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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
1
– Vibración y oscilación
02/10/2015
1.–
¿Cuál sería en Marte el periodo de las oscilaciones de amplitud corta de un péndulo simple que
en la Tierra oscila con un periodo de 1,4 s?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de Marte: gM = 3,71 m s−2
1
1
2.–
Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se
observa un alargamiento de 5 cm. Si a continuación, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el
muelle 2 cm más, y se suelta, comienza a oscilar.
a) Haga un análisis energético del problema y escriba la ecuación del movimiento de la masa.
b) Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm se estira 3 cm, ¿cómo se modificaría la ecuación del
movimiento del cuerpo?
3.–
Al suspender una masa de 1,0 kg de un muelle, este se deforma 5,0 cm.
a) Calcule la constante elástica del muelle.
b) Si separamos el muelle 12 cm de su posición de equilibrio y lo dejamos en libertad, calcule la
frecuencia y la amplitud del movimiento armónico simple que describe la masa.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
4.–
1
Al suspender una masa de 250 g de un muelle, este se deforma 5,0 cm.
a) Calcule la constante elástica del muelle.
b) Si se separa el muelle 12 cm de su posición de equilibrio y se le deja en libertad, calcule la
frecuencia y la amplitud del movimiento armónico simple que describe la masa.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,8 m s–2
1
5.–
Calcule los valores máximos de la posición, velocidad y aceleración de un punto que oscila
según la función x = cos (2 π t + φ0) metros, donde t se expresa en segundos.
6.–
1
1
1
1
1
Comente brevemente la influencia que tienen en la medida de g con un péndulo:
a) la amplitud de las oscilaciones;
b) el número de oscilaciones medidas;
c) la masa del péndulo.
7.–
Considere un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm, frecuencia 0,25 Hz y fase inicial
π/12 radianes (también denominada constante de fase).
a) Obtenga las ecuaciones de la posición x, la velocidad v y la aceleración a en función del tiempo.
b) Represente gráficamente x, v y a en función de tiempo (no es necesario una representación exacta,
basta simplemente con indicar los valores máximos y mínimos de cada función, los puntos de corte
con los ejes y la forma de las funciones).
8.–
Considere un movimiento armónico simple de amplitud 5,0 cm, frecuencia 0,50 Hz y fase inicial
π radianes (también denominada constante de fase).
a) Obtenga las ecuaciones de la posición x, la velocidad v y la aceleración a en función del tiempo.
b) Represente gráficamente x, v y a en función de tiempo (no es necesario una representación exacta,
basta simplemente con indicar los valores máximos y mínimos de cada función, los puntos de corte
con los ejes y la forma de las funciones).
9.–
Considere un objeto que realiza un movimiento armónico simple con la siguiente ecuación para
la aceleración en función del tiempo: a = −490 cos (9,90 t) cm s–2.
a) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación?
b) ¿En qué tiempos alcanza el objeto los máximos desplazamientos?
10.–
Considere una partícula de 20 g de masa que realiza un movimiento armónico simple de
amplitud 0,10 m y frecuencia angular 2,0 rad s–1. En el instante inicial (t = 0 s) se encuentra en la
posición x = 0 m. ¿Cuál es la energía total de la partícula? Calcule también su energía cinética y su
energía potencial:
a) en función de la posición;
b) en función del tiempo.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
1
1
– Vibración y oscilación
02/10/2015
11.–
Considere una partícula que describe un m.a.s. de amplitud 2 m, frecuencia angular 2 rad s−1 y
fase inicial nula. Calcule la energía cinética y potencial para toda posición x y todo instante de tiempo
t e indique para qué valores de x y t dichas energías alcanzan sus valores máximos.
12.–
Cuando una masa de 500 g se cuelga de un muelle colocado en posición vertical, el muelle se
estira 45 cm. Determine:
a) la constante elástica del muelle;
b) el nuevo alargamiento si agregamos una masa de 350 g a la que se colgó primero.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
1
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13.–
Determine la función que define la energía potencial de un oscilador armónico que parte del
origen de coordenadas en función de su elongación.
14.–
Dos partículas de masas m y 3m oscilan en un movimiento armónico simple. Cada una de ellas
está atada al extremo de un muelle. Se sabe que ambos muelles son idénticos, es decir, que sus
constantes de recuperación k toman el mismo valor. Calcule, suponiendo que m = 2,0 kg, que la
constante del muelle vale 40 N m−1 y que la masa m oscila con una amplitud de 0,50 m,
a) el cociente entre los periodos de las dos partículas;
b) el periodo de oscilación de cada uno de los dos muelles;
c) cuánto vale la energía cinética de esta masa cuando x = A/2;
d) la velocidad máxima con la que puede llegar a oscilar la masa m.
15.–
El émbolo de una máquina de vapor tiene un recorrido D = 100 cm y
comunica al eje una velocidad angular de 60 rpm. Si consideramos que el
movimiento del émbolo describe un movimiento armónico simple, deduzca el
valor de la velocidad que tiene cuando está a una distancia de 20 cm de uno
de los extremos del recorrido.
16.–
El extremo izquierdo (origen de coordenadas) de una cuerda oscila con un movimiento armónico
simple de amplitud 20 cm. La cuerda, de masa 400 g y longitud 80 cm, se halla en tensión al tirar del
otro extremo un fuerza de 2,0 N. En el instante inicial (t = 0) el desplazamiento vertical del extremo
que oscila es nulo y se mueve hacia abajo. Sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos
que oscilan en fase es de 20 cm, obtenga la ecuación de la onda armónica transversal generada.
Datos: La velocidad v de una onda en una cuerda de densidad de masa lineal μ (masa por unidad de longitud)
sometida a una tensión F es 𝑣𝑣 = �𝐹𝐹 ℓ 𝜇𝜇
17.–
1
1
En el caso de un movimiento armónico simple,
a) cuando la elongación es la mitad de la amplitud, ¿qué fracción de la energía total corresponde a la
energía potencial?;
b) ¿para qué elongación se igualan las energías potencial y cinética?
18.–
En el extremo libre de un resorte colgado del techo, de longitud 40 cm, se cuelga un objeto de
50 g de masa. Cuando el objeto está en posición de equilibrio con el resorte, este mide 45 cm. Se
desplaza el objeto desde la posición de equilibrio 6,0 cm hacia abajo y se suelta desde el reposo.
Calcule:
a) el valor de la constante elástica del resorte y la función matemática del movimiento que describe
el objeto;
b) la velocidad y la aceleración al pasar por el punto de equilibrio cuando el objeto asciende.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
19.–
En el laboratorio de Física se dispone de un cronómetro, de un juego de
pesas y de un resorte cuya constante elástica se quiere determinar. Para ello
se cuelgan diferentes masas del resorte, se deja oscilar libremente y se mide
el tiempo que invierte en diez oscilaciones. Los resultados se presentan en la
tabla.
1
1
1
t −10 oscilaciones− (segundos)
7,0
5,9
5,0
m (gramos)
397,5
282,2
202,8
Explique el tratamiento de datos necesario para determinar la constante
elástica del resorte y halle su valor.
20.–
En el laboratorio de Física se dispone de un cronómetro, de un juego de
pesas y de un resorte cuya constante elástica se quiere determinar. Para ello
se cuelgan diferentes masas del resorte, se deja oscilar libremente y se mide
el tiempo que invierte en diez oscilaciones. Los resultados se presentan en la
tabla. Explique el tratamiento de datos necesario para determinar la constante
elástica del resorte y halle su valor.
t −10 oscilaciones− (segundos)
8,4
7,2
6,4
5,7
m (gramos)
357
265
210
168
21.–
En el laboratorio de Física tenemos un carrito de masa m = 200 g unido
a un muelle horizontal según se muestra en la figura. Un estudiante desplaza
el carrito hacia la derecha de modo que el muelle se estira 20 cm, y después
lo suelta dejándolo oscilar libremente (suponemos que el muelle es un medio
elástico ideal y que los rozamientos son despreciables).
a) Explique razonadamente qué clase de movimiento describe el carrito.
b) Se cronometra el tiempo que tarda el carrito en describir diez
oscilaciones completas: este tiempo resulta ser de 25,13 s. Calcule la
constante k del muelle y escriba la ecuación de su movimiento.
c) ¿Cuál es la energía total del movimiento del carrito en cualquier
instante? ¿Qué velocidad tiene el carrito cada vez que pasa por el punto
central en cada oscilación?
22.–
En el laboratorio del instituto medimos cinco veces el tiempo que un péndulo simple de 1,0 m de
longitud tarda en describir 45 oscilaciones de pequeña amplitud. Los resultados de la medición se
muestran en la tabla. Determine el valor de la aceleración de la gravedad.
1
Experiencia
1
2
3
4
5
Nº oscilaciones
45
45
45
45
45
Tiempo (s)
89
91
88
90
92
23.–
En el laboratorio del instituto medimos cinco veces el tiempo que un péndulo simple de 80,0 cm
de longitud tarda en describir 40 oscilaciones de pequeña amplitud. Los resultados de la medición se
muestran en la tabla. Determine el valor de la aceleración de la gravedad.
1
Experiencia
1
2
3
4
5
Nº oscilaciones
40
40
40
40
40
Tiempo (s)
72
74
72
71
70
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
24.–
En el laboratorio del instituto medimos cinco veces el tiempo que un péndulo simple de 90,0 cm
de longitud tarda en describir 50 oscilaciones de pequeña amplitud. Los resultados de la medición se
muestran en la tabla. Determine el valor de la aceleración de la gravedad.
1
Experiencia
1
2
3
4
5
Nº oscilaciones
50
50
50
50
50
Tiempo (s)
95
96
95
98
97
25.–
En el laboratorio del instituto medimos cinco veces el tiempo que un péndulo simple de 90,0 cm
de longitud tarda en describir 40 oscilaciones de pequeña amplitud. Los resultados de la medición se
muestran en la tabla. Determine el valor de la aceleración de la gravedad.
1
Experiencia
1
2
3
4
5
Nº oscilaciones
40
40
40
40
40
Tiempo (s)
76
77
76
78
78
1
26.–
En el laboratorio del instituto medimos el tiempo que un péndulo simple de 90,0 cm tarda en
describir 15 oscilaciones de pequeña amplitud. Determine el valor de la aceleración de la gravedad si
dicho tiempo es 28,4 s.
1
27.–
En el laboratorio se ha medido cuatro veces el tiempo que tarda una esferita que pende de un
hilo de 40,0 cm de longitud en realizar 10 oscilaciones completas de pequeña amplitud. Los resultados
de la medición son 12,7, 12,9, 12,6 y 12,6 s. Estime el valor de la aceleración de la gravedad.
1
1
1
1
28.–
En la determinación de la constante elástica de un resorte podemos utilizar dos tipos de
procedimientos. En ambos casos, se obtiene una recta a partir de la cual se calcula la constante
elástica. Explica cómo se determina el valor de la constante a partir de dicha grafica para cada uno de
los dos procedimientos, indicando qué tipo de magnitudes hay que representar en los ejes de abscisas y
de ordenadas.
29.–
En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial
(EP) de un oscilador armónico simple constituido por una masa puntual de
valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de su elongación (x).
a) Calcule la constante elástica del muelle.
b) Calcule la aceleración máxima del oscilador.
c) Determine numéricamente la energía cinética cuando la masa está en la
posición x = +2,3 cm.
d) ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su velocidad
es igual a la cuarta parte de su velocidad máxima?
30.–
En la medida de la constante elástica de un resorte por el método dinámico, ¿qué influencia tiene
en el período:
a) la amplitud?;
b) el número de oscilaciones?;
c) la masa del resorte? ¿Qué tipo de gráfica se construye a partir de las magnitudes medidas?
31.–
En la práctica de la medida de g con un péndulo, ¿cómo conseguiría (sin variar el valor de g) que
el péndulo duplicase el número de oscilaciones por segundo? ¿Influye el valor de la masa del péndulo
en el valor del período?
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
1
– Vibración y oscilación
02/10/2015
32.–
En la vida cotidiana estamos sometidos a movimientos vibratorios. Por ejemplo, al caminar,
correr, viajar en algún medio de locomoción o estar cerca de alguna máquina. Cuando se diseñan
vehículos y máquinas, es necesario hacer un estudio de estos movimientos, ya que los efectos de las
vibraciones pueden ir desde simples molestias hasta el dolor o la muerte. Estos estudios suelen utilizar
la aceleración máxima del movimiento vibratorio como variable para relacionarla con las molestias
que percibimos. Se sabe que somos muy sensibles a un movimiento vibratorio de 6,0 Hz y que con
esta frecuencia, a partir de una aceleración máxima de 6,0 m s–2, las molestias son tan fuertes que nos
podemos llegar a alarmar.
a) Calcule la amplitud de oscilación que corresponde a un movimiento vibratorio armónico de
6,0 Hz y una aceleración máxima de 6,0 m s–2.
b) Calcule el valor de la constante elástica de un muelle para que una masa de 85 kg pegada a ella
oscile con una frecuencia de 6,0 Hz.
33.–
En un laboratorio de Física instalado en la Luna se dispone de tres péndulos simples. Para cada
uno de ellos se mide el tiempo que invierte en realizar 5 oscilaciones completas. Los datos están
listados en la tabla inferior. Explique cómo puede calcularse la aceleración de la gravedad en La Luna
y determine su valor a partir de estos datos.
1
1
Péndulo
1
2
3
Longitud (cm)
125
187
221
Tiempo de 5 oscilaciones (segundos)
27,6
33,8
36,7
34.–
35.–
En un oscilador armónico que tiene una frecuencia de 0,12 Hz, la posición inicial de la partícula
es x = −3,0 cm y se suelta con velocidad nula. Determine:
a) la amplitud del movimiento;
b) la máxima aceleración de la partícula;
c) la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio.
36.–
1
1
En un oscilador armónico se cumple que:
a) la velocidad v y la elongación x son máximas simultáneamente;
b) el periodo de oscilación T depende de la amplitud A;
c) la energía total ET se cuadriplica cuando se duplica la frecuencia.
37.–
En un sistema aislado, dos masas idénticas M están separadas una
distancia a. En un punto C de la recta CE perpendicular a a por a/2 se coloca
otra masa m en reposo. ¿Qué le ocurre a m?
a) Se desplaza hasta O y se para.
b) Se aleja de las masas M.
c) Realiza un movimiento oscilatorio entre C y E.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
38.–
En una experiencia de laboratorio, medimos la longitud de un muelle vertical fijo por el extremo
superior mientras que colgamos diferentes masas del extremo inferior. En la tabla siguiente se
encuentran los resultados obtenidos, donde ∆ℓ representa el incremento de longitud del muelle cuando
se cuelga del extremo inferior una masa m.
1
m (g)
200
300
400
500
600
700
∆ℓ (cm)
32,7
49,0
65,3
81,7
98,0
114,3
a) Represente gráficamente el alargamiento (ordenada) en función de la fuerza que actúa sobre el
muelle (abscisa). Escriba la ecuación de la función que ajusta los valores experimentales.
b) Determine la constante elástica del muelle. Exprese el resultado en las unidades del Sistema
Internacional (SI).
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
39.–
En una práctica para medir la constante elástica k por el método dinámico, se obtiene la siguiente
tabla. Calcule la constante del resorte.
1
1
1
1
1
1
m (g)
5
10
15
20
25
t (s)
0,20
0,28
0,34
0,40
0,44
40.–
41.–
En uno de los extremos de un muelle de constante elástica es 35 N m−1 se coloca un bloque cuyo
masa es de 50 g mientras que el otro extremo se mantiene fijo. Este sistema se sitúa sobre una
superficie horizontal de manera que oscila con una amplitud de 4,0 cm. Suponiendo que el bloque se
encuentra a 1,0 cm de su posición de equilibrio y que el rozamiento es despreciable, averigüe:
a) la fuerza ejercida sobre el bloque;
b) la aceleración adquirida por el bloque;
c) el trabajo que cuesta estirar ese muelle;
d) la velocidad del bloque.
42.–
Escriba la ecuación del movimiento armónico simple, indique el significado físico de cada uno
de sus términos y cite dos ejemplos de este tipo de movimiento.
43.–
Explique en qué puntos la velocidad y la aceleración de un m.a.s. (movimiento armónico simple)
adquieren su valor máximo.
44.–
Explique, brevemente, las diferencias en el procedimiento para calcular la constante elástica de
un resorte (k) por el método estático y por el método dinámico.
45.–
Hacemos oscilar un objeto enganchado a una cuerda de 40 cm de longitud, como si fuese un
péndulo, de manera que cuando el objeto se encuentra en el punto más alto de la trayectoria la cuerda
forma un ángulo de 37° con la vertical.
a) El objeto pasará por el punto más bajo del recorrido a una velocidad de:
a.1) 2,50 m s−1;
a.2) 2,80 m s−1;
a.3) 1,26 m s−1.
b) La tensión de la cuerda:
b.1) es máxima en el punto más alto del recorrido;
b.2) es máxima en el punto más bajo del recorrido;
b.3) hace un trabajo positivo sobre el objeto cuando pasa del punto más alto al más bajo de
la trayectoria.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
46.–
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1
1
– Vibración y oscilación
02/10/2015
Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas:
a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto
de un punto y de sentido opuesto, el movimiento de la partícula es armónico
simple.
b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si
aumenta la energía.
47.–
Justifique la relación k/m = ω2 para un movimiento armónico simple, siendo k la constante
elástica recuperadora.
48.–
Justifique si la energía mecánica de un oscilador armónico simple es función de:
a) la velocidad;
b) la aceleración;
c) es constante.
49.–
La aceleración del movimiento de una partícula viene expresada por la relación a = −k y, siendo
y el desplazamiento respecto a la posición de equilibrio y k una constante. ¿De qué movimiento se
trata? ¿Qué representa k? ¿Cuál es la ecuación del citado movimiento? Razone las respuestas.
50.–
La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y armónica,
en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una amplitud A = 2 cm.
a) Obtenga la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntela
gráficamente. Tome el origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación.
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la
intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre?
51.–
La ecuación de un m.a.s. es x (t) = 3 · sen (2 π t + π). Calcule la velocidad a los 0,25 s de
iniciarse el movimiento. Calcule también la aceleración cuando ha transcurrido 1/8 s desde el inicio
del movimiento.
52.–
La frecuencia de oscilación, f, de una masa m unida a un resorte es el doble f = 2 f’ que la de
otra masa m’ unida a otro resorte de las mismas características que el anterior. Establezca la relación
entre ambas masas.
53.–
La gráfica adjunta representa la energía cinética, en función del tiempo,
de un cuerpo sometido solamente a la fuerza de un muelle de constante
elástica k = 100 N m−1. Determine razonadamente el valor de la energía
mecánica del cuerpo, de su energía potencial máxima y de la amplitud del
movimiento.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
1
1
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
54.–
La hoja de una sierra de calar mide 8,0 cm de altura y realiza un
movimiento armónico simple en dirección vertical (eje Oy), con un período
de 0,20 s y una amplitud de 12 mm. Se toma como origen de coordenadas el
centro de oscilación del punto central de la hoja de sierra, y se consideran
positivas las posiciones que quedan más arriba que el origen. En el instante
inicial, el punto central pasa por el origen de coordenadas y se mueve hacia
arriba.
a) Escriba la ecuación del movimiento del punto central de la hoja de sierra.
b) Escriba la ecuación del movimiento del punto superior de la hoja de
sierra.
c) Calcule el tiempo que tarda el punto central de la hoja en moverse desde
el origen hasta un punto cuya posición es y = 6,0 mm.
d) Calcule el tiempo que tarda el punto central de la hoja en moverse desde
y = 6 mm hasta y = 12 mm.
55.–
La Ley de Hooke establece que la fuerza ejercida por un muelle sobre
un cuerpo sometido a su acción es directamente proporcional al
desplazamiento relativo desde la posición de equilibrio y opuesto a dicho
desplazamiento. Los resultados de las mediciones efectuadas en el laboratorio
para estudiar dicha ley se muestran en el gráfico adjunto. Determine el valor
de la constante elástica del resorte en unidades del SI y explique el
procedimiento seguido para su cálculo.
56.–
La Ley de Hooke establece que la fuerza F ejercida por un resorte sobre
un cuerpo sometido a su acción es directamente proporcional al
desplazamiento relativo x desde la posición de equilibrio estable (x = L − L0,
siendo L0 la longitud natural del resorte y L la longitud del resorte cuando
éste ejerce fuerza) y opuesto a dicho desplazamiento. Los resultados de las
mediciones efectuadas en el laboratorio para estudiar dicha ley se muestran
en el gráfico adjunto. Determine el valor de la constante elástica del resorte
en unidades del SI y explique el procedimiento seguido para su cálculo.
1
57.–
La masa de los astronautas en el espacio se mide con un aparato que se basa en el movimiento
vibratorio armónico. Cuando el astronauta se coloca en él, el aparato inicia un movimiento vibratorio y
mide su frecuencia. Sabemos que para una masa de 60,0 kg, la frecuencia de oscilación es 0,678 Hz.
a) Calcule la velocidad máxima de oscilación de esta masa si sabemos que la amplitud máxima de
oscilación es 20,0 cm.
b) Si la masa de un astronauta hace oscilar el aparato a una frecuencia de 0,6064 Hz, calcule la
constante elástica del muelle y la masa del astronauta.
1
58.–
La partícula de masa m = 10 g de la Figura 1.a describe el movimiento
armónico simple en torno a su posición de equilibrio representado en la
Figura 1.b (rozamiento despreciable).
a) Escriba la expresión de la elongación, en función del tiempo, indicando
el significado y valor numérico de cada parámetro.
b) Represente la evolución temporal de la energía potencial elástica y la
energía total de la partícula.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
1
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
59.–
La posición de una partícula que oscila armónicamente a lo largo del eje Ox y en torno a un
punto O, que tomamos como origen de coordenadas, viene dada por x(t) = A sen( ω t + π/2), donde x se
mide en metros y t en segundos. La partícula completa 2 oscilaciones o ciclos en 8 segundos. En el
instante inicial (t = 0 s), la partícula se encuentra en x = +0,020 m.
a) ¿Cuánto valen la frecuencia angular y la amplitud de las oscilaciones? Calcule la velocidad y la
aceleración de la partícula en un instante de tiempo cualquiera, esto es, calcule las funciones v(t) y
a(t).
b) ¿Cuánto valen la velocidad y la aceleración de la partícula en el instante inicial? ¿Y en t = 5 T?
c) ¿Cuánto valen la velocidad y la aceleración máxima que alcanza la partícula? ¿Cuánto tarda la
partícula en alcanzar por primera vez, a partir del instante inicial, esa velocidad y esa aceleración
máxima?
60.–
La siguiente gráfica representa la energía cinética de un oscilador
armónico en función de la elongación (x).
a) Halle el valor de la energía cinética y de la energía potencial cuando
x = 0 m y cuando x = 0,20 m. Determine la constante elástica.
b) Calcule la masa del oscilador, si se sabe que la frecuencia de vibración es
100/2π Hz.
61.–
La Sociedad de Instrumentos Oceanográficos y Meteorológicos (SIOM) se sirve de boyas
marinas para estudiar el oleaje. De las estadísticas de los últimos diez años se puede concluir que, de
media, el oleaje en la costa catalana tiene una altura (distancia entre el punto más bajo y el más alto de
la ola) de 70 cm y un período de 5 s. Escriba la ecuación del movimiento de una boya que se mueve
como esta ola media.
62.–
La velocidad de una masa puntual cuyo movimiento es armónico simple viene dada, en unidades
del SI, por la expresión: v(t) = −0,010 π sen [π(t/2 + 1/4)]. Calcule el periodo, la amplitud y la fase
inicial del movimiento.
63.–
Llevamos a cabo la experiencia siguiente: se cuelgan de un muelle
fijado en un punto por uno de sus extremos siete masas diferentes, y se
provoca que estas masas hagan pequeñas oscilaciones y realicen un MVAS.
Se mide con mucho cuidado el tiempo que tardan en hacer diez oscilaciones
cada una de las masas y, a partir de aquí, se obtienen los periodos (T) del
movimiento, el cuadrado de los cuales se representa en la gráfica.
a) Calcule la constante elástica del muelle y explique razonadamente si
depende de la masa. Indique el periodo que se mediría si se provocaran las
oscilaciones con una masa de 32,0 g.
b) El MVAS que describe la masa de 100 g que se ha colgado del muelle
tiene una amplitud de 10,0 cm. Calcule la elongación y la aceleración que
tendrá la masa cuando hayan transcurrido 3,00 s desde el momento en que
se le ha dejado oscilar a partir del punto más bajo de la trayectoria.
64.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Un cuerpo de masa m, unido al extremo libre de un muelle, realiza un
movimiento armónico simple horizontal (sin rozamiento). Escriba y
justifique las expresiones de las energías cinética, potencial y mecánica
asociadas al mismo. Represente gráficamente dichas energías frente a la
elongación.
b) Un cuerpo de masa m = 0,10 kg, unido al extremo libre de de un muelle
horizontal de constante k = 10 N m−1, realiza oscilaciones de amplitud
A = 8,0 cm. ¿Con qué velocidad se mueve la masa m cuando la elongación
es 4,8 cm? ¿Para qué valor de la elongación coinciden la energía potencial
y la cinética?
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
65.–
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Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Escriba la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio
armónico simple y comente el significado físico de las magnitudes que
aparecen en dicha ecuación.
Un bloque de masa M = 0,40 kg desliza sobre una superficie horizontal
sin rozamiento con velocidad v0 = 0,50 m s−1. El bloque choca con un muelle
horizontal de constante elástica k = 10 N m−1. Tras el choque, M se queda
enganchada en el extremo del muelle.
b) Calcule la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones de M.
c) Determine y represente gráficamente la posición del centro de M en
función del tiempo, x(t), a partir del instante del choque (t = 0), en el
sistema de referencia indicado en la figura.
66.–
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1
1
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Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Escriba la expresión de la elongación, en función del tiempo, del oscilador armónico. A partir de
ella deduzca y represente la evolución temporal de la velocidad y la aceleración de dicho oscilador.
b) Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba la ecuación de dicho
movimiento, en unidades del SI, en las siguientes condiciones: La aceleración máxima es 2 π2 cm
s−2; el periodo T = 4 s; y, al iniciarse el movimiento, la elongación era 4 cm y el cuerpo se alejaba
de la posición de equilibrio.
67.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Determine la expresión de la velocidad y la aceleración de una partícula que describe una
movimiento armónico simple de ecuación x = A sen (ω t + φ0) y calcule sus valores máximos.
b) Una partícula se mueve con movimiento armónico simple siguiendo una línea recta. Del
movimiento de la partícula se conoce su velocidad máxima, vmáx = 0,60 m s−1, y su aceleración
máxima, amáx = 0,90 m s–2. Calcule el período y la frecuencia del movimiento.
68.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Qué es un péndulo matemático y qué es un péndulo físico?
b) En un experimento con un péndulo matemático se va variando su longitud y se obtienen los
períodos siguientes:
Longitud de cuerda (cm)
31
51
63
77
92
Período de oscilación (s)
1,12
1,44
1,59
1,76
1,93
Utilizando un método gráfico, determine la aceleración de la gravedad en el lugar del
experimento.
69.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Se conecta una masa de 2,0 kg a un muelle ideal colgado del techo y el muelle se alarga 1,0 cm.
Luego se pone a oscilar verticalmente. Determine:
a.1) la constante de rigidez del muelle;
a.2) la frecuencia angular y el período de las oscilaciones que se producen.
b) ¿Qué es una onda linealmente polarizada? ¿Existen ondas de sonido de ese tipo?
70.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) En un movimiento armónico simple dado por x = A cos (ω t), razone en qué instantes de tiempo
se alcanza la máxima velocidad y en cuáles la máxima aceleración. ¿Con qué puntos de la
trayectoria se corresponden?
b) En un reloj de cuco hay un péndulo de longitud ℓ = 0,15 m y del que cuelga una hoja de madera.
El péndulo oscila con una frecuencia de 1,28 Hz. Calcule:
b.1) la aceleración de la gravedad en el lugar en el que se encuentra el reloj;
b.2) qué longitud debería tener el péndulo si se desea que oscile con un periodo de 2 s.
71.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes.
b) Ecuaciones de la velocidad y de la aceleración.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
72.–
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Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) ¿Cuándo coincide el sentido de la velocidad y de la aceleración en un movimiento vibratorio
armónico simple?
b) Un móvil describe un movimiento vibratorio armónico simple. ¿A qué distancia de su posición de
equilibrio se igualan sus energías potencial y cinética?
73.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) El período de un péndulo simple es de 2,20 s. La longitud del péndulo se modifica y el nuevo
período vale 2,06 s. ¿Se ha alargado o acortado el péndulo? ¿Cuántos centímetros?
b) ¿Qué masa se debería enganchar en un muelle de 20 N m–1 para que oscilara con un período de
2,20 s como el del péndulo simple anterior?
c) Al muelle del apartado anterior se añade una masa de 3,0 kg. Escriba la expresión de la velocidad
en función del tiempo si la amplitud del movimiento es 2,0 cm y es máxima en t = 1,0 s.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
74.–
1
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique cómo varían con el tiempo la
velocidad y la aceleración de la partícula.
b) Comente la siguiente afirmación: “si la aceleración de una partícula es proporcional a
su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto, su movimiento es
armónico simple”.
75.–
1
1
1
1
1
1
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado de cada una de
las variables que aparecen en ella.
b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si el periodo del movimiento fuera doble? ¿Y
si la energía mecánica fuera doble?
76.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas.
b) Un bloque unido a un resorte efectúa un movimiento armónico simple sobre una superficie
horizontal. Razone cómo cambiarían las características del movimiento al depositar sobre el bloque
otro de igual masa.
77.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Movimiento armónico simple; características cinemáticas y dinámicas.
b) Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: En un movimiento armónico simple
la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía mecánica.
78.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas.
b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si:
b.1) aumentara la energía mecánica;
b.2) disminuyera la masa oscilante.
79.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado físico de cada
una de las variables que aparecen en ella.
b) ¿Cómo cambiarían las variables de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la
energía mecánica de la partícula.
80.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento
pero de sentido contrario.
b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje Ox y en el instante inicial pasa
por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la
aceleración.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
81.–
1
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza de 0,75 N
éste se alarga 2,5 cm respecto a su posición de equilibrio.
Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se
deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo
se encuentra en la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de
equilibrio, determine:
b) la expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo;
c) la velocidad y la aceleración máximas del cuerpo;
d) las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición de
equilibrio.
82.–
1
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Al colgar una masa en el extremo de un muelle en posición vertical, éste se desplaza 5 cm. ¿De
qué magnitudes del sistema depende la relación ente dicho desplazamiento y la aceleración de la
gravedad?
b) Calcule el periodo de oscilación del sistema muelle−masa anterior si se deja oscilar en posición
horizontal (sin rozamiento).
Datos: aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
83.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra
con movimiento armónico simple.
b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del movimiento
armónico simple?
84.–
Responda, razonadamente, las siguientes cuestiones:
a) Explique las variaciones energéticas que se dan en un oscilador armónico durante una oscilación.
¿Se conserva la energía del oscilador?
b) Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, ¿cómo varía la amplitud y la
frecuencia de las oscilaciones?
1
1
1
85.–
Se conecta un muelle ideal de constante 500 N m−1 a una partícula de masa 5,0 kg. Se desplaza
la partícula 7,0 cm desde la posición de equilibrio y se suelta con velocidad nula. Determine:
a) la amplitud del movimiento;
b) la fuerza que ejerce el muelle en ese instante;
c) la frecuencia del movimiento;
d) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio;
e) la aceleración de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio.
86.–
1
1
Se crea un péndulo simple de 30 cm con una masa de 1,2 kg.
a) ¿Cuánto tendría que valer la constante elástica de un muelle para que la masa oscile colgada del
muelle con el mismo periodo del péndulo?
b) La masa de 1,2 kg se cuelga de otro muelle y este se alarga 6,1 cm por el peso de la
masa. Se coge la masa, se estira hacia abajo y el muelle se alarga 2,7 cm más. ¿Cuál
será la velocidad máxima de la masa al dejarla oscilar?
c) Calcule los cuatro primeros instantes de tiempo después de soltar la masa en la que el
módulo de la velocidad es máximo.
87.–
Se cuelga un bloque de dos muelles en serie (uno enganchado al otro) de igual constante
recuperadora k, calcule la frecuencia del movimiento armónico simple. Si ahora se cuelga el bloque de
los dos muelles colocados en paralelo (ambos sujetos al techo y al bloque), calcule el periodo del
m.a.s.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
88.–
Se dispone de un muelle de constante de recuperación k = 4,00 N m−1 y
de longitud natural ℓ = 20,0 cm, con la cual se desea hacer una balanza. Para
hacerla, se cuelga el muelle verticalmente por uno de los extremos y, en el
otro, se coloca una plataforma de masa m = 20,0 g con un dial, de forma que
este indique el valor de la medida sobre una escala graduada, tal como se
muestra en la figura.
a) Determine la lectura que marca el dial al colocar la plataforma y dejar
que el sistema se pare. Considere que el cero del dial coincide con el
extremo superior de la regla de la figura.
b) Se añade un objeto de masa M = 300 g encima de la plataforma. A
continuación, se desplaza el conjunto una distancia de 10,0 cm respecto a
la nueva posición de equilibrio y se suelta, de forma que el sistema
empieza a oscilar libremente. ¿Con qué velocidad volverá a pasar por la
posición de equilibrio?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
1
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1
1
1
89.–
Se dispone de un oscilador armónico formado por una masa m sujeta a un muelle de constante
elástica k. Si en ausencia de rozamientos se duplica la energía mecánica del oscilador, explique qué
ocurre con:
a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones;
b) la velocidad máxima y el periodo de oscilación.
90.–
Se dispone de un péndulo simple de 1,5 m de longitud. Se mide en el laboratorio el tiempo de
3 series de 10 oscilaciones obteniendo 24,56 s, 24,58 s, 24,55 s. ¿Cuál es el valor de g con su
incertidumbre?
91.–
Se dispone dos resortes de constantes elásticas k1 y k2. Se sabe que k1 = 1,44 k2. Cuando el
resorte k1 se carga con una masa m = 105 g y se deja oscilar libremente, el periodo de las oscilaciones
es 0,60 s.
a) Determine el valor de k1 y de k2.
b) ¿Cuál es el periodo de las oscilaciones del segundo resorte cuando se carga con la misma masa?
92.–
Se emplea un resorte para medir su constante elástica por el método estático y por el dinámico,
aplicando la Ley de Hooke y el período en función de la masa, respectivamente. Se observa cierta
diferencia entre los resultados obtenidos por ambos métodos. ¿A qué puede ser debido?
93.–
Se engancha un muelle de 30 cm de longitud y constante elástica 5,0 N cm−1 a un cuerpo de
masa 2,0 kg, y el sistema se deja colgando del techo.
a) ¿En qué porcentaje se alargará el muelle?
b) Se tira ligeramente del cuerpo hacia abajo y se suelta. ¿Cuál es el período de oscilación del
sistema?
c) Se desengancha el muelle del techo y se conecta a la pared, poniendo el muelle horizontal y el
cuerpo sobre una mesa. Si se hace oscilar de nuevo el cuerpo sobre la mesa, siendo el coeficiente de
rozamiento entre ambos despreciable, ¿cuál será el nuevo período de oscilación?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
94.–
Se engancha un muelle de constante de rigidez k y masa m a un techo. Se quiere determinar
ambas magnitudes haciendo experimentos midiendo el período de oscilación. Para ello se cuelgan dos
masas diferentes del muelle y se pone a oscilar verticalmente el sistema. Una teoría avanzada que
explica el fenómeno nos dice que el cuadrado del período de oscilación verifica:
4 π2
1
2
𝑇𝑇 =
�𝑀𝑀 + 𝑚𝑚�
𝑘𝑘
3
a) Poniendo M en abscisas y T2 en ordenadas, dibuje la curva que representa esa solución.
Usando una masa M1 = 5,5 hg se ha medido un período de 0,64 s y usando una masa M2 = 12,1
hg se ha medido un período de 0,94 s.
b) Determine los valores de k y de m.
c) Si se deja el muelle sin masa acoplada, ¿cuánto valdría el período de oscilación?
95.–
Se hacen cinco experiencias con un péndulo simple. En cada una se realizan 50 oscilaciones de
pequeña amplitud y se mide con un cronómetro el tiempo que se ha empleado. La longitud del péndulo
es ℓ = 1 m. Con estos datos, calcule la aceleración de la gravedad.
1
1
Experiencia
1
2
3
4
5
Tiempo (s) 50 oscilaciones
101
100
99
98
102
96.–
Se suspende un muelle de un gancho y se estira un poco por su propio peso. A continuación, en
la parte inferior del muelle se cuelga una esfera de 250 g. El muelle se alarga 2,70 cm y el centro de la
esfera queda a 15,0 cm del suelo.
a) Escriba la ecuación del movimiento del centro de la esfera después de que se estire 4,0 cm hacia
abajo y se deje libre. Añada un esquema que muestre el origen de coordenadas del sistema de
referencia que utilice y el sentido que utilice como positivo.
b) ¿Cuánto vale el período de oscilación de la esfera?
c) En la situación descrita en el primer apartado, ¿cuántos gramos de masa se habrían de añadir a la
esfera suspendida del muelle para que el período pasase a ser de 0,35 s?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m s–2
1
97.–
Se tiene una masa m = 1,0 kg situada sobre un plano horizontal sin rozamiento unida a un
muelle, de masa despreciable, fijo por su otro extremo a la pared. Para mantener estirado el muelle una
longitud x = 3,0 cm, respecto de su posición de equilibrio, se requiere una fuerza de F = 6,0 N. Si se
deja el sistema masa−muelle en libertad:
a) ¿Cuál es el periodo de oscilación de la masa?
b) Determine el trabajo realizado por el muelle desde la posición inicial, x = 3,0 cm, hasta su
posición de equilibrio, x = 0.
c) ¿Cuál será el módulo de la velocidad de la masa cuando se encuentre a 1,0 cm de su posición de
equilibrio?
d) Si el muelle se hubiese estirado inicialmente 5,0 cm, ¿cuál sería su frecuencia de oscilación?
1
98.–
Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 en cuyos extremos
se disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, y tal que m1 < m2. Al oscilar,
las fuerzas que actúan sobre cada una de estas masas en función de la
elongación aparecen representadas en la figura.
a) ¿Cuál es el muelle de mayor constante elástica?
b) ¿Cuál de estas masas tendrá mayor periodo de oscilación?
1
99.–
Si la amplitud de un oscilador armónico simple se triplica, ¿en qué factor se modifica la energía?
Razone la respuesta.
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
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100.– Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explique qué efecto tiene:
a) en la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones;
b) en la velocidad y el período de oscilación.
1
101.– Sobre una mesa horizontal se encuentra una masa de 380 g enganchada
al extremo de un muelle de constante recuperadora k = 15 N m−1. El otro
extremo del muelle está fijo, y el rozamiento del conjunto es despreciable.
Desplazamos la masa 10 cm desde la posición de equilibrio, tal como se ve
en las figuras siguientes, y la dejamos libre. Halle:
a) el período del movimiento;
b) la ecuación del movimiento, teniendo en cuenta que para t = 0 s, la masa
se encuentra en el valor máximo positivo de su elongación, como se ve en
la segunda figura;
c) la energía cinética de la masa cuando pasa por un punto situado 2,0 cm a
la derecha de la posición de equilibrio.
1
1
102.– Sobre una superficie horizontal se dispone un cuerpo de 0,5 kg, unido a uno de los extremos de
un muelle que está fijo por el otro. Cuando se tira del cuerpo hasta alargar el muelle 10 cm y se suelta,
comienza a oscilar con un período de 2 s.
a) Haga un análisis energético del problema y calcule los valores de las energías cinética y potencial
en los puntos extremos de la oscilación y en el punto de equilibrio.
b) Represente la posición del cuerpo en función del tiempo. ¿Cómo cambiaría dicha representación
si la masa del cuerpo fuera de 2 kg?
103.– Suponga que en el laboratorio está realizando una práctica con un muelle que tiene colgado
verticalmente de un soporte fijo.
a) Al colgar una pesa de masa m = 100 g de su extremo inferior, observa que el alargamiento del
muelle en equilibrio es ∆ℓ = 10,4 cm. Si sustituye la pesa por otra de masa m’ = 250 g, ¿cuál espera
que sea el nuevo alargamiento en equilibrio?
b) Imagine ahora que suspende del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un
pequeño empujón vertical a la pesa, cronometra el tiempo que tarda en realizar diez oscilaciones
completas y obtiene 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, ¿cuál es la masa de esta
pesa?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g = 9,8 m s–2
1
104.– Suponga que tensa una cuerda de masa 200 g y longitud 40 cm sujetando el extremo izquierdo y
tirando del extremo derecho con una fuerza de 2,0 N. Ahora hace oscilar verticalmente el extremo
izquierdo (origen de coordenadas) con un movimiento armónico simple de periodo 0,10 s y amplitud
5,0 cm. En el instante inicial (t = 0) el desplazamiento vertical del extremo que oscila es nulo
moviéndose hacia abajo. Obtenga la ecuación de la onda armónica transversal generada.
Datos: La velocidad v de una onda en una cuerda de densidad de masa lineal μ (masa por unidad de longitud)
sometida a una tensión F es 𝑣𝑣 = �𝐹𝐹 ℓ 𝜇𝜇
1
105.– Suponga que tiene un muelle de constante elástica 35 N m−1 situado horizontalmente sobre una
mesa que no tiene rozamiento. Se fija uno de los extremos del muelle a la pared mientras que en el
otro extremo se sitúa una masa de 50 g. Si tira de la masa estirando el muelle 4,0 cm y la suelta, el
objeto describirá un movimiento armónico simple alrededor de la posición de equilibrio.
a) Obtenga la expresión de la aceleración del movimiento alrededor de la posición de equilibrio.
b) Calcule como varía la energía mecánica del sistema en función del tiempo.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
106.– Suponga que un cuerpo realiza un movimiento armónico simple alrededor de su posición de
equilibrio (x = 0) debido a la acción de una fuerza F = −k x con k = 10 N m−1. La amplitud de la
oscilación es 2,0 m y el tiempo que tarda es describir una oscilación completa es 2,0 segundos.
Sabiendo que en t = 0 el desplazamiento es máximo y positivo, represente gráficamente la variación de
la energía potencial en función del tiempo (no es necesario una representación exacta, basta
simplemente con que indique los valores máximos y mínimos de cada función, los puntos de corte con
los ejes y la forma de las funciones).
107.– Tenemos dos masas idénticas de 1,0 kg. Cada una se encuentra sujeta a un muelle fijo que
descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Los muelles son iguales y de constante
k = 100 N m−1. Un muelle se estira 10 cm y el otro 5,0 cm. Si se dejan en libertad al mismo tiempo
(t = 0 s);
a) ¿Cuál de las dos masas pasará primero por la posición de equilibrio? Razone la respuesta.
b) Represente en la misma gráfica la posición de ambos objetos en función del tiempo (no es
necesario una representación exacta, basta simplemente con indicar los valores máximos y mínimos
de cada función, los puntos de corte con los ejes y la forma de las funciones)
108.– Un bloque de 0,12 kg, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un
resorte, oscila con una amplitud de 0,20 m. La energía mecánica del bloque es de 6,0 J.
a) Determine razonadamente la constante elástica del resorte y el periodo de las oscilaciones.
b) Calcule los valores de la energía cinética y de la energía potencial cuando el bloque se encuentra a
0,10 m de la posición de equilibrio.
109.– Un bloque de 0,50 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elástica
k = 72 N m−1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza
a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6,0 m s−1.
a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.
b) Determine la amplitud y la frecuencia de oscilación.
110.– Un bloque de 10 kg de masa pende verticalmente de un muelle como se
indica en la figura. En el laboratorio se ha medido cuatro veces el tiempo que
tarda el bloque de la figura en realizar 10 oscilaciones completas. Los
resultados de la medición son 10,2, 9,7, 9,6 y 10,4 s. Estime el valor de la
constante elástica del muelle.
111.– Un bloque de 2 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal sin rozamiento
y choca contra el extremo de un muelle horizontal, de constante elástica 120 N m−1, comprimiéndolo.
a) ¿Cuál ha de ser la velocidad del bloque para comprimir el muelle 30 cm?
b) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar considerando la existencia de
rozamiento.
112.– Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N m−1, oscila en una
superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4,0 cm. Cuando el bloque se encuentra a 1,0
cm de su posición de equilibrio, calcule:
a) la fuerza ejercida sobre el bloque;
b) la aceleración del bloque;
c) la energía potencial elástica del sistema;
d) la velocidad del bloque.
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
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113.– Un bloque de 8,0 kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de
10 m s−1 e incide sobre el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica
k = 400 N m−1, colocado horizontalmente.
a) Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde un instante anterior al contacto del
bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial.
b) Calcule la compresión máxima del resorte. ¿Qué efecto tendría la existencia de rozamiento entre
el bloque y la superficie?
1
114.– Un bloque de masa m está suspendido del extremo inferior de un resorte vertical de masa
despreciable. Partiendo de su posición de equilibrio se desplaza hacia abajo una distancia dA y se
suelta, con lo que oscila verticalmente y alcanza una distancia dB por encima de la posición de
equilibrio.
a) Calcule la energía total del sistema cuando el bloque se encuentra en el punto más alto y en el más
bajo de su oscilación.
b) Mediante consideraciones energéticas, analice si dB es mayor, igual o menor que dA.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
1
1
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115.– Un cuerpo de 0,10 kg, unido al extremo de un resorte de constante elástica 10 N m−1, se desliza
sobre una superficie horizontal lisa y su energía mecánica es de 1,2 J.
a) Determine la amplitud y el periodo de oscilación.
b) Escriba la ecuación de movimiento, sabiendo que en el instante t = 0 el cuerpo tiene aceleración
máxima, y calcule la velocidad del cuerpo en el instante t = 5,0 s.
116.– Un cuerpo de 1,0 kg de masa se encuentra sujeto a un muelle horizontal
de constante elástica k = 15 N m−1. Se desplaza 2,0 cm respecto a la posición
de equilibrio y se libera, con lo que comienza a moverse con un movimiento
armónico simple.
a) ¿A qué distancia de la posición de equilibrio las energías cinética y
potencial son iguales?
b) Calcule la máxima velocidad que alcanzará el cuerpo.
117.– Un cuerpo de 1,4 kg de masa se conecta a un muelle de constante elástica 15 N m−1. el sistema
se hace oscilar sobre un plano horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 20 cm,
calcule:
a) la energía total del sistema;
b) la energía cinética y la potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 13 cm.
1
118.– Un cuerpo de 2,0 kg se encuentra sobre una mesa plana y horizontal sujeto a un muelle, de
constante elástica k = 15 N m−1. Se desplaza el cuerpo 2,0 cm de la posición de equilibrio y se libera.
a) Explique cómo varían las energías cinética y potencial del cuerpo e indique a qué distancia de su
posición de equilibrio ambas energías tienen igual valor.
b) Calcule la máxima velocidad que alcanza el cuerpo.
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119.– Un cuerpo de 200 g unido a un resorte horizontal oscila, sin rozamiento, sobre una mesa, a lo
largo del eje Ox, con una frecuencia angular ω = 8,0 rad s−1. En el instante t = 0, el alargamiento del
resorte es de 4,0 cm respecto de la posición de equilibrio y el cuerpo lleva en ese instante una
velocidad de −20 cm s−1. Determine:
a) la amplitud y la fase inicial del movimiento armónico simple realizado por el cuerpo;
b) la constante elástica del resorte y la energía mecánica del sistema.
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
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120.– Un cuerpo de masa 100 gramos está unido a un resorte que oscila en un plano horizontal.
Cuando se estira 10 cm y se suelta, oscila con un período de 2,0 s. Calcule:
a) la velocidad cuando se encuentra a 5,0 cm de su posición de equilibrio;
b) la aceleración en ese momento;
c) la energía mecánica.
1
121.– Un cuerpo de masa 100 g está unido a un muelle de masa despreciable y realiza un movimiento
armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El movimiento tiene una amplitud de
10 cm y un período de 2,0 s.
a) Escriba la ecuación del movimiento sabiendo que en el instante inicial la elongación es igual a la
amplitud.
b) Determine el valor de la velocidad y de la aceleración en el instante t = 4,0 s.
c) Determine el valor de la constante elástica (k) del muelle.
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122.– Un cuerpo de masa 250 g unido a un muelle realiza un movimiento armónico simple con una
frecuencia de 5 Hz. Si la energía total de este sistema elástico es 10 J,
a) ¿cuál es la constante elástica del muelle?;
b) ¿cuál es la amplitud del movimiento?
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123.– Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente
del cuerpo desplazando éste una distancia x respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar
libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2x, deduzca
la relación que existe, en ambos casos, entre:
a) las velocidades máximas del cuerpo;
b) las energías mecánicas del sistema oscilante.
1
124.– Un cuerpo de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente a lo largo del eje
Ox. En la figura se representa su velocidad en función del tiempo.
a) Determine y represente gráficamente la posición (elongación) de la
partícula en función del tiempo.
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula en el instante
t = 0,05 s.
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125.– Un cuerpo de masa M = 0,1 kg oscila armónicamente en torno al origen
O de un eje Ox. En la figura se representa la aceleración de M en función del
tiempo.
a) Determine la frecuencia y la amplitud de oscilación de M.
b) Determine y represente gráficamente la energía cinética de M en función
del tiempo.
126.– Un cuerpo está vibrando con movimiento armónico simple de amplitud 15 cm. Si realiza
4,0 vibraciones por segundo, calcule:
a) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración;
b) la aceleración cuando la elongación es 9,0 cm.
127.– Un cuerpo puntual de masa 2,0 g se mueve con movimiento armónico simple a lo largo de una
recta horizontal. Para t = 0 se encuentra 7,1 cm a la derecha del punto de equilibrio moviéndose hacia
la izquierda y sus energías cinética y potencial valen ambas 10−5 J. Escriba la ecuación de movimiento
de la partícula.
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– Vibración y oscilación
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128.– Un cuerpo realiza un movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es A = 2,0 cm,
el periodo T = 200 ms y la elongación en el instante inicial es y(0) = +1,0 cm.
a) Escriba la ecuación de la elongación del movimiento en cualquier instante y(t).
b) Represente gráficamente dicha elongación en función del tiempo.
129.– Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple.
a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5 π2 cm s−2, el periodo de las
oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm.
b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.
130.– Un cuerpo vibra con un m.a.s. Cuando se encuentra en la mitad de la amplitud, ¿qué porcentaje
de energía es cinética y qué porcentaje es energía potencial? ¿En qué punto las dos energías son
iguales?
131.– Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa
un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m s−1 y
7,2 m s−2 respectivamente.
a) Determine el período y la amplitud del movimiento.
b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara:
b.1) la frecuencia;
b.2) la aceleración máxima.
132.– Un estudiante utiliza 4 péndulos simples de diferentes longitudes para determinar la aceleración
de la gravedad. Para ello mide el tiempo invertido en 10 oscilaciones completas. Sus medidas se
presentan en la tabla. Determine el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar donde se realiza
el experimento.
Péndulo
1
2
3
4
Longitud (cm)
150
175
200
225
Tiempo de 10 oscilaciones (segundos)
24,8
26,3
28,3
29,9
133.–
134.– Un móvil describe un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y 4,0 s de periodo.
Escriba la ecuación general de su movimiento sabiendo que en el instante inicial la elongación es
máxima y positiva.
135.– Un movimiento armónico simple viene descrito por la ecuación x (t) = A · sen (ωt + δ).
a) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique cómo varían
a lo largo de una oscilación.
b) Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial en función de la posición y explique
sus cambios a lo largo de la oscilación.
136.– Un movimiento armónico simple viene descrito por la expresión: x(t) = A sen (ω t + δ).
a) Indique el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en ella.
b) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique si ambas
magnitudes pueden anularse simultáneamente.
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– Vibración y oscilación
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137.– Un muelle cuya masa es despreciable se encuentra en equilibrio cuando de él cuelga una masa
de 30 gramos. Sabiendo que al tirar del muelle con una cierta fuerza este se pone a vibrar de forma que
hace 20 oscilaciones de 3,0 cm de amplitud en 10 segundos, calcule:
a) cuánto se estira el muelle al colgar la masa;
b) la fuerza con la que se ha tirado para poner el muelle en marcha;
c) la energía total del muelle;
d) el valor de la energía cinética cuando la masa está a una distancia x = A/3 de la posición de
equilibrio.
Datos: Constante de recuperación del muelle: k = 10 N m−1 ; Aceleración de la gravedad en la superficie de
la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
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138.– Un muelle de constante elástica 250 N m−1, horizontal y con un extremo fijo, está comprimido
10 cm. Un cuerpo de 0,50 kg situado en su extremo libre, sale despedido al librarse el muelle.
a) Explique las variaciones de energía del muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle.
b) Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle.
139.– Un muelle de constante k = 125 N m−1 tiene un extremo fijo y, en el otro, hay una masa de 200 g
que puede moverse sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se desplaza inicialmente la masa
12 cm desde la posición de equilibrio, alargando el muelle, y se la deja libre. Determine:
a) los valores máximos de las energías cinética y potencial durante el movimiento y la velocidad
máxima de la masa;
b) el periodo y la frecuencia del movimiento armónico resultante. Escriba también la ecuación de
este movimiento considerando t = 0 como el instante en el que se ha dejado libre la masa.
140.– Un muelle de constante k = 250 N m−1 se cuelga de un soporte rígido y se une a su extremo
inferior un objeto de 1 kg de masa que se deja en libertad cuando el muelle está sin deformar.
a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de empezar a ascender de nuevo?
b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio del objeto?
c) ¿Cuál es el periodo de la oscilación?
d) ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando alcanza la posición de equilibrio por primera vez?
141.– Un muelle de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando colgamos de él una masa de
5,0 kg. Sabiendo que cuando tiramos del muelle con una determinada fuerza se pone a oscilar de tal
forma que en 10 segundos realiza 10 oscilaciones de 5,0 cm de amplitud. Calcule:
a) la fuerza con la que se ha tirado para ponerlo en movimiento;
b) la energía total del sistema. ¿Se conserva? Explique por qué;
c) la constante de fuerza del muelle;
d) cuánto vale la energía cinética de la masa cuando ésta alcanza uno de los extremos de la
oscilación.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
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142.– Un muelle de masa despreciable se encuentra en equilibrio cuando de él cuelga un objeto de 10 g
de masa. Sabiendo que al tirar del muelle éste realiza 20 oscilaciones de 2,0 cm de amplitud en
5,0 segundos,
a) ¿cuál es su constante de fuerza?;
b) ¿con qué fuerza se ha tirado para ponerlo en movimiento?
c) calcula la energía total del sistema cuando el objeto se encuentra 0,5 cm por encima de su
posición de equilibrio;
d) ¿cuánto vale la energía cinética del muelle en el momento en el que la masa pasa por la posición
de equilibrio?
Datos: En el segundo apartado desprecie la influencia en la energía total de las posibles variaciones en la
energía potencial de la partícula debidas al campo gravitatorio.
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Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
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143.– Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L0 = 20 cm.
Cuando de su extremo inferior se cuelga un cuerpo de masa M = 0,1 kg, la
longitud en equilibrio del muelle es Leq = 30 cm.
a) Calcule la constante recuperadora, k, de este muelle.
Datos: Considere la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra:
g0 = 10 m s−2
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Partiendo de la posición de equilibrio anterior, se desplaza M hacia
arriba 10 cm, es decir, hasta que el muelle tiene su longitud natural. A
continuación se suelta M con velocidad inicial nula, de forma que empieza a
oscilar armónicamente en dirección vertical.
b) Calcule la longitud máxima del muelle, en el punto más bajo de la
oscilación de M.
c) Calcule la amplitud y la frecuencia de la oscilación, y la velocidad de M
cuando pasa por su posición de equilibrio.
144.– Un muelle de masa despreciable, suspendido de su extremo superior, mide 11,5 cm. Al colgar
una masa de 300 g en el extremo libre, el muelle se estira hasta una posición de equilibrio en la cual su
nueva longitud es de 23,5 cm.
a) Calcule la constante elástica del muelle a partir de la deformación descrita.
b) Se empuja la masa 5,0 cm hacia arriba comprimiendo el muelle, y se suelta. Se miden 10
oscilaciones en 7,0 s. Determine la expresión para la posición de la masa en función del tiempo.
c) Calcule de nuevo la constante del muelle a partir del valor del periodo de oscilación. Halle el
valor de la energía total de la masa mientras oscila.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
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145.– Un muelle horizontal está unido por el extremo de la izquierda a la pared y por el extremo de la
derecha a una partícula de masa 2 kg. Separamos la partícula una distancia de 25 cm hacia la derecha
de la posición de equilibrio y la soltamos. En este momento comenzamos a contar el tiempo. La
partícula describe un movimiento armónico simple con un período de 0,75 s. Cuando la partícula se
encuentra 0,10 m a la derecha del punto central de la oscilación y se dirige hacia la derecha,
determine:
a) la energía cinética de la partícula;
b) la energía mecánica del sistema;
c) la fuerza resultante que actúa sobre la partícula (módulo, dirección y sentido).
146.– Un muelle se deforma 12 cm cuando se cuelga de él una partícula de 2,0 kg de masa.
a) Determine la constante elástica k del muelle.
b) A continuación se separa otros 10 cm de la posición de equilibrio y se deja oscilar en libertad.
¿Cuáles son la frecuencia angular y el periodo de oscilación en estas condiciones?
c) Escriba la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
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147.– Un muelle, cuya constante de elasticidad es k, está unido a una masa puntual de valor m.
Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine:
a) el valor del periodo de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω;
b) las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la
elongación del movimiento del sistema oscilante.
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– Vibración y oscilación
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148.– Un muelle, situado sobre una mesa horizontal sin rozamiento, está fijo
por uno de sus extremos a una pared y, por el otro extremo, tiene enganchado
un objeto de 0,5 kg de masa. El muelle no está deformado inicialmente.
Desplazamos el objeto una distancia de 50 cm de su posición de equilibrio y
le dejamos moverse libremente, con lo cual el objeto describe un movimiento
vibratorio armónico simple. La energía potencial del sistema en función del
desplazamiento se representa con la parábola de la gráfica adjunta. Determine
el valor de la constante recuperadora del muelle y el valor de la velocidad del
objeto cuando tiene una elongación de 20 cm.
149.– Un niño y su hermana juegan con una pelota unida a una cuerda colgada de una anilla. El niño
atrae la pelota hacia él y la deja moverse, soltándola, sin empujarla. La niña la espera en el otro lado y
la agarra cuando se encuentra en el punto más alto, 1,5 segundos después de que su hermano la soltara.
¿Cuánto vale la distancia del centro de la pelota al punto de suspensión?
150.– Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1π s de
período y su energía cinética máxima es de 0,5 J.
a) Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte.
b) Explique cómo cambiarían las características del movimiento si:
b.1) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble;
b.2) se sustituye el objeto por otro de masa doble.
151.– Un objeto de 0,20 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de periodo
T = 0,10 π s y su energía cinética máxima es de 0,50 J. El movimiento comienza con velocidad inicial
nula.
a) Escriba la ecuación del movimiento del objeto y determine la constante elástica del resorte.
b) Calcule la velocidad cuando han transcurrido 0,010 s.
c) Si se sustituye el objeto por otro de doble masa manteniendo las condiciones iniciales del
movimiento, ¿cuál es el nuevo periodo del movimiento?
152.– Un objeto de 10 kg de masa se cuelga de un muelle vertical y se observa que el muelle se alarga
2 cm. A continuación, se estira el muelle hacia abajo y el sistema comienza a oscilar con un
movimiento armónico simple de 3 cm de amplitud. Calcule:
a) la ecuación del movimiento que seguirá el objeto;
b) la velocidad del objeto oscilante al cabo de 5 s de haber comenzado el movimiento;
c) la fuerza recuperadora del muelle al cabo de 6 s de haber comenzado el movimiento.
153.– Un objeto de 100 g, unido a un resorte de k = 500 N m−1, realiza un movimiento armónico
simple en un plano horizontal. La energía total es 5,0 J. Calcule:
a) la amplitud;
b) la velocidad máxima y la frecuencia de la oscilación.
c) Indique cualitativamente en una gráfica cómo varían la energía total, la cinética y la potencial con
la elongación x.
154.– Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elástica k, se
encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrándole una energía
elástica de 2,0 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un periodo de 0,25 s. Determine:
a) la constante elástica y escriba la función matemática que representa la oscilación.
b) La energía cinética cuando han transcurrido 0,10 s.
155.– Un objeto de 2,0 kg se sujeta a un muelle fijo horizontal con una constante k = 196 N m−1. El
objeto se desplaza una distancia de 5,0 cm de su posición de equilibrio y se deja en libertad en el
tiempo t = 0 s. Obtenga la ecuación de la aceleración del objeto en función del tiempo suponiendo que
no existe ningún tipo de rozamiento.
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– Vibración y oscilación
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156.– Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple
sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz.
Determine:
a) el período del movimiento y la constante elástica del muelle;
b) la velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto.
157.– Un objeto de 3,0 kg ligado a un muelle oscila libremente realizando un movimiento armónico
simple de amplitud 4,0 cm en el que la energía total es 0,010 J.
a) Calcule el módulo de la velocidad máxima del objeto.
b) Calcule el módulo de la velocidad cuando el objeto se encuentra a 2,0 cm de la posición de
equilibrio.
158.– Un objeto de 4,0 kg de masa realiza un movimiento armónico simple sobre un plano horizontal
sin rozamiento. La amplitud del movimiento es de 20 cm y su periodo 0,50 s.
a) Calcule la frecuencia del movimiento.
b) Calcule la energía cinética máxima del objeto en su movimiento e indique en qué punto se
alcanza.
c) Calcule la aceleración máxima del objeto.
159.– Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica 2,0·104 N m−1. Despreciando el
rozamiento,
a) ¿qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de 50 Hz? ¿Depende el
periodo de las oscilaciones de la energía inicial con que se estire el muelle? Razone la respuesta;
b) ¿cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto si la amplitud de las oscilaciones es de
5,0 cm?
160.– Un objeto oscila en el eje Ox con un movimiento armónico simple de frecuencia angular 8,0 rad
s–1 alrededor de su posición de equilibrio (x = 0 cm). Sabiendo que en el instante inicial el objeto se
encuentra en x = 4,0 cm con una velocidad v = −25 cm s−1, obtenga la ecuación completa de la
posición en función del tiempo.
161.– Un objeto realiza un movimiento armónico simple en la dirección del eje Ox ejecutando
5,0 oscilaciones por segundo. Sabiendo que en el instante inicial el objeto pasa por la posición de
equilibrio (x = 0 cm) con una velocidad v = −63 cm s−1, obtenga la ecuación completa de la posición
en función del tiempo.
162.– Un objeto se mueve con movimiento armónico simple de 6,0 s de periodo y 14 cm de amplitud.
Escriba la ecuación general de su movimiento sabiendo que en el instante inicial la elongación es
máxima y negativa.
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163.– Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el
extremo de valor 40 g, tiene un período de oscilación de 2,0 s.
a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero,
para que la frecuencia de oscilación se duplique?
b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la
máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?
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164.– Un oscilador armónico esta formado por un muelle de constante elástica 1,8·102 N m−1 y un
cuerpo de masa igual a 0,50 kg.
a) Si el desplazamiento lineal del cuerpo viene descrito por la ecuación:
x(t) = 0,37 · sen (2 π t / T + ϕ0) halle los valores de T y ϕ0, si en el instante inicial su velocidad es
máxima.
b) Calcule la aceleración que tiene el cuerpo en el punto central de la oscilación.
c) Enuncie y comente los intercambios de energía entre el muelle y el cuerpo a lo largo de una
oscilación.
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– Vibración y oscilación
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165.– Un oscilador armónico simple consiste en una masa de 200 gramos unida a un resorte que
describe 20 oscilaciones por minuto, siendo la amplitud de su movimiento igual a 19,1 cm. ¿Cuál es la
energía del oscilador, expresada en julios?
166.– Un oscilador armónico vibra con una frecuencia de 5,0 Hz y una amplitud de 10 cm. ¿Cuántas
oscilaciones describirá en 1 minuto exacto y cuál es su velocidad cada vez que pasa por la posición de
equilibrio?
167.– Un oscilador armónico vibra de forma que, cuando t = 0 se encuentra a 4,0 cm de la posición de
equilibrio con una velocidad v0 = 87 cm s−1. Si la frecuencia del movimiento es de 2,0 Hz, determine:
a) la constante de fase y la amplitud del movimiento;
b) la elongación y la velocidad en el instante t = 0,50 s;
c) el valor máximo de la velocidad.
168.– Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud ℓ = 99,2 cm y una bolita que oscila en
horizontal con una amplitud A = 6,40 cm y un periodo T = 2,00 s.
a) Calcule la intensidad del campo gravitatorio local, g.
b) Determine y represente gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v (t).
Datos: Tome origen de tiempo, t = 0, cuando la bolita pasa por su posición de equilibrio.
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169.– Un péndulo simple, de longitud ℓ = 2,5 m, se desvía del equilibrio hasta un punto a 0,030 m de
altura y se suelta. Calcule:
a) la velocidad máxima;
b) el período;
c) la amplitud del movimiento armónico simple descrito por el péndulo.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,8 m s–2
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170.– Un punto material describe un movimiento armónico simple de amplitud A. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
a) La energía cinética es máxima cuando la elongación es nula.
b) La energía potencial es constante.
c) La energía total depende de la elongación x.
171.– Un punto material está animado de un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox,
alrededor de su posición de equilibrio en x = 0. En el instante t = 0, el punto material está situado en
x = 0 y se desplaza en el sentido negativo del eje Ox con una velocidad de 40 cm s−1. La frecuencia del
movimiento es de 5,0 Hz.
a) Determine la posición en función del tiempo.
b) Calcule la posición y la velocidad en el instante t = 5,0 s.
172.– Un punto material oscila con movimiento vibratorio armónico simple de 2,0 cm de amplitud y
10 Hz de frecuencia. Calcule:
a) su velocidad y aceleración máximas;
b) la velocidad y aceleración en el instante en que el punto ha recorrido 1,0 cm desde el origen.
Datos: Suponga nula la fase inicial.
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173.– Un punto móvil describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox según la
ecuación: x = 3 · sen ω t, donde ω es una constante, x es la posición en metros y t es el tiempo en
segundos. Calcule:
a) el periodo del movimiento;
b) la frecuencia.
c) ¿Para qué valores de x la velocidad es máxima? ¿Cuánto vale esa velocidad?
d) ¿Para qué valores de x la aceleración es máxima? ¿Cuánto vale? Demostrar que la aceleración es
siempre proporcional a la posición.
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– Vibración y oscilación
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174.– Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 400 g unido a un muelle, realiza un
movimiento armónico simple con un período de 1,25 s. Si la energía total del sistema es de 18 J,
a) ¿cuál es la constante elástica del muelle?;
b) ¿cuál es la amplitud del movimiento oscilatorio?
c) Explique los intercambios de energía entre el muelle y la masa que se producen a lo largo de una
oscilación.
175.– Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 800 g unido a un muelle, realiza un
movimiento armónico simple con un periodo de 0,60 s. La energía total del sistema es de 25 J.
a) Halle la constante elástica del muelle.
b) Halle la amplitud de esta oscilación.
c) Explique brevemente los intercambios de energía que tienen lugar entre muelle y masa a lo largo
de una oscilación.
176.– Un sistema masa−muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre
una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora k. Si el bloque
se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, éste empieza a oscilar
de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. Determine:
a) la constante recuperadora k del muelle;
b) la expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función del tiempo;
c) la velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar;
d) los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en este sistema
oscilante.
177.– Un transductor ultrasónico, de los usados en medicina, es un disco muy delgado de masa
m = 0,10 g que se hace oscilar como si fuese un oscilador armónico simple de frecuencia 1,0 MHz, por
medio de un circuito electrónico de control. Si la máxima fuerza restauradora que se puede aplicar al
disco sin que se rompa es Fmáx = 40 kN, determine:
a) la amplitud A de las oscilaciones para ese caso máximo;
b) la velocidad máxima del transductor que corresponde a esa amplitud.
178.– Una bola de 144 g suspendida de un muelle oscila verticalmente con una frecuencia de 1,50 Hz.
a) ¿Cuánto vale la constante recuperadora del muelle?
b) ¿Cuál sería la masa de la bola que habría que usar con este muelle para que el período de
oscilación fuese el doble?
179.– Una bolita de masa m = 0,5 kg, apoyada sobre una superficie horizontal
sin rozamiento, está unida a una pared mediante un muelle de masa
despreciable y constante recuperadora k = 50 N m−1. Se desplaza m hacia la
derecha 2 cm, y se suelta con velocidad nula de forma que la bolita comienza
a oscilar armónicamente en torno a su posición de equilibrio, O.
a) Determine la frecuencia ω y el periodo T de la oscilación. Escriba la
ecuación del movimiento armónico de la bolita.
b) Represente gráficamente la velocidad de m en función del tiempo.
c) Calcule la energía mecánica de m.
180.– Una masa de 0,50 kg describe un movimiento armónico unida al
extremo de un muelle, de masa despreciable, sobre una superficie horizontal
sin rozamiento. En la siguiente gráfica se relaciona el valor de la energía
mecánica del muelle con el cuadrado de la amplitud de oscilación del
movimiento armónico. Calcule:
a) el valor de la frecuencia de oscilación;
b) el valor de la velocidad máxima de la masa cuando la amplitud de
oscilación del movimiento es 0,1414 m.
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– Vibración y oscilación
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181.– Una masa de 10 g está unida a un resorte y oscila en un plano horizontal con un movimiento
armónico simple. La amplitud del movimiento es A = 20 cm, y la elongación en el instante inicial es
x = −20 cm. Si la energía total es 0,50 J, calcule:
a) la constante elástica del resorte;
b) la ecuación del movimiento;
c) la energía cinética en la posición x = 15 cm.
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182.– Una masa de 100 g está sujeta al extremo de un muelle y oscila con movimiento armónico
simple. El periodo es de 4,0 segundos y la amplitud del movimiento es 24 cm. Calcule:
a) la frecuencia;
b) la constante elástica del resorte;
c) la máxima velocidad que alcanza;
d) la máxima aceleración.
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183.– Una masa de 103 g se une a un muelle de constante elástica 5,0 N m−1 y el conjunto se coloca
sobre una mesa horizontal sin rozamiento. Se separa la masa 3,0 cm de su posición de equilibrio y al
soltarse empieza a oscilar con movimiento armónico simple. Averigüe:
a) el período, la frecuencia y la frecuencia angular (pulsación) del movimiento;
b) la máxima velocidad y la máxima aceleración que adquiere la masa.
184.– Una masa de 2 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es k = 10 N
m−1. El muelle se comprime 5 cm desde la posición de equilibrio (x = 0) y se deja en libertad.
Determine:
a) la expresión de la posición de la masa en función del tiempo, x = x (t);
b) los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la
posición de equilibrio;
c) la fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra en los extremos de la trayectoria;
d) la energía mecánica del sistema oscilante.
Datos: Considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle
está estirado.
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185.– Una masa de 20 g realiza un movimiento armónico simple en el extremo de un muelle de masa
despreciable, sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si realiza 2,0 oscilaciones completas por
segundo, con una amplitud de 5,0 cm, calcule:
a) la velocidad máxima de la masa que oscila;
b) su aceleración máxima;
c) la constante elástica (k) del muelle.
186.– Una masa de 3,0 kg pende de un muelle de constante elástica k y otra
de 200 g pende de un hilo de 35 cm.
a) ¿Cuánto vale la constante elástica del muelle si las dos masas oscilan con
el mismo período?
b) ¿Con qué período oscilan?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,8 m s−2
187.– Una masa de 300 g puede oscilar horizontalmente y sin rozamiento en el extremo de un resorte
horizontal cuya constante elástica es 5,0 N m−1. La masa se desplaza 7,0 cm de su posición de
equilibrio y luego se suelta. Cuando se encuentre a 4,0 cm de la posición de equilibrio, calcule:
a) la velocidad;
b) la aceleración.
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
188.– Una masa de 5,0 gramos realiza un movimiento armónico simple de frecuencia 1,0 Hz y
amplitud 10 cm. Si en t = 0 la elongación es la mitad de la amplitud, calcule:
a) la ecuación del movimiento;
b) la energía mecánica;
c) en qué punto de la trayectoria es máxima la energía cinética y en cuáles es máxima la energía
potencial.
189.– Una masa m colgada de un muelle de constante elástica k y longitud ℓ oscila armónicamente con
frecuencia f. Seguidamente, la misma masa se cuelga de otro muelle que tiene la misma constante
elástica k y longitud doble 2ℓ. ¿Con qué frecuencia oscilará? Razone la respuesta.
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190.– Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una
amplitud de 5 cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación es de 0,5 Hz.
Determine:
a) el valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte;
b) el valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso, si la energía mecánica del sistema es la
misma en ambos casos.
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191.– Una masa m unida a un muelle realiza un movimiento armónico simple.
La figura representa su energía potencial en función de la elongación x.
a) Represente la energía cinética y la energía total en función de x.
b) Calcule la constante elástica del muelle.
c) Si la masa es m = 1,0 kg, calcule su velocidad máxima. ¿En qué posición
x se alcanza esta velocidad?
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192.– Una masa m = 0,20 kg está acoplada a un muelle horizontal, que le hace oscilar sin rozamiento
con una frecuencia f = 2,0 Hz. En el instante inicial, dicha masa se encuentra en la posición
x(t = 0) = 5,0 cm y tiene una velocidad v(t = 0) = −30 cm s−1. Determine:
a) el periodo, la frecuencia angular, la amplitud y la constante de fase inicial;
b) su velocidad y aceleración máximas, la energía total y la posición cuando t = 0,40 s.
193.– Una masa m = 0,30 kg, situada en un plano horizontal sin rozamiento y unida a un muelle
horizontal, describe un movimiento vibratorio armónico. La energía cinética máxima de la masa es 15
J.
a) Si se conoce que entre los dos puntos del recorrido en los que el cuerpo tiene una velocidad nula
hay una distancia de 50 cm, calcule la amplitud, la frecuencia y el periodo del movimiento y la
constante elástica del muelle.
b) Calcule la posición, la velocidad y la aceleración del cuerpo en el instante t = 3 s, considerando
que cuando t = 0 s el cuerpo tiene la energía cinética máxima.
194.– Una masa oscila con un movimiento armónico simple en la dirección del eje Ox alrededor de su
posición de equilibrio (x = 0 cm) con un periodo de 10 s. Sabiendo que en el instante inicial el objeto
se encuentra en x = 1,0 cm con una velocidad v = −15 cm s−1, obtenga la ecuación completa de la
posición en función del tiempo.
195.– Una masa puntual de 10 g está sujeta a un muelle y oscila sobre el eje Ox con una frecuencia de
4 Hz y una amplitud de 6 mm. Si en el instante inicial la elongación de la partícula es cero, determine:
a) las ecuaciones de la elongación y la velocidad de la masa en cualquier instante de tiempo;
b) el período de oscilación de la masa, su aceleración máxima y la fuerza máxima que actúa sobre la
misma;
c) la constante elástica del muelle, así como la energía cinética, la energía potencial y la energía total
de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio.
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– Vibración y oscilación
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196.– Una oscilación viene descrita por la función A cos(10 t), donde t es el tiempo en segundos.
¿Cuánto vale el período?
197.– Una partícula de 0,1 kg de masa, se mueve con un movimiento armónico simple y realiza un
desplazamiento máximo de 0,12 m. La partícula se mueve desde su máximo positivo hasta su máximo
negativo en 2,25 s. El movimiento empieza cuando el desplazamiento es x = +0,12 m.
a) Calcule el tiempo necesario para que la partícula llegue a x = −0,06 m.
b) ¿Cuál será la energía mecánica de dicha partícula?
198.– Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox, de
frecuencia 20 Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y
su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la energía
potencial es 0,6 J.
a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima.
b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía potencial durante
una oscilación.
199.– Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox de
frecuencia 20 Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y
su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la energía
potencial es 0,6 J.
a) Diga el valor de la energía mecánica del oscilador en el origen.
b) Escriba la ecuación del movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima.
200.– Una partícula de 0,5 kg, que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/π Hz,
tiene inicialmente una energía cinética de 0,2 J y una energía potencial de 0,8 J.
a) Calcule la posición y la velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad
máxima.
b) Haga un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál
sería el desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales?
201.– Una partícula de 0,50 kg de masa, realiza un movimiento armónico simple (MAS) a lo largo del
eje Ox. En el instante t = 0 la partícula se encuentra en x = A, donde A es la amplitud del movimiento.
Sabiendo que A = 20 cm, y que la partícula tarda 5,0 segundos en pasar por primera vez por la
posición de equilibrio, calcule:
a) el período y la frecuencia del movimiento;
b) el número de veces que la partícula oscila por minuto;
c) la energía total del sistema;
d) los valores de la energía cinética y la energía potencial cuando la partícula se encuentra a una
distancia x = A/2 de la posición de equilibrio.
202.– Una partícula de 100 gramos de masa atada a un muelle realiza un movimiento armónico simple
de 10 cm de amplitud. Sabiendo, además, que la energía total de este movimiento es de 50 J, calcule:
a) la frecuencia de vibración;
b) la constante de recuperación del muelle.
c) En un cierto instante del tiempo la partícula se encuentra a 5,0 cm de la posición de equilibrio.
¿Cuánto valen su energía cinética y su energía potencial en ese instante?
d) ¿Cuál es la velocidad de la partícula en ese mismo instante?
203.– Una partícula de 2 g oscila con movimiento armónico simple de 4 cm de amplitud y 8 Hz de
frecuencia y en el instante t = 0 se encuentra en la posición de equilibrio.
a) Escriba la ecuación del movimiento y explique las variaciones de energías cinética y potencial de
la partícula durante un periodo.
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando la elongación es de 1 cm.
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– Vibración y oscilación
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204.– Una partícula de 20 g de masa está atada a un resorte y realiza un movimiento armónico simple.
Sabiendo que cuando está a 15 cm de la posición de equilibrio tiene una aceleración de 10 cm s−2 y
que la amplitud del movimiento es de 25 cm, calcule:
a) su periodo;
b) la frecuencia natural (υ);
c) la energía del movimiento;
d) la velocidad máxima que alcanza la partícula.
205.– Una partícula de 250 g vibra con una amplitud de 15 cm y una energía mecánica de 12 J.
Calcule:
a) la constante recuperadora;
b) la frecuencia de vibración;
c) la energía cinética de la partícula cuando se encuentra a 5,0 cm de la posición de equilibrio.
206.– Una partícula de 3 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox entre los
puntos x = −2 m y x = 2 m y tarda 0,5 segundos en recorrer la distancia entre ambos puntos.
a) Escriba la ecuación del movimiento sabiendo que en t = 0 la partícula se encuentra en x = 0.
b) Escriba las expresiones de la energía cinética y de la energía potencial de la partícula en función
del tiempo y haga una representación gráfica de dichas energías para el intervalo de tiempo de una
oscilación completa.
207.– Una partícula de 4,5 kg de masa vibra a lo largo del eje Oy atada a un muelle lineal de constante
recuperadora 10 N m−1 de tal forma que la fuerza que se ejerce sobre la masa es de la forma Fy = −k y.
Si sabemos que en el instante t = 0 la partícula está separada 1,0 m de la posición de equilibrio y que
tiene una velocidad de 2,0 m s−1, calcule:
a) la energía total del movimiento;
b) el periodo y la frecuencia (en hertzios) del movimiento;
c) el tiempo que tarda la partícula en pasar por primera vez por la posición de equilibrio;
d) la amplitud del movimiento.
208.– Una partícula de 5,0 g de masa se mueve con un movimiento armónico simple de 6,0 cm de
amplitud a lo largo del eje Ox. En el instante inicial (t = 0) su elongación es de 3,0 cm y el sentido del
desplazamiento hacia el extremo positivo. Un segundo más tarde su elongación es de 6,0 cm por
primera vez. Determine:
a) la fase inicial y la frecuencia del movimiento;
b) la función matemática que representa la elongación en función del tiempo, x = x(t);
c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de la partícula, así como las posiciones
donde los alcanza;
d) la fuerza que actúa sobre la partícula en t = 1,0 s y su energía mecánica.
209.– Una partícula de 5,0 kg de masa realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje Oy.
En el instante t = 0 la partícula se encuentra en el extremo de la trayectoria, a una distancia de
10 centímetros de la posición de equilibrio. Sabiendo que tarda 4,0 s en pasar por primera vez por la
posición de equilibrio, calcule:
a) el periodo y la frecuencia del movimiento;
b) la energía total del sistema;
c) la velocidad de la partícula cuando se encuentra separada 6,0 cm de la posición de equilibrio;
d) la energía de la partícula a los 1,5s de haberse iniciado el movimiento.
210.– Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje Ox, alejándose como máximo 10 cm a un lado y al
otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una
relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = −16 π2 x.
a) Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo,
sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.
b) Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5,0 cm de la
posición de equilibrio.
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– Vibración y oscilación
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211.– Una partícula de masa 0,010 kg tiene un movimiento oscilatorio armónico. Su velocidad cuando
pasa por el punto de equilibrio es de 4,0 m s−1 y la amplitud del movimiento es de 1,2 cm. Determine:
a) la frecuencia del movimiento;
b) la energía total;
c) la velocidad de la partícula cuando la elongación es de 0,50 cm.
212.– Una partícula de masa 10 g describe un movimiento armónico simple sobre el eje Ox. El centro
de oscilación se halla en el origen de coordenadas, la amplitud es 2 m y el periodo T = π/5 s. La
posición en el instante inicial es (x = 2 m, y = 0 m).
a) Halle la ecuación del movimiento (posición de la partícula en función del tiempo).
b) Halle la máxima energía cinética de la partícula.
c) Determine en qué instantes alcanza la partícula esta energía cinética máxima.
d) Halle la distancia de la partícula al punto (x = 0 m, y = 2 m) en función del tiempo.
213.– Una partícula de masa 10 kg cae desde una altura de 6,0 m sobre un muelle de constante elástica
20 000 N m−1 dispuesto verticalmente sin deformar en el suelo. Determine:
a) la velocidad con que la partícula llega al nivel del suelo antes de impactar con el muelle;
b) cuánto se deforma como máximo el muelle;
c) la fuerza que ejerce el muelle sobre la partícula cuanto está totalmente comprimido.
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s–2
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214.– Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3,0 m y cuya
aceleración viene dada por la expresión a = −9 π2 x en unidades SI. Sabiendo que se ha empezado a
contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos
positivos, determine:
a) el periodo y la constante recuperadora del sistema;
b) la expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo x = x(t);
c) los valores absolutos de la velocidad y de la aceleración cuando el desplazamiento es la mitad del
máximo;
d) las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima.
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215.– Una partícula de masa 3,0 g oscila con movimiento armónico simple de elongación en función
del tiempo: x(t) = 0,50 · cos (0,40 t + 0,10), en unidades SI. Determine:
a) la amplitud, la frecuencia, la fase inicial y la posición de la partícula en t = 20 s;
b) las energías cinéticas máxima y mínima de la partícula que oscila, indicando en qué posiciones se
alcanzan.
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216.– Una partícula de masa m = 2 kg, describe un movimiento armónico simple cuya elongación
viene expresada por la función: x = 0,6 · sin (24 π t) metros, donde t se expresa en segundos. Calcule:
a) la constante elástica del oscilador y su energía mecánica total;
b) el primer instante de tiempo en el que la energía cinética y la energía potencial de la partícula son
iguales.
217.– Una partícula de masa m = 4,0 g oscila armónicamente a lo largo del eje Ox en la forma
x (t) = A cos (ω t) con una amplitud de 5,0 cm y un periodo de oscilación T = 0,20 s. Determine y
represente gráficamente:
a) la velocidad de la partícula en función del tiempo;
b) las energías cinética y potencial en función de la posición x. Calcule la energía mecánica de la
partícula.
218.– Una partícula de masa m describe un m.a.s. de ecuación: x (t) = A· sen (ω t + ϕ0). Determine y
represente en un diagrama cómo varían las energías cinética, potencial y mecánica para dicha partícula
en función de:
a) su posición x.
b) del tiempo t.
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– Vibración y oscilación
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219.– Una partícula de masa m empieza un movimiento armónico simple partiendo del reposo en
x = +25 cm, oscilando alrededor de su posición de equilibrio en x = 0 con un periodo de 1,5 s.
Encuentre las ecuaciones para:
a) la posición x en función del tiempo;
b) la velocidad v en función de t;
c) la aceleración a en función de t.
220.– Una partícula de masa m = 0,1 kg oscila armónicamente en la forma x = A · sen ωt, con
amplitud A = 0,2 m y frecuencia angular ω = 2π rad s−1.
a) Calcule la energía mecánica de la partícula.
b) Determine y represente gráficamente las energías potencial y cinética de m en función de la
elongación x.
221.– Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la forma
x = A · sen ωt. En la figura se representa la velocidad de esta partícula en
función del tiempo.
a) Determine la frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación.
b) Calcule la energía cinética de m en el instante t1 = 0,5 s, y la potencial en
t2 = 0,75 s. ¿Coinciden? ¿Por qué?
222.– Una partícula de masa m = 20 g oscila armónicamente en la forma x
(t) = A · sen ωt. En la figura se representa la velocidad de la partícula en
función del tiempo.
a) Determine la frecuencia angular ω y la amplitud A de la oscilación.
b) Calcule la energía cinética y la potencial de la masa m en función del
tiempo. Justifique cuánto vale la suma de ambas energías.
223.– Una partícula de masa m = 25 g , unida a un muelle de constante elástica k = 10 N m−1, oscila
armónicamente con una amplitud de 4,0 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento.
a) Deduzca la expresión de la aceleración de la partícula en función del tiempo y represéntela
gráficamente. Indique sobre dicha gráfica qué instantes de tiempo corresponden al paso de la
partícula por las posiciones de equilibrio y de máxima elongación. (Tome el origen de tiempos
cuando la partícula pasa con velocidad positiva por la posición de equilibrio, x = 0).
b) Calcule las energías cinética y potencial elástica de la partícula cuando se encuentra en la posición
x = 1,0 cm.
224.– Una partícula de masa m = 32 g, unida a un muelle de constante elástica
k = 20 N m−1, oscila armónicamente sobre una superficie horizontal sin
rozamiento con una amplitud de 3,0 cm.
a) Determine, y represente gráficamente, la velocidad de la partícula en
función del tiempo.
b) Calcule la energía mecánica de la partícula. ¿Qué fuerza se ejerce sobre
la masa cuando se encuentra a 1,0 cm de su posición de equilibrio?
225.– Una partícula de masa m = 4 kg realiza un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox,
entre los puntos x = −5 m y x = 5 m. En el instante inicial la partícula pasa por x = 0 m con velocidad


v = 3 i m s−1. Calcule:
a) la frecuencia angular (pulsación) y el periodo del movimiento;
b) la posición de la partícula en función del tiempo;
c) la velocidad de la partícula en función del tiempo;
d) la energía total. ¿Es esta energía función del tiempo?
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– Vibración y oscilación
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226.– Una partícula de masa m = 5 g oscila armónicamente a lo largo del eje Ox en la forma x = A ·
cos ωt, con A = 0,1 m y ω = 20π rad s−1.
a) Determine y represente gráficamente la velocidad de la partícula en función del tiempo.
b) Calcule la energía mecánica de la partícula.
c) Determine y represente gráficamente la energía potencial de m en función del tiempo.
227.– Una partícula de masa m, que sólo puede moverse a lo largo del eje Ox, se sitúa inicialmente
(t = 0) en la posición x = x0 y se libera con velocidad nula. Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según
el eje Ox, F = −k x, donde k es una constante positiva.
a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describa analítica y gráficamente cómo dependen
del tiempo su posición, x (t), y su velocidad, v (t).
b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N m−1 y x0 = 5 cm, calcule las energías cinética y potencial de la partícula
cuando pasa por x = 0.
228.– Una partícula describe un movimiento armónico simple cuya ecuación es x(t) = 4,0 · sen (20 t)
(SI). Calcule al cabo de 2 minutos exactos:
a) la velocidad;
b) la aceleración de la partícula.
229.– Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f.
a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función del
tiempo y comente sus características.
b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la
partícula al duplicar el periodo de oscilación.
230.– Una partícula describe un movimiento armónico simple en el que la elongación, expresada en el
Sistema Internacional, viene dada por la ecuación: x = 3,0 sen (10 π t + π/2).
a) Calcule la amplitud, la frecuencia, el período del movimiento y la fase inicial.
b) Determine la elongación en el instante t = 2,0 s.
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231.– Una partícula describe un movimiento armónico simple iniciando el movimiento en el extremo
de la trayectoria. Se sabe que de un extremo a otro hay 20 cm y que tarda 0,20 s en llegar al centro.
Calcule:
a) la amplitud, la frecuencia y la fase inicial;
b) la ecuación del movimiento de la partícula (dibuje la elongación frente al tiempo en el primer
periodo del movimiento);
c) la posición de la partícula a los 0,30 s de iniciado el movimiento.
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232.– Una partícula describe un movimiento armónico simple, entre dos puntos A y B que distan 20
cm, con un periodo de 2 s.
a) Escriba la ecuación de dicho movimiento armónico simple, sabiendo que para t = 0 la partícula se
encuentra en el punto medio del segmento AB.
b) Explique cómo varían las energías cinética y potencial durante una oscilación completa.
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233.– Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1,0 s. Sabiendo
que en el instante t = 0 su elongación es 0,70 cm y su velocidad 4,39 cm s−1, calcule:
a) la amplitud y la fase inicial;
b) la máxima aceleración de la partícula.
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234.– Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje Ox en la forma
representada en la figura.
a) Determine y represente gráficamente la velocidad y la aceleración de la
partícula en función del tiempo.
b) ¿En qué instantes es máxima la energía cinética de la partícula? ¿Qué
valor tiene en estos instantes su energía potencial?
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235.– Una partícula oscila con un movimiento armónico simple a lo largo del eje Ox. La ecuación que
describe el movimiento de la partícula es x = 4,0 · cos(π t + π/4), donde x se expresa en metros y t en
segundos.
a) Determine la amplitud, la frecuencia y el periodo del movimiento.
b) Calcule la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 1,0 s.
c) Determine la velocidad y la aceleración máximas de la partícula.
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236.– Una partícula oscila según un movimiento armónico simple, de forma que su posición viene
dada por la ecuación 𝑥𝑥 = 0,50 · cos(12 t + π/4), en unidades básicas del Sistema Internacional. Calcule:
a) la frecuencia y el periodo del movimiento;
b) la posición y la velocidad de la partícula en el instante inicial.
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237.– Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en
cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 m s−2. Calcule:
a) la frecuencia y el periodo del movimiento;
b) la velocidad máxima de la partícula.
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238.– Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2,0 s en
efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva,
determine:
a) la expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo;
b) la velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s.
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239.– Una partícula que vibra con movimiento armónico simple tiene en el instante inicial una
elongación nula y una velocidad máxima, que es de 20 cm s−1 hacia el sentido positivo. Si la máxima
aceleración que adquiere durante el movimiento es de 0,80 m s−2, averigüe:
a) la pulsación o frecuencia angular, el período y la amplitud del movimiento;
b) la elongación que sufre la partícula a los 1,5 s de iniciado el movimiento.
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240.– Una partícula realiza el movimiento armónico representado en la
figura:
a) Obtenga la amplitud, la frecuencia angular y la fase inicial de este
movimiento. Escriba la ecuación del movimiento en función del tiempo.
b) Calcule la velocidad y la aceleración de la partícula en t = 2,0 s.
241.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple (m.a.s.) siguiendo una trayectoria
rectilínea. En el instante t = 0 la partícula se encuentra en el extremo de la misma x = A. Sabiendo que
tarda 0,5 s en llegar hasta la posición de equilibrio y la amplitud de oscilación es de 20 cm, calcule:
a) el periodo y la frecuencia del movimiento;
b) el número de oscilaciones que hace en un minuto;
c) la energía total del sistema;
d) la posición de la partícula a los 2 s de haberse iniciado el movimiento.
Datos: Constante del muelle o resorte: k = 10 N m−1
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242.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple (mas) siguiendo una trayectoria rectilínea
de manera que se inicia en el extremo positivo de la misma y tarda 0,25 s en alcanzar el punto medio
de la misma. Sabiendo que la distancia entre ambas posiciones es de 10 cm, calcule:
a) el periodo y la frecuencia del mas;
b) el número de vibraciones que realiza en un minuto;
c) las constantes del movimiento;
d) la posición de la partícula 0,5 s después de iniciado el movimiento.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
– Vibración y oscilación
02/10/2015
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243.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple a lo largo de un
segmento recto AB de 20 cm de longitud, con un periodo de 4,0 s. Si en el
instante inicial (t = 0 s) se encuentra en el extremo A, determine:
a) la ecuación del movimiento;
b) la velocidad y aceleración al pasar por el punto medio entre A y la
posición de equilibrio O.
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244.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple con una amplitud de 8 cm y un periodo de
4 s. Sabiendo que en el instante inicial la partícula se encuentra en la posición de elongación máxima:
a) determine la posición de la partícula en función del tiempo;
b) halle cuáles son los valores de la velocidad y de la aceleración 5 s después de que la partícula pase
por un extremo de la trayectoria.
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245.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a
la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con:
a) el periodo;
b) la velocidad máxima;
c) la aceleración máxima;
d) la energía mecánica de la partícula.
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246.– Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia se duplica, manteniendo
la amplitud constante, ¿qué ocurre con el periodo, la velocidad máxima y la energía total? Justifique la
respuesta.
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247.– Una partícula realiza un movimiento vibratorio armónico simple a lo largo de un segmento de
8,0 cm de longitud y tarda en recorrerlo 0,050 s. Si en el instante inicial su elongación es máxima,
determine:
a) la ecuación de la elongación del movimiento en función del tiempo;
b) la posición en el instante t = 1,85 s y la diferencia de fase con el instante inicial.
248.– Una partícula realiza un movimiento vibratorio armónico simple. Escriba la ecuación del
movimiento en unidades del Sistema Internacional en los siguientes casos:
a) La aceleración máxima de la partícula es igual a 4 π2 cm s−2, el periodo de las oscilaciones es 2,0 s
y la elongación de la partícula en el instante inicial era 2,5 cm.
b) La elongación en el instante inicial es nula. La velocidad de la partícula es de 4,0 cm s−1 cuando
la elongación es 2,4 cm y el periodo de las oscilaciones es 3,4 s.
249.– Una partícula se encuentra animada de un movimiento armónico simple, posee una aceleración
de 8,0 m s−2 cuando se encuentra a 0,15 m de su posición de equilibrio. Calcule su período.
Datos: π = 3,14
250.– Una partícula se mueve en el eje Ox y realiza un movimiento armónico simple entre los puntos
�⃗i = 20 𝒊𝒊⃗ m s−1.
x = 0 m y x = 10,0 m. En el instante inicial pasa por x = 5,0 m con velocidad 𝒗𝒗
a) Calcule el periodo del movimiento.
b) Calcule la posición de la partícula en función del tiempo.
c) Realice una gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo.
d) Calcule la velocidad de la partícula en función del tiempo.
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino
Problemas de Física 2º Bachillerato (PAU)
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– Vibración y oscilación
02/10/2015
251.– Una partícula se mueve en el eje Ox, alrededor del punto x = 0, describiendo un movimiento
armónico simple de periodo 2,0 s, e inicialmente se encuentra en la posición de elongación máxima
positiva. Sabiendo que la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es 0,050 N y su energía total
0,020 J, determine:
a) la amplitud del movimiento que describe la partícula;
b) la masa de la partícula;
c) la expresión matemática del movimiento de la partícula;
d) el valor absoluto de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posición de equilibrio.
252.–
Una pequeña plataforma horizontal sufre un movimiento armónico simple en sentido vertical,
de 3,00 cm de amplitud y cuya frecuencia aumenta progresivamente. Sobre ella reposa un pequeño
objeto.
a) ¿Para qué frecuencia dejará el objeto de estar en contacto con la plataforma?
b) ¿Cuál será la velocidad de la plataforma en ese instante?
Datos: Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra: g0 = 9,81 m s−2
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253.– Una persona de 71,5 kg de masa se dispone a hacer "puenting" con una cuerda de constante
elástica 100 N m−1 y cuya longitud es ℓ = 20 m.
a) Calcule la longitud de la cuerda cuando la persona se cuelga de ella y queda en una posición de
equilibrio.
b) Obtenga el período de las oscilaciones armónicas que realiza la persona colgada de la cuerda si se
perturba su posición respecto al equilibrio.
c) La persona se deja caer sin velocidad inicial desde un puente y desciende hasta una distancia h = ℓ
+ A, donde A es la elongación máxima de la cuerda. Determine la distancia h.
Datos: Tome el origen de energía potencial gravitatoria en el punto más bajo, donde, por tanto, sólo habrá
energía potencial elástica
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254.– Una persona de masa 60 kg, que está sentada en el asiento de un vehículo, oscila verticalmente
alrededor de su posición de equilibrio comportándose como un oscilador armónico simple. Su posición
inicial es y(0) = A cos (π/6) donde A = 1,2 cm, y su velocidad inicial vy (0) = −2,4 · sen (π/6) m s−1.
Calcule, justificando brevemente:
a) la posición vertical de la persona en cualquier instante de tiempo, es decir, la función y(t);
b) la energía mecánica de dicho oscilador en cualquier instante de tiempo.
255.– Una superficie vibra y la posición es x(t) = 0,025·sen (440 t) (x y t tienen unidades del SI).
¿Cuáles son los tres primeros instantes después de t = 0 en los que la aceleración es nula? Responda
con el resultado en milisegundos.
256.– Una tabla de herramientas vibra y la posición vertical de un borde de la tabla cambia respecto de
un punto fijo según: z(t) = 0,034 · sen (249 t) (z y t en unidades del SI). Determine los cuatro
primeros instantes en que el valor absoluto de la aceleración es:
a) cero;
b) máximo.
c) ¿Con qué velocidad máxima se mueve el borde cuando la tabla vibra?
Licencia Creative Commons 3.0. Autor: Antonio José Vasco Merino