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2015
Material Teórico – Matemática
Congruencia y Semejanza
Segundo
Año
Mónica Liliana Nano
TRIMIX
08/11/2015
ÍNDICE
Índice ...................................................................................................................................................................................... 2
Triángulos ............................................................................................................................................................................... 3
Propiedades de los triángulos............................................................................................................................................. 3
Clasificación de triángulos .................................................................................................................................................. 3
Elementos notables de un triángulo ................................................................................................................................... 4
Euler ........................................................................................................................................................................................ 6
Recta de Euler ......................................................................................................................................................................... 7
Teorema del cateto................................................................................................................................................................. 7
Teorema de la altura............................................................................................................................................................... 8
Pitágoras ................................................................................................................................................................................. 9
Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................................................... 10
Aplicaciones del teorema de Pitágoras ................................................................................................................................ 10
Semejanza ............................................................................................................................................................................. 16
Thales de Mileto ................................................................................................................................................................... 16
Teorema de Thales ............................................................................................................................................................... 17
El teorema de Thales en un triángulo ................................................................................................................................... 18
Aplicaciones del teorema de Thales ..................................................................................................................................... 19
Semejanza de triángulos ....................................................................................................................................................... 20
Criterios de semejanza de triángulos ................................................................................................................................... 22
Criterios de semejanza de triángulos rectángulos................................................................................................................ 25
Semejanza de polígonos ....................................................................................................................................................... 26
pág. 2
TRIÁNGULOS
Un triángulo es un polígono de tres lados.
PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros
dos y mayor que su diferencia.
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a
180°.
3.
El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos
interiores no adyacentes.
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
Triángulo
equilátero
Según
sus
lados
La longitud de sus lados es
igual.
Triángulo
Isósceles
Dos de sus lados tienen la misma
longitud.
Triángulo
Escaleno
Todos sus lados tienen longitudes
diferentes.
pág. 3
Triángulo
Acutángulo
Según
sus
ángulos
Triángulo
Rectángulo
Triángulo
Obtusángulo
Todos sus ángulos interiores son agudos.
Uno de sus águlos interiores es un recto
Su lado mayor se llama hipotenusa. Sus otros
lados catetos.
Uno de sus ángulos interiores es obuso.
ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Altura es cada una de las rectas perpendiculares
trazadas desde un vértice al lado opuesto (o su
prolongación).
Ortocentro: Es el punto de corte de las tres
alturas.
pág. 4
Medianas de un triángulo: Mediana es cada una de
las rectas que une el punto medio de un lado con el
vértice opuesto.
Baricentro: Es el punto de corte de las tres
medianas. El baricentro divide a cada mediana en
dos segmentos, el segmento que une el baricentro
con el vértice mide el doble que el segmento que
une baricentro con el punto medio del lado opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo: Mediatriz es cada
una de las rectas perpendiculares trazadas a un
lado por su punto medio.
Circuncentro: Es el punto de corte de las tres
mediatrices. Es el centro de una circunferencia
circunscrita al triángulo.
pág. 5
Bisectrices de un triángulo: Bisectriz es cada una
de las rectas que divide a un ángulo en dos
ángulos iguales.
Incentro: Es el punto de corte de las tres
bisectrices. Es el centro de una circunferencia
inscrita en el triángulo.
… antes de ver las RECTAS DE
EULER… que te parece si lo
conocemos un poco? …
EULER
Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un
respetado matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y
murió el 18 de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera
el principal matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos
los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes
descubrimientos en áreas tan diversas como el cálculo o la teoría de grafos.
También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación
matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por
ejemplo la noción de función matemática. Asimismo se le conoce por sus
trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras
completas reunidas podrían ocupar entre 60 y 80 volúmenes. Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia
de Euler en los matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en numerosos sello postales
tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su honor.
pág. 6
RECTA DE EULER
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un
triángulo no equilátero están alineados; es decir,
pertenecen a la misma recta, llamada recta de Euler.
TEOREMA DEL CATETO
En todo triángulo rectángulo un cateto es media
proporcional entre la hipotenusa y su proyección
sobre ella.
a
hipotenusa
byc
catetos
m
proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n
proyección del cateto c sobre la hipotenusa
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Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm.
Hallar el otro cateto.
Datos
Resolución Resumida
TEOREMA DE LA ALTURA
En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la
hipotenusa es media proporcional entre los 2
segmentos que dividen a ésta.
Ejemplo: En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros.
Calcular la altura relativa a la hipotenusa.
Datos
Resolución Resumida
pág. 8
... sabés algo de Pitágoras…? Tengo que
estudiar su Teorema, pero me gustaría saber
algo de él …
PITÁGORAS
Pitágoras de Samos (aproximadamente 582 a. C. - 507 a. C.,
en griego: Πυθαγόρας ο Σάμιος) fue un filósofo y
matemático griego, famoso sobre todo por el Teorema de
Pitágoras, que en realidad pertenece a la escuela pitagórica
y no sólo al mismo Pitágoras. Afirmaba que todo es
matemático, y estudió y clasificó los números.
Pitágoras nació en la isla de Samos en el año 582 a. C. Siendo
muy joven viajó a Mesopotamia y Egipto (también, fue
enviado por su tío, Zoilo, a Mitilene a estudiar con Ferécides
de Siros y tal vez con su padre, Badio de Siros). Tras regresar
a Samos, finalizó sus estudios, según Diógenes Laercio con
Hermodamas de Samos y luego fundó su primera escuela
durante la tiranía de Polícrates. Abandonó Samos para
escapar de la tiranía de Polícrates y se estableció en la
Magna Grecia, en Crotona alrededor del 525 a. C., en el sur
de Italia, donde fundó su segunda escuela. Las doctrinas de
este centro cultural eran regidas por reglas muy estrictas de
conducta. Su escuela (aunque rigurosamente esotérica) estaba abierta a hombres y mujeres indistintamente, y
la conducta discriminatoria estaba prohibida (excepto impartir conocimiento a los no iniciados). Sus estudiantes
pertenecían a todas las razas, religiones, y estratos económicos y sociales. Tras ser expulsados por los
pobladores de Crotona, los pitagóricos se exiliaron en Tarento donde se fundó su tercera escuela.
… ahora vemos a ver que aportó a nuestra
matemática …
pág. 9
TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos.
... pedile a tu profesor/a que lo demuestre... o mejor
demostralo, por qué crees que Pitágoras habrá
afirmado esto?
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
1. Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m
y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
2. Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de
sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?
pág. 10
3. Conociendo sus lados, averiguar si es rectángulo
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
Para que sea rectángulo el cuadrado de lado mayor
ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos
menores. Determinar si el triángulo es rectángulo.
4. Diagonal del cuadrado
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
Dado el siguiente cuadrado, calcula la longitud de su
diagonal
5. Diagonal del rectángulo
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
Dado el siguiente cuadrado, calcula la longitud de su
diagonal
pág. 11
6. Lado oblicuo del trapecio rectángulo
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
7. Alturas del trapecio isósceles
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
... te recuerdo que todo lo que
hizo Pitágoras solo se aplican en
el planeta Tierra, para el espacio
se usan otras medidas...
pág. 12
pág. 13
8. Altura del triángulo equilátero
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
ℎ= √
100
25
= √4 = 2
9. Apotema de un polígono regular
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
pág. 14
10.
Fórmulas derivadas
11.
Apotema del hexágono inscrito
Caso Práctico
Lado de un triángulo equilátero inscrito
Fórmulas derivadas
12.
Fórmulas derivadas
Caso Práctico
Lado de un cuadrado inscrito
Caso Práctico
pág. 15
SEMEJANZA
… ahora nos queda saber
algo de Thales…
THALES DE MILETO
Tales de Mileto (en griego
Θαλής ο Μιλήσιος) (h. 639 h. 547/6 a. C.) fue el
iniciador de la indagación
racional sobre el universo.
Se le considera el primer
filósofo de la historia, y el
fundador de la escuela jonia
de filosofía, según el
testimonio de Aristóteles.
Fue el primero y más famoso
de los Siete Sabios de Grecia
(el sabio astrónomo) y tuvo
como discípulo y protegido a
Pitágoras. Es aparte uno de
los más grandes astrónomos
y matemáticos de su época,
a tal punto que era una
lectura obligatoria para
cualquier matemático en la Edad Media y contemporánea. Sus estudios abarcaron profundamente el área de
la Geometría, Álgebra lineal, Geometría del espacio y algunas ramas de la Física, tales como la Estática, Dinámica
y Óptica. Su vida está envuelta en un halo de leyenda. Fue el primer filósofo Jónico.
pág. 16
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas cualesquieras se cortan por
varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son
proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra.
… mira este ejemplo …
Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la
longitud de x.
pág. 17
... veamos otro…
Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar
que c es paralela a las rectas a y b?
Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
EL TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo,
B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro
triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del
triángulo ABC.
pág. 18
Hallar las medidas de los segmentos a y b.
APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES
El teorema de Thales se utiliza para dividir un
segmento en varias partes iguales.
… veamos un ejemplo…
̅̅̅̅ en 3 partes iguales
Dividir el segmento 𝐴𝐵
1. Se dibuja una semirrecta de origen el
extremo A del segmento.
pág. 19
2. Tomando como unidad cualquier medida, se
señalan en la semirrecta 3 unidades de
medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de la
semirrecta se trazan rectas paralelas al
segmento que une B con la última división
sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos en
el segmento AB determinan las 3 partes
iguales en que se divide.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados
homólogos.
Son ángulos
homólogos:
pág. 20
Dos triángulos son
semejantes cuando tienen
sus ángulos homólogos
iguales y sus lados
homólogos proporcionales.
La razón de la proporción entre
los lados de los triángulos se
llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de
los triángulos semejantes es
igual a su razón de semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos
semejantes es igual al cuadrado de su
razón de semejanza.
Ejemplos
Calcular la altura de un edificio que
proyecta una sombra de 6.5 m a la misma
hora que un poste de 4.5 m de altura da
una sombra de 0.90 m.
Los catetos de un triángulo rectángulo que
miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los
catetos de un triángulo semejante al
primero cuya hipotenusa mide 52 m?
pág. 21
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
ángulos iguales.
Dos triángulos son
semejantes si tienen los
lados proporcionales.
Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
lados proporcionales y el
ángulo comprendido
entre ellos igual.
pág. 22
… veamos ejemplos …
Razona si son semejantes los siguientes triángulos:
Ejemplos
Si son semejantes todos guardar la misma razón proporcional: 0,666…
180º − 100º − 60º = 20º
Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
… como sabemos los triángulos rectángulos tienen
un ángulo recto, por lo tanto debemos
considerarlos por separado …
pág. 23
pág. 24
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Dos triángulos rectángulos son semejantes si
tienen un ángulo agudo igual.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
los dos catetos proporcionales.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen
proporcionales la hipotenusa y un cateto.
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SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes cuando tienen los ángulos homólogos iguales y los lados homólogos
proporcionales.
… los criterios de semejanza se pueden transformar
en criterios de congruencia considerando que en
lugar de trabajar con lados proporcionales,
trabajaremos con lados de igual longitud….
… solo te queda ejercitar… como siempre te
decimos… un poquito todos los días hace que
estudies mucho en un mes….
pág. 26