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Universidad Simón Bolı́var
FS2213: Fı́sica V
Mario I. Caicedo1
Departamento de Fı́sica, Universidad Simón Bolı́var
1
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http : //www.f is.usb.ve/ ∼ mcaicedo
Como es usual se espera que el usuario de las notas las refiera adecuadamente.
Índice general
1. ¿Qué es una onda?
5
1.1. Ondas Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2. Ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Ondas en dos y tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1. Ondas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Ondas esféricas y objetos relacionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5. Ondas Longitudinales y Transversales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2. La cuerda vibrante
21
2.1. La cuerda tensa y la ecuación de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Consideraciones Energéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1. Flujo de Energı́a en Forma Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2. Energı́a potencial Elástica de la Cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.3. Flujo de Energı́a en Forma Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4. La Ecuación de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. La cuerda con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
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2
2.3.1. Ondas estacionarias y Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.2. Problemas de contorno: método de separación de variables . . . . . . . . . 35
2.3.3. Cálculo de los coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4. Ecuación de ondas para la membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Ondas Electromagnéticas
45
3.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Las ecuaciones de onda para los campos electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Ondas Armónicas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3. Flujo de Energı́a y Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. Vector de Poynting para ondas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5. Complemento matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Índice de figuras
1.1. Izquierda: dibujo representando una onda transversal que se propaga a lo largo
de una cuerda. experimento real, una onda transversal viajando a lo largo de un
resorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Una onda viajera que se desplaza hacia la derecha (f (x − vt)). . . . . . . . . . . .
8
1.3. Superficies de fase constante para una onda plana armónica monocromática. . . . 15
1.4. Arriba: una onda longitudinal propagándose alo largo de un resorte. Abajo: onda
transversal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5. Arriba: una onda transversal que oscila en el plano vertical. Abajo: una onda
transversal oscilando en el plano horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Superpocición de dos ondas armónicas polarizas linealmente de distinta amplitud
que se propagan a lo largo de la misma dirección, los vectores de polarización de
cada onda son ortogonales entre sı́ y la diferencia de fase entre ambas ondas es
π/2. Resultado: ¡polarización elı́ptica! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Diagrama de cuerpo libre para un elemento diferencial de cuerda. . . . . . . . . . 22
3
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2.2. En una cuerda con extremos fijos solo pueden formarse ondas armónicas con un
número semientero de longitudes de onda entre los extremos, es decir, con 0, 1, 2,
... nodos en la región en que la cuerda está libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Capı́tulo 1
¿Qué es una onda?
El tı́tulo de este capı́tulo coincide con una de las preguntas que queremos responder en este
curso.
En un cierto caso especial puede decirse que:
Una onda es una señal reconocible que puede ser transferida de un lugar a otro
de un medio con una velocidad de propagacin reconocible.
G. B. Whitham1
También podemos decir que una onda es una perturbación que se propaga en el espacio y en
el tiempo manteniendo ciertas caracterı́sticas discernibles. En esta forma decir las cosas hay una
diferencia sustancial con el parrafo anterior: no estamos haciendo referencia a medio alguno, y
esto es vital ya que en el caso de las ondas electromagnticas no hace falta ningún medio para la
propagacin ya que las ondas electromagnticas se propagan en el vacio.
1
G. B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley Interscience, ISBN 0471359424
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Para acercarnos un poco a la intuición2 consideremos un pulso que se propaga en una cuerda
(esta es una onda mecánica que se propaga en un medio). Durante su tránsito, el pulso transmite
movimiento a todos los puntos de la cuerda. Además, si hacemos un experimento con cierto
cuidado podremos constatar tres caracterı́sticas: (i) el pulso se propaga a lo largo de la cuerda
con rapidez constante, (ii) la forma del pulso se mantiene practicamente constante y (iii) el
movimiento de la cuerda es perpendicular a la linea sobre la que se extiende la cuerda. La última
caracterı́stica es algo especial y cuando ocurre hablamos de una onda transversal (vea la sección
1.5). .
Figura 1.1: Izquierda: dibujo representando una onda transversal que se propaga a lo largo de
una cuerda. experimento real, una onda transversal viajando a lo largo de un resorte.
Tratemos de construir un modelo matemático para la propagación de un pulso transversal que
se propaga a lo largo de una cuerda. Para ello coloquemos un eje de coordenadas (que llamaremos
x) a lo largo de la recta que la cuerda ocupa cuando está en reposo, y pensemos en enviar un
pulso de tal suerte que los puntos de la cuerda se mantengan siempre en el mismo plano (que
ciertamente contendrá al eje x). En estas condiciones podemos escoger el eje y para que el plano
2
Por cierto, que una buena manera de mejorar la intuición ondulatoria consiste en hacer experimentos con
ondas jugando con un slinky.
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x − y coincida con el plano del movimiento de los puntos de la cuerda.
Notemos que podemos utilizar la coordenada x para hacer referencia (etiquetar) a los puntos
de la cuerda. En consecuencia la altura de un punto (P ) de la cuerda será una función de xp (la
posición del punto P ) y del tiempo esto es3 yP (t) = u(xP , t).
Consideremos ahora una función real de una variable real (f (s)), cuyo grafo coincida con
una imagen instantánea del pulso (digamos en t = 0), en ese caso, conocimientos elementales de
matemáticas permiten afirmar que si el pulso viaja sin deformación con una rapidez v a lo largo
de la cuerda la función u(x, t) tendrá de la forma4
u(x, t) = f (x ± v t)
(1.1)
donde los signos + y − indican un movimiento del pulso a la izquierda o a la derecha respectivamente.
Un efecto fı́sico notable -que no siempre ocurre- se puede observar con onditas producidas en
la superficie de un charco tranquilo. Bajo ciertas condiciones cuando dos ondas se encuentran
interactúan produciendo una cresta más alta o anulándose por completo, para luego seguir propagándose tranquilamente con la misma forma que tenı́an antes de interactuar. Este fenómeno
que no ocurre con todo tipo de ondas se denomina principio de superposición. En este curso
nos limitaremos a estudiar en detalle las ondas que obedecen el principio de superposición y las
3
una forma de entender esto es através de un proceso de lı́mites, podemos imaginar un sistema de N osciladores
acoplados cuyos movimientos están limitados al plano x − y, a cada oscilador podemos asignarle una etiqueta de
manera que sus alturas en función del tiempo serán y1 (t), y2 (t), . . . , yN −1 (t), y yN (t), si mantenemos la longitud
de la cadena de osciladores finita y hacemos que el número de osciladores tienda a infinito las etiquetas deberán
ser sustituidas por el contı́nuo de manera que la lista yk (t), k = 1, 2, . . . , N se sustituirá naturalmente por u(x, t)
4
a este tipo de ondas se les denomina ondas viajeras
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Figura 1.2: Una onda viajera que se desplaza hacia la derecha (f (x − vt)).
denominaremos ondas lineales para diferenciarlas de otro tipo de ondas (las ondas de choque,
por ejemplo) para las cuales el principio de superposición no se satisface.
Volvamos a poner atención a la onda viajera dada por la fórmula (1.1). Supongamos que la
segunda derivada ordinaria de f (s) es g(s), es decir,
d2 f (s)
ds2
= g(s). En ese caso, las segundas
derivadas parciales de u(x, t) estánsec:trans-lomgitud dadas por
∂ 2 u(x, t)
= g(x ± v t)
∂ x2
∂ 2 u(x, t)
= v 2 g(x ± v t)
2
∂t
(1.2)
(1.3)
de donde sigue que u(x, t) satisface la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de 20
orden5
∂x2 u(x, t) −
1 2
∂ u(x, t) = 0
v2 t
(1.4)
Que denominaremos ecuación de ondas unidimensional sin fuentes, y que será el punto inicial
de la modelación de los fenómenos ondulatorios. En este punto vamos a introducir algo de
5
por simplicidad a veces usaremos la notación ∂x =
∂
∂ x,
etc.
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nomenclatura extra: el parámetro v que aparece en la ecuación de ondas se denomina velocidad
de fase.
Una de las virtudes básicas de la ecuación de ondas es que es lineal, lo que permite asegurar
que las ondas que satisfagan la ecuación (1.4) satisfacen el principio de superposición. En efecto,
supongamos que u1 (x, t) y u2 (x, t) sean soluciones de (1.4), y que α es un número real entonces
1 2
∂ [u1 (x, t) + α u2 (x, t)] =
v2 t 1
1
= ∂x2 u1 (x, t) − 2 ∂t2 u1 (x, t) + α ∂x2 u2 (x, t) − 2 ∂t2 u(x, t) = 0
v
v
∂x2 [u1 (x, t) + α u2 (x, t)] −
(1.5)
en otras palabras, u(x, t) = u1 (x, t) + α u2 (x, t) es una solución de la ecuación de ondas, lo que
corresponde sencillamente a la representación matemática del principio de superposición.
Una de las caracterı́sticas fundamentales de las ondas es que portan energı́a, momentum, y
en algunos casos momentum angular.
1.1.
Ondas Armónicas
Existe una clase de soluciones muy particulares a la ecuación de ondas que se conocen colectivamente como ondas armónicas monocromáticas. Estas son soluciones de la ecuación (1.4) que
pueden expresarse en una de las siguientes formas:
u(x, t) = A cos(k x − ω t + φ)
(1.6)
u(x, t) = A sen(k x − ω t + φ)
(1.7)
u(x, t) = ℜe[A ei(k x−ω t) ]
(1.8)
u(x, t) = Im[A ei(k x−ω t) ]
(1.9)
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donde A, k y ω son constantes reales, y A = A eiφ .
Debido a la ecuación de ondas, las constantes k y ω denominadas número de onda y frecuencia
angular respectivamente no son independientes, sino que están relacionados por la velocidad de
fase a través de la relación de dispersión
k2 =
ω2
v
(1.10)
ó ω = v k. Es facil observar que el número de onda y la frecuencia angular son cantidades
dimensionales cuyas dimensiones son de recı́proco de longitud y tiempo−1 respectivamente. La
amplitud (A) es una cantidad cuya dimensionalidad depende del contexto; en el caso de las ondas
de campo eléctrico [A] =
volt
,
m
mientras que en el caso de las ondas transversales en una cuerda
la amplitud tiene dimensiones de longitud.
El número de onda y la frecuencia angular tienen una interpretación interesante, la cantidad
λ≡
2π
k
(1.11)
representa un perı́odo espacial de las ondas armónicas como puede verse de la cadena de igualdades
cos[k(x + λ) ± ω t + φ] = cos(kx ± ω t + φ + 2π) = cos(kx ± ω t + φ)
(1.12)
es por esto que λ se denomina longitud de onda.
La frecuencia angular define el perı́odo temporal (T ) de una onda armónica según la identidad
T ≡
2π
.
ω
Las ondas armónicas tienen una caracterı́stica que las hace acreedoras a una atención especial, en efecto, de acuerdo al teorema de Fourier, cualquier solución a la ecuación de ondas
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unidimensional se puede expresar como superposición de ondas armónicas de distinta amplitud
relativa. Puesto en forma matemáticamente explı́cita:
Teorema 1 Toda solución de la ecuación de ondas unidimensional puede escribirse como
u(x, t) =
X
ω
A(ω) ei(k(ω)−ω t)
(1.13)
en donde, la suma es en las frecuencias, los números de onda asociados a cada frecuencia están
dados por k(ω) =
ω
v
y la notación A(ω) pretende destacar que las amplitudes de las ondas
armónicas cuya superposición permite sintetizar u(x, t) son diferentes (y dependen de u(x, t)).
1.2.
Ondas estacionarias
Considreremos las superposición de dos ondas armónicas de idénticas amplitudes, frecuencias
y números de onda, una que viaja hacia la izquierda y otra a la derecha. Utilizando la notación
compleja ponemos
h
i
h
u(x, t) = ℜe A ei(kx−ω t) + A ei(kx+ω t) = ℜe A eikx (ei ω t e−i ω t )
h
i
= ℜe A eikx cos(ω t) = A cos(kx + φ)cos(ω t) .
i
(1.14)
Donde, como dijimos en la sección anterior, A = A eiφ . Observando el resultado con algo
de cuidado podemos darnos cuenta de que u(x, t) no es una onda viajera, sus ceros, máximos,
mı́nimos, etc. ocupan siempre los mismos puntos del espacio, a esto se le denomina una onda
estacionaria.
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1.3.
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Ondas en dos y tres dimensiones
Los fenómenos ondulatorios lineales también pueden ocurrir en dos y tres dimensiones espaciales. Como ejemplo bidimensional por excelencia podemos mencionar las ondas que se producen
en la superficie de un pozo, o las vibraciones del cuero de un tambor (ondas en membranas),
mientras que en tres dimensiones podemos mencionar las ondas acústicas (el sonido no es otra
cosa que la propagación de ondas de presión en el aire).
Los modelos matemáticos que describen estos fenómenos están basados en las soluciones de
las ecuaciones de onda en dos y tres dimensiones (ó como decimos los fı́sicos en 2 + 1 y 2 + 1
dimensiones, a saber
∂x2 u(x, y; t) + ∂y2 u(x, y; t) −
1 2
∂ u(x, y; t) = 0
v2 t
(1.15)
para el caso 2 + 1, y
∂x2 u(x, y, z; t) + ∂y2 u(x, y, z; t) + ∂z2 u(x, y, z; t) −
1 2
∂ u(x, y, z; t) = 0
v2 t
(1.16)
para el caso 3 + 1. Definiendo el operador de Laplace
∇2 = ∂x2 + ∂y2 + . . .
(1.17)
es posible resumir las ecuaciones de onda en los casos d + 1 con solo poner
∇2 u(~x; t) −
y especificando d = 1, 2 ó 3.
1
u(~x; t) = 0
v2
(1.18)
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1.3.1.
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Ondas Planas
De particular interés son las soluciones denominadas ondas planas. Estas se construyen como
generalizaciones de las ondas viajeras unidimensionales y requieren de un vector unitario n̂ y de
una función real de variable real (f (s)) con segunda derivada contı́nua. Es facil ver que con estos
elementos, las funciones
u(~x; t) ≡ f (n̂.~x ± v t)
(1.19)
son ondas (es decir soluciones a las ecuaciones de onda en d = 1, 2 o 3) que se propagan paralela
o antiparalelamente al vector n̂ según sea el signo relativo que aparece en el argumento.
Las soluciones se denominan planas porque en el caso tridimensional para cada instante de
tiempo fijo (tomemos t0 como ejemplo), el lugar geométrico de los puntos de fase (i.e. argumento)
constante son los planos
n̂.~x = v t0
(1.20)
Estos planos de fase constante se denominan frentes de onda y evidentemente son ortogonales
a los vectores de propagación n̂. Más aún, es facil convencerse de que los frentes de onda viajan
con velocidad ± vn̂.
Es claro que la noción de ondas planas se puede generalizar a las ondas armónicas monocromáticas. Si tomamos la notación de funciones complejas, podemos poner una onda armónica
plana monocromática como
u(~x, t) = A ei(~k.~x − ω t)
(1.21)
donde (como usted deberá probar en los ejercicios) el vector de onda ~k está relacionado con la
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frecuencia angular por
ω2
|~k|2 = 2
c
1.4.
(1.22)
Ondas esféricas y objetos relacionados
Como usted debe haber aprendido en sus cursos de matemáticas, cuando el operador de
Laplace ó laplaciano ∇2 actúa sobre funciones, su acción tiene la siguiente forma en coordenadas
cilı́ndricas y esféricas
∇2 Ψ(ρ, φ, z) =
1
1
∂ρ (ρ∂ρ Ψ) + 2 ∂φ2 Ψ + ∂z2 Ψ
ρ
ρ
coordenadas cilı́ndricas
(1.23)
y
∇2 Ψ =
1
1
1 2
∂r (rΨ) + 2
∂θ (senθ ∂θ Ψ) + 2
∂2 Ψ
r
r senθ
r sen2 θ φ
coordenadas esféricas.
(1.24)
Evidentemente esto lleva a las formas correspondientes para la ecuación de ondas. Para el nivel
matemático de este curso nos limitaremos al caso esféricamente simétrico, es decir a soluciones
de la ecuación de ondas que solo dependen de la distancia radial (r) y el tiempo. En ese caso, la
ecuación de ondas correspondiente se simplifica de manera notable reduciéndose a
1 2
1
∂r (r u(r, t)) − 2 ∂t2 u(r, t) = 0
r
v
(1.25)
que, como usted demostrará en la sección de problemas, tiene la solución general
u(r, t) =
1
1
f1 (r + vt) + f2 (r − vt)
r
r
(1.26)
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Figura 1.3: Superficies de fase constante para una onda plana armónica monocromática.
15
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donde f1 (s) y f2 (s) son funciones reales de una variable real con segundas derivadas contı́nuas y
que carecen de cualquier otra caracterı́stica especial.
Es claro que en el caso de las ondas esféricas los frentes de onda son esféricas (lo que coincide
con nuestra intuición asociada a la experiencia de ver las ondas que se producen al lanzar una
piedra en un charco).
Una vez más es posible encontrar el caso armónico monocormático, que en notación trigonométrica será
u(r, t) =
1.5.
A
cos(kr − ωt + φ),
r
con k 2 =
ω2
v2
(1.27)
Ondas Longitudinales y Transversales
Existen diversas clasificaciones (todas incompletas) para las ondas. En una de ellas hablamos
de ondas longitudinales y ondas transversales.
En las ondas longitudinales la perturbación es paralela a la direccin de propagacin. Tal es el
caso, por ejemplo, de las ondas de presión en un gas y de las ondas tipo P en un medio elástico.
En las ondas transversales la perturbacin es ortogonal a la dirección de propagación. Las
ondas S en un medio elástico y las ondas electromagnéticas son ejemplos tı́picos.
Con el fin de fijar las ideas consideremos una onda transversal que se propaga a lo largo de
una cuerda. Si utilizamos un sistema de coordenadas en que el eje x corresponda con la dirección
de la cuerda en equilibrio saltan a la vista dos posibilidades para la propagación transversal,
ondas que oscilan en el plano horizontal (x − y) y ondas que oscilan en el plano vertical (x − z)
En el primer caso la onda queda perfectamente representada por el campo vectorial
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Figura 1.4: Arriba: una onda longitudinal propagándose alo largo de un resorte. Abajo: onda
transversal.
~v(x, y, z; t) = u(x, t) ĵ
(1.28)
donde u(x, t) es -por ejemplo- una onda viajera del tipo u(x, t) = f (x − vt). En el segundo caso
la onda se representa (usando la misma notación)
~v (x, y, z; t) = u(x, t) î .
(1.29)
Podemos pensar en una onda que oscila en algún otro plano (fijo) ortogonal al eje x en cuyo
caso podemos poner sencillamente
~v (x, y, z; t) = u(x, t) ûp ,
(1.30)
donde ûp es un vector constante perpendicular al vector coordenado îy que se denomina vector
de polarización.
En el caso en que la propagación sea de este tipo (en un plano fijo) ortogonal a la dirección
de propagación se dice que estamos en presencia de una onda linealmente polarizada. Dicho en
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Figura 1.5: Arriba: una onda transversal que oscila en el plano vertical. Abajo: una onda transversal oscilando en el plano horizontal.
otros términos, una onda transversal polarizada linealmente que se propaga a lo largo del eje x
es un vector de la forma:
~v (x, y, z; t) = [f1 (x + vt) + f2 (x − vt)]

ax


 ay


0






(1.31)
donde ~up = ax ı̂ + ay ĵ, a2x + a2y = 1 es el vector de polarización de la onda.
En el caso de las ondas armónicas monocromáticas se presenta otro tipo de polarización
sumamente interesante, consideremos la onda (ax y ay reales)
~v(x, y, z; t) =

ax







ℜe  i ay 



0
ó
~v(x, y, z; t) =







(1.32)
.
(1.33)
i(kx−ω t) 

e
ax cos(kx − ωt)
ay sen(kx − ωt
0









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y pensemos en un punto particular del eje x, digamos -por sencillez x = 0-. El vector resultante
de llevar adelante la sustitución x = 0 en ~v es
w
~=

ax cos(ωt)





 ay sen(ωt) 




,
(1.34)
0
si observamos con cuidado notaremos que en el caso general, la trayectoria del extremo del vector
es una elipse de semiejes ax y ay en el plano y − z, esto determina la denominada polarización
elı́ptica. Si ax = ay la trayectoria del extremo de w
~ es un c—irculo
´
y hablamos de polarización
circular.
A primera vista el concepto de polarización elı́ptica es algo dificil de asir, sin embargo, un
poquitin de experimentación hace entender la idea muy rápidamente. Tome una cuerda larga y
fije un extremo a una pared (o pida a alguien que la sujete). Tome el otro extremo de la cuerda
con su mana y haga oscilar esta horizontal ó verticalmente y obtenrá ondas transversales con
polarización lineal propagándose a lo largo de la cuerda. Para obtener la polarización elı́ptica
sencillamente trate de imprimir a su mano un movimiento circular y observe el resultado.
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Figura 1.6: Superpocición de dos ondas armónicas polarizas linealmente de distinta amplitud
que se propagan a lo largo de la misma dirección, los vectores de polarización de cada onda son
ortogonales entre sı́ y la diferencia de fase entre ambas ondas es π/2. Resultado: ¡polarización
elı́ptica!
Capı́tulo 2
La cuerda vibrante
2.1.
La cuerda tensa y la ecuación de ondas
En este capı́tulo vamos a deducir que la descripción dinámica de las oscilaciones transversales
de una cuerda está dada efectivamente por la ecuación de ondas unidimensional.
Comencemos por considerar la dinámica de un pequeño trozo de cuerda cuyos extremos están
en los puntos x −
dx
2
y x+
dx
.
2
En ausencia de gravedad y considerando que las oscilaciones son
solo en la dirección y (de manera que la velocidad del trocito de cuerda es simplemente ∂t u(x, t),
podemos escribir la ecuación de movimiento para la cuerda (segunda ley de Newton) como
dx
dx
T~ (x − ) + T~ (x + ) = µ∂t2 u(x, t)
2
2
(2.1)
donde T~ (x − dx
) y T~ (x + dx
) son las fuerzas que actúan en cada extremo de la cuerda. La forma
2
2
escalar de esta ecuación vectorial es el sistema de ecuaciones
Tx (x −
dx
dx
) + Tx (x + ) = 0
2
2
21
(2.2)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
22
ξ
T(x+dx/2)
α
T (x−dx/2)
x
Figura 2.1: Diagrama de cuerpo libre para un elemento diferencial de cuerda.
Ty (x −
dx
dx
) + Ty (x + ) = µ ∂t2 u(x, t)
2
2
(2.3)
donde Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la tensión. Ahora bien, llamemos
α(x) al ángulo que forman la cuerda y el eje x en el punto x, ası́ que Tx (x) = |T~ | cosα(x) and
Ty (x) = |T~ (x)| senα(x) La primera hipótesis que haremos será considerar que la cuerda no ejerce
resistencia a la flexión. Como consecuencia de esta hipótesis, las tensiones son tangentes a la
cuerda en cada punto, de acuerdo a esto tanα(x) = ∂x u(x, t).
La segunda hipótesis consistirá en considerar un régiman de oscilaciones pequeñas (esto es,
que la amplitud de la oscilación en cualquier instante y punto de la cuerda -u(x, t)- satisface
la condición u(x, t) << L donde L es la longitud de la cuerda. De acuerdo a estga segunda
suposición, los ángulos también son chicos, y por lo tanto cos(α(x−dx/2) ≈ cosα(x) ≈ cos(α(x+
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
23
dx/2) ≈ 1, y senα(x ± dx/2) ≈ tanα(x ± dx/2) = ∂x u(x ± dx/2, t). De acá sigue que
Tx (x −
dx
dx
dx
dx
) + Tx (x + ) ≈ |T~ (x + )| − |T~ (x − )| ≈ 0
2
2
2
2
(2.4)
lo que implica (en esta aproximación) que la magnitud de la tensión es constante (|T~ (x)| = T ,
∀x), por otra parte,
"
#
dx
dx
dx
dx
Ty (x − ) + Ty (x + ) = T ∂x u(x + ) − ∂x u(x − ) ,
2
2
2
2
(2.5)
ahora bien,
"
#
dx
dx
dx
∂x u(x + ) − ∂x (x − ) = ∂x u(x, t) + ∂x2 u(x, t) + . . . −
2
2
2
"
#
−dx
− ∂x u(x, t) + ∂x2 u(x, t)
+ ...
2
(2.6)
de donde resulta
#
"
dx
dx
T ∂x u(x + ) − ∂x (x − ) ≈ T ∂x2 u(x, t) dx
2
2
(2.7)
Sustituyendo este resultado en la ecuación para la aceleración vertical del elemento de cuerda
resulta
∂x2 u(x, t) −
µ 2
∂ u(x, t) = 0
T t
que no es otra cosa que la ecuación de ondas unidimensional con velocidad de fase v =
(2.8)
q
T
µ
FS2213: Fı́sica V
2.2.
M. I. Caicedo
24
Consideraciones Energéticas
2.2.1.
Flujo de Energı́a en Forma Diferencial
Consideremos la tasa de cambio en la energı́a cinética de un pequeño trozo de cuerda cuyos
extremos están identificados por las coordenadas x y x + dx
dK
dW
=
,
dt
dt
donde
dW
dt
(2.9)
es la potencia1 que desarrollan las fuerzas que actúan sobre el pequeño trozo de cuerda,
es decir
dW
= (T~ (x + dx) + T~ (x)).~v .
dt
(2.10)
Como ya hemos discutido, la velocidad instantánea (~v ) con que se desplaza el trozo de cuerda
cuando a través de este viaja una onda transversal (cuyo movimiento es solo en la dirección del
vector ŷ = ̂) está dada por ~v = ∂t u(x, t) ĵ. Sustituyendo de vuelta en la igualdad (2.10) queda
dW
= [Ty (x + dx) + Ty (x)] ∂t u(x, t).
dt
(2.11)
Ahora bien, la componente vertical de la tensión no es otra cosa que Ty (x) = T ∂x u(x, t) de
manera que2 ,
dW
= T [∂x u(x + dx) − ∂x u(x, t)]∂t u(x, t) = T ∂x2 u(x, t)∂t u(x, t)dx + O(dx2 ),
dt
1
(2.12)
recuerde que la potencia instantánea desarrollada por una fuerza (F~ ) que actúa sobre una partı́cula que en
un cierto instante t se mueve con velocidad ~v es P (t) = F~ .~v
2
es necesario que insistamos en notar que el producto T ∂xu(x, t) ∂t u(x, t) es la potencia desarrollada por la
tensión que actúa en el punto x
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
25
ası́, que en resumen, y despreciando los infinitésimos de orden superior al primero, la rata de
cambio de la energı́a cinética del pequeño trozo de cuerda se puede poner como
dK
= T ∂x2 u(x, t)∂t u(x, t) dx.
dt
(2.13)
Por otra parte, la expresión ∂x2 u(x, t)∂t u(x, t) que aparece en el miembro derecho de esta
última igualdad puede reescribirse como3
2
∂x2 u(x, t)∂t u(x, t) = ∂x [∂x u(x, t)∂t u(x, t)] − ∂x u(x, t)∂xt
u(x, t),
(2.14)
adicionalmente, es facil darse cuenta de que
1
2
∂x u(x, t)∂xt
u(x, t) = ∂t [ (∂x u(x, t)2 ]
2
(2.15)
1
∂x2 u(x, t)∂t u(x, t) = ∂x [∂x u(x, t)∂t u(x, t)] − ∂t [ (∂x u(x, t)2 ]
2
(2.16)
de manera que
reinsertando este resultado en la identidad (2.12), y utilizando el hecho de que T =constante
obtenemos el siguiente resultado parcial
T
dK
= ∂x [T ∂x u(x, t)∂t u(x, t)] − ∂t [ (∂x u(x, t)2 ] dx.
dt
2
(2.17)
Observando que la energı́a cinética del trozo de cuerda está dada por
K=
µ
(∂t u(x, t))2 dx
2
(2.18)
es posible reescribir la igualdad (2.17) en la forma
∂t
3
µ
T
(∂t u(x, t))2 + (∂x u(x, t)2 dx = ∂x [T ∂x u(x, t)∂t u(x, t)] dx.
2
2
observe que esto no es más que el truco para hacer una integración “por partes”: v du = d(vu) − dv u
(2.19)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
26
es decir:
∂t
2.2.2.
T
µ
(∂t u(x, t))2 + (∂x u(x, t)2 = ∂x [T ∂x u(x, t)∂t u(x, t)] .
2
2
(2.20)
Energı́a potencial Elástica de la Cuerda
En este punto debemos detenernos a pensar en el significado de la cantidad
T
(∂x u(x, t)2
2
que
aparece en el lado izquierdo de la igualdad (2.19). Para ello consideremos la cuerda en reposo,
en cuyo caso la longitud del trozo que estamos considerando es dl = dx. Durante el movimiento
de la cuerda la longitud del mismo trozo de cuerda resulta ser:
′
dl =
pero, el cociente diferencial
dy
dx
′
q
dx2 + dy 2 =
s
1+(
dy 2
) dx
dx
(2.21)
no es otra cosa que ∂x u de manera que
dl =
q
1 + (∂x
u)2
1
dx ≈ 1 + (∂x u)2 dx
2
(2.22)
′
de acuerdo a esto, la longitud del elemento de cuerda cambia en la cantidad ds = dl − dx =
1
(∂ u)2 dx.
2 x
El producto de la tensión T por esta cantidad, no es otra cosa que el trabajo realizado
para cambiar la longitud de la cuerda, es decir, la energı́a potencial elástica.
2.2.3.
Flujo de Energı́a en Forma Integral
Si pensamos ahora en un trozo de cuerda cuyos extremos estén indexados por las coordenadas
x1 y x2 (x1 < x2 ), podemos integrar en dx para obtener
dE(x1 , x2 ; t) Z x2
=
dx ∂x [∂x u ∂t u]
dt
x1
(2.23)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
27
donde hemos definido la tasa de cambio en la energı́a de la cuerda (la potencia) como:
dE(x1 , x2 ; t)
≡
dt
x2
Z
x1
dx ∂t
1
1
µ (∂t u)2 + T (∂x u)2 )
2
2
(2.24)
podemos integrar esta expresión en el tiempo (entre un instante arbitrario y el instante t) para
obtener la energı́a de la cuerda al instante t4
E(x1 , x2 ; t) =
Z
x2
x1
1
1
dx
µ (∂t u)2 + T (∂x u)2 )
2
2
(2.25)
si observamos la dimensionalidad de los objetos que aparecen en esta igualdad resulta evidente
que las cantidades
1
µ (∂t u)2
2
1
T (∂x u)2
≡
2
uc ≡
(2.26)
ue
(2.27)
energia
tienen unidades de energı́a por unidad de longitud ( longitud
) de manera que son densidades de
energı́a. Lo que nos permite reescribir la energı́a en la siguiente forma5
E(x1 , x2 ; t) =
Z
x2
x1
dx (uc + ue )
(2.28)
Acá resulta claro que cada trozo de cuerda “almacena.energı́a en forma de energı́a cinética y
potencial
Volviendo nuestra atención a la expresión (2.24 para la tasa de cambio de la energı́a almacenada en la cuerda, podemos integrar el extremo derecho para obtener
dE(x1 , x2 ; t)
= T ∂x u(x2 , t)∂t u(x2 , t) − T ∂x u(x1 , t)∂t u(x1 , t)
dt
4
(2.29)
acá aparece unaconstante aditiva que no tomamos en cuenta porque corresponde a la escogencia libre de un
valor de base para la energı́a potencial elástica
5
que compararemos más adelante con un resultado análogo para el campo electromagnético
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M. I. Caicedo
28
El significado de esta ecuación deberı́a ser claro:
Teorema 2 La tasa de cambio en la energı́a almacenada en un trozo de cuerda es igual a la
potencia que se entrega en los extremos del trozo de cuerda.
En este punto, y para prepararnos para cuando discutamos la teorı́a electromagnética definamos el vector
~ t) ≡ − T ∂x u(x, t)∂t u(x, t) î
S(x,
(2.30)
y los vectores que definen las normales exteriores a los lı́mites x1 y x2 de la región de interés:
n̂1 = −ı̂ y n̂2 = î. En términos de estos vectores, podemos reexpresar la fórmula (2.29) como
dE(x1 , x2 ; t)
~ 2 , t).n̂2 + S(x
~ 1 , t).nˆ1 )
= −(S(x
dt
(2.31)
Acá bien vale la pena que nos entretengamos en un par de ejemplos explı́cito.
Ejemplo 1 Consideremos una onda que viaja hacia la derecha u(x, t) = f (x − vt), y calculemos
~ en este caso. Es claro que si f ′′ (x) = g(x)
el vector S
~ t) = vT g(x − vt) g(x − vt)ı̂
S(x,
(2.32)
~ nos indica que S
~ se comporta como una onda
la forma de la dependencia espacio temporal de S,
viajera que se propaga con la velocidad de fase v.
~ Para contestar esta pregunta seamos
Es claro que aún tenemos una pregunta básica, ¿qué es S?.
aún más explı́citos.
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
29
Ejemplo 2 Consideremos una onda armónica monocromática, u(x, t) = A cos(kx − ω t). En
~ está dado por
este caso, el vector S
~ = A2 k(−ω) T cos2 (kx − ω t) (−ı̂) = A2 v T cos2 (kx − ω t)ı̂
S
~ en un perı́odo temporal (calT =
y el promedio de S
~ >=
<S
1
T
Z
t
t+T
2π
ω
(2.33)
completo es
dt A2 v T cos2 (kx − ω t)ı̂ =
vT 2
A î
2
(2.34)
Estos ejemplos nos enseña dos cosas, la onda porta energı́a hacia la derecha, más aún, el vector
~ no es otra cosa que una medida de la potencia instantánea que la onda entrega en cada punto
S
de la cuerda.
En el caso particular del segundo ejemplo, la potencia media que la onda entrega en un
~ t) >) es proporcional al cuadrado de la amplitud, esto
punto arbitrario de la cuerda (< S(x,
es caracterı́stico de las ondas lineales e induce la introducción de una cantidad denominada
intensidad, que en el caso de las ondas que se propagan en el espacio es la potencia instantánea
que la onda deposita en un área unitaria ortogonal al vector que describe la propagación de la
energı́a.
2.2.4.
La Ecuación de Continuidad
Resumiendo haste este acá, hemos aprendido que la ecuación para el flujo de energı́a en un
punto de la cuerda puede ponerse en la forma
∂t ρ(x, t) + ∂x Sx (x, t) = 0
(2.35)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
30
en donde la densidad de energı́a ρ está dada por
ρ(x, t) = uc (x, t) + ue (x, t)
(2.36)
Es importante que en este momento desviemos completamente nuestra atención y pensemos
en otro problema fı́sico. Consideremos un objeto de volumen V que pretendemos cargar eléctricamente con una corriente I, ciertamente, la relación entre la carga del objeto y la corriente
es
dQ
= I,
dt
(2.37)
ahora bien, la carga total del objeto es evidentemente:
Q=
Z
V
dv ρ
(2.38)
donde ρ es la densidad volumétrica con que la carga eléctrica se distribuye en el objeto, mientras
que la corriente que penetra al objeto es I = −
H
S
~ ds donde J~ es el vector de densidad
J.n̂
de corriente eléctrica por unidad de área, y S la superficie cerrada que define al objeto. De
estamanera, la igualdad (2.37) que representa nada más y nada menos que la ley de conservación
de la carga puede reexpresarse en la forma
Z
dv ∂t ρ +
V
I
S
~ ds = 0
J.n̂
(2.39)
usando el teoremade la divergencia, esta igualdad puede escribirse como
Z
V
~ J~] = 0
dv [∂t ρ + ∇.
(2.40)
~ J~
que por ser una identidad válida para cualquier volumen implica a su vez que -expresando ∇.
en forma desarrollada
∂t ρ + ∂x Jx + ∂y Jy + ∂z Jz = 0
(2.41)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
31
que es entonces la forma diferencial de la ley de conservación de la carga para una distribución
~
contı́nuade carga eléctrica que es transportada por el vector J.
Las ecuaciones del tipo
~ V
~ =0
∂t φ + ∇.
(2.42)
~ un vector que
en donde φ es la densidad volumétrica asociada a alguna cantidad fı́sica y V
transporta dicha cantidad se conocen como ecuaciones de continuidad y expresan la conservación
de la cantidad fı́sica. Ası́, por ejemplo, un fluido de densidad ρ que es transportado a velocidad
~v tiene un vector de densidad de corriente dado sencillamente por J~ = ρ~v (note que las unidades
de J~ son gr/(cm2 × seg)), de manera que la conservación de la cantidad de fluido se expresa en
forma diferencial como
~ v) = 0
∂t ρ + ∇.(ρ~
(2.43)
Esta disgresión nos muestra claramente, que la igualdad (2.35 con que empezamos esta sección no es otra cosa que la ley de conservación de la energı́a expresada como una ecuación de
~ de transporte de potencia.
continuidad para la densidad de energı́a en la cuerda y el vector S
2.3.
La cuerda con extremos fijos
En esta sección queremos discutir las oscilaciones transversales de una cuerda tensa cuyos
extremos localizados en x = 0 y x = L están fijos, esto es, que los valores de u(x, t) deben
satisfacer las condiciones de frontera
u(0, t) = 0
(2.44)
u(L, t) = 0
(2.45)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
32
Nuestro estudio será llevado a cabo de dos formas distintas, en primer lugar con un enfoque
intiuitivo que nos permitirá entender ciertos aspectos del problema y la forma general de su solución y con un enfoque matemáticamente más riguroso que admite extensiones a otros problemas
más generales.
2.3.1.
Ondas estacionarias y Series de Fourier
Pensemos en la solución genral de la ecuación de o ndas unidimensional en términos de la
superposición de ondas que viajan a la derecha y a la izquierda. Por esta vez utilizaremos la
notación trigonométrica, es decir propongamos que en la cuerda se propaga una onda de la
forma
u(x, t) = A sen(kx − ωt) + B sen(kx + ωt)
(2.46)
al imponer las condiciones de borde en x = 0 y L resulta
−A sen(ωt) + B sen(ωt) = 0
(2.47)
A sen(kL − ωt) + B sen(kL + ωt) = 0
(2.48)
la primera ecuación implica A = B, esto lleva a que la segunda se reexprese en la forma
sen(kL − ωt) + sen(kL + ωt) = 0 ,
(2.49)
ó, utilizando identidades trigonométricas elementales,
2 sen(kL) cos(ωt) = 0 .
(2.50)
Esta última fórmula implica que la superposición de ondas viajeras a la izquierda y la derecha
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
33
Figura 2.2: En una cuerda con extremos fijos solo pueden formarse ondas armónicas con un
número semientero de longitudes de onda entre los extremos, es decir, con 0, 1, 2, ... nodos en la
región en que la cuerda está libre.
a lo largo de una cuerda con bordes fijos solo es posible si
kL = n π
n = 1, 2, . . . ,
(2.51)
esto es, cuando en un intervalo de longitud L caben un número entero de semilongitudes de onda
de las ondas que se superponen, es decir, cuando
L=n
λ
2
n = 1, 2, . . . ,
(2.52)
Volviendo sobre la solución debemos recordar que el número de onda y la frecuencia están
relacionados por la relación de dispersión k = ω/v, en virtud de esta identidad, y de las longitudes
de onda posibles para la existencia de superposición de ondas armónicas viajeras en la cuerda
resulta que esta solo puede vibrar con un conjuto discreto de freecuencias dadas por
ωn = n ωo ,
(2.53)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
34
donde ω0 , denominada frecuencia fundamental está dada por
ω0 =
πv
,
L
(2.54)
claramente las ondas que hemos obtenido tienen que ser ondas estacionarias lo que se demuestra
en forma explı́cita al reescribir las soluciones obtenidas en la forma
u(x, t) = 2 A sen(kn x) cos(ωn t) ,
(2.55)
u(x, t) = A cos(kx − ωt) + B cos(kx + ωt)
(2.56)
si se comienza con
se obtienen soluciones de la forma
u(x, t) = 2 A sen(kn x) cos(ωn t)
(2.57)
con las mismas condiciones para kn y ωn .
En vista del principio de superposición, la solución más general de la ecuación de ondas
para una cuerda vibrante con los extremos fijos es una suma sobre todas las ondas estacionarias
posibles (modos) esto es:
u(x, t) =
∞
X
[an sen(n ω0 t) + bn cos(n ω0 t)]sen(
n=1
ω0 =
nπx
).
L
πv
L
(2.58)
(2.59)
A esta solución se le denomina serie de Fourier doble. En la siguiente sección la construiremos
de otra forma y estudiaremos la técnica que nos permitirá calcular los coeficientes an y bn
FS2213: Fı́sica V
2.3.2.
M. I. Caicedo
35
Problemas de contorno: método de separación de variables
Vamos a estudiar el mismo problema que acabamos de resolver: el problema de la cuerda vibrante con extremos fijos, esta vez vamosa atacar el problema utilizando una técnica matemática
muy potente y general denominada separación de variables, que consiste en proponer el siguiente
anzats6 para resolver la ecuación de ondas unidimensional.
u(x, t) = X(x)T (t),
(2.60)
al sustituir esta función en la ecuación de ondas se obtiene
X ′′ T −
1
X T̈ = 0
v2
donde ahora las derivadas no son parciales sino ordinarias (′ =
(2.61)
d
,
dx
˙=
d
),
dx
la ecuación (2.61) se
puede reescribir en la forma
X ′′ T =
1
X T̈
v2
(2.62)
y acá es que podemos hacer la observación que sustenta el método: ‘!cada uno de los lados de esta
ecuación tiene que ser constante!, en consecuencia, el anzats de separación de variables convierte
el problema de resolución de la ecuación de ondas unidimensional en el de resolver dos ecuaciones
ordinarias dependientes de un parámetro real denominado constante de separación como sigue:
X ′′
= κ2
X
1 T̈
= κ2
v2 T
Para el caso que nos ocupa hay tres posibilidades: κ2 = 0, κ2 > 0 y κ2 < 0
6
una solución de este tipo es denominada solución en variables separadas
(2.63)
(2.64)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
36
En el primer caso κ = 0 la ecuación para X es la siguiente
X ′′ = 0,
(2.65)
con solución X(x) = Ax + B, al evaluar las condiciones de borde obtenemos
X(0) = A0 + B = 0,
y
(2.66)
X(L) = AL + B = 0
(2.67)
que es un sistema lineal que solo posee la solución trivial (A = 0, B = 0).
El segundo caso: κ2 > 0 también lleva (ejercicio) a X(x) = 0
Finalmente, el caso κ2 < 0 lleva a un análisis más interesante, que comienza por observar la
ecuación diferencial para X
X ′′ = −κ2 X = 0
(2.68)
X(x) = Asen(κx) + Bcos(κx)
(2.69)
cuya solución general es bien conocida
Al evaluar las condiciones de frontera obtenemos de nuevo un sistema lineal para los coeficientes,
en este caso:
0

1

sen(κL) cos(κL)
que en notación compacta reescribimos como:


A
B


0
=  ,
0
 
(2.70)
MA = 0
(2.71)
donde

M=
0
1
sen(κL) cos(κL)



yA=
A
B


(2.72)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
37
La existencia de soluciones no triviales para el sistema (2.71) está definida por la no inversibilidad de la matriz M, que a su vez está dada por la nulidad de su determinante, al estudiar
esta condición obtenemos
det(M) = 0 ⇐⇒ sen(κL) = 0
(2.73)
esta condición implica las siguientes condiciones para el valor de κ (existencia de un número
infinito de autovalores)
κ × L = nπ,
n = 1, 2, . . .
(2.74)
o equivalentemente
κ=
nπ
,
L
n = 1, 2, . . . ,
(2.75)
¡esta es nuestra vieja condición 2.52 para las longitudes de onda de las ondas estacionarias!, al
reinsertarla en el problema lineal queda


0
1
0 cos(nπ)


A
B


0
= 
0
 
(2.76)
que implica: B = 0 y A arbitrario. De manera que las soluciones espaciales (autofunciones)
compatibles con las condiciones de frontera tienen la forma
Xn (x) = Asen(
nπx
)
L
(2.77)
Para construir la parte temporal (T (t)) asociada a cada solución espacial factible, debemos
recordar que T obedece la ecuación general:
1 T̈
v2 T
= −κ2 , de manera que para cada autofunción
espacial, la función temporal correspondiente estará dada por la solución general de
1 T̈
n2 π 2
=
−
v2 T
L2
(2.78)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
38
donde debemos destacar la dependencia en los autovalores nπ/L, al reescribir esta ecuación en
la forma
T̈ =
n2 π 2 v 2
T
L2
(2.79)
reconocemos de inmediato la frecuencia fundamental ω0 = π v/L y podemos poner
T̈ = −n2 ω02T
(2.80)
de donde sigue que
Tn (t) = an sen(ωn t) + bn cos(ωn t)
ωn = nω0
(2.81)
de esta manera, al multiplicar por la solución espacial correspondiente obtenemos
un (x, t) = [asen(ωn t) + bcos(ωn t)]sen(
nπx
)
L
(2.82)
Ahora bien, debemos notar que para cada n un (x, t) es una solución de la ecuación de ondas
que sartisface las condiciones de frontera, sin embargo, como la ecuación es lineal, la superposición de soluciones también es solución, de manera que -por ejemplo-, la función: u(x, t) =
un1 (x, t) + un2 (x, t) es solución de la ecuación de ondas.
Este razonamiento puede extenderse a la superposición de un número arbitrario de soluciones
de manera que, la solución más general de la ecuación de ondas compatible con las condiciones
de frontera que hemos dado estará dada por la fórmula 2.58 que habı́amos encontrado en la
subsección anterior:
u(x, t) =
∞
X
[an sen(ωn t) + bn cos(ωn t)]
(2.83)
n=1
Donde evidentemente, aún tenemos un número infinito de constantes arbitrarias que se determinan a partir de las condiciones iniciales: u(x, 0) = φ(x) y ∂t u(x, 0) = ψ(x).
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M. I. Caicedo
39
Antes de abocarnos al cálculo de las constantes es importante que destaquemos que inicialmente buscábamos una solución en variables separadas y que hemos encontrado una solución
general que obviamente no posee esta estructura pero (y esto es notable) que está expresada
como superposición de soluciones separadas. Más aun, es posible demostrar que (bajo ciertas
condiciones), la serie as es convergente y que cualquier solución de la ecuación de ondas puede
ser aproximada por una serie del tipo (2.58) tanto como se quiera.
2.3.3.
Cálculo de los coeficientes
En la sección anterior habı́amos encontrado una expresión para la solución general del problema que describe las oscilaciones transversales de una cuerda con sus extremos fijos en x = 0
y x = L, a saber:
u(x, t) =
∞
X
[an sen(ωn t) + bn cos(ωn t)] sen(
n=1
nπx
)
L
(2.84)
y habı́amos comentado acerca de la necesidad de utilizar las condiciones iniciales para evaluar los
coeficientes, labor a que nos vamos as dedicar a continuación. Al evaluar las condiciones iniciales:
u(x, 0) = φ(x) y ∂t u(x, 0) = ψ(x) se obtiene:
∞
X
nπx
) = u(x)
L
n=1
∞
X
nπx
[an ωn cos(ωn 0) − bn ωn sen(ωn 0)] sen(
∂t u(x, o) =
) = v(x)
L
n=1
u(x, o) =
esto es:
[an sen(ωn 0) + bn cos(ωn 0)] sen(
(2.85)
(2.86)
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∞
X
nπx
)
L
n=1
∞
X
nπx
an ωn sen(
ψ(x) =
)
L
n=1
φ(x) =
bn sen(
40
(2.87)
(2.88)
Dicho en pocas palabras: los coeficientes an y ωn bn son los coeficientes de los desarrollos en
serie de Fourier unidimensional de las funciones φ(x) y ψ(x). Ahora bién, cabe preguntarse ¿cómo
se calculan los oeficientes?.
Para contestar esta pregunta concentrémonos en calcular los coeficientes de la primera de estas
) luego
series (2.87). para ello comencemos por multiplicar ambos lados de la igualdad por sen( pπx
L
de lo cual vamos a integrar entre 0 y L para obtener:
Z
0
L
Z L
∞
X
pπx
nπx
pπx
bn
sen(
) φ(x)dx =
)sen(
)dx
sen(
L
L
L
0
n=1
(2.89)
donde “abusivamnete”hemos invertido el orden de la suma y la integración.
Ahora bien, el siguiente resultado (ejercicio)
Z
0
Que puede reescribirse como
L
L
 2 si n = p
nπx
pπx
)sen(
)dx =
sen(

L
L
0 si n 6= p

Z
0
L
sen(
pπx
nπx
L
)sen(
)dx = δnp
L
L
2
(2.90)
(2.91)
donde
δnp =
permite demostrar sin ningún problema que
2
bp =
L
Z
0

1

si n = p
(2.92)
0 si n 6= p
L
sen(
pπx
)u(x)dx
L
(2.93)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
41
análogamente:
ap =
2
ωp L
Z
L
0
sen(
pπx
)u(x)dx
L
(2.94)
De esta manera, hemos calculado los coeficientes de la representación en serie de la solución
al problema que nos interesaba.
Probablemente, uno de los comentarios más importante que podemos hacer en este momento
sea el siguiente:
Los coeficientes de una serie de Fourier son únicos.
Esto significa que si de alguna manera -diferente a calcular- somos capaces de encontrar los
coeficientes, ya no hará falta nada más por hacer. A este respecto vale la pena comentar un
ejemplo sencillo.
Supongamos que las condiciones iniciales para un problema son
2π x
1
sen(
)
2
L
3π x
v
sen(
)
ψ(x) =
3
L
φ(x) =
(2.95)
(2.96)
Para encontrar los coeficientes de las series que nos interesan nos basta con leer para obtener
que los únicos coeficientes no nulos son a2 y b3 , lo que implica que el movimiento de la cuerda
en este caso esta dado por
u(x, t) =
L
3π v t
3π x
1
2π v t
2π x
sen(
) sen(
) + cos(
) sen(
)
9π
L
L
2
L
L
(2.97)
Un último ejercicion interesante es el siguiente: utilice algún programa de manipulación matemática (por ejemplo: matlab, maple, mathematica, o scilab -que es un softwre de distribución
gratuita-) para hacer una animación de lo que acabamos de obtener.
FS2213: Fı́sica V
2.4.
M. I. Caicedo
42
Ecuación de ondas para la membrana
Para concluir el capı́tulo estudiemos la construcción de la ecuación que describe el movimiento
de una membrana tensa. El análisis es similar al que se llevó a cabo en el estudio de la cuerda
en la sección (2.1). La diferencia está en que por ser un problema bidimensional, la membrana
posee tensión superficial.
Consideremos un pequeñop trozo rectangular de membrana cuyo punto medio esta localizado
en las coordenadas (x, y) y cuyas esquinas están localizadas en los cuatro puntos (x ± dx
, y ± dy
.
2
2
Queremos estudiar las oscilaciones transversales de la cuerda, es decir, los cambios en la altura
z del punto localizado en la posición (x, y) en función del tiempo (z(t) = u(x, y; t).
Para comenzar debemos notar que la diferencia entre la tensión superficial y la tensión en
una cuerda consiste en que las fuerzas en un pequeño trozo de cuerda están aplicadas en los
extremos del trocito, mientras que en el caso dela membrana las fuerzas están distribuidas a lo
largo de los lados del pequeño rectángulo. Ası́, por ejemplo, la fuerza neta que actúa en el lado
localizado entre los puntos (x −
dx
,y
2
±
dy
)
2
está dada por:
dx
F~ = T~ (x − , y) dy
2
donde T es la tensión superfiucial (cuyas unidades son
f uerza
longitud
(2.98)
en consecuencia, la fuerza neta
que actúa sobre el rectángulo es
dx
dy
dy
dx
F~total = T~ (x + , y) dy + T~ (x − , y) dy + T~ (x, y + ) dx + T~ (x, y − ) dx.
2
2
2
2
(2.99)
Como estamos considerando solamente las oscilaciones transversales pequeñas de la membrana (i.e. en la dirección z), podemos seguir muy de cerca el argumento de la sección anterior
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
43
para mostrar que |T~ | es aproximadamente constante. Usando esta conclusión parcial y utilizando
argumentos geométricos muy parecidos a los que utilizamos en el caso de la cuerda, es muy facil
ver7 que la ley de fuerzas para la pequeña pieza rectangular de la membrana es
h
i
T ∂x2 u(x, y; t) + ∂y u(x, y; t) dx dy = σ ∂t2 u(x, y; t) dx dy
(2.100)
donde σ es la densidad superficial de masa. Definiendo el operador de Laplace bidimensional
∇2 = ∂x2 + ∂y2
(2.101)
podemos reescribir la ecuación (2.100) en la forma
∇2 u(x, y; t) −
σ 2
∂ u(x, y; t) = 0
T t
(2.102)
que es la ecuación de ondas bidimensional (ó ecuación de ondas en 2 + 1 dimensiones)
2.5.
Ejercicios
1. Considere de nuevo la ecuación de ondas en el dominio x ∈ [0, L], pero esta vez piense en
el siguiente conjunto de condiciones iniciales.
∂x u(0, t) = 0
(2.103)
∂x u(0, L) = 0
(2.104)
a) Utilice la técnica de separación de variables para obtener los auto-va-lo-res adecuados
para el problema espacial.
7
solo siga el argumento de la cuerda paso a paso
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
44
b) Encuentre la solución general de la ecuación y de una interpretación fı́sica al modo
cero
2. En coordenadas polares la Ecuación de Ondas en el plano tiene la forma:
1 ∂
∂u
1 ∂2u
1
ρ
+ 2 2 − 2u = 0
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ
v
!
(2.105)
Utilice la técnica de separación de variables para encontrar la forma de la solución general
de esta ecuación destacando sus singularidades (si las tiene).
Capı́tulo 3
Ondas Electromagnéticas
En este capı́tulo vamos a estudiar el comportamiento ondulatorio de los campos electromagnéticos. Nuestro interés en el problema se centrará en mostrar ciertas caracterı́sticas que
están ausentes en el comportamiento de las ondas escalares (ondas transversales en cuerdas y
membranas u ondas longitudinales en un gas), y que se deriva del hecho de que en el campo electromagnético aparecen varias funciones simultáneas (las componentes de los vectores de campo)
a diferencia de lo que ocurre en el caso escalar en que solo hay una función.
3.1.
Ecuaciones de Maxwell
En presencia de un medio contı́nuo (un dieléctrico, o un conductor ohmico) un sistema electromagnético se describe a través de un campo escalar, y siete campos vectoriales, a saber:
La densidad volumétrica de carga ρ(~x, t).
45
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M. I. Caicedo
46
~ x, t).
La densidad de corriente eléctrica J(~
~ x, t).
El desplazamiento eléctrico D(~
La polarización P~ (~x, t).
~ x, t).
El campo eléctrico E(~
~ x, t).
El campo magnético H(~
~ x, t) y
La magnetización M(~
~ x, t).
La inducción magnética B(~
La dinámica de este conjunto de campos se describe parcialmente por las ecuaciones de
Maxwell:
~ = ρ
div D
(3.1)
~ = 0
div B
(3.2)
~ = J~ + ∂t D
~
rotH
(3.3)
~ = −∂t B
~
rotE
(3.4)
que deben ser complementadas por las definiciones
~ = ε0 E
~ + P~
D
~ =
H
1 ~
~
B−M
µ0
(3.5)
(3.6)
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M. I. Caicedo
47
y por un conjunto de relaciones empı́ricas que permiten encontrar los valores del desplazamiento
eléctrico y del campo magnético y en términos del campo eléctrico y la inducción magnética
~ = D(
~ E)
~
D
(3.7)
~ = H(
~ B)
~ .
H
(3.8)
Estas relaciones son denominadas relaciones constitutivas y desde el punto de vista matemático
son absolutamente necesarias para asegurar que las ecuaciones de Maxwell puedan ser resueltas
para una distribución de cargas y corrientes en un material dado.
La descripción completa de un sistema electromagnético requiere de la especificación de la
interacción entre los campos y las cargas y corrientes eléctricas que está dada por la fuerza de
Lorentz
~ + ~v × B)
F = q(E
3.2.
(3.9)
Las ecuaciones de onda para los campos electromagnéticos
~ = ε0 E,
~
En esta sección vamos a demostrar que las ecuaciones de Maxwell en el vacio (D
~ =
H
1
µ0
~ en ausencia de cargas y corrientes implican la existencia de ondas electromagnéticas,
B)y
para ello comenzaremos por escribir las ecuaciones de Maxwell incorporando estas hipótesis:
~ E
~ = 0
∇.
(3.10)
~ B
~ = 0
∇.
(3.11)
~ ×B
~ = µ0 ε0 ∂t E
~
∇
(3.12)
FS2213: Fı́sica V
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~ ×E
~ = −∂t B
~
∇
48
(3.13)
Si tomamos el rot de la ecuación (3.13) resulta y usamos1 la ecuación (3.12) se obtiene
~ E))
~ − ∇2 E
~ = −µ0 ε0 ∂ 2 E
~
∇(∇.(
t
(3.14)
~ × (∇
~ × F~ ) = ∇(∇.
~ F~ ) − ∇2 F~ . Tomando en cuenta la ley de
donde hemos usado la identidad ∇
Gauss y el hecho de que no hay cargas, el primer término del lado izquierdo de la ecuación (3.14)
se anula y obtenemos finalmente:
~ − µ0 ε0 ∂t2 E
~ =0
∇2 E
(3.15)
Realizando operaciones análogas en la ecuación (3.12) se obtiene similarmente
~ =0
~ − µ0 ε0 ∂ 2 B
∇2 B
t
(3.16)
~ = 0).
donde se ha utilizado que el campo magnético es solenoidal (div(B)
Ciertamente las ecuaciones (3.15) y (3.16) son ecuaciones de onda para los campos electrico
y magnético. La velocidad de fase de estas ondas es claramente:
c= √
3.2.1.
1
ε0 µ0
(3.17)
Ondas Armónicas Planas
Es interesante observar lo que ocurre al tratar de resolver directamente (esto es sin recurrir
a las ecuaciones de onda) las ecuaciones de Maxwell sin fuentes para el vacio. La linealidad de
1
~ ~
~ B)
~
= ∂t (∇
estamos utilizando hipótesis de diferenciabilidad que nos permiten asegurar que ∇(∂t B
FS2213: Fı́sica V
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49
las ecuaciones sugiere la posibilidad de proponer soluciones de la forma
E~ = E~0 eiφ1
(3.18)
B~ = B~0 eiφ2
(3.19)
con:
φi = ~ki~x − ωi t,
i = 1, 2
(3.20)
en donde E~0 y B~0 son vectores de entradas complejas denominados vectores de polarización
eléctrico y magnético y los vectores de onda ~k1 , ~k2 y las frecuencias angulares son -en principio
diferentes-. Es fácil utilizar las fórmulas (3.66), (3.68) y (3.69) de la sección complementaria (3.5)
para ver que al sustituir este ansatz, las ecuaciones de Maxwell adoptan la forma
~k1 .E~0 = 0
(3.21)
~k2 .B~0 = 0
(3.22)
~k2 × B~0 eiφ2 = −ε0 µ0 ω1 E~0 eiφ1
(3.23)
~k1 × E~0 eiφ1 = ω2 B~0 eiφ2
(3.24)
de donde se deduce inmediatamente (ejercicio)que ambos campos deben tener la misma dependencia espacio-temporal, es decir
φ1 (~r, t) = φ2 (~r, t)
(3.25)
a su vez. esto implica que las frecuencias y vectores de onda también han de ser iguales, es decir
~k1 = ~k2 = ~k
(3.26)
ω1 = ω2 = ω
(3.27)
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M. I. Caicedo
50
De acuerdo a este resultado parcial las ecuaciones de Maxwell implican las siguientes relaciones
~ 0 ) y el vector de propagación ~k.
entre los vectores de polarización electrico (E~0 ), magnético (B
~k.E~0 = 0
(3.28)
~k.B~0 = 0
(3.29)
~k × B~0 = −ε0 µ0 ω E~0
(3.30)
~k × E~0 = ω B~0
(3.31)
de donde se deduce que en el vacio las polarizaciones (y por lo tanto los campos) son ortogonales
a la dirección de propagación2 , es decir
E~0 ⊥ ~k
B~0 ⊥ ~k
.
(3.32)
Mas aún, la relación (3.31) demuestra que en las condiciones que estamos estudiando, los
campos eléctrico y magnético son ortogonales entre sı́, y de hecho nos da una regla para encontrar
B0 en función del vector de polarización del campo eléctrico, a saber
~k
B~0 = × E~0
ω
.
(3.33)
Aún es necesario encontrar -si es que la hay-, una relación entre el vector de onda y la frecuencia. Para encontrar la relación de dispersión adecuada para los medios que estamos estudiando
multiplicamos vectorialmente la igualdad (3.30) a la izquierda por el vector de propagación, esto
lleva a
~k × (~k × B~0 ) = −ε0 µ0 ~k × E~0
2
como ya hemos aprendido en este curso, técnicamente se dice que la propagación es transversal
(3.34)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
51
resultado que, al utilizar la fórmula general para el triple producto vectorial
~ × (B
~ × C)
~ = (A.
~ C)
~ B
~ − (A.
~ B)
~ C
~
A
(3.35)
conduce a la siguiente igualdad
(~k.B~0 ) ~k − k 2 B~0 = ε0 µ0 ω 2 B~0
,
(3.36)
el primer término del lado izquierdo es nulo debido a la transversalidad ası́, que en definitiva
hemos obtenido
(k 2 −
ω2 ~
)B0 = 0
c2
(3.37)
de donde se deduce automáticamente la relación de dispersión
ω
|~k| =
c
(3.38)
Por cierto que la relación de dispersión nos permite expresar el vector de polarización magnético en términos del eléctrico en la forma alternativa
k̂
B~0 = × E~0
c
,
(3.39)
donde k̂ es el vector unitario paralelo al vector de onda ~k.
En este punto es importante que destaquemos dos cosas, en primer lugar el hecho de que
~ r , t) y B(~
~ r , t) son soluciones de las ecuaciones de Maxwell, estas no son
si bien los campos E(~
soluciones fı́sicas, las soluciones fı́sicas se obtienen tomando la parte real o imaginaria de las
soluciones complejas. Ası́, por ejemplo, en el primer caso, las soluciones fı́sicas están dadas por
n
~ r , t) = ℜe E(~
~ r , t)
E(~
n
o
~ r , t) = ℜe B(~
~ r , t)
B(~
o
(3.40)
,
(3.41)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
52
debemos apuntar sin embargo, que en cualquier operación lineal (suma por ejemplo) entre los
campos, podemos utilizar los campos complejos para luego encontrar el resultado fı́sico tomando
la parte real o imaginaria (según halla sido la escogencia a priori).
En segundo lugar es necesario observar que las ecuaciones de Maxwell no son capaces de
predecir la dirección de propagación (el vector de onda), esta debe ser introducida como una
condición externa al problema.
Es muy interesante destacar el hecho de que -para los campos fı́sicos- toda la información de
polarización (se decir, los vectores de polarización) está codificada en solo tres números uno de
~ Olvidando la fase, es
ellos la fase del campo eléctrico (ya que el mafgnético está en fase con E.
claro que en principio y en vista de que los dos campos de interés son vectoriales deberı́an hacer
falta 2 × 3 = 6 números para especificar las componentes de ambos campos. Sin embargo, la
igualdad (3.33) que permite expresar B0 en función de E0 y de la dirección de propagación (que
suponemos dada a priori) reduce los números independientes a las tres componentes de E0 que
a su vez se reducen a solo dos componentes ya que E0 es perpendicular al vector de propagación.
Ası́ por ejemplo, si consideramos una onda plana monocromática que viaja en la dirección del
eje z y usamos notación matricial podemos escribir
0
~k = ω
c
 
 
 
0
 
 
(3.42)
1
lo que implica que necesariamnete la forma del campo de polarización eléctrico tiene que ser

E0x




 E0y 
~0 = 
E



0

(3.43)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
53
en donde E0x y E0y son constantes arbitrarias en términos de las cuales es posible calcular las
componentes de B0 .
Finalmente, es menester recordar que la linealidad de las ecuaciones permite encontrar las
soluciones generales de las ecuaciones de Maxwell en términos de la suma de modos armónicos,
y es por ello que solo nos hemos preocupado de las ondas planas monocromáticas.
3.3.
Flujo de Energı́a y Vector de Poynting
Con el fin de conectar nuestra discusión con el estudio que hicimos acedrca de la cuerda
vibrante, es conveniente estudiar el problema de flujo de energı́a, para ello consideremos la
potencia que el campo electromagnético entrega a una carga puntual. En términos de la fuerza
de Lorentz, y observando que el campo magnético no hace trabajo, es claro que la potencia que
estamos buscando está dada por
dE
~ v)
= E.(q~
dt
(3.44)
Si hay una distribución de cargas entonces, la potencia se entrega a la densidad de corriente
J~ de manera que
dE
=
dt
Z
V
~ J~
dv E.
(3.45)
Al utilizar las ecuaciones de Maxwell para sustituir a la densidad de corriente por su relación
con los campos eléctrico y nmagnético se obtiene
dE
=
dt
Z
~
dv E.
"
1~
~ − ε0 ∂t E
~
∇×B
µ0
#
.
(3.46)
~ E
~ × B)
~ = B.(
~ ∇
~ × E)
~ − E.(
~ ∇
~ × B)
~
∇.(
(3.47)
V
Ahora bien, es conveniente observar la siguiente identidad:
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
54
que nos permite reescribir (3.46) en la siguiente forma alternativa:
h
i
1 ~ ~
~ = 1 B.(
~ ∇
~ × E)
~ − ∇.(
~ E
~ × B)
~
E.(∇ × B)
µ0
µ0
,
(3.48)
~ ×E
~ = −∂t B
~ de manera que el último resultado puede reescribirse en la forma
por otra parte, ∇
h
i
1 ~ ~
~ = 1 −B.∂
~ tB
~ − ∇.(
~ E
~ × B)
~
E.(∇ × B)
µ0
µ0
(3.49)
en definitiva:
Z
V
~ J~ =
dv E.
Z
V
"
1 ~ ~
~ ~ ~ ~
~
dv − B.∂
t B − ε0 E.∂t E − ∇.(E × B)
µ0
#
(3.50)
igualdad que, introduciendo la densidad de energı́a electromagnética,
u = uE + uB =
1 2 ε0 2
B + E
2µ0
2
(3.51)
y utilizando el teorema de la divergencia podemos expresar en la forma:
Z
V
i
1 Z
~ × B)
~
~
~
ds n̂.(E
dv E.J + ∂t u = −
µ0
h
(3.52)
en ausencia de corrientes esta igualdad corresponde ciertamente a la ecuación de continuidad
~ =0
∂t u + div(S)
(3.53)
donde el vector de Poynting definido como
~≡ 1E
~ ×B
~
S
µ0
(3.54)
representa el transporte instantáneo de potencia por unidad de área, de manera que la potencia
instantánea (P ) que se entrega a una superficie S está dada por:
P =
Z
S
~ ds
S.n̂
(3.55)
FS2213: Fı́sica V
3.4.
M. I. Caicedo
55
Vector de Poynting para ondas armónicas
Es interesante observar la densidad de energı́a y el vector de Poynting para una onda electromagnética monocromática. Como las operaciones involucradas no son lineales, es menester
trabajar con los campos fı́sicos concentrándonos en ondas con polarización uniforme. Usando la
parte real de las soluciones complejas, la onda electromagnética está formada por los campos:
~ r, t) = E
~ 0 cos(~k.~r − ω t + φ)
E(~
~
~ r , t) = k̂ × E0 cos(~k.~r − ω t + φ)
B(~
c
(3.56)
(3.57)
De acuerdo a esto, el vector de Poynting es:
~0
1 ~
k̂ × E
E0 × (
) cos2 (~k.~r − ω t + φ) =
µ0
c
= ǫ0 c E02 cos2 (~k.~r − ω t + φ) k̂
~ =
S
(3.58)
donde hemos utilizado la fórmula que nos permite calcular un producto vectorial triple.
Es interesante calcular la densidad de energı́a asociada al campo electromagnético que estamos
discutiendo, el resultado es (ejercicio)
u = εo E02 cos2 (~k.~r − ω t + φ)
(3.59)
~ = u k̂.
de manera que podemos expresar en la forma S
c
Finalmente, nos interesa estudiar los valores medios de estas cantidades, usando el resultado
estándar que establece que la media del cuadrado de un coseno es 0,5 obtenemos
1
ε0 E02
2
~ > = 1 ǫ0 c E 2 k̂ = I k̂
<S
0
2
<u> =
(3.60)
.
(3.61)
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
56
donde la cantidad I denominada intensidad es la potencia media por unidad de área que transporta la onda electromagnética.
3.5.
Complemento matemático
En esta sección vamos a establecer algunos resultados que están siendo utilizados en el texto
principal del capı́tulo.
En primer lugar recordemos los operadores diferenciales básicos del análisis vectorial (acá φ
~ un campo vectorial):
es un campo escalar, y V
grad(φ) = ∂x φ êx + ∂y φ êy + ∂z φ êz
(3.62)
~ ) = ∇.
~ V
~ = ∂x Vx + ∂y Vy + ∂z Vz
div(V


êx êy êz
~
rotV

~ ×V
~ = det 
= ∇
 ∂x

Vx
∂y
Vy



∂z 
Vz
(3.63)
(3.64)
~
Estamos interesados en el siguiente campo escalar Φ = A ei(k.~r−ω t) , y en sus derivadas parciales:
~
~
∂i Φ = A ∂i ei(k.~r−ω t) = i ki A ei(k.~r−ω t) ,
i = x, y, z
~
∂t Φ = −iω A ei(k.~r−ω t)
(3.65)
(3.66)
Podemos aplicar estos resultados al campo vectorial
~ = [Vx êx + Vy êy + Vz ẑ] ei(~k.~r−ω t)
V
(3.67)
~
~ 0 = Vx êx +Vy êy +Vz ẑ es un vector de entradas complejas, con el fin de calcular nabla×
~,
donde V
V
FS2213: Fı́sica V
M. I. Caicedo
57
~ V
~ . El resultado es
y ∇.
~
= i~k × V
~ ×V
~
∇
y
(3.68)
~
= i~k.V
~ V
~
∇.
(3.69)
Verifiquemos el resultado del rot,



~ =∇
~ ×V
~ = det 
rotV


êx
êy
êz
∂x
∂y
∂z
~
Vy ei(k.~r−ω t)
~
Vz ei(k.~r−ω t)
Vx ei(k.~r−ω t)
~






(3.70)
de manera que
~ ×V
~
∇
= êx [∂y Vz − ∂z Vy ] + . . . =
~
= {êx [i(kz Vy − ky Vz )] + . . .} ei(k.~r−ω t) =
~
~0 × ~k ei(k.~r−ω t) = iV
~ × ~k
= iV
(3.71)