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SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
RECOPILACIÓN DE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE
OMÑ
TERCER NIVEL
INSTANCIAS:
INTERCOLEGIAL – ZONAL – REGIONAL – PROVINCIAL NACIONAL
ARIADNA ARFINI
OSCAR FABIÁN OVANDO
1
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1. El triángulo CDE y el rectángulo ABCE tienen igual altura.
El Área del polígono ABCDE es 72 cm2.
Si AB=9,6 cm.
¿Cuál es la longitud de la altura del triángulo?
SOLUCIÓN
área (ABCDE) = 72cm2
AB = 96cm = b
DF =?
1
(b . h ) + 2 (b . h ) = 72cm2
3
2
(b . h ) =
3
2
. 9,6cm . h = 72cm2
72
h = 9,6 cm = 5cm
h = DF = 5cm
2. Mariano compra un diario todos los días y una revista deportiva todos los domingos; paga por el
total a fin de mes.
En un mes de 30 días en el que hubo cuatro domingos pagó $71.
El diario cuesta $1,50 de lunes a sábado y $2,50 los domingos.
Sobre el precio de venta, el dueño del quiosco tiene una ganancia del 20% por los diarios y del 30%
por las revistas.
¿Cuánto pagan ese mes con las compras de Mariano?
SOLUCIÓN
Lunes a Sábado −→ 26d x $1,5 = $39
Domingos −→ 4d x $ 2,5 = $10
Pago de diarios−→ $39 + $10 = $49
3
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Pago total - Pago diarios = Pago revistas
Pago total −→ $71
Pago diarios −→ $49
Pago revistas −→ $ 22
1
ganancia por diarios −→ 20% −→ 100. ($49 . 20) = $9,8
1
ganancia por diarios −→ 20% −→ 100. ($22 . 20) = $6,6
ganancia total = ganancia diarios + ganancias revistas = $16,4
3. ¿Cuántos cuadriláteros (polígonos de 4 lados) hay en la figura?
SOLUCIÓN
a −→ (1, 2)
b −→ (4,5)
c −→ (8, 9)
d −→ (11, 12)
(a). (3) , (b) , (6), (7), (c), (10), (d), (a,3,b,6,7,c,10,d) , (a,3,b,6), (7, c, 10, d). (a, 7) , (3, c) , (b, 10) , (6,d),
(a,3,7,c), (b,6,10,d), (a,3), (b, 6), (7,c), (10,d), (1,3), (4,6), (3,5), (7,9), (8, 10), (10, 12), (2,7), (3,8),
(5,10), (6,11), (1,2,3 5), (1,3,5), (1,3,4,5), (1,3,4,5,6), (7,8,9,10), (7,9,8,10,12), (8,9,10), (8,9,10,12),
(8,10,12), (9,8,10,11,12), (8,10,12), (8,10,11,12), (1,3,5,8,10,12), (b,10), (c,3), (a,b,3)
4. Lucía fue a la feria del libro. Pagó $5 de entrada. Compró varios libros y un diccionario. Los libros
costaban $84; al agregar el diccionario, el total superaba los $100. Por compras superiores a $100 se
hace un descuento del 15% y, además, se devuelve el importe de la entrada. Lucía pagó con un
billete de $100 y uno de $20. Le devolvieron $14,50. ¿Cuál era el precio de venta del diccionario?
SOLUCIÓN
entrada −→ $ 5
libros −→ $ 84
libros + diccionario > $100
descuento = 15% + entrada
billetes ($100 + $20) −→ $120
devolvieron −→ $14,50
pagó −→$105,50
4
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
entrada devuelta −→ $5
libros + diccionarios −→ $110,50 (con descuento)
$110,50 > $100 −→ hubo un descuento del 15%, entonces se pagó el 86% del precio real.
85% −→ $ 119,50
100% −→x = $
100 .110,50
=
5
$ 130
libro + diccionario −→ $130
$84 + d = $130 =⇒ d = $130 - $84 =⇒ d = $46
5. Marcela olvidó las cuatro cifras del código de su tarjeta. Recuerda que su código no tiene cifras
repetidas, que las tres primeras cifras están, en algún orden en su número de documento y que la
cuarta cifra no está en su número de documento.
El número de documento de Marcela es 27127887.
¿Cuántos son los posibles números del código de la tarjeta de Marcela?
SOLUCIÓN
DNI = 27127887 −→ 2718
Por casa número posible, la unidad podría ser 0, 3, 4, 5, 6, 9
1278
127𝑎
1270
1273 172𝑎 128𝑎
182𝑎
178𝑎 187𝑎
1274 271𝑎 217𝑎
1275 721𝑎 712𝑎
1276 821𝑎 821𝑎
271𝑎
718𝑎
817𝑎
281𝑎 278𝑎
781𝑎 782𝑎
871𝑎 872𝑎
287𝑎
728𝑎
827𝑎
1279
7. Un fabricante de jabones vende cada paquete a $57,60.
Un paquete contiene una docena de cajas y cada caja contiene 4 jabones. Si un comprador pide más
de 100 paquetes, el fabricante hace un descuento del 5% sobre el total. Ayer recibió un pedido de
6000 jabones.
¿Cuánto deberá pagar el comprador por este pedido?
SOLUCIÓN
1 paq −→ $57,60
1 paq −→ 12 cajas
1 caja −→ 4 jabones
1 paq −→ 12 x 4 jabones = 48 jabones
Si compra 100 paq −→ desc = 5%
5
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
6000 jab = 1500 cajas = 125 paq
Si 1 paq −→ $ 57,60
125 paq −→ $57,60 x 125
125 paq −→ $ 7200
100% −→ $7200
5% −→ $
7200 .5
=
100
$360
Debe pagar $7200 - $360 = $6840
6. El rectángulo ABCD está formado por tres cuadrados de 1m2 de área.
E
es punto medio de BC
F
es punto medio de AD
¿Cuál es el área de la figura rayada?
SOLUCIÓN
BE = EC
AF = FD
área (ABCD) = 3m2
área ((1)+(2)+(3)+(4)) = AD x DC = (AF + FD) x DC = 2AF x DC = 3m2
1
área (ABCD) = 4 . 4 FD x DC
1
2
área (DPC) = 4 . CD x PQ
área ((5)+ (6)) = CD x PQ
Área no rayada = 2FD x DC = DC (FD + PQ) = 1m (1,5m + 0,75m) = 2,25m 2
6
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
área rayada = 3m2 - 2,25m2 = 0,75m2
8. ABCD es un trapecio isósceles.
BCEF es un cuadrado de 36m2 de área.
Si el área del trapecio es el triple del área de BCEF, ¿cuánto mide el segmento AD?
SOLUCIÓN
BC = CE = EF = FB
área (ADCB) = 3 área ( BCEF)
área (ADCB) = 3 . 36cm2 = 108cm2
área (ADCB) = (AD + CB) .
𝐵𝐹
2
= 108cm2
como BF = BC = 6cm
(AD + 6cm) . 6cm = 2. 108cm2 = 216cm2
(AD + 6cm) =
216
6
cm = 36cm
9. El Sr. Pérez compró un departamento por $54.000. Pagó el 40% al contado y el resto en 80 cuotas
iguales. Por la suma financiada se le hizo un recargo del 75%. ¿Cuántas cuotas tenía pagas el Sr. Pérez
el día en que su deuda era de $11.340?
SOLUCIÓN
precio −→ $54000
contado −→ 40%
resto −→ 40% en 80 cuotas
recargo sobre el 60% −→ 75%
¿Cuántas cuotas tenía pagas?
100% −→ $54000
60 % −→ $54000 .
60
100
60% −→ 32400
recarga del 75% sobre $32400
100% −→ $32400
7
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
75 % −→ $32400 .
75
100
75% −→ $24300
debe pagar $32400 + $24300 = $56700
80 cuotas −→ $56700
1 cuota −→ $
56700
80
1 cuota −→ $708,75
deuda = $11340 (es lo que falta pagar) pagado −→ $56700 - $11340 = $45360
$708,75 −→ 1 cuota
45360
$45360 −→ x = 708,75
x = 64
cuotas pagas −→ 64
10. Si se reemplaza cada
se pueden obtener?
por un dígito, ¿cuántos números de siete cifras que sean múltiplos de 9
Explica por qué.
SOLUCIÓN
múltiplos de 9
A + B +C = 8
A + B + C = 17
A + B + C = 26
ABC = 8
008 107 224 341 521
017 116 233 350 530
026 125 242 404 602
035 134 251 413 611
044 143 260 422 620
053 152 305 431 701
062 161 314 440 710
071 206 323 503 800
008 215 332 512
ABC = 17
8
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
089 386 593 746 863 188 458 647 773 890 278 539 674 809 926
098 395 629 755 872 197 467 656 782 908 287 548 683 818 935
178 449 638 764 881 269 476 665 791 917 296 557 692 827 944
359 566 719 836 953
368 575 728 845 962 890 908
377 584 737 854 971
ABC = 26
899 989 998
11. El rectángulo ABCD tiene 128 cm2 de área.
AB = 2 AD
AE = EB
DC = 4 FC
¿Cuál es el área del cuadrilátero AECF?
SOLUCIÓN
área (ABCD) = 128cm2
AB = 2AD
¿área (AECF)?
AE = EB
DC = 4FC
área (ABCD) = AB x AD = 2 AD x AD = 2 (AD)2 = 128cm2
(AD)2 = 64cm2
AD = BC = 8cm
AB = 2AD = 2 8cm
AB = 16cm
1
AE = EB = 2 AB = 8cm
1
2
área(3) = (8cm)2 = 32cm2
DC = 4FC
9
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
DC = DF + FC
DC = AB = 16cm
1
FC = 4 DC =
1
4
.16cm = 4cm
AD = 8cm
DC = DF + FC −→ 16cm = DF + 4cm =⇒ DF = 12cm
1
1
área(1) = 2 (DF x AD) = 2 (12cm x 8cm) = 48cm2
área(1) + área(3) = 48cm2 + 32cm2 = 80cm2
área (AECF) = 128cm2 - 80cm2 = 48cm2
12. El Sr. Pérez compró 4 juguetes: un avión, un bote, un coche y una grúa para regalar a sus tres
nietos: Pedro, Tomás y Martín. Desea repartir los 4 juguetes y no quiere que ningún nieto se quede
sin juguetes.
¿De cuántas maneras distintas puede regalarlos?
SOLUCIÓN
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎𝑣𝑖ó𝑛 𝑃
𝑏𝑜𝑡𝑒 𝑇
𝑐𝑜𝑐ℎ𝑒 𝑀
𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜 𝐺
𝑇𝑜𝑚á𝑠
𝑀𝑎𝑟𝑡í𝑛
𝑔𝑟ú𝑎
Queda así
𝐴𝐵𝐶𝐺
𝐴𝐵𝐶𝐺
𝐴𝐵𝐶𝐺
𝑃𝑃𝑇𝑀
𝑇𝑇𝑀𝑃
𝑀𝑀𝑃𝑇
𝑃𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑇𝑃𝑀 𝑃𝑀𝑇𝑃
𝑇𝑇𝑃𝑀 𝑇𝑀𝑇𝑃 𝑇𝑃𝑇𝑀
𝑀𝑀𝑇𝑃 𝑀𝑃𝑀𝑇 𝑀𝑇𝑀𝑃
𝑃𝑇𝑀𝑃
𝑇𝑀𝑃𝑇
𝑀𝑃𝑇𝑀
𝑃𝑀𝑃𝑇
𝑇𝑃𝑀𝑇
𝑀𝑇𝑃𝑀
13. Don José, el ferretero, por cada 40 tornillos que compra encuentra 4 defectuosos y los devuelve.
Por cada 100 tornillos que vende regala 5.
Si vendió 1200 tornillos y no le quedó ninguno, ¿cuántos tornillos había comprado Don José?
SOLUCIÓN
4 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑜𝑠𝑜𝑠 → 𝑑𝑒𝑣𝑢𝑒𝑙𝑣𝑒
40 tornillos −→ {
36 𝑏𝑢𝑒𝑛𝑜𝑠 → 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎
100t −→ 100%
36t −→ 90%
vende el 90% de lo que compra
100t −→ 5t
36t −→
1200𝑡 .5
=
100
60t
vende + regala = 1200t + 60t = 1260t −→(90% de la compra)
10
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
90% −→ 1260t
100% −→ x =
1200𝑡 .100
90
= 1400t
compró 1400 t.
14. En la figura BC = 2 AB; el ABE es un triángulo isósceles de 72 cm2 de Área y BCDE es un
rectángulo.
Calcula el Área del cuadrilátero ABDE.
SOLUCIÓN
BC = 2AB
área (ABE) = 72cm −→ isósceles
BCDE rectángulo
AB = BE
1
2
1
2
área (triángulo) = (AB x BE) = (AB)2 = 72cm2
(AB)2 = 144cm2 −→ AB = 12cm
BC = 2AB = 2 . 12cm = 24cm
AC = AB + BC = 12cm + 24cm = 36cm
área (ABCDE) = (AC + ED) .
𝐵𝐸
=
2
(36cm + 24cm) .
12
𝑐𝑚
2
= 360 cm2
área (ABCDE) = 360cm2
15. Con los dígitos 0 – 1 – 2 - 8, se arman números de cuatro cifras, repetidas o no, que son divisibles
por 4.
¿Cuántos de estos números se pueden armar?
SOLUCIÓN
11
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
La cantidad total de números es 7 x 4 x 4 x 3 = 336 números distintos.
15. ABCG es un rectángulo de 72 cm de perímetro.
HE es la altura del triángulo DEF.
AB = 3BC , FD = AB y HE = 2BC
¿Cuál es el área de la figura de vértices ABCDEFG?
SOLUCIÓN
per (ABCG) = 72cm
DEF −→ triángulo
HE −→ altura del triángulo DEF
AB = 3BC
FD = AB
HE = 2BC
BC = AG
¿área (ABCDEF)?
AB = 3BC =⇒ per (ABCG) = 2 (BC + 3BC) = 72cm = 2 . 4BC = 8BC
72 cm = 8BC =⇒ BC = 9cm = AG
HE = 2BC = 2 . 9cm = 18cm
12
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
HE = 18cm
FD = AB = 3BC = 3 . 9cm = 27cm =⇒ FD = 27cm
área (rectángulo) = 243cm2
área (triángulo) = AB . BC = 37cm . 9cm = 243cm2
área (figura) = área (triángulo) + área (rectángulo) = 243cm2 + 243cm2 = 486cm2
17. Un local que hace fotocopias cobra, por cada una: $ 0,10 si se piden menos de 100 fotocopias; $
0,07 si se piden entre 100 y 199 fotocopias y $ 0,05 si se piden 200 fotocopias o más.
Esta mañana, entraron 4 clientes que pagaron, en total $ 45.
El primero pidió 65 fotocopias, el segundo pidió el doble que el primero y el tercero pidió el doble
que el segundo.
¿Cuántas fotocopias hizo el cuarto cliente?
SOLUCIÓN
$0,10 si
$0,07 si
$0,07 si
4clientes
$45
A
65
fotocopias
B
2x65
fotocopias −→ 130 fotocopias
C
2.x130 fotocopias −→ 260 fotocopias
D
?
65 fotocopias
fotocopias
65 x $0,10 + 130 x $0,07 + 260 x $0,05 = $6,5 + $9,10 + $13 = $28,60
Total - A - B - C = $45 - $28,60 = $16,40
Si C sacó
260 fotocopias y gastó $13, entonces D debe haber hecho más de 200 fotocopias.
D gastó $16,40
$0,05 −→ 1 fotocopia
16,40
$16,40 −→ x = $ 0,05 = 328 fotocopias
18. En la confitería, los sandwiches cuestan $ 54 el ciento.
Un kilo de bombones más un kilo de masas cuesta como 50 sandwiches.
Un kilo de bombones cuesta como un kilo y cuarto de masas.
Susana fue a la confitería con un número entero de pesos.
Después de comprar 75 sandwiches, lo que le quedó le alcanzaba para comprar 1 kilo de bombones
pero no le alcanzaba para comprar 1 kilo y medio de masas.
13
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿Cuánto dinero llevaba Susana?
Da todas las respuestas posibles.
SOLUCIÓN
100s −→ $54
54
1kgb + 1kgm −→ $ 2 = $27
Susana compró 75 + 1kgb
100s −→ $54
75s −→ x = $
54 .100
75
= $72
5
4
1 kgb = kgm
5
9
1kgm + 4 kgm = 4 kgm −→$27
1kgm −→ $12
3
2
kgm −→ $18
75s−→ $72
75s + 1kgm + 1kgb −→ $99
5
2
75s + kgm + 1kgb −→ $117
19. En el pentágono ABCDE se trazan las diagonales AD y CE que se cortan perpendicularmente en el
punto O, de modo que:
EO = 9 cm
DO = 12 cm
ABCO es un cuadrado y el triángulo CDE tiene 150 cm2de área.
¿Cuál es el Área del pentágono ABCDE?
SOLUCIÓN
¿área (ABCDE) = ?
EO = 9 cm
DO = 12 cm
ABCD cuadrado
14
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
área (CDE) = 150cm2
1
1
área (CDE) = 2 [(EO + OC) . DO] = 2
[(9cm + OC) . 12cm] = 150cm2
300cm2 = 108cm2 + OC . 120cm =⇒ 192cm2 = OC . 12cm =⇒ OC = 16cm
AB = BC = OA = OC
1
2
1
2
área (AOC) = (EO + AO) = (9cm . 16cm) = 72cm2
área (ABCD) = AB . BC = (16cm)2 = 256cm2
área (ABCDE) = 150cm2 + 72cm2 + 256cm2 = 478cm2
20. Pepito tiene 7 alambres de longitud 1cm y 7 alambres de longitud 2cm.
Usando todos o algunos de estos alambres, arma y desarma rectángulos que no son cuadrados.
¿Cuántos rectángulos de distinto tamaño puede armar?
Indica la longitud de sus lados.
SOLUCIÓN
2 (1+2)
2 (3+1)
(8+1)
2 (4+1)
2 (5+1)
2 (6+1)
2 (7+1)
2 (3+2)
2 (4+2)
2 (5+2)
2 (6+2)
2 (7+2)
2 (4+3)
2 (5+3)
2 (6+3)
2 (5+4)
2 (6+4)
2
Se forman 17 casos distintos.
21. La Sra. García guarda las monedas de 25 centavos en un frasco verde y las monedas de 10
centavos en un frasco rojo.
El último día del año, en el frasco verde había $250 y en el frasco rojo $ 40.
Ese día decidió regalarle a Juan 3 de cada 100 monedas de 25 centavos y 5 de cada 100 monedas de
10 centavos.
¿Cuántos pesos le regaló a Juan?
SOLUCIÓN
$0,25 −→ v −→ $ 2,50
$0,10 −→ r −→ $ 40
i) 3 de cada 100 monedas de $0,25
ii) 5 de cada 100 monedas de $0,10
¿Cuánto recibió Juan?
i
$0,25
−→ 1mv
15
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
i
$0,20
−→ x = 1000mv
ii
$0,10
−→ 1mr
ii
$40,00
−→ x = 400mr
i
100mv
−→ 3mv
i
1000mv −→ x = 30mv
ii
100mr
−→ 5mr
ii
400mr
−→ x = 20mr
Juan recibió 30 mr + 20 mr
i
1mv
−→ $0,25
i
30mv −→ x = $0,25 x 30mv = $7,5
ii
1mr
ii
20mr −→ x = $0,10 x 20mr = $2,00
−→ $0,10
30mr + 20mr = $7,50 + $2,00 = $9,50
22. El rectángulo AEFG tiene 180 cm de perímetro.
AB = BC = CD = DE = EF
El área del triángulo BHD es
2
9
del área del triángulo BEF.
Cuál es el Área del triángulo FHG?
SOLUCIÓN
per (AEFG) = 180cm2
AB = CD = BC = DE = EF
2
área(BHD) = 9 área (BEF)
AE = GF = AB + BC + CD + DE = 4AB
AB = EF
per (AEFG) = 2 (4AB + AB) = 2 . 5AB = 10AB
180cm = 10AB =⇒ AB = 18cm
1
área (BHD) = 2 (BD. CH) =
1
.
2
2AB . CH
16
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
área (BHD) = 18cm . CH
1
1
3
área (BEF) = 2 (3AB . EF) = 2 . 3 (AB)2 = 2 . (18cm)2 =
2
2 486
18
= área (BHD) = 18cm . CH = 9 . 486 cm2 ⇒ CH = 9 .
cm = 6cm
EF = AB = CH + HT ⇒ HT = AB - CH
HT = 18cm - 6cm = 12cm
1
1
área (FHG) = 2 (AE . HT) = 2 . 4AB . HT =
área (FHG) = 2AB . HT = 2 . 18cm . 12cm = área (FHG) = 432cm2
23. Juan escribe una lista de todos los números de 3 cifras distintas que puede formar con los dígitos
2 - 3 - 4 - 7.
Pablo escribe una lista de todos los números de 2 cifras distintas que puede formar con los dígitos 2 3 - 4 - 7.
Aldo elige un par de números: uno de la lista de Juan, uno de la lista de Pablo y los suma.
De cuántas maneras puede elegir Aldo el par de números para que la suma sea múltiplo de 5?
SOLUCIÓN
JUAN
234 247 324 472 237 347 372 437
243 274 423 724 273 374 723 734
342 427 432 742 327 473 742 743
PABLO
23 24 27 34
32 42 72 43
37 47
73 74
24. Elimino de la lista los números terminados en 4
Las maneras en que Pablo puede elegir son:
A los números que terminan en 2 o en 7 los puedo combinar con los que terminan en 3.
A los números terminados en 2 no los puedo combinar con los terminados en 7
Si hacemos un esquema de árbol, nos queda:
Entre paréntesis marco la cantidad de número que terminan en esa cifra.
17
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Hay 72 casos posibles de combinar esos números.
2
24. Una hormiguita recorre cada hora una distancia igual a 3 de lo recorrido la hora anterior.
Si en tres horas recorrió 76 cm, ¿cuántos cm recorrió durante la primera hora?
SOLUCIÓN
2
2 2
x + 3 x + 3 . 3 x =76cm
𝑥
9
(9 + 6 + 4) = 76cm ⇒
19𝑥
9
= 76cm ⇒ x =
9 .76
19
= 36cm
25. En la figura: ABCD es un trapecio de base mayor de 12 cm, FBCG es un cuadrado de 25 cm 2 de
área, E es punto medio de AB y 3CD = 2AB.
¿Cuál es el área del cuadrilátero EFGD?
SOLUCIÓN
AB = 12cm
AE = EB = 6cm
AE + EB = AB
área (FBCG) = 25cm2 =⇒ BC = 5cm
FG = FB = BC = CG = 5cm
3CD = 2AB = 2 . 12cm =⇒CD = 8cm
¿área (EFGD)?
1
1
área (triángulo) = 2 AE . FG = 2 . 6cm . 5cm = 15cm2
18
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
área (cuadrado) = 25cm2
1
1
área (trapecio) = 2 (AB + DC ) . BC = 2 .(12cm + 8cm) . 5cm = 50cm2
área (EFGD) = 50cm2 - 15cm2 - 25cm2 = 10cm2
26. En un tablero formado por 2 filas de 3 casillas cada una, Juan quiere colocar 2 fichas cuadradas y
2 fichas circulares, de modo que en cada casilla no haya más de 1 ficha. ¿De cuántas maneras puede
hacerlo?
SOLUCIÓN
1
2
3
4
5
6
2
fichas cuadradas
2
fichas redondas
V −→vacía
C −→circular
R −→redondas
VV CCRR
V RCCV R
V RV CRC
V CRV CR
V CRRV C
V CV CRR
V RCV RC
V CRCV R
V RV RCC
V RCRV C
V CCRV R
V CV RRC
V CCRRV
V RCRV C
V RV CCR
V CRCRV
V CCV RR
V V CRCR
V CRRCV
V RRV CC
V V CRRC
V RCRCV
V CRV RC
V V RCRC
V RCCRV
V RCV CR
V V RCCR
V CRCRV
V CV RCR
V V CRCR
Hasta aquí mantuve una casilla vacía y cambió las otras.
En este caso era la primera. Procediendo de manera semejante con las otras columnas obtengo:
(2º y 3”), (2º y 4º), (2º y 5º), (2º y 6º), (3º y 4º), (3º y 5º), (3º y 6º), (4º y 5º), (4º y 6º) y (5º y 6º)
30. En el club el 40% de los socios son varones.
Entre los varones, el 35% son mayores de 25 años.
Hay 224 socios varones mayores de 25 años.
19
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿Cuántas mujeres son socias del club?
SOLUCIÓN
40% −→ varones club −→ 40%
varones −→ 35% > 25 años
224 varones > 25 años
x mujeres
Para los varones: 100 v −→ 35 mayores x −→ 224 mayores
x=
224 .100
35
v = 640 v
Para el club:
40% −→ 640 socios
100% −→ x =
640 .100
40
s = 1600 socios
1600 socios - 640 varones = 960 mujeres
31. En un rectángulo ABCD se marcaron M punto medio del lado AB y N punto medio del lado BC.
Si MB = 2 BN, el triángulo MBN tiene 36 cm2 de área, cuál es el Área del polígono AMNCD?
SOLUCIÓN
BN = NC
AM = MB = 2BN
área (MBN) = 36cm2
¿área (AMNCD)?
1
2
MB = 2BN =⇒ área (MBN) = MB . BN =
1
2
. MB .
𝑀𝐵
2
1
4
= . (MB)2 = 36cm2
(MB)2 = 4 . 36cm2 = 144 cm2 =⇒ MB = 12cm
MB = AM = 12cm =⇒ AB = CD = 24cm
BN =
𝑀𝐵
2
=
12
2
cm = 6cm =⇒ BC = 12cm
área (ABCD) = BC x AB = 12cm x 24cm = 288cm2
área (AMNCD) = área (ABCD) - área ( MBN) = 288cm2 - 36cm2 = 252cm2
20
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
32. Delfina tiene que elegir sus horarios para las clases de natación. Quiere ir dos veces por semana,
nunca dos días seguidos, un día a la mañana y otro a la tarde, una hora cada vez. Hay clases de
natación de lunes a sábado a las 9, a las 10 y a las 11 y por la tarde, de lunes a viernes, a las 17 y a las
18. ¿De cuántas maneras distintas puede Delfina armar sus horarios de la semana?
SOLUCIÓN
(LU, MI), (LU, JU), (LU, VI), (LU, SA)
(MA, JU), (MA, VI), (MA, SA)
(MI, VI), (MI, SA)
(JU, SA)
Hay 10 maneras diferentes de contar los días. Veamos los horarios:
9
10
11
17
18
17
18
17
18
Son 6 horarios distintos.
Hay 6 x 10 = 60 maneras diferentes de contar los horarios
33. La ciudad Oeste tiene 35 000 habitantes.
De cada 100 habitantes, 24 tienen estudios universitarios completos.
De la población que tiene estudios universitarios completos, las dos quintas partes son mujeres.
¿Cuántas mujeres tienen estudios universitarios completos en ciudad Oeste?
SOLUCIÓN
total −→ 3500 habitantes cada 100 habitantes −→ 24 universitarios
35000 habitantes −→ x universitarios
x=
35000 .24
100
universitarios = 8400 universitarios
2
De los 8400 universitarios −→ 5 mujeres
1 −→ 8400
2
5
2
−→ x = 5 . 8400 = 3400 mujeres universitarias
34. El cuadrado ABCD tiene 96 cm de perímetro.
MB = 2AM
21
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
QA = 3 DQ
N y P son puntos medios de los lados.
¿Cuál es el área de AMNPQ?
SOLUCIÓN
ABCD cuadrado
per (ABCD) = 96cm
AB =
96
4
cm = 24cm
AB = 24cm
AB = BC = CD = DA
MB = 2AM
MB + AM = 2AM + AM = 3AM = 24cm =⇒ AM = 8cm
MB = 2AM = 2 . 8cm = 16cm
QA = 3DQ
QA + DQ = 3DQ + DQ = 4DQ = 24cm =⇒ DQ = 6cm
QA = 3DQ = 3 . 6cm = 18cm
Área (AMNPQ) = área (ABCD) - área (MBN) - área (PCN) - área (MBN)
DP = PC = 24cm
CN = NB = 12cm
1
1
área (MBN) = 2 MB . BN = 2 . 16cm . 12cm = 96cm2
1
1
área (PDQ) = 2 PD . DQ = 2
1
. 24cm . 6cm = 72cm2
1
área (PCN) = 2 PC . CN = 2 . 24cm . 12cm = 144cm2
área (ABCD) = (24cm)2 = 576cm2
área (AMNPQ) = 576cm2 - 72cm2- 144cm2 - 96cm2 = 264cm2
35. En el certamen interescolar hay 3 niveles.
En total participaron 1972 chicos.
22
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Cada escuela envía hasta 5 representantes por nivel.
¿Cuál es el menor número de escuelas que puede haber participado en ese interescolar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
3 niveles
total −→ 1972 chicos
hasta 5 representantes por nivel por escuela
1972 chicos en 3 niveles, queda:
657 657 658
657 = 655 chicos + 2 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
657 = 655 chicos + 2 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
658 = 655 chicos + 3 chicos = 131 escuelas + 1 escuela
El menor número de escuelas que puede haber participado es 132
4
36. Los 7 de los pasajeros de un tren turístico son extranjeros.
Hay 72 pasajeros argentinos.
3
Los extranjeros ocupan las 8 partes de los asientos del tren.
¿Cuántos asientos tiene el tren?
SOLUCIÓN
72 pasajeros argentinos
4
7
de los pasajeros son extranjeros
3
los extranjeros ocupan las 8 partes de los asientos
¿cuántos asientos hay?
7
7
7
7
−→ tren
4
3
- 7 = 7 = 72 pasajeros
7
el tren tiene 3 . 72 pasajeros
El tren tenía 256 asientos
23
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
37. En una pared rectangular de 12 m de ancho se coloca un portón cuadrado, dejando 3 m a la
izquierda y el doble a la derecha. La superficie de pared que queda alrededor del portón es 39 m2.
¿Cuál es la altura de la pared?
SOLUCIÓN
AB = 12m
AM = 3m
NB = 6m
MN = MP = 3m
área ( AMPQNBCD) = 39m2
¿AD =?
área (portón) −→ MN x MP = 9m2
área (pared) −→ 39m2+ 9m2= 48m2
AM + MN + PQ = 3m + 3m + 6m = 12m
área ( ABCD) = AB x BC =⇒ BC =
.𝑎𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷)
𝐴𝐵
48
= 12 m = 4m
BC = 4m
38. En el quiosco venden paquetes de caramelos de distintas clases.
Los de fruta cuestan $2 cada uno, los de chocolate $4 y los de miel $3.
Ana quiere comprar de las tres clases y quiere gastar $ 30.
¿Cuántos paquetes de cada clase puede comprar?
Indica todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
caramelos de fruta −→ $2
caramelos de chocolate −→$4
caramelos de miel −→ $3
Total −→ $30
f 1 1 2 2
c 1 4 2 5
m 8 3 6 4
3 4 4
3 1 4
4 6 2
5
2
4
24
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
39. En la librería, cada cuaderno cuesta $6 y cada lápiz, $ 2.
Por una promoción, descuentan la sexta parte del total del gasto.
Susana compró 2 docenas de lápices y algunos cuadernos y pagó $ 180.
¿Cuántos cuadernos había comprado?
SOLUCIÓN
cuaderno −→ $6
lápiz −→ $2
1
6
Por promoción descuentan del total del grado
Compró 2 docenas de lápices y cuadernos con descuento pagó $180
¿Cuantos cuadernos compró?
1
sin descuento −→ total compra = 6 + total pago
5
6
total compra = $180
6
total compra = 5 . $180 = $216
24 lápices + x cuadernos = $216 24 . $2 + x . $6 = $216
x cuadernos = $216 - $48 = $168
1 cuaderno −→ $6
x cuadernos −→ $168
x=
168
6
cuadernos = 28 cuadernos
40. En el rectángulo ABCD de 80 cm2 de área, se marcan:
E punto medio de CD y F tenía B de modo que AF = 3 FB.
Cuál es el área del triángulo FBE?
SOLUCIÓN
Sea G tal que se forme el cuadrado AGED
Área (ABCD) = 80cm2
DE = EC
AF = 3FB
25
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿área (FBE)?
(AF + FB) . BC = 80cm2
(3FB + FB) . BC = 80cm2
4FB . BC = 80cm2=⇒ FB . BC = 20cm2
GF = FB ∧ GE = BC =⇒ área (FBE)
1
área (ECB) - área (ABCD) - área (EGF) = 2 EG . GF = 10cm2
área (EFB) = 40cm2 - 20cm2 - 10cm2 = 10cm2
41. Vale escribe un número de tres cifras.
Después intercambia la cifra de las centenas con la cifra de las unidades y escribe este nuevo
número.
Si suma los dos números que escribió obtiene un número de tres cifras iguales.
¿Cuál fue el primer número que escribió Vale?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
a + c = 2b
a≤7
a≥1
abc
111
123
135
abc
147
222
234
abc
246
321
333
abc
345
432
444
abc
531
543
642
abc
741
Hay 16 números posibles.
42. En básquet se pueden anotar 3 puntos (triple), 2 puntos (doble) o 1 punto (tiro libre) cada vez
que se encesta en el aro. En un partido, un equipo obtuvo 86 puntos y habían encestado 40 veces. Si
se sabe que obtuvo 12 triples, ¿cuántos dobles y cuántos tiros libres encestaron?
SOLUCIÓN
3, 2, 1 puntos por encestado encestaron
40 veces −→ 86 puntos
12 triples ¿cuántos dobles y triples?
26
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
12 triples −→ 36 puntos
doble + triples −→ (86 - 36) puntos = 50 puntos
encestaron 40 veces
40 tiros - 12 tiros = 28 tiros
s + d = 28
s + 2d = 50
s = 28 - d = 50 - 2d
2d - d = 50 – 28
d = 22 =⇒ s = 6
Hubo 22 dobles y 6 simples
43. El cuadrado ABCD tiene 168 cm de perímetro. En cada vértice se recortó un cuadradito de 7 cm
de lado. ¿Cuál es el Área del rectángulo STPM?
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 168cm
AB = BC = CD = DA = 42cm
TP = BC - BT - PC = 42cm - 7cm - 7cm = 28cm
AB = 42cm
área (SMTP) = AB x TP = 42cm . 28cm = 1176cm2
43. Se quieren distribuir 25 caramelos iguales en tres frascos: uno rojo, uno azul y uno verde, de
modo que el frasco azul tenga por lo menos 2 caramelos más que el rojo y el frasco verde tenga más
del doble de los caramelos que tiene el azul. ¿De cuántas maneras se puede hacer? Indica cuáles son.
SOLUCIÓN
A=R+2
V > 2ª
R + A + V
1 + 3 + 21
2 + 4 + 19
= 25
= 25
= 25
27
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
3 +
4 +
5 + 17 = 25
6 + 15 = 25
45. Tres amigos van a almorzar todos los días al mismo lugar. Eligen siempre el menú A o el B. El
lunes, dos piden el menú A y uno el menú B, gastan $ 111 en total. El martes, uno pide el menú A y
dos piden el menú B, gasta0n en total $3 menos que el lunes. ¿Cuánto cuesta cada menú?
SOLUCIÓN
A + B = $111
A + 2B = $108 −→ A = $108 - 2B
2 ($108 - 2B) + B = $111
$216 - 4B + B = $111
$105 - 3B = 0 =⇒ $105 = 3B =⇒ B = $35
46. Camila mira, todos los días, tres programas de televisión de una hora de duración cada uno.
El programa A se emite a las 18 horas, a las 20 horas y a las 22 horas.
El programa B se emite a las 18 horas, a las 19 horas y a las 22 horas.
El programa C se emite a las 19 horas, a las 21 horas y a las 22 horas.
Cada día quiere ver los tres programas completos.
¿De cuántas maneras distintas puede elegir los horarios en que mira los tres programas cada día?
Indica en qué horario mira cada programa.
SOLUCIÓN
𝐴
18
20
22
𝐴18
𝐴18
𝐴18
𝐵
18
19
22
𝐵19 𝐶21
𝐵19 𝐶22
𝐵22 𝐶19
𝐴20 𝐵18
𝐴20 𝐵18
𝐴20 𝐵18
28
𝐶
𝐶19
𝐶21
𝐶22
𝐴20
𝐴20
𝐴20
𝐵19 𝐶21
𝐵19 𝐶22
𝐵22 𝐶19
𝐴20
𝐵22 𝐶21
𝐴22
𝐴22
𝐴22
𝐵18 𝐶19
𝐵18 𝐶19
𝐵19 𝐶21
19
21
22
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
47. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para gastar durante dos semanas de
vacaciones.
1
1
Aldo gastó 3 la primera semana, 2 la segunda y el resto lo ahorró.
Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Aldo.
Si Bruno ahorró $156. ¿Cuántos pesos gastó Bruno la segunda semana?
SOLUCIÓN
Como Aldo y Bruno tienen inicialmente la misma cantidad de dinero, expresamos:
A=B
1
1
A −→ 3 x + 2 x + RA
1
B −→ 4 x + S + RB
1
156
2
R A = 2 RB = $
𝑥
3
+
1
12
(4x + 6x -3x) = $78 + S =⇒ 7x = ($78 + S) .12
A)
𝑥
2
=$78
𝑥
3
𝑥
4
+ $78 = + S + $156
𝑥
1
5
+ 2 = 6 (2x + 3x) = 6 x −→ ahorró
𝑥
6
= $78 −→ x = $78 . 6 = $468
Reemplazando valores:
B) $468 - $156 −→ gastó $312
1
semana 1 −→ gastó 4 . $468 = $117
semana 2 −→ gastó $312 - $117 = $195
En la semana 2 Bruno gastó $195.
$468 −→ total
195
5
$195 −→ x = 468 total = 12 total
1
Bruno gastó (4 +
5
)
12
1
8
2
total = 12 (3 + 5) total = 12 total = 3 total
48. Con los dígitos 0-1-2-3-4-5-6 y 7 se forman números cuyas cifras suman 9.
¿Cuántos de esos números que sean menores que 5000 y no tengan cifras repetidas se pueden
formar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
9
90
27
207
270
29
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
36
306
360
54
504
540
72
702
720
63
603
630
45
405
450
135
315
531
513
153
351
162
126
261
216
621
612
324
234
243
342
423
432
1026
1052
1206
1260
1350
1305
1530
1503
1620
1602
1035
1053
3501
3510
2043
2034
2160
2106
2340
2304
2430
2403
2610
2601
3042
3024
2061
2016
3150
3105
3015
3051
3240
3204
3420
3402
4032
4023
4230
4203
4320
4302
30
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Casos posibles = 2 + 18 + 34 + 8 = 80
49. El área del triángulo ABF es el 10% del área del trapecio isósceles ADEF.
El rectángulo BCEF tiene 144 cm2 de área y CD = CE.
¿Cuál es la longitud de AD?
SOLUCIÓN
1
10
área (ABF) =
área ( ADEF)
área (BCEF) = 144cm2
CD = CE
¿AD?
1
1
1
1
área (CDE) = 2 CD . CE = 2 CD . CD = 10 . 2 CE (AD +BC)
área ADEF) =
1
2
CE . (AD + FE) =
1
2
CE . (AD + BC)
área (ADEF) = 2 . área (CDE) + área (BCEF) = 2 . CD . CE + 144cm2
2
8
área (ADEF) = 144cm2 + 10 área (ABF) =⇒ 10 área (ADEF) = 144cm2 =⇒ área (ADEF) =
180cm2
1
área (ABF) = 2 (180cm2- 144cm2) = 18cm2
1
2
(AB . BF) = 18cm2 =⇒ AB . BF = 36cm2=⇒ AB = BF = CD = 6cm
BC . BF = 144cm2 =⇒ BC =
144
6
cm = 24cm
AD = AB + BC + CD = 6cm + 24cm + 6cm = 36cm
50. En la escuela hay 360 alumnos.
El 10% de los alumnos usa anteojos.
De los que no usan anteojos, la cuarta parte practica natación.
¿Cuántos alumnos no usan anteojos y no practican natación?
SOLUCIÓN
T = 360 alumnos
10% −→ anteojos
31
1440
cm2 =
8
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Del 90%,
1
−→
4
natación
Si 10% −→ a =⇒ 90% −→ no usa a
100% −→ 360 a
1
90% −→ x = 100 (360a. 90) = 324 a
Ahora bien:
1
3
Si 4 practica natación −→ 4 no hace nada
100% −→ 324 a
3
4
3
4
−→ x - . 324 a = 234 a
51. Con los dígitos 9 - 7 - 6 - 5 y 0, ¿cuántos múltiplos de 5 menores que 10000 se pueden armar?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
5
50
60
65
70
75
90
95
970
975
960
965
950
905
760
750
790
765
795
705
670
650
690
675
695
605
570
560
590
-
6970
6975
6950
6905
6750
6790
6795
6705
7960
7965
7950
7905
7650
7690
7695
7605
9760
9750
9765
9705
9670
9650
9675
9605
6570
-
-
-
-
-
-
-
9570
7560
9560
6590
7590
-
-
-
En total hay 59 maneras.
52. Juan escribe una lista de 5000 dígitos.
El primer tramo de la lista es 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0 y después repite este tramo desde
el principio al fin.
32
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1997?
Cuál es la cifra que ocupa el lugar número 1998?
Explica por qué.
SOLUCIÓN
5000 dígitos
¿cifra del lugar nro. 1997?
¿cifra del lugar nro. 1998?
lista −→ 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 8 9 0
1997
20
= 97 y restan 17
1997 = 99 . 20 + 17
la cifra 17 es 0 −→ 1997
la cifra 18 es 8 −→ 1998
53. Ani y Beti tenían algunos ahorros.
Este mes cada una gastó una parte.
2
Ani gastó 3 de sus ahorros y le quedaron $36.
3
Beti gastó 4 de sus ahorros.
Si el mes pasado tenían entre las dos $280, cuántos pesos le quedaron a Beti?
SOLUCIÓN
3
A - 2 A = $36
3
1
B −→ 4 B −→ quedó 4 B
Si TA + TB = $280
¿B quedó?
A = $36 −→ A = 3 . $36 =⇒ TA = $108
TA + TB = $280 =⇒ TB = $280 - $ 108 = $172
1
Le quedó a B −→ 4 TB =
1
4
. $172 = $43
A Beti le quedaron $43
54. Un rectángulo ABCD tiene 96 cm de per metro y AB = 3 BC.
En cada vértice se recortó, como muestra la figura, un triángulo rectángulo isósceles de 2 cm de
cateto.
¿Cuál es el área de la figura rayada?
33
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 96cm
AB = 3BC
cateto del triángulo = 2cm
¿área figura sombreada?
per (ABCD) = 2 (AB + BC) = 96cm
per (ABCD) = 2 (3BC + BC) = 96cm
per (ABCD) = 2 . 4BC = 96cm =⇒BC =
96
8
cm = 12cm
BC = 12cm
AB = 3BC = 3 . 12cm = 36cm
área (ABCD) = AB . CD = 36cm . 12cm = 432cm2
Si los catetos del triángulo son AF Y AE queda formado el triángulo AFE
área (triángulo) =
1
2
AF . AE =
1
2
. 2cm . 2cm = 2cm2
área (4 triángulos) = 4 . 2cm2 = 8cm2
área sombreada = área (ABCD) - 4 . área (AFE) = 432cm2 - 8cm2 = 424cm2
55. El lunes se vendieron el 30% de los paquetes de galletitas que había en el depósito.
El martes se vendió la cuarta parte de lo que quedaba.
Aún quedan 945 paquetes.
¿Cuántos paquetes había al comienzo?
SOLUCIÓN
Lunes −→ 30% −→ queda 70%
1
Martes −→ 4 . 70% −→ quedan 945 paquetes de galletitas
Total −→ x
3 70
.
4 100
x = 945 paquetes =⇒ x =
945 .100 .4
3 .70
= 1800 paquetes
56. Con los dígitos 1 - 2 - 3 - 4 y 6 , Juan escribe sólo los números de cuatro cifras distintas en los
cuales el número formado por las dos últimas cifras (decenas y unidades) es divisible por el dígito
que ocupa el lugar de las centenas.
34
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿Cuántos números distintos puede escribir Juan?
Ejemplo: Juan escribe 6123 porque 23 es divisible por 1.
Juan no escribe 6423 porque 23 no es divisible por 4.
SOLUCIÓN
Las combinaciones con estos números son:
1234
2134
1246
2164
6123
1236
3124
4123
4126
6124
2136
3126
1243
2143
1264
2146
6132
1263
3142
4132
4162
6142
2163
3162
1324
2314
1426
2416
6231
1326
3214
4312
4612
6214
2316
3216
1342
2341
1462
2461
6213
1362
3241
4321
4621
6241
2361
3261
1423
2413
1624
2614
6312
1632
3412
4213
4216
6412
2613
3612
1432
2431
1642
2641
6321
1623
3421
4231
4261
6421
2631
3621
1346
3146
4136
6413
2346
3246
4623
6432
1364
3164
4163
6431
2364
3264
4632
6423
1463
3461
4316
6134
2436
3426
4236
6324
1436
3416
4361
6143
2464
3462
4263
6342
1634
3614
4631
6314
2643
3624
4326
6234
1643
3641
4613
6341
2634
3642
4362
6243
Ahora bien, las que nos pide el problema son:
1234
2134
1246
2164
6123
1236
3124
4123
4126
6124
2136
3126
1324
2143
1264
2146
6132
-
3142
4132
4162
6142
2163
3162
1342
-
1624
2416
6312
-
3214
4312
4612
6214
-
3216
1432
-
1642
-
6321
-
3412
4321
4216
6412
-
3612
1436
3146
4136
6134
2436
3246
4236
6432
-
3164
4163
6143
-
3264
-
6324
-
3416
-
-
-
3624
-
6342
-
-
-
-
-
3642
-
6234
57. En el cuadrado ABCD, las diagonales AC y BD se cortan en el punto O.
Sobre las prolongaciones de las diagonales se marcan los puntos E, F, G y H de modo que OE = OF =
OG = OH.
3
El área del triángulo BOC es de 72 cm2 y OB = 4 OF.
35
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿Cuál es el área de la figura de vértices AFBGCHDE?
SOLUCIÓN
OE = OF = O = OH
área (BOC) 72cm2
OB =
3
4
OF
OB = OC = OD
1
2
área (BOC) = (BO . OC) = 72cm2
BO . OC = 2 . 72cm2 = 144cm2 √
BO = √144 cm = 12cm
4
4
OB = OF =⇒ OF = 3 OB = 3 . 12cm = 16cm
OG = OF = 16cm
4
4
área (AFBGCHDE) = 4 área (BOG) = 2 (OB . OG) = 2 (12cm . 16cm) = 384cm2
58. En una escuela, las dos terceras partes del alumnado son varones y hay 136 alumnas (mujeres).
Un cuarto del alumnado tiene computadora, un sexto de los alumnos con computadora son varones.
¿Cuántas alumnas (mujeres) no tienen computadora?
¿Qué fracción del total del alumnado representan?
SOLUCIÓN
2
A
3
1
1
−→ V y 138M y A y 4 A con C y 6 A con C −→V
¿ x M sin C ?
1
A
3
= 136M =⇒ A = 3 . 136M =⇒ A = 408a
36
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
408a = 136M + 272V
1
4
1
A = 4 . 408a = 102a
C −→ 102a
1
6
1
C −→ V −→ VC = 6 . 102a = 17a
Hay 17 V con C y 85 M con C.
136m −→ Total de mujeres
85m −→ mujeres con C
51m −→ mujeres sin C
408a−→ 1 51a −→ x
x=
51
408
=
1
8
1
Las mujeres sin computadora son 8 del alumnado.
59. El cuadrado ABCD tiene 144 cm2 de área.
BC = 3 PC, CD = 4 DQ y AD = 5 AR.
¿Cuál es el Área del triángulo PQR?
SOLUCIÓN
Área (ABCD) = 144cm2
BC = 3PC
CD = 4DQ
AD = 5AR
AB = 12cm
BC = BP + PC =⇒ 3PC = BP + PC =⇒ 2PC = BP
AB . BC = 144cm2 =⇒ AB = BC = CD = DA = 12cm
BC = 3PC =⇒ 12cm = 3PC =⇒ PC = 4cm
PB = BC - CP = 12cm - 4cm = 8cm
37
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
PB = 8cm
CD = 12cm = DQ + QC
CD = 4DQ =⇒ 12cm = 4DQ =⇒ DQ = 3cm
CD = DQ + QC =⇒ 12cm = 3cm + QC =⇒ QC = 9cm
AD = 5AR = 12cm
AR =
12
5
cm = 2,4cm
DR = AD - AR = 12cm - 2,4cm = 9,6cm =⇒ DR = 9,6cm
1
1
área (PCQ) = 2 (PC . CQ) = 2 4cm . 9cm = 18cm2
1
2
1
2
área (RDQ) = (RD . DQ) = . 9,6cm . 3cm = 14,4cm2
área (ABPR) =
1
2
1
2
(BP + AR) . AB = (8cm + 2,4cm) . 12cm = 62,4cm2
área sombreada = área (ABCD) - área (PCQ) - área (RDQ) - área (ABPR)
área sombreada = 144cm2 - 18cm2 - 14,4cm2 - 62,4cm2 = 49,2cm2
60. Luis tiene un nuevo trabajo.
Debe trabajar: 14 horas por semana, de lunes a viernes, y por día, no menos de 2 horas y siempre un
número entero de horas. ¿De cuántas maneras distintas puede repartir sus horas de trabajo durante
la semana?
SOLUCIÓN
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
31
32
33
34
35
36
37
38
L
2
2
2
2
6
2
2
2
2
2
M
2
2
2
6
2
2
2
2
2
3
L
2
2
2
2
2
2
3
3
M
2
2
6
1
2
2
2
3
5
5
M
2
2
4
4
4
3
2
3
J
2
6
2
1
2
3
5
5
3
2
V
6
2
2
2
2
5
3
2
2
2
N
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
M
2
4
2
3
3
3
L
2
3
5
3
5
3
5
3
5
2
J
2
3
3
2
3
V
2
3
3
3
2
3
3
2
M
5
5
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
38
M
3
2
2
5
3
2
2
2
2
2
N
41
42
43
44
45
46
47
48
J
2
2
2
2
2
5
3
2
2
5
V
2
2
2
2
2
2
2
5
3
2
L
4
4
4
4
2
2
2
2
N
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
M
4
2
2
2
4
4
4
2
L
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
M
5
3
5
2
2
2
3
3
3
3
M
2
4
2
2
4
2
2
4
M
2
2
2
3
5
3
3
2
3
2
J
2
2
4
2
2
4
2
4
J
3
2
2
2
2
3
4
4
2
3
V
2
5
3
5
3
4
2
3
4
4
V
2
2
2
4
2
2
4
2
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
39
40
61.
3
3
3
3
2
3
2
3
3
2
49
50
2
2
2
2
4
2
2
4
4
4
N = 369125.
Con los dígitos de N, ¿cuántos números sin cifras repetidas, comprendidos entre 1000 y 9000, que
son múltiplos de 3, se pueden armar?
SOLUCIÓN
1236
1239
1263
1269
1293
1296
-
-
1326
1329
1362
1392
1359
1395
1365
1356
1536
1539
1563
1569
1593
1593
-
-
1623
1629
1632
1692
1653
1635
-
-
1935
1953
1965
1956
1926
1962
1932
1923
2136
2139
2163
2169
2193
2196
-
-
2391
2319
2316
2361
-
-
-
-
2613
2631
2691
2619
-
-
-
-
2913
2916
2961
2931
-
-
-
-
3219
3291
3216
3261
-
-
-
-
3591
3519
3526
3561
-
-
-
-
3612
3621
3615
3651
-
-
-
-
3126
3162
3129
3192
3156
3165
3195
3159
3921
3912
3915
3951
-
-
-
-
5136
5139
5163
5169
5196
5193
-
-
5791
5719
5716
5761
-
-
-
-
5613
5631
5619
5691
-
-
-
-
5931
5913
5916
5961
-
-
-
-
6123
6129
6132
6192
6153
6135
6156
6159
6165
6195
6213
6231
6291
6219
-
-
-
-
-
-
6312
6321
6315
6351
-
-
-
-
-
-
6513
6531
6519
6591
-
-
-
-
-
-
6912
6915
6921
6951
-
-
-
-
-
-
En total hay 120 casos posibles.
62. El triángulo ABC es rectángulo en A.
39
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Los puntos P, R, S y T pertenecen a los lados del triángulo ABC.
BP = CT, APRS es un cuadrado de 144 cm2de área.
ABR es un triángulo de 126 cm2de área.
ART es un triángulo de 114cm2 de área.
¿Cuál es el área del triángulo ABC?
SOLUCIÓN
ABC triángulo rectángulo.
APRS cuadrado ∧ área (APRS) = 144cm2
BP = CT
AP = PR = RS = SA = 12cm
área (ART) = 114cm2
1
1
1
2
1
2
1
área (ABR) = 2 (AB . PR) = 2 (AB . 12cm) = 126cm2 =⇒ AB = 12𝑐𝑚 (2 . 126cm2) = 21cm
área (ART) = (AT . SR) = (AT . AP) = 114cm2 =⇒ AT =
1
12𝑐𝑚
(2 . 144cm2) = 19cm
AC = AT + TC = 19cm + BP = 19cm + (AB - AP)
AC = 19cm + (21cm - 12cm) = 28cm
1
1
área (ABC) = 2 AB . AC = 2 . 21cm . 28cm = 294cm2
63. En el almacén: 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras cuestan $0,50 más que
3/4 kg de aceitunas verdes y 1/2 kg de aceitunas negras.
Si un kilo de aceitunas negras cuesta un 50% más que un kilo de aceitunas verdes, ¿cuánto se paga
por 1/2 kg de aceitunas verdes y 3/4 kg de aceitunas negras?
SOLUCIÓN
1
3
3
(2 V + 4 N) - (4 V +
º
2
N) = $0,50
3
1N = 2 V
1
3
¿2 V + 4
N?
40
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1
2
3 3
4 2
1
9
3
4
1 3
2 2
( V + . V) - ( V + . V) = $0,50
(2 V + 8 V) - (
9
8
3
4
3
4
3
V + 4 V) = $0,50
1
2
V+ V-
3
4
1
8
(4V + 9 V - 6V - 6V) = $0, 50 =⇒ 1V = $4
V - V = $0,50
3
3
1N = 2 V =⇒ 1N = 2 . $4 = $6
1
2
1
2
3
V+4 N=
1
2
3
9
1
. $4 + 4 . $6 = $2 + $ 2 = 2 .($4 + $9) = $6,50
3
V + 4 N = $6,50
64. El servicio de taxis cobra una suma fija por viaje y cierta cantidad por cada kilómetro recorrido.
Ana pagó $ 5,10 por un viaje de 3 km.
Pedro pagó $ 8,60 por un viaje de 8 km.
¿Cuánto cobra por kilómetro?
¿Cuánto pagará Laura por un viaje de 12 km?
SOLUCIÓN
F −→ suma fija
A −→ $5,10 −→ 3km
P −→ $8,60 −→ 8km
F + 3x = $5,10 =⇒ F = $5,10 - 3x
F + 8x = $8,60 =⇒ F = $8,60 - 8x
$5,10 - 3x = $8,60 - 8x
8x - 3x = $8,60 - $5,10
5x = $3,50 =⇒ x =$
3,50
=
5
$ 0,70
F = $5,10 - 3 . $0,70
F = $5,10 - $2,10 = $3,00
65. El trapecio ADEF se partió en un rectángulo y dos triángulos rectángulos iguales, como muestra la
figura. El triángulo CDE tiene 78 cm2 de área,
CE = 13 cm
y AD = 4 EF.
¿Cuál es el área del trapecio ADEF?
41
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCIÓN
¿área (ADEF)?
ABF = CDE
área (CDE) = 78cm2
CE = FB = 13cm
AD = 4EF
1
2
CD . CE = 78cm2
CD . CE = 2 . 78cm2 =⇒ CD . 13cm = 2 . 78cm2 =⇒ CD =
2 .78
cm=
13
12cm
CD = AB = 12cm
AD = AB + BC + CD = 12cm + BC + 12cm
AD = BC + 24cm
4EF = 4BC = AD
4BC = BC + 24cm =⇒ 3BC = 24cm =⇒ BC = 8cm
AD = 24cm + 8cm = 32cm
EF = BC = 8cm
CE = 13cm
1
1
área (ADEF) = 2 (AD + EF) . CE = 2 ( 32cm + 8cm) . 13cm = 260cm2
66. La combinación para abrir la cerradura de la caja fuerte es un número de seis cifras.
Las cifras están ordenadas de mayor a menor, son todas distintas y ninguna es cero.
¿Cuál puede ser el número de la combinación?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
654321 765431 765432 876541
754321 865431 865432 976541
854321 965431 965432 954321 -
-
987432
42
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
-
976543 987543 987431
876543 976542 987542 987321
876542 986543 987541 -
986542 -
974321
986543 986541 984321 986542 -
-
-
986541 985432 976592 986532 985431 976531 986531 -
975432 -
-
975431 -
-
En total hay 38 casos posibles.
67. Un comerciante compró un rollo de tela a $36 el metro.
Al lavarla perdió un cuarto de su longitud.
Después de lavada, la vendió a $60 el metro.
Por la venta de todo el rollo ganó $576.
¿Cuántos metros de tela tenía el rollo que compró?
SOLUCIÓN
1m −→ $36
3
al lavarla −→ quedó 4 m
después de lavarla −→ $60 el metro
ganancia del rollo −→ $576
gastó $36 por xm−→la magnitud de x es m
ganará −→
3
4
x . $60 −→ venta
3
venta - gasto = 4 x . $60 - $36x = 9x
venta - gastóo = 9x = $576 =⇒ x =
576
9
m = 64m
El rollo original tenía 64m.
68. En el trapecio ABCD, la base AD mide 42cm.
La diagonales AC y BD se cortan en el punto O.
El triángulo AOD tiene 294 cm2 de área.
El triángulo BOC tiene 96 cm2 de área y la altura que corresponde al lado BC mide 8cm.
43
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿Cuál es el área del trapecio ABCD?
SOLUCIÓN
AD = 42cm
BC = 8cm
área (AOD) = 294cm2
área (BOC) = 96cm2
¿área (ABCD)?
Sean P punto medio de AD y Q punto medio de CB.
Las rectas AC y CD se cortan en el punto O
1
2
área (AOD) = (AD . OP) = 294cm2
1
OP = 42 𝑐𝑚 . (2 . 294cm) = 14cm
1
área (BOC) = 2 (BC . OQ) = 96cm2
OQ =
1
8 𝑐𝑚
. (2 . 96cm) = 24cm
1
área (ABCD) = 2 (AD + BC) . (OP + OQ)
1
1
área (ABCD) = 2 (42cm + 8cm) . (14cm + 24cm) = 2 . 50cm . 38cm = 950cm2
69. El diccionario de Lucía tiene 969 páginas.
En las páginas pares hay 7 dibujos.
En las páginas impares hay 5 dibujos.
En las páginas cuyo número es múltiplo de 3, los dibujos son en colores; en las otras páginas, los
dibujos son en blanco y negro.
¿Cuántos dibujos en colores hay en el diccionario de Lucía?
SOLUCIÓN
969 pág
pág pares −→ 7d
pág impares −→ 5d
pág con número múltiplo de 3 −→ dibujos en colores
44
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
otras −→ dibujos en blanco y negro
pág pares −→ 484 pág −→ 7d
pág impares −→ 485 pág −→ 5d
hay
969
3
pág en colores = 323 pág en colores de las cuales 161 son pares y 162 son impares.
dibujos en colores −→ (161p. 7d) + (162i. 5d) = 1172d + 810d = 1937d
70. Por las casillas I y II del peaje sólo pasan autos, que pagan $ 2 y camiones, que pagan $ 3.
Ayer, por la casilla II pasaron el doble de autos y la mitad de camiones que los que pasaron por la
casilla I.
Ayer, en la casilla I se recaudaron $ 84 y en la casilla II, $ 3 más que en la I.
¿Cuántos autos y cuántos camiones pasaron ayer por la casilla II?
SOLUCIÓN
casillas I y II −→ autos : $2 ∧ camiones: $3
pasan (2A + C ) más por II que por I
I −→ $ 84
II −→ $ 87
A + C = $84
2A +
1
2
C = $87
De aquí: A = $84 - C
1
2
2 . ($84 - C) + C = $87
3
$81 = 2 C ⇒
2
3
. $81 = $54
A = $84 - C = $84 - $54 = $3á
$2 −→ 1A
1
$30 −→ x = $2 . $30. 1A = 15A
$3 −→ 1C
$54 −→ y =
1
$2
. $54. 1C = 18C
71. ABCD es un paralelogramo.
DH es perpendicular a AB.
AH = HD
HB = 37 cm
El triángulo AHD tiene 338 cm2 de área.
¿Cuál es el área del paralelogramo ABCD?
45
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCIÓN
AH = HD
HB = 37cm
área (AHD) = 338cm2
¿área (ABCD)?
(AH . HD) = 338cm2
(AH)2= 2 . 338cm2 = 676cm2 =⇒ AH = √676 cm = 26cm
AB = AH + HB = 26cm + 37cm
AB = CD = 63cm
HD = 26cm
área (ABCD) = AB . HD = 63cm . 26cm = 1638cm2
72. Con los dígitos: 1 – 4 – 0 – 6 – 7 - 9, ¿cuántos números múltiplos de 3, mayores que 1000 y
menores que 2005 se pueden formar?
SOLUCIÓN
18 números sin repeticion:
1047
1407
1647
1740
1974
1074
1470
1674
1704
1947
-
1479
-
1749
-
-
1476
-
1794
-
-
1467
-
1746
-
-
1497
-
1764
-
72 números con repeticion:
1014
1401
1614
1701
1914
1101
1017
1404
1617
1704
1917
1104
1044
1407
1644
1707
1944
1107
1047
1410
1647
1710
1947
1110
1071
1416
1671
1716
1971
1116
1074
1419
1674
1719
1974
1119
46
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
-
1440
-
1740
-
1140
-
1446
-
1746
-
1146
-
1449
-
1749
-
1149
-
1461
-
1761
-
1161
-
1464
-
1764
-
1164
-
1467
-
1767
-
1167
-
1470
-
1770
-
1170
-
1476
-
1776
-
1176
-
1479
-
1779
-
1179
-
1491
-
1791
-
1191
-
1494
-
1794
-
1194
-
1497
-
1797
-
1197
73. En el gimnasio hay 210 personas. La mitad de las mujeres y la tercera parte de los varones hacen
bicicleta.
Si hay 85 bicicletas ocupadas, ¿cuántas mujeres y cuántos varones hay en el gimnasio?
SOLUCIÓN
g −→ 210p ∧ 85b
1
2
m+
1
3
v = 85
m + v = 210
De aquí:
m = 210 - v
1
2
1
3
1
2
1
3
(210 – v) + v = 85 ⇒ 105 . v + v = 85
1
1
1
105 – 85 = (2 - 3 ) v ⇒ 20 = 6 (3 – 2) v
Entonces queda:
m = 90 ∧ v = 120
74. La figura, de 306 cm2 de área, está partida en un cuadrado, un rectángulo y un triángulo.
El área del triángulo DEF es las tres octavas partes del área del cuadrado ABCG.
El área del rectángulo CDFG es el doble del área del triángulo DEF.
Cuánto miden los lados del rectángulo ABDF?
47
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCIÓN
área (DEF) =
3
8
área (ABCG)
área ( CDFG) = 2 . área ( DEF)
área ( ABEF) = 306cm2
8
3
área ( DEF) = área ( DEF) + 2 . área ( DEF) = 306cm2
17
3
1
área (DEF) = 306cm2 =⇒ área ( DEF) = 17 (3 . 306cm2) = 54cm2
8
3
área ( ABCG) = área ( DEF)
8
3
área ( ABCG) = . 54cm2 = 144cm2 ⇒ AB = √144cm = 12cm
área ( CDFG) = 2 . área ( DEF) = 2 . 54cm2 = 108cm2
CD . CG = 108cm2
CG = AB = 12cm
CD . 12cm = 108cm2 =⇒ CD =
108
12
cm = 9cm
1
área ( DEF) = 2 (FD . DE) = 54cm2
FD = AB
2
2
DE = 𝐹𝐷 área ( DEF) = 12 𝑐𝑚 . 54cm2 = 9cm
BD = BC + CD = 12cm + 9cm = 21cm
(AB , AF) = (12cm , 21cm)
75. Con los dígitos 1 – 2 - 3 – 5 - 6 - 7 se arman números menores que 10000, sin cifras repetidas, que
son múltiplos de 4 y de 3. ¿Cuáles y cuántos son?
SOLUCIÓN
12
132
312
732
612
36
156
372
756
672
72
216
516
-
48
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
-
276
276
-
-
15 casos posibles
1236
1356
1572
1632
1752
-
-
1536
-
-
2136
2316
-
-
2736
-
2376
-
-
-
10 casos posibles
6132
7236
3516
3156
6732
6372
5172
7632
6312
5712
7536
5376
5136
5736
3216
3672
-
7512
7356
-
7152
3756
-
5316
7512
-
-
3276
-
25 casos posibles
En total hay 48 casos posibles.
76. Flora compró caramelos para que Federico, Tomás e Inés se los repartieran en partes iguales.
Federico sacó su parte y no avisó.
Cuando Tomás fue a buscar sus caramelos, creyendo que esos eran todo los caramelos que había
comprado Flora, tomó su parte y tampoco avisó.
Finalmente Inés se llevó la tercera parte de los que quedaban.
Cuando Inés se fue, quedaron 48. ¿Cuántos caramelos había comprado Flora?
SOLUCIÓN
FL compró 1 entero
Quería repartir así:
F −→
1
3
1
3
∧ T −→
1
3
∧ I −→
1
3
x −→ F
49
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1 2
.
3 3
x −→ T
1 2
.
3 3
. 3 x −→ I
2
restan 48 caramelos
x-
1
3
x . (18
27
2
4
x - 9 x - 27 x = 48c
1
3
2
4
- 9 - 27 ) = 48c ⇒
𝑥
27
. ( 27 - 9 - 6 - 4) = 48c
1
x = 48c =⇒ x = 8 . (48c . 27) = 162c
Entonces el reparto quedó así:
F −→ 54c
T −→ 36c
I −→ 24c
77. En la figura: ABHG es un cuadrado y BCDH y ACEF son rectángulos.
1
área de BCDH = 3 área de ABHG.
Perímetro de BCDH = 56 cm.
1
área de FGH = 5 área de BCDH.
Perímetro de ABHF = 86,99 cm.
¿Cuál es el área y cuál es el per metro del DEFH?
SOLUCIÓN
per (BCDH) = 56cm
BC + BH = 28cm
Sea AB = BH.
1
área ( BCDH) = 3 área ( ABHG)
1
BC . BH = 3 AB . BH
1
3
(28cm - BH ) . BH = (BH)2
1
28cm . BH - (BH)2= 3 (BH)2
50
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
4
3
(BH)2 - 28cm . (BH)2= 0
4
BH . (3 BH - 28cm) = 0
4
3
3
4
BH = 28cm =⇒ BH = . 28cm = 21cm
1
(BH)2 = BC . BH . 3 =⇒ BC = 3 BH = 7cm
FG + FH = 86,99cm - BC - 2BH - BC = 86,99cm - 3. 7cm - 2 . 21cm = 23,99cm
1
2
(FG . GH) =
1
5
área (BCDH)
2
FG . 3BC = 5 BC . BH
FG =
2 7 𝑐𝑚 .21 𝑐𝑚
. 3 .7 𝑐𝑚
5
FH = 23,99cm -
14
5
=
14
5
cm
cm = 21,19cm
DE = FG
DH = BC
EF = 4BC
per (DEFH) = FG + 4BC + FH + BC = FG + 5BC + FH
per (DEFH) =
14
5
cm - 5 . 7cm + 21,19cm = 58,99cm
1
2
área (DEFH) = (BC + AB + BC) . FG
1
área (DEFH) = 2 (21cm + 2 . 7cm) . cm = 49cm2
78. Pedro está leyendo un libro que tiene entre 300 y 600 páginas.
Si lee 6 páginas por día, el último día le quedarán para leer 3.
Si lee 7 páginas por día, el último día le quedarán para leer 5.
¿Cuántas páginas puede tener el libro que está leyendo Pedro?
Da todas las posibilidades.
SOLUCIÓN
300 < x < 600
Debemos hallar un x que cumpla las siguientes condiciones:
6n + 3 = x =⇒ x es múltiplo de 3 (impar)
7m + 5 = x
Veamos los números que cumplen la primera condición:
303
309
315
321
327
333
51
339
345
351
357
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
363
369
375
381
387
393
399
405
411
417
423
429
435
441
447
453
459
465
471
477
483
489
495
501
507
513
519
525
531
537
543
549
555
561
567
573
579
585
591
597
De estos números veamos los que cumplen con la segunda condición:
327
369
411
453
495
537
579
79. En la liquidación de temporada se ofrecen paquetes A y B.
Cada paquete A contiene una remera y se ofrece a $ 20.
Cada paquete B contiene dos remeras y se ofrece a $ 35.
Por todos los paquetes se obtuvieron $5600.
En total se vendieron 312 remeras.
¿Cuántos paquetes de cada oferta se vendieron?
SOLUCIÓN
1R −→ $2
2R −→ $35
x + 2y = 312
20x + 35y = $5600
4x + 7y = $1120
Si x = 312 - 2y , reemplazo:
4 ($312 - 2y ) + 7y = $1120
$1248 - 8y + 7y = $1120
$1248 - $1120 = y =⇒ y = 128
80. En el rectángulo ABCD de 84 cm de perímetro, BC = 2 AB.
Sobre AB se dibujan un cuadrado de 100 cm2 de área y un triángulo.
Sobre CD se dibujan un cuadrado de 36 cm2 de área y un triángulo.
¿Cuál es el área de la región sombreada?
52
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 84cm
DA = DB = 2AB
área (MBNP) = 100cm2
área (SRQD) = 36cm2
CD = AB
¿área sombreada?
per (ABCD) = AB + BC + CD + DA = AB + 2AB + AB + 2AB = 84cm
per (ABCD) = 6AB = 84cm =⇒ AB =
84
6
cm = 14cm
AB = CD = 14cm
DA = BC = 28cm
AB = AM + MB
BC = BN + NC
DC = DQ + QC
área (MBN) = MB . BN = (MB)2 = 100cm2 =⇒ MB = BN = NP = PM = 10cm
1
2
área (AMP) = (AM . MP) =
1
2
[ (AB - MB) . MP ] =
1
2
área (SRDQ) = DR . RQ = (DQ)2 = 36cm2=⇒ DQ = RQ = RS = DS = 6cm
DC = DQ + QC =⇒ 14cm = 6cm + QC =⇒ QC = 14cm - 6cm = 8cm
1
1
2
(14cm - 10cm) . 10cm = 4cm . 10cm = 20cm2
1
área (QRC) = 2 (QC . QR) = 2 8cm . 6cm = 24cm2
área sombreada = área (ABCD) - área (RQC) - área (MBNP) - área (AMP) =
= 14cm . 28cm - 36cm2 - 24cm2 - 100cm2 - 20cm2 = 212cm2
81. Cecilia escribió un número de cinco cifras que es múltiplo de 6.
53
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Tres cifras se le borraron, quedaron un 8 en el lugar de las decenas y un 2 como primera cifra.
Entre las cifras que se le borraron recuerda que sólo una era cero.
¿Qué números pudo haber escrito Cecilia? ¿Cuántos son?
SOLUCIÓN
número múltiplo de 6 alguna cifra es 0 tiene que ser par tiene que ser múltiplo de 3
2 −
− 8−
Son los siguientes:
20184 21084 23580 25680 24180
20586 25086 25380 26580 21480
20784 27084 21780 27480 -
-
27180 24780 -
Son 16 casos posibles.
82. En la figura, ABCF es un cuadrado y CDEF es un rectángulo.
El área de la figura es 216 cm2.
Perímetro de CDEF = 3 AB.
¿Cuál es la longitud de AF?
¿Cuál es el área de CDEF?
SOLUCIÓN
ABCF cuadrado =⇒ AB = BC = CF = AF
área (ABDE) = 216cm2
¿área (CDEF)?
per (CDEF) = 3AB
¿AF?
per (CDEF) = 2 . (CD + DE) = 3AB
2CD = AB
CD = EF
54
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
área (ABDE) = AB . (BC + CD) = 2CD . (BC + CD)
área (ABDE) = área (ABDE) = 2CD . (BC + CD) = 216cm2
1
3
2
área (ABDE) =AB . (AB + 2 AB) =
2 .216
cm
3
AB = √
(AB)2
= √144 cm = 12cm
1
per ( figura) = 2AB + 2 (AB + 2 AB)
3
per (figura) = 2AB + 2 . 2 AB = 5AB = 5 . 12cm = 60cm
AB = BC = AF = 12cm
1
área (CDEF) = (CD . DE) = 2 AB . AB = 6cm . 12cm = 72cm2
83. Ana, Bibi, Ceci, Edu y Juan tienen entradas para el teatro.
Los asientos están todos en la misma fila y son consecutivos.
¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse si las tres mujeres nunca quieren estar en tres
asientos consecutivos?
SOLUCIÓN
A, B, C, E, J
A, B, C no pueden estar juntos
A
B
C
E
J
A
B
C
J
E
A
C
B
E
J
A
C
B
J
E
B
C
A
E
J
B
C
A
J
E
B
A
C
E
J
B
A
C
J
E
C
B
A
E
J
C
B
A
J
E
C
A
B
E
J
C
A
B
J
E
Pueden estar sentadas de 12 maneras distintas.
84. El abuelo de Edu tiene entre 200 y 300 libros en su biblioteca.
55
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Un quinto son libros en inglés, un séptimo son libros en francés, la cuarta parte son libros en italiano
y el resto son libros en castellano.
¿Cuántos libros tiene el abuelo en su biblioteca?
¿Cuántos en castellano?
SOLUCIÓN
200 < x < 300
1
5
−→ in
1
7
−→ f
1
4
−→ it
1
5
+
1
7
+
1
4
−→
1
140
83
(28 + 20 + 35) =
83
140
57
En cast −→ 1 - 140 = 140
x es múltiplo de 140 / 200 < x < 300
∴ x = 280
1
5
. 280 l = 56l -→ in
1
7
. 280 l = 40l −→ f
1
4
. 280 l = 70l −→ it
57
140
. 280 l = 114 l −→ cast
85. En la figura, de 126 cm de per metro, ABFG y BCDE son rectángulos.
AB = 2 BC; AG = 2 AB y E es punto medio de BF.
Calcula el área de la figura sombreada. (FABDE)
Los puntos son A, B, C, D, E, F, G tomados desde el vértice izquierdo inferior
SOLUCIÓN
56
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
per ( ABCDEFG) = 126cm
ABFG ∧ BCDE −→ rectángulos
AB = 2BC
AG = 2AB
E −→ punto medio de BF
¿área (ABDEF)?
AB + BC + CD + EF + FG + AG = AB +
7AB = 126cm =⇒ AB =
126
7
𝐴𝐵
2
+ AB +
𝐴𝐵
2
+ AB + AB + 2AB = 126cm
cm = 18cm
1
2
1
2
área figura = área (ABF) + área (BDE) = (AB . BF) + (DE . BE)
BF = AG = 2AB
DE = BC =
𝐴𝐵
2
BE = EF = AB
1
1
𝐴𝐵
1
5
área figura = 2 (AB . 2AB) + 2 ( 2 . AB) = (AB)2+ 4 (AB)2= 4 (AB)2
Si AB = 12cm =⇒ área figura =
5
4
(AB) 2=
5
4
. 144cm2 = 180cm2
86. Un virus atacó la memoria de una computadora.
El primer día borró la mitad de la memoria.
El segundo día borró la mitad de lo que quedaba.
El tercer día borró la mitad de lo que quedaba.
Al final del tercer día quedaron sin borrar 512 unidades de memoria.
¿Cuántas unidades de memoria tenía la computadora antes de ser atacada por el virus?
SOLUCIÓN
1
2
día 1 −→
1
T
1
día 2 −→ 2 ( 2 T)
día 3 −→
1 1
[
2 2
1
( 2 T)]
quedan −→ 512 um
¿T?
1
1
1
T - 2 T - 4 T - 8 T = 512
1
8
(8T - 4T - 2T - T) = 512 =) ⇒ T = 512 . 8 = 4096 um
57
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
87. ¿Cuántos números de cuatro cifras, múltiplos de 6, tales que la suma de la cifra de las unidades y
la cifra de las decenas sea 11, se pueden armar?
¿Cuáles son?
nros múltiplos de 6
d + u = 11 um+ c −→ 1 , 4 , 7 , 10 , 13
SOLUCIÓN
1039
1056
1074
1092
5238
5456
5274
5292
9438
9456
9474
9492
1338
1356
1374
1392
5538
5556
5574
5592
9738
9756
9774
9792
1638
1656
1674
1692
5838
5856
5874
5892
1938
1956
1974
1992
6138
6156
6174
6192
2238
2256
2274
2292
6438
6456
6474
6492
2538
2556
2574
2592
6738
6756
6774
6792
3838
2856
2874
2892
7038
7056
7074
7092
3138
3156
3174
3192
7338
7356
7374
7392
3438
3456
3474
3492
7638
7656
7674
7692
3738
3756
3774
3792
7938
7956
7974
7992
4038
4056
4074
4092
8238
8256
8274
8292
4338
4356
4374
4392
8538
8556
8574
8592
4638
4656
4674
4692
8838
8856
8874
8892
4938
4956
4974
4992
9138
8956
9174
9192
Hay 120 casos posibles.
88. De la bolsa de caramelos, Camila se llevó la tercera parte y después Agustina se llevó un cuarto
de lo que quedaba.
En la bolsa quedaron 132 caramelos.
¿Cuántos caramelos había al principio?
SOLUCIÓN
1
3
caramelos −→ C −→ 88 caramelos
1 2
.
4 3
caramelos −→ A −→ 44 caramelos
TOTAL −→ x
RESTO −→ 132 caramelos
1
3
1 2
1
3
+ 4 . 3 = 6 (2 + 1) = 6 =
1
2
A + C comieron la mitad de la bolsa, entonces:
x = 2 . 132 caramelos = 264 caramelos
89. En la figura:
ABCD es un rectángulo de 108 cm de perímetro.
58
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1
2
BC = AB
AQ = BM = MN = NC
DP = PC
¿Cuál es el área del AMNPQ?
SOLUCIÓN
per (ABCD) = 108cm
1
BC = 2 AB
AQ = BM = NM = NC DP = PC
per (ABCD) = 2AB + 2BC = 2AB + AB = 3AB = 108cm =⇒ AB =
𝐵𝐶
3
AQ = BM = MN = CN =
DQ = BC - BM =
𝐴𝐵
2
-
𝐴𝐵
6
=
108
3
cm = 36cm
𝐴𝐵
6
=
1
6
(3AB - AB) =
2
6
AB =
1
3
AB
área sombreada = área (ABCD) - área (DPQ) - área (CNP) - área (ABM)
1
1
1
área sombreada = AB . BC - 2 (DP . DQ) - 2 (CN . CP) - 2 (AB . BM) =
= AB .
𝐴𝐵
2
1 𝐴𝐵 𝐴𝐵
6
-2( 2 .
1
1
= (AB)2 ( 2 - 24 Si AB = 36cm ⇒
1
12
1
3
1 𝐴𝐵 𝐴𝐵
2
)-2(6 .
1
1
) - 2 (AB .
𝐴𝐵
6
1
1
) = 2 (AB)2 - 24 (AB)2 -
1
1
12
1
(AB)2 = 3 (AB)2=
1
= 3) = 24 (AB)2 (12 – 2 – 2) = 3 (AB)2
(AB)2 =
1
3
(36cm)2 = 432cm2
90. Vale dibuja un edificio; en la planta baja no tiene ventanas y en los otros 2 pisos tiene 4 ventanas
en cada piso.
Después elige 4 ventanas y las pinta de azul.
¿De cuántas maneras distintas pudo haber elegido Vale las 4 ventanas que pintó de azul?
Muéstralas.
SOLUCIÓN
1
2
3
4
5
6
7
8
Se pueden hacer las siguientes combinaciones:
59
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1234
1257
1357
1478
2357
2478
3478
1235
1258
1358
1567
2358
2567
3567
1236
1267
1367
1568
2367
2568
3568
1237
1268
1368
1578
2368
2578
3578
1238
1278
1378
1678
2478
2678
3468
1245
1345
1456
2345
2456
3456
4567
1246
1346
1457
2346
2457
3457
4568
1247
1347
1458
2347
2458
3458
4578
1248
1348
1467
2348
2467
3467
4678
1256
1356
1468
2356
2468
3468
5678
Hay 70 posibilidades.
91. Con cubos de madera todos iguales Cristian armó esta torre de 864 cm2 de área total.
Con todos los cubos que Cristian usó se llena una caja de 16 cm de largo y 8 cm de ancho.
Cuál es la altura de esa caja?
SOLUCION
16 cubos =⇒ área total = 864cm2
¿ altura
de la caja = ?
7 caras + 16 caras + 16caras + 8caras + 7caras = 54caras = area total
54 caras = 864cm2 =⇒ 1 cara =
864
54
cm2 = 16cm2
∴ cada cara mide 4cm
60
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
16 cubos =⇒ 8 arriba ∧ 8 abajo =⇒ h = 8cm
92. Luis pasa sus vacaciones en Playa Linda y su amigo Matías en Playa Hermosa, distantes entre s 20
km.
Planearon encontrarse una mañana.
Los dos salieron a las 9 hs, Luis caminaba a 5 km/h y Matías a 7 km/h.
¿A qué hora y a qué distancia de Playa Linda se encontraron?
SOLUCION
ti = 9hs
𝑘𝑚
ℎ
𝑘𝑚
−→ 7 ℎ
L −→ 5
M
20
5t +7t = 20km =⇒ 12t = 20km =⇒ t = 12 h = 1h 40min
𝑘𝑚 25
= km
ℎ
3
5
𝑘𝑚 35
M −→ ℎ . 7 = km
3
ℎ
3
5
ti + tr = tf ⇒ 9hs + 3 h = 10h
L −→
5
3
ℎ.5
40 min
Se encontraron a las 10h 40min a
25
3
km de playa linda.
93. En un triángulo equilátero ABC se marcan los puntos medios de los lados:
M en AB,
N en BC
P en AC.
Se trazan todos los segmentos que tienen por extremos los puntos A, B, C, M, N y P.
¿Cuántos triángulos hay en esta figura?
Explica como los contaste.
SOLUCION
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1; 2
3; 4
5; 6
7; 8
9; 10
11; 12
1; 3
2; 4
5; 7
6; 8
9; 11
10; 12
3; 4; 7
8; 9; 10
3; 4; 9
7; 8; 10
3; 7; 8
4; 9; 11
1; 3; 7; 8
2; 4; 9; 11
3; 4; 5; 7
6; 8; 9; 11
3; 4; 9; 11
7; 8; 11; 12
3; 4; 7; 8; 9; 10
1; 3; 5; 6; 7; 8
2; 4; 9; 10; 11; 12
1; 2; 3; 4; 5; 7
6; 8; 9; 10; 11; 12
1; 2; 3; 4; 9; 11
5; 6; 7; 8; 11; 12
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12
61
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
44 casos.
94. Mezclando jugos de naranja, kiwi y pomelo se preparan los jugos A, B y C que se envasan en
botellones de 5 litros.
Para 5 litros del jugo A se necesitan: 1 litro de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 2 de jugo de
pomelo.
Para 5 litros del jugo B se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 1 de jugo de kiwi y 2 de jugo de
pomelo.
Para 5 litros del jugo C se necesitan: 2 litros de jugo de naranja, 2 de jugo de kiwi y 1 de jugo de
pomelo.
Con 80 litros de jugo de naranja, 55 litros de jugo de kiwi y 70 litros de jugo de pomelo, ¿cuántos
botellones de 5 litros de cada clase de jugo se pueden preparar?
SOLUCIÓN
N , K , P −→ A , B , C −→ 5l
5lA −→ 1lN + 2lK + 2lP
5lB −→ 2lN + 1lK + 2lP
5lC −→ 2lN + 2lK + 1lP
80lN , 55lK , 70lP −→ ¿botellones de 5l?
𝐴 +
2𝐴 +
2𝐴 +
2𝐵 + 2𝐶
𝐵 + 2𝐶
2𝐵 + 𝐶
= 80𝑙
= 55𝑙
= 70𝑙
1 2 2
∆ = |2 1 2| = 5
2 2 1
80 2
∆𝐴 = |55 1
70 2
2
∆𝐴
10
2| = 10 ⇒ A = ∆ = 5 = 2
1
1 80 2
∆𝐵
135
∆𝐵 = |2 55 2| = 135 ⇒ B = ∆ = 5 = 27
2 70 1
1 2
∆𝐶 = |2 1
2 2
80
∆𝐶
60
55| = 60 ⇒ C = ∆ = 5 =12
70
95. Los puntos de la figura están en una cuadrícula.
Cada cuadradito de la cuadrícula tiene 1cm de lado.
Se quiere dibujar un triángulos con vértices en los puntos de la cuadrícula que tenga 1/2 cm2 de área.
¿Cuántas posibilidades distintas hay? Explica por qué.
62
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCION
1,2
5,6
9,10
13,14
1,3
5,7
9,11
13,15
2,4
6,8
10,12
14,16
3,4
7,8
11,12
15,16
Así queda:
ABD = 1,2
ADE = 1,3
ABE = 2,4
BDE = 3,4
BCE = 5,6
BEF = 5,7
BCF = 6,8
CEF = 7,8
BEG = 9,10
DGH = 9,11
DEH = 10,12
EGH = 11,12
EFH = 13,14
EHI = 13,15
EFI = 14,16
FHI = 15,16
96. En la figura: ACDE es un rectángulo,
ABOF es un cuadrado,
CO = CD,
AC = 51cm,
área de BCO = 270cm2, los lados AB y BC tienen longitudes enteras.
¿Cuál es el perímetro y cuál es el área del cuadrilátero ACOF?
¿Cuál el área del cuadrilátero BCDO?
SOLUCION
AB + BC = 51 cm
AB = BO
1
2
(BO . BC ) = 270cm2
BC = 51cm - AB
B0 (51cm - BO) = 540cn2
- (BO)2 + 51cm . (BO) - 540cm2 = 0
63
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
BO =
51+√512 −4.540
−2
= 36
BO =
51− √512 −4.540
−2
= 15
CO = √362 + 152 = √1296 + 225 = √1521 = 39
per (ACOF) = AC + CO + OF + FA = 51cm + 39cm + 15cm + 15cm = 120cm
1
area (ACOF) = 2 (AC + FO) . BO =
1
2
area (BCDO) = (CD + BC) . BC =
1
(51cm + 15cm) . 15cm = 495cm2
2
1
(39cm + 15cm) . 36cm = 972cm2
2
97. El arco CD es una semicircunferencia de 7 cm de diámetro.
El paralelogramo ABCD tiene 84cm2 de área.
Si se traza la recta que pasa por C y es perpendicular a AB, esa recta corta al segmento AB en su
punto medio.
¿Cuál es el perímetro de la figura rayada?
SOLUCION
CD = 7cm
E ∈ BA
EA = BE
area (ABCD) = AB . CD = 84cm2
𝜋
area semicirculo CD = 4 (CD)2
1
7
L = . D ⇒ 2 L = 2 𝜋 cm
CD =
84
7
cm = 12cm
7
49
BC = √(2 𝑐𝑚)2 + (12𝑐𝑚)2 = √ 4 𝑐𝑚2 + 144𝑐𝑚2 = √
Per fig = 2 .
25
2
7
625
𝑐𝑚2
4
=
25
2
cm
𝜋
cm + 7cm + 2 . 𝜋 cm = 25cm + 7 (1 + 2 ) cm
98. En una cuadrícula de 5 filas y 3 columnas se quieren pintar de azul 6 cuadraditos de modo que, en
cada columna haya exactamente 2 pintados y en cada fila haya al menos uno pintado.
64
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
¿De cuántas maneras puede hacerse?
SOLUCION
Llamo α a las combinaciones que puedo hacer con los elementos de la columna 1 tomando 2
elementos:
AD AG
AM
AJ
DG
𝛼→
DM GJ GM JM
DJ
De la misma manera trabajo con los elementos de la columna 2 y queda:
BE BH BK
BN
EH
𝛽→
EK EN
HK HN KN
Con 𝛾 obtengo lo mismo de la columna 3
CF CI
CL CO FI
𝛾→
FL FO IL
IO
LO
Si los agrupo, queda:
1
2
3
4
5
6
AJ
AM DG DJ
7
8
10
𝛼
AD AG
𝛽
BE
BH BK BN
EH EK EN
HK HN
KN
𝛾
CF
CI
FI
IL
LO
CL
CO
FL
DM GJ
9
FO
GM JM
IO
No puedo elegir dos columnas y dos filas iguales a la vez.
Ejemplo −→ α1 β1
Si por ejemplo tomamos α1 β2 los podemos combinar con los γ distintos de 1 y 2
A α1 lo combino con β2....,10 (as obtengo 90 casos).
Si procedo de igual manera con todas las variables, obtengo 90 . 3 = 270 combinaciones.
A cada una le corresponde 8 variantes de su grupo opuesto.
En total obtengo 270 . 8 = 2160 combinaciones.
99. Agustín, Bruno, Carlos, Diego, Ezequiel y Federico son coleccionistas de cuadros y dos de ellos son
hermanos.
65
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Un día fueron juntos a una exposición y compraron de la siguiente manera: Agustín compró 1 cuadro,
Bruno compró 2, Carlos 3, Diego 4, Ezequiel 5 y Federico 6.
Los dos hermanos pagaron igual cantidad de dinero por cada uno de los cuadros que compraron.
Los demás del grupo pagaron el doble por cada cuadro de los que pagaron los hermanos.
En total pagaron $100000.
El precio de cada cuadro era un número entero de pesos.
¿Quiénes son hermanos?
Explica por qué.
SOLUCION
A
A
−B
+ 2B
−C
+ 3C
−D
+ 4D
−E
+ 5E
−F
+ 6F
x + y = 21 =⇒ y = 21 - x
xz + y . 2z = 100000
xz + (21 - x) . 2z = 100000
xz - 4xz + 42z = 100000
42z - xz = 100000
(42 - x) . z = 100000
Casos posibles:
Elijo el caso (x , z) = (10 , 3125) porque un hermano tenía 6 cuadros y el otro 4.
O sea los hermanos son D y F.
Cada uno pagó $3125 por cuadro
,
Los otros cuadros valían 2 . $3125 = $6250
100. En el Súper, Esteban compra pescado fresco, lácteos y productos congelados.
Esteban calcula que en productos congelados gasta el doble que en lácteos y que en total debe pagar
$271.
Cuando llega a la caja sólo le cobran $249,15 porque hay un descuento del 5 % en lácteos y un
descuento del 15 % en pescado fresco.
Sin los descuentos, ¿cuánto pagaría por el pescado fresco y cuánto por los lácteos?
66
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCION
x −→ pescado fresco
y −→ lácteos
z −→ pescado congelado
total −→ $271
z = 2y
Planteamos los siguientes sistemas de ecuaciones equivalentes:
𝑥
0,85𝑥
+
𝑦 + 𝑧
+ 0,95𝑦 + 𝑧
= 271
= 249,15
semejante a:
𝑥
17
𝑥
20
+
𝑦
+ 2𝑦
19
+
𝑦 + 2𝑦
20
= 271
= 249,15
y a:
17𝑥
𝑥
+ 59𝑦 = 4983
+ 3𝑦 = 271
Calculando determinantes:
17 59
∆=|
| = -8
1
3
∆𝑥 −1040
4983 59
∆𝑥 = |
| = -1040 ⇒ x = ∆ = −8 = 130
271
3
∆𝑦 −376
17 4983
∆𝑦 = |
| = -376 ⇒ x = ∆ = −8 = 47
1
271
z = 2y = 2 , 47 = 94
(x , y , z) = (130 , 47 , 94)
101. Juan sumó 99 números impares consecutivos y obtuvo como resultado 12375.
¿Cuál es el mayor de los números que sumó Juan?
Por ejemplo: 5 y 7 son dos impares consecutivos; 37; 39; 41 y 43 son cuatro impares consecutivos.
SOLUCION
total = 12375 −→ 99 impares consecutivos
67
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
nro. central =
12375
99
= 125
nro. mayor = 125 + 2 * 49 = 223
102. Un comerciante compró tres artículos por un total de $ 440 y después los vendió y obtuvo una ganancia
del 30 %.
Uno de los artículos le dio una ganancia del 20 %, otro una ganancia del 25 % y el tercero una ganancia
del 50 %. Lo que pagó por el artículo que le dio menor porcentaje de ganancia es igual a la suma de los
precios de venta de los otros dos artículos.
¿Cuánto pagó el comerciante por cada uno de los tres artículos?
SOLUCION
A + B + C = $440
G = 30 % . $440 = $132
A −→ 20 %
B −→ 25 %
C −→ 50 %
5
3
A=4 B+2 C
6
5
3
A + 4 B + 2 C = $572
5
6 5
3
5
3
( B + 2 C) + 4 B + 2 C = $572
5 4
3
9
5
3
B + C + B + C = $572
2
5
4
2
3 5
9
3
(2 +4 ) B + ( 5 + 2 )C = $572
11
33
55𝐵+66𝐶
B +10 C = 572 ⇒ 20 = $572
4
5B + 6C = $1040
Por otro lado:
A + B + C = $440
5
4
B + C +B + C = $440
3
2
9
4
B + 2 C = $440 ⇒ 9B + 10C = $1760
5
Si agrupo las dos ecuaciones, me queda:
9𝐵
5𝐵
+ 10𝐶 = $1760
+ 6𝐶 = $1040
9 10
∆=|
|=4
5 6
∆𝐵 = |
∆𝐵 160
1760 10
| = 160 ⇒ B = ∆ = 4 = 40
1040 6
68
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
∆𝐶 = |
∆𝐶 9360
9 1760
| = 9360 ⇒ 𝐶 = ∆ = 4 = 140
5 1040
5
3
A=4 B+2 C=
5
4
3
. 40 + 2 . 140 = 50 + 210 = 260
(A , B , C ) = ($260 , $40 , $140)
103. En la farmacia compro remedios y artículos de perfumería.
Por los remedios hacen el 60 % de descuento.
Por los artículos de perfumería hacen el 20 % de descuento.
Con el descuento pago, en total, $52,60.
Sin el descuento deber a pagar, en total, $105.
¿Cuál es el precio de los remedios sin descuento?
SOLUCION
R −→ 60 % desc.
P −→ 20 % desc.
0,8P + 0,4R = $52,60
4
5
𝑃 + 𝑅 = $105
4
2
2
⌉ ⇒ ( $105 - R ) + R = $52,60
5
5
𝑃 + 5 𝑅 = $52,60
P = $105 - R
4
2
$84 - 5 R + 5 R = $52,60
3
5
$84 - $52,60 = 5 R ⇒ R = 2 . $31,40 = $78,50
P = $105 - $78,50 = $26,50
104. Usando algunos (o todos) los dígitos de la lista: 4 - 5 - 6 - 7 - 9 una o más veces, hay que armar dos
números de tres cifras de modo que cada número no tenga cifras repetidas y la suma de los dos
números sea múltiplo de 9.
¿Cuántas soluciones se pueden armar?
Explica por qué.
Observación: No importe el orden en que se suman los números.
SOLUCION
A
456
B
457
C
459
D
465
E
467
F
469
G
475
H
476
I
479
J
495
K
496
L
497
546
547
549
564
567
569
574
576
579
594
596
597
645
647
649
654
657
659
674
675
679
694
695
697
745
746
749
754
756
759
764
765
769
794
795
796
945
946
947
954
956
957
964
965
967
974
975
976
69
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
1
Agrupo a los múltiplos de 9 (si los sumo de a dos obtengo 2 . 12 . 11 casos distintos)
Elijo a los otros múltiplos de 3 y formo dos grupos:
A −→ los que suman 15 −→ 456 465 546 564 645 654
B −→ los que suman 21 −→ 579 597 759 795 957 975
A cada uno del grupo A lo puedo sumar con uno del grupo B y obtengo 62= 36 sumas.
A los demás los reagrupo de acuerdo a la sumatoria de sus dígitos:
16 −→ 457 475 547 574 745 754 −→ 6 casos
17 −→ 467 476 647 674 746 764 −→ 6 casos
19 −→ 469 496 649 694
946
964
−→ 6 casos
20 −→ 479 497 569 596 659 695 −→ 12 casos
749 794 947 956 965 974
22 −→ 679 697 769 796 967 976 −→ 6 casos
A los del grupo 16 los puedo sumar con los del grupo 20 y obtengo 12 . 6 = 72 sumas.
A los del grupo 17 los sumo con los del grupo 19 y obtengo 62 = 36 sumas.
Descarto a los que suman 22
En total puedo obtener:
66 casos + 36 casos + 72 casos + 36 casos = 210 sumas.
105. Cinco chicas y cinco chicos van a un baile.
En el grupo, dos de las chicas (que no son hermanas) van, cada una, con sus dos hermanos varones.
Para el primer baile, que es un tango, ninguna de las chicas puede formar pareja con ninguno de sus
hermanos.
De cuántas maneras se pueden armar las cinco parejas para el primer baile? SOLUCIO
5 chicas −→ (AAC,..., A5)
5 chicos −→ (O1,... , O5)
A1,A2 hermanas de O1,O2
Posibles parejas:
(A1,O2), (A1,O3), (A1,O4), (A1,O5)
(A2,O1), (A2,O3), (A2,O4), (A2,O5)
(A3,O1), (A3,O2), (A3,O3), ( A3, O4), (A3,O5)
(A4,O1), (A4,O2), (A4,O3), ( A4, O4), (A4,O5)
(A5,O1), (A5,O2), (A5,O3), ( A5, O4), (A5,O5)
A1−→ 4 parejas
70
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
A2−→ 4 parejas
A3−→5 parejas
A4−→5 parejas
A5−→5 parejas
En total se forman 23 parejas
106. El triángulo ABC es rectángulo en A.
Con diámetro sobre cada lado se dibuja un semicírculo.
El semicírculo dibujado sobre la hipotenusa tiene área de 1250 𝜋 cm2
El semicírculo dibujado sobre el cateto AC tiene área de 800 𝜋 cm2
¿Cuál es el área del triángulo ABC?
SOLUCION
1
25
S = 2 𝜋 r2 ⇒ r = √ 𝜋
1
2r = BC ⇒ 2 BC = √2 . 1250 cm = 50cm ⇒ BC = 100cm
1
2
1
2
AC = √2 . 800 cm = 40cm ⇒ AC = 80cm
AB = √(50𝑐𝑚)2 − (40𝑐𝑚)2 = √2500𝑐𝑚2 − 1600𝑐𝑚2 = √900𝑐𝑚2 = = 30cm ⇒ AB = 60cm
1
1
area x = 2 𝜋r2 = 2 𝜋(30cm)2 = 450𝜋 cm2
1
1
area (ABC) = 2 (AB . AC) = 2 (60cm . 40cm) =1200cm2
107. El año pasado, el número de alumnos del turno mañana era una vez y media el número de
alumnos del turno tarde.
Este año, el total de alumnos aumentó un 20 %, del cual la décima parte corresponde al turno tarde.
¿En qué porcentaje aumentó el número de alumnos del turno mañana?
SOLUCION
3
TM = 2 TT
3
5
TE = TM + TT = 2 TT + T T = 2 TT
1
5
6
5
TE → 20% → (1 + ) TE = TE
1
50
TT → 2% → (1 +
6
51
) TE =
51
TT
50
1
9
TM = 5 TE - 50 TT = 50 (60 TE – 51 TT) = 50 TE = 18% TE
TM + TT = 100 %
3
TM = 2 TT
3
TT
2
5
+ TT = 2 TT = 100% ⇒ TT = 40% ⇒ TM = 60%
Con respecto al año anterior:
71
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
9
10
1
(
10
60% + (
. 20% ) = 78% - TM
40% +
. 20% ) = 42% - TT
En referencia al año actual:
120 % : 100 % :: 42 % : x
x=
100 .42
120
% = 35% → TT bajó 5%
120 % : 100 % :: 78 % : x
x=
100 .78
120
% = 65% → TM subió 5%
108. Martín fue a cobrar un cheque al banco.
En el cheque la cantidad de centavos era el triple de la cantidad de pesos.
El cajero se equivocó al pagarle el cheque.
Le pagó en pesos la cantidad que debía darle en centavos y en centavos lo que debía darle en pesos.
Martín tomó el dinero, gastó $ 14,25 y entonces se dio cuenta de que ahora tenía el doble de lo que
el cajero deber a haberle dado por el cheque.
¿De cuánto era el cheque?
SOLUCION
cheque −→ 3x + x cent
1
6
3x + 100 x - $14,25 = 2x + 100 x
3x + x - (2x +
3x
1
+ 100
x ) = $14,25
x = $14,25 =⇒ x = $
1425
95
= $15
109. Utilizando todos o algunos de los dígitos 0 1 3 4 6 7 se quieren armar números que tengan todas
sus cifras distintas, sean múltiplos de 4 y múltiplos de 3.
¿Cuántos de esos números se pueden armar?
Explica cómo los contaste.
SOLUCION
36 60 360
1704 4716 1740 1764 1476
7104 7416 7140 7164 4176
10476 40176 14076 41076
40716 47016 70416 74016
10764 70164 17064 71064
76104 71604 67104 61704 16704 17604
73104 71304 37104 31704 13704 17304
72
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
34716
14736
73140
76140
13764
13476
37416
17436
71340
71640
17364
14376
43716
41736
37140
67140
31764
31476
47316
47136
31740
61740
37164
34176
73416
71436
13740
16740
71364
41376
74316
74136
17340
17640
73164
43176
637140 367140 736140 763140 673140 3766140
437160 347160 734160 743160 473160 374160
617340 167340 716340 761340 671340 176340
417360 147360 714360 741360 471360 174160
713460 731460 371460 173460 317460 137460
317640 137640 713640 731640 371640 173640
316740 136740 613740 631740 361740 163740
314760 134760 413760 431760 341760 143760
713604 173604 731604 137604 317604 371604
716304 176304 761304 167304 617304 671304
367104 376104 637104 673104 763104 736104
136704 163704 316704 361704 613704 631704
437016 417036 137064 134076
473016 471036 173064 143076
374016 147036 317064 314076
347016 174036 371064 341076
734016 714036 713064 413076
743016 741036 731064 431076
470316 740136 730164 410376
740316 470136 370164 140376
370416 170436 170364 430176
730416 710436 710364 340176
340716 410736 310764 130476
430716 140736 130764 310476
407316 407136 307164 103476
704316 704136 703164 301476
307416 107436 701364 304176
703416 701436 107364 401376
304716 104736 301764 104376
73
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
403716 401736 103764 403176
casos posibles = (nros < 1000) + (nros de 4 cifras) + (nros de 5 cifras) + (nros de 6 cifras) + (nros de 6
cifras) + (nros de 6 cifras) = 3 + 10 + 60 + 48 + 24 + 24 + 24 + 24 = 217 nros
En los nros de 6 cifras contamos:
el 0 como u −→ 48 en total
el 0 como d −→ 24 en total
el 0 como c −→24 en total
el 0 como um −→ 24 en total
el 0 como dm −→ 24 en total
110. La sala del teatro tiene 240 asientos.
En la función del domingo todosólos asientos estaban ocupados.
Las entradas cuestan $12 para mayores y $8 para menores, los invitados no pagan.
Por venta de entradas para la función del domingo ingresaron $2640.
¿Cuántos mayores, cuántos menores y cuántos invitados hubo?
Da todas las posibilidades
SOLUCION
t = 240a
ma −→ $12
me −→ $8
i −→ gratis
12𝑥 + 8𝑦
𝑥
+ 𝑦 +𝑧
3𝑥 + 2𝑦
𝑧
= 240 − 𝑥
= $2640
= $240
= $660
− 𝑦
Los casos posibles son:
x
y
z
180
60
0
220
0
20
200
30
10
210
15
15
190
45
5
111. Se venden 140 naranjas, una parte ganando el 30 % y el resto perdiendo el 20 %.
Si al nal no se gana ni se pierde, ¿cuántas naranjas se vendieron con ganancia?
74
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
SOLUCION
140 n −→ +30 % −→ x
140 n −→ -20 % −→ y
x + y = 140n
13
10
8
x + 10 y = 140n
13
8
x + y = 10 x + 10 y
3
10
2
2
x - 10 y = 0 =⇒ 3x - 2y = 0 =⇒ x = 3 y
𝑥
3𝑥
+ 𝑦 = 140
− 2𝑦 =
0
1 1
∆=|
| = -5
3 −2
∆𝑥 = |
∆𝑥 −280
140 1
| = -280 ⇒ x = ∆ = −5 = 56
0
−2
∆𝑦 −420
1 140
∆𝑦 = |
| = -420 ⇒ x = ∆ = −5 = 84
3
0
(x , y) = (56 , 84)
112. Una línea aérea ofrece la siguiente promoción para jóvenes y ancianos.
El precio del pasaje se reduce a la mitad para los menores de 25 años y a la tercera parte para los
mayores de 65 años.
En el primer vuelo sólo se ocupan las dos terceras partes del avión.
Se venden 280 pasajes; se recaudan $ 153.125.
En el segundo vuelo viajan el doble de ancianos y la misma cantidad de jóvenes y de adultos que en el
primer vuelo; ocupan las tres cuartas partes del avión.
En el tercer vuelo viajan el doble de adultos del primer vuelo y la misma cantidad de jóvenes y de
ancianos que en el primer vuelo; en el avión no quedan asientos vacíos.
¿Cuántos pasajeros de cada clase hubo en el primer vuelo?
¿Cuál es el precio de un pasaje de tarifa normal?
SOLUCION
me −→ 50 % tarifa −→ x
1
ma −→ 3 tarifa −→ y
75
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
ad −→ tarifa normal −→ z
2
3
280p −→ t
3
xp −→ t =⇒ x = 2 . 280p = 420p
280p recaudaron $153125
𝑥
𝑥
𝑥
+ 𝑦 +
+ 2𝑦 +
+ 𝑦 +
𝑧
𝑧
2𝑧
= 280
= 315
= 420
1 1 1
∆ = |1 2 1| = 1
1 1 2
280 1 1
∆𝑥
105
∆𝑥 = |315 2 1| = 105 ⇒ x = ∆ = 1 = 105
420 1 2
1 280 1
∆𝑦
35
∆𝑦 = |1 315 1| = 35 ⇒ y = ∆ = 1 = 35
1 420 2
1 1
∆𝑧 = |1 2
1 1
𝑡
280
∆𝑧
140
315| = 140 ⇒ z = ∆ = 1 =140
420
𝑡
3
105 . 2 + 35 . 3 + 140 t = 35 (2 t +
3
t (2 +
𝑡
6
1
3
𝑡
3
+ 4t) = $153125
+ 4) = $ 4375
(9 + 2 + 24) =
35
6
6
t = $4375 ⇒ t = 35 . $4375 = $750
tad = $750
tma = $250
tme = $375
113. Dos jarras idénticas se llenan con café y leche.
En la primera jarra hay 3/5 partes de leche, el resto es café.
En la segunda jarra hay 3/4 partes de leche, el resto es café.
De la primera jarra se consume la tercera parte y se completa con la mezcla de la segunda jarra.
¿Cuál es ahora el porcentaje de café en la primera jarra?
SOLUCION
3
2
1
jarra 1 →( 5 leche + 5 café ) - 3
76
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
3
1
jarra 2 →( 4 leche + 4 café )
En la jarra 1 queda:
2 3
.
3 5
2 2
3 5
leche + .
2
5
café = leche +
4
15
café
1
Paso 3 de la segunda jarra a la primera y queda:
2
3
1
4
1
1
13
7
(6 + 4 - 3 ) leche + ( 15 + 4 - 3 ) café = 20 leche + 20 café
20
20
→ 100%
7
20
→x=
100% .
20
20
7
20
= 35%
Ahora el porcentaje de café de la primera jarra es el 35 %.
114. Un fabricante de agua saborizada produce una de sabor naranja que contiene 5 % de jugo de
naranja.
Una nueva reglamentación exige que toda agua saborizada tenga el 10 % de jugo de fruta.
El fabricante tiene 900 litros de agua sabor naranja ya preparados, ¿cuánto jugo de naranja tiene que
agregarle para cumplir con la nueva reglamentación?
SOLUCION
5 % −→ 900l
100 % −→ 900l
1
5 % −→ x =⇒ x = 100% . (900l . 5 %) = 45l
900 l −→ 45ln −→ 855 la
Con la nueva composición:
900l −→ 90ln −→ 810la
810 la −→ 90 ln
1
855 la −→ x = 85𝑙 (855 la . 90ln) = 95 ln
necesito −→ x = 95 ln
tengo −→ 45 ln
me faltan −→ 50 ln
115. Un automovilista va de A hasta B, distantes 240 km, a velocidad constante.
Al regreso hace la cuarta parte del camino a la misma velocidad que llevaba a la ida y en el resto del
camino, reduce su velocidad a la mitad.
Si en el viaje de regreso tarda 4 horas y 40 minutos, a cuántos kilómetros por hora iba a la ida?
SOLUCION
𝑒
Si v = cte =⇒ e = v . t =⇒ v = 𝑡
77
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
regreso −→ 4hs 40 min
60km −→ v =⇒ 60km = v . t1
𝑣
𝑣
180 km → 2 ⇒ 180 km = 2 . t2
1 𝑣
𝑣
t1 + t2 = 4hs 40 min = 280 min v. t1 = 3 (2 . t2) ⇒ 3vt1 = 2 t2 ⇒ t2 = 6t1
t1 + 6t1 = 7t1 = 280 min =⇒ t1 = 40 min
60km −→ 40 min
1
x km −→ 60 min =⇒ x = 40 𝑚𝑖𝑛 .60km . 60 min = 90km
v = 90
𝑘𝑚
ℎ
116. Se quieren pintar los 6 triángulos en que está partida la figura utilizando los 3 colores: azul, rojo y
verde de modo que los triángulos que tienen un lado común no sean del mismo color.
Indica de qué maneras puede hacerse. ¿Cuántas son?
SOLUCION
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
2
R
R
V
V
R
R
V
V
R
R
A
A
A
A
R
R
3
A
A
A
A
A
A
A
A
V
V
V
V
V
V
V
V
4
A
A
A
A
V
V
V
V
A
A
A
A
V
V
V
V
5
V
R
V
R
R
A
A
R
V
A
A
V
A
R
A
R
6
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
2
A
A
R
R
A
A
R
R
A
A
V
V
V
V
A
A
3
V
V
V
V
V
V
V
V
R
R
R
R
R
R
R
R
4
V
V
V
V
R
R
R
R
V
V
V
V
R
R
R
R
5
R
A
R
A
A
V
V
A
R
V
V
R
V
A
V
A
6
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
1
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
2
V
V
A
A
V
V
A
A
V
V
R
R
R
R
V
V
3
R
R
R
R
R
R
R
R
A
A
A
A
A
A
A
A
4
R
R
R
R
A
A
A
A
R
R
R
R
A
A
A
A
117. En la escuela, en séptimo grado hay 7 chicos menos que en sexto.
Este lunes, el 30 % del total de los chicos de quinto, sexto y séptimo, estuvieron con gripe.
78
5
A
V
A
V
V
R
V
R
A
R
A
R
R
V
R
V
6
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
SOLUCIONES OMÑ – NIVEL 3
Hubo 33 enfermos en total.
Estuvieron enfermos el 40 % de los chicos de quinto, el 25 % de los chicos de sexto; en séptimo grado
hubo 3 enfermos menos que en sexto.
¿Cuántos chicos hay en cada grado?
SOLUCION
5º −→ 40 %
6º −→ 25 %
5º −→ 6º - 3a
30 % −→ 33a
100 % −→ x =
33 𝑎 .100
30
= 110a
a + b + c = 110a
Estuvieron enfermos:
2
5
1
1
a + 4 b + ( 4 b – 3) = 33
c=b-7
Queda:
a + 2b = 117
4a + 5b = 360
Resolviendo:
1 2
∆=|
| = -3
4 5
∆𝑎 −135
117 2
∆𝑎 = |
| = -135 ⇒ a = ∆ = −3 = 45
360 5
1
∆𝑏 = |
4
∆𝑏 −108
117
| = - 108 ⇒ b = ∆ = −3 = 36
360
c = b - 7 = 36 - 7 = 29
(a , b , c) = (45 , 36 , 29)
79