1. No category

Ejercicio 20, p. 89, del libro de Evans
)
28 de mayo de 2015
Tratamos de resolver el ejercicio 20, p. 89, del libro de L. C. Evans, Partial
Differential Equations, 2.a ed., AMS, 2010.
Ejercicio. Supongamos que para alguna función de atenuación α = α(r ), y
una función de retardo β = β(r ) ≥ 0, para todos los perfiles φ existen soluciones
de la ecuación de las ondas en Rn \ {0} × R de la forma
u( x, t) = α( r ) φ( t − β( r )),
donde r = | x| y suponemos β(0) = 0.
Ver que esto es posible sólo si n = 1 o 3, y calcular la forma de las funciones
α y β.
- Evans pide β(0) = 0, a pesar de que en realidad u(x, t) está definida para
x 6= 0. Por supuesto que se sobreentiende que α y β tienen dos derivadas
continuas, y podemos suponer que lı́mr↓0 β(r) existe y es β(0).
- Evans menciona el artículo de T. Morley A simple proof that the world is
three-dimensional (SIAM Review 27, 1985, p. 69–71), donde se dan datos
históricos, y se enuncia y prueba el siguiente resultado:
Teorema. La propagación de ondas simétricas radiales sin distorsión es
posible sólo en dimensiones 1 y 3. Sin embargo, en dimensión 1 no hay
atenuación.

- La demostración de Morley es esencialmente la misma que la que presentamos con algunas diferencias:
• Morley pone la condición α(0) = 1 que Evans no menciona.
Como veremos, la solución para n = 3 es α(r) = b/r , para alguna
constante b, y nunca puede satisfacerse α(0) = 1 salvo que b = 0: M.
• Morley no distingue el caso n = 2, donde la solución de (4) que damos
en (7) no es una potencia de r : MM.
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k
En lo que sigue descartamos la solución trivial
α( r ) = 0 y β arbitraria,
válida para cualquier n.
Si f ( x) = g(| x|) es una función radial, en principio definida para x 6= 0,
poniendo r = | x| tenemos (Evans, p. 21):
x
∇ f ( x) = g 0 ( r ) ,
r
∆ f ( x) = g00 ( r ) +
n−1 0
g ( r ),
r
válidas aún para n = 1 (en cuyo caso x/r = signo x).
(1)
Ponemos
ψ( r, t) = φ( t − β( r )),
y para no confundir
α̃( x) = α( r ),
β̃( x) = β( r ),
ψ̃( x, t) = ψ( r, t),
con r = | x|.
A partir de (1), tenemos el gradiante y laplaciano (en x) para α̃:
x
∇α̃ = α0 ( r ) ,
r
∆α̃ = α00 ( r ) +
(2)
n−1 0
α ( r ).
r
Para hacer el equivalente para ψ̃, primero calculamos
∂ψ
∂r
∂2 ψ
∂r2
= −φ0 ( t − β( r )) β0 ( r ),
¡
¢2
= φ00 ( t − β( r )) β0 ( r ) − φ0 ( t − β( r )) β00 ( r ),
y usando nuevamente (1),
∂ψ x
x
= −φ0 ( t − β( r )) β0 ( r ) ,
∂r r
r
∂2 ψ n − 1 d ψ
∆ψ̃ = 2 +
r dr
∂r
µ
¶
¡
¢2
n−1 0
= φ00 ( t − β( r )) β0 ( r ) − β00 ( r ) +
β ( r ) φ0 ( t − β( r )).
r
∇ψ̃ =
(3)
Por sencillez, en lo que sigue eliminamos los argumentos r y t − β(r ).
Usando (2) y (3):
∆ u = ∆(α̃ ψ̃) = ψ̃ ∆α̃ + 2 ∇α̃ · ∇ψ̃ + α̃ ∆ψ̃
µ
¶
µ
µ
¶ ¶
¡ ¢2
n−1 0
n−1 0 0
= α00 +
α φ − 2α0 φ0 β0 + α φ00 β0 − β00 +
β φ
r
r
µ
¶
µ
µ
¶¶
¡ ¢2
n−1 0
n−1 0
00
0 0
00
0
= α +
α φ − 2α β + α β +
β φ + α β0 φ00 .
r
r
Como u tt = αφ00 , queda
0 = u tt − ∆ u
µ
µ
¶¶
µ
¶
³
¡ 0 ¢2 ´ 00
n−1 0
n−1 0
0
00
0 0
00
β φ − α +
α φ.
= 1− β
αφ + 2α β + α β +
r
r
Siendo φ arbitraria, poniendo sucesivamente φ igual a una constante,
una lineal y una cuadrática, vemos que los factores multiplicando φ, φ0 y φ00
deben anularse:
0 = α00 +
n−1 0
α,
r µ
0 = 2α0 β0 + α β00 +
2
(4)
n−1 0
β ,
r
¶
(5)
³
¡ ¢2 ´
0 = α 1 − β0 .
(6)
Las soluciones a (4) son de la forma
(
α( r ) =
b r 2−n + c
b log r + c
si n 6= 2,
si n = 2,
(7)
donde b y c son constantes.
- Para n ≥ 2 esto está en el libro de Evans, p. 22, y para n = 1 se puede ver
observando que α debe ser lineal por (4).
Observemos que salvo el caso b = c = 0 (que hemos descartado), α se anula
a lo sumo en un punto, y la continuidad de β0 nos permite afirmar a partir
de (6) que β0 (r ) = ±1. Como pedimos β(r ) ≥ 0 y β(0) = 0, debe ser
(8)
β( r ) = r.
Entonces β0 = 1, β00 = 0 y (5) queda
0 = 2α0 + α
n−1
.
r
Usando (7), para n ≥ 3 la ecuación (9) se transforma en:
b r 2−n + c
r
n−1
2 (2 − n) + n − 1
b+
c.
=
r
r n−1
n−1
3−n
= n−1 b +
c,
r
r
0 = 2 b (2 − n) r 1−n + ( n − 1)
mientras que para n ≥ 2 la ecuación (9) es
0=
2 b b log r + c 2 b + c
log r
+
=
+b
.
r
r
r
r
Entonces:
• Si n = 1, debe ser b = 0, y las soluciones son
α( r ) = c,
β( r ) = r,
para alguna constante c.
• Si n = 3, debe ser c = 0, y las soluciones son
α( r ) =
b
,
r
β( r ) = r,
para alguna constante b.
• Si n 6= 1 y n 6= 3, debe ser b = c = 0, y
la única solución es la solución nula.
3
(9)