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UNIVERSIDAD DE CHILE - FACULTAD DE CIENCIAS - DEPARTAMENTO DE FISICA
3ª GUIA DE EJERCICIOS. 2º SEMESTRE 2010
PROYECTILES Y MOVIMIENTO CIRCULAR
1.- Una gran roca está suelta sobre un risco de 500 m de altura, cerca de una villa, a la cual
amenaza con su caída. Se calcula que la roca caerá desde esa altura con una rapidez de 50
m/s y con una inclinación de 30º bajo la horizontal. Junto a la villa hay un lago de 200 m de
diámetro y este lago se encuentra a 100 m de la base del risco.
30º
a) ¿Caerá la roca sobre la villa?
50 m/s
b) Encuentre el módulo y dirección de la velocidad de la
500 m
roca cuando llega al nivel del suelo.
Sol: a) La roca cae sobre la villa.
b) vx = 43,3 m/s vy = - 103 m/s (v= 111,7 m/s; α = − 67 , 2 º )
100m 200m
2.- Con enojo, una persona del público lanza un tomate maduro a un actor aficionado que se
encuentra en el escenario. El tomate recorre una distancia horizontal de 15 m en 0,75 s
antes de golpear la cara del actor a 1,7 m sobre el escenario. El tomate fue lanzado desde
una altura de 2 m respecto al piso de la platea y con una velocidad inicial que forma un
ángulo de 20º sobre la horizontal. Ignorando la resistencia del aire,
a) obtenga el vector velocidad del tomate al inicio y al final de su trayectoria,
b) determine a qué altura sobre el piso de la platea está el escenario.
3.- En una noche de Navidad, el Viejo Pascuero se prepara para hacer su última entrega. No
obstante, al mirar su reloj, se da cuenta que tan sólo le quedan 5 segundos para dejar este
último regalo, justo antes de medianoche. Para lograrlo, piensa dejar caer el regalo por la
chimenea. Si el Viejo Pascuero vuela horizontalmente en su trineo a 42 m/s y a 110 m de
altura, a) ¿a qué distancia de la chimenea, medida horizontalmente, debe dejar caer el
regalo para que llegue justo a ella?, b) ¿alcanza a llegar el regalo a su destino antes de
medianoche? (Desprecie la altura de la chimenea) Sol.: a) 197 m; b) sí
4.-Un cazador apunta a un mono que se encuentra en la rama de un árbol. En el momento
en que él dispara su rifle, el mono se deja caer de la rama. Demuestre que el mono no debió
moverse si deseaba seguir viviendo.
5.- Una pelota cae desde el tejado de un edificio de altura H = 65 m. El tejado tiene una
inclinación de 37º respecto a la horizontal y la pelota lleva una rapidez de 10 m/s cuando
sale del borde. Frente al edificio hay un muro, a una distancia horizontal de 20 m.
Determine:
a) si la pelota llega directamente al suelo o choca primero con el muro,
b) la velocidad de la pelota en el momento en que llega al suelo.
37
Nota: Considere que si la pelota choca primero
v0
con el muro hace un choque elástico con él, es
decir, se mantiene la componente de la velocidad
paralela al muro e invierte la componente de la
H
velocidad perpendicular a él.
Sol.: a) Chocarcontra elr muro;
b) ( − 8 , 0 i − 36 , 6 j ) m / s
D
1
6.- Un avión vuela horizontalmente a una altura de 1,2 km con una velocidad de 180 km/h.
a) ¿Cuánto tiempo antes de que el avión esté sobre el blanco debe dejar caer la bomba?
b) ¿Cuál es la velocidad de la bomba al llegar al suelo?
c) ¿Cuál es la velocidad de la bomba 10 s después de ser soltada?
d) ¿Cuál es la velocidad de la bomba cuando se encuentra a 200 m de altura?
e) ¿Cuál es el ángulo que forma con el eje horizontal la velocidad de la bomba al caer al
suelo?
f) ¿Cuál es la distancia horizontal cubierta por la bomba?
Sol.: a) 15,5 s; b) 161,2 m/s; c) 110 m/s; d) 147,3 m/s; e) –72°; f) 785 m
7.- Un niño, jugando, le tira un palo a su perro para que éste lo atrape y se lo traiga. El niño
tira el palo con una velocidad de 30 km/h, a 35º sobre la horizontal y desde una altura
inicial de 1,7 m. El perro está inicialmente junto al niño y sale corriendo a una velocidad
constante de 20 km/h en el mismo instante en que el niño lanza el palo.
a) Determine la distancia que debe recorrer el perro para recoger el palo cuando éste llegue
al suelo.
b) ¿Quién llega primero a este punto, el perro o el palo? Justifique.
Sol.: a) 8,4 m; b) El palo.
8.- Desde el suelo un cañón dispara un proyectil con una velocidad inicial de 300 m/s en
una dirección que forma un ángulo de 55º con la horizontal. Luego de 42 segundos explota.
Determine:
a) altura a la que se produjo la explosión
b) distancia (horizontal) desde el cañón hasta el punto de la explosión
c) vector posición del proyectil (respecto al cañón) al momento de explotar.
v
)
)
Sol.: a) 1501 m; b) 7227 m; c) r = {7227 x + 1501 y} m
9.- En un bar un cliente hace deslizar su vaso vacío de cerveza sobre la barra para que
vuelvan a llenarlo. El cantinero está distraído y no ve el vaso, el cual cae de la barra y
golpea el piso a 1,4 m de la base de la barra. Si la altura de la barra es de 0,86 m, determine:
a) a qué velocidad abandonó el vaso la barra,
b) el vector velocidad del vaso justo antes de chocar con el suelo.
r
)
)
Sol.: a) 3,4 m/s; b) v 0 = {3,4 x − 4,1 y} m/s
10.- Un proyectil es disparado al aire desde la cima de una colina de 200 m de altura, con
una rapidez inicial de 60 m/s y en un ángulo de 60º con respecto a la horizontal.
a) Calcular el vector velocidad inicial.
b) Calcular el tiempo de vuelo del proyectil.
Y
60º
c) Determinar su alcance.
200
m
Sol.: a) Velocidad inicial: V0x = 30 m/s; V0y = 51,96 m/s
b) tiempo de vuelo = 13,38 s; c) alcance = 401,4 m
11.- Un lanzador de bala deportiva lanza el implemento en un ángulo de 45º respecto de la
horizontal. Si el alcance que logra es 20[m] y la altura desde la que se lanza es 1,7 [m],
determine: a) El vector velocidad inicial de la bala.
b) La mayor altura alcanzada por la bala (medida desde el suelo).
c) El tiempo “de vuelo” de la bala.
2
X
r
Sol.: a) V 0 = ( 9 , 6 iˆ + 9 , 6 ˆj ) m/s; b) 6,31 m; c) tv = 2,083 s
12.- El arquero Gulderico arroja oblicuamente una flecha, la que parte desde una altura de
1,25 m, con una velocidad inicial de 20 m/s y formando un ángulo de 53o con la horizontal.
La flecha pasa por encima de un pino que está a 24 m de distancia y va a clavarse a 10 m de
altura en otro pino que se alza más atrás (ver figura). Despreciando el roce con el aire:
a) Hallar cuánto duró el vuelo de la flecha.
Y
b) Altura máxima alcanzada por la flecha
(medida desde el suelo).
c) Altura del primer pino.
53º
d) Cuánto es la magnitud y dirección de la
velocidad de la flecha al incrustarse en el
x
segundo pino.
24m
Sol.: a) 2,49 s; b) h = 14 m; c) Hp = 13,19 m; d) Vflecha = 14,99 m/s, θ = - 36,56°
13.- En un partido de fútbol un jugador dispara directo contra el arco adversario haciendo
un gol. La pelota es pateada desde el suelo en un ángulo de 60º con la horizontal y con una
rapidez de 10 m/s. Al momento de traspasar el arco (momento del gol) la pelota está a 1,8
metros del suelo y viene bajando. Despreciando el roce con el aire, determine:
a) El vector velocidad inicial de la pelota.
b) La altura máxima que alcanzó la pelota.
c) El tiempo en que estuvo en vuelo la pelota, desde que es disparada hasta hacer el gol.
d) La distancia que recorre en la horizontal la pelota, desde que es disparada hasta que
traspasa el arco.
v
)
)
Sol.: a) V0 = {5 x + 8,66 y} m/s; b) 3,75 m; c) 1,49 (s); d) 7,45 m
14.- El minutero de un reloj da una vuelta en 60 min. La aguja horaria da una vuelta
completa en 12 horas. Determine:
a) la velocidad angular del minutero y de la aguja horaria en rad /min.
b) si las dos agujas están coincidiendo a las 12:00 horas, encuentre a qué hora se vuelven a
encontrar las agujas por primera vez (el minutero ha dado una vuelta completa cuando
se encuentran nuevamente)
c) el ángulo que forma la aguja horaria respecto a la vertical cuando ocurre este encuentro.
π rad
π rad
ωH =
Sol.: a) ω M =
b) a las 13h y 5,45 min c) ∆θ = 0,57 rad
30 min
360 min
15.- El radio (promedio) de la órbita de Europa, una luna de Júpiter, es de 6,67 x 108 m y su
periodo es de 85,2 horas. Suponiendo que su velocidad angular es constante, calcule
a) La rapidez (tangencial) promedio de Europa en km/h
b) La velocidad angular de Europa en rad/s
c) La aceleración centrípeta (aceleración normal) de Europa en m/s2
d) La aceleración angular de Europa en rad/s2
16.- Una rueda de 0,5 m de radio está inicialmente en reposo. Comienza a girar aumentando
uniformemente su velocidad, de modo que en t = 2 s se observa que un punto del borde de
la rueda se mueve con una rapidez de 10 m/s. Determine:
a) la velocidad angular de la rueda en el instante t = 2 s, expresada en rpm,
b) la aceleración angular de la rueda,
c) el número de vueltas que da la rueda en esos 2 segundos,
3
d) las componentes normal y tangencial de la aceleración de un punto del borde de la
rueda cuando t = 2 s.
Sol: a) 191 rpm b) α = 10 rad/s2 c) 3,18 vueltas d) a N = 200 m/s2 , a T = 5 m/s2
17.- Una partícula se mueve con aceleración angular constante, describiendo una
circunferencia de radio R = 3 m en sentido horario. Parte del reposo desde el punto A y
completa la primera vuelta en t = 2 s. Determine:
a) la aceleración angular de la partícula,
b) el tiempo que emplea en describir un ángulo 3 π /2 a partir del reposo,
c) el vector velocidad cuando la partícula ha descrito un ángulo igual a π ,
y
d) el vector aceleración cuando la partícula ha descrito un ángulo igual a π .
rad
)
v
Sol: a) α = π 2 b) t = 1,73 s c) v = 13,2(m/s) j
s
A
a N = 59,2 m/s2, aT = 9,4 m/s2
x
18.- La rueda A, de radio 30 cm, parte del reposo y aumenta su velocidad angular
uniformemente a razón de 0,4 π rad/s2 y transmite su movimiento a la rueda B, de 12cm de
radio, mediante una correa. Obtenga la aceleración angular de B y encuentre el tiempo
necesario para que la rueda B alcance una velocidad angular de 300 rpm.
C
Sol.: 10 s
B r
A
R
19.- Una partícula se mueve (sentido antihorario), describiendo una circunferencia de 1,6 m
de radio. En el instante t = 0 s va pasando por el punto A mostrado en la figura. En ese
r
2
y
momento la aceleración de la partícula es a = ( − 10 iˆ − 6 ˆj ) m / s .
Determine:
a) las componentes normal y tangencial de la aceleración en
ese momento,
A
b) la velocidad angular de la partícula en ese momento,
x
c) la aceleración angular en ese instante,
d) suponiendo que la aceleración angular sea constante,
determine la velocidad angular en el instante t = 0,5 s.
20.- En el extremo de una cuerda se hace girar una piedra en un círculo vertical de 1,2 m de
radio y con una rapidez constante de 1,5 m/s. El centro de la cuerda se encuentra a 1,5 m
sobre el nivel del suelo. La piedra gira en sentido contrario a los punteros del reloj.
a) Si la piedra se soltara en el punto A (30º sobre la horizontal) ¿cuál sería su alcance?
b) ¿Si se soltara en B, también a 30º sobre la horizontal?
c) ¿Cuál es la aceleración de la piedra en A, justo antes de soltarla? ¿y después de
soltarla?
4
A
Sol.: a) 0,4 m; b) 0,6 m;
)
)
)
c) ( 1,62 x − 0,94 y )m/s2; − gy
R B
30º
30º
r
j
h
r
i
21- Un disco de 24 cm de diámetro, gira en un plano horizontal. Parte del reposo con una
aceleración angular constante alcanzando una rapidez angular de 78 rpm luego de 10 s, y
continúa girando con esa rapidez angular constante. Para una hormiga que está parada
(detenida) justo en el borde del disco, determine:
a) La aceleración tangencial mientras el disco está acelerando.
b) La aceleración normal cuando el disco está girando a 78 rpm
c) El número de vueltas que dio en los 12 primeros segundos.
Sol.: a) tangencial = 0,098 (m/s2); b) normal = 8,006 m/s2; c) 9,1 vueltas
22.- Un disco de esmeril gira a 1200 rpm, en un instante dado se desconecta de la red
eléctrica de tal manera que tarda 2 minutos en detenerse completamente. Si el radio del
disco es de 30 cm y el frenado es uniforme, determine:
a) La rapidez angular inicial del disco.
b) La aceleración angular del disco durante el frenado.
c) La aceleración tangencial en un punto del borde del disco durante el frenado.
d) El número de vueltas que dio el disco desde que se desconecta hasta que se detiene.
Sol.: a) 125,66 rad/s; b) - 1,047 rad/s2; c) aT = −0,3141 (m/s2); d) 1200 vueltas.
23- Dos atletas parten al mismo tiempo y desde el mismo
punto A, de una pista circular de radio R = 25 m, pero en
B
sentido contrario, como se indica en la figura. El atleta 1
parte del reposo y acelera uniformemente con aceleración
angular α. El atleta 2 se mueve con rapidez angular constante
ω. Si se cruzan en el punto B a los 20 s, calcular:
a) La aceleración angular del atleta 1.
b) La velocidad angular del atleta 2.
c) La velocidad tangencial de cada uno al encontrarse.
V1
A
45
V2
24.- Una piedra de 0,9 kg se ata al extremo de un cordel de 0,8 m de longitud que tiene el
otro extremo fijo. El cordel se corta si la tensión excede de 500 N. La piedra gira en un
círculo horizontal, sobre una superficie sin roce.
a) Calcule la máxima rapidez tangencial que puede alcanzar la
piedra sin romper el cordel.
L = 0,8 m m = 0,9 kg
b) Si la piedra parte del reposo y acelera uniformemente, con
2
aceleración angular α = 2,6 rad/s ¿Cuánto tiempo demora la
piedra en alcanzar esa rapidez máxima?
Sol.: a) v = 21,08 m/s; b) t = 10,135 s
5
25.- Desde un tubo horizontal sale agua (horizontalmente) con una rapidez de 3 m/s. ¿A
qué altura del suelo está el tubo si el agua llega a una distancia de 2 m? Sol.: 2,2 m
26- La punta del minutero del reloj de una iglesia tiene una velocidad tangencial de 6,28
cm/min. ¿Qué largo tiene el minutero? Sol.: 60 cm
27.- Una partícula describe un movimiento circular de radio 3 m, con una velocidad
angular ω = 2π rad/s, de pronto comienza a detenerse con una aceleración angular
α = −π rad/s2. ¿Cuánto tiempo demora en detenerse completamente? Sol.: 2 s
28.- Un disco, inicialmente en reposo, comienza a girar alcanzando una rapidez angular de
40 rpm en 10 s. Mantiene constante esta rapidez angular durante 15 s y luego comienza a
detenerse. Desde que empieza a detenerse hasta que se detiene completamente da 6 vueltas
completas. Calcule,
a) La aceleración angular del disco durante los primeros 10 s.
b) Número de vueltas que da el disco en estos primeros 10 s.
c) Número de vueltas que da durante los 15 s en que está con rapidez angular constante.
d) La aceleración angular del disco durante el frenado.
e) Número total de vueltas que da el disco durante todo el movimiento.
Sol.: a) 0,419 rad/s2; b) 3,334 vueltas; c) 10 vueltas; d) – 0,233 rad/s2; e) 19,334 vueltas
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