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FISICA 2º BACHILLERATO
CAMPO GRAVITATORIO
A) CAMPO GRAVIT ATORIO
Cuando en el espacio vacío se introduce una partícula, ésta lo perturba, modifica,
haciendo cambiar su geometría, de modo que otra partícula que se sitúa en él, estará
sometida a una acción debida a la deformación producida por la primera.
El Campo gravitatorio es un campo vectorial de fuerzas cuya magnitud activa es la
masa.
B) Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler: Ley de las órbitas
La primera ley, conocida como ley de las órbitas, acaba con la idea, mantenida también
por Copérnico, de que las órbitas debían ser circulares.
“Los planetas giran alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica. El Sol se
sitúa en uno de los focos de la elipse”.

Perihelio: Es el punto de la órbita del planeta más próximo al Sol.

Afelio: Es el punto de la órbita del planeta más lejano al Sol.
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
Segunda ley de Kepler: Ley de las áreas
La segunda ley, conocida como ley de las áreas, nos da información sobre la velocidad a
la que se desplaza el planeta.
“La recta que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales”.
Para que esto se cumpla, la velocidad del planeta debe aumentar a medida que se
acerque al Sol. Esto sugiere la presencia de la fuerza gravitatoria que permite al Sol atraer
los planetas, tal y como descubrió Newton años más tarde.
Y por tanto el tiempo que se tarda en recorrer un espacio S 1, S2 y S3 es el mismo, las
áreas A1, A2 y A3 también serán iguales. Esto se debe a que a medida que disminuye la
distancia al Sol, la velocidad aumenta (v1 < v2 < v 3)
Velocidad areolar: Se define la velocidad areolar vA como el área barrida por el vector
de posición de un cuerpo por unidad de tiempo. Según la segunda ley de Kepler, vA es
constante. Por tanto: vA = dA/dt = cte
Si estudiamos un diferencial del área barrida :
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Aplicando el producto vectorial de dos vectores calculamos el área del paralelogramo que
forman; así nos queda:
De donde se deduce que además de que la segunda ley de Kepler establece que la
velocidad areolar v A permanece constante a lo largo del recorrido del planeta, también la
velocidad instantánea del planeta debe variar según el punto de su trayectoria en que se
encuentre y el ángulo θ que formen r y v , luego en dos puntos de la trayectoria
cualesquiera:
Donde:

r1 y r2: Módulos de los vectores de posición del planeta en los puntos 1 y 2
respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m)

v 1 y v 2 : Módulos de los vectores velocidad del planeta en los puntos 1 y 2
respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro por
segundo ( m/s)
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
θ1 y θ2: Ángulos que forman los vectores de posición de los planetas con los de
velocidad en los puntos 1 y 2 respectivamente. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el radián ( rad ).
Perihelio: La velocidad en las proximidades del perihelio es la máxima.
Afelio: La velocidad en las proximidades del afelio es la mínima.
En el perihelio (p) y en el afelio (a) θ = 90º y por tanto: ra x va = rp x vp
La Segunda Ley de Kepler aparece, por tanto, como una consecuencia de que la
fuerza a la que están sometidos los planetas (atracción del Sol) es central (el
momento angular L se mantiene invariable).
L r p r m v
Módulo  r m v sen   r m v
Donde : r  r sen 

Tercera ley de Kepler: Ley de los periodos
La tercera ley, relaciona los periodos de los planetas, es decir, lo que tardan en
completar una vuelta alrededor del Sol, con respecto a sus radios.
“Para un planeta dado, el cuadrado de su periodo orbital es proporcional al cubo
de su distancia media al Sol”
Esto es:
T2 = k r3
Donde:

T: Periodo del planeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el
segundo ( s )

k: Constante de proporcionalidad. Su unidad de medida en el Sistema
Internacional es el segundo al cuadrado partido metro cúbico ( s 2/m 3 )

r: Distancia media al Sol. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el
metro ( m )
Observa que como consecuencia de esta ley, los planetas se mueven tanto más
despacio cuanto mayor es su órbita.
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Las leyes de Kepler son fenomenológicas. Es decir, se limitan a describir de manera
cinemática cómo se mueven los planetas en sus órbitas alrededor del Sol, pero nada
dicen acerca de las causas que provocan ese movimiento. Aunque las leyes fueron
enunciadas inicialmente para el Sistema Solar son aplicables a cualquier objeto celeste
que orbite alrededor de otro astro central. Para comprender las verdaderas causas del
movimiento planetario habría que esperar a que Newton, en 1687, enunciara la Ley de
Gravitación Universal. Las leyes de Kepler surgen entonces como consecuencias de la
naturaleza de la fuerza gravitatoria.
C) Ley de Gravitación Universal
Fue Isaac Newton (1642 – 1727) quien dio el gran paso en la explicación del movimiento
planetario al enunciar su Ley de Gravitación Universal (formulada en 1666 y publicada
en 1687) en su “Principia”. Establecía que la misma fuerza que mantiene los planetas
orbitando alrededor del Sol es la que hace caer la manzana del árbol. Las mismas leyes
gobiernan todo el universo. La gravedad es la fuerza que mantiene unido a todo el
cosmos.
“Los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de
sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los
separa.”
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Debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la fuerza de gravedad sólo es
apreciable entre cuerpos cuya masa sea muy grande (planetas, estrellas…)
D) MAGNITUDES FÍSICAS QUE CARACTERIZAN EL CAMPO GRAVIT ATORIO
Un campo gravitatorio queda determinado en cada punto del espacio por tres magnitudes
características:
- La intensidad del campo gravitatorio
- Energía potencial gravitatoria
- Diferencia de potencial gravitatorio.
- Intensidad del campo gravitatorio en un punto.
La intensidad de campo gravitatorio (g) de una masa M en un punto representa la fuerza
que experimentaría la unidad de masa colocada en dicho punto. Su unidad en el S.I. es,
por tanto, N·kg-1, o también m·s -2
De lo que aquí se trata es de concretar este concepto al campo gravitatorio terrestre. Así,
Donde G es la constante de gravitación universal, G = 6,67428·10- 11 N·m 2·kg-2
MT es la masa de la Tierra, MT = 5,974·1024 kg
RT es el radio terrestre, RT = 6378 km (radio ecuatorial)
h es la altura sobre la superficie terrestre a la que se esté midiendo g
g es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una altura h sobre su superficie.
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Si hacemos h = 0 en la expresión anterior obtenemos la intensidad del campo gravitatorio
en la superficie del planeta, g0
Consideraciones (aplicadas al campo gravitatorio terrestre)
a) La intensidad del campo gravitatorio en un punto bien dada por la aceleración que
experimenta un objeto colocado en dicho punto.
b) Esta aceleración es independiente de la masa del objeto. Depende de la masa de la
Tierra y de la distancia del lugar donde se encuentre al centro del planeta.
c) La dirección de la intensidad del campo gravitatorio es la que pasa por el centro de la
Tierra y el punto del espacio donde se está considerando el valor del campo.
d) El sentido de la intensidad del campo gravitatorio es hacia el centro de la Tierra. Por
tanto, su expresión vectorial será:
Variación de la intensidad de campo gravitatorio con la distancia
El modelo establecido para el estudio de la interacción gravitatoria supone, para la Tierra,
que la parte del planeta que genera el campo gravitatorio está concentrada en un punto
material situado en el centro. A partir de este punto cualquier coordenada se considera
inmersa en el campo gravitatorio terrestre. Vamos a considerar pues cómo varía la
intensidad del campo gravitatorio desde la superficie del planeta hacia el espacio.
Esta expresión se suele referir al valor de g0:
Dividiendo ambas expresiones:
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En el caso de que existan varias masas puntuales interaccionando sobre un punto del
campo gravitatorio entonces se cumple el principio de superposición de las masas de un
campo gravitatorio.
Principio de superposición de las masas de un campo gravitatorio
Supongamos dos cuerpos de masas designadas por M1 y M2 que interaccionan con el
punto tacional en el punto P.
“El campo gravitatorio resultante en el punto P es la suma de los campos creados
por las dos masas”
- Energía potencial gravitatoria y diferencia de potencial gravitatorio.
Energía potencial gravitatoria:
“Es el trabajo realizado por la intensidad de campo gravitatorio para trasladar una
masa m desde el punto donde se encuentra hasta el infinito”
Tal como se dijo en el tema de trabajo y energía, la fuerza gravitatoria es conservativa, es
decir, el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos siempre es el mismo,
independiente del camino seguido. Las fuerzas conservativas tienen una magnitud
característica llamada energía potencial que permite determinar el trabajo que realiza
dicha fuerza (teorema de la energía potencial),
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La expresión de la energía potencial de una masa m en un punto cualquiera de un campo
gravitatorio generado por la masa M es:
Donde r es la distancia entre los centros de masas de M y m. Si sustituimos los
parámetros terrestres obtenemos
Expresión que representa la energía potencial gravitatoria de un cuerpo de masa m
situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra y que permite determinar el trabajo
que realiza el campo gravitatorio cuando la masa m se mueve desde el punto donde se
encuentra hasta el infinito (tomando Ep (2) =Ep(∞) = 0)
La energía potencial de un cuerpo en la superficie de la Tierra será entonces:
que representa el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando m se mueve desde la
superficie de la Tierra hasta el infinito, es decir, es la diferencia entre las energías
potenciales en la superficie de la Tierra y en el infinito (donde la energía potencial es cero,
considerado como origen de energía potencial).
La energía potencial gravitatoria es siempre negativa, indicándose así que para mover la
masa m desde donde esté hasta el infinito hay que realizar un trabajo externo en contra
del campo cuyo valor es igual al de la energía potencial pero cambiado de signo.
- Diferencia de Potencial gravitatorio
“La diferencia de potencial gravitatorio entre un punto A y un punto B se representa
como VA – VB y es igual al trabajo realizado por la intensidad de campo gravitatorio
para trasladar la unidad de masa de A a B”.
Calculando la diferencia de potencial de una masa m en el campo gravitatorio creado por
una masa M
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Como se puede ver el valor del potencial gravitatorio sólo depende de la masa que c rea el
campo y de la distancia al punto considerado y es siempre negativo, ya que su valor cero
(al igual que el de la energía potencial) se sitúa a una distancia infinita del centro de la
masa que crea el campo.
Dimensionalmente:
M L2 T 2 
 L2 T 2 
V  
M
Unidades S.I: J/kg = m2/s2
Si en lugar de la unidad de masa se traslada la masa m desde un punto A al punto B, el
trabajo realizado por el campo gravitatorio será:
La energía potencial gravitatoria de esta masa en un punto del espacio se relaciona con el
potencial gravitatorio en dicho punto: Ep = m V
Interpretación del signo del trabajo
- Si el signo del trabajo del campo es positivo (W>0)

La masa m se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio.

La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria.

Esto ocurre cuando se acercan dos masas.
- Si el signo del trabajo del campo es negativo (W<0)

La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio.

La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria.

Esto ocurre cuando se separan dos masas.
E) Representación del campo gravitatorio
El campo gravitatorio puede representarse mediante sus líneas de fuerza o líneas de
campo y por sus superficies equipotenciales.
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- Las “líneas de campo o líneas de fuerza” cumplen la condición de que el vector
intensidad de campo gravitatorio es siempre tangente en cualquiera de sus puntos y
se trazan de modo que su densidad sea proporcional a la intensidad del campo.

Para una única masa las líneas de campo son radiales y siempre convergen hacia la
masa. Se dice que las masas constituyen "sumideros de campo".

Las líneas de fuerza representan las trayectorias que seguiría una masa situada en
el campo

Las líneas (o superficies) equipotenciales, son siempre perpendiculares al
vector intensidad de campo gravitatorio en cualquier punto y cuando una masa se
desplaza a lo largo de ellas la fuerza de gravedad no realiza trabajo alguno o, lo
que es equivalente, no se requiere aporte alguno de energía para trasladar la
masa.

Para una masa puntual, el potencial toma el mismo valor en los puntos situados a
la misma distancia de la masa. Por tanto las superficies equipotenciales son
esferas concéntricas con centro en la propia masa.
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Si hay más de una masa el campo se distorsiona debido a la superposición de ambos
campos (en cada punto el campo resultante es la suma vectorial de los campos debidos a
cada una de las masas). En la captura de pantalla se muestra el campo resultante para
dos masas iguales (3000 kg)
F) Movimientos de planetas y satélites
Magnitudes físicas: periodo de revolución y velocidad orbital
En general un satélite es un cuerpo que orbita alrededor de otro mayor que se considera
como el generador del campo gravitatorio. Para simplificar consideraremos una órbita
circular. Cuando un satélite describe una órbita experimenta una aceleración centrípeta
debido a que se encuentra sometido a una fuerza central (Fc), que en el caso de la Tierra
viene suministrada por la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite. Por
tanto, los módulos de la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria son iguales,
De todo lo dicho también se puede establecer una relación entre el valor del
campo gravitatorio en un punto y el potencial. Para una masa puntual:
Donde m es la masa del satélite que, al simplificarse, indica que la velocidad orbital es
independiente de la masa del cuerpo que esté girando.
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Esta expresión nos dice que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz
cuadrada de la altura sobre la superficie a la que se encuentre el satélite. La expresión se
puede modificar para introducir la intensidad del campo gravitatorio,
Expresión que se también se conoce como primera velocidad cósmica. Otros parámetros
que se pueden conocer son la aceleración centrípeta del satélite,
El periodo de revolución también se relaciona con la velocidad orbital mediante las leyes
del movimiento circular uniforme mediante la expresión: T = 2 π r / v
Energía mecánica de traslación
La energía mecánica de un satélite que se encuentra en órbita alrededor de la Tierra será
suma de su energía cinética mas su energía potencial gravitatoria:
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Em = Ec + Ep = ½ m v 2 – G M m / r
Si sustituimos el valor de la velocidad orbital, obtenemos:
Em = ½ m G M / r - G M m / r = - ½ G M m / r
Una energía mecánica negativa representa un cuerpo ligado al campo gravitatorio
terrestre.
Una energía mecánica nula o positiva representa un cuerpo libre de la acción gravitatoria
terrestre.
Cuando un satélite cambia de órbita en ausencia de fuerzas exteriores su energía
mecánica se conserva.
∆Em = 0 ; EM ( A) = EM (B ) ; Ec (A) + Ep (A) = Ec (B) + Ep (B)
Velocidad de escape, v e es la velocidad que debe adquirir un cuerpo para escapar de la
atracción gravitatoria terrestre. Se considera que un cuerpo escapa del campo gravitatoria
terrestre cuando llega a una distancia infinita de la Tierra (Ep =0) con velocidad nula
(Ec=0) entonces, su energía mecánica debe ser nula.
Em = E(∞) = 0
Em = Ec + Ep = ½ m v 2 – G M m / r = 0
De aquí deducimos el valor de la velocidad de escape:
En consecuencia la velocidad de escape no depende de la masa del cuerpo.