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FS-200
Fı́sica General II
UNAH
Universidad Nacional Autónoma de Honduras
Facultad de Ciencias
Escuela de Fı́sica
Ondas estacionarias en una cuerda tensa
Objetivos
1. Producir los modos normales de vibración de una cuerda fija en los extremos.
2. Calcular la frecuencia de un oscilador mecánico que produce las ondas estacionarias en la
cuerda fija en los extremos.
3. Establecer y demostrar la relación entre la tensión en una cuerda y su longitud, con la
cantidad de nodos y antinodos de una onda estacionaria que se forma en la cuerda
Materiales y equipo
1. Montaje especial con
cuerda (hilo de ‘nylon’),
vibrador, prensas y polea
3. Vaso de plástico
2. Balanza granataria
5. Cinta métrica
6. Soporte de mesa, nuez y
varilla roscada
4. Recipiente con agua
7. Transportadores
Figura 1: Modos diferentes de ondas estacionarias en una cuerda a frecuencia de oscilación constante
y tensión en la cuerda variable.
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Marco teórico
Se llaman ondas estacionarias, por contraposición de ondas viajeras, a aquellas mediante las cuales
no se puede transmitir energı́a. Es sencillo producirlas generando ondas mecánicas en una cuerda
fija en ambos extremos o utilizando ondas sonoras en un tubo cerrado o abierto en un extremo, en
el primer caso las ondas estacionarias son transversales y en el segundo caso son longitudinales.
La manera habitual de crear este tipo de ondas consiste en permitir la interferencia entre ondas
incidentes y reflejadas. Si una onda incidente, inicialmente viajera, es de la forma yinc = Asen(kx−
ωt) y una reflejada necesariamente habrá de representarse como yref = Asen(kx + ωt) de forma
que la onda resultante de la interferencia de estas dos:
1. Tiene dirección opuesta a la incidente, de ahı́ el cambio de signo en el argumento del coseno
2. Debido a que el extremo en donde la onda incidente choca está fijo, la onda reflejada cambia
de fase en π . Entonces, cuando interfiere una incidente con una reflejada la onda resultante
presenta la forma:
y(x, t) = yinc (x, t) + yref (x, t) = 2Asen(kx)cos(ωt)
(1)
De este tipo de onda resultante vale la pena hacer notar las siguientes cosas:
1. Ya no es una onda viajera, pues no tiene el argumento caracterı́stico:kx ± ωt
2. Para un determinado punto de la cuerda en x = x0 , la ecuación para y(x0 , t) representa
la ecuación del movimiento armónico simple de ese elemento del medio en x = x0 , para
cualquier tiempo t. Es decir:
y(x0 , t) = 2Asen(kx)cos(ωt)
Donde la amplitud de oscilación de ese punto es evidentemente
A(x0 ) = 2Asen(kx)
3. Este valor de amplitud muestra que un punto o elemento de la cuerda en x = x0 oscila
con amplitud igual a 2Asen(kx0 ), mientras que hay elementos del medio que oscilan con
amplitud 2A (cuando sen(kx0 ) = 1), en esa posición se dice que se genera un antinodo de
la onda estacionaria, y que hay puntos o elementos del medio que no oscilan nunca o que
tienen amplitud de oscilación igual a cero (cuando sen(kx0 ) = 0), en esa posición se dice que
se genera un nodo de la onda estacionaria.
4. Si tomamos un cierto valor fijo para el tiempo,t = t0 , y(x, t0 ) representa la forma senoidal que
adopta la cuerda en ese momento: y(x, t0 ) = α(t0 )sen(kx), donde ahora α(t0 ) = 2Acos(ωt0 ).
5. En este caso el valor para la amplitud nos permite entender que habrá momentos en que
la cuerda esté completamente horizontal, cuando cos(ωt) = 0, y otros momentos en que la
sinusoide tendrá amplitud máxima, 2A, cuando cos(ωt) = 1.
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Modos normales de vibración en una cuerda tensa
Debido a que la cuerda está inicialmente sujeta fijamente en sus extremos, en ellos no puede haber
oscilación; entonces si llamamos L a la longitud de la cuerda, obligatoriamente ha de cumplirse
que: en el primer extremo en x = 0; y(0, t) = 0 0 y en el segundo extremo en x = L; y(L, t) = 0.
La primera condición impuesta se cumple inmediatamente en la ecuación 1; el imponer la segunda
lleva a que:sen(kL) = 0. De ahı́ que los distintos valores que puede presentar k para que sea posible
la anulación en el extremo x = L nos dan las distintas longitudes de onda que puede presentar
la cuerda de modo que sean acordes con el hecho obligado de no oscilación en los extremos fijos.
Estos valores corresponden a kL = π, 2π, 3π, ..., nπo de forma equivalente:
λn = 2L,
2L
2L 2L
,
, ...,
2 3
n
(2)
Este resultado nos dice que la cuerda fija en esos extremos solo puede vibrar con esas longitudes de
onda, y por lo tanto baj o unas frecuencias igualmente bien definidas. A cada uno de esos modos
de vibración se les denomina MODOS NORMALES DE VIBRACIÓN, o también ARMÓNICOS,
y cada uno de ellos aparece visualmente con la forma caracterı́stica de un cierto número de bucles:
Cada bucle mide una media longitud de onda. Si la cuerda forma un bucle, ello indica que la cuerda
está en el primer armónico; si hay presentes dos bucles, la cuerda vibra en el segundo armónico, y
si hay tres bucles, vibre en el tercer armónico, y ası́ sucesivamente. La relación frecuencia-longitud
de onda-velocidad nos permite decir también:
s
v
n T
v
=
(3)
=n
fn =
λn
2L
2L µ
Donde:
f , frecuencia en Hz; v, velocidad de la onda en m/s; λ, longitud de onda en m; L, longitud de la
cuerda en m
T , tensión a que la cuerda esté sometida en N; µ, densidad lineal de masa de la cuerda en kg/m
n, número natural que indica en qué armónico o modo normal está vibrando la cuerda.
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Montaje experimental para la formación de ondas estacionarias en una
cuerda tensa
Para observar en el laboratorio los antes llamados bucles, la técnica habitual es hacer que uno de
los extremos de la cuerda quede unido a un vibrador de frecuencia constante y que el otro permita
regular la tensión a la que se somete la cuerda.
(a)
(b)
(c)
Figura 2: Fotografı́as del montaje a utilizar en el laboratorio. (a) Vibrador, (b) Polea y soporte,
(c) Vaso con agua para aumentar o reducir la tensión en la cuerda.
Figura 3: Esquema básico del montaje a utilizar en el laboratorio.
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Cuando una onda incidente y otra reflejada con las mismas caracterı́sticas se interfieren en la
cuerda, se forma un patrón de onda estacionaria que se caracteriza por la formación de bucles
vibrantes, la formación de estas ondas estacionarias en la cuerda se da bajo ciertas condiciones
especı́ficas, para nuestro caso en el laboratorio tenemos la facilidad de cambiar:
1. La velocidad de propagación de la onda.
2. La longitud de la cuerda en donde se forman las ondas estacionarias.
Para entender mejor cómo desarrollar esta experiencia, y teniendo en cuenta que T = mg,
reescribimos la ecuación (3) de modo que podamos examinarla desde el punto de vista de nuestro
laboratorio:
4f 2 µ
n2 =
(4)
g m
Donde se ha sustituido la tensión en la cuerda T por mg donde m corresponde a la masa del vaso
con agua, analizando un poco esta ecuación podemos apreciar que al aumentar la masa colgante
aumenta la tensión en la cuerda y esto tiene como resultado una reducción en el valor entero n 2 ,
es decir que se observarán menos bucles de onda estacionaria a medida que la tensión en la cuerda
aumenta, y se observarán mas bucles a medida que la tensión en la cuerda disminuye.
Obs: Note que en esta experiencia el extremo en que está el vibrador no está fijo. Pero ello no
altera esencialmente los resultados ya que solo se toman en cuenta las mediciones desde el primer
nodo.
Procedimiento experimental
1. Antes de conectar el vibrador: Asegúrese de que en el
montaje, la polea y el vibrador está bien firmes sobre la mesa.
2. Proceda a medir la masa (Figura 4), y la longitud de una
sección de cuerda que servirá para determinar la densidad
lineal de masa de la cuerda a utilizar, anote su valor.
µ=
kg/m
(5)
También anote estos valores en el Cuadro 1.
Figura 4: Sección de cuerda en
3. Encienda el vibrador y coloque lentamente cierta cantidad la balanza.
de agua en el vaso hasta que se forme una onda estacionaria.
Tenga muy en cuenta que una onda estacionaria válida será
aquella que no forma un óvalo tridimensional como bucle, sino aquella que forma bucles
“planos”.
4. Una vez que haya obtenido su primera forma de onda estacionaria no coloque más agua en
el vaso y procesa a medir la longitud desde el primer nodo hasta la polea (es decir de nodo
a nodo en los extremos de la onda estacionaria), anote esta cantidad, ası́ como el número de
nodos y antinodos en el Cuadro 1.
5. Obtenido el modo normal, mida las longitudes de cada uno de los bucles, cuente el número
de nodos y el número de antinodos. Del mejor modo que le sea posible, mida también la
distancia nodo-antinodo.
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6. Después de haber obtenido ese armónico, vaya aumentando la tensión en la cuerda colocando
lentamente más agua en el vaso, deténgase hasta observar el siguiente modo de onda
estacionaria. Cada vez que obtenga uno repita el paso anterior.
7. Trate en la medida de lo posible realizar como mı́nimo tres mediciones de la misma cantidad,
esto permitirá obtener un error estadı́stico agregando a los resultados una incertidumbre por
observación, haga una vez todas las mediciones en secuencia y luego vuelva a empezar todas
las mediciones de nuevo.
Registro de datos
1. Registre los datos correspondientes a:
a) Longitud de la parte horizontal de la cuerda en donde se forma una onda estacionaria
completa con nodos en los extremos.
b) Masa y longitud de cuerda usada para obtener la densidad lineal.
2. Registre igualmente los datos obtenidos para cada armónico:
a) Longitud de un bucle formado por cada armónico en la cuerda.
b) Masa colgante (agua mas vaso).
c) Ubique en cada caso la posición de los nodos y de los antinodos (hubo de medir lo mejor
posible la longitud entre un nodo y el antinodo inmediatamente posterior).
Tratamiento de datos experimentales
1. Densidad lineal de masa de la cuerda a utilizar, con su incertidumbre.
2. Tensión de la cuerda en cada armónico con su incertidumbre.
3. Velocidad de la cuerda en cada armónico con su incertidumbre.
4. Valor que se obtiene para la frecuencia en cada armónico con su incertidumbre.
Resultados
1. Tabla completa con la información de cada armónico (Cuadro 1)
2. Gráfica de cuadrado de n(n2 ) vrs. el inverso de masa colgante ( m1 ) (utilice regresión lineal)
3. Frecuencia de vibración del vibrador:
a) Como resultado de la pendiente en la gráfica anterior.
b) Utilizando el promedio de las frecuencias calculadas con la ecuación (3), en la última
fila del Cuadro 1.
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Mediciones para las
Ondas Estacionarias
Formadas en la
Cuerda Tensa
Longitud horizontal
de la cuerda
(de nodo a nodo extremo)
(L ± ∆L)
Cantidad de
bucles observados
Cantidad de
nodos observados
Cantidad de
antinodos observados
Orden del
modo normal
correspondiente
(n)
Longitud de
nodo a antinodo
(medido)
Cuarto de
longitud de onda
(Calculada a
partir de L)
Longitud de
nodo a nodo
(medido)
Media longitud
de onda
(Calculada a
partir de L)
Masa del vaso con agua
(Kg)
Tensión
(N )
Densidad lineal de masa
(kg/m)
Velocidad de propagación
(m/s)
Frecuencia del vibrador
(Hz)
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Columna
Correspondiente
al
armónico
Columna
Correspondiente
al
armónico
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Columna
Correspondiente
al
armónico
Columna
Correspondiente
al
armónico
Cuadro 1: Información sobre las ondas estacionarias formadas en la cuerda tensa
Obs: Utilice las unidades e incertidumbres correspondientes, para el cálculo de la tensión T , la
densidad lineal de masa µ, la velocidad de propagación v, y la frecuencia de oscilación del
vibrador f ; será necesario utilizar la propagación de errores, Vea anexo.
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Cuestionario
1. Explique por qué se dice que las ondas que viajan por esta cuerda son transversales.
2. ¿Por qué los nodos no vibran? Ilustre qué podrı́a hacerse en esta experiencia para mostrar
claramente que efectivamente los nodos no vibran. Explique entonces por qué este tipo de
ondas no permiten transmitir energı́a.
3. Explique por qué el extremo en donde está el vibrador nunca puede llegar a ser ni un nodo
ni un antinodo. ¿Qué representarı́a entonces ese extremo?
4. Actuando con su mano en el extremo vertical de la cuerda, ¿cómo podrı́a cambiar el modo
normal; es decir aumentar o disminuir el número de bucles?
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