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TEMA 4: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
PARTE 1: Campo eléctrico. Magnitudes que lo caracterizan: intensidad de campo y
potencial eléctrico.
• Fuerza entre cargas en reposo; ley de Coulomb. Características de la interacción
entre dos cargas puntuales.
• Interacción de un conjunto de cargas puntuales; superposición
• Energía potencial electrostática de una carga en presencia de otra. Superposición.
• Potencial electrostático de una carga puntual y de un conjunto de cargas puntuales.
• Campo eléctrico de una carga puntual.
• Relación entre campo y potencial electrostáticos.
• Campo electrostático de un conjunto de cargas puntuales.
PARTE 2: Relación entre fenómenos eléctricos y magnéticos. Campos magnéticos
creados por corrientes eléctricas. Fuerzas magnéticas: ley de Lorentz e interacciones
magnéticas entre corrientes rectilíneas. Experiencias con bobinas, imanes, motores, etc.
Magnetismo natural. Analogías y diferencias entre campos gravitatorio, eléctrico y
magnético.
• Las cargas en movimiento como origen del campo magnético: experiencias de
Öersted.
• Justificación del carácter relativo del campo magnético.
• Campo creado por una corriente rectilínea indefinida.
• Campo creado por una espira circular.
• Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz.
• Movimiento de cargasen un campo magnético uniforme.
• Fuerza magnética entre dos corrientes rectilíneas indefinidas.
PARTE 3: Inducción electromagnética. Producción de energía eléctrica, impactos y
sostenibilidad. Energía eléctrica de fuentes renovables.
•
•
•
•
•
Introducción elemental del concepto de flujo.
Fenómenos de inducción electromagnética: introducción fenomenológica.
Fuerza electromotriz inducida y variación de flujo. Ley de Lenz Faraday.
Producción de corrientes alternas; fundamento de los generadores.
Transporte y uso de las corrientes alternas; fundamento del transformador. Ventajas
de la corriente alterna frente a la corriente continua.
FUERZA ENTRE CARGAS EN REPOSO. LEY DE COULOMB
La ley de Coulomb dice: La fuerza con que dos cargas en reposo se atraen o repelen, según
sean sus signos, es proporcional en módulo al producto de sus cargas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. La dirección de la fuerza es según
la recta que une las cargas y el sentido atractivo si las cargas tienen distinto signo y
repulsivo si tienen el mismo.
SI elegimos un SR centrado en la carga q que crea el campo. como la dirección de la fuerza
que ejerce sobre la carga q´ tiene la dirección de la recta que las une, resulta que tendrá la
misma dirección que el vector de posición.
r
Q⋅q r
F = K 2 ur
r
•
r
u r es un vector unitario del vector de posición de q respecto de Q, es decir, es un
vector en la dirección de la línea que une los centros de las cargas y el sentido, como
se hacía en el campo gravitatorio, se toma desde la carga que crea el campo hacia la
otra.
•
Observa que, a diferencia de la ley de gravitación de Newton, esta expresión no
lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de carga. El signo
“menos” se interpretaba como una fuerza atractiva, es decir que tiene la dirección
r
del vector unitario − u r . Ahora no es necesario, porque cuando se trate de dos
cargas positivas, o dos cargas negativas, al sustituir resultará un vector en dirección
r
y sentido de u r , es decir se repelen. Cuando se trate de una carga positiva y otra
r
negativa resultará un vector en la dirección y sentido de − u r , es decir se atraen.
A este respecto es muy importante tener en cuenta que si queremos calcular el
vector fuerza debemos sustituir los valores de las cargas con su signo incluido que
es precisamente quién nos dará el sentido de la fuerza. Sin embargo si solamente
queremos calcular el valor del módulo de la fuerza entonces será suficiente con
sustituir el valor de las cargas en valor absoluto.
•
K es una constante de proporcionalidad llamada “constante de Coulomb” y hace un
papel similar al que hacía G en la ley de gravitación universal aunque, a diferencia
de aquella, ésta no es realmente una constante porque depende del medio en el que
están situadas las cargas.
1
K=
4πε
ε es una constante específica de cada medio que se llama permitividad o constante
dieléctrica. Su valor para algunos medios es:
Medio
Vacío
Aire
Agua
Vidrio
Mica
ε (C2/N.m2)
8 ,85 ⋅ 10 −12
8 ,85 ⋅ 10 −12
716 ,85 ⋅ 10 −12
53,00 ⋅ 10 −12
35 ,00 ⋅ 10 −12
Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fórmula de Coulomb
y su valor para el caso del vacío o del aire es:
K = 9 ⋅ 10 9 N ⋅ m 2 / C 2
Características de la interacción entre cargas: (las mismas que ya vimos para la
interacción ente masas).
Son fuerzas centrales con lo que ello conlleva: (1) El campo eléctrico tiene simetría esférica,
(2) una carga sometida a un campo de fuerzas centrales describe un movimiento en un plano,
r
(3) el momento angular L de una partícula sometida a fuerzas centrales se conserva en el
tiempo y (4) el trabajo realizado por la fuerza central para que q orbite alrededor de ella es
nulo porque en todo momento la fuerza y el vector desplazamiento son perpendiculares, por
r r
tanto ∫ F • d r = 0 y (5) Son fuerzas conservativas con lo que ello conlleva: (a) el trabajo para
llevar a la carga q desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solo
depende de la posición de los puntos, (b) la energía que la carga q tiene en cada uno de los
puntos del campo creado por q solamente depende de la posición y por eso se le puede asignar
una energía que llamamos energía potencial y (c) una carga sometida a fuerzas conservativas
conserva su energía mecánica: Ec + Ep = cte
Observaciones: Es importante tener en cuenta que, lo mismo que con las masas, la fuerza
actúa tanto sobre una carga como sobre la otra son iguales y de sentidos opuestos, es decir,
una es la de acción y la otra de reacción:
r
r
F12 = − F21
F12 = F21
Lo que sucede es que solo nos interesa saber la fuerza que actúa sobre el testigo, por ese
motivo a la que actúa sobre la masa que crea el campo no le prestaremos atención, sin que
ello quiera decir que no exista.
Podrías preguntarte porqué en el encabezamiento dice: fuerzas entre cargas en reposo.
Como ya sabes, una carga eléctrica siempre crea a su alrededor un campo eléctrico, pero si
está en movimiento, entonces, además crea otro magnético como veremos mas adelante y
por tanto la cosa cambia.
INTERACCIÓN DE UN CONJUNTO DE CARGAS PUNTUALES. PRINCIPIO DE
SUPERPOSICIÓN
La ley de Coulomb nos da la fuerza con que se atraen dos cargas, pero no hace referencia a
la posible existencia de otras cargas. Ello nos lleva al principio de superposición:
“Si una carga se encuentra en el campo creado por varias cargas, la fuerza total sobre ella
es la fuerza resultante de las que cada carga, por separado, ejerza sobre ella.” De igual
forma puede decirse que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es igual a
la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto.
r
r
Ftotal = ∑ Fi
r
r
Ftotal = q ∑ E i
r
r
es decir que E total = ∑ E i
Ejemplo: Dos cargas fijas q1 = −3µC y q 2 = −6µC están separadas en el vacío una
distancia de 0,3m. Calcular la fuerza que se ejercen entre ellas. ¿Dónde deberíamos colocar
una carga q = +1µC para quede en reposo?
a) La fuerza con que se repelen las dos cargas, puesto que tienen el mismo signo, viene
dada por la ley de Coulomb:
q1 ⋅ q 2
r2
−6
o 6 ⋅ 10 −6
9 3 ⋅ 10
F = 9 ⋅ 10
= 1,8 N
(0,3) 2
F12 = F21 = K
b) Para que la carga esté en equilibrio es necesario que la suma de todas las fuerzas sobre
ella sea cero. De acuerdo al principio de superposición la fuerza resultante es la suma
vectorial de las fuerzas que cada carga hace por separado sobre q´). Para que sea nula es
necesario que (1) las dos fuerzas tengan la misma dirección, (2) sentidos opuestos y (3) el
mismo módulo.
F1 = F2
K
q1 ⋅ q
q ⋅q
= K 22
2
r1
r2
3 ⋅ 10 −6 ⋅ q
6 ⋅ 10 −6 ⋅ q
K
=K
x2
(0,3 − x ) 2
x = 0,12m
Ejemplo: Tres cargas eléctricas se encuentran en los vértices de un
triángulo equilátero de lado a como se indica en la figura ¿Qué
fuerza actúa sobre la carga q?
Dar el resultado en función de +q, +Q, −Q y a.
Sencillamente no hay más que aplicar el principio de superposición, así que calcularemos
la fuerza que cada carga hace por separado sobre +q y luego las sumamos vectorialmente.
La fuerza que la carga +Q ejerce sobre +q es repulsiva por tener el mismo signo y en la dirección
de la recta que une ambas cargas. Su módulo de acuerdo con la ley de Coulomb es:
F1 = K
Q⋅q
a2
La fuerza que la carga –Q ejerce sobre +q es atractiva por tener distinto signo y en la
dirección de la recta que las une, y el módulo (recuerda que para calcular el módulo solo
tomamos las cargas en valores absolutos)
F2 = K
Q⋅q
a2
Ahora solo hay que sumar dos vectores. Para ello elegimos un sistema de referencia
cualquiera, aunque parece apropiado uno como el de la figura:
el siguiente paso es descomponer los vectores según los ejes del sistema de referencia
elegido, y luego se escriben vectorialmente las fuerzas:
r
r
r
F1 = F1 cos 60 i + F1sen 60 j
r
r
r
F2 = F2 cos 60 i − F2 sen 60 j
r
r
r
F = (F1 + F2 ) cos 60 i + (F1 − F2 )sen 60 j
Q⋅q
nos quedaría que
a2
r
Q⋅q r
y como cos60=1/2 F = K 2 i
a
Teniendo en cuenta que como hemos visto antes F1 = F2 = K
r
r
Q⋅q
F = 2K 2 cos 60 i
a
NOCIÓN DE CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DE CAMPO ELÉCTRICO DE
UNA CARGA PUNTUAL
Hemos visto que la fuerza que actúa sobre una carga q cuando la colocamos en un punto del
campo eléctrico creado por otra carga Q, depende de magnitudes propias del campo (la carga
que lo crea Q y la posición del punto (r)) pero también depende del valor de la carga q.
Para evitar que la fuerza en un punto de un campo dependa de la carga del testigo, vamos a
definir una magnitud nueva llamada Intensidad del campo eléctrico como la fuerza por
s
unidad de carga. La intensidad del campo eléctrico se representa por E :
r
r F
Qr
E = = K 2 ur
q´
r
• La Intensidad de campo eléctrico solamente depende de la carga q que crea el
campo y de r, es decir de la posición del punto en el campo.
• La intensidad de campo en un punto nos permite conocer la fuerza que actuará
r
r
sobre un testigo de carga q colocado en ese punto: F = q E . Como se deduce de la
relación, la fuerza es un vector que siempre tiene la misma dirección que el campo,
pero su sentido depende el signo de la carga q. Si q es positiva ambos vectores
tendrán la misma dirección. Si q es negativa tendrán sentidos opuestos.
Por otro lado, hemos visto que el campo eléctrico creado por varias cargas en un punto es
r
r
igual a la suma vectorial de los campos que crean cada carga en ese punto. E total = ∑ E i
es decir, se cumple el principio de superposición.
Ejemplo E6A.S2007
Una partícula de masa m y carga −10−6 C se encuentra en reposo al estar sometida al
campo gravitatorio terrestre y a un campo eléctrico uniforme E = 100 N C−1 de la
misma dirección.
a) Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la partícula y calcule su masa.
b) Analice el movimiento de la partícula si el campo eléctrico aumentara a 120 N C−1 y
determine su aceleración.
a) Obviamente para que la partícula cargada esté en equilibrio, la fuerza peso debe
contrarrestarse con la eléctrica. Como sabemos las líneas de fuerza tienen el sentido en que se
movería una carga positiva (ese fue el criterio que se adoptó) así que como la fuerza eléctrica
debe ir hacia arriba para compensar al peso y como la carga es negativa, el campo eléctrico
r
r
r
debe ir hacia abajo. (Recuerda que F = q E , por tanto al multiplicar un vector ( E ) por un
r
escalar negativo (q) el resultado es un vector ( F ) en la misma dirección y sentido contrario).
Podemos prescindir del carácter vectorial de las magnitudes ya que el movimiento tiene
lugar en una sola dimensión, por tanto nos limitaremos a igualar los módulos de las fuerzas
y en ese caso recuerda que el valor de la carga se sustituye en valor absoluto.
Felectr = Fgravit
mg = qE
m ⋅ 10 = 10 −6 ⋅ 100
m = 10 −5 Kg
r
De hacer el tratamiento vectorial, habríamos planteado que ∑ F = 0 , (en tal caso al
sustituir los valores de la carga debemos incluir su signo), es decir que:
r
r
mg + qE = 0
⇒
r
r
m ⋅ 10(− j ) + (−10 −6 ) ⋅ 100(− j ) = 0
⇒
m = 10 −5 Kg
b) Si el campo eléctrico aumenta de valor, la fuerza eléctrica será mayor que el peso y en
consecuencia habrá una fuerza neta y, por tanto, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la
partícula tendrá un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia arriba, es decir, en la
dirección y sentido de la fuerza resultante. Aplicando la segunda ley de Newton:
r r
r
r
F
=
F
+
F
∑ electr gravit = m a
r
r
r
qE + mg = ma
r
r
r
− 10 −6 ⋅ 120(− j) + 10 −5 ⋅ 10(− j) = 10 −5 a
r
r
r
1,2 ⋅ 10 −4 j − 10 −4 j = 10 −5 a →
r
r
a = 2 jm / s2
Ejemplo E1B.S2007
a) Explique las analogías y diferencias entre el campo eléctrico creado por una carga
puntual y el campo gravitatorio creado por una masa puntual, en relación con su origen,
intensidad relativa, dirección y sentido.
b) ¿Puede anularse el campo gravitatorio y/o el campo eléctrico en un punto del
segmento que une a dos partículas cargadas? Razone la respuesta.
a) Analogías:
•
•
•
Los dos son campos de fuerzas centrales, y por tanto conservativos
Todas las expresiones de uno y otro son semejantes. (El papel que la constante de
gravitación universal y las masas hacen en el campo gravitatorio, en el eléctrico lo
hacen la constante de Coulomb y las cargas.
Las líneas de fuerza en estos campos son abiertas, es decir, no se cierran sobre sí
mismas como suceda en el campo magnético.
Diferencias:
•
•
•
•
Hay dos tipos de cargas: positivas y negativas y solo una clase de masas.
Como consecuencia de lo anterior la fuerza entre dos cargas puede ser atractiva o
repulsiva, mientras que en las masas siempre es atractiva
Consecuencia directa de lo anterior es el signo menos que aparece en las
expresiones del campo gravitatorio
La constante de gravitación universal G es una constante, mientras que la constante
de Coulomb realmente no lo es puesto que depende del medio: K = 1 / 4πε ya que
depende de ε que es la constante dieléctrica del medio en que se encuentran las
cargas.
b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así que siempre podremos
encontrar un punto en la línea que une dos masas donde el campo gravitatorio sea nulo,
pero en el caso de las cargas eso solo será posible si las dos cargas tienen el mismo signo,
(las dos positivas o las dos negativas), pero si tienen signo contrario en cualquier punto de
la línea que une las cargas los campos creados por cada carga tendrán el mismo sentido,
siendo imposible que se anulen:
ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UNA CARGA EN PRESENCIA
DE OTRA. SUPERPOSICIÓN.
El campo eléctrico es un campo de fuerzas centrales y por tanto conservativo, así que en él
puede definirse una energía potencial.
El trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta
otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los
puntos A y B. Por eso precisamente a esos puntos se le puede asociar una energía “que
solamente depende de la posición” y que llamamos energía potencial.
Por definición, “el trabajo que una fuerza conservativa hace para llevar un cuerpo desde un
punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:
WA →B,F.Conserv.Campo = − ∆Ep = Ep A − Ep B
Significado del signo menos: El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo
hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza la carga desde los puntos
de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma,
bajo la acción de la fuerza conservativa un cuerpo se mueve espontáneamente desde los
puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que
WA →B,F.Conserv.Campo = + cuando EpA > EpB)
En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las
fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino
que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que
hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del
campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”
WA→B,nosotros = Ep B − Ep A = ∆Ep = − WA →B,F.Conserva .Campo
Ahora vamos a ver la expresión concreta de la energía potencial eléctrica, para ello no hay
más que calcular el trabajo que hace el campo eléctrico para llevar una carga q desde el
punto A al B:
Br
r B Q⋅q r
r B Q⋅q
Ep A − Ep B = WA →B,campo = ∫ Felectr • d r = ∫ K 2 u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr
r
r
A
A
A
donde hemos tenido en cuenta que vector unitario
r
r
u r y el vector desplazamiento d r tienen la misma
dirección y sentido, así que si que cos0=1.
1
1
Teniendo en cuenta además, que ∫ 2 dr = − nos
r
r
quedaría que:
B
1 1
 1
WA→B,campo = K ⋅ Q ⋅ q −  = K ⋅ Q ⋅ q  −  = Ep A − Ep B
 r A
 rA rB 
Ep A − Ep B = K
Q⋅q
Q⋅q
−K
rA
rB
Energía potencial eléctrica en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos
hablar de diferencia de energía potencial entre dos puntos (porque es el trabajo para llevar la
carga q desde uno a otro), pero si, por acuerdo, asignamos cero a la energía potencial de uno
de esos puntos, entonces podremos hablar de energía potencial absoluta en un punto.
Parece que lo razonable sería asignarle cero a la energía potencial en el infinito, porque
como la fuerza disminuye con el cuadrado de la distancia, en ese punto puede decirse que
no hay campo, por tanto, la diferencia de potencial entre un punto A y el infinito sería la
energía potencial en ese punto A.
Dicho de otra manera: La energía potencial de una carga q en un punto es igual al trabajo
que hace el campo para llevar a la carga q desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que
cuenta que nuestro trabajo y el que hace el campo son iguales y de signo contrario,
podríamos decir que la energía potencial de una carga q en un punto es igual a trabajo que
tenemos que hacer para traer a la carga desde el infinito hasta ese punto)
Ep A − Ep ∞ = K
Q⋅q
Q⋅q
−K
∞
rA
como 1 = 0
∞
Ep A = K
Q⋅q
rA
donde rA es la distancia que separa las dos cargas. Como puedes ver la energía potencial
eléctrica en un punto no es siempre negativa como pasaba a la gravitatoria. En este caso
solo será negativa si las cargas tienen signo contrario
Cuando las cargas tienen el mismo signo, la Ep es positiva porque para llevar la carga q
desde el infinito hasta al punto A tenemos que hacer realmente un trabajo. La carga q no
iría sola puesto que se repelen.
Por el contrario, cuando las cargas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la
carga q iría sola desde el infinito hasta el punto A y por eso su Ep es negativa, porque el
trabajo no lo haríamos nosotros sino el campo creado por la carga Q.
Observa que:
1. La Ep eléctrica tiene su “máximo valor positivo si las cargas son del mismo signo” (o
“máximo valor negativo si las cargas son de distinto signo”) en la superficie de la carga
que crea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejarnos hasta llegar a cero en el
infinito. En cualquier caso, en el infinito la Ep es cero.
2. Una carga se mueve espontáneamente hacia donde disminuye su energía potencial
(Tanto si la carga es positiva como si es negativa)
3. La energía potencial que tiene en el infinito la carga q es nula, tanto si la carga que crea
el campo es positiva como si es negativa.
Energía potencial “de una carga” debida al campo creado por una asociación de cargas: de
acuerdo con el principio de superposición la energía potencial que tendrá es la suma de la
energía potencial que independientemente el campo de cada carga crea sobre ella, así que:
Ep = K
Q1 ⋅ q
Q ⋅q
Q ⋅q
Q
+ K 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +K n
= Kq ∑ in=1 i
r1
r2
rn
ri
Energía potencial de una asociación de cargas: En este caso la energía potencial debida a
todas ellas se obtiene sumando la energía potencial de todos los pares de cargas. Por
ejemplo la energía potencial de la asociación de la figura sería:
Ep = K
qq
q q
q1q 2
+K 1 3 +K 2 3
r12
r13
r23
Ep = K ∑
qiq j
rij
Ejemplo E3B.S2008
Una bolita de plástico de 2 g se encuentra suspendida de un hilo de 20 cm de longitud y, al
aplicar un campo eléctrico uniforme y horizontal de 1000 N C− 1 el hilo forma un ángulo de
15º con la vertical.
a) Dibuje en un esquema el campo eléctrico y todas las fuerzas que actúan sobre la esfera y
determine su carga eléctrica.
b) Explique cómo cambia la energía potencial de la esfera al aplicar el campo eléctrico.
a) Se trata de un péndulo ideal que se encuentra probablemente entre las armaduras de un
condensador plano, entre las que se crea un campo eléctrico uniforme (salvo en los
bordes). La masa del péndulo está sometida por una lado a su peso y por otro lado, al estar
cargada, a la fuerza eléctrica debida al campo eléctrico. Suponiendo que la carga sea
positiva, el campo iría hacia la derecha, ya que en tal caso la fuerza y el campo tienen la
r
r
misma dirección y sentido: F = qE
Para que el péndulo esté en equilibrio, es preciso que la suma de las fuerzas sea nula, así
que eligiendo un sistema de referencia como el de la figura no hay más que
descomponerlas e igualar las componentes en el eje X.
mg ⋅ senα = qE ⋅ cos α
⇒
q=
mg ⋅ tgα 0,002 ⋅ 10 ⋅ tg15
=
= 5,36 ⋅ 10 −6 C
E
1000
Las componentes en eje Y también dan resultante nula: T = mg ⋅ cos α + qE ⋅ senα
b) La energía potencial de la bolita es la suma de la Ep gravitatoria y de la Ep eléctrica.
A medida que la bolita se mueve espontáneamente ∆Epgravit ↑+ ∆Epeléctr ↓ hasta que el hilo
forma un ángulo α, tal que para él la energía potencial total es mínima.
Vamos a calcular la variación de energía potencial gravitatoria y eléctrica:
Si tomamos nivel cero de Epgrav en el punto A, y
teniendo en cuenta que el punto B está por encima
una altura h = L − L cos α
∆Ep gravit = mgh B − mgh A = mg(L − L cos α)
∆Ep gravit = 0,002 ⋅ 10(0,2 − 0,2 cos 15) = 1,36 ⋅ 10 −4 J
Br
r
WEléctr ,A →B = −∆Ep Eléctr = ∫ FEléctr • d r =
A
r
r
r
B
xB = Lsenα
= ∫ q E i • (dx i + dy j ) = ∫
q E dx =
xA = 0
A
= q E [x ]
Lsenα
0
−6
= q E L senα =
= 5,36 ⋅ 10 ⋅ 10 3 ⋅ 0,2 ⋅ sen15 = 2,77 ⋅ 10 −4 J
∆Ep Eléctr = −2,77 ⋅ 10 −4 J
La variación total de energía potencial es:
∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = 1,36·10−4 – 2,77·10−4 = − 1,41·10−4 J
Como ampliación vamos a comprobar el ángulo para el que quedaría en equilibrio una bola de 2g
de masa y carga +5,36·10−6C que está colgada de un hilo o de 20 cm.
∆Ep = ∆Epgravit + ∆Epeléctr = m g L(1 − cos α ) − q E L senα
Tomando cero de energía potencial en el punto A, tendríamos que la expresión anterior
correspondería a la energía potencial en el punto B.
Si ahora recuerdas que el mínimo de una función y=f(x) se obtiene derivando respecto a x
e igualando a cero, pues eso mismo es lo que vamos a hacer porque la posición más estable
corresponde a aquel ángulo de desplazamiento del hilo que hace mínima a la energía
potencial. Ahora tenemos una función del tipo Ep=f(α) y de acuerdo a lo anterior,
derivaremos la expresión de la Ep respecto al ángulo e igualaremos a cero:
dEp
qE
5,36 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 3
= m g L senα − q E L cos α = 0 ⇒ α = arctg
= arctg
= 15º
dα
mg
0,002 ⋅ 10
POTENCIAL ELÉCTRICO
Recuerda que la fuerza que actúa sobre una carga q, en un punto de un campo creado por
otra carga Q, depende del valor de m. Para evitar ese inconveniente se definió la intensidad
de campo como fuerza por unidad de carga.
Lo mismo le ocurre a la variación de energía potencial de una carga q entre dos puntos A y
B, de un campo creado por otra carga Q, que también depende del valor de q. Para evitar
ese inconveniente vamos a definir una magnitud nueva como variación de energía
potencial por unidad de caga y que llamaremos variación Potencial (V):
B
Ep A − Ep B WA→B,F.Conserv
VA − VB =
=
=
q
q
B
VA − VB =
r r
E
∫ • dr =
A ,campo
r
r
F
•
d
r
F
.
Conserv
∫
A
q
B
r r
= ∫ E • dr
A
B
B
r
Qr
Q
K 2 u r • d r = ∫ K 2 ⋅ dr
∫
r
r
A , campo
A ,campo
donde hemos tenido en cuenta que vector unitario
r
r
u r y el vector desplazamiento d r tienen la misma
dirección y sentido, así que si que cos0=1. Teniendo
1
1
en cuenta además, que ∫ 2 dr = − nos quedaría
r
r
que:
B
1 1
 1
VA − VB = K ⋅ Q ⋅ −  = K ⋅ Q ⋅  − 
 r A
 rA rB 
VA − VB = K
Q
Q
−K
rA
rB
Al mismo resultado llegaremos, como ya hemos dicho, si dividimos la deferencia de
energía potencial por el testigo q´ ya que la ddp entre dos puntos es igual a la diferencia de
Energía potencial que tiene entre esos puntos un testigo unidad:
VA − VB =
Ep A − Ep B
Q
Q
=K −K
q
rA
rB
Es obvio que lleguemos al mismo resultado, ya que en realidad hemos hecho lo mismo. En el
r
primer caso hemos calculado la circulación de E y en el segundo hemos dividido la circulación de
r
r
F por q (acuérdate que la circulación de F es Ep A − Ep B . Mira más arriba (*)
Definición de voltio: La ddp eléctrica se mide en J/C que recibe el nombre de voltio.
Un voltio es la ddp entre dos puntos, A y B, cuando el trabajo que hemos de realizar para
llevar una carga de 1 Culombio de uno a otro es de 1 Julio.
WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q (VA − VB )
o bien que:
WA → B,nosotros = ∆Ep = q ∆V = q ( VB − VA )
El campo eléctrico realiza trabajo (W+) cuando desplaza una carga positiva desde un punto
A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB
entonces WA →B,campo = + ⋅ + = + . Dicho de otra forma, una carga positiva se mueve
espontáneamente hacia donde el potencial es menor. (Lo contrario puede decirse para una
carga negativa)
Potencial eléctrico en un punto. Como sabemos estrictamente solamente podemos hablar
r
de ddp entre dos puntos (porque se ha definido como la circulación de E entre esos dos
puntos), pero si por acuerdo asignamos cero al potencial en un punto, entonces podremos
habar de potencial absoluto en un punto. El punto que se elige es el infinito porque allí se
supone que ya no hay campo.
WA→B,campo
Dicho de otra manera, teniendo en cuenta que VA − VB =
podemos decir que:
q
El potencial en un punto A es igual al trabajo que hace el campo para llevar una carga de
1C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo que cuenta que nuestro trabajo y el que
hace el campo son iguales y de signo contrario, podríamos decir que el potencial en un
punto A es igual al trabajo que tenemos que hacer para traer una carga de 1C desde el
infinito hasta ese punto).
Q
Q
VA − V∞ = K − K
rA
∞
como 1 = 0
∞
Q
VA = K
rA
donde rA es la distancia que separa la carga que crea el campo del punto A.
Como puedes ver, el potencial eléctrico puede ser positivo o negativo, dependiendo el
valor de la carga, sin embargo el potencial gravitatorio siempre es negativo.
Potencial en un punto debido al campo creado por una distribución de cargas: En el caso de
que el campo sea debido a la presencia de más de una carga, el potencial en un punto A,
aplicando el principio de superposición será la suma de los potenciales debidos a cada
carga, y por tanto:
VA = K
Q
Q1
Q
Q
+ K 2 + K 3 + ... = K ∑ i
r1A
r2 A
r3A
riA
E1B.S2010
a) Explique la relación entre el campo y el potencial electrostáticos.
b) Una partícula cargada se mueve espontáneamente hacia puntos en los que el potencial
electrostático es mayor. Razone si, de ese comportamiento, puede deducirse el signo de la carga.
a) Teoría (Siguiente pregunta)
b) Naturalmente. Cualquier carga (o masa) se mueve siempre de forma espontánea hacia el
sitio donde su energía potencial disminuya, es decir hacia donde ∆Ep es negativo.
∆Ep = Ep fnal − Ep inicial = q (Vfinal − Vinicial ) = − ⇒ Se mueve espontáneamente
Si en nuestro caso tenemos que el potencial final es mayor que el inicial, quiere decir que
∆V = + , y para que el producto q ⋅ ∆V sea negativo es necesario que la carga q sea
negativa.
También podría razonarse teniendo en cuenta que las líneas de campo eléctrico tienen la
dirección en que se mueven las cargas positivas (o las masas en el caso del gravitatorio) y
apuntan en la dirección en la que disminuye la energía potencial y el potencial. Por tanto,
para que una carga se mueva espontáneamente al revés debe ser negativa. La expresión
r
r
F = q E indica claramente que para que la carga se mueva en sentido contrario al campo, el
escalar q debe ser negativo.
Otro razonamiento, similar al primero, sería decir que una caga o masa se mueve
espontáneamente hacia donde el campo hace trabajo + sobre ella (por eso una piedra se
mueve espontáneamente hacia el suelo), por tanto:
WA →B,campo = − ∆Ep = −q ∆V = q (VA − VB )
Para que WA →B,campo sea + en el caso de que VA<VB es preciso que la carga q sea negativa,
ya que entonces WA →B,campo = − ⋅ − = +
RELACION ENTRE CAMPO Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO
r
Si te das cuenta el campo ( E ) es un vector y el potencial (V) es un escalar, así que su correcta
relación es a través de un operador vectorial llamado gradiente, pero eso escapa de la programación
de bachillerato, así que nos limitaremos a relacionar el módulo del campo y el potencial.
Caso particular de campo uniforme: teniendo en cuenta la definición de ddp,
B r
r
VA − VB = ∫ E • d r = E r
B
A
= E (rB − rA ) = E ⋅ d
A
Dice que la ddp entre dos puntos, entre los que puede
considerarse constante el valor del campo, es igual al
valor del campo por la distancia entre esos puntos. A
la misma conclusión llegaríamos restando el potencial
en el punto A del que tiene en B:
VA − VB = K
Q (rB − rA )
Q (rB − rA )
Q
Q
− K =K
≅K
= E (rB − rA ) = E ⋅ d
rA
rB
rA rB
rA2
La relación referida a un punto concreto, teniendo en cuenta las expresiones del módulo de
r
E y la del potencial V en un punto:
VA = K
Q
Q r
= K ⋅ A = E A .rA
rA
rA rA
Quiere decir que: si multiplicamos el módulo del campo en un punto A por la distancia del
punto a la varga que crea el campo al punto se obtiene el potencial en ese punto.
Hay un detalle importante:
r
r
• Si en un punto de un campo conocemos el valor de la Intensidad de campo ( g o E )
podremos presumir exactamente lo que ocurrirá cuando coloquemos una masa m o a una
carga q en un punto cualquiera (podremos calcular exactamente el módulo de la fuerza
r
r
r
r
que actuará, su dirección y sentido, ya que F = m g o bien F = q E )
• Sin embargo, si en un punto del campo solamente conocemos el potencial en ese
punto no podremos predecir lo que ocurrirá. Cosa distinta sería si conocemos el
potencial en dos puntos, entonces sí, porque, tanto la masa como la carga se
moverán hacia donde disminuya su energía potencial.
Ejemplo E4A.S2008:
El potencial eléctrico en un punto P, creado por una carga Q situada en el origen, es 800 V
y el campo eléctrico en P es 400 N C−1.
a) Determine el valor de Q y la distancia del punto P al origen.
b) Calcule el trabajo que se realiza al desplazar otra carga q = 1,2·10−6 C desde el punto (3, 0)
m al punto (0, 3) m. Explique por qué no hay que especificar la trayectoria seguida.
K = 9 ·109 N m2C−2
EP =
K⋅Q
rP2
400 =
9 ⋅ 10 9 Q
rP2
VP =
K ⋅Q
rP
800 =
9 ⋅ 10 9 Q
rP
Q = 1,78 ⋅ 10 −7 C ; rP = 2m
b) Para calcular el trabajo que tenemos que hacer solo hay que calcular el potencial en el
punto A y luego el potencial en el punto B y tener en cuenta que:
WA →B,nosotros = − WA →B,campo = −q (VA − VB )
Como el punto A y el punto B están a la misma distancia de P, el potencial en ambos es el
mismo, y por tanto WA →B,nosotros = q (VB − VA ) = 0 . (A la misma conclusión llegamos si
calculamos el trabajo como WA →B,nosotros = Ep B − Ep A = − WA →B,campo ).
No hay que indicar el camino porque el campo eléctrico es conservativo
FLUJO DE LA INTENSIDAD DE CAMPO A TRAVES DE UNA SUPERFICIE
CERRADA. TEOREMA DE GAUSS
El teorema de Gauss no da la expresión del flujo de la Intensidad de campo a través de una
r
superficie cerrada de forma cualquiera. El flujo de E a través de un elemento de superficie
dS, de acuerdo con la definición general de flujo, es:
r r
dφ = E • dS
dφ = Flujo a través del elemento dS
r
I = Intensidad de campo que lo atraviesa
r
dS = vector perpendicular a la superficie y de módulo
igual al área del elemento
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la
normal a la superficie
Supongamos una superficie cerrada de forma esférica, (para mayor sencillez, aunque el
resultado es general) y que en su interior encierra una carga q. El flujo a través de un
elemento de superficie sería:
r r
dφ = E • dS
Según la definición de producto escalar, y
teniendo en cuenta que α=0º
dφ = E ⋅ dS ⋅ cos α = E ⋅ dS
El flujo a través de toda la superficie se obtiene integrando a toda ella:
φ = ∫ E ⋅ dS = ∫ K
S
S
q
q
q
q
dS = K 2 ∫ dS = K 2 ⋅ 4πr 2 = 4πKq =
2
ε
r
r S
r
donde hemos tenido en cuenta que la integral de superficie como representa a todos los
sumandos elementales de la esfera, su solución será la superficie de ésta, es decir 4πr2 y
posteriormente que K = 1 / 4πε
En el caso de que dentro de la superficie hubiera varias cargas, el flujo total sería la suma
del debido a cada una de ellas, lo que se conoce como ley de Gauss, y es una de las 4
ecuaciones de Maxwell fundamentales del electromagnetismo:
r r
φ = ∫ E • dS =
∑q
ε
i
Es muy importante tener en cuenta que:
• Solamente contribuyen al flujo las cargas (o masas en el caso del gravitatorio) que
estén encerradas en el interior de la superficie.
• El flujo es independiente de la posición de las cargas en el interior de la superficie,
ya que su expresión no depende de r.
• Como puede verse, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada
debido a las cargas que encierra en su interior puede ser positivo o negativo,
dependiendo del signo de las cargas, mientras que en el caso del campo gravitatorio
siempre era negativo ( φ = −4πGm ).
Mediante la ley de Gauss podemos calcular muy fácilmente el valor de la intensidad de
campo eléctrico creada por una distribución de cargas, siempre que podamos calcular el
valor de la superficie gausiana.
Ejemplo:
Obtener, utilizando el teorema de Gauss, la expresión de la intensidad de campo eléctrico
creado por una carga Q a una distancia r de la misma. ¿Qué fuerza actuará sobre una carga
q colocada en dicho punto?
Por supuesto ya sabemos la expresión que tiene, pero vamos a obtenerla a partir del
teorema de Gauss. Dibujamos alrededor de la carga una superficie cerrada que va a ser una
esfera cuya distancia a la carga será r. Según la ley de Gauss:
:
r r Q
φ = ∫ E • dS =
ε
S
Como:
r
r
• El vector E y el vector dS forman ángulo de 0º
• El módulo de E es constante en toda la superficie, porque al ser la superficie
esférica en todos sus puntos dista igual a la carga Q, por tanto podemos sacarlo
fuera de la integral y:
E ∫ dS =
S
Q
ε
⇒
E ⋅ 4π r 2 =
Q
ε
⇒
E=
1 Q
Q
=K 2
2
4πε r
r
Si en el punto P colocamos una carga q sobre ella actuará una fuerza dada por:
F = qE = K
Q⋅q
r2
que es la ley de Coulomb y que como vemos puede demostrarse fácilmente a partir de la
ley de Gauss. Procediendo de forma análoga, si la carga Q en lugar de ser puntual hubiese
tenido forma esférica el resultado habría sido el mismo, lo que nos indica que es como si
toda la carga de la esfera estuviese concentrada en su centro. Por esa razón cuando
medimos las distancias entre dos cargas (o masas) lo hacemos desde centro a centro.
Ejemplo ampliación:
Calcular el campo eléctrico a una distancia r de un hilo indefinido cargado uniformemente
con una densidad lineal de carga λ.
La dirección del campo eléctrico creado por el hilo cargado, por razones de simetría, es
perpendicular al hilo, por tanto elegiremos como superficie de gauss un cilindro de radio r
y una altura h cualquiera.
El teorema de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie cerrada, el cilindro en
este caso, es igual a la carga que encierra en su interior dividido por la constante
dieléctrica:
r r q
E
∫S • dS = ε
El flujo a través de todo el cilindro es igual al flujo a través de las tapas más el flujo a
r
través de la envoltura. El flujo de E a través de las tapas es nulo, porque como vemos en la
r
r
figura E y dS forman ángulo de 90º y su producto escalar es nulo porque cos90º=0.
Nos queda entonces que el flujo total será el que atraviesa la envoltura lateral del cilindro:
r
r
en ese caso E y dS tienen la misma dirección. Teniendo en cuenta que el área de la
envoltura es 2π r ⋅ h
r r
q
E
∫S • dS = E ⋅ 2πr ⋅ h = ε
⇒
E=
q
2πε ⋅ r ⋅ h
Teniendo en cuenta ahora que λ es la densidad lineal de carga, es decir, la carga por unidad
de longitud. La carga que hay encerrada en el cilindro de altura h será q = λ ⋅ h y por tanto,
sustituyendo nos quedaría que:
λ
E=
2πε ⋅ r
Ejemplo ampliación:
Obtener la expresión del campo eléctrico creado por una chapa delgada de superficie
infinita y que se encuentra cargada con una densidad superficial de carga σ.
Por simetría, la dirección del campo eléctrico es perpendicular a la chapa. Elegimos una
superficie gausiana, por ejemplo, cilíndrica como la de la figura, cuyas tapas tienen una
superficie igual a A. Como sabemos:
r r q
E
∫S • dS = ε
Y puesto que como se ve en la figura, la única contribución al flujo es a que tiene lugar a
r
r
través de las tapas anterior y posterior, donde E y dS tienen la misma dirección, así que:
q
E⋅A+ E⋅A =
ε
Teniendo en cuenta ahora que σ es la densidad superficial de carga, es decir, la carga por
unidad de área. La carga que hay encerrada en el cilindro será q = σ ⋅ A y por tanto,
sustituyendo nos quedaría que:
E ⋅ 2A =
σ⋅A
ε
⇒
E=
σ
2ε
Observa como el valor de la intensidad de campo es el mismo para todos los puntos a
ambos lados de la chapa. El resultado también es válido para el caso de que la chapa tenga
dimensiones finitas, aunque no valdría en los bordes de la chapa.
Ejemplo ampliación:
Calcular el valor del campo eléctrico entre las placas de un condensador plano de
superficie A.
Un condensador es un dispositivo formado por dos placas (llamadas armaduras) muy
próximas, cargadas igualmente pero con cargas de signo contrario. Recordando que la
dirección del campo es la que tomaría una carga positiva, podemos dibujar el campo:
Como puedes ver la intensidad de campo eléctrico fuera del condensador es prácticamente
nula porque el campo creado por una placa se anula con el que crea la otra armadura. Solo
dentro del condensador el campo tiene un valor distinto de cero.
Para calcular el campo dentro del condensador elegimos una superficie gausiana como si se
tratara de una caja de cerillas que pase por medio de la armadura, como se ve en la figura:
r
El flujo de E a través de todas las caras de la caja de cerillas es nulo salvo de la cara
interior. La explicación es sencilla:
•
•
•
r
r
en las caras superior e inferior es nulo porque E y dS formarían ángulo de 90º y su
producto escalar es nulo.
En la cara que pasa por medio de la armadura el flujo es nulo, porque como
veremos más adelante el campo eléctrico en el interior de un conductor en
equilibrio es nulo.
r
r
Solo queda la cara que está entre las armaduras, donde E y dS tiene la misma
dirección.
r r q
q
q
E
⇒
E⋅A =
⇒
E=
∫S • dS = ε
ε
ε⋅A
El campo eléctrico dentro del condensador no depende de la distancia
a las placas, y por tanto tiene el mismo valor en todos los puntos entre
ellas (salvo en los bordes). Se dice entonces que es uniforme.
PROPIEDADES DE LA CARGA ELÉCTRICA
La carga, como hemos visto, es una magnitud que se introduce para explicar los fenómenos
eléctricos. Las propiedades más importantes de la carga son:
1. Hay dos tipos de carga: positiva y negativa. Esta denominación corresponde al físico
Benjamín Franklin, que le asignó carga negativa al electrón y positiva al protón, aunque
ninguno de ellos tienen nada intrínseco que les haga ser negativo o positivo. Simplemente
se les asignó de esa forma.
Como sabes, un cuerpo cargado negativamente es aquel que tiene un exceso de electrones,
mientras que un cuerpo cargado positivamente es aquel que ha perdido los electrones. Los
electrones son los que se ganan o se pierden, pero nunca los protones, ya que si así fuera
los elementos dejarían de ser los que son y se transformarían en otros.
2. La carga está cuantificada. Esto quiere decir que no puede tomar cualquier valor, sino
que siempre debe ser múltiplo de un valor discreto. Esto es fácil de entender ya que como
un cuerpo se carga porque gana o pierde electrones es obvio que su carga siempre será
múltiplo entero de la carga del electrón, porque un cuerpo puede ganar dos o tres
electrones, pero nunca dos y medio. Dicho de otra forma, la carga del electrón 1,6 ⋅ 10 −19
Culombios es la carga elemental.
3. La carga se conserva. Quiere decir que no aparece ni desaparece, solamente se traspasa
de unos cuerpos a otros. Quiere decir que si un cuerpo tiene 2 electrones de más habrá otro
que será quien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ver, por ejemplo, la
desintegración del uranio 238: El uranio tiene 92 protones y se desintegra emitiendo una
partícula alfa, que tiene dos. La conservación de la carga exige que se forme un elemento
con 90 protones, como así sucede:
238
234
U 92
→ Th 90
+ α 42
A continuación vamos a describir el experimento de Millikan para determinar la carga del
electrón.
Ejemplo:
Una gota de aceite cargada eléctricamente y de masa 2,5.10−7 Kgr está situada entre las
placas de un condensador plano con las placas paralelas horizontales, de 0,0175 m2 de
superficie. Cuando la placa superior tiene una carga de 4,5.10−7 C y la inferior igual,
aunque negativa, la gota se mantiene en equilibrio. ¿cuál es su carga? Desprecia las fuerzas
viscosas y el empuje. Datos: ε = 8,85.10−12 C2/N.m2
Millikan utilizó un dispositivo como el de la figura. La tapa superior tiene una pequeña
abertura por donde se introducen gotas de aceite cargadas, lo que se consigue irradiándolas
con rayos X. Las armaduras están conectadas a una pila variable, mediante la cual se puede
ajustar la ddp adecuada entre las placas hasta conseguir que la gota quede en equilibrio, lo
que se puede ver a través de un visor.
La gota de aceite al encontrarse en el campo eléctrico creado entre las placas del
condensador estará sometida, si despreciamos el rozamiento y el empuje, al peso y a la
fuerza eléctrica que deben ser iguales para que la gota se equilibre.
q ⋅ E = mg
Teniendo en cuenta que la intensidad de campo eléctrico entre las placas del condensador
es E = Q / εS , (donde Q es la carga del condensador y S el área de sus armaduras),
sustituyendo nos queda que :
q=
mg ⋅ ε ⋅ S 2,5 ⋅ 10 −7 ⋅ 10 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,0175
=
= 8,6 ⋅ 10 −13 C
Q
4,5 ⋅ 10 −7
El valor de la carga tendría signo menos por deberse a un exceso de electrones.
Millikan comprobó que los valores de las cargas eran siempre múltiplos de una carga
elemental, la del electrón. Por consiguiente pudo medir la carga eléctrica que posee un
electrón. Este valor es: e = 1,602 × 10−19
CONDUCTORES Y ALISLANTES
Conductores eléctricos son aquellos cuerpos en los que las cargas (los electrones) pueden
moverse libremente.
Unos conductores excelentes son los metales, porque en la redes metálicas los electrones
de la última capa electrónica no están ligados a ningún átomo en particular sino que
pertenecen a todo el metal y pueden moverse libremente por él.
Los electrones libres se mueven aleatoriamente como lo hacen las moléculas de un gas
contenido en un recipiente. Pero si entre los extremos del conductor establecemos una ddp,
en el interior del conductor metálico se establece un campo eléctrico constante y los
electrones modifican sus movimientos aleatorios, siendo arrastrados en sentido opuesto al
r
r
r
campo eléctrico E porque sobre ellos actúa una fuerza F = q E
Por el contrario, cuando en un cuerpo los electrones está muy ligados a sus átomos
decimos que se trata de un aislante, sin embargo no existe el aislante perfecto, puesto que
siempre podremos establecer una ddp para la cual el campo eléctrico sea suficiente para
arrancarlos de los átomos y en consecuencia hacer que se vuelva conductor. Como
aclaración mira algunos voltajes que aplicados a aislantes de 1 cm de espesor los volvería
conductores:
Mica
Vidrio
Aire (a 1 atm)
300.000 a 2.000.000 V
300.000 a 1.500.000 V
30.000 V
Además de estos tipos de cuerpos hay otros llamados semiconductores, porque su
capacidad para conducir la electricidad es intermedio. Los semiconductores son
prácticamente aislantes a bajas temperaturas, pero a medida que aumenta se comportan
casi como conductores, aunque sin llegar a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el
germanio.
PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO
Se dice que un conductor está en equilibrio cuando o hay movimiento macroscópico de
cargas en él. Las propiedades son:
r
1. El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio es nulo: E = 0 . En efecto,
r
r
ya que de no ser así sobre los electrones actuaría una fuerza F = q E y entonces se
moverían, dejando de estar en equilibrio.
2. La carga en el interior de un conductor en equilibrio es nula y se encuentra distribuida en
la superficie. En efecto, ya que de acuerdo con el teorema de Gauss, si el campo en el
interior es nulo la carga también:
r r q
φ = ∫ E • dS =
ε
S
⇒ Si en el interior E=0 ⇒ q=0
3. El campo eléctrico en la superficie del conductor en equilibrio no es nulo, pero es
absolutamente necesario que su dirección sea normal al conductor o de lo contrario la
componente tangencial del mismo haría que se moviesen las cargas dejando de estar en
equilibrio.
4. Todo el conductor en equilibrio es una superficie equipotencial: V=cte. En efecto, ya
que teniendo en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial:
B
VA − VB =
r r
E
∫ • dr
r
r
⇒ como E ⊥ d r ⇒ VA = VB
A ,campo
r
r
r
como E es normal a la superficie, entonces E ⊥ d r ello implica su producto escalar sea
cero y que por tanto VA = VB lo que quiere decir que V=cte, es decir que en todo el
conductor el potencial es el mismo.
CONCEPTO DE CAMPO MAGNÉTICO. EXPERIENCIA DE OERSTED
r
Así como una carga crea a su alrededor un campo eléctrico definido por E , un imán o una
corriente eléctrica crean a su alrededor un campo magnético que se puede poner de
manifiesto con una brújula.
r
El vector intensidad de campo magnético B también llamado inducción magnética se
puede representar por unas líneas de inducción de la misma forma que la intensidad de
campo eléctrico se representaba por las líneas de fuerza. Las líneas de inducción magnética
se dibujan de modo que:
•
•
•
r
La tangente a ellas en cualquier punto nos de la dirección de B
r
El número de ellas sea proporcional al valor de B
El sentido de las líneas es aquel en el que movería un polo norte ideal (ideal, puesto
que como sabemos los polos no pueden separarse y si partimos un minan
obtendríamos dos imanes)
Las líneas de inducción de un imán recto presentan el aspecto de la figura y son muy
fáciles de reproducir sin más que espolvorear unas limaduras de hierro sobre el imán
Si colocásemos una brújula dentro del campo magnético del imán esta se orientaría en la
dirección de la tangente a las líneas, de modo que la línea le entre por el sur y le salga por
el norte:
Pero ya hemos dicho que el imán no es el único capaz de producir un campo magnético.
Toda carga que se encuentre en movimiento crea a su alrededor un campo magnético. (Si
está en reposo crea un campo eléctrico, pero si se mueve, además crea otro magnético)
El físico danés Hans Christian Oersted puso de manifiesto con su famoso experimento que
una corriente eléctrica (electrones en movimiento) era capaz de mover una brújula y por
tanto que crea un campo magnético a su alrededor.
Si dejamos que la brújula se oriente libremente y
luego colocamos un hilo conductor paralelo a la aguja
veremos que no ocurre nada mientras el circuito esté
abierto.
Una vez que cerramos el circuito y por el hilo circula
corriente, la brújula tiende a pone perpendicular al
hilo conductor y tanto más cuando mayor es la
intensidad de la corriente que circula por el hilo
Si cambiamos la pila de polaridad e invertimos el
sentido de la corriente, la brújula tiende a seguir
colocándose perpendicular al hilo, pero cambia los
polos.
Las líneas de inducción magnética debidas a una corriente rectilínea son, como puede
comprobarse experimentalmente, circunferencias concéntricas situadas en el plano
perpendicular al conductor y cuyo sentido viene dado por la regla del tornillo que gire para
avanzar en el sentido de la corriente, o bien por la regla de la mano derecha: la líneas
tienen el sentido en que cierra la mano derecha y el pulgar nos daría el sentido de la
corriente.
FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE GAUSS
r
El flujo de B a través de una superficie cualquiera representa el número de líneas de
campo que atraviesan dicha superficie y se define, de acuerdo con la definición general de
flujo, como:
r r
φ B = ∫ B • dS
S
dφ = Flujo a través del elemento dS
r
B = Intensidad de campo que lo atraviesa
r
dS = vector perpendicular a la superficie y de módulo
igual al área del elemento
α = ángulo que forman la Intensidad de campo y la normal
a la superficie
El flujo de a través de una superficie cerrada es nulo (Ley de gauss para el magnetismo)
r r
φ B = ∫ B • dS = 0
Ello es consecuencia de que las líneas de campo magnético son cerradas, como hemos
visto en los ejemplos anteriores, y pone de manifiesto que no existen polos magnéticos
aislados. El flujo de campo magnético se mide en weber (Wb=T/m2)
Si comparamos la ley de Gauss para el campo magnético y para el campo eléctrico, que
son dos de las 4 ecuaciones fundamentales del electromagnetismo de Maxwell:
r r q
E
∫ • dS = ε
r r
B
∫ • dS = 0
Consecuencias:
•
•
r
El flujo de E a través de una superficie cerrada que encierra una carga q no es nulo
indica la existencia de cargas libres y que sus líneas de campo son abiertas (fuentes
para las positivas y sumideros para las negativas)
r
El flujo de B a través de una superficie cerrada es nulo indica que no existen polos
magnéticos aislados y que las líneas de campo se cierran sobre sí mismas.
CIRCULACIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO. LEY DE AMPERE
r
La circulación de B a través de una línea cerrada por la que circula una corriente eléctrica
de intensidad I , constante, es:
r r
B
∫ • d l = µoI
A esta expresión se la conoce como Ley de Ampere, y con una pequeña modificación, que
la hace útil para el caso de que el campo eléctrico varíe con el tiempo, constituye la tercera
ley de Maxwell del electromagnetismo.
µ o es una constante para cada medio, llamada permeabilidad magnética, que para
el vacío vale µ o = 4π ⋅ 10 −7 T ⋅ m / A
I es la intensidad de la corriente que atraviesa la línea cerrada
r
r
d l es el vector desplazamiento (aunque aquí se haya preferido llamar d l en lugar
r
de d r como se hace normalmente). Por tanto es un vector tangente a la trayectoria.
Consecuencias de la Ley de Ampere:
•
•
r
Como muestra la Ley de Ampere, la circulación de B a través de una línea cerrada
no es necesariamente nula y por tanto el campo magnético no es un campo
conservativo
r
Puesto que B no es un campo conservativo no tiene ningún sentido definir una
energía potencial magnética, ni un potencial magnético.
Acuérdate que, por el contrario, en los campos gravitatorio y eléctrico la circulación de la
intensidad de campo a lo largo de una trayectoria cerrada era siempre nula por tratarse de
campos conservativos. Resumiendo:
r r
E
∫ • dl = 0
r r
B
∫ • d l = µo I
La ley de Ampere es muy útil para calcular la expresión del campo magnético producido
por distribuciones de corriente en las que exista cierta simetría como vamos a ver en los
siguientes ejemplos.
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA CORRIENTE RECTILINEA
Vamos a calcular la expresión del campo magnético a una distancia r creado por un
conductor rectilíneo e indefinido por el que circula una corriente I.
Ya sabemos que un conductor por el que circula una corriente I crea un campo magnético a
su alrededor y que las líneas de campo son circunferencias concéntricas situadas en el
plano perpendicular al conductor.
Elegimos entonces como trayectoria de
integración una circunferencia de radio r, que
por tanto coincide con la línea de campo, y en
r
consecuencia los vectores B (tangente a la
r
línea de campo) y d l (tangente a la
trayectoria) tendrán siempre la misma
dirección.
r
r
Aplicando la ley de Ampere y teniendo en cuenta que B y d l tienen siempre la misma
dirección:
r r
B
∫ • d l = µo I
∫ B ⋅ dl ⋅ cos 0 = µ
o
I
r
Como dada la simetría B es constante ya que a lo largo de toda la trayectoria se encuentra a la
misma distancia del hilo conductor podemos sacarlo fuera de la integral, así que:
B∫ dl = µ o I
Como la integral a lo largo de todo el camino no es más que la longitud de la
circunferencia: 2π ⋅ r
B ⋅ 2π ⋅ r = µ o I
de donde:
µ I
B= o
2π ⋅ r
Fíjate que en este caso, lo mismo que cuando aplicando la ley de Gauss calculamos el valor
del campo eléctrico creado por un alambre cargado con densidad lineal de carga λ
obtuvimos la expresión
λ
E=
2πε ⋅ r
en ambas expresiones aparecen constantes características de los campos en cuestión y que
ambos disminuyen con la distancia, pero además muestran que E es debido a la carga λ del
alambre mientras que B es debido a la corriente I que circula por él.
CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR UNA ESPIRA CIRCULAR
La dirección del campo magnético creado por una espira circular por la que circula una
corriente I es perpendicular al plano de la espira y su sentido está determinado por el
avance de un sacacorchos que gire como la espira o la mano derecha al cerrar:
El campo magnético en el centro de la espira de radio R por la que circula una corriente I
es:
µ I
B= o
2R
Un solenoide o bobina es un conjunto de espiras circulares paralelas que pueden ser
recorridas por una corriente. El campo magnético en su interior es prácticamente uniforme
y muy intenso, similar al producido por un imán recto. Si además en su interior colocamos
un núcleo de hierro conseguimos concentrar las líneas de campo en su interior y es lo que
se llama un electroimán.
El campo magnético en el interior de un solenoide que tiene N espiras y una longitud L, por
la que circula una corriente I es:
B=
µo N ⋅ I
L
Esta expresión se deduce fácilmente a partir de la ley de Ampere si elegimos una línea
cerrada que pase por el interior de la bobina:
Teniendo en cuenta que en el exterior del solenoide el campo es prácticamente nulo y que
r
r
en las caras verticales B y d l forman 90º y su producto escalar es nulo, resulta que el
único tramo por el que circula corriente es por la línea interior que tiene una longitud L
igual al solenoide.
r r
∫ B • d l = µo I
B∫ dl = µ o I
⇒
B ⋅ L = µoI
teniendo en cuenta que como tiene N espiras la intensidad que atraviesa la línea cerrada (en
verde) es N ⋅ I finalmente nos queda que:
B=
µo N ⋅ I
L
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO: LEY DE
LORENTZ
r
Supongamos una región del espacio donde exista un campo magnético B , si lanzamos una
r
carga q con una velocidad v podemos observar experimentalmente que:
r
1. Si la carga se mueve en la dirección del campo magnético B , sobre ella no actúa
ninguna fuerza.
r
2. Para cualquier otra dirección, la carga se ve sometida a una fuerza F , llamada fuerza
de Lorentz, cuya dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad de la
r
carga y B
r
3. El módulo de la fuerza es proporcional al valor de la carga q, a su velocidad v y al
r
valor del campo magnético B
Podemos resumir las observaciones escribiendo que:
r
r r
F = qv ∧ B
r
r
Esta expresión es la análoga a la que teníamos para el campo eléctrico F = q E aunque
como vemos en el caso del campos magnético para que sobre la carga actúe una fuerza es
r r
necesario que esté en movimiento y que v y B no formen 90º.
Para recordar la dirección y sentido de los tres vectores que aparecen en la expresión de
Lorentz utilizaremos la regla de la mano izquierda (es la única regla para la que se utiliza
esta mano), que nos da la dirección de la fuerza que actúa sobre una carga en movimiento
en el seno de un campo magnético:
En el caso de tratarse de una carga negativa, obviamente, la fuerza tendrá sentido opuesto
al dado por esta regla.
La unidad de campo magnético en el SI es la Tesla, o bien el Weber/m2. Como puede
deducirse fácilmente de la expresión de Lorentz, una tesla es:
T=
N
N
=
m A⋅m
C
s
En el caso de que la carga se mueva en el seno de un campo eléctrico y de un campo
magnético, evidentemente, la fuerza que actuará sobre ella será la suma vectorial de la que
cada campo ejerce por separado, es decir que:
r
r
r r
F = qE + qv ∧ B
MOVIMIENTOS DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME.
Según la dirección del movimiento de la carga respecto del campo magnético se pueden
dar tres casos:
1. La carga se mueva con una velocidad paralela al campo magnético: En este caso sobre la
carga no actuará ninguna fuerza debida al campo magnético, ya que el módulo de la fuerza
de Lorentz F = q v B ⋅ senα = 0 En efecto es cero, tanto si tienen el mismo sentido, donde
α = 0 , como si tienen sentidos opuestos, donde α = 180 . En ambos casos el seno es cero.
2. La carga se mueva perpendicularmente al campo magnético: En este supuesto
simplemente tenemos el movimiento de un cuerpo (la carga en éste caso) que se mueve
bajo la acción de una fuerza normal a su velocidad y por tanto, como sabemos, la
aceleración normal que es la responsable de los cambios en dirección de la velocidad, dará
lugar a un movimiento circular uniforme.
Por tanto, estamos ante la misma situación que cuando una piedra da vueltas en un plano
horizontal, o un coche toma una curva, o un satélite gira alrededor de la tierra o un electrón
gira alrededor del núcleo como en el modelo de Bohr. La única diferencia es que el origen
de la fuerza normal en el primer caso es debida a la tensión de la cuerda, en el segundo a la
fuerza de rozamiento, en el tercero a la fuerza de atracción gravitatoria o eléctrica y en este
caso la fuerza la fuerza de Lorentz.
Desde el punto de vista de un observador inercial, teniendo en cuenta que la fuerza normal
o centrípeta, en este caso es la fuerza magnética de Lorentz, el radio de la trayectoria será:
(Desde el punto de vista de un observador no inercial, que se mueva con la carga, el
resultado habría sido exactamente el mismo, aunque en este caso habríamos tenido que
introducir la fuerza centrífuga como fuerza de inercial: Fmag=Fcentríf)
El mismo
razonamiento para el
campo gravitatorio:
Fgrav=Fnormal
Fmag=Fnormal
qvB = m
v2
4 π2
= m ω2 r = m 2 r
r
T
mv
qB
2πm
el periodo T =
qB
el radio
r=
(igualando 1 y 2)
(igualando 1 y 4)
G
M⋅m
v2
4 π2
2
=
m
=
m
ω
r
=
m
r
r
r2
T2
GM
v2
4π 2 3
T2 =
r
GM
r=
o bien v orbital =
GM
r
(3ª ley de Kepler T 2 = k r 3 )
Observa que aunque las dos situaciones (y el razonamiento) son prácticamente iguales los
resultados obtenidos difieren muchísimo:
• Para el caso de un satélite que gire alrededor de la tierra, su radio es independiente
de la masa del satélite, mientras que en el caso de una carga que gira en el seno un
campo magnético el radio es proporcional a la masa. Precisamente en esto se basa
el espectrógrafo de masas.
• Para el caso de un satélite el periodo de revolución depende del radio (es la tercera
ley de Kepler) mientras que en el caso de una carga que gira en el seno un campo
magnético el periodo es constante (solo depende de la masa y carga de la partícula
y del valor del campo). Precisamente en esto se basa el funcionamiento del
ciclotrón.
3. La carga se mueva con una velocidad que forma un ángulo α con el campo magnético:
En este caso el vector velocidad siempre podrá descomponerse en dos vectores:
•
•
•
Una componente de la velocidad perpendicular al campo magnético, que dará lugar
a que gire describiendo un movimiento circular uniforme
Otra componente de la velocidad en la dirección del campo magnético que, como
dijimos en el apartado primero, le hará avanzar sin desviarse.
El resultado de ambos movimientos es que la partícula describirá una especie de
trayectoria helicoidal similar al borde de un tornillo.
Vamos a descomponer la velocidad de la partícula en un sistema de referencia como el de
r
la figura, en el que B lleva la dirección y sentido del eje X:
•
•
r
v x = v cos α Tiene la dirección y sentido de B por tanto esta componente no
origina ninguna fuerza magnética. Simplemente hace que la partícula avance, con
ese velocidad constante, a lo largo del eje X)
r
v y = vsenα Esta componente es perpendicular a B y por tanto será la
responsable de que aparezca una fuerza magnética normal a ella y que
evidentemente provocará un giro. El radio será:
m
v 2y
= q vyB
⇒
R
Y el periodo de será:
T=
R=
mv ⋅ senα
qB
2πR 2πm
=
vy
qB
fíjate que la expresión del periodo es la misma que obtuvimos antes y que por tanto
r r
no depende el ángulo que forman v y B
•
El resultado de componer los dos movimientos es una hélice, ya que como el
periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta la partícula, en ese mismo tiempo
la componente v x le ha hecho avanzar un espacio:
s = v x T = v cos α
2πm
qB
Ejemplo:
a) (Apartado a de E4B.S2013) Una partícula con carga +q se encuentra en reposo en el
punto (0,0). Si aplicamos un campo eléctrico uniforme E en el sentido positivo del eje OY,
describa el movimiento seguido por la partícula y la transformación de energía que tiene
lugar a lo largo del mismo.
b) Una masa m se encuentra en reposo en el punto (0,0) de un SR. Si se deja en libertad
donde hay un campo gravitatorio g, describa el movimiento seguido por la partícula y la
transformación de energía que tiene lugar a lo largo del mismo.
c) Una carga +q se encuentra en reposo en el punto (0,0). Si se aplica un campo magnético
perpendicular al plano del papel, describa el movimiento de la partícula.
d) (Similar al apartado a de E1B.S2013) Una carga +q se mueve con una velocidad v hacia
la parte positiva el eje OY. Si se aplica un campo magnético perpendicular al plano del
papel, describa el movimiento de la partícula. ¿Varía la energía cinética de la partícula? ¿Y
la energía potencial?
e) Una carga +q se mueve con una velocidad v en línea recta y penetra en una región en la que
existen un campo eléctrico E y un campo magnético B, perpendiculares entre sí y
perpendiculares a la velocidad inicial de la partícula. Haga un esquema y razone qué condición
debe cumplirse para que la partícula continúe su trayectoria rectilínea.
En primer lugar lee muy, muy bien el enunciado hasta que comprendas claramente las
similitudes y diferencias entre los distintos apartados.
r
r
a) Sobre la carga aparecerá una fuerza F = q E . Puesto que la carga
es positiva, la fuerza tendrá la misma dirección y también el mismo
r
sentido que el campo E . Por otro lado, si el campo es uniforme, la
fuerza también lo será en módulo y dirección (siempre vertical
hacia arriba) y consecuentemente la aceleración que provocará. Por
tanto la carga se moverá verticalmente hacia arriba con un
r
r
r
movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado ( F = q E = m a
r
r
de donde a = q E / m ).
Si la única fuerza sobre la partícula es la debida al campo eléctrico se conservará la energía
mecánica: ∆Ec + ∆Ep = 0 . Puesto que la partícula tiene un movimiento uniformemente
acelerado su velocidad irá aumentando y consecuentemente su energía cinética. La
conservación de la energía exige que la energía potencial disminuya. (Es lo esperado, ya
que una partícula, ya sea una masa, o una carga, con independencia de su signo, siempre se
mueve de forma espontánea hacia donde disminuya la energía potencial. No obstante,
como ∆Ep = c ⋅ ∆V las masas y las cargas positivas también se mueven espontáneamente
hacia donde disminuya el potencial, pero las cargas negativas se mueven hacia potenciales
crecientes ya que en la expresión anterior el valor del testigo es un número negativo.)
b) Este podría ser el caso de una piedra que dejamos caer libremente.
Seguramente dirás, con razón, que tendrá un movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado hacia abajo, y que su energía cinética irá
aumentando a la vez que disminuye su energía potencial. Sin embargo,
posiblemente pases por alto que este apartado es idéntico al anterior,
con la salvedad de que ahora tenemos una masa en lugar de una carga,
r
r
que la intensidad de campo ahora es g en lugar de E y que en ningún
momento nos dicen que la intensidad de campo vaya para abajo (es más, como no nos
r
predeterminan la dirección y sentido de g , en el esquema la vamos a pintar para arriba a
r
r
r
cosa hecha). Todo el razonamiento sería exactamente el mismo: En este caso F = m g = m a
r r
de donde a = g lo que quiere decir que el cuerpo se mueve sometido a una aceleración igual
a la intensidad de campo gravitatorio. Si la masa que crea el campo fuese la tierra (cosa que
el enunciado no dice) estaríamos frente a un cuerpo en caída libre que cae con una
aceleración igual a la gravedad.
c) En el apartado a hemos visto que al dejar en libertad una carga, inicialmente en reposo,
en el seno de un campo eléctrico se mueve en la dirección del campo (en el mismo sentido
si es positiva o el contrario si fuese negativa) … No obstante, si dejamos en libertad una
carga, inicialmente en reposo, en el seno de un campo magnético la carga continua igual,
ya que la fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga (fuerza de Lorentz
r
r r
F = q v ∧ B ) sería nula y de acuerdo con la primera ley de Newton la carga mantendría su
estado.
d1) Si la carga se mueve en el seno de un campo magnético sobre ella
r
r r
aparecerá la fuerza de Lorentz F = q v ∧ B . Al tratarse de un producto
vectorial de dos vectores, la fuerza será un vector perpendicular al plano
r r
que forman v y B , su sentido como el de un tornillo que gire como lo
r
r
haría v para coincidir con B por el camino más corto y su módulo
r r
F = q v B senα = q v B (porque v y B forman 90º)
r r
Tanto si v y B forman ángulo de 90º como otro cualquiera (siempre que
no sea α = 0 porque en tal caso F=0) la fuerza tendrá el módulo máximo o
más pequeño, pero siempre será un vector perpendicular a la velocidad, es
decir, se trata de una fuerza normal: Fmag = q v B = m v 2 / r = FNormal . Eso
quiere decir que la velocidad de la carga no variará en módulo y que
solamente variará en dirección, haciendo que describa una circunferencia
(porque la aceleración normal es constante a Normal = v 2 / r = q v B / m ).
d2) Puesto que la fuerza de Lórentz es normal a la velocidad no provocará cambios en su
módulo y en consecuencia su energía cinética permanecerá constante a lo largo de toda la
trayectoria.
A la misma conclusión llegamos si tenemos en cuenta que el trabajo que hace la
fuerza magnética para llevar la carga desde un punto A hasta otro punto B a lo largo
r
r
de esa trayectoria circular es nulo. (porque Fmag y d r (que es tangente a la trayectoria)
son vectores perpendiculares y su producto escalar es nulo). Y como, de acuerdo con
el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza F para
llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía
cinética entre esos puntos: WA→B = ∆Ec = 0
d3) El campo magnético no es un campo conservativo ya que la circulación del vector
intensidad de campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada no es nulo, sino que
r r
B
∫ • d l = µ o I que es la ley de Ampere. Por tanto la Energía potencial, que es un concepto
asociado exclusivamente a los campos de fuerzas conservativos, aquí no existe.
e) Supongamos que la carga se mueve perpendicularmente al
campo magnético tal como se ha dibujado en el apartado d1). En
tal caso el campo eléctrico debería tener la misma dirección que
la fuerza de Lorentz y el sentido opuesto para que la fuerza
eléctrica compense a la magnética: FElec=Fmag ⇒ qE=qvB ⇒
v=E/B
Ejemplo E5A.S2008:
En una región en la que existe un campo magnético uniforme de 0,8 T, se inyecta un
protón con una energía cinética de 0,2 MeV, moviéndose perpendicularmente al campo.
a) Haga un esquema en el que se representen el campo, la fuerza sobre el protón y la
trayectoria seguida por éste y calcule el valor de dicha fuerza.
b) Si se duplicara la energía cinética del protón, ¿en qué forma variaría su trayectoria?
Razone la respuesta. Datos: mp = 1,67·10−27 kg ; e = 1,6·10−19 C ; 1 eV = 1,6·10−19 J
Imaginemos que la dirección del campo magnético
es perpendicular al papel y saliendo. Si el protón se
mueve hacia la derecha, aplicando la regla de la
mano izquierda, la fuerza estará en el plano del
papel, tal como se indica en la figura.
En primer lugar vamos a calcular la velocidad del protón que tiene una energía cinética de
0,2 MeV = 0,2.106 eV (para ello tendremos en cuenta que 1eV = 1,6 ⋅ 19 −19 Julios )
Ec =
1
mv 2
2
v=
2Ec
=
m
2 ⋅ (0,2 ⋅ 10 6 ⋅ 1,6 ⋅ 19 −19 )
= 6,19 ⋅ 10 6 m / s
1,67 ⋅ 10 −27
el módulo de la fuerza que el campo magnético ejerce sobre el protón es:
F = qvB ⋅ sen 90 = qvB
F = 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 6,19 ⋅ 10 6 ⋅ 0,8 = 7,92 ⋅ 10 −13 New
El módulo de la fuerza es constante y siempre en la
dirección normal a la velocidad del protón, por esa
razón describirá un movimiento circular uniforme.
b) Si se duplica la energía cinética, su nueva velocidad será:
Ec =
1
mv 2
2
2
1
Ec
2 mv
=
2Ec 12 mv´2
Ec´= 2Ec =
⇒
v´= v 2
1
mv´2
2
Como el radio de la trayectoria que viene dado por:
F=m
v2
= qvB
R
R=
⇒
mv
qB
El nuevo valor del radio de la trayectoria, teniendo en cuenta la nueva velocidad, sería:
R´=
mv´ mv 2
=
qB
qB
R´= R 2
⇒
Como vemos, aumenta el radio de la trayectoria en
2
Ejemplo E6B.S2008:
r
r
Un electrón entra con velocidad v = 10 j ms−1 en una región en la que existen un
r
r
r
r
campo eléctrico, E = 20k N C−1, y un campo magnético, B = B o i T.
a) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el electrón en el instante en que entra en la
región donde existen los campos eléctrico y magnético y explique las características del
movimiento del electrón.
b) Calcule el valor de B0 para que el movimiento del electrón sea rectilíneo y uniforme.
r
r
El campo eléctrico ejerce una fuerza sobre el electrón Felec = qE que como puede verse en
la expresión tiene la misma dirección del campo, aunque en este caso al tratarse de un
electrón tiene sentido opuesto, ya que q es una magnitud negativa. Como se ha dibujado en
r
la figura es un vector en dirección − k
r
r r
El campo magnético ejerce una fuerza sobre el electrón F = qv ∧ B que como puede verse
será (de acuerdo con la definición de producto vectorial) perpendicular al plano formado
r r
por v y B , es decir tendrá dirección del eje Z. Su sentido el de un sacacorchos que gire
r
r
como v para coincidir con B por el camino mas corto, aunque en este caso al tratarse de
r
un electrón tiene sentido opuesto, así que tendrá dirección y sentido de k . (Al mismo
resultado llegaríamos aplicado la regla de la mano izquierda)
La fuerza resultante sobre el electrón será la suma vectorial de ambas fuerzas, y como
tienen la misma dirección y sentidos opuestos simplemente la obtendremos restando sus
módulos. Si las dos fuerzas no son iguales, como se dice en el apartado b, puede ocurrir:
• Que la fuerza magnética sea mayor, en cuyo
caso como esta fuerza siempre es normal a la
velocidad tenderá a describir un movimiento
circular en el plano ZY.
• Si la fuerza eléctrica es mayor, la partícula
describirá una parábola en el plano ZY,
parecido a cuando se lanza una piedra
horizontalmente.
F=m
v2
= qE − qvB
R
⇒
R=
mv 2
qE − qvB
b) Como ya hemos razonado anteriormente, el electrón permanecerá en movimiento
rectilíneo y uniforme, cuando de acuerdo con la primera ley de Newton sobre él no actúe
ninguna fuerza, es decir, cuando la resultante de las dos que hay sea nula, por tanto, como
tienen la misma dirección y sentidos opuestos, basta con que sus módulos sean iguales:
E 20
Felec = Fmang
⇒
qE = qvB
⇒
B= =
= 2Teslas
v 10
APLICACIONES DEL MOVIMIENTO DE CARGAS EN UN CAMPO MAGNETICO
r
r r
De acuerdo con la ley de Lorentz, F = qv ∧ B la fuerza magnética siempre es perpendicular
r r
al plano que forman los vectores v y B , por tanto la fuerza es siempre perpendicular a la
trayectoria de la partícula.
El trabajo que hace la fuerza magnética para llevar
la carga desde el punto A hasta el punto B, de
acuerdo con la definición de trabajo, es nulo
porque es el producto escalar de dos vectores
perpendiculares:
B
r
r
WA→B,camp.mag = ∫ Fmag • d r = 0
A
De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética o teorema de las fuerzas vivas,
como el trabajo realizado por la fuerza F para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro
B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos
WA →B = ∆Ec
Si el trabajo es cero, la energía cinética no varía y por tanto la velocidad en toda la
trayectoria es la misma (su módulo, porque en dirección sí que varía).
Ciclotrón: El ciclotrón es un acelerador de partículas ideado en 1930 por Lawrence. Consiste en
dos piezas huecas de forma semicircular llamadas “DES”, por su forma, que están en el seno de
un campo magnético perpendicular y entre las que se establece una ddp que va alternando de
polos.
Su funcionamiento está basado en que, como hemos visto, el periodo de rotación de una
partícula cargada en el interior de un campo magnético uniforme es independiente del
radio y de la velocidad:
2πR 2π m
T=
=
v
qB
El funcionamiento es el siguiente:
• Una vez que la fuente emite la partícula cargada, se acelerada hacia la D1 por un
campo eléctrico que se crea estableciendo una ddp entre D1 y D2. ( V = E ⋅ d )
• La ddp entre las DES debe tener exactamente la misma frecuencia que el
movimiento circular que describe la partícula, es decir ν = 1 / T
• Al llegar a la D1, la partícula ha alcanzado una velocidad v1. De acuerdo en el
teorema de las fuerzas vivas:
Welectrico = qV = ∆Ec
•
•
•
•
•
Una vez que entra en la D1, por efecto del campo magnético describe un movimiento
circular. Dentro de la DE está un tiempo igual a la mitad del periodo: T/2
Cuando sale de D1 lleva la misma velocidad v1, con que entró, pero en este momento
cambia la polaridad de la ddp y ahora la partícula se acelera nuevamente por efecto del
campo eléctrico hasta la D2, a la que llega con una velocidad v2 mayor.
Nuevamente describe una trayectoria circular, tardando el mismo tiempo, T/2, y
sale de D2 con la misma velocidad con que entró.
Otra vez cambia la polaridad de la ddp y vuelve a acelerarse, llegando a la D1 con
una velocidad v3 mayor, y así sucesivamente. Cada media vuelta va aumentando la
velocidad, por efecto del campo eléctrico entre las DES, hasta que finalmente sale
del ciclotrón.
La velocidad de salida, que depende del radio del ciclotrón es:
v2
qBR
= qvB
⇒
v=
R
m
Espectrómetro de masas: Es un dispositivo utilizado para medir la masa de los iones o
partículas cargadas, que se basa en que el radio de la trayectoria seguida por la carga al
entrar en el campo magnético es directamente proporcional a su masa. Como ya hemos
visto:
v2
mv
F=m
= qvB
⇒
R=
R
qB
F=m
La velocidad de entrada de los iones se controla fácilmente mediante un campo eléctrico
perpendicular al campo magnético, es lo que se llama filtro de velocidades. Ya hemos visto
anteriormente que en este caso, en el que los campos son perpendiculares, no se desviarán
aquellos iones para lo que se cumpla que:
Felec = Fmang
⇒
qE = qvB
v=
⇒
E
B
Los iones que tienen la velocidad v entrarán por la rendija (el resto los desviará uno u otro
campo y no entrarán). Ahora como solo están sometidos al campo magnético describirán
una trayectoria circular hasta chocar en la película fotográfica. Según su masa describirán
una trayectoria de más o menos radio:
R1 =
m1 v
qB
R2 =
m2v
qB
R3 =
m3v
qB
En el caso de desconocer la masa y la carga de la partícula, como mínimo, siempre será
posible medir la relación entre la masa y la carga, ya que:
m B
= R
q v
Ejemplo:
En un espectrógrafo de masas los campos eléctrico y magnético del filtro de velocidades
valen respectivamente E=120.000 N/C y B=0,2 T. En estas condiciones pasa un protón.
a) Cual es la velocidad que posee el protón
b) Al penetrar en la región donde solo existe el campo magnético describe una trayectoria
circular de 3,13 cm de radio ¿Cuál es la masa del protón?
Datos: e = 1,6 ⋅ 10 −19 C
a) En primer lugar vamos a ver como un campo eléctrico y otro magnético perpendiculares
pueden funcionar como un auténtico filtro de partículas que tienen una determinada
velocidad:
De solo existir el campo magnético la partícula describiría una
trayectoria circular por estar sometida a una fuerza normal a su
velocidad. Ten en cuanta que la fuerza magnética “siempre” es
normal a la velocidad y por tanto da lugar a una aceleración normal
responsable del cambio de dirección de la velocidad y de que la
trayectoria sea circular.
De solo existir el campo eléctrico la partícula describiría una
parábola, ya que estaría sometida a una fuerza siempre en la
misma dirección (de la placa positiva a la negativa). La situación
será exactamente igual a cuando se lanza una piedra
horizontalmente. Tendríamos una componente de la velocidad
que le hace avanzar uniformemente y otra componente
perpendicular, que en este caso en lugar de ser debida a la
gravedad sería debida al campo eléctrico.
La partícula no se desvía cuando ambas fuerzas son iguales en módulo, ya que tienen la
misma dirección y sentidos opuestos:
E 120.000
Felec = Fmang
⇒
qE = q vB
⇒
v= =
= 6 ⋅ 10 5 m / s
B
0,2
b) Una vez que la partícula entra en la región donde solo existe el campo magnético
perpendicular a su velocidad comenzará a describir un movimiento circular uniforme.
Como en este caso la fuerza normal es de origen magnético:
v2
= q vB
F=m
R
⇒
q B R 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 0,2 ⋅ 0,0313
= 1,67 ⋅ 10 − 27 Kg
m=
=
5
v
6 ⋅ 10
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR. LEY de LAPLACE
Cuando por un hilo conductor circula una corriente, si se encuentra en un campo
magnético, sobre él aparecerá una fuerza que es simplemente la suma de las fuerzas que el
campo magnético ejerce sobre cada una de las cargas que se mueven y que constituyen la
corriente.
Supongamos que el hilo tiene una sección A, una longitud L y que por él circula una
corriente I.
Si cada carga elemental tiene un valor q y llamamos n al número de cargas por unidad de
volumen, la carga total Q que circulará por el conductor será:
Q = n ⋅ q ⋅A ⋅ L
Si llamamos v a la velocidad con que se mueven las cargas en el interior del conductor,
también llamada velocidad de arrastre, y tenemos en cuenta que, por definición, la
intensidad de la corriente es igual a la carga total que atraviesa una sección de conductor
en la unidad de tiempo:
I=
Q q ⋅ n ⋅ A ⋅L
=
= q⋅n⋅A⋅v
t
t
Como empezamos diciendo, la fuerza magnética sobre el conductor es la suma de la que el
campo ejerce sobre cada carga en movimiento:
Por tanto si la carga total que circula por el conductor es Q la fuerza ejercida por el campo
r
magnético B sobre el conductor será:
r
r r
r r
F = Q⋅v ∧ B = q⋅n⋅A⋅L⋅v ∧ B
y teniendo en cuenta que I = q ⋅ n ⋅ A ⋅ v y que un vector se puede escribir como producto
r
r
de su módulo por un vector unitario en su dirección y sentido (en este caso v = v ⋅ u v )
finalmente, nos queda que:
r
r
r
F = q ⋅ n ⋅A ⋅ L⋅ v ⋅ uv ∧ B
r
r
r
F = I⋅L⋅uv ∧ B
r
evidentemente u v es un vector unitario en la dirección y sentido en que se mueven las
cargas positivas. Para el caso de un conductor rectilíneo, esta dirección coincide con la del
hilo conductor, así que la expresión, llamada Ley de Laplace, se escribe como:
r
r r
F = I⋅L ∧ B
La dirección y sentido de la fuerza puede obtenerse con la misma regla de la mano
izquierda, solo que cambiando el dedo que nos indica la velocidad de la carga positiva por
el sentido de la intensidad de corriente, que obviamente viene a ser lo mismo.
Ejemplo:
Un alambre de 0,5m de longitud y 10 g de masa está suspendido mediante unos alambres
flexibles, como se indica en la figura, encontrándose en el seno de un campo magnético de 0,4
T.
¿Cuál debe ser la magnitud y dirección de la corriente que se requiere para eliminar la
tensión en los alambres que lo sostienen?
Para eliminar la tensión de los resortes que sostienen el conductor es necesario que la
fuerza que el campo hace sobre el conductor compense el peso del mismo. Por tanto es
necesario que dicha fuerza sea vertical y hacia arriba, con lo que aplicando la regla de la
mano izquierda, resulta que la corriente por el hilo debe circular desde A hasta B, tal como
se muestra en la figura.
m g 0,01 ⋅ 10
mg = I LB
⇒
I=
=
= 0,5Amp
L B 0,5 ⋅ 0,4
MOMENTO SOBRE UNA ESPIRA EN UN CAMPO MAGNÉTICO
Imaginemos una espira cuadrada en el seno de un campo magnético, tal como se muestra
en la figura:
El lado b
•
•
Inicialmente no ejerce ninguna fuerza porque la corriente y el campo tienen la
misma dirección, α = 0 , así que su producto escalar es nulo.
Cuando la espira gire un ángulo α ≠ 0 entonces la fuerza de los lados b ya no es
nula, porque valdrá Fb = IbBsenα , pero como puede verse en la figura la fuerza de
ambos lados tienen la misma dirección y sentidos opuestos, por lo que se anularían.
(Fíjate que esa fuerza varía en módulo, porque depende del ángulo α que forman la
corriente y el campo, pero siempre tiene la misma dirección vertical.
El lado a
•
•
En todo momento la intensidad de la corriente y el campo magnético forman 90º,
así que la fuerza siempre tiene su valor máximo: Fa = IaB
En todo momento la fuerza es perpendicular al hilo conductor, y como puede verse
en la figura, forman un par de fuerza que tiene de hacer girar a la espira con un
momento igual a:
M = Fa ⋅ b = IaB ⋅ b = ISB
donde se ha tenido en cuenta que el área de la espira es S = ab
En forma vectorial, el momento sobre la espira es:
r r
r
M = IS ∧ B
r
r
Teniendo en cuenta que se llama momento magnético de la espira: m = IS podemos poner
que:
r
r r
M =m∧B
Una aplicación importante la podemos encontrar en el galvanómetro, que es un aparato que
se utiliza para medir intensidades de corriente:
Como hemos visto el momento que hace girar a la espira es proporcional a la intensidad de la
corriente que circula por la espira (o por la bobina formada de N espiras) M = N ⋅ ISB , de
manera que graduando la escala podemos saber la intensidad que circula en función del ángulo
que gira la bobina.
La bobina tiene acoplado a su eje de giro un resorte que la mantiene en el cero cuando no hay
corriente y cuando por ella circula corriente gira hasta que el momento del par debido a la
fuerza magnética iguala al momento del par del resorte.
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS CORRIENTES RECTILÍNEAS INDEFINIDAS
Ya hemos visto que el campo magnético creado por un conductor rectilíneo, por el que
circula una corriente I a una distancia r es:
B=
µo I
2π r
Si cerca de ese conductor hay otro conductor, sobre éste actuará una fuerza debida al
campo magnético creado por el primero, y viceversa. Sean A y B dos conductores por los
que circulan corrientes IA e IB y que se encuentran separados una distancia d.
Llamemos BA al campo magnético que el
conductor A crea a su alrededor, y que a una
distancia d, valdrá:
BA =
µoIA
2π d
Como el conductor B se encuentra en el seno de un campo magnético (el creado por A)
sobre él actuará una fuerza FB cuya dirección y sentido vendrá dada por la regla de la mano
izquierda y que valdrá:
r
r r
FB = I B ⋅ L ∧ B A
r
r
Teniendo en cuenta que los conductores son paralelos, L y B forman 90º, de manera que el
módulo de la fuerza será:
µ I
FB = I B LB A = I B L o A
2π d
A la misma conclusión llegaremos si calculamos la fuerza que el conductor B hace sobre el
A, de manera que:
µ I I
FA = FB = o A B L
2π d
Y la fuerza por unidad de longitud de conductor sería:
F µo IA IB
=
L
2π d
En el caso de que por los conductores circulen las corrientes en sentido contrario la fuerza
tendrá el mismo valor en módulo, aunque en este caso se repelerían:
Definición internacional de Amperio. Como sabes, el amperio es una de las magnitudes
fundamentales. Si recuerdas que en el vacío la constante de permeabilidad magnética vale:
µ o = 4π ⋅ 10 −7 T ⋅ m / A
la fuerza por unidad de longitud de conductor nos quedaría que en el vacío sería:
I I
F
= 2 ⋅ 10 −7 A B
L
d
Es fácil comprender que si: L=1m, IA=IB=1Amp, d=1m entonces F= 2 ⋅ 10 −7 N, por tanto:
Definición de Amperio: Amperio es la intensidad de corriente que circula por dos hilos
paralelos, situados en el vacío a una distancia de un metro, para que se atraigan o repelan
con una fuerza de 2 ⋅ 10 −7 Newton por cada metro. (Se dice para que se atraigan para el
caso de que por ambos circule la corriente en el mismo sentido o se repelan si las
corrientes circulan en sentidos contrarios)
Ejemplo:
La balanza de Cotton es un dispositivo como el de la figura que permite medir la fuera que
actúa sobre un conductor cuando se encuentra en un campo magnético.
Si el hilo A, que cuelga de la balanza, tiene una longitud de 1 m, está recorrido por una
corriente de 50 Amp y separado del conductor B una distancia de 5 cm ¿Qué corriente y en
qué sentido debe circular por el conductor B para que la balanza se equilibre con 2 gr?
Para compensar el peso del platillo, la fuerza que el conductor B tiene que hacer sobre el A
debe ser atractiva, luego por los dos hilos las corrientes deben circular en el mismo sentido:
Para que el sistema está en equilibrio F = mg es decir:
µoIAIB
L = mg
2π d
4π10 −7 ⋅ 50 ⋅ I B ⋅ 1
= 0,002 ⋅ 10
2π0,05
⇒
I B = 100Amp
Ejemplo E3A.S2007:
Dos conductores rectilíneos, muy largos y paralelos, distan entre si 0,5 m. Por ellos
circulan corrientes de 1 A y 2 A, respectivamente.
a) Explique el origen de las fuerzas que se ejercen ambos conductores y su carácter
atractivo o repulsivo. Calcule la fuerza que actúa sobre uno de los conductores por unidad
de longitud.
b) Determine el campo magnético total en el punto medio de un segmento que una los dos
conductores si las corrientes son del mismo sentido.
a) Como sabemos una corriente no es más que un
montón de cargas en movimiento, por tanto a su
alrededor creará un campo magnético. Lo mismo
puede decirse el otro conductor y en consecuencia,
cada conductor al encontrarse en el campo
magnético creado por el otro estará sometido a una
fuerza en la dirección normal a los conductores y
cuyo sentido depende del sentido de las corrientes,
siendo atractivo si ambas circulan en el mismo
sentido y repulsivo si las corrientes circulan en
sentidos contrarios:
Como hemos deducido anteriormente, la fuerza por unidad de longitud que un conductor
hace sobre el otro viene dada por:
F µo IA IB
=
L
2π d
⇒
F 4π10 −7 ⋅ 1 ⋅ 2
=
= 8 ⋅ 10 −7 New
L
2π0,5
b) Suponiendo que por los dos conductores circulen las corrientes en el mismo sentido, el
campo magnético en el punto medio de un segmento que los une sería:
Como puede verse en la figura, en el punto medio el segmento que separa a los
conductores, ambos campos tienen la misma dirección (la del plano normal a los
conductores), pero tienen sentidos opuestos, así que el módulo del campo resultante puede
obtenerse simplemente restando el módulo del campo que en ese punto crea cada
conductor por separado:
BA =
µ o I A 4π10 −7 ⋅ 1
=
= 8 ⋅ 10 −7 T
2π d
2π0,25
B = 8 ⋅ 10 −7 T
µ o I B 4π10 −7 ⋅ 2
BB =
=
= 16 ⋅ 10 −7 T
2π d
2π0,25
Como era de suponer, es mayor el campo creado por el conductor B, porque por él circula
una corriente mayor. Fíjate también que en el caso de que la corriente que circulara fuese
la misma el valor del campo en el punto medio sería nulo.
FENÓMENOS DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
Una vez que Oersted puso de manifiesto que una corriente podía producir un campo
magnético, muchos físicos empezaron a plantearse si ocurriría lo contrario: que un campo
magnético fuese capaz de crear una corriente. Vamos a describir los experimentos que
llevaron a cabo Faraday en Inglaterra y Henry en E.U. y que ponen de manifiesto el
fenómeno de la inducción.
1. Un circuito inerte es aquel que no tiene ninguna pila y solamente está formado por un
arrollamiento de conductor, al que llamaremos solenoide o bobina, conectado a un
galvanómetro.
Como es lógico el galvanómetro no marcará nada, porque al no haber un generador que
provoque una ddp no habrá movimiento de cargas y por tanto I=0
Sin embargo si le acercamos un imán por cualquiera de sus polos veremos que el
galvanómetro acusa el paso de corriente, es decir que por la razón que sea en el circuito
inerte se induce una corriente:
Lo curioso es que la corriente inducida tiene un sentido cuando el imán se acerca y el
contrario cuando se aleja. Lo mismo podemos decir cuando en lugar de acercar o alejar el
imán por un polo lo hacemos por el polo opuesto.
2. Idénticos resultados obtendríamos si dejásemos quieto el imán y moviéramos la bobina.
Resumiendo, podemos decir que mientras haya un movimiento relativo entre la bobina y el
imán, en ésta se induce una corriente.
3. Si a nuestro circuito inerte le acercamos un solenoide por el que circula corriente sucede
como en las experiencias anteriores: que en el circuito inerte se induce una corriente.
En lo que se refiere al solenoide, era de esperar que tuviese estos efectos sobre el circuito
inerte, puesto que como sabemos un solenoide que está atravesado por una corriente se
comporta como un imán y por tanto esta experiencia sería básicamente igual a las
anteriores.
4. Si al solenoide de la experiencia anterior lo dejamos quieto, pero le ponemos un
interruptor, al abrirlo y cerrarlo también se induce una corriente en el circuito inerte y
según de cierra o abra el circuito la corriente inducida tiene sentido contrario.
5. Hay muchos más experimentos que conducen a lo mismo, a inducir una corriente en el
circuito inerte, como por ejemplo dejar quiero el imán mientras metemos y sacamos de la
bobina un núcleo de hierro. O ponerle al circuito del solenoide un reostato y actuar sobre el
botón del mismo
FUERZA ELECTROMOTRIC INDUCIDA Y VARIACIÓN DE FLUJO: LEY DE
FARADAY−LENZ
Faraday comprendió que el denominador común de todos estos experimentos, aparentemente tan
distintos, era que producían un flujo magnético variable en el circuito inerte.
En las tres primeras experiencias la variación de flujo (de las líneas de campo magnético que
atraviesan el circuito inerte) se conseguía acercando o alejando el imán, con lo que el flujo se
hacía mayor al acercarse, y menor al alejarse. Vuelve a mirar los dibujos y lo entenderás.
En la experiencia 4, al abrir o cerrar el interruptor lo que estamos haciendo es variar la
intensidad de la corriente y por tanto el campo magnético creado por la bobina. La misma
explicación podemos dar para el caso de colocarle una resistencia variable y moverla, que
variamos la intensidad de la corriente.
En el caso de meter y sacar el núcleo de hierro dentro de la bobina el resultado es el
mismo, ya que como el núcleo lo que hace es concentrar las líneas de campo, al
introducirlo conseguimos aumentar el flujo a través del circuito inerte y al sacarlo lo
disminuimos.
La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la
variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo:
e=−
dφ B
dt
Observa que:
•
•
La f.e.m. inducida no se debe a la existencia de flujo, sino a su variación. Si no hay
r
variación de flujo de B a través del circuito, la f.e.m. inducida será cero.
El signo menos indica que la f.e.m. inducida debe ser aquel que se oponga a las
causas que la originan. (Es decir al movimiento relativo del imán y la bobina, etc)
Es lo que se conoce como ley de Lenz.
Antes de explicarlo con detalle, recuerda
que una bobina al ser atravesada por una
corriente se comporta como un imán y el
sentido de las líneas de campo lo
obteníamos con la mano derecha:
cerrándola en el sentido de la corriente, el
pulgar nos indicaba el sentido de las líneas
y por tanto cual sería el polo norte:
Ahora podemos explicar lo que ocurre:
De acuerdo con la ley de Faraday−Lenz, cuando acercamos el
norte del imán al circuito inerte, en éste debe inducirse una
corriente que “se oponga a la causa que lo crea”, es decir que la
bobina debe comportarse como si fuera un imán que rechace al que
le acercamos.
Es como si dijéramos que la bobina del circuito presenta una
inercia a cambiar su estado inicial: Inicialmente no estaba
atravesada por ninguna línea de campo y por eso al acercarle el
imán y comenzar a penetrar las líneas de campo del imán la bobina
creara unas “de forma inducida” en sentido contrario para
contrarrestar a las del imán:
Y aplicando la regla de la mano derecha a la bobina, nos daría la
dirección de la corriente, tal como se ha dibujado en la figura.
Cuando alejamos el imán sucede lo contrario: Cuando el imán está
cerca el circuito, éste está siendo atravesado por muchas líneas de
campo, y al alejarlo lo que hacemos es disminuir el flujo. Entonces
la bobina “que se opone a ese cambio” crea sus propias líneas en el
mismo sentido de las que lo atravesaban, como si ahora no quisiera
renunciar a ellas:
La ley de Faraday−Lenz, para el caso de una bobina que tiene N espiras, como en cada una
se induce la misma fuerza electromotriz, la escribiremos como:
e=−
N ⋅ dφ B
dt
En realidad esta ley no es más que otra manera de expresar el principio de conservación de
la energía, ya que imagina que se cumpliera lo contrario, que al acercar el imán a la bobina
ésta lo atrajera cada vez con una fuerza mayor y por tato se indujera una corriente cada vez
mayor. Entonces tendríamos que admitir que el circuito se alimenta solo, lo que resulta
absurdo.
Sin embargo la energía que el circuito pierde por efecto Joule es igual al trabajo que
nosotros hacemos al acercar el imán. Esto sí tiene sentido. La ley de inducción de
Faraday−Lenz es la cuarta ecuación del electromagnetismo de Maxwell.
E4A.S2005
1. Una espira cuadrada está cerca de un conductor, recto e indefinido, recorrido por una
corriente I. La espira y el conductor están en un mismo plano.
Con ayuda de un esquema, razone en qué sentido circula la corriente inducida en la espira:
a) Si se aumenta la corriente en el conductor.
b) Si, dejando constante la corriente en el conductor, la espira se aleja de éste
manteniéndose en el mismo plano.
La ley de Faraday−Lenz dice que la fuerza electromotriz inducida es igual a “menos” la
dφ
variación de flujo magnético que atraviesa el circuito con respecto al tiempo e = − B
dt
Por tanto para que en un circuito se induzca una corriente es necesario que el flujo de
r r
campo magnético ( φ = B • S = B ⋅ S ⋅ cos α ) a través del circuito varíe con el tiempo.
a) Teniendo en cuenta que el campo
magnético creado por un conductor a
una distancia r es un vector tangente a
la circunferencia de radio y su módulo
µ I
viene dado por B = o
2π ⋅ r
Si aumenta la corriente (I) por el
conductor ⇒ B variará aumentando
también ⇒ el flujo de B variará ⇒ en la
espira se inducirá una corriente.
Por otro lado, el signo menos indica que la corriente inducida debe ser tal que se oponga a
las causas que la producen. En ese caso se trata de un flujo de B que va aumentando y, en
consecuencia, en la espira la corriente debe tener el sentido que rechace este aumento de
campo, es decir que el campo creado por la espira (Bind) debe tener sentido opuesto ⇒
apuntando con el pulgar en el sentido de Bind al cerrar la mano obtenemos el sentido de la
corriente inducida.
µoI
⇒ al alejar la espira
2π ⋅ r
disminuye B ⇒ teniendo en cuenta los
mismos razonamientos, se inducirá una
corriente, pero esta vez como B disminuye
el Bind intentará compensar esa
disminución y por tanto tendrá la misma
dirección y sentido. Para que Bind tenga
ese sentido la corriente inducida en la
espira debe circular en sentido horario, tal
como se muestra en la figura.
b) Como B =
Ten en cuenta que si en caso a) la corriente deja de variar o en el caso b) la espira deja de moverse,
entonces el flujo de B a través del circuito sería constante y la f.e.m. inducida nula.
Ejemplo:
La barra AB de la figura tiene una longitud de 25 cm y se mueve con una velocidad
uniforme de 16 m/s sin rozamiento sobre unos raíles conductores. Si el conjunto está
sometido a un campo magnético uniforme de 1T, calcular:
a) La f.e.m. inducida
b) Si R=4Ω ¿cuánto vale la intensidad inducida y su sentido?
c) ¿Qué fuerza debemos ejercer sobre la barra para que su movimiento sea uniforme?
r
a) Lo primero que tenemos que ver es cual es la expresión del flujo de B a través del
circuito, que como se comprenderá irá aumentando con el tiempo, al ir moviéndose la barra
AB. Como al cabo de un tiempo t, la barra se habrá desplazado un espacio x = v t
r r
φ = B •S = B⋅S = B⋅ x L = B⋅ vt L
r
r
Donde hemos tenido en cuenta que los vectores B y S tienen la misma dirección, así que
su producto escalar es igual al producto de sus módulos.
Según la ley de Faraday−Lenz:
e=−
dφ B
d ( B v t L)
=−
= −B v L
dt
dt
e = −1 ⋅ 16 ⋅ 0,25 = −4Volt
La f.e.m. inducida es de 4 voltios y el signo menos indica, como vamos a ver, que esta
f.e.m. se va a oponer al movimiento de la barra que ha sido la causa de su origen.
b) Al mover la barra AB el circuito es atravesado cada vez por un mayor número de líneas
de campo, por tanto el circuito se comportará como un imán que tiende a rechazarlas, es
decir que las cree hacia dentro del papel:
Aplicando la regla de la mano derecha que nos da la dirección de las líneas en función del
sentido de la corriente tendremos que si las líneas entran en el papel, el sentido de la
corriente inducida es el que se dibuja:
Una vez que hemos razonado el sentido de la corriente inducida, calcular su valor es muy
fácil. Aplicando la ley de Ohm:
e 4
I = = = 1Amp
R 4
c) Por la barra AB circula una corriente, y como se encuentra en el seno de un campo
magnético, sobre ella aparecerá una fuerza cuya dirección venía dada por la regla de la
mano izquierda:
Como puedes ver, la fuerza magnética se opone al movimiento de la barra. ¿Entiendes
ahora la Ley de Lenz? El movimiento de la barra indujo una corriente y debido a ella
apareció una corriente inducida y una fuerza magnética que tiende a frenar a la barra. Esta
fuerza que el campo magnético ejerce sobre el conductor rectilíneo por el que circula una
corriente Iind vale:
F = I LB = 1 ⋅ 0,25 ⋅ 1 = 0,25 New
Por tanto, si queremos que la barra AB se mueva con movimiento uniforme, la suma de
todas las fuerza sobre ella debe ser nula, así que tendremos que aplicar una fuerza igual y
en sentido contrario, es decir una fuerza de 0,25 New en la dirección y sentido del
movimiento de la barra.
PRODUCCIÓN DE CORRIENTES ALTERNAS. GENERADORES
La producción de la corriente que consumimos se basa en los fenómenos de inducción que
acabamos de ver. Lo que se hace es hacer girar a una bobina entre los polos de un imán:
Cuando se hace girar la bobina varía el flujo de campo magnético que la atraviesa y en
consecuencia se induce una corriente. Vamos a detallarlo, y para ello recuerda que el flujo
es:
r r
φ = B • S = BS ⋅ cos α
donde α es el ángulo que forman las líneas de campo magnético con el vector superficie,
que como sabes es un vector perpendicular a la superficie, es decir, a la espira:
Si a la bobina se le hace girar con una velocidad ω, entonces el ángulo que forman los
r
r
vectores B y S vendrá dado por α = ω ⋅ t + α o donde hemos considerado para más
sencillez que para t=0, αo=0. Así que el flujo será:
φ = BS ⋅ cos ω ⋅ t
y la f.e.m. inducida, según la ley de Faraday−Lenz:
e=−
dφ
= BSω senω ⋅ t
dt
Como puede verse la f.e.m. inducida depende del tiempo y viene dada por una función
sinusoidal, siendo la f.e.m. máxima:
E max = BSω
o bien E max = N ⋅ BSω para el caso de que la bobina tuviese N espiras. Finalmente
podemos poner que la f.e.m. inducida instantánea es: e = E max senω ⋅ t
Fíjate como cada periodo (T) se repiten los valores de la f.e.m. y que toma valores
positivos, nulos y negativos, por ese motivo se le llama corriente alterna, porque cambia
dos veces de sentido cada periodo. A la velocidad angular con que gira la bobina se le
llama pulsación de la corriente alterna, y como sabes:
ω=
2π
= 2π ν
T
Al dispositivo descrito se le llama generador de corriente alterna o simplemente alternador.
La frecuencia de la corriente es igual a la frecuencia con que gira la bobina, que en Europa
es de 50 Hz.
Ejemplo:
Cuando una espira circular, situada en un campo magnético uniforme de 2 T, gira con
velocidad angular constante en torno a uno de sus diámetros perpendicular al campo, la
fuerza electromotriz inducida es:
e(t) = −10 sen (20 t) (S.I.)
a) Deduzca la expresión de la f.e.m. inducida en una espira que gira en las
condiciones descritas y calcule el diámetro de la espira y su periodo de revolución.
b) Explique cómo variarían el periodo de revolución y la f.e.m. si la velocidad angular
fuese la mitad.
c) Una espira circular se encuentra situada perpendicularmente a un campo
magnético uniforme. Razone qué fuerza electromotriz se induce en la espira, al girar con
velocidad angular constante en torno a un eje, en los siguientes casos: i) el eje es un
diámetro de la espira; ii) el eje pasa por el centro de la espira y es perpendicular a su plano.
(E6A.S2008)
a) De acuerdo con la ley Faraday−Lenz, la f.e.m. de la espira es:
e=−
dφ
= −10sen 20 t
dt
de donde:
φ = ∫ 10sen 20 tdt = −0,5 cos 20 t = 0,5 cos(20 t + π) (*)
Donde se ha tenido en cuenta que cos α = − cos(α + π )
Si ahora tenemos en cuenta que el flujo por definición es el producto escalar del vector
campo por el vector superficie y que la espira al estar girando con una velocidad angular
ω constante el ángulo, que depende del tiempo, es α = ωt + α o
φ = BS ⋅ cos(ω ⋅ t + α o ) (*)
Si comparamos las dos expresiones (*) obtenidas para el flujo tendremos que:
BS = 0,5
S=
⇒
0,5 0,5
=
= 0,25m 2
B
2
Si la espira es circular:
S = πR 2 = 0,25
2π
ω = 20 =
T
⇒
⇒
R = 0,28m
⇒ Diámetro = 0,56m
T = π / 10 seg.
b) Si la velocidad angular con que gira la espira se reduce a la mitad: ω´ = ω / 2
2π
T
2π
ω´=
T´
ω=
ω T´
=
ω´ T
⇒
T´= T
ω
ω
=T
= 2T
ω´
ω/ 2
Como vemos, al disminuir la velocidad angular a la mitad el periodo se hace el doble, cosa
absolutamente lógica y de esperar, ya que al hacerse la mitad la velocidad angular tardará
el doble en completar una vuelta que es precisamente el periodo.
e=−
d[BS ⋅ cos(ω ⋅ t + α o )]
dφ
=−
= BSω sen (ω t + α o ) = −BSω senω t
dt
dt
La f.e.m. inducida máxima vale: E max = BSω y puesto que es directamente proporcional a
la velocidad angular con que gira la espira se hará la mitad al hacerse la mitad ω. (En el
desarrollo anterior se ha tenido en cuenta que como en este caso α o = π y
senα = −sen (α + π)
c) i) Si el eje es un diámetro de la espira, como vemos en la figura de la izquierda, al girar
la espira variará el flujo de líneas de campo y por tanto se inducirá una f.e.m. en la forma
que hemos razonado mas arriba. ii) Pero si el eje pasa por el centro de la espira y es
perpendicular a su plano, como en la figura de la derecha, al girar siempre estará
atravesada por el mismo número de líneas de campo y en consecuencia al no variar el flujo
r
de B con el tiempo no se inducirá ninguna corriente.
TRANSPORTE Y USO DE LAS CORRIENTES ALTERNAS. FUNDAMENTO DEL
TRANSFORMADOR
La electricidad es la energía más consumida por varios motivos:
•
•
•
Es fácil de transportar a las grandes distancias.
Es fácil de transformar en otras energías. (Mecánica en los motores, térmica en una
estufa, luminosa, etc)
No contamina ni produce residuos, aunque algunas de sus formas de producción sí,
dependiendo del tipo de central eléctrica.
La energía eléctrica se transporta desde las centrales eléctricas hasta los lugares de
consumo mediante el tendido eléctrico, lo que pasa es que si se transportara a la tensión de
consumo las pérdidas caloríficas por efecto joule serían enormes, debido a la resistencia de
los conductores, de manera que lo que se hace es aumentar mucho su voltaje, para que así
disminuya su intensidad y en consecuencia las pérdidas. (Recuerda que el calor es
proporcional al cuadrado de la intensidad: Q = I 2 R t )
La tensión de la corriente que se genera en la centrales es de alrededor de 20.000 voltios y
se eleva entre los 250.000 y 500.000 voltios, que es la tensión a la que se transporta hasta
las subestaciones, donde se reduce a unos 50.000 voltios y posteriormente se reduce en los
transformadores próximos a las viviendas hasta los 220 voltios para su consumo.
Como vemos los transformadores juegan un papel muy importante en el proceso de
transporte de energía eléctrica. Un transformador está formado por dos bobinas arrolladas
alrededor de un núcleo de hierro como se muestra en la figura:
A la bobina por la que se hace circular corriente alterna se la llama “primario”, y el campo
magnético variable que origina induce una corriente en la otra bobina que se llama
“secundario”. Ambas corrientes son de la misma frecuencia, sin embargo la f.e.m. inducida
es función del número de vueltas de las bobinas.
Cuando al primario se le aplica una fuerza electromotriz alterna, el flujo magnético
variable que produce atraviesa tanto al primario como al secundario. De acuerdo con la ley
de Faraday−Lenz, si N1 es el número de espiras del primario la fuerza electromotriz
autoinducida será:
dφ
V1 = − N1
dt
y en el secundario la fuerza electromotriz inducida por el primario será:
dφ
dt
donde se ha tenido en cuenta que, debido al núcleo de hierro, las pérdidas son muy
pequeñas y por tanto el flujo a través de las dos bobinas es prácticamente el mismo.
Combinando las dos ecuaciones se obtiene la relación entre la tensión de entrada y de
salida:
N
V1 V2
=
→
V2 = V1 2
N1 N 2
N1
V2 = − N 2
Como vemos, se puede obtener la f.e.m de salida deseada simplemente ajustando el
número de espiras del primario y del secundario. A la relación N 2 / N 1 se le llama
“relación de transformación”.
El núcleo de hierro hace que las pérdidas sean insignificantes, no obstante una pequeña
parte de la energía se pierde y se transforma en calor porque en el metal también se
inducen corrientes como consecuencia del flujo magnético variable, llamadas corrientes de
Foucault. Para minimizarlas el núcleo de hierro se lamina.
Y puesto que en los transformadores la energía perdida es insignificante, la potencia
( P = IV ) en el primario y en el secundario debe ser igual, así que:
P = I1 V1 = I 2 V2
Como puedes ver, si la tensión de salida aumenta la intensidad disminuye, porque son
inversamente proporcionales. Ahora puedes entender porqué se utilizaba un transformador
para elevar la tensión de la corriente para transportarla.
Las corrientes de Foucault: Ya hemos dicho que son corrientes en torbellino que se
originan en el interior del metal al atravesarlo un flujo magnético variable y son las
causantes de pérdidas de energía, que por efecto Joule se transforma en calor. Para
evitarlas el núcleo de hierro en lugar de ser macizo se construye pegando varias láminas
delgadas.
Sin embargo, a veces se les saca partido a estas corrientes, y este es el caso de los hornos
de inducción de alta frecuencia.
Ejemplo:
Alguna vez habrás visto un transformador doméstico. Antiguamente se utilizaban mucho
porque la corriente se suministraba a 125 Voltios, mientras que muchos aparatos
funcionaban a 220 V. Si en el primario, que tiene 500 vueltas, conectamos una corriente
alterna de 125 V y una intensidad máxima de 0,5 A.
a) Cuantas vueltas debe tener el secundario para obtener una tensión de 220 V
b) Que valor tendrá la intensidad máxima de la corriente de salida.
a) Si tenemos en cuanta que el flujo de líneas de campo magnético es prácticamente igual
en el primario y secundario, de acuerdo con la ley de Faraday−Lenz:
V
V
dφ
=− 1 =− 2
dt
N1
N2
⇒
N2 =
V2 N 1 220 ⋅ 500
=
= 880 vueltas
V1
125
b) Teniendo en cuenta, si despreciamos la pérdidas, que la potencia en el primario y
secundario es la misma:
P = I1 V1 = I 2 V2
⇒
I2 =
I1 V1 0,5 ⋅ 125
=
= 0,28Amp
V2
220
Como vemos, al aumentar la tensión de salida, la intensidad se hace más pequeña, lo que
es absolutamente lógico, ya que de otra forma estaríamos creando energía de la nada.
VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA FRENTE A LA CORRIENTE
CONTINUA.
•
•
La CA es muy fácil de generar como hemos visto. (Aunque se podría generar CC
empleando el mismo sistema y solamente una pequeña modificación en las
escobillas del generador.)
La CA es fácil de transportar, porque puede modificarse su tensión utilizando
transformadores, lo que es imposible en el caso de la CC, y por tanto esta cualidad
es la que realmente la hace tan especial y útil.
La mayoría de los aparatos electrónicos funcionan con CC, sin embargo eso no es un
problema porque la CA puede transformarse en CC mediante los diodos.
Los diodos son unos pequeños elementos formados de elementos semiconductores, que
funcionan como si fuesen válvulas, es decir que dejan pasar la corriente solo en un sentido,
por lo que rectifican media onda. Mediante un puente de 4 diodos puede rectificarse la
onda completa y con la ayuda de un condensador suavizar los picos, obteniéndose una
corriente prácticamente continua.