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SESIÓN 2.
Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado.
Comenzamos con la definición de ecuación de segundo grado.
Ejemplos:
Son ejemplos de ecuaciones de segundo grado, pues el
mayor exponente al que aparece elevada la incógnita es dos.
3y-y2=0
3x2-48=0
9t2-6t+1=0
La ecuación puede ser
completa:
Ejemplos:
ax2+bx+c=0
con 0,
0,
4x2-4x+1=0
0
x2-6x-16=0
o puede ser incompleta:
•
0,
0deltipo
•
0,
0 del tipo
•
0,
0 del tipo
ax2+bx=0
ax2+c=0
ax2=0
-3x2-6x+12=0
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita, tiene dos raíces que denotaremos x1 y x2
Podemos escribir en forma abreviada:
,
√
1
Como ejemplo resolveremos las siguientes ecuaciones:
Observemos que
5
a)
Las raíces son números
reales y distintos.
6
0
5
,
2
√4
2
,
2
√ 16
2
2
4"
,
,
24
5
,
√1
2
luego x1=3 y x2=2
Observemos que
√25
2
b)
2
5
0
20
Las raíces son números
complejos conjugados.
2
luego x1=1+2i y
Observemos que
Las raíces son números
reales e iguales (raíz
doble).
x2=1-2i
c) 9
6
1
6
√36
2
,
6
,
0
36
√0
2
luego x1=-3 y x2=-3
2
De los ejemplos anteriores resulta que, según el signo del discriminante ∆, tenemos:
Observemos que
5
en el ejemplo
6
0
Tenemos ∆=1
Observemos que
2
en el ejemplo
5
0
Si
4
distintas.
% 0, la ecuación tiene dos raíces reales y
Si
4 & 0, la ecuación tiene dos raíces complejas
conjugadas.
tenemos ∆=-16
Observemos que
en el ejemplo 9
4
0, la
Si
única solución real;
raíz doble.
6
1
0
ecuación tiene una
diremos que es una
tenemos ∆=0
Si las raíces de una ecuación cuadrática son x1 y x2, la ecuación puede factorizarse así:
∙(
)∙(
)
0
Ejemplo:
Observemos que
4
4
1
Si extraemos 4 factor común tenemos
5
en el ejemplo
6
0
4∙(
1/4)
0
tenemos ∆=1
se tiene que x=1/2 es raíz doble de la ecuación, es decir, se
puede escribir
4(
1
)
2
Retomaremos los ejemplos dados anteriormente con el fin de
analizarlos.
Podemos escribir la
ecuación como
2∙2
1
)(
2
A continuación daremos otra forma de resolución para las
ecuaciones de segundo grado completas. A este procedimiento se
lo llama completar cuadrados.
Observemos que
(2 )
1
) +4(
2
1
0
3
a) 4
4
1
0
El primer miembro de la igualdad es el desarrollo del cuadrado de binomio (2
resulta
(2
Entonces (2
1)(2
1)
0
1)
1) ; luego
0
y
x1=1/2 y x2=1/2
Observemos que
El primer miembro de la igualdad no
corresponde al desarrollo del cuadrado de un
binomio. Pues si bien 16 es 42, el coeficiente de x
debería ser el doble de 4, es decir 8 y no lo es.
El coeficiente de x es 6, que lo podemos escribir
como 2·3, es decir el doble de 3.
6
b)
16
0
Al procedimiento que aplicaremos para este
caso se lo llama completar cuadrados
Ahora sumamos y restamos el cuadrado de la
mitad del coeficiente de x, esto es el cuadrado de
3.
(
6
9)
16
9
Asociando convenientemente
(
6
9)
25
0
(
3)
25
6
El paréntesis corresponde al desarrollo del
cuadrado de un binomio.
3
3
16
9
9
0
5,-., "/
0
8
5,-., "/
2
Observemos que
|
Otro modo de resolver (
3)
25
es por medio de la definición de valor absoluto.
3|
3
3
√25
5 ;
5;
8
2
4
3
6
Observemos que
c)
Como el coeficiente de x2 no es 1 extraemos (-3)
factor común.
( 3) 2 (
2
12
2
4
4)
0
0
0
Luego para que la igualdad se cumpla, debe ser:
(
1)
5
Completando cuadrados se obtiene
1
Luego, las soluciones son
√5
1
√5
Las ecuaciones incompletas también pueden resolverse directamente como mostramos a
continuación:
Ejemplo:
En este caso
a) 4
0
0
0
entonces las soluciones siempre
son
0
0
0
b) 3
En este caso
0 y
48
48
3
0
y no hace falta utilizar la fórmula
En este caso
es factor común y, por tanto,
una raíz es cero
0
16
4
4
b) 3
0
(3
(3
)
)
0
0
0
0
Ahora queremos resolver la ecuación
5
1
2
5
Observemos que
3 (45 )
5
2(
)
10
2
10
(
1)
Si la ecuación es cuadrática, pero
no tiene la forma
2
0,
se resuelven todas las
operaciones indicadas para
reducir a esa forma.
2
2
10
2
√6
1
9
2
Aplicando la fórmula ya vista,
resulta:
1
9
"
0
0
0
√6
y
"
Ahora resolvemos algunos problemas cuyas soluciones involucran ecuaciones de segundo grado.
Ejemplo:
Dada la ecuación
∆
8
12
4
0
queremos hallar los valores de c para que las dos raíces de
la ecuación sean reales y distintas.
∆
( 12)
4
El valor del discriminante en este caso es ∆
∆
144
144
4
4
Para que las dos raíces sean reales y distintas, debe ocurrir que el discriminante sea mayor que
cero. Luego
144
4 % 0, es decir
De este modo,
12
% 36
39
0 es un ejemplo del tipo de ecuación que se pide.
6
Ejemplo:
La suma del área de un cuadrado más su perímento es 60. ¿
Cuánto mide el lado del cuadrado?
Resolvemos la ecuación
4
60
0
Obtenemos que las raíces son
4
,
4
√256
2
16
2
Si llamamos x la longitud del lado del cuadrado, su área es x2
Y su perímetro es 4x. La suma del parea del cuadrado más
su perímetro es 60, es decir,
4
60
Verificación:
Las soluciones verifican la ecuación, pero únicamente
6
( 10)
4∙6
60
6
4 ∙ ( 10)
es solución pues la longitud no puede ser negativa.
60
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Resolver las siguientes ecuaciones:
0
2
0
4
9 0
11 0
8
16
0
3
4 28
(
5)(
1) 5 0
4
7 0
(
1)
9
4
:4
5
4
3
A continuación se propone resolver problemas en los cuales están involucrados
ecuaciones de segundo grado.
(; 2)
2. Dada la ecuación 8
10 0 hallar los valores de m para que las dos
raíces sean iguales.
3. La suma de un número positivo y su cuadrado es 42. Hallar dicho número.
4. Hallar dos números consecutivos cuyo producto es 380.
5. El producto de un número negativo por su tercera parte es 27. Calcular dicho número.
6. Calcular las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su área es 405 cm2 y su
perímetro 84 cm.
7
7. Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida, en cm., tres números pares
consecutivos. Hallar los valores de dichos lados.
8. Dentro de 11 años la edad de Marcela será la mitad del cuadrado de la edad que tenía
hace 13 años. Calcular la edad de Marcela.
9. Un poste de luz de 7 metros se rompe a una cierta altura del suelo y al doblarse, la punta
libre del trozo roto cae a 3 m de la base del poste. ¿ A qué altura se rompió?
AUTOEVALUACION.
1. Una solución de 2x2 – 6x + 3 = 0 es
a) 0
b) 3/2
c)
d)
2.
a)
b)
c)
d)
: √:
:5√:
Una solución de ( x – 2 )2 + ( x + 1 )2 = x+7
5/2
-1/2
-2
-5/2
3. El conjunto solución de
a)
b)
c)
d)
4(4
4
)
:
4
0
3
4
1; 3
1; 4
4. La longitud de un terreno rectangular excede en 7 m a la del ancho. Si el área del terreno
es 120m2, ¿cuáles son sus dimensiones? Si x representa la medida del mancho, entonces
una ecuación que permite resolver el problema es:
a)
4(456)
=120
b) ( + 7) = 120
c)
+ ( + 7) = 120
d) 2 + 2( + 7) = 120
5. El largo de un rectángulo excede al ancho en 4 cm. Si cada dimensión se aumenta en 4
cm, entonces el área del rectángulo sería el doble de la original. ¿Cuál es la medida en
centímetros del ancho del rectángulo original?
a)
b)
c)
d)
4
8
12
16
8
BIBLIOGRAFIA
Dennis Zill – Jacqueline Dewar . Álgebra y Trigonometria. Segunda Edicion. Editorial
Mcgraw-Hill
Barnett Rich. Álgebra Elemental. Teoría y 2700 problemas resueltos. Shaum-Mcgraw-Hill
Murray R. Spiegel. Álgebra Superior. Teoría y 1940 problemas resueltos. ShaumMcgraw-Hill
Leithold. Matemáticas previas al cálculo. Tercera edición. Oxford, México, 2007.
9