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Universidad del Cauca
Profesor: Gerardo Loaiza
1. Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 f t3 /min. ¿A qué razón varı́a el radio cuando
mide 3 f t.
2. Una mujer trota con rapidez constante de 10 km/h pasa por un punto P hacia el norte. Diez
minutos más tarde un hombre que trota a razón constante de 9 km/h pasa por el mismo punto
hacia el este. ¿Cuán rápido varı́a la distancia entre los trotadores veinte minutos después de
que el hombre pasa por el punto P ?.
3. Un faro se localiza en una pequeña isla a 2 mi de una costa recta. El haz luminoso del faro
gira a una velocidad constante de 6 grados por segundo. ¿Con qué rapidez va deslizándose el
rayo de luz a lo largo de la costa en un punto que s encuentra a 3 mi del punto más cercano
al faro?.
4. Un cubo se expande con el tiempo. ¿Cómo se relaciona la razón de aumento del volumen con
la razón de incremento de la longitud de su lado?.
5. El volumen de una caja rectangular en V = xyz. Si se sabe que cada lado aumenta a razón
constante de 10 cm/min, encuentre la razón a la cual aumenta el volumen cuando x = 1 cm,
y = 2 cm y z = 3 cm.
6. Un insecto se mueve a lo largo de la gráfica de y = x2 + 4x + 1, en donde x y y se miden en
centı́metros. Si la abscisa x varı́a a razón constante de 3 cm/min, ¿cuán rápido está variando
la ordenada en el punto (2, 13)?.
7. Un avión que vuela paralelo al nivel del suelo a una velocidad constante de 600 mi/h, se
aproxima a una estación de radar. Si la altitud de avión es de 2 mi, ¿con qué rapidez decrece
la distancia entre el avión y la estación cuando la distancia horizontal entre ellos es de 1.5
mi?.
8. Se ata una bolsa a extremo superior de una escalera de 5 m de altura que reposa inclinada
sobre una pared. Supongamos que la escalera comienza a resbalar hacia abajo y ası́ su pie se
aleja de la pared. Halle la velocidad de descenso de la bolsa cuando el pie de la escalera dista
4 m de la pared y se mueve a una velocidad de 2 m/s.
9. Cuando el aire se expande adiabáticamente (es decir, sin intercambio de calor), la presión
P y el volumen V satisfacen la expresión P V 1.4 = C, donde C es una constante. En cierto
instante, la presión es de 20 kg/cm2 y el volumen es de 280 cm3 . Si el volumen decrece a una
tasa de 5 cm3 /s en ese instante, ¿cuál es la tasa de variación de la presión?.
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10. Una partı́cula se mueve en
√ una órbita elı́ptica de ecuación 4x + y = 4 de tal manera que,
cuando está en el punto ( 3/2, 1), su abscisa crece 5 unidades por segundo. Hallar la tasa de
variación de la ordenada en ese momento.
11. Dos de los lados de un triángulo tienen 4 y 5 metros de longitud y el ángulo entre ellos crece
a razón de 0.06 rad/s. Encuentre la razón con que aumenta el área cuando el ángulo entre los
lados de longitud fija es de π/3.
Cálculo I
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Taller número 8
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Profesor: Gerardo Loaiza
12. La ley de Hooke dice que cuando un resorte se estira x unidades más allá de su longitud
natural, la fuerza elástica F (x) ejercida por él es F (x) = −kx, donde k es una constante que
depende del resorte. Si en cierto resorte k = 12 y el resorte se estira a razón de 1cm/seg, halle
la tasa de variación de F (x) cuando x = 12cm.
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13. Una partı́cula se mueve en
√ una órbita elı́ptica de ecuación 4x + y = 4 de tal manera que,
cuando está en el punto ( 3/2, 1) su abscisa crece 5 unidades por segundo. Hallar la tasa de
variación de la ordenada en ese punto.
14. Cuando se arroja una piedra en un estanque se forma una onda circular (en realidad un tren
de ondas). Hallar la velocidad de crecimiento de la onda cuando el radio es de 1m y el área
del cı́rculo limitado por el frente de onda crece a razón de 4m2 /seg.
15. Un depósito de agua es cónico con el vértice hacia arriba, y tiene 40m de alto y 20m de radio
en la base. El depósito se llena a razón de 80m3 /min. ¿A qué velocidad se eleva el nivel cuando
la profundidad del agua es de 12m?.
Cálculo I
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Taller número 8