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Teorı́a del potencial
Leonardo Fernández Jambrina
Matemática Aplicada
E.T.S.I. Navales
Curso 2002-3
1.
Campos conservativos e irrotacionales
Definición 1.1 Sea v un campo vectorial y ω = v [ . Si ω es una 1-forma exacta en un abierto W de
Rn , ω = dV , v = grad f , decimos que v es un campo conservativo en W . El campo escalar V se
denomina potencial escalar de v. Si ω es una 1-forma cerrada, dω ≡ 0 ⇔ rot ω ≡ 0 ≡ rot v, decimos
que el campo v es irrotacional.
Por tanto, todo campo conservativo es irrotacional, pero no a la inversa.
Teorema 1.1 Sea v un campo vectorial definido en un abierto W de Rn . Son equivalentes:
1. El campo v es conservativo.
2. La circulación de v a lo largo de cualquier curva cerrada contenida en W es nula.
3. La circulación entre dos puntos de W no depende de la curva contenida en W que los une.
Corolario 1.1 Sea v un campo irrotacional en un abierto W de R2 o R3 . Si toda curva cerrada simple
Γ ⊂ W es borde orientado de alguna superficie compacta contenida en W , v será conservativo. A dichos
subconjuntos los denominaremos simplemente conexos.
Corolario 1.2 Sea v un campo irrotacional definido en un abierto W ⊂ Rn que se obtiene eliminando
regiones cerradas disjuntas, C1 ,. . . , Cm de un abierto simplemente conexo de Rn . Entonces la circulación
m
X
de v a lo largo de una curva Γ ⊂ W es, Cv,Γ =
ni ki , donde ki es el valor de la circulación de v a
i=1
lo largo de cualquier curva cerrada orientada positiva simple que rodee sólo a C i y ni es el número de
vueltas (ı́ndice de anudamiento), contando las positivas (negativas) con signo positivo (negativo), que da
la curva alrededor de Ci .
2.
Campos solenoidales y sin divergencia
Definición 2.1 Sea v un campo vectorial y ω = v [ . Si ∗ω es exacta, ∗ω = dα, v = rot A, α = A[ ,
en un abierto W de R3 (v = rot V en un abierto de W de R2 , V campo escalar en W ), el campo v se
denomina solenoidal. El campo A (V) se denomina potencial vectorial (función de corriente) de
v. Si ∗ω es cerrada, d ∗ ω ≡ 0 ⇔ div v = div ω = ∗d ∗ ω ≡ 0, diremos trivialmente que el campo v es un
campo sin divergencia.
Obviamente, si el campo v es solenoidal, es un campo sin divergencia, aunque no a la inversa.
Teorema 2.1 Sea v un campo vectorial definido en un abierto W de R3 (R2 ). Son equivalentes:
1. El campo v es solenoidal.
2. El flujo de v a través de una superficie (curva) compacta contenida en W sólo depende de una
integral sobre su borde (de los extremos de la curva) orientado.
3. El flujo de v a través de cualquier superficie (curva) cerrada contenida en W es nulo.
Corolario 2.1 Un campo v sin divergencia en un abierto W de R3 (R2 ) es solenoidal si toda superficie
(curva) cerrada orientada contenida en W es borde de un abierto de R 3 (R2 ) contenido en W .
Corolario 2.2 Sea v un campo sin divergencia definido en un abierto W ⊂ Rn , n = 2, 3, que se obtiene
eliminando regiones cerradas disjuntas, C1 ,. . . , Cm de un abierto en el que toda hipersuperficie es borde.
m
X
Entonces el flujo de v a través de una hipersuperficie Σ ⊂ W es, Φv,Σ =
ni li , donde li es el valor
i=1
del flujo de v a través de cualquier hipersuperficie cerrada orientada positiva que rodee sólo a C i y li
es el número de veces, contando las positivas (negativas) con signo positivo (negativo), que rodea la
hipersuperficie a Ci .
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