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Universidad de Chile
Facultad de Ciencias
Departamento de Fı́sica
Electrodinámica
Tarea No 3
Lunes 15 de Noviembre de 2015
Profesor:
Ayudante:
Alejandro Valdivia
1. Problemas conceptuales:
a) Considere una masa en una dimensión bajo la influencia de la fuerza F = kx−2 et . Escriba el
Lagrangiano y encuentre las ecuaciones de movimiento. Determine el Hamiltoniano y compárelo
con la energı́a total. ¿Qué pasa con la conservación de energı́a?
b) Una masa m se mueve en una dimensión con un Lagrangiano de la forma
L=
m2 4
ẋ + mẋ2 V (x) − V 2 (x) .
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Encuentre la ecuación de movimiento y una constante de movimiento.
c) Partamos con el Lagrangiano (γ > ω)
1
L = m ẋ2 − ω 2 x2 eγt .
2
Encontrar la ecuación de movimiento. Encontrar el momento canónico y H. (c) Es H una constante de movimiento? Se conserva la energı́a? (d) Dado x(0) = 0 y ẋ(0) = Vo , encontrar x(t → ∞)
(ayuda x ∼ eiλt )
2. Supongamos que una partı́cula se mueve en el plano x − y sobre un riel sin fricción que describe la
curva
"
y(x) = h 1 −
x
xo
3 #
Si inicialmente dejamos resbalar la partı́cula del punto mas alto del riel (x = 0), escriba el Lagrangiano
y encuentre las fuerzas de restricción. Encuentre el Hamiltoniano? Se conserva? Es igual a la Energı́a?
Cuando la partı́cula se separarı́a del riel?
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3. Tomemos un número N de péndulos de masa m y largo L que se
mueven en el plano perpendicular a la barra. Estos interactúan
a traves de resortes angulares tal que la fuerza es de la forma
kL(θn+1 −θn ), con θn la desviación angular con respecto a la vertical
del péndulo n.
a) Encuentre el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento para este sistema.
b) Tomemos la distancia entre péndulos como d y tomemos el
lı́mite d → 0, m → 0, k → ∞, con ρ = m/d, η = kdconstante
y encuentre la ecuación de sine-gordon para el ángulo θ(x, t).
4. Un anillo de masa m y radio r rueda sin resbalarse sobre un cilindro anclado en el suelo de radio R como se muestra en la Fig. 2. La
única fuerza externa es la fuerza de gravedad. Si el cilindro empieza
a moverse del reposo desde el punto mas alto sobre el cilindro grande, encuentre las ecuaciones de movimiento usando el método de
multiplicadores de Lagrange. Encuentre las fuerzas de restricción.
Usando estas fuerzas determine cuando el anillo se cae del cilindro.
5. Tomemos un péndulo compuesto de un anillo de masa M y radio
R que tiene un punto fijo que le sirve de eje de rotación. Sobre este
anillo se mueve sin fricción una masa m como se muestra en la Fig.
2
a) Construya el Lagrangiano del sistema
b) Encuentre las ecuaciones de movimiento para las dos masas
en termino de variables angulares
c) Encuentre un estado de equilibrio estable. Demuestre que la
frecuencia de pequeñas oscilaciones es
2
ω±
=
ωo2
r r
m
m
m
1+
±
1+
M
M
M
con ωo2 = g/R. A que corresponden estos modos?
2
6. Tomemos un péndulo de masa m y largo R sobre un carro de masa
M que se puede desplazar en una dimensión sobre la superficie como
muestra la Figura. Encuentre las ecuaciones de movimiento. ¿Qué
constantes de movimiento hay? ¿Son la energı́a y el Hamiltoniano
constantes de movimiento? ¿Es el Hamiltoniano igual a la energı́a?
Describa el movimiento cerca del punto de equilibrio estable. ¿A
qué corresponden los modos? Construya la solución completa cerca
del punto de equilibrio. Vea si su solución tiene sentido en lı́mite
M m.
θ
m
M
7. Un leñador corta un árbol de masa M en su base y este empieza
a caer (asuma que no resbala). Asuma que el árbol tiene momento
de inercia I con respecto al eje de rotación y que su centro de masa
esta a una altura h en el eje del árbol. El árbol parte en su posición
vertical en reposo y cae como se muestra en la Figura
g
a) Primero asumamos que el árbol no se despega del suelo y
escriba el Lagrangiano, el Hamiltoniano y la ecuación de movimiento para el ángulo θ
b) Encuentre las fuerzas de restricción por el método de multiplicadores de Lagrange (ayuda: trabaje en (r, θ))
θ
Árbol sobre el suelo
c) Para que ángulo se empieza a despegar del suelo?
8. Tomemos un potencial
1
mωr2 x2 + y 2 + z 2
2
y un campo magnético B = Bo ẑ. Encuentre el Lagrangiano y las ecuaciones de movimiento. Tomemos ωr = eBo /(mc). Para pequeñas oscilaciones cerca del punto de equilibrio, encuentre los modos
normales de oscilación y describa cada uno de estos modos. Construya la solución completa para las
condiciones iniciales x(0) = x0 (0) = y(0) = y 0 (0) = 0, y z(0) = zo y z 0 (0) = vzo .
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9. Un auto en movimiento sobre un camino horizontal, con una puerta
accidentalmente abierta con un ángulo inicial φ0 (donde φ = 0
indica que la puerta está completamente cerrada. El movimiento
del carro está descrito la función X(t). La puerta tiene masa M , un
ancho W y altura H, con espesor insignificante. La bisagra de la
puerta permite una rotación completa de ésta.
a) Escriba el Lagrangiano de la puerta , considerando que es un
cuerpo rı́gido que rota.
b) Encuentre la ecuación diferencial para el ángulo de la puerta
respecto al auto, en términos de X(t) (que se asume conocida).
c) Describa (sin una solución analı́tica) el movimiento de la puerta cuando el auto se mueve con (a) velocidad uniforme, (b)
aceleración positiva, (c) aceleración negativa.
d ) Bajo qué condiciones la puerta puede tener pequeñas oscilaciones en torno a la posición equilibrio. ¿Cuál será la frecuencia de estas oscilaciones?
e) Encuentre el Hamiltoniano del sistema. ¿Esta conservado?,
¿es igual que la energı́a?, justifique.
10. Considere un sistema formado por un bloque de masa M que esta conectado a un resorte de constante k y largo natural `o = 0 conectado
a una muralla que se mueve con velocidad constante ẋ = vo . Sobre
este bloque rueda sin resbalarse una pelota de radio R y momento
de inercial I como se observa en la figura. Encuentre el Lagrangiano
en variables generalizadas y las ecuaciones de movimiento. Encuentre un equilibrio y calcule las frecuencias de pequeñas oscilaciones y
los modos normales. Grafique a que corresponden estos modos. Calcule el Hamiltoniano, la energı́a, señale si son iguales y cuales son
constantes. Use el método de multiplicadores de Lagrange encuentre las ecuaciones de movimiento y calcule la fuerza de restricción.
Describa cuando la pelota comienza a deslizarse. Hacer el mismo
ejercicio para aceleración constante ẍ = ao .
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k
m
M
Péndulo y dos masas