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MECANICA CLASICA I —— Tarea 3: Oscilaciones
8:15 pm, Jun 11, 2015
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE FISICA
TAREA # 3
MECANICA CLASICA I
OSCILACIONES
Prof. Terenzio Soldovieri C.
URL: http://www.cmc.org.ve/tsweb
e-mails: [email protected]; [email protected]; [email protected] (contacto messenger)
Texto guía: Thornton S. & Marion J. Classical Dynamics of particles and systems. 5th ed. Thomson
Brooks/cole, 2004.
Ultima actualización: jueves 11/06/15.
Indicaciones:
* Resuelva cada uno de los siguientes planteamientos marcados con plasmando en su hoja todos
y cada uno de los cálculos realizados, es decir, NO REALICE CALCULOS “DIRECTOS”. El resto de los
problemas queda como ejercitación y no deben ser anexados en la tarea a entregar.
* La tarea debe ser entregada en hojas tipo examen, a lápiz y sin carpeta. No tiene que anexar la
presente hoja ni reescribirla en su tarea. La tarea y el examen son inseparables, es decir, de faltar
uno de los dos, la calificación total será cero.
Puntuación: 10 puntos, los cuales serán sumados al evaluativo del capítulo 3.
Entrega: El día fijado para el examen del capítulo 3. Sin prórroga.
1. Partiendo del hecho de que , mostrar que para un oscilador armónico simple
5 2 2 donde ,., y 5 2 5 .
2. Un péndulo simple de longitud # oscila en un medio en el cual el amortiguamiento es proporcional
a la velocidad instantánea ( 3 . Si el medallón del péndulo pasa a través de la posición de
equilibrio en 2 con velocidad 3 , muestre que el ángulo que forma la cuerda del péndulo
con la vertical es,
3 2 ' 2
#
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donde , suponiendo que existe sub-amortiguamiento y que es pequeño. Tómese el
origen de un sistema de coordenadas Cartesianas como sistema de referencia de forma tal que éste
esté situado en el punto de soporte del péndulo, de forma tal que el eje 6 sea el vertical.
3. Un cilindro de peso 4 (ver figura 1) flota en un líquido de densidad de manera que su eje es per
pendicular a la superficie de éste. Si el área de su base es y es el empuje ejercido por el líquido,
mostrar que el período de oscilación del cilindro cuando es presionado un poco hacia abajo y luego
es soltado, viene dado por,
Figura (1): Problema 3.
)
4
4. Sea la masa . una masa suspendida por dos resortes idénticos de masa despreciable y de constante
de eleasticidad , (ver figura ??). En la posición de equilibrio ellos forman un ángulo con la horizontal
y tienen logitud - en dicha posición. Fuera de la posición de equilibrio el ángulo es .
Figura (2): Problema 4.
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a) Muestre que la ecuación del movimiento que se origina cuando la masa . es empujada hacia
abajo 6 y luego es soltada, viene dada por,
6 6 - ) donde ,..
b) y que puede ser escrita también como,
6 6 -
6 $
6
) 6 6 $
c) Muestre que el período de oscilación viene dado por,
) - Ayuda: Suponga la perturbación 6 6 6 (6 6 ) sobre el sistema y sustitúyala en la expresión
dada en (b).
5. La figura 3 muestra un peso 4 que está sujeto al fina de una vara (de masa despreciable), la
cual está sujeta al pivote que se encuentra en , y sujeta en el punto a un resorte (de masa
despreciable) de constante ,.
Figura (3): Problema 5.
a) Muestre que la frecuencia angular del sistema para pequeño viene dada por,
,$ .)
.-
Ayuda: Escriba la ecuación de movimiento en coordenadas polares.
b) Mostrar que los valores de 4 para que las oscilaciones sean armónicas son,
4
,$
-
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6. Cuando la plomada de un péndulo cónico describe una trayectoria circular, el hilo de longitud barre
un cono de semiángulo (Figura 4). Mostrar que el período del movimiento de la plomada es,
)
Figura (4): Problema 6.
7. Cuando una esferita de masa . es sujetada por un resorte liviano que pende de un soporte fijo,
éste se estira 6 . Mostrar que la frecuencia natural de oscilación del sistema es dada por,
)
)
6
3
suponiendo una resistencia del aire en este medio es proporcional a la velocidad ( 3 y que 3 es
la velocidad terminal de la misma esferita en caida libre en dicho medio.
8. Resolver la ecuación diferencial de movimiento del oscilador forzado sujeto a una driving force de la
forma,
' 2
9. Suponiendo una solución del tipo,
5 2 2 '
en la ecuación de movimiento para un oscilador amortiguado, muestre que,
5 2 2 '
donde y son constantes arbitrarias, que representa a un oscilador con amortiguamiento crítico.
10. Sean dos resortes de constantes elásticas , y , , y un cuerpo de masa ., que desliza sin rozamiento, conectados como en la figura 5; mostrar, a partir de las respectivas ecuaciones de movimiento,
que la frecuencia de oscilación de . es,
, ,
para el (a)
, , .
, ,
para el (b) y el (c)
.
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Figura (5): Problema 10.
11. Muestre que, para un oscilador amortiguado, la variación de la energía total respecto del tiempo
viene dada por,
%5
12. Un resorte ideal de masa despreciable, constante , y longitud natural - unido en sus extremos a
dos masas . y puntuales se encuentra suspendido del techo por el extremo de masa . (ver figura
6). En 2 se suelta el resorte. Muestre que la ecuación de movimiento es:
& &2
con 6 5 - (6, 5 son las distancias al punto de suspensión inicial , situado en el techo, de las
masas y . respectivamente) y .
Figura (6): Problema 12
13. Muestre que el diagrama de fase de un oscilador armónico simple viene dado por la familia de
elipses,
5
5
14. Una partícula de masa . se mueve con una frecuencia angular uniforme describiendo una
circunferencia de radio en sentido antihorario. Demostrar que la proyección de su posición sobre
un diámetro de la circunferencia oscila con movimiento armónico simple alrededor del centro de la
misma de forma que,
5 2 donde es el ángulo de partida.
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15. Un resorte vertical de constante , tiene una longitud natural - y está sostenido en un punto fijo .
Una masa . se coloca en el extremo inferior del resorte, se eleva a una altura * por debajo de y se
suelta. Demostrar que el punto más bajo que alcanzará está a una distancia por debajo de dada
por,
.)
.) .)*
-
,
,
,
16. Una partícula oscila en un plano de manera que sus distancias 5 y 6 desde dos ejes respectivamente
perpendiculares están dadas como funciones del tiempo mediante,
5 2 6 2 a) Demostrar que la partícula se mueve en una elipse inscrita en un rectángulo definido por 5 ,
6 .
b) Demostrar que el período en su trayectoria elíptica es
.
17. Una partícula de masa . está en reposo en el extremo de un resorte de constante ,, el cual pende
de un soporte fijo. En 2 , es aplicada sobre la masa una fuerza constante hacia abajo durante
un tiempo 2 . Mostrar que, después de que la fuerza deja de actuar, el desplazamiento de la masa
respecto de su punto de equilibrio (6 6 , 6 hacia abajo) es,
6 6 2 2 2
,
donde ,..
18. Muestre que:
a) Que las soluciones a la ecuación de movimiento del oscilador armónico simple,
5 5 vienen dadas por,
5 2 2 5 2 2 resolviéndola.
b) Que en las anteriores soluciones las fases y difieren en
.
19. Construya el diagrama de fase para un oscilador sub-amortiguado.
20. En la figura 7 se muestra la solución al oscilador amortiguado,
5 2 ' 2 , (oscilador sub-amortiguado) y . Mostrar que la relación de las amplitudes de oscilación en dos
máximos sucesivos es ' (decremento del movimiento), donde el primero de cualesquiera par de
máximos ocurre en 2 y donde . A la cantidad se le llama decremento logarítmico del
movimiento.
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Figura (7): Problema 20.
Figura (8): Problema 21.
21. Muestre que las gráficas de la energía total y la variación de la energía total
sub-amortiguado son como las mostradas en la figura 8.
para un oscilador
22. En clases mostramos que para el par de soluciones,
5 2 2 6 2 2 del oscilador armónico bidimensional, la partícula sigue una trayectoria dada por,
5 56 6 donde . Mostrar que para el par de soluciones,
5 2 2 6 2 2 el resultado es el mismo, como era de esperarse.
23. En clases encontramos que la trayectoria en el plano para una partícula de masa . que está sujeta
a una fuerza restauradora bidimensional del tipo , 0 , viene dada por,
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Graficar, utilizando un software adecuado, la trayectoria para , , , , , , ,
, , , suponiendo . Comparar sus resultados con la figura 3-1, pág. 112 del texto:
Marion-Thornton, CLASSICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS, fourth edition.
24. Utilizando un software adecuado grafique,
5 2 2 6 2 2 a) Si para los casos en que es , , . Comparar sus resultados con la figura
3-3, pág. 114 del texto: Marion-Thornton, CLASSICAL DYNAMICS OF PARTICLES AND SYSTEMS, fourth
edition.
b) Si para los casos en que es , , .
25. Resolver la ecuación de movimiento del oscilador forzado,
5 5 5 2
.
donde es la frecuencia de la fuerza aplicada sobre el oscilador.
26. Resolver la ecuación de movimiento del oscilador amortiguado,
5 5 5 para los casos (sub-amortiguado), (amortiguamiento crítico) y (sobreamortiguado).
27. Mostrar que si en la ecuación de movimiento para un oscilador amortiguado que es excitado por
una fuerza externa del tipo 2,
5 5 5 2
.
,., la amplitud del
eliminamos el término relacionado con la fricción y hacemos oscilador se incrementa como una función del tiempo de acuerdo a la ecuación,
5 2 2 2 2
2
. Interprete físicamente lo que ocurre. Aquí y son constantes de integración.
28. Una masa . se mueve en el plano !" . En la dirección ! actúan las fuerzas
. 5
. 6 ( constante positiva)
mientras que en la dirección " actúa la fuerza
. 6
a) Mostrar que, al resolver las ecuaciones de movimiento con las condiciones iniciales
5 6 5 6 ( constante positiva)
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resulta,
2 2 2
6 2 2
5 2 b) Dibujar el camino seguido por la masa ..
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