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Álgebra Lineal III: Sistemas de ecuaciones lineales: Definición y
solución.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
División de Ingenierı́as, Campus Irapuato-Salamanca
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
1
Sistemas de ecuaciones lineales.
En esta sección, se introducirán las definiciones necesarias para analizar los sistemas de ecuaciones lineales.
Definición de una ecuación lineal. Una ecuación lineal en un campo K es una ecuación de la
forma
a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a n x n = b1
donde a1 , a2 , · · · , an ∈ K se denominan los coeficientes de la ecuación y b1 ∈ K se denomina el
término independiente, si el término independiente
b1 = 0,
la ecuación lineal se denomina homogenea. En caso contrario, es decir, si
b1 6= 0,
la ecuación lineal se denomina no homogenea. Además, se supone que x1 , x2 , · · · , xn ∈ K, estos
valores se conocen como las incógnitas de la ecuación lineal. El conjunto solución de una ecuación lineal,
denominado CS , se define como
CS = {(x1 , x2 , · · · , xn )|a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ≡ b1 } .
Una ecuación lineal de la forma
0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = 0,
se denomina redundante porque cualquier (x1 , x2 , · · · , xn ) satisface la ecuación. Por el contrario, una
ecuación lineal de la forma
0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = b1
con
b1 6= 0,
se denomina inconsistente porque ningún (x1 , x2 , · · · , xn ) satisface la ecuación.
Definición de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas no homogeneo, en un campo K, es una expresión dada por la ecuación (1)
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn
=
b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn
··· ··· ··· ···
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn
=
=
=
b2
·
bm
1
(1)
donde aij ∈ K ∀i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n se denominan los coeficientes del sistema de ecuaciones,
y bi ∈ K ∀i = 1, 2, . . . , m se denominan los términos independientes del sistema de ecuaciones. Si
bi = 0, ∀ i = 1, 2, . . . , m el sistema de ecuaciones se denomina homogeneo. En caso contrario, es decir,
si bi 6= 0 para algún valor de i = 1, 2, . . . , m, el sistema de ecuaciones se denomina no homogeneo.
Finalmente, las incógnitas del sistema de ecuaciones son x1 , x2 , . . . , xn ∈ K y, como se indica, pertenecen
al campo K. En nuestro caso, el campo será casi exclusivamente el campo de los números reales R, con
algunos excursiones al campo de los números complejos C.
El conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales, denominado CS , se define como


a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn ≡ b1 





a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn ≡ b2
CS = (x1 , x2 , · · · , xn )

··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ≡ · 




am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn ≡ bm
Si se denomina CSi el conjunto solución de la i-ésima ecuación lineal del sistema de ecuaciones dado por
la ecuación (1), se tiene que
CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =
m
\
(2)
CSi .
i=1
Finalmente, el sistema de ecuaciones lineales dado por
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn
=
0
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn
··· ··· ···
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn
=
=
=
0
·
0
en el cual todas los términos independientes se han hecho iguales a 0, se conoce como el sistema de
ecuaciones homogeneo asociado al sistema de ecuaciones lineales dado por la ecuación (1).
El objetivo del resto de estas notas es encontrar el conjunto solución de un sistema de ecuaciones
lineales arbitrario. Empezar un curso de álgebra lineal con este tema tiene varias razones:
1. Un sin número de tareas dentro del álgebra lineal requieren precisamente de resolver un sistema de
ecuaciones lineales.
2. Este tema permite introducir a un nivel elemental el concepto de matrices, uno de los objetos de
estudio del álgebra lineal.
3. Las ecuaciones lineales tienen una interpretación geométrica muy sencilla en los espacios Euclideos
de dimensión dos, el plano, y dimensión tres, el espacio. Estas interpretaciones permiten intuir como
es el comportamiento de sistemas de ecuaciones con mas de tres variables, donde una interpretación
geométrica ya no es posible.
2
Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.
En esta sección se introducirán objetos conocidos como matrices que, en esta etapa del curso, nos permitirán tratar de manera un poco más abstracta a los sistemas de ecuaciones lineales eliminando toda
referencia a las incógnitas del sistema. El sistema de ecuaciones, dado por la ecuación (1), puede escribirse
en forma matricial como


 

a11 a12 a13 · · · a1n
x1
b1
 a21 a22 a23 · · · a2n   x2   b2 


=

(3)
 ·
·
·
·
·  ·   · 
am1 am2 am3 · · · amn
xn
bm
2
La matriz1 A, definida como

a11
 a21
A=
 ·
am1
a12
a22
·
am2
a13
a23
·
am3
···
···
·
···

a1n
a2n 

· 
amn
se conoce como la matriz de coeficientes del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuación
(1), la matrix Ab , definida como


a11 a12 a13 · · · a1n b1
 a21 a22 a23 · · · a2n b2 

Ab = 
 ·

·
·
·
·
am1 am2 am3 · · · amn bm
se conoce como la matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones dado por la ecuación (1).
En el resto de estas notas se mostrará como se puede encontrar el conjunto solución del sistema lineal de
ecuaciones dado por la ecuación (1) empleando exclusivamente las matrices de coeficientes y augmentada
del sistema.
3
Solución de un sistema lineal de ecuaciones.
Durante la educación media superior se estudian sistemas de ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas.
Allı́ se muestra que existen tres posibles métodos de solución de estos sistemas de ecuaciones:
1. Suma o resta de ecuaciones.
2. Sustitución de variables.
3. Igualación.
En estas notas se mostrará un método sistemático de solución basado en el método de suma o resta
de ecuaciones lineales. El método consiste en paulatinamente cambiar el sistema de ecuaciones lineales
original por otro más sencillo pero que tenga el mismo conjunto solución.
A continuación se prueba el resultado fundamental del método de solución de un sistema de ecuaciones
lineales.
Teorema. Considere el conjunto de m ecuaciones lineales en n incógnitas dado por la ecuación (1),
el conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales
CS = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSm =
m
\
CSk .
k=1
no se altera cuando se realizan las siguientes tres operaciones denominadas elementales:2
1. Se intercambian ecuaciones.
2. Se multiplica una ecuación por un elemento del campo diferente de 0.
1 Por
el momento, una matriz es simplemente un arreglo rectangular de números pertenecientes a un campo, casi siempre
el campo de los números reales, R.
2 Debe notarse que cada una de estas operaciones elementales conduce a una operación equivalente en las filas de la
matriz aumentada del sistema Ab . De manera más especı́fica: El intercambio de ecuaciones equivale al intercambio de
las filas correspondientes de la matriz aumentada, la multiplicación de una ecuación por un elemento del campo diferente
de 0 corresponde a la multiplicación de la fila correspondiente de la matriz aumentada por el mismo elemento del campo
diferente de 0. Finalmente, la suma del múltiplo de una ecuación a otra corresponde a la suma del mismo múltiplo de la
fila correspondiente a la primera ecuación a la fila correspondiente a la segunda ecuación.
3
3. Se suma el múltiplo de una ecuación a otra ecuación.
Prueba: La prueba se hará evidentemente en tres partes
1. Se intercambian las ecuaciones i y j. El conjunto solución del sistema original está dado por
CSo = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSm ,
mientras que el conjunto solución del sistema final, es decir aquel que se obtiene después del intercambio de ecuaciones, está dado por
CSf = CS1 ∩ CS2 ∩ · · · ∩ CSj ∩ · · · ∩ CSi ∩ · · · ∩ CSm .
Es, pues, suficiente probar que CSo = CSf . Este resultado se probará por doble inclusion; es decir,
probando que
CSo ⊂ CSf y CSf ⊂ CSo .
Considere
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSo ⇔ (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSk
∀k = 1, 2, · · · , m ⇔ (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSf
De esa manera se prueba el resultado.3
2. Se multiplica la ecuación i por un elemento del campo, también conocido como escalar, λ ∈ K tal
que λ 6= 0. La ecuación original i está dada por
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi
y su conjunto solución se denomina CSio , la ecuación que se obtiene después de multiplicar la
ecuación i por un escalar λ ∈ K, tal que λ 6= 0 está dada por
(λ ai1 )x1 + (λ ai2 ) x2 + (λ ai3 ) x3 + · · · + (λ ain ) xn = λ bi
y su conjunto solución se denomina CSif . Como en este caso, solo se manipula la i-ésima ecuación,
es suficiente probar que CSio = CSif . Nuevamente, este resultado se probará por doble inclusión;
es decir, probando que
CSio ⊂ CSif
y
CSif ⊂ CSio
Sea (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio entonces
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi
entonces
λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) ≡ (λbi ).
Por lo tanto
(λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ≡ (λbi )
y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSif . Se ha probado pues que CSio ⊂ CSif .
En la dirección contraria, sea (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSif entonces
(λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ≡ (λbi )
3 Una manera alternativa de probar este resultado consiste en invocar las leyes de Morgan que indican que la intersección
de conjuntos es conmutativa y asociativa.
4
puesto que λ 6= 0, existe un inverso multiplicativo en K, denominado λ−1 =
1
λ
tal que
λ−1 [(λai1 )x1 + (λai2 )x2 + (λai3 )x3 + · · · + (λain )xn ]
≡
λ−1 (λbi )
(λ−1 λ)ai1 x1 + (λ−1 λ)ai2 x2 + (λ−1 λ)ai3 x3 + · · · + (λ−1 λ)ain xn
≡
(λ−1 λ)bi
pero
λ−1 λ = 1,
donde 1 es el idéntico multiplicativo del campo, y 1k = k = k1 para cualquier elemento k ∈ K, por
lo tanto
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi
y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio . Se ha probado pues que CSif ⊂ CSio . La conjunción de estos dos
resultados parciales conduce a CSif = CSio .
3. Se suma un múltiplo de la ecuación i a la ecuación j. Las ecuaciones originales i y j están originalmente dadas por
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi
(4)
y
aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn = bj
(5)
y sus conjuntos solución se denominan CSio y CSjo . La ecuación que se obtiene después de sumar
λ veces la ecuación i a la ecuación j está dada por
(λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn = λbi + bj
(6)
y su conjunto solución se denomina CSλi+j . Como en este caso solo se manipulan las ecuaciones i
y j es suficiente probar que CSio ∩ CSjo = CSio ∩ CSλi+j .
Nuevamente, este resultado se probará por doble inclusión; es decir, probando que
CSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+j
y
CSio ∩ CSλi+j ⊂ CSio ∩ CSjo
Suponga que (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSjo entonces, (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈
CSjo , por lo tanto
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi
y
aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ≡ bj
Sin embargo, si se sustituye (x1 , x2 , · · · , xn ) en la ecuación (4), se tiene que
(λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn
=
λbi + bj
λai1 x1 + aj1 x1 + λai2 x2 + aj2 x2 + λai3 x3 + aj3 x3 + · · · + λain xn + ajn xn
λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn )
=
≡
λbi + bj
λbi + bj
Por lo tanto
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSλi+j
y
(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSλi+j .
Entonces, se probó que
CSio ∩ CSjo ⊂ CSio ∩ CSλi+j .
En la dirección contraria, suponga que (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSλi+j entonces, (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈
CSio y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSλi+j , por lo tanto
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ≡ bi
5
y
(λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn ≡ λbi + bj
Expandiendo y acomodando esta última ecuación, se tiene que
(λai1 + aj1 )x1 + (λai2 + aj2 )x2 + (λai3 + aj3 )x3 + · · · + (λain + ajn )xn
λai1 x1 + aj1 x1 + λai2 x2 + aj2 x2 + λai3 x3 + aj3 x3 + · · · + λain xn + ajn xn
≡
≡
λbi + bj
λbi + bj
λ(ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn ) + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn )
≡
λbi + bj(7)
Sin embargo, sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (6), se tiene que
λ bi + (aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ) ≡ λbi + bj
o
(aj1 x1 + aj2 x2 + aj3 x3 + · · · + ajn xn ) ≡ bj
Por lo tanto (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSoj y (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ CSio ∩ CSoj . Entonces se probó que
CSio ∩ CSλi+j ⊂ CSio ∩ CSoj .
La conjunción de estos dos resultados conduce a
CSio ∩ CSλi+j = CSio ∩ CSoj ,
y este resultado finaliza la prueba.
4
Ejemplos.
En esta sección se mostrarán algunos ejemplos de solución de sistemas de ecuaciones lineales:
4.1
Ejemplo 1.
Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales
2 x1 − 2 x2 + 2 x3
−3 x1 + 6 x2 + 0 x3
=
=
1,
−1,
1 x1 − 7 x2 + 10 x3
=
2.
(8)
La matriz aumentada del sistema lineal de ecuaciones está dada por


2 −2 2
1
0 −1 
Ab =  −3 6
1 −7 10 2
Si se suma a la segunda ecuación 32 de la primera ecuación y se suma a la tercera ecuación − 21 de la
primera ecuación, el sistema de ecuaciones se transforma en
2 x1 − 2 x2 + 2 x3
=
0 x1 + 3 x2 + 3 x3
=
0 x1 + 6 x2 + 9 x3
=
6
1
1
2
3
2
En términos de la matriz aumentada, el efecto de estas reducciones se obtiene de manera semejante. Es
decir, sumando 32 de la primera fila a la segunda fila y sumando − 21 de la primera fila a la tercera fila, de
esta manera, la matriz aumentada se reduce a


2 −2 2 1
Ab1 =  0 3 3 21 
0 6 9 32
En la etapa final, si se suma a la tercera ecuación −2 veces la segunda ecuación, se tiene que el sistema
de ecuaciones se reduce a
2 x1 − 2 x2 + 2 x3
=
0 x1 + 3 x2 + 3 x3
=
0 x1 + 0 x2 + 3 x3
=
1
1
2
1
2
(9)
En términos de la matriz aumentada, el efecto corresponde a sumar a la tercera fila −2 veces la
segunda fila, de esta manera, la matriz augmentada se reduce a


2 −2 2 | 1
(10)
Ab2 =  0 3 3 | 12 
0 0 3 | 12
Es importante señalar que puesto que durante este proceso se han empleado exclusivamente las operaciones elementales, el conjunto solución del sistema original, vea la ecuación (8), y el conjunto
solución del sistema final, vea la ecuación (9), coinciden.
Mas aún, el sistema final de ecuaciones, vea la ecuación (9), y la matriz aumentada, vea la ecuación
(10), tienen una forma muy simple conocida como escalonada o de modo mas formal como triangular
superior, todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos, y este sistema de ecuaciones
puede resolverse de manera muy sencilla por el método conocido como sustitución inversa. Este proceso
consiste en resolver la tercera ecuación para la incógnita x3 , sustituir este valor en la segunda ecuación,
del sistema, para resolver esta ecuación para la incógnita x2 . El proceso finaliza con la sustitución de x3
y x2 en la primera ecuación y la solución de esta ecuación para la incógnita x1 .
El conjunto solución del sistema lineal de ecuaciones está dado, en dos formas alternativas, por
1
1
1
1
= x1 = , x2 = 0, x3 =
.
, 0,
CS =
3
6
3
6
5
Representación de lı́neas y planos mediante vectores y ecuaciones lineales.
En esta sección se mostrará como representar lı́neas y planos en el espacio mediante dos diferentes
métodos:
1. Como combinaciones de vectores.
2. Como ecuaciones o sistemas de ecuaciones.
5.1
Representación de planos como combinaciones de vectores y como ecuaciones lineales.
Considere el espacio fı́sico tridimensional, formado por puntos, lı́neas, planos, etc. Si se selecciona un
origen arbitrario, los puntos están en una relación biunivoca, es decir inyectiva y sobreyectiva, con las
7
Figure 1: Punto P y sus coordenadas respecto al sistema coordenado.
Figure 2: Plano determinado por un punto P y dos vectores contenidos en el plano.
triadas ordenadas de números reales (x, y, z), vea la figura 1, que muestra un punto arbitrario y la triada
de números reales correspondiente.
Una manera muy sencilla de definir un plano, se muestra en la figura 2. Si se conoce un punto P y
dos vectores, que por comodidad se suponen unitarios, û, v̂, contenidos en el plano, todos los vectores de
posición de cualquier punto, digamos Q, contenido en el plano, está dado por
P Q = {~rQ | ~rQ = ~rP + λ û + µ v̂,
donde
λ, µ ∈ R} .
Sin embargo, existe otra manera de representar los vectores de posición de los puntos, digamos Q,
contenidos en el plano. Considere el plano mostrado en la figura 3, sea P y Q puntos contenidos en el
plano, y sea û, un vector, que por comodidad se supone unitario, que es perpendicular al plano. Suponga
que los vectores de posición de los puntos P y Q y el vector unitario û están dados por
~rP = (xP , yP , zP ) ~rQ = (x, y, z)
y
û = (ux , uy , uz ).
Entonces el vector ~rQ − ~rP que conecta el punto P con un punto arbitrario contenido en el plano,
digamos Q, está contenido en el plano, y es, por lo tanto, perpendicular al vector û, que es perpendicular
al plano. Es decir, la ecuación del plano está dado por
(~rP − ~rQ ) · û = 0
o
~rQ · û = ~rP · û.
Sustituyendo las coordenadas de los vectores, se tiene que
(x, y, z) · (ux , uy , uz )
ux x + uy y + uz z
(xP , yP , zP ) · (ux , uy , uz )
u x x P + u y y P + u z zP .
=
=
8
(11)
Figure 3: Plano determinado por un punto P y un vector perpendicular al plano.
Es importante darse cuenta que la ecuación (11) es una ecuación lineal en tres incógnitas, x, y, x. Entonces, se ha llegado a un resultado importante, un plano en el espacio fı́sico tridimensional, se representa
mediante una ecuación lineal en las coordenadas de los puntos. Note que el plano pasa por el origen
O, si y sólo si, la ecuación lineal es homogenea.
5.2
Ejemplo 1.
Considere la ecuación de un plano dada por
2 x − 2 y + 2 z = 1,
(12)
Esta ecuación puede expresarse, después de una redefinición de las incógnitas, como
2x1 − 2x2 + 2x3 = 1;
sin embargo, puesto que se busca una interpretacion geométrica de la ecuación se cambió el significado
de las incógnitas. Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) no forma parte del plano
representado por la ecuación (12), pues
2(0) − 2(0) + 2(0) = 0 6= 1.
La figura 4 muestra el plano representado por la ecuación (12). Esta figura verifica que el origen no forma
parte del plano.
5.3
Ejemplo 2.
Considere la ecuación de un plano dada por
x − 7y + 10z = 0,
(13)
Es evidente que el origen del sistema coordenado (0, 0, 0) forma parte del plano representado por la
ecuación (13), pues
(0) − 7(0) + 10(0) = 0.
La figura 5 muestra el plano representado por la ecuación (13). Esta figura verifica que el origen forma
parte del plano.
9
Figure 4: Plano representado por la ecuación (12).
Figure 5: Plano representado por la ecuación (13).
10
6
Determinación de los diferentes casos de solución de sistemas
de ecuaciones lineales.
En esta sección se analizarán los diferentes casos de solución, o ausencia de solución, de sistemas de
ecuaciones lineales. Mas aún, esos casos se interpretarán a la luz de la representación de ecuaciones
lineales como planos en un espacio fı́sico tridimensional. Para tal fı́n conviene clasificar las matrices
asociadas, a los sistemas de ecuaciones lineales, de acuerdo a las filas diferentes de cero que aparecen en
su forma escalonada previa a la posible solución del sistema por el método de sustitución inversa.
1. El número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada,
es mayor que el número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su
forma escalonada, del sistema de ecuaciones. En este caso, el sistema de ecuaciones tiene, al
menos, una ecuación lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones no tiene solución alguna
y el sistema de ecuaciones se denomina inconsistente.
2. El número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada,
es igual al número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma
escalonada, del sistema de ecuaciones.4 En este caso, el sistema de ecuaciones no tiene ninguna
ecuación lineal inconsistente. El sistema de ecuaciones si tiene, al menos, una solución y el
sistema de ecuaciones se denomina consistente. Además, este caso admite una clasificación
mas fina.
(a) Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es
igual al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un único
elemento. En otras palabras, la solución es única.
(b) Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es
menor al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un número
infinito de elementos. De manera mas especı́fica, el conjunto solución tiene tantas variables
libres como la diferencia entre el número de incógnitas y el número de filas diferente de cero
de la matriz augmentada, en su forma escalonada.
Estos resultados se encuentran resumidos en la figura 6; sin embargo, se debe enfatizar que no es, en
general, posible determinar el tipo de sistema y el número de soluciones sin encontrar primero la forma
escalonada de la matriz aumentada.
Un caso especial muy importante, que merece un análisis particular, es el de los sistemas de ecuaciones
homogeneos, en este caso, el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma
escalonada, es siempre igual al número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma
escalonada, del sistema de ecuaciones.5
Entonces, estos sistemas siempre tienen al menos una solución, denominada la trivial, y dada por
x1 = x2 = · · · = xn = 0.
(14)
Entonces, se tienen dos posibles casos
1. Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es igual al
número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un único elemento. En
otras palabras, la solución es única y es la trivial, dada por la ecuación (14).
2. Si el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, es menor
al número de incógnitas, el conjunto solución del sistema de ecuaciones tiene un número infinito
4 Cual es la razón por la cual el número de filas diferente de cero de la matriz augmentada, en su forma escalonada, no
puede ser menor que el número de filas diferente de cero de la matriz de coeficientes, en su forma escalonada, del sistema
de ecuaciones?
5 Cual es la razón de este resultado?
11
Figure 6: Resumen de los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y el número de soluciones.
12
de elementos. De manera mas especı́fica, el conjunto solución tiene tantas variables libres como
la diferencia entre el número de incógnitas y el número de filas diferente de cero de la matriz
augmentada, en su forma escalonada.
6.1
Ejemplo 3.
Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación
2x − 2y + 2z
−3 x + 6 y + z
=
=
1
−1
−6 x + 6 y − 6 z
=
4
Donde la matriz augmentada del sistema está dada por

2 −2 2 |
1 |
Ab =  −3 6
−6 6 −6 |
(15)

1
−1 
4
Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab , 32 veces la primera fila y añadiendo a la
tercera fila de la matriz augmentada, Ab , 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del
sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz está dada por


2 −2 2 | 1
Ab1 =  0 3 4 | 21 
0 0 0 | 7
Como puede observarse, la matriz de coeficientes A en su forma escalonada unicamente tiene 2 filas
diferente de cero, mientras que la matriz augmentada Ab1 en su forma escalonada tiene 3 filas diferente
de cero. El sistema de ecuaciones es inconsistente, y su conjunto solucion está dado por
CS = ∅.
Este resultado, puede verificarse rapidamente notando, que la tercera ecuación del sistema de ecuaciones,
en su forma escalonada, está dada por
0x + 0y + 0z = 7.
Esta es una ecuación lineal inconsistente, cuyo conjunto solución, CS3 está dado por
CS3 = ∅.
Una explicacion geomética de este resultado se muestra en la figura 7. Esta figura muestra los planos
asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (15). En particular, los planos asociados a
las ecuaciones 1 y 3 son paralelos, y estos se interesectan sólo en el infinito, recuerde que infinito no es
un número real. Es pues evidente que el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente y su conjunto
solución es CS = ∅.
6.2
Ejemplo 4.
Considere el sistema de ecuaciones lineales dadas por la ecuación
2x − 2y + 2z
=
1
−3 x + 6 y + z
−6 x + 6 y − 6 z
=
=
−1
−3
13
(16)
Figure 7: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 15.
Donde la matriz augmentada del sistema está dada por

2 −2 2 |
1 |
Ab =  −3 6
−6 6 −6 |

1
−1 
−3
Añadiendo a la segunda fila de la matriz augmentada, Ab , 32 veces la primera fila y añadiendo a la
tercera fila de la matriz augmentada, Ab , 3 veces la primera fila, se llega a la matriz augmentada del
sistema de ecuaciones en forma escalonada. Esta matriz está dada por


2 −2 2 | 1
Ab1 =  0 3 4 | 21 
0 0 0 | 0
Como puede observarse, tanto la matriz de coeficientes A como la matriz augmentada Ab en su forma
escalonada tiene 2 filas diferente de cero. Este resultado indica que el sistema de ecuaciones es consistente
y tiene solución. Mas aún, el número de filas diferente de cero, 2, es menor que el número de incógnitas,
3, de manera que el sistema tiene soluciones múltiples, de manera mas especı́fica, el conjunto solución
tiene una variable libre.
El proceso de solución inversa, conduce al siguiente conjunto solución
2 7 1 4
CS =
− z, − z, z | z ∈ R
3 3 6 3
Una explicacion geométrica de este resultado se muestra en la figura 8. Esta figura muestra los planos
asociados a cada una de las ecuaciones del sistema lineal (16). Note que la figura unicamente muestra 2
planos, la razón es que los planos asociados a las ecuaciones 1 y 3 son, además de paralelos, coincidentes.
El conjunto solución está representado geométricamente por la lı́nea que constituye la intersección de
ambos planos.
14
Figure 8: Dos vistas de los planos correspondientes al sistema de ecuaciones dado por la ecuación 16.
Figure 9: Flujos en una red.
6.3
Ejemplo 4.
a. Encuentre los patrones generales de los flujos de la red mostrada en la figura 9.
b. Suponiendo que los flujos ocurren en las direcciones indicadas, encuentre los flujos mı́nimos en las
ramas denotadas por x2 , x3 , x4 y x5 .6 .
Solución: Las ecuaciones asociadas a cada uno de los nodos de la red están dadas por
1. Nodo A
30 + x2 = 80 + x1
x1 − x2 = −50
Ecuación 1
x3 + x5 = x2 + x4
x2 − x3 + x4 − x5 = 0
Ecuación 3
2. Nodo B
3. Nodo C
100 + x6 = 40 + x5
x5 − x6 = 60
Ecuación 5
6 Este es el problema 13, de la sección 1.6 del libro Lay, D. [2012], Linear Algebra and its Applications, Fourth Edition,
Boston: Addison-Wesley
15
4. Nodo D
40 + x4 = 90 + x6
x4 − x6 = 50
Ecuación 4
5. Nodo E
60 + x1 = x3 + 20
x1 − x3 = −40
Ecuación 2
Además, se requiere que los flujos ocurran en la dirección indicada en la figura 9, se tiene como
condición
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0 x4 ≥ 0 x5 ≥ 0 x6 ≥ 0
El sistema de ecuaciones está dado en forma matricial por

 x1

1 −1 0 0 0
0

  x2
 1 0 −1 0 0
0
  x3

 0 1 −1 1 −1 0  
  x4

 0 0
0 1 0 −1  
 x5
0 0
0 0 1 −1
x6
La matriz aumentada está dada por






1
1
0
0
0
−1 0
0 −1
1 −1
0
0
0
0
0 0
0 0
1 −1
1 0
0 1



−50

  −40 

 
= 0 

 
  50 

60

0 −50
0 −40 

0
0 

−1 50 
−1 60
La primera etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la primera fila por
−1 y sumarla a la segunda fila, el resultado es


1 −1 0 0 0
0 −50
 0 1 −1 0 0
0
10 


 0 1 −1 1 −1 0
0 


 0 0
0 1 0 −1 50 
0 0
0 0 1 −1 60
La segunda etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la segunda fila por
−1 y sumarla a la tercera fila, el resultado es


1 −1 0 0 0
0 −50
 0 1 −1 0 0
0
10 


 0 0

0
1
−1
0
−10


 0 0
0 1 0 −1 50 
0 0
0 0 1 −1 60
La segunda etapa de diagonalización de la matriz aumentada requiere de multiplicar la tercera fila por
−1 y sumarla a la cuarta fila, el resultado es


1 −1 0 0 0
0 −50
 0 1 −1 0 0
0
10 


 0 0
0 1 −1 0 −10 


 0 0
0 0 1 −1 60 
0 0
0 0 1 −1 60
16
Es evidente que las dos últimas filas de la matriz aumentada son iguales; es decir, las dos últimas
ecuaciones son redundantes y una de ellas puede eliminarse. La matriz aumentada en su forma reducida
es


1 −1 0 0 0
0 −50
 0 1 −1 0 0
0
10 


 0 0
0 1 −1 0 −10 
0 0
0 0 1 −1 60
Puesto que el número de filas diferentes de cero de la matriz aumentada es igual al número de filas
diferentes de cero de la matriz de coeficientes, el sistema tiene solución. Mas aún, puesto que hay cuatro
filas diferentes de cero de la matriz de coeficientes y seis incógnitas, el sistema tiene soluciones múltiples
y dos variables libres. Las ecuaciones resultantes son
x1 − x2
=
−50
x2 − x3
x4 − x5
=
=
10
−10
x5 − x6
=
60
Como variables libres se seleccionarán x6 y x3 , note que no es posible seleccionar x6 y x5 . Las soluciones
están dadas por
x5
=
x6 + 60
x4
x2
x1
=
=
=
x5 − 10 = x6 + 60 − 10 = x6 + 50
x3 + 10
x2 − 50 = x3 + 10 − 50 = x3 − 40
El conjunto solución del sistema de ecuaciones está dada por
CS = {(x1 = x3 − 40, x2 = x3 + 10, x3 , x4 = x6 + 50, x5 = x6 + 60, x6 )|x3 , x6 ∈ R}
Por la condición de que todos los flujos deben ser mayores o iguales a cero, los flujos mı́nimos son
x6 = 0
6.4
x5 = 60
x4 = 50
x3 = 40
x2 = 50
x1 = 0.
Ejemplo 5.
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de los números complejos, C.
(3 + 5 i) z1 + (2 − 3 i) z2
=
4 − 3i
(−1 + 2 i) z1 + (5 + 4 i) z2
=
5 + 2i
Solución: Se mostrarán dos diferentes métodos de solución para estos sistemas de ecuaciones.
1. Primer método. En este primer método, el objetivo es escalonar el sistema sin descomponer los
números complejos, en sus componentes reales e imaginarios.
El primer paso consiste en multiplicar la primera ecuación por (−1 + 2 i) y multiplicar la segunda
ecuación −(3 + 5 i) y sumar término a término.
(−1 + 2 i)(3 + 5 i) z1 + (−1 + 2 i)(2 − 3 i) z2
−(3 + 5 i)(−1 + 2 i) z1 − (3 + 5 i)(5 + 4 i) z2
=
=
(−1 + 2 i)(4 − 3 i)
−(3 + 5 i)(5 + 2 i)
Se obtiene la ecuación
[(−1 + 2 i)(2 − 3 i) − (3 + 5 i)(5 + 4 i)] z2
=
(−1 + 2 i)(4 − 3 i) − (3 + 5 i)(5 + 2 i)
[−2 + 6 + 4 i + 3 i − 15 + 20 − 25 i − 12 i] z2
(9 − 30 i)z2
=
=
−4 + 6 + 8 i + 3 i − 15 + 10 − 6 i − 25 i
−3 − 20 i
17
Puede pensarse que el sistema se ha diagonalizado a
(3 + 5 i) z1 + (2 − 3 i) z2
(9 − 30 i)z2
4 − 3i
−3 − 20 i
=
=
El inverso multiplicativo de (9 − 30 i) está dado por
9 + 30 i
9 + 30 i
=
92 + (−30)2
981
Por lo tanto
z2 =
−27 + 600 − 180 i − 90 i
573 − 270 i
191
30
9 + 30 i
(−3 − 20 i) =
=
=
−
i
981
981
981
327 109
Sustituyendo este resultado en la primera ecuación, se tiene que
30
191
30
30
191
191
i
−
i =4−2
+3
+ −3 + 2
+3
(3 + 5 i) z1 = 4 − 3 i − (2 − 3 i)
327 109
327
109
109
327
1196
1308 − 382 + 270
−327 + 60 + 191
76
=
+
i=
−
i
327
109
327
109
El inverso multiplicativo de (3 + 5 i) está dado por
3 − 5i
3 − 5i
=
32 + (−5)2
34
Por lo tanto
z1
=
=
3 76
3 1196
76
5 76
3 − 5 i 1196
i=
+ −
−
−
−
34
327
109
34 327
34 109
34 109
816
−684 − 5980
1196 − 380
6664
+
i=
−
i=
(34)(109)
(34)(327)
(34)(109) (34)(327)
5 1196
i
34 327
24
196
−
i
109 327
2. Segundo método.
En este segundo método, el objetivo es descomponer los números complejos, en sus componentes
reales e imaginarios. Es decir
z 1 = a 1 + b1 i
z 2 = a 2 + b2 i
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones resulta
(3 + 5 i) (a1 + b1 i) + (2 − 3 i) (a2 + b2 i)
=
4 − 3i
(−1 + 2 i) (a1 + b1 i) + (5 + 4 i) (a2 + b2 i)
=
5 + 2i
Desarrollando el sistema, se tiene que
(3 a1 − 5 b1 + 2 a2 + 3 b2 ) + (3 b1 + 5 a1 + 2 b2 − 3 a2 ) i
(−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2 ) + (2 a1 − b1 + 5 b2 + 4 a2 ) i
=
=
4 − 3i
5 + 2i
Igualando las partes reales e imaginarias, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones en el campo de
los números reales R.
3 a 1 − 5 b 1 + 2 a 2 + 3 b2
3 b1 + 5 a 1 + 2 b2 − 3 a 2
=
=
4
−3
−a1 − 2 b1 + 5 a2 − 4 b2
2 a 1 − b1 + 5 b2 + 4 a 2
=
=
5
2
18
Reordenando el sistema se tiene que
a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b 2
=
−5
3 a 1 − 5 b1 + 2 a 2 + 3 b 2
5 a 1 + 3 b1 − 3 a 2 + 2 b 2
2 a 1 − b1 + 4 a 2 + 5 b2
=
=
=
4
−3
2
En la primera etapa de escalonamiento, se tiene que
a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2
11 b1 − 17 a2 + 9 b2
=
=
−5
−19
7 b1 − 22 a2 + 18 b2
5 b1 − 14 a2 + 3 b2
=
=
−22
−12
a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2
11 b1 − 17 a2 + 9 b2
123 a2 − 135 b2
=
=
=
−5
−19
109
69 a2 + 12 b2
=
37
En la segunda etapa de escalonamiento, se tiene que
En la etapa final de escalonamiento, se tiene que
a 1 + 2 b1 − 5 a 2 + 4 b2
=
−5
11 b1 − 17 a2 + 9 b2
123 a2 − 135 b2
=
=
−19
109
−3597 b2
=
990
Por lo tanto
b2
=
a2
=
b1
=
a1
=
990
30
=−
3597
109
30
109 − 135 109
7831
191
=
=
123
(109)(123)
327
30
−19 + 17 191
−
9(−
)
−19(327) + 17(191) + 27(30)
−2156
196
327
109
=
=
=−
11
(11)(327)
(11)(327)
327
191
30
−1635 + 392 + 955 + 360
72
24
196
)+5
− 4(−
)=
=
=
−5 − 2 (−
327
327
109
327
327
109
−
De manera que la solución está dada por
z 1 = a 1 + b1 i =
24
196
−
i
109 327
19
z 2 = a 2 + b2 i =
191
30
−
i
327 109