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APUNTES DE ELEMENTOS FINITOS
PARA SÓLIDOS DEFORMABLES
BEGOÑA CALVO CALZADA
MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ BARCA
ESTEFANÍA PEÑA BAQUEDANO
Área de Mecánica de Medios Continuos y Tª de Estructuras
Diseño e impresión.
[ stylo @ stylodigital.com ]
Autores: Begoña Calvo Calzada
Miguel Ángel Martínez Barca
Estefanía Peña Baquedano
impreso en España / printed in Spain
Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra está protegido por la ley, que establece penas de
prisión y/o multas, además de las correspondientes indemnizaciones por daños y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicasen públicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artística
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fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorización por parte del autor.
Índice general
1. Presentación
1
2.
5
Introducción al método de los elementos finitos
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Resolución de una ecuación diferencial orden dos . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Formulación fuerte y débil problema . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Aproximación de la incógnita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Propiedades de la funciones de aproximación . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Cálculo de matrices y vectores elementales . . . . . . . . . . . . .
2.1.6. Ensamblaje de las matrices y vectores elementales . . . . . . . . .
2.1.7. Imposición de las condiciones de contorno esenciales . . . . . . . .
2.1.8. Resolución del sistema algebraico de ecuaciones . . . . . . . . . .
2.1.9. Interpretación fı́sica del problema resuelto . . . . . . . . . . . . .
Caracterı́sticas generales del MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergencia de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Condición de Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Condición de Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Condición de Integrabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Condición de compatibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5. Condición de complitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6. Condición de invariancia geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7. Condición de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.8. Criterio de la Parcela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Etapas a definir para la resolución de un problema diferencial mediante el
MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Problemas Unidimensionales en Mecánica de Sólidos Deformables
i
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5
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13
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23
Apuntes de Elementos Finitos para Sólidos Deformables
ii
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4.
4.3.
4.4.
4.5.
Problema elástico bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos de referencia y coordenadas naturales . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Aproximación de la geometrı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Funciones de aproximación de la variable . . . . . . . . . . . . . .
Integración numérica en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algunos elementos en elasticidad bidimensional . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Elemento cuadrilátero bilineal. Deformación plana . . . . . . . . .
4.4.2. Elemento triangular lineal. Tensión plana . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Comparación de resultados en función del tipo de elemento utilizado
4.4.4. Elemento cuadrilátero bilineal. Axisimétrico deformación plana . .
Programación del elemento cuadrilátero bilineal en elasticidad . . . . . . .
Problema elástico tridimensional . . . . . . . . .
Elementos de referencia y coordenadas naturales
Integración numérica en tres dimensiones . . . .
Comparación de resultados en función del tipo de
Elemento hexaédrico trilineal en elasticidad lineal
Técnicas Globales
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elemento utilizado
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Resolución de problemas tridimensionales en Mecánica de Sólidos Deformables
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
6.
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de Timoshenko
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Resolución de problemas bidimensionales en Mecánica de Sólidos Deformables
4.1.
4.2.
5.
Formulación de elementos finitos para axil y torsión . . . .
3.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Modelo de torsión de Saint-Venant . . . . . . . . . .
3.1.4. Modelo de torsión no uniforme de Vlasov . . . . . .
Formulación de elementos finitos en flexión . . . . . . . . .
3.2.1. Modelo de flexión de Euler-Bernoulli-Navier . . . .
3.2.2. Modelo de flexión de Timoshenko . . . . . . . . . .
Comparación entre los modelos a flexión . . . . . . . . . . .
3.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Bloqueo a cortante en el modelo de elementos finitos
Solución del problema de bloqueo a cortante . . . . . . . . .
3.4.1. Integración reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Distinta aproximación para flecha y giros . . . . . .
3.4.3. Campo de deformaciones a cortante impuesto . . .
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
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140
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145
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149
Contenidos
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
Ensamblaje de las matrices y vectores elementales .
6.1.1. Caracterı́sticas de la matriz global . . . . . .
Imposición de las condiciones de contorno . . . . . .
Métodos de almacenamiento de la matriz de rigidez .
Métodos de resolución del sistema de ecuaciones . .
Cálculo de variables elementales . . . . . . . . . . .
Apéndice A
B.1.
B.2.
B.3.
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Aplicación del MEF a otros problemas en Mecánica de Medios Continuos169
Problema de campo. Flujo unidimensional . . . . . . . . . . . . . .
B.1.1. Formulación débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.1.2. Matriz de rigidez y vector de carga elementales . . . . . . .
Problema de Flujo bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1. Matriz de rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.2. Vector de carga elemental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elemento hexaédrico trilineal para problemas Flujo tridimensional
Bibliografı́a
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Planteamiento diferencial de La Barra
A.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Planteamiento diferencial de la barra . . . . . . . . .
A.2.1. Esfuerzo axil . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2. Modelo de flexión de Euler-Bernoulli-Navier
A.2.3. Modelo de flexión de Timoshenko . . . . . .
A.2.4. Modelo de torsión de Saint-Venant . . . . . .
A.2.5. Modelo de torsión no uniforme de Vlasov . .
Apéndice B
3
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4
Apuntes de Elementos Finitos para Sólidos Deformables
1
Presentación
En la década de los cincuenta comenzó a desarrollarse un método que, partiendo de las
ideas variacionales o energéticas ampliamente utilizadas en la primera mitad del siglo para
la obtención de soluciones aproximadas, e incluyendo los conceptos de matriz de rigidez y
vector de cargas elementales que aparecı́an en el cálculo matricial de estructuras de barras,
permitı́a establecer, mediante procedimientos intuitivos, las matrices de rigidez elementales
de subdominios previamente definidos de un medio elástico bidimensional. Este método,
desembocarı́a finalmente en los años posteriores en el Método de los Elementos Finitos
(MEF).
Fue la industria aeronáutica la que, con la aparición del motor a reacción, planteó la
necesidad imperiosa de disponer de una herramienta de análisis suficientemente potente y
precisa, como para poder abordar los complejos problemas de geometrı́a y cargas que en ella
se presentan, sin perder las dos condiciones básicas del diseño aeronáutico: la seguridad y
la ligereza. En la empresa Boeing, bajo la dirección de Turner, un pequeño grupo comienza
a implementar las ideas antes aludidas, que plasman en un artı́culo ya clásico, publicado
en el Journal of Aeronautical Sciences (Septiembre de 1956).
Es de señalar que el método vio la luz en el momento histórico en que de forma natural
tenı́a que aparecer. Efectivamente, se conjugaron los resultados aportados por Ritz, Galerkin y Courant en lo referente a métodos aproximados y formulación variacional con los
primeros de Cross, Levy y Argyris en el establecimiento de matrices de rigidez de barras,
y sobre todo los primeros balbuceos en la comercialización de ordenadores, sin los cuales
el MEF no hubiera sido posible. Todo ello en el breve espacio de los 25 años previos a la
aparición de este método.
Durante los años sesenta se establecen las bases matemáticas del método, siendo otra
fecha significativa en su desarrollo el año 1967 cuando se publica el libro de O. C. Zienkiewicz “The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics”, en el que se
compendian los conocimientos del método hasta esas fechas y que permitió su más amplia
difusión. En esos años, el MEF, inicialmente limitado a problemas estáticos lineales, se
extiende a problemas no lineales y dinámicos, destacando las contribuciones de Gallagher,
1
2
Apuntes de Elementos Finitos para Sólidos Deformables
Oden, Taylor y muchos otros.
Posteriormente, en la década de los setenta, el MEF alcanza su madurez, con la aplicación a múltiples problemas, no relacionados con el análisis estructural como mecánica
de fluidos, transmisión de calor, electricidad, etc. Asimismo aparecen los primeros textos
relacionados con los fundamentos matemáticos del método y nuevos algoritmos más eficaces
para la resolución de grandes sistemas de ecuaciones o problemas de autovalores, ası́ como
formulaciones no lineales. Es difı́cil destacar algunos nombres entre la ingente cantidad de
investigadores dedicados al método pero citaremos aquı́ además de los anteriores a Hinton,
Owen, Ciarlet, Glowinski, Irons, Bathe y Felippa.
Es en esta década también cuando aparecen los grandes programas de elementos finitos que hacen aplicable el método en la industria más sofisticada. Entre tales programas
destacan: ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, IDEAS, CATIA la serie SAP, ADINA, MARC,
STRUDL, ASKA, MODULEF, etc.
La segunda mitad de los setenta y la década de los ochenta se caracterizan por el desarrollo espectacular de los pre y postprocesadores gráficos que permiten una visualización
inmediata y realista de los datos y resultados del problema en estudio. Asimismo la aplicación del método a microordenadores, mediante la configuración de programas altamente
modulares y técnicas particulares de programación, ha supuesto una segunda revolución en
la difusión del método entre la pequeña y mediana empresa.
En la actualidad, el número de publicaciones e investigadores dedicados al método es
enorme, habiéndose consolidado como la principal herramienta de cálculo en el análisis
estructural, que ha permitido el desarrollo de centrales nucleares, naves espaciales y demás
puntas de lanza de la tecnologı́a actual.
El objetivo de este bloque es la presentación del MEF como herramienta para resolver
problemas lineales en el ámbito de la Mecánica de Sólidos Deformables. También utilizaremos el software comercial Abaqus para la resolución de varios problemas.
Presentación
(a) Pasarela metálica
3
(b) Unión soldada
(c) Stent metálico en una arteria
Figura 1.1
Distintas aplicaciones del método a problemas reales
4
Apuntes de Elementos Finitos para Sólidos Deformables
2
Introducción al método de los elementos
finitos
El objetivo de este primer capı́tulo es familiarizarnos con los conceptos generales del
método de los elementos finitos (MEF). Para ello, comenzaremos resolviendo una ecuación
diferencial de orden 2 utilizando el MEF, e introduciremos los conceptos de formulación
fuerte y débil, funciones de ponderación y aproximación (o de forma), nudos, elementos,
matriz de rigidez elemental, vector de carga, etc.
2.1.
2.1.1.
Resolución de una ecuación diferencial orden dos
Definición del problema
Encontrar la función u(x), 0 ≤ x ≤ L , que satisface la ecuación
d2 ux
= −fx
dx2
con las siguientes condiciones de contorno:
K
(2.1)
esencial : ux (x = 0) = 0,003m
dux (X = L)
= 750N
(2.2)
dx
siendo L = 2m , K = 0,06 × 106 N y fx = −750N/m.
Para mantener la generalidad del método, como veremos en capı́tulos posteriores, expresamos el problema (2.1) en forma matricial,
natural : G(L) = K
A.u = f
en Ω
G.u = g
en δΩ
siendo:
1. Vector de incógnitas: u = (ux )1x1
d2
2. Operador diferencial: A = SDH = ( dx
2 )1x1 de orden 2k (k=1).
d
3. Operador diferencial: H = ( dx
)1x1 de orden k.
5
(2.3)
Apuntes de Elementos Finitos para Sólidos Deformables
6
d
4. Operador diferencial: S = ( dx
)1x1 de orden k.
5. Matriz constitutiva: D = (K)1x1
6. Vector de datos: f = (f )1x1
2.1.2.
Formulación fuerte y débil problema
Esta forma de plantear el problema (2.1) se denomina forma fuerte del problema y exige
a la función solución derivabilidad con continuidad de orden 2. En este caso, el problema
tiene solución exacta sin más que realizar la doble integración y calcular las dos constantes
de integración con las dos condiciones de contorno existentes. Si se realizan tales operaciones
se llega a una solución exacta dada por (2.4)
ux (x) = (6,25x2 − 12,5x + 3)10−3
con
x
expresadoen
m
(2.4)
Sin embargo, vamos a proceder a su resolución mediante el método de los elementos
finitos. En primer lugar, se ha de transformar la formulación fuerte (2.1) en la formulación
débil. Para ello, se realiza el producto escalar de los dos términos que definen la ecuación
diferencial por una función vectorial ψ de la misma dimensión que la función incógnita u e
intregar las resultantes en el dominio del problema. En definitiva:
∫ L
∫ L
d2 ux
ψK
dx
=
−
ψfx dx
(2.5)
dx2
0
0
Si el término de la izquierda se integra por partes k veces se observa que el primer
término A.u se puede integrar, por partes una vez, de forma que aparecerán los dos términos
siguientes:
[
]L ∫ L
∫ L
dux
dψ dux
Kψ
−
K
dx = −
ψfx dx
(2.6)
dx 0
dx dx
0
0
Reordenando términos, nos queda
[
]L
∫ L
∫ L
dψ dux
dux
K
dx =
ψfx dx + Kψ
dx dx
dx 0
0
0
(2.7)
′
Para simplificar la notación representamos por f la derivada de f respecto x, con lo
que la ecuación (2.7) se puede expresar por
∫ L
∫ L
[
]L
′ ′
′
Kψ ux dx =
ψfx dx + Kψux
(2.8)
0
0
0
Conocida como formulación débil del problema. Si se encuentra una función ux solución
de (2.8) para cualquier función ψ (con continuidad de primer orden), deberá ser derivable
con continuidad de primer orden. A dicha función se denomina solución débil del problema.
Obsérvese que las condiciones de contorno naturales aparecen en esta formulación en el
término integral de contorno de la derecha de la ecuación, con lo cual para tenerlas en