫ ؍‬6 ؒ 5 ؒ 4 ؒ 3 ؒ 2 ؒ 1 ‫ ؍‬720
Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.
a) 15!
b) 25!
c) 40!
a) 15! ϭ 1,3 и 1012; orden 12
b) 25! ϭ 1,55 и 1025; orden 25
c) 40! ϭ 8,159 и 1047; orden 47
2.77 En la siguiente fórmula, despeja cada una de las variables que aparecen.
1
x3 ؊ ——2 ؉
y
144424443
3
1
x3 ϭ ᎏᎏ2 Ϫ ͙zෆ2 ϩ 1 ⇒ x ϭ
y
3
1
x3 Ϫ ᎏᎏ2 ϩ ͙zෆ2 ϭ 1 ⇒
y
3
͙zෆ2 ‫ ؍‬1
ෆ ๶
Ί ๶͙๶
1
ᎏᎏ2 Ϫ
y
3
3
z2 ϩ 1
1
ᎏᎏ
Ί๶
x Ϫ 1 ϩ ͙ෆ
z
3
1
x3 Ϫ 1 ϩ ͙zෆ2 ϭ ᎏᎏ2 ⇒ y ϭ Ϯ
y
1
3
z2 ϭ 1 Ϫ x3 ϩ ᎏᎏ2 ⇒ z ϭ
͙ෆ
y
3
3
2
1
1 Ϫ x๶
ϩ ᎏᎏ΃๶
Ί΂๶
y
3
3
2
2.78 Cualquier número natural se puede expresar como suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos.
Esto nos permite representar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teorema de Pitágoras.
–1
0
1 √2 √ 3 2
3 = 12 + 12 + 12
3
Descompón en suma de cuadrados los siguientes números e indica cómo se representarían sus raíces cuadradas.
a) 41
b) 27
c) 31
a) 41 ϭ 52 ϩ 42. Para representar la raíz se construye el triángulo rectángulo de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide ͙41
ෆ.
b) 27 ϭ 52 ϩ 12 ϩ 12. Se representa primero ͙2ෆ, usando dos catetos de longitud 1, y después se usan como catetos ͙2ෆ y 5.
c) 31 ϭ 52 ϩ 22 ϩ 12 ϩ 12. Como en el ejemplo anterior, se representa primero ͙2ෆ, después ͙6ෆ y por último ͙31
ෆ.
42
2.79 ¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?
Como 103 5 Յ x Ͻ 1036, la raíz cuadrada cumple que 316,2 Ϸ ͙ෆ
105 Յ x Ͻ ͙ෆ
106 ϭ 103, y la raíz cúbica cumple que
5
6
46,4 Ϸ ͙ෆ
10 Յ x Ͻ ͙ෆ
10 ϭ 100. Por tanto, la raíz cuadrada tiene tres cifras, y la raíz cúbica tiene dos.
2.80 Considera las fórmulas del área y del volumen de una esfera de radio r y, a partir de ellas:
a) Halla una fórmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo su volumen.
b) Halla la fórmula que da la longitud de la circunferencia máxima en función del volumen.
4
Las fórmulas a utilizar son L ϭ 2␲r, S ϭ 4␲r2, V ϭ ᎏᎏ ␲r3.
3
4
1
1
3V
a) V ϭ ᎏᎏ ␲r3 ϭ (4␲r2) ᎏᎏ r ϭ S и ᎏᎏ r ⇒ S ϭ ᎏᎏ
3
3
3
r
4
2
2
3V
b) V ϭ ᎏᎏ ␲r3 ϭ (2␲r) ᎏᎏ r2 ϭ L и ᎏᎏ r2 ⇒ L ϭ ᎏᎏ2
3
3
3
2r
2.81 Una hoja de papel tiene 0,01 milímetros de grosor. Se dobla ese papel por la mitad, se vuelve a doblar,
y así sucesivamente.
Utilizando logaritmos, ¿podrías indicar cuántos dobleces harían falta para obtener un grosor de 100
metros?
Como 100 metros son 100 000 milímetros, se trata de hallar el primer valor natural para el que 0,01 и 2x Ն 100 000, donde x indica
el número de dobleces.
7
0,01 и 2x Ն 100 000 ⇒ 2x Ն 107 ⇒ log 2x Ն log 107 ⇒ x Ն ᎏᎏ ϭ 23,25.
log 2
Hay que realizar un mínimo de 24 dobleces.
PA R A
R E F O R Z A R
2.82 Escribe los siguientes números empleando notación científica.
a) 0,000 000 000 235
b) 5 480 000 000 000
a) 0,000 000 000 235 ϭ 2,35 и 10Ϫ10
b) 5 480 000 000 000 ϭ 5,48 и 1012
2.83 Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.
a) (3,5 ؒ 1015) ؒ (1,2 ؒ 107)
d) (2,67 ؒ 1043) : (1,4 ؒ 1033)
b) (2,24 ؒ 10؊15) ؒ (3 ؒ 10؊20)
e) (5,78 ؒ 10؊21) : (2,22 ؒ 10؊25)
c) (2 ؒ 1023) ؒ (1,55 ؒ 10؊30)
f) (9,93 ؒ 107) : (3,12 ؒ 10؊7)
b) Orden Ϫ35
a) Orden 22
c) Orden Ϫ7
d) Orden 10
e) Orden 4
f) Orden14
2.84 Despeja x en cada ecuación.
a) a ‫ ؍‬x2
c) 42 ‫ ؍‬x3
b) 125 ‫ ؍‬x3
d) x؊3 ‫ ؍‬24
a) a ϭ x2 ⇒ x ϭ Ϯ͙aෆ
c) 42 ϭ x3 ⇒ x ϭ ͙4ෆ2
3
3
b) 125 ϭ x3 ⇒ x ϭ ͙125
ෆϭ5
d) xϪ3 ϭ 24 ⇒ x ϭ
Ίᎏ๶21ᎏ
3
4
2.85 Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:
a) 320,2
25
——
c) 625 100
b) 10000,666…
ᎏ1ᎏ
5
5
a) 320,2 ϭ 32 ϭ ͙32
ෆϭ2
ᎏ2ᎏ
3
3
b) 10000,666… ϭ 1000 ϭ ͙ෆ
10002 ϭ 100
5
ᎏ2ᎏ
ᎏ1ᎏ
4
4
c) 625 100 ϭ 625 ϭ ͙625
ෆϭ5
43
2.86 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.
12
15
͙2ෆ7
12
18
͙2ෆ9
180
2105
͙2ෆ7 ϭ ͙ෆ
15
͙2ෆ13
180
2108
͙2ෆ9 ϭ ͙ ෆ
Ͻ
Ͻ
18
180
2130
͙2ෆ13 ϭ ͙ ෆ
2.87 Calcula las siguientes operaciones.
a) 3͙2
ෆ ؊ 7͙2ෆ ؉ 4͙2ෆ
1
b) —— ͙20
ෆ؊
2
ෆ ؊ 4͙45
ෆ
͙75
a) 3͙2ෆ Ϫ 7͙2ෆ ϩ 4͙2ෆ ϭ (3 Ϫ 7 ϩ 4)͙2ෆ ϭ 0͙2ෆ ϭ 0
1
1
Ϫ 75 Ϫ 4͙45
b) ᎏᎏ ͙20
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ 2͙5ෆ Ϫ 5͙3ෆ Ϫ 4 и 3͙5ෆ ϭ Ϫ11͙5ෆ Ϫ 5͙3ෆ
2 ෆ ͙ෆ
2.88 Expresa como un único radical:
a) 5͙6
ෆ
45
͙ෆ
d) —
͙ෆ3
b) 2͙3
ෆ ؒ 7͙2ෆ
e)
3
4
͙2ෆ ؒ ͙2ෆ
6
c)
3
͙ෆ3 ؒ ͙ෆ5
f) ——
3
͙ෆ4
3
͙5ෆ ؒ ͙6ෆ
a) 5͙6ෆ ϭ ͙ෆ
52 и 6
45
͙ෆ
d) ᎏ ϭ ͙15
ෆ
͙ෆ3
b) 2͙3ෆ и 7͙2ෆ ϭ 14͙6ෆ ϭ ͙ෆ
142 и 6
e)
24 и 23 ϭ ͙ෆ
27
͙2ෆ и ͙2ෆ ϭ ͙ෆ
f)
͙3ෆ и ͙5ෆ ϭ
ᎏ
3
͙4ෆ
3
4
12
6
c)
3
3
3
ෆ
͙5ෆ и ͙6ෆ ϭ ͙30
12
Ί๶
6
33 и 5
ᎏᎏ
42
2.89 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log4 256
c) log 10 000 000
b) log2 1024
d) log37 1
a) log4 256 ϭ log4 44 ϭ 4
c) log 10 000 000 ϭ log 107 ϭ 7
b) log2 1024 ϭ log2 210 ϭ 10
d) log37 1 ϭ 0
2.90 Calcula los siguientes logaritmos.
44
a) log 0,1
3
c) log2 ——
192
b) log5 0,04
d) log2 (0,57)
a) log 0,1 ϭ log 10Ϫ1 ϭ Ϫ1
3
1
c) log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ ϭ log2 2Ϫ6 ϭ Ϫ6
192
64
1
b) log5 0,04 ϭ log5 ᎏᎏ ϭ log5 5Ϫ2 ϭ Ϫ2
25
d) log2 (0,57) ϭ log2 2Ϫ7 ϭ Ϫ7
2.91 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log1 000 000 100
c) log4 8
b) log36 6
d) log8 4
3
1
a) log1 000 000 100 ϭ log1 000 000 ͙ෆ
1 000 000
ෆ ϭ ᎏ3ᎏ
ᎏᎏ
3
2
c) log4 8 ϭ log4 23 ϭ log4 (͙4ෆ)3 ϭ log4 4 ϭ ᎏᎏ
2
1
b) log36 6 ϭ log36 ͙36
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
3
2
d) log8 4 ϭ log8 (͙8ෆ)2 ϭ ᎏᎏ
3
3
PA R A
A M P L I A R
2.92 Estudia el método empleado para racionalizar fracciones de la forma
k
͙aෆ ؎ ͙bෆ
.
1
a) Comprueba que la fracción —— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
͙3ෆ ؊ ͙2ෆ
por ͙3
ෆ ؉ ͙2ෆ.
1
b) Comprueba que la fracción —— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
͙6ෆ ؉ ͙2ෆ
6 ؊ ͙2
por ͙ෆ
ෆ.
1 и (͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
͙3ෆ ϩ ͙ෆ2
1
͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2 ϭ ᎏ
ᎏ ϭ ͙3ෆ ϩ ͙2ෆ
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2
2
3Ϫ2
(
3
)
Ϫ
(
2
)
͙ෆ
͙ෆ
͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ (͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ)(͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
1
͙6ෆ Ϫ ͙ෆ2 ͙6ෆ Ϫ ͙2ෆ
͙6ෆ Ϫ ͙2ෆ
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
6Ϫ2
4
(
6
ϩ
2
)(
6
Ϫ
2
)
6
ϩ
2
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
͙ෆ ͙ෆ
2.93 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ——
͙7ෆ ؉ ͙3ෆ
c)
2
——
2͙3
ෆ ؊ ͙2ෆ
͙2ෆ
b) ——
͙ෆ3 ؊ ͙2ෆ
d)
5
——
8 ؊ 2͙2
ෆ
3(͙ෆ7 Ϫ ͙ෆ3)
3
3(͙ෆ7 Ϫ ͙3ෆ)
3(͙7ෆ Ϫ ͙3ෆ)
a) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
7
Ϫ
3
4
(
7
ϩ
3
)(
7
Ϫ
3
)
͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ ͙ෆ
͙ෆ7 ϩ ͙3ෆ
͙ෆ2(͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
͙ෆ2
͙6ෆ ϩ ͙ෆ4
b) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ͙6ෆ ϩ 2
3Ϫ2
͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ (͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ)(͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
2(2͙ෆ3 ϩ ͙ෆ2)
2
2(2͙ෆ3 ϩ ͙2ෆ)
2͙3ෆ ϩ ͙2ෆ
c) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
4
и
3
Ϫ
2
5
(2͙3ෆ Ϫ ͙2ෆ)(2͙3ෆ ϩ ͙2ෆ)
2͙ෆ3 Ϫ ͙2ෆ
5(8 ϩ 2͙2ෆ)
5
5(8 ϩ 2͙2ෆ)
d) ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
56
(8 Ϫ 2͙2ෆ)(8 ϩ 2͙2ෆ)
8 Ϫ 2͙2ෆ
45
2.94 Un mago te pide que elijas un número de dos cifras y lo eleves al cubo. Cuando le dices el resultado,
lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el número original. ¿Cómo lo hace? Copia y completa
la tabla, a ver si lo descubres.
Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en la última cifra: 3, e inmediatamente indica la raíz cúbica, 47.
Halla por este método las siguientes raíces cúbicas.
a)
3
824
ෆ
͙13
a) 24
b)
3
112
ෆ
ෆ
͙195
b) 58
c)
3
441
ෆ
ෆ
͙531
c) 81
El mago averigua la raíz cúbica en dos pasos.
En el primer paso, el mago busca en la cuarta columna de la tabla la última cifra del cubo, 3, la columna vecina le proporciona la
cifra de las unidades de la raíz cúbica: 7.
En el segundo paso, el mago localiza en la tabla el intervalo al que pertenece el cubo, en el caso de 103 823 está en [64 000,
125 000), así la columna vecina le da la cifra de las decenas de la raíz cúbica: 4.
De este modo, ya tenemos la raíz cúbica: 47.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
2.95 Crecimiento de poblaciones
Ana y Juan están estudiando el crecimiento de la población de un cultivo de microorganismos y deben elegir, entre los siguientes modelos matemáticos:
• El modelo A utiliza como dato el aumento de la población en una semana, que es del 84%.
• El modelo B utiliza el crecimiento de la población en un día.
• El modelo C considera el crecimiento en una hora.
Se denomina P0 la población inicial, y t, el tiempo en semanas, días u horas, según corresponda.
a) Comprueba, dando valores, que la siguiente es la fórmula del modelo A: P ‫ ؍‬P0 ؒ 1,84t.
b) Escribe las fórmulas de los modelos B y C.
c) Compara los resultados proporcionados por cada modelo para el caso P0 ‫ ؍‬1000 y t ‫ ؍‬2 semanas.
a) En una semana: P ϭ P0 и 1,84
En dos semanas: P ϭ P0 и 1,842 ϭ P0 и 3,3856
b) El modelo B: P ϭ P0 и 1,097t
El modelo C: P ϭ P0 и 1,0036168t
c) Los resultados son iguales:
Modelo A: P ϭ P0 и 1,84t ϭ 1000 и 1,842 ϭ 3386,6
Modelo B: P ϭ P0 и 1,097t ϭ P0 и 1,097и2 ϭ P0 и (1,097)2 ϭ P0 и 1,842 ϭ 1000 и 1,842 ϭ 3386,6
Modelo C: P ϭ P0 и 1,0036168иt ϭ P0 и 1,0036168и2 ϭ P0 и (1,0036168)2 ϭ P0 и 1,842 ϭ 1000 и 1,842 ϭ 3386,6
46
2.96 Ácidos y bases
El pH de una disolución se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de iones
hidrógeno expresada en moles/litro: pH ‫ ؍‬؊log [H؉].
Por ejemplo, si la concentración de iones hidrógeno de una disolución es [H؉] ‫ ؍‬4 ؒ 10؊8 mol/L:
pH ‫ ؍‬؊log (4 ؒ 10؊8 ) ‫ ؍‬؊log 4 ؊ log 10؊8 ‫ ؍‬؊log 4 ؉ 8 ‫ ؍‬7,4.
Si el pH es 7, la disolución se considera neutra; si es inferior a 7, ácida, y si es superior, básica.
Copia y completa la tabla de la ilustración y ordena las disoluciones de menor a mayor acidez.
[H؉]
Disolución
pH
1,26 ؒ 10؊13
Lejía común
7,94 и 10
Ϫ12
Amoníaco
10Ϫ8
Agua de mar
12,9
11,1
8
؊7
Agua
10
7
Leche
3,16 ؒ 10
6,5
Vinagre
1,26 и 10Ϫ3
2,9
؊7
4 ؒ 10
Zumo de limón
Ácido clorhídrico
؊3
1
2,4
0
A U T O E VA L U A C I Ó N
2.A1 Escribe usando notación científica las siguientes expresiones.
a) 24,3 billones
c) 3 220 000 ؒ 107
b) 47 diezmilésimas
d) 45,2 ؒ 10؊27
a) 2,43 и 1013
c) 3,22 и 1013
b) 4,7 и 10Ϫ3
d) 4,52 и 10Ϫ26
2.A2 Calcula las siguientes operaciones usando notación científica.
a) 25 000 000 ؒ 48 000 000
c) 42 000 000 ؒ 0,000 09
b) 0,000 000 12 ؒ 0,000 007
d) 3 600 000 : 0,000 004
a) 1,2 и 1015
c) 3,78 и 103
b) 8,4 и 10Ϫ13
d) 9 и 1011
2.A3 Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una única raíz.
2
——
3
——
a) 2 3 ؒ 2 2
c)
2
——
5
1
——
5
b) 30,333… ؒ 3
ᎏ2ᎏ
3
ᎏ3ᎏ
2
a) 2 и 2 ϭ 2
3
͙2ෆ ؒ ͙7ෆ
d) 3 :
ᎏ2ᎏ ϩ ᎏ3ᎏ
3
2
ᎏ2ᎏ
5
3
ᎏ1ᎏ
6
ϭ2
ᎏ1ᎏ ϩ ᎏ2ᎏ
3
5
b) 30,333… и 3 ϭ 3
6
ϭ ͙ෆ
213
ϭ3
1
ᎏ1ᎏ
15
c)
4
͙3ෆ3
3
6
23 и 72
͙2ෆ и ͙7ෆ ϭ ͙ෆ
e)
͙3ෆ
͙ෆ
͙ෆ
f)
2
͙ෆ
͙ෆ
e)
͙3ෆ
f)
25
͙ෆ
1
15
ϭ ͙ෆ
311
ᎏᎏ
4 3
20 4
20 15
20 Ϫ11
1
5
d) 3 : ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 : ͙ෆ
3 ϭ ͙ෆ
3 ϭᎏ
ᎏ
20
311
͙ෆ
3
5
8
6
2.A4 Ordena de menor a mayor los siguientes números.
3
——
54,
3
6
3
55, ͙5
ෆ
͙ෆ
12
ᎏ3ᎏ
4
12
6
12
͙5ෆ ϭ ͙5ෆ4 Ͻ 5 ϭ ͙5ෆ9 Ͻ ͙5ෆ5 ϭ ͙5ෆ10
47
2.A5 Realiza las siguientes operaciones cuando sea posible.
4
a)
ෆ
͙4096
c)
000
ෆෆ
͙؊250
b)
12
—
Ί—๶
324
d)
000
ෆෆ
͙؊125
a)
212 ϭ 23 ϭ 8
ෆ ϭ ͙ෆ
͙4096
c) No es posible, el radicando es negativo y el índice, par.
b)
12
1
1
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
Ίᎏ๶
324 Ί๶
27
3
d)
3
4
3
4
3
3
3
3
Ϫ125 000
Ϫ23 и 5ෆ6 ϭ Ϫ2 и 52 ϭ Ϫ50
ෆ ϭ ͙ෆ
͙ෆ
2.A6 Realiza las operaciones indicadas.
a) 2͙32
ෆ ؉ 5͙98
ෆ ؉ 8͙200
ෆ
b)
3
1
3
3
27a4 ؊ 5a ؒ ͙8a
ෆ ؉ —a— ͙1000a
ෆ7ෆ
͙ෆ
3
a) 2͙32
25 ϩ 5͙2ෆ
и 72 ϩ 8͙2ෆ
и 52 ϭ 2 и 22͙2ෆ ϩ 5 и 7͙2ෆ ϩ 8 и 2 и 5͙2ෆ ϭ 123͙2ෆ
ෆ ϩ 5͙98
ෆ ϩ 8͙200
ෆ ϭ 2͙ෆ
b)
3
1
3
3
3
3
1
3
3
27a4 Ϫ 5a и ͙8a
1000a7 ϭ 3a͙aෆ Ϫ 10a͙aෆ ϩ ᎏᎏ 10a2͙aෆ ϭ 3a͙aෆ
ෆ ϩ ᎏaᎏ ͙ෆ
͙ෆ
a
2.A7 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 512
1
c) log2 ——
8
b) log 100 000 000
d) log36 6
a) log2 512 ϭ log2 29 ϭ 9
1
1
c) log2 ᎏᎏ ϭ log2 ᎏᎏ3 ϭ log2 2Ϫ3 ϭ Ϫ3
8
2
b) log 100 000 000 ϭ log 108 ϭ 8
1
d) log36 6 ϭ log36 ͙36
ෆ ϭ ᎏ2ᎏ
2.A8 Sabiendo que log 2 ‫ ؍‬0,301, calcula los siguientes logaritmos.
a) log 16
b) log 40
5
c) log ——
4
a) log 16 ϭ log 24 ϭ 4 log 2 ϭ 1,204
b) log 40 ϭ log (4 и 10) ϭ log 4 ϩ log 10 ϭ 2 log 2 ϩ 1 ϭ 1,602
5
10
c) log ᎏᎏ ϭ log 5 Ϫ log 4 ϭ log ᎏᎏ Ϫ log 22 ϭ log 10 Ϫ log 2 Ϫ 2 log 2 ϭ 1 Ϫ 3 log 2 ϭ 0,097
4
2
2.A9 Un cubo tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Calcula su superficie, expresando el resultado mediante
radicales.
3
3
V ϭ a3 ϭ 2 ⇒ a ϭ ͙2ෆ ⇒ S ϭ 6a2 ϭ 6͙ෆ
22 m2
2.A10 Una especie duplica su población cada año. Si la población inicial era de 100 individuos, ¿cuántos años
pasarán hasta que se supere el millón?
Llamando t al número de años, hay que resolver:
4
100 и 2t Ͼ 1 000 000 ⇒ 2t Ͼ 10 000 ⇒ log 2t Ͼ log 10 000 ϭ 4 ⇒ t Ͼ ᎏᎏ Ϸ 13,28. Pasarán 14 años.
log 2
48
E N T R E T E N I D O
La matrícula del taxi
Cuando Ramanujan enfermó, Hardy iba a verle al hospital. Un día, le comentó que había llegado en un taxi de
matrícula 1729, un número que Hardy calificó de soso.
Ramanujan le contestó inmediatamente:
—Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos
de dos maneras diferentes.
Comprueba que Ramanujan tenía razón.
Cada número natural parecía ser amigo personal de Ramanujan. Además, debía saberse de memoria los cubos de unos cuantos números.
Efectivamente:
1729 ‫ ؍‬103 ؉ 93
1729 ‫ ؍‬123 ؉ 13
Otros números que cumplen esto:
(9, 15) y (2, 16)
(15, 33) y (2, 34)
(16, 33) y (9, 34)
(19, 24) y (10, 27)
Es decir:
93 ϩ 153 ϭ 23 ϩ 163 ϭ 4104
153 ϩ 333 ϭ 23 ϩ 343 ϭ 39 312
163 ϩ 333 ϭ 93 ϩ 343 ϭ 40 033
193 ϩ 243 ϭ 103 ϩ 273 ϭ 20 683
Ramanujan tenía razón… 1729 no es un número soso.
49