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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS
DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Unidad Distrito Federal
Departamento de Matemática Educativa
Empoderamiento docente
desde una visión Socioepistemológica:
Estudio de los factores de cambio en las prácticas
del profesor de matemáticas.
Tesis que presenta
Daniela Reyes
Para obtener el Grado de
Maestra en Ciencias
En la especialidad de Matemática Educativa
Director de Tesis
Dr. Ricardo Arnoldo Cantoral Uriza
México, Distrito Federal
Noviembre, 2011
Buscar la democratización del saber, no es una tarea sencilla
y somos consciente de eso, sin embargo,
los socioepistemólogos,
desde la comunidad
de matemáticos educativos,
nos lo proponemos a diario.
Agradezco muy especialmente al
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt)
quien, a través de su apoyo,
me ha permitido como estudiante extranjera
realizar mis estudios de maestría
en tan prestigiosa institución.
Esto es una evidencia más
de su compromiso con el desarrollo y
la construcción del conocimiento científico
del país y de nuestro continente latinoamericano.
Daniela Reyes
N° de Becaria: 290575
Esta tesis se la dedico a quienes conforman la esencia de mi vida:
Fer, por enseñarme a vivir y ser mi ejemplo de ser humano,
Her, por enseñarme a luchar por la justicia y creer en mí,
Mamuna, por ser la razón de mi existencia en todo su sentido,
Viejo, por enseñarme a creer en las utopías y a ser libre,
Fausto, Alba y Vicky, por hacerme la tía más feliz del mundo,
Nonna, por ser el ejemplo de la lealtad, el amor y la bondad,
Vuelo, por impulsarme a volar y enseñarme a amar, a amarte.
Lo esencial, es invisible a los ojos.
Antoine de Saint-Exupéry
Agradecimientos
Agradecer es sentir y manifestar gratitud por algo recibido, por tanto, quienes nombre aquí, me han
entregado algo, seguramente, no material.
Cecilia, Nora, Patricia, Liliana, Ponte, gracias por confiar en mí e incentivarme a venir hasta acá.
Lulita (un codazo me cambió la vida), Naty, Marucha, Rivka, Ale, Pasto, Javi, gracias por compartir
la formación y la convicción de la docencia, he aprendido de ustedes lo que los libros no me han
sabido contar y en especial, gracias, por su amistad.
Lulita y Naty, gracias por su amistad incondicional, lo mejor que me han dejado: la felicidad de
vernos sonreír.
Natu, gracias por alegrar todas mis mañanas y estar al pendiente de mi vida mexicana, fuiste un
gran sostén para mí y sé, que lo seguirás siendo, porque “una noche bastó” para la eternidad.
Lau, gracias por cada plática y cada palabra de aliento, empezando desde el empuje para llamar a
preguntar por un pasaje a México.
Cin, siempre hemos tenido una amistad atípica, la coincidencia para nosotras es algo natural,
coincidir en esta amistad, fue una de las mejores cosas que me pasaron en la vida. No en vano, las
carátulas de esta tesis, tienen tu arte… sabés qué es lo que pienso en cada caso. ¡Gracias amiga!
Ju, Luca, Pato, Seba, Guadita porque en mis regresos a Argentina ustedes marcan la diferencia.
Enana, Vale… gracias por el aguante, el apoyo y la energía que siempre me brindaron cuando quise
bajar los brazos, porque su confianza incondicional me daba fuerza para seguir; por su amistad
única, por su esencia, por ser parte íntegra de mi vida… 22 años de amistad. ¡GRACIAS AMIGAS!
A los integrantes del seminario de Métodos y Fundamentos de la Socioepistemología: porque en ese
seminario construí mis mayores saberes sobre la Socioepistemología.
Aleph (Eli, José, Lesly, Victor, Arturo y Sergio), porque sus preguntas, sus reflexiones, sus
cuestionamientos, tan profundos, fueron faros en el mar para guiar las conclusiones de mi trabajo…
Agradezco a todo el personal de Cinvestav – Matemática Educativa: Jadde (una más de nosotros), a
Nancy y a todo el equipo por hacer del Departamento, un hogar.
En especial, quiero agradecer a Adri Parra. Adri, sos un ángel que cayó en la Tierra, no hay duda. Y
a Martiux, a vos Martiux, gracias por tantos buenos momentos compartidos y por tu calidad y
calidez de persona.
A mi generación: Clau, Lupita, Tati, Thela, Rubén y Ady, por compartir los primeros pasos de un
largo camino hacia el futuro.
A las otras generaciones, por hacer de Matedu una comunidad y construir conocimientos a la par.
Gracias Jo, María Elena, Paty, Lalo, Enrique, por hacer los días más placenteros.
Agradezco a los profesores que han impartido los seminarios durante el comienzo de mi formación:
Claudia Acuña, Asuman Oktac. En especial a Rosa María Farfán, Marta Valdemoros, Francisco
Cordero y Ricardo Cantoral, por haberme enseñado a investigar, investigando. Asimismo, quiero
agradecer todo el apoyo técnico y profesional brindado para la realización de esta tesis y durante
nuestra formación como investigadores a la Ing. Martha Maldonado Rosales, Auxiliar de
Investigación del DME.
Quiero agradecer a mis sinodales, Gisela Montiel y Rosa María Farfán, por haber aceptado discutir
intelectualmente este proyecto y brindar sus aportaciones.
Muy especialmente, quiero agradecer a quienes con el ejemplo, la convicción y la dedicación me
han enseñado y apoyado en este trabajo de investigación:
Gisela, gracias por todo, en todo momento. Porque con vos he crecido académica, emocional y
personalmente de manera incomparable, porque sos, para mí, un ejemplo a seguir… ¡GRACIAS!
Ricardo, gracias por haber confiado en mí para cada uno de los proyectos emprendidos a la par, por
dejarme e impulsarme a crecer, por escuchar lo que tenía para decir… gracias por mostrarme con tu
ejemplo que la lucha es válida y que las utopías de hoy no son más que el comienzo de una realidad
futura. ¡GRACIAS!
Quiero agradecer muy especialmente al profesor con quien realicé el estudio de caso y a toda su
familia, por abrirme las puertas y dejarme ver de manera transparente la realidad docente. Estaré
infinitamente agradecida con ustedes.
Agradezco a todos y cada uno de los docentes que participaron de la Especialización, quienes me
permitieron ver su realidad y acrecentar mi creencia de que la docencia es profesión y convicción.
Ustedes son los principales protagonistas de esta historia.
También a Rebeca, quien ha leído el trabajo y ha contribuido para la consolidación de este proyecto.
Hoy puedo asegurar, sin ninguna duda: la tesis se escribe a solas, en una lap… pero se hace en
Cinves, en comunidad… Gracias a la comunidad, por ser parte de este proyecto.
Agradezco a Clau Balam, a Jaso, a Clau Méndez, a Jano, a May, a Pame… por compartir conmigo
la experiencia de una nueva amistad.
En particular, quiero agradecer a esas personas que han marcado mi vida… Como siempre dije,
vine a México con el objetivo de formarme como investigadora, de buscar herramientas para hacer
de la educación un derecho y no un privilegio, porque concibo a la educación como motor social…
Y México me dio más que eso, me dio personas que me cambiaron la vida, para mejor, me dio a
tres nuevos hermanos:
Me dejó conocerte hermano, me dejó aprender de lo precioso que es luchar por la libertad y la
igualdad, aprender lo que es ser “buena gente”, con todo lo que eso conlleva, me dejó conocerte
Lian…
Me dejó aprender lo maravilloso que es compartir la vida y ser parte una de la otra, tu calidez ha
hecho de mis días algo incomparable, me dejó conocer a alguien que eternamente, será parte de mi
vida, me dejó conocerte Kar; me dejó conocerte, hermana…
Y de vos, ¿qué decir de vos, Da? Las palabras no alcanzan, mujer, para explicar lo que significás
para mí… y sí hermana, esta tesis también es nuestra, porque ¡la lucha es compartida!
A los tres, les agradezco con el alma su amistad sincera e invalorable, porque esta tesis tiene algo de
cada uno de ustedes: ¡GRACIAS!
A mi familia: Tío, Mica, Lean, Lau, Jor, Madrina, Javi, Malala, José y Ale, gracias por el apoyo
constante.
Titi, la distancia nos ha unido de una manera incomparable, gracias por ser parte de cada uno de los
avances de esta tesis.
Por último, y sobre todas las cosas, a quienes fue dedicado este trabajo, a: Fer, Her, Mamuna, Viejo,
Fausto, Alba, Vicky, Nonna, Vuelo… ¡GRACIAS POR APOYARME A BUSCAR MI PROPIO
CAMINO!
Esta tesis, aunque ha sido escrita en México, tiene sabor a mate; aroma a carbón; textura a río;
sonido pastillero, damianezco (gracias Dami por teletransportarme a Argentina en cada una de tus
canciones), folklórico, cubano y silviero… y sobre todas las cosas, tiene mirada latinoamericanista.
¡Gracias Argentina! ¡Gracias México!
A todos, ¡GRACIAS! Por haberme dado, aquello que no se puede palpar.
GRACIAS.
Índice
Página
Índice ...............................................................................................................
i
Resumen ........................................................................................................... v
Abstract ........................................................................................................... vii
Introducción .................................................................................................... ix
Capítulo I: La problemática ................................................................................ 1
I. 1. Motivación ......................................................................................... 5
I. 2. Problema ........................................................................................... 7
I. 3. Contextualización ............................................................................. 14
I. 4. Objetivo de investigación .................................................................. 17
Capítulo II: Marco teórico .................................................................................. 19
II. 1. La Matemática Educativa ............................................................... 23
II. 2. La Socioepistemología ..................................................................... 26
Principios de la Socioepistemología .............................................. 28
El principio normativo de la práctica social ................................. 28
El principio de racionalidad contextualizada ............................... 29
El principio del relativismo epistemológico .................................. 30
El principio de la resignificación progresiva o apropiación .......... 31
II. 3. El discurso matemático escolar (dME) ........................................... 32
II. 4. Cambio de centración: de los objetos a las prácticas ...................... 40
Construcción social del conocimiento matemático ....................... 42
Situación de aprendizaje .............................................................. 43
II. 5. Una síntesis necesaria ..................................................................... 45
i
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento docente ..................................... 47
III. 1. Distintas interpretaciones de Empoderamiento ........................... 51
III. 2. Contribución de la Especialización en el fenómeno de
Empoderamiento Docente ........................................................... 60
III. 3. El fenómeno de empoderamiento docente según la
Socioepistemología. ........................................................................ 62
III. 3.a. El fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME 63
III. 3.b. El fenómeno de empoderamiento y el fenómeno de
Reproducibilidad ............................................................... 66
III. 3.c. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber . 70
III. 3.d. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber:
El caso de la proporcionalidad .......................................... 75
Dimensión cognitiva .......................................................... 77
Dimensión epistemológica ................................................. 84
Dimensión didáctica .......................................................... 86
Dimensión social ................................................................ 90
Capítulo IV: Marco Metodológico ........................................................................ 93
IV. 1. Método: Estudio de caso ................................................................. 97
IV. 2.1. Vía de inferencia ......................................................................... 101
IV. 2.2. Selección del caso ........................................................................ 102
Consideraciones de la evolución matemática respecto a los
Exámenes de admisión y egreso ................................................... 103
Consideración de la participación en la etapa presencial ............ 103
Consideración de la participación en la reproducibilidad ............ 104
Consideración pragmática ............................................................ 105
ii
Consideración del trabajo en la reproducción .............................. 105
IV. 2.3. Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información
Información. ................................................................................ 106
IV. 2.4. Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos .......... 106
IV. 2.5. Las técnicas de análisis ............................................................... 107
IV. 2.6. Criterios de la investigación ....................................................... 107
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos ........................................... 109
V. 1. Descripción del docente observado .................................................. 113
V.2. Actitudes de liderazgo ...................................................................... 114
Episodio 1, interacciones durante la fase de reproducibilidad .... 115
Episodio 2, primera interacción de Santiago con los colegas,
4 de mayo de 2011......................................................................... 119
Episodio 3, segunda interacción de Santiago con los colegas,
12 de mayo de 2011........................................................................ 122
Síntesis de actitudes de liderazgo ................................................ 127
V. 3. Desempeño matemático ................................................................... 127
Episodio 1, primer año, curso D, 6 de junio de 2011 .................... 130
Episodio 2, primer año, curso A, 7 de junio de 2011 .................... 132
Episodio 3, primer año, curso A, 7 de junio de 2011 ..................... 135
Episodio 4, primer año, curso C, 7 de junio de 2011 ..................... 138
Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011 ..................... 143
Episodio 6, problematización del saber con Santiago,
8 de junio de 2011 ......................................................................... 152
Episodio 7, primer año, curso A, 8 de junio de 2011 .................... 155
Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011 .................... 160
iii
Síntesis de desempeño matemático .............................................. 162
V. 4. Desempeño profesional .................................................................... 163
Episodio 1: las clases en sus comienzos ........................................ 163
Episodio 2: los lazos entre sus profesiones ................................... 164
Episodio 3: su experiencia en la Especialización ......................... 165
Episodio 4: su relación con el saber antes de la problematización
Del mismo ................................................................. 166
Episodio 5: su interacción con el saber matemático ..................... 168
Episodio 6: la incidencia en su práctica docente .......................... 170
Episodio 7: lo que sigue ................................................................ 171
Síntesis de desempeño profesional ............................................... 172
V. 5. Una síntesis necesaria ..................................................................... 172
Capítulo VI: Conclusiones .................................................................................... 175
Referencias bibliográficas ................................................................................... 195
iv
Resumen
En esta investigación se analiza y caracteriza el fenómeno de empoderamiento docente
desde una visión teórica particular: la Socioepistemología. Reconocemos la figura de Docente
como intelectuales profesionales que se ocupan de la formación académica, ética y ciudadana de
los jóvenes de nuestra sociedad.
Partimos de una base conceptual respecto del aprendizaje en matemáticas. La apropiación
del conocimiento matemático precisa de argumentaciones diversas con racionalidades puestas
en contexto, de promover una resignificación progresiva de las nociones y procesos matemáticos
que consideren varios marcos de referencia, todo ello sobre la base de asumir a las prácticas
sociales como generadoras del conocimiento; esto es, que se acepte un rediseño del discurso
matemático escolar (dME), como el que plantea la teoría Socioepistemológica, labor compleja,
no trivial. No basta para la mejora educativa, con ofrecer al docente talleres o cursos en los que
se discutan herramientas didácticas o metodologías pedagógicas.
La formación habitual que han tenido los docentes excluye este tipo de reflexiones a causa
directa del papel que juega el dME como enfoque legítimo y hegemónico en los sistemas
educativos: impone argumentaciones, significados y procedimientos sobre los saberes
matemáticos según refiere Soto (2010) y ante la implementación de las propuestas didácticas
que desde la investigación se ofrecen, se evidencia una fragilidad considerable como señala
Lezama (2005).
Concebimos al empoderamiento como el proceso social vivido por el docente, en conjunción
con colegas e investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y adherirse
a las nuevas propuestas del dME. Asimismo, este proceso de empoderamiento le permite al
docente apropiarse del saber que enseña mediante su problematización. Son estas variables
quienes, en conjunto, brindan las condiciones que potencian una actitud de liderazgo, que le
dan confianza y fortalecen su autonomía con el fin de abrir caminos a la innovación, no sólo de
diseños o implementaciones didácticas, las situaciones de aprendizaje, que la investigación
ofrezca, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con sus
estudiantes que hagan emerger los distintos significados del saber matemático. Todo ello, como
uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME. Esta participación
novedosa ante el saber que desarrolla el docente, potencia el aprendizaje basado en procesos de
construcción social del conocimiento, y de este modo, atiende y evita el fenómeno de exclusión
educativa que provoca la matemática escolar bajo el cobijo del dME.
En síntesis, con esta investigación se postula que es indispensable que el docente vivencie
un proceso de empoderamiento para poder lograr modificaciones en su práctica y en
consecuencia lograr el aprendizaje de sus alumnos.
v
vi
Abstract
In this investigation, is analyzed and characterized the teacher empowerment
phenomenon from a certain theoric vision: the Socioepistemology. We recognize
teachers roll as professional intellectuals who deal with academic training, ethics and
citizen young people in our society.
We set up from the a conceptual core of mathematics learning. The ownership of
mathematical knowledge need different arguments with rationales context, to promote
progressive resignification of knowledge and mathematics process considering
multiple frames of reference, all of them about to assume the social practices such as
knowledge generators, that is, accepting a redesign of school mathematical discourse
(dME), such as proposing the Socioepistemology, is not trivial. It’s not sufficient for
improving education with to offer workshops or courses to teachers in which to discuss
teaching tools and teaching methodologies.
The habitual teacher formation don´t have this kind of reflexions, it’s a direct
cause of dME like said Soto (2010) is legitimized by the educational system, which
requires arguments, meanings and procedures over mathematical knowledge and
above all the implementation of educational proposals from research to offer, there is
evidence of considerable fragility by Lezema (2005).
We conceive of empowerment as the social process lived by the teacher, in
conjunction with colleagues and researchers, in order to understand, to assimilate, to
assume, to agree and to adhere to the new proposal of dME. Furthermore, this process
of empowerment allows the teacher to appropriate of knowledge that it teaches
through of his problematization. They are these variables who, together, provide the
conditions to foster a leadership attitude, which gives confidence and strengthen their
autonomy in order to open ways for the innovation, not only of designs or
implementations didactic, the learning situations, which the research offers, but also,
in generating questions, discussions and reflections with their students who make
emerge the different meanings of mathematical knowledge. This, as one of the
learning mechanisms accompanying the redesign of the dME. All this, as one of the
didactic mechanisms that he accompanies on the redesign of the dME. This new
involvement with the knowledge that the teacher develops, fosters the learning based
on process of social construction of knowledge, and thus, attends and avoids the
phenomenon of educational exclusion that provokes the school mathematics under the
shelter of dME.
In summary, whit this research is postulated that it is essential that the teacher
lives a process of empowerment to be able to make changes in his practice and thereby
achieve learning of his students.
vii
viii
Introducción
x
Introducción
Aunque pueda parecer utópico,
“Los sueños de hoy
serán realidades de mañana.”
José Martí
La profesión docente es una de las más cuestionadas en la sociedad
contemporánea. Es usual que se ponga en duda el desempeño de los docentes desde
cualquier ámbito social: la familia, el periodismo, el gobierno y desde muchos otros
ámbitos profesionales. Nosotros en cambio, para hacer esta investigación, partimos del
reconocimiento del docente como intelectual profesional que se ocupa de la formación
académica, ética y ciudadana de los jóvenes de nuestra sociedad. Reivindicamos por
tanto, y respetamos sobre manera su labor, no sólo porque también somos docentes,
sino porque estamos convencidos de la relevancia que tiene su labor en el progreso y
desarrollo social. Entender y atender su realidad para nosotros es más que un trabajo
de investigación, es una profunda convicción.
xi
Introducción
En esta investigación estudiaremos y caracterizaremos el fenómeno de
empoderamiento docente, concebido como un proceso que vive el individuo en colectivo
y que tiene como objetivo principal generar una actitud de liderazgo, confianza y
autonomía que se traduzca en una mejora en el desempeño profesional. Hacerse dueño
del saber que enseña, brinda a un docente la posibilidad de abrir caminos a la
innovación de diseños y a la implementación de situaciones de aprendizaje que ofrece
la investigación. Así también, permite atender la diversidad de pensamientos
matemáticos que surgieran por parte de los estudiantes durante el desarrollo de una
situación, con base en interacciones de naturaleza dialéctica, que hagan emerger los
distintos significados de los saberes matemáticos mediante retroalimentaciones
sucesivas entre el individuo y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural
(Cantoral, Farfán, Lezama & Martínez Sierra, 2006).
Sostenemos que la formación que hasta hoy reciben los docentes – en los procesos
de formación continua – los excluye de este tipo de reflexiones a causa del discurso
Matemático Escolar (dME) que está legitimado por los sistemas educativos, que
impone
argumentaciones,
significados
y
procedimientos
sobre
los
saberes
matemáticos. El dME actual posee un carácter utilitario y hegemónico, carece de
marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de conocimientos
acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010), exento
por completo de una visión de la construcción social del conocimiento matemático, por
tanto, excluyente de ella.
Con las investigaciones que la Teoría Socioepistemológica realiza, se ha
demostrado la necesidad de lograr un aprendizaje elocuente en Matemáticas, que
privilegie entre las situaciones de aprendizaje, las prácticas sociales en su papel de
generadoras del conocimiento; con la investigación de Soto (2010) se logró
despersonificar el problema del aprendizaje de las matemáticas, dejando en claro que
el fracaso escolar en matemáticas no es debido a fallas o culpas ni del docente ni del
estudiante, sino que es el dME el que excluye a los actores didácticos de una
construcción social del conocimiento matemático. Pero… ¿Cómo podríamos solicitarle a
los docentes que se cuestionen el saber, ante un dME que impone y legitima esa
imposición?
xii
Introducción
En el haber de la investigación educativa hay una enorme cantidad de
investigaciones que se replantean el tipo de metodologías pedagógicas o herramientas
didácticas que los docentes deben aprehender para mejorar sus clases. Sin embargo,
creemos que eso no basta para que exista un cambio profundo en la educación de la
matemática. Desde la Teoría Socioepistemológica, replanteamos, primeramente, el qué
se enseña a nuestros estudiantes, además de preguntarnos cómo se enseña. Este matiz
produce una reorganización de la perspectiva teórica: el qué y el cómo.
La comunidad ha brindado numerosas e interesantes propuestas didácticas que
privilegian y reconocen a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento
matemático, atendiendo al qué se enseña en las clases de matemática. Digamos que al
acudir a la noción de práctica social tendemos un puente entre el qué enseñar y cómo
enseñar. Sin embargo, al estudiar el fenómeno de reproducibilidad, en donde se
analiza aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al aula y busca los
factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de éstas una vez que hayan
sido aplicadas en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001), nos damos cuenta que
existe una fragilidad considerable en la reproducibilidad. Se reconoce el fracaso a
causa de las distorsiones que se producían al aplicar las actividades en el aula,
producto de las interpretaciones que hacían los docentes sobre ellas y a las
características del grupo. En esta investigación se asume que se hicieron las
adaptaciones pertinentes a las situaciones y que se trabajó estrechamente con los
docentes… pero no bastó para generar el aprendizaje esperado en los estudiantes.
Asimismo, Salazar y Díaz, (2009), Iturbe y Ruiz (2011) y Valdemoros (2010), han
evidenciado que aun trabajando con docentes, diseños que tenían como fin superar
dificultades respecto al aprendizaje, si bien reconocen que han “avanzado como
maestros” y tienen acceso a la información que la investigación aporta según el proceso
de enseñanza-aprendizaje, ellos no han podido producir modificaciones en su práctica.
Al respecto, nosotros nos hicimos la siguiente pregunta: si el dME, legitimado por
el sistema educativo, es el que excluye de la construcción del conocimiento matemático
(Soto, 2010) y los docentes que actualmente están a cargo de las clases de Matemática
de cualquier nivel, y secundaria en particular, fueron y son formados con base en este
xiii
Introducción
mismo dME (Reyes Gasperini, 2010; Reyes Gasperini & Crespo, 2011), ¿es posible que
ellos favorezcan la construcción social del conocimiento matemático si han sido
excluidos también? De igual manera, desde la investigación se proponen situaciones de
aprendizaje que propicien la construcción del conocimiento con base en la
problematización del saber matemático. Los docentes, apropiándose de ella mediante
el rediseño de la situación, se estima, sean quienes puedan llevar al aula estas
discusiones, reflexiones y acompañar en el proceso de aprendizaje (Lezama, 2005),
pero… ¿Podrán ellos favorecer la problematización del saber si no lo han hecho
durante su formación, ni inicial ni continua?
Es por esto, que nuestra investigación, más que discutir los aspectos pedagógicos,
se replantea la problematización del saber como camino para incidir en la práctica
docente. Postula que los docentes deben ser conocedores de esta nueva mirada de las
Matemáticas y deben vivir el proceso de construcción del conocimiento para,
posteriormente, poder generar espacios propicios con sus propios estudiantes. Es
evidente, que este trabajo no es trivial y mucho menos, individual de partida. La
legitimidad del dME (Soto, 2010), es sumamente imponente como para que los
docentes, por cuenta propia, se lo cuestionen. Entender, estudiar y atender estas
problemáticas que de la comunidad educativa emergen, es uno de los quehaceres de los
matemáticos educativos, ya que la investigación nos da evidencia de cómo podrían
llevarse a cabo estos procesos (Reyes Gasperini, Gutiérrez & Moreno, 2011).
En nuestra investigación se da evidencia de que el proceso de empoderamiento,
mediante la transición de la problematización del saber matemático a la construcción
de herramientas para el saber didáctico, genera en el docente una actitud de liderazgo,
confianza y autonomía que se traduce en una mejora en el desempeño profesional. Es
decir, apoyándonos en el diseño y desarrollo de un Proyecto Nacional para docentes de
secundaria fundado sobre la Teoría Socioepistemológica y en particular mediante el
estudio de casos, mostramos que es a través de la problematización del saber que se
puede incidir en el cambio de visión hacia las Matemáticas por parte de los docentes,
en un mejoramiento en su práctica y, por tanto, en un mejoramiento el aprendizaje de
los estudiantes. Esto le permite al docente diseñar sus propias situaciones de
xiv
Introducción
aprendizaje como herramientas didácticas para generar escenarios propicios en el que
se atienda al aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento.
En el capítulo I planteamos, en primer lugar, las motivaciones que nos llevaron a
realizar esta investigación; luego, exponemos el problema de investigación y la
contextualización donde se lleva a cabo la misma. Por último, damos a conocer el
objetivo de nuestra investigación.
En el capítulo II nos adentramos en los principios y fundamentos de la Teoría
Socioepistemológica, que fungirán como herramienta principal para analizar el
fenómeno observado; retomaremos y explicaremos un constructo teórico que de esta
teoría se desprende: el discurso Matemático Escolar y, por último, reflexionamos sobre
el cambio de centración de “los objetos a las prácticas”, particularizando en la
construcción social del conocimiento como sustento del aprendizaje y las situaciones de
aprendizaje como herramientas didácticas.
Dado que el constructo teórico de empoderamiento es nuevo en Matemática
Educativa, en el tercer capítulo , nos vimos en la tarea de realizar el estado del arte
sobre las caracterizaciones existentes en otras áreas de investigación, en particular, en
aquellas que refieren a la educación. Con ello, pudimos detectar elementos
transversales a todas los contextos en los que se hizo la revisión de la literatura, a
saber:
1.
es un proceso del individuo en colectivo;
2.
no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo;
3.
parte de la reflexión y se consolida en la acción;
4.
transforma la realidad.
Estas consideraciones, sirvieron como punto de partida para la caracterización del
empoderamiento docente desde la Socioepistemología, analizándolo en relación al
fenómeno de la exclusión del dME (Soto, 2010), al fenómeno de la reproducibilidad
(Lezama, 2005) y, en particular, al saber matemático.
En el último apartado mencionado, el fenómeno de empoderamiento y su relación
al saber, postulamos un modelo conceptual del desarrollo del conocimiento matemático
xv
Introducción
(ver figura i), basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, como
acompañamiento de las reflexiones que se realicen entre docentes e investigadores,
docentes y estudiantes, y sus combinaciones, como posible guía para problematizar el
saber. Es decir, ante la inminencia de la necesidad del rediseño del dME actual, nos
hemos dado a la tarea de explicar cuál y cómo podría ser el proceso que podría vivir el
docente, para que acompañe y sea parte del cambio de concepción sobre el aprendizaje
de la matemática, basada en los conocimientos matemáticos como emergentes de la
construcción social.
Figura i: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los
principios de la Teoría Socioepistemológica.
Posterior a ello, hemos realizado la problematización del saber matemático
conocido como proporcionalidad, en cuando a su dimensión cognitiva, epistemológica,
didáctica y social; ya que la proporcionalidad ha sido el tema abordado por el docente
con quien hemos realizado el estudio a profundidad.
Hemos elegido utilizar el método de estudio de caso, explicado en el Capítulo IV,
como una valiosa herramienta de exploración y hallazgo para contribuir a la
ampliación, especificación y puntualización de la caracterización del fenómeno de
empoderamiento docente, considerando que la mayor fortaleza de este tipo de
xvi
Introducción
metodología cualitativa es: “que a través del mismo, se mide y registra la conducta de
las personas involucradas en el fenómeno estudiado” (Martínez Carazo, 2006, p. 167).
La evidencia empírica recabada del estudio de caso y su respectivo análisis, lo
realizamos en el capítulo V, dividiéndolo en cuatro grandes apartados: en primer
lugar, realizamos una descripción del docente participante contemplando tanto su vida
personal como la dimensión académica con el fin de entender su contexto. En un
segundo momento, hemos analizado aquellos elementos que permitieron evidenciar la
actitud de liderazgo que expresó el docente durante su proceso de empoderamiento. En
tercer lugar, revisamos la relación que ha tenido el docente con el saber, en cuanto a
su desempeño matemático, tomando como evidencia principal las interacciones que
tuvo con los estudiantes previa y posteriormente a la problematización del saber de la
proporcionalidad. En cuarto y último lugar, hicimos evidentes los progresos en su
desempeño profesional, producto de esta problematización del saber, tomando como
evidencia su práctica y los cambios que se hubieran provocado en ella, como así
también, su reflexión posterior a las clases.
Para finalizar, en el capítulo VI, se desarrollan las conclusiones de esta
investigación. Allí mostramos una articulación de los elementos teóricos con las
evidencias empíricas ubicadas en tiempo y espacio, en donde exponemos que nuestra
originalidad radica en que dicha articulación se sustenta en el contexto y en las
circunstancias sociales y culturales que caracterizan al acto educativo en el México
contemporáneo. Toda conclusión por su parte, cierra, a la vez que abre, una reflexión y
una problemática. Intentaremos por ese motivo, dejar planteados los hilos a seguir en
investigaciones futuras. Es aquí, en las conclusiones finales donde mostraremos la
fuerza y amplitud de la teoría socioepistemológica.
xvii
Introducción
xvii
i
Capítulo I: La problemática
Dime y lo olvido,
enséñame y lo recuerdo,
involúcrame y lo aprendo.
Benjamín Franklin
Al momento de plantear el tema de investigación, resulta inevitable considerar tres
aspectos fundamentales de nuestra realidad: en primer sitio, el aspecto más subjetivo, que
es el conformado por las motivaciones en las que se encierran las vivencias personales, las
experiencias como miembro de una sociedad y los relatos como miembro de una comunidad
en particular; en segundo término, esta vez sí, en un sentir más objetivo, la problemática
que será abordada por la investigación a través de los fenómenos que estudia y atiende la
sociedad y la comunidad educativa, lo que favorece el que la investigación sea relevante
para la mejora del sistema educativo actual; y, por último, la contextualización sobre la cual
se ha detectado y analizado el fenómeno que, al comienzo de las hipótesis, se ha considerado
para la investigación. Todos estos aspectos, en su conjunto, permiten conformar y consolidar
el objetivo de la investigación.
3
Capítulo I: La problemática
4
Capítulo I: La problemática
I. 1. MOTIVACIÓN
Siendo estudiante de secundaria comencé a replantearme cuál era el motivo por el cual
la Matemática que conocía se reducía a algoritmos de todos los tipos, buscando en ese
entonces alguna manera de entender la materia más allá de ellos. No fue que la comencé a
comprender hasta llegar a mis estudios de Profesorado de Matemática. Allí nos
replanteamos cuáles eran las mejores vías para introducir cualquier tema académico,
mientras que analizábamos sus dificultades, sus obstáculos didácticos, sus obstáculos
epistemológicos y se pretendía poner en conflicto el saber del estudiante, donde se provocara
que él reflexionara sobre las actividades dentro del área y pudiera acceder más fácilmente al
conocimiento. La experiencia de las prácticas en el colegio fue con base en estas maneras de
abordar los contenidos matemáticos, sin embargo, una vez inmersa en el Sistema Educativo,
como profesora, el currículo no acompañaba a este tipo de diseños. La cantidad de temas
resultaba exhaustiva y provocaba la reducción, nuevamente, a los algoritmos; claro está,
dependiendo de la libertad con la cual contaba el docente por parte de las autoridades del
colegio para poder modificarlas según sus convicciones y creencias. Esta libertad dista de ser
amplia en la mayoría de los colegios.
Sin embargo, ante cualquier intención de modificación de la manera de abordar los
contenidos matemáticos dentro de un curso, se debe tener la precaución de ser conscientes
de que en el siguiente curso, quizás su manera de abordar la materia sea distinta,
induciendo al estudiante – quien todavía está en formación – a un potencial desconcierto.
Recuerdo una plática de un colega, Doctor en Ciencias especialidad en Matemática
Educativa, quien visitó Argentina, en la cual contaba una historia similar a ésta; sin entrar
en detalles, la moraleja es la siguiente: en su curso los estudiantes habían trabajado de una
forma con la cual habían salido sumamente conformes y reconocían haber pensado
matemáticamente, sin embargo, cuando ingresaron al curso siguiente, se sentían con
falencias para abordarlo ya que la manera de enseñanza era tradicional y ellos ya habían
cambiado su forma de relacionarse con el saber matemático.
5
Capítulo I: La problemática
He aquí, mi primera motivación: la personal. La formación que había recibido durante
mis estudios para Profesora de Matemática de nivel Secundario y Terciario 1 , distaban
mucho de lo que realmente se podía hacer una vez inmersa en el Sistema Educativo y lo que
hiciera como individuo -de individualidad- no iba a ser útil para la sociedad toda.
Aunado a esto, desde una perspectiva más social y menos individualista, la comunidad
educativa es consciente de las problemáticas existentes en las clases de Matemática: del
bajo rendimiento de los estudiantes en los exámenes, de la deserción estudiantil tanto en
colegios secundarios como en institutos de formación de profesores (Reyes Gasperini &
Crespo, 2011), la necesidad de cursos de formación continua para profesores, entre muchos
otros fenómenos; que conllevan a un replanteo constante de qué camino tomar para lograr el
mejoramiento progresivo de la educación en el área de Matemática. Es así, que la
investigación en Matemática Educativa – concebida como la disciplina del conocimiento que
se ocupa del estudio de fenómenos didácticos ligados al saber matemático (Cantoral &
Farfán, 2003) – se encuentra en la búsqueda continua de trazar los caminos oportunos que
procuren la mejora en el proceso de enseñanza-aprendizaje de los saberes matemáticos.
Por último, y no por ello menos importante, dentro de esta disciplina se encuentra el
grupo de investigadores que, desde hace mucho tiempo atrás, con base en la Teoría
Socioepistemológica, se replantean las posibles causas de los fenómenos anteriormente
mencionados, bajo la premisa de que problematizar el saber, focalizar nuestra atención en la
construcción social del conocimiento matemático por encima del discurrir sobre conceptos
matemáticos en sí, y replantear el aprendizaje con base en las prácticas sociales que le
dieron origen a esos conocimientos, permitirá encontrar los posibles caminos de mejora.
Desde el Departamento de Matemática Educativa del Centro de Investigación y de
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (DME del Cinvestav-IPN) se impulsó
el Proyecto Nacional bajo convenio con la Secretaría de Educación Pública de México (SEP),
llamado Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas
de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas. Con él, la Teoría
Socioepistemológica incidió sobre y en el Sistema, luego de muchos años de investigaciones
tanto empíricas como teóricas que validaron los fundamentos teóricos en los cuales se basó
1
Lo que refiere a la formación de educación media (11-17 años) y Formador de Formadores, entre otras.
6
Capítulo I: La problemática
el Proyecto, del cual tuve la oportunidad de ser parte, como miembro del equipo académico.
Esta participación me ha dejado ver cómo los profesores eran parte de un proceso de
reflexión profundo respecto a los saberes matemáticos que ellos ponen en juego con sus
estudiantes, es decir, encontrar los porqués de sus resultados, los fundamentos que se
esconden detrás de los algoritmos, entre otras cuestiones. Las distintas argumentaciones
que iban robusteciéndose con la interacción conjunta permitían a los docentes, a su vez,
robustecer la amplitud de sus conocimientos.
En síntesis, dada mi condición de Profesora de Matemática y las reflexiones que mi
profesión me ha generado desde mis estudios, por ejemplo: ¿cómo lograr, desde la
comunidad educativa, modificar y/o mejorar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Matemática?; dada la necesidad social de entender y atender a los fenómenos didácticos en
el contexto escolar que tenga como objeto el mejoramiento de la educación; y dada la
oportunidad de participar de un Proyecto Nacional basado en la Teoría Socioepistemológica,
lo cual le brinda a la misma resultados del proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula a
través de un discurso centrado en la investigación; es que emergió la motivación para
realizar el presente estudio del fenómeno de empoderamiento docente de Matemáticas
basado en la Teoría Socioepistemológica.
I. 2. PROBLEMA
Es sabido que el proceso de enseñanza-aprendizaje que rige los currículos de
Matemática en los Sistemas Educativos se centra en los objetos matemáticos más que en la
construcción del conocimiento matemático; es decir, se concibe que las matemáticas tratan
con objetos abstractos, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas al
individuo, siendo el profesor quien comunica “verdades preexistentes” a sus alumnos
normado por el discurso Matemático Escolar (Cantoral, 2003).
Es la Teoría Socioepistemológica, que surge como una escuela de pensamiento en el
campo de la Matemática Educativa, la que plantea la construcción social del saber como
fundamento del aprendizaje. En primer lugar, esta teoría estudia la naturaleza del saber,
entendiendo a éste desde el posicionamiento del ser humano como actor de la construcción
de sus sistemas conceptuales; en segundo lugar, se ocupa de las prácticas sociales como
7
Capítulo I: La problemática
normativas de la actividad humana y como base de la construcción de los sistemas
conceptuales por parte del ser humano, problematizando las causas que lo conducen a hacer
lo que hace (Covián, 2005); en tercer y último lugar, se ocupa de caracterizar las
articulaciones
con
evidencia
empírica,
de
nociones
y
términos
del
modelo
socioepistemológico (Cantoral, 2006); todo esto con el fin de poder incidir en el Sistema
Educativo y mejorar los procesos que en él se esconden.
Es claro que para incidir en el Sistema Educativo, en este caso el mexicano, es necesario
considerar a un eslabón fundamental de la cadena educativa: el profesor, la autoridad
pedagógica dentro del aula. El conocimiento de sus creencias y concepciones, como así
también, entender cómo es el profesor de secundaria en todos sus sentidos, deja relucir que
él también tiene una centración en los objetos matemáticos, distando de la reflexión sobre la
construcción social del conocimiento; esto como resultado de la legitimidad que se le ha dado
al dME. La reciente investigación de Soto (2010) evidencia que “el dME es caracterizado
como un sistema de razón (SR), que excluye a los actores del sistema didáctico (estudiante y
docente) de la construcción del conocimiento matemático a través de una violencia simbólica
(VS)” (p. 91). Con ello, se despersonifica la problemática del fracaso en matemáticas -no es
culpable el docente por “enseñar de manera inadecuada”, ni el estudiante por “no estudiar lo
suficiente”-, postulando al dME como generador de la exclusión de la construcción del
conocimiento matemático. En este sentido, es preciso aclarar que:
(…) la estructuración de dichos discursos no se reduce a la
organización de los contenidos matemáticos, ni a su función
declarativa en el aula (el discurso escolar), sino que se extiende un
tanto más allá, al llegar al establecimiento de bases de
comunicación para la formación de consensos y la construcción de
significados compartidos. (Cantoral, Farfán, Lezama & Martínez-
Sierra, 2006, p. 86)
Una característica importante a destacar del plantel de profesores mexicanos es la
diversidad de estudios y de carreras matriz que poseen, las cuales pueden ser muy variadas:
en primer lugar, encontraremos a aquellos que han estudiado en la Escuela Normal 2 para
devenir Profesores de Matemática; en segundo lugar, el estudio de aquellas carreras que son
2
Se entiende como Escuela Normal a las Instituciones que forman a los futuros profesores.
8
Capítulo I: La problemática
afines con la Matemática: Arquitectura, Ingeniería, Economía, Contaduría, Actuaría, entre
otras; y, por último, carreras que poco tienen que ver con ella: Odontología, Profesorado de
Inglés, Profesorado de Biología, Corte y Confección, entre muchas otras.
Ahora bien, el hecho de que la planta docente esté conformada por profesionales de
distintas áreas del conocimiento, sin la necesidad de una formación como educadores, no
ocurre únicamente en México. La Organización de Estados Iberoamericanos para la
Educación, la Ciencia y la Cultura (OEI), hace referencia al mismo hecho en países de la
región: asegura que todavía acceden a la docencia profesionales que no poseen formación
pedagógica, especialmente en escuelas secundarias (OEI, 2010).
Esta circunstancia, conlleva a que cuando hablemos de formación docente en
Matemática, no se reduzca la interpretación a la formación durante la carrera para ejercer
como Profesor de Matemática, sino también sobre la formación continua que recibe un
profesor durante su labor docente. Actualmente, son varios los cursos que se dictan en
distintos países que tienen como fin, por ejemplo, promover metodologías facilitadoras del
proceso de enseñanza- aprendizaje; la actualización de cuadros académicos, o bien, ofrecer
conocimientos y herramientas para ayudar a educar (a continuación, los extractos de los
cursos mencionados).
Figura 1: Universidad del Mar, Chile. (“Programa de Perfeccionamiento…”, n.d.)
9
Capítulo I: La problemática
Figura 2: Dirección de Formación y Perfeccionamiento Docente, Uruguay. (“Departamento de Matemática
Dirección…”, n.d.)
Figura 3: Diario argentino, La Nación. (Esperanza, 2009)
Nemiña, García Ruso y Montero (2009), en una reflexión que realizan sobre las
relaciones entre la formación de profesores, su desarrollo profesional y la profesionalización
docente, afirman que es el desarrollo profesional uno de los procesos de construcción de una
10
Capítulo I: La problemática
nueva cultura profesional para el cambio educativo, superando la idea clásica de la
adquisición de nuevas habilidades.
Aunado a esto, bajo la afirmación que hemos realizado unos párrafos atrás, en donde
dijimos que el dME excluye a los actores del sistema didáctico (estudiante y docente) de la
construcción del conocimiento matemático (Soto, 2010; Soto & Reyes Gasperini, 2011), nos
hacemos la siguiente pregunta: si el dME, legitimado por el sistema educativo, es el que
excluye de la construcción social del conocimiento, y los docentes que actualmente están a
cargo de las clases de Matemática de cualquier nivel, y secundaria en particular, fueron y
son formados con base en este mismo dME, ¿es posible que ellos favorezcan la construcción
social del conocimiento matemático si han sido excluidos también? De igual manera, desde
la investigación se proponen situaciones de aprendizaje que propicien la construcción del
conocimiento con base en la problematización del saber matemático y los docentes,
apropiándose de ella mediante el rediseño de la situación, se estima, sean quienes puedan
llevar al aula estas discusiones, reflexiones y acompañar en el proceso de aprendizaje
(Lezama, 2005), pero… ¿podrán ellos favorecer la problematización del saber si no lo han
hecho durante su formación, ni inicial ni continua? Parece imposible creer que un docente
puede provocar, bajo estas circunstancias, situaciones que propicien dicha construcción.
Ante estos cuestionamientos, Montiel (2010) asegura que la interacción entre la
investigación y la práctica, no es meramente poner en juego las propuestas didácticas que en
la investigación se avalen, sino reflexionar sobre los procesos por los cuales debe transitar el
docente para poder llevarla a la práctica:
(…)llevar al aula propuestas didácticas que rediseñen dicho discurso 3 no se
limita a secuencias que el profesor debe seguir como algoritmos, sino que
debe reconocer en ellas cómo se problematiza un saber, el tipo de
interacción que se genera en el sistema didáctico, los momentos de
construcción de conocimiento, cuándo se logran los objetivos de
aprendizaje, cómo se generan construcciones personales y colectivas, cómo
pasar del consenso a la institucionalización del saber, reconocer los
momentos de intervención para provocar respuestas del alumno, etc. Es
decir, la comprensión de aquello que fundamenta la propuesta didáctica se
torna más importante que la propuesta misma. (Montiel, 2010, p. 71).
3
La autora se refiere al discurso matemático escolar.
11
Capítulo I: La problemática
Por tanto, es explícito que la puesta en práctica, como una herramienta cotidiana, de las
propuestas de investigación, por ejemplo las situaciones de aprendizaje, no es algo trivial
para los docentes (Lezama & Mariscal, 2008; Montiel, 2010). Respecto a esto, Montero
(2001, citada en Nemiña et al., 2009), asegura la existencia de esta separación entre la
teoría y la práctica, como así también, el fracaso de los docentes ante la intención de
interiorizar la teoría y la investigación disponible.
De aquí se desprende nuevamente, otra pregunta: entendiendo que el dME excluye de la
construcción del conocimiento (Soto, 2010), que los docentes también han sido excluidos de
ésta (Reyes Gasperini, 2010; Reyes Gasperini & Crespo, 2011) y que la puesta en práctica de
las herramientas que de la investigación surgen, aun con la apropiación de ellas (Lezama,
2005), no es un hecho trivial ¿cuál es el proceso que debe vivenciar el docente para lograr la
comprensión de aquello que fundamenta la propuesta didáctica, en términos de Montiel
(2010), como así también, cualquier saber matemático que se le presente en su labor? ¿Qué
podemos hacer, desde la investigación, con el fin de que el docente logre favorecer en los
estudiantes el aprendizaje que emerge de la construcción social del conocimiento?
En esta ocasión, desde el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav, se
impulsó el Proyecto Nacional llamado Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización
Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones
didácticas, con base en los fundamentos de la Teoría Socioepistemológica, que como se dijo
anteriormente, estudia la construcción social del conocimiento pasando de la centración en
los objetos matemáticos a privilegiar una epistemología de prácticas asociadas a su
construcción (Cantoral, 2003; Montiel, 2011, entre otras).
Bajo esta postura se llevó a cabo una posibilidad de la disciplina de incidir en el Sistema
Educativo de forma directa, ya que al mismo asistieron profesoras y profesores de
matemática de secundaria en servicio de los 32 (treinta y dos) Estados del país. Esto, sin
duda, permite interactuar con los principales agentes de la educación: los docentes.
Numerosas son las investigaciones en las que se ha problematizado el saber, es decir, se
hizo del saber un problema localizando y analizando su uso y su razón de ser (Montiel,
2011), rompiendo con el paradigma de centrarse en los objetos matemáticos y procurando
12
Capítulo I: La problemática
considerar las prácticas socialmente compartidas como aquellas que le dan origen a la
construcción del conocimiento matemático (Buendía, 2004; Cabrera, 2009; Cantoral, 2001,
2003; Molfino, 2010; Montiel, 2011; Soto, 2010, entre otras). Asimismo, existen
investigaciones que reportan los resultados obtenidos de estudios empíricos en los cuales se
ponen en práctica los resultados teóricos, como por ejemplo, poner en situación a estudiantes
y/o profesores mediante la puesta en escena de una situación de aprendizaje, o bien,
estudiar el escenario áulico (Flores, 2010; Lezama & Mariscal, 2008; Montiel, 2010, entre
otras). Éstas y muchas otras investigaciones, desde la Teoría Socioepistemológica,
sustentaron teóricamente el Proyecto que ha mostrado, a través del trabajo con situaciones
de aprendizaje y la continua reflexión sobre la práctica docente, una nueva manera de
abordar la educación matemática.
Por tanto, con el fin de ampliar la visión respecto a la educación matemática, en donde
se privilegien las prácticas sociales como base de la construcción social del conocimiento
matemático por encima del objeto matemático, se considera al empoderamiento docente,
estimulado a través de los cursos de profesionalización docente, fundamentados en la Teoría
Socioepistemológica, como un factor clave de este objetivo. Se entiende al fenómeno de
empoderamiento como un proceso social que vive el docente, en conjunto con sus colegas e
investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y adherirse a la
nueva propuesta del dME, en donde se privilegie la validación de las distintas
argumentaciones, se permita la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas,
se posea un carácter funcional del saber, se favorezca una resignificación progresiva
considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas
sociales como las generadoras de dicho conocimiento. Asimismo, este proceso le permite al
docente hacerse dueño del saber que enseña mediante la problematización del mismo, lo
cual le brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de
diseños o implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de
cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes. Todo ello, como uno de los
mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del dME, para potenciar el aprendizaje
con base en la construcción social del conocimiento, y así, atender a la exclusión que provoca
el dME actual. Por último, permite reconocer e incorporase al campo académico de la
Matemática Educativa y así, conformar una identidad profesional.
13
Capítulo I: La problemática
Con base en un estudio cualitativo e interpretativo de las observaciones realizadas a un
docente participante del mencionado proyecto, se estudiará el fenómeno de empoderamiento
docente.
I. 3. CONTEXTUALIZACIÓN
La presente investigación tiene sus raíces en la Especialización de Alto Nivel en la
Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad
de situaciones didácticas, que estuvo dirigida a docentes que impartieran asignaturas de
matemáticas en secundarias públicas de los 32 Estados de la República, que tuvieran
interés en profundizar sobre el papel que juegan las matemáticas en el tratamiento escolar
del saber científico, en el desarrollo de competencias, habilidades y valores. Se requería de
un conocimiento del contenido matemático, al menos de aquel que tiene que ser enseñado a
sus alumnos. Los profesores tenían una experiencia en el servicio con un mínimo de 5 años
en el nivel secundaria e impartición de la asignatura de matemáticas.
Quienes ingresan como partícipes del proyecto, fueron seleccionados mediante un
examen de admisión. Éste cuenta con 75 reactivos confeccionados con base en las
matemáticas de secundaria que son abordadas por ellos durante su práctica. Los profesores
han participado de tres fases académicas durante el Proyecto, a saber: fase presencial, fase
de reproducibilidad y fase de reproducción (Figura 4).
Figura 4. Fases de la Especialización.
Los profesores fueron divididos en grupos de entre 15 y 20 personas. El criterio que se
siguió para realizar los grupos fue el siguiente: lograr la interacción entre profesores de
14
Capítulo I: La problemática
distintos estados, distintas modalidades, contextos y que tuvieran una equidad en cuanto a
la cantidad de hombres y mujeres.
Se explicará cada una de las fases, especificando lo abordado respecto al saber
matemático: en la primera, la fase presencial, los profesores comienzan enfrentándose a
situaciones problema, las cuales abordan y argumentan de manera libre, sin ninguna
restricción de registro ni necesidad de rigor matemático, es decir, se pone énfasis en la
profundización de los saberes matemáticos que en cada una de las situaciones se ponen en
juego. Una vez que cada quien o cada grupo considera que resolvió la situación, se comienza
a reflexionar sobre ella respecto a sus objetivos didácticos, los conocimientos matemáticos
que en ellas se potencian y el tipo de intervenciones que pudiera hacer el docente con base
en las intervenciones que realizaron los tutores 4 del Cinvestav durante la situación. Este
mismo proceso, se realiza todos los días durante la estancia en las instalaciones del
Cinvestav (de una a dos semanas, dependiendo la generación5), del cual se observan sus
avances tanto en el tipo de discusiones que sugieren, como así también, en las
argumentaciones y profundidad que hacen respecto a los saberes matemáticos en las
situaciones. Al finalizar, los profesores junto al tutor, realizan una caracterización general
de la situación de aprendizaje, en las que surgen, por ejemplo: conflicto, conceptos y lenguaje
base, problematizar la matemática, objetivos y errores. Como cierre de esta etapa, los
profesores realizan un examen de egreso, en donde se puede medir la evolución general a
nivel matemático, como así también, reactivo por reactivo.
Posteriormente, durante la fase de reproducibilidad, a distancia, los profesores junto a
un tutor de Cinvestav, diseñan o rediseñan una situación de aprendizaje para luego ponerla
en escena en sus distintas escuelas. Esta situación tiene como base las reflexiones
realizadas durante la fase presencial y busca que se reconozcan en ella algunos de los
elementos que la caracterizan. Se reconoce que la puesta en práctica, como una herramienta
cotidiana de las propuestas de investigación, por parte de los profesores, como es lo que
fundamenta a las situaciones de aprendizaje, como herramientas didácticas para la
4
Los tutores son investigadores o investigadores en formación, que acompañan a los docentes durante esta fase.
El Proyecto se realizó en tres episodios distintos y a cada una de los grupos de profesores que formaron parte de cada uno de
ellos, se le llamó Generación. Las dos primeras, tuvieron un período de dos semanas presenciales, mientras que la tercera, una
semana.
5
15
Capítulo I: La problemática
construcción del conocimiento matemático, no es algo trivial para los docentes (Lezama &
Mariscal, 2008; Montero, 2001, citada en Nemiña, García y Herminia, 2009; Montiel, 2010),
por lo que durante esta fase, el tutor acompañó a los profesores con el fin de que ellos
fortalecieran aquellas contribuciones que se habían generado en la primera fase, así como
también, guiarlos en las producciones correspondientes. Las interacciones durante esta fase,
se realizan en una plataforma llamada Moodle, la cual ha sido adaptada para que los
docentes puedan interactuar.
Para finalizar el ciclo, en la fase de reproducción, los profesores realizaron la
reproducción de la experiencia en Cinvestav, con colegas de sus respectivos Estados. Aquí, el
profesor funge como tutor y reflexiona junto a los colegas sobre la situación confeccionada
durante la fase previa, con base en las reflexiones de la primera fase.
Estas tres fases tienen una relación intrínseca ya que están ligadas por la
problematización y construcción del saber matemático, como así también, la evolución del
docente en cuanto a su posibilidad de discutir, profundizar y guiar una reflexión respecto a
la problematización y construcción del saber matemático.
En este ciclo de fases, se realizó la tutoría de un grupo en particular de la tercera
generación. Posteriormente, se observaron las interacciones y participaciones durante la
fase de reproducibilidad, en donde se seleccionó a uno de los profesores integrantes del
grupo. El profesor seleccionado es del Estado de Tijuana, Baja California. Tiene 17 años en
el servicio, 15 años en Matemática en particular. Su formación es de Ingeniero Civil en
Obras Urbanas y realizó una Maestría en Pedagogía.
A este profesor se lo ha observado en sus prácticas de servicio como docente, durante
una semana, realizando una inmersión en su vida profesional y personal, con el fin de
conocer cuál es la realidad que lo caracteriza. Para ello se realizaron observaciones no
participantes de sus clases, entrevistas, video-grabaciones y cuestionarios.
16
Capítulo I: La problemática
I. 4. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN
El objetivo de nuestra investigación es caracterizar el empoderamiento docente a través
del estudio cualitativo e interpretativo del desempeño de un profesor partícipe del proceso
de profesionalización docente en matemáticas basado en la Teoría Socioepistemológica y la
posterior observación de su práctica y discusión sobre ella; como así también, conjeturar las
potenciales estrategias a seguir con el fin de contribuir a dicho empoderamiento,
entendiendo que éste le permitirá al docente apropiarse del saber que enseña mediante la
problematización del mismo y generar interacciones dialécticas con los estudiantes que
permitan hacer emerger los significados del saber matemático abordado. Asimismo, le
brindará confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o
implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de
cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que proporcionen la
construcción social del conocimiento a través de cuestionamientos, reflexiones y la
validación argumentativa, considerando a las situaciones de aprendizaje como las
herramientas didácticas para ello. Todo lo anterior, bajo la lógica de que tanto al docente, al
estudiante o a cualquier individuo que tenga como fin construir conocimiento -aprenderdebe ser involucrado en un contexto en el que se reconozcan sus diversas racionalidades
contextualizadas, se consideren como válidas sus diferentes argumentaciones y se
acompañe, mediante distintos escenarios, la resignificación del conocimiento puesto en juego
en su práctica.
17
Capítulo I: La problemática
18
Capítulo II: Marco Teórico
La Socioepistemología no es sólo una teoría académica
para la publicación de artículos y la recreación intelectual,
sino que es también y sobre todo,
una herramienta para la intervención en el sistema educativo,
actualmente, el mexicano... y al tratarse de un
movimiento latinoamericanista,
este es el primer paso de un gran camino...
Ricardo Cantoral Uriza
Es posible que muchos investigadores, sobre todo en su proceso de formación, nos
preguntemos sobre la elección del marco teórico, ¿se elige primero el marco teórico y después
observo o viceversa? Partiendo de la base que observamos con frecuencia los acontecimientos
educativos, al analizarlos, elegimos herramientas de análisis, es decir: asumimos un marco
teórico. En este momento, la elección del tema a estudiar, la consideración de la posición
epistemológica respecto del aprendizaje, el tipo de objetivo y resultado buscado, los
principios teóricos sobre los cuales apoyamos nuestra investigación y el contexto en el cual
fue registrado y analizado el hecho, serán, no sólo el fundamento del análisis de nuestra
investigación, sino la esencia del marco teórico que sustentará toda la investigación.
21
Capítulo II: Marco Teórico
22
Capítulo II: Marco Teórico
II. 1. LA MATEMÁTICA EDUCATIVA
Dado que nuestra intención es investigar sobre un fenómeno didáctico de naturaleza
social, en el cual, el eslabón principal es el saber matemático puesto en juego, como así las
interacciones efectuadas entre los actores del sistema didáctico, es que se concibe a la
Matemática Educativa como la disciplina ad hoc desde la que debe hacerse esta
investigación.
Conocer cómo, cuándo, dónde y por qué ha surgido esta disciplina científica, nos permite
comprender que la Matemática Educativa atiende a aquellos fenómenos didácticos
contemporáneos, como así también, nos permitirá evidenciar el avance constante,
consistente y concordante del movimiento latinoamericano de Matemática Educativa. Para
obtener este panorama haremos una breve reseña desde sus orígenes.
Durante la década de los ´70s, en México y con el apoyo de la Secretaría de Educación
Pública, se impulsó la Reforma Educativa mediante la cual se solicitó a un grupo de
investigadores del Departamento de Matemática del Centro de Investigación y de Estudios
Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, que elaboraran los siguientes materiales: “(a)
el currículum nacional de primaria requerido para la enseñanza de las matemáticas, (b) los
planes y programas para el ciclo educativo de primaria y para cada uno de sus grados, (c) la
redacción de los textos para ese ciclo escolar.” (Hitt, 2001, p.17). Estos materiales fueron
innovadores ya que surgieron con base en cuestionamientos sobre cuáles eran los problemas
de aprendizaje de los conceptos específicos de la matemática y la necesidad del estudio de los
mismos.
Posterior a este trabajo, el profesor a cargo del mismo, Carlos Ímaz, y dos de sus
discípulos Eugenio Filloy y Juan José Rivaud, impulsaron la creación de una Sección dentro
del Cinvestav que se ocupara de la investigación y el estudio de los problemas de la
enseñanza y el aprendizaje de la Matemática del Sistema Educativo, partiendo de la
aseveración de que la educación en México tenía grandes problemas, sobre todo, en el área
de Matemática.
Es en 1975, en México, cuando se funda la Sección de Matemática Educativa (SME) en
el Cinvestav, como sección del Departamento de Investigaciones Educativas (DIE). Aun
23
Capítulo II: Marco Teórico
siendo prácticamente autónoma la SME del DIE, es recién, a principios de 1995 que la SME
se convierte en Departamento de Matemática Educativa (DME). Cabe mencionar que el
nombre de “Matemática Educativa” se fundamenta en el enfrentar la problemática de la
enseñanza y aprendizaje de la matemática desde la matemática misma (Matemática
Educativa…, 2009). Desde sus comienzos, este grupo de investigadores buscaba una
aproximación a la solución del problema nacional sobre la enseñanza de las matemáticas, lo
cual refleja que el interés radicaba en la mejora del Sistema Educativo Nacional a nivel
matemático, bajo la lógica que la intervención en el Sistema a través, en este caso, de libros
de texto con base en investigación al respecto, fue fundamental.
Esta disciplina que “se ocupa de los fenómenos didácticos ligados al saber matemático”
(Cantoral & Farfán, 2003, p. 29), es decir, que estudia todos aquellos fenómenos que tengan
como fin el aprendizaje ligado a saberes matemáticos 1, busca entender, atender y, luego,
predecir
las
potenciales
problemáticas
existentes
en
los
procesos
educativos,
contextualizándose en el continente latinoamericano. Esto no significa que no considere,
reconozca, discuta y/o se retroalimente con las teorías ya conocidas por la comunidad, como
la Mathematics Educations -anglosajona- o la Didactique des Mathématiques -europea-,
entre otras, sino que rompe con la tradición de importar conocimiento (Silva, 2010) y
comienza a generar uno propio y contextualizado. Es importante aclarar que, desde un
tiempo a esta parte, nos reconocemos todos miembros de una misma comunidad.
La Matemática Educativa considera al aprendizaje en función del área de conocimiento,
por lo cual, a fines del siglo XX, se separa de la Pedagogía tradicional, la Psicología y la
Psicopedagogía, cuyos objetos de estudio respectivamente son: la educación en general; los
procesos cognitivos del individuo y los procesos socio-cognitivos que se producen en el
entorno social, involucrando a la cultura; y la conducta humana en situaciones
socioeducativas, respectivamente; para especializarse en el estudio del conocimiento
matemático.
La evolución de la Matemática Educativa que es desarrollada y comentada por Cantoral
y Farfán (2003), apunta que en sus comienzos, la problemática de la disciplina se centró en
1
En la actualidad podemos considerar escenarios de estudio como el cotidiano, el aula, una cultura indígena, un programa de
títeres o un taller de modelación, entre otros ejemplos, producto del surgimiento de la Teoría Socioepistemológica y la
Etnomatemática.
24
Capítulo II: Marco Teórico
el diseño de libros de texto y material didáctico para profesores y estudiantes que fueran
más accesible que los tradicionales, a cargo de los profesionales de matemática, sin estudiar
profundamente la cultura escolar (lo que se comentó anteriormente). En ese momento, se
soslayaron los aspectos cognitivos, afectivos y socioculturales que involucraban a los agentes
del sistema didáctico. Luego, se incluyó explícitamente el aprendizaje del estudiante como
factor central de los diseños realizados, como así también, el papel desempeñado por el
docente. Aunado a esto, Hans Freudenthal se pregunta ¿Cómo aprenden las personas?
¿Cómo podemos aprender a observar procesos de aprendizaje? Lo que conduce a la
incorporación de investigaciones de observación y descripciones sistemáticas de los procesos
de aprendizaje.
Luego, dentro de la misma Matemática Educativa, comienzan a surgir distintas
corrientes de investigación (algunas retoman teorías ya existentes, otras crean nuevas
teorías) cuya diferencia principal es la manera de entender y atender al conocimiento
matemático según la posición epistemológica respecto a él, lo cual se refleja, dentro de la
comunidad, ante la existencia de diversas teorías de conocimiento, a manera de ejemplo:
•
la Teoría de Situaciones Didácticas, iniciada por el colega francés Guy Brousseau,
cuyo estudio se centra en los fenómenos didácticos escolares, en particular, en el
estudio sistemático de experiencias de clase francesa. Estudia los procesos ligados a
la adquisición y a la transmisión del conocimiento matemático, desde donde se
reconoce la necesidad de encontrar caminos que faciliten la adquisición del
conocimiento, ubicándolo a éste como algo pre-existente.
•
la Teoría Antropológica de lo Didáctico, iniciada en Francia por Yves Chevallard,
quien afirma que su centración está en la relación entre la persona y el objeto (de
conocimiento, en general; matemático, en particular). En esta teoría, lo esencial es la
actividad de las personas frente a la resolución de problemas, de la cual emergen los
objetos (conceptos, términos, enunciados, relaciones, teorías, etc.), los cuales son
relativos a los contextos institucionales y personales. (D´Amore, 2005)
•
la Teoría de Representaciones Semióticas, iniciada por el francés Raymond Duval,
en la cual se asegura que la construcción de los conceptos matemáticos dependen de
la capacidad de usar diversos registros de representación semióticas de dichos
25
Capítulo II: Marco Teórico
conceptos: “de representarlos en un dado registro; de tratar tales representaciones al
interior de un mismo registro; y de convertir tales representaciones de un dado
registro en otro registro.” (D´Amore, 2005, p. 33)
•
la Teoría APOE, Acción, Proceso, Objeto y Esquema, iniciada por el estadounidense
Ed Dubinsky, en donde se privilegia la existencia de una relación cercana entre la
naturaleza de los conceptos matemáticos y su desarrollo en la mente del individuo,
lo que hace que sus explicaciones sean de orden epistemológico y psicológico,
concluyendo en modelos de la construcción mental de un conocimiento.
•
la Teoría Socioepistemológica, iniciada por el mexicano Ricardo Cantoral, la cual, en
primer lugar, modela y estudia la naturaleza del saber, entendiendo a éste desde el
posicionamiento del ser humano como actor de la construcción de sus sistemas
conceptuales; en segunda lugar, se ocupa de las prácticas sociales como base del
conocimiento y normativas de la actividad humana, procesos que en conjunto son la
base de la construcción de los sistemas conceptuales de la especie humana,
problematizando las causas que lo conducen a hacer lo que hace; y por último, se
ocupa de caracterizar las articulaciones, con evidencia empírica, de nociones y
términos del modelo socioepistemológico (Cantoral, 2006, 2010, 2011).
Ahora bien, dadas estas distintas maneras de entender y atender al conocimiento
matemático dentro de la Matemática Educativa, aquella que nos brinda los elementos para
analizar de manera exhaustiva nuestra problemática, es la Teoría Socioepistemológica. En
el siguiente apartado daremos las explicaciones del porqué.
II. 2. LA SOCIOEPISTEMOLOGÍA
La Teoría Socioepistemológica nace a fines de los ´80 y uno de sus primeros
cuestionamientos fue que “la forma en la que vive una situación de enseñanza y sus
producciones matemáticas en ese contexto son condicionadas por las características de la
costumbre didáctica” (Cantoral & Farfán, 2003, p. 33), es decir, que la manera de enseñar
que se tiene es estructurada a causa de la institución en la cual se está inmerso
(considerando a la institución como la familia, la clase, la escuela o el sistema educativo,
entre otros) y esa circunstancia provoca matizar los procesos de pensamiento. Es por esto
26
Capítulo II: Marco Teórico
que comienzan a estudiar los fenómenos didácticos de manera sistémica, considerando los
tres polos: el del saber (saber), el de quien aprende (alumno) y el de quien enseña (profesor)
en un medio determinado. Así reconocieron que aun pensando en situaciones que
signifiquen aquello que le dio origen al conocimiento matemático, éste puede no ser propicio
para ser introducido en el aula. Posteriormente, se planteó el estudio sistémico de la
formación del conocimiento desde una perspectiva social, es decir, se puso énfasis en la
construcción social del conocimiento.
En esta época, también, comienzan a cuestionarse, no sólo cómo se deberían enseñar los
contenidos matemáticos de ese entonces, sino que se plantean, qué es lo que deben enseñar
(Farfán & Cantoral, 1990). Para ello, fue necesario cambiar la centración: dejar de observar
al concepto matemático en sí y comenzar a observar las prácticas que producían o favorecían
la necesidad de ellos. De aquí surge que, por un lado, la Socioepistemología incorpora una
nueva componente a la investigación en Matemática Educativa: la componente social; y por
el otro, integra las cuatro componentes de manera tal que obtiene una mirada sistémica de
los fenómenos a abordar: componente epistemológica, componente didáctica, componente
cognitiva y componente social (Cantoral & Farfán, 2003).
Actualmente, la nueva mirada de la Socioepistemología, postula que se tomará en
cuenta la complejidad de la naturaleza del saber y su funcionamiento a nivel cognitivo,
didáctico, epistemológico y social en la vida de los seres humanos (Cantoral, 2011). En otras
palabras, se problematizará el saber en el sentido más amplio del término 2, y también, se
tomará como centro de partida la vida del individuo o grupo desde donde se analizará el
funcionamiento de ese saber a nivel cognitivo, didáctico, epistemológico y social, dando la
posibilidad de proponer, con base en evidencia empírica de las investigaciones, nuevas
propuestas para rediseñar el dME.
Las investigaciones que desde la Socioepistemología se llevan a cabo, cuyo objeto de
estudio es la construcción social del conocimiento matemático, y cuyos objetivos son -de
acuerdo al objetivo de la misma teoría- dar evidencia y sustento para las propuestas de
2
Nos referimos a la problematización del saber como la integración entre las dimensiones del saber y las componentes de la
construcción social; en tanto se analiza: la naturaleza del saber (dimensión epistemológica); uso del saber (dimensión social);
apropiación del saber (dimensión cognitiva) y la difusión del saber (dimensión didáctica).
27
Capítulo II: Marco Teórico
intervención en el sistema educativo que de ellas derivan, se fundamentan en los principios
de la teoría, que a continuación enunciaremos.
Principios de la Socioepistemología
Si entendemos como principio, a aquello inherente a una disciplina como el reflejo de las
características esenciales de un sistema, que los investigadores asumen y sin el cual no es
posible trabajar, comprender o usar dicho sistema, considerado como el punto de partida y el
fundamento (Abbagnano, 2010; Wikipedia, 2009), la Socioepistemología descansa en cuatro
principios fundamentales (Cantoral, 2011), a saber: el principio normativo de la práctica
social, el principio de la racionalidad contextualizada, el principio del relativismo
epistemológico y el principio de resignificación progresiva o apropiación.
El principio normativo de la práctica social
El primero de ellos, el principio normativo de la práctica social es el eslabón
fundamental de nuestra teoría: las prácticas sociales son las generadoras del conocimiento.
Esta premisa, lo que nos indica es que si se tiene la intención de que cualquier individuo a
grupo aprenda, considerando que aprender es construir conocimiento, inevitablemente,
serán las prácticas sociales las que sustentarán esa construcción. Estas prácticas sociales,
son normativas de la actividad humana en tanto su función identitaria -que dota de
identidad cultural al individuo o al grupo-, su función reflexiva-discursiva -que construye
argumentaciones de acción- y su función pragmática -que organiza la acción- regulan los
comportamientos de los individuos (Ver figura 5). Las prácticas sociales se caracterizan por
ser permanentes mas no estáticas, es decir, para poder afirmar que la predicción es una
práctica social se tuvo que realizar un estudio documental sobre su evolución en el tiempo,
en donde se denota que desde la antigüedad la predicción fue una práctica que se usaba,
tanto en la predicción del paso de un cometa, hasta la predicción para cazar un animal. En
la actualidad, la predicción se usa desde la toma de decisión para cruzar una calle, hasta los
futuros terremotos que pueden ocurrir; es decir, es una práctica permanente. Sin embargo,
no es estática, ya que sus funciones identitaria, reflexiva-discursiva y pragmática podrán
provocar variaciones en sus acciones a través de las argumentaciones, mas no dejará de
existir su normatividad. Siguiendo con el ejemplo de la predicción, aunque varíen ciertos
28
Capítulo II: Marco Teórico
comportamientos, continuaremos teniendo la imposibilidad de adelantar o retroceder el
tiempo, por lo cual, la predicción será algo inevitable para la sociedad, seguirá existiendo.
Figura 5: Esquema de la Práctica Social.
El principio de la racionalidad contextualizada
Este principio, enuncia que la racionalidad con la que se actúa depende del contexto en
el que el individuo se encuentre en un momento y lugar determinado (Espinoza Ramírez,
2009). Para explicar este principio, retomaremos la idea de escenario sociocultural
propuesto por Crespo (2007), en donde se afirma que es este escenario el que “influye no sólo
en las conductas, sino en la manera de actuar y de pensar de los miembros de la sociedad
que lo habita, modelando, de cierta manera sus acciones y pensamientos, condicionándoles
sustancialmente” (Crespo, 2007, p. 38). La esencia de esta idea radica en entender que la
construcción del conocimiento es un producto sociocultural, es decir, “representativo de la
sociedad en la que se gesta” (Crespo, 2007, p. 38).
Asimismo, estas racionalidades contextualizadas serán influenciadas también por los
contextos en los que se encuentre un individuo, por ejemplo, contexto familiar, escolar,
laboral, callejero, entre otros. Este hecho tiene que ver con el pensamiento del individuo, por
ejemplo: un estudiante que se encuentra en la clase de Matemática si se le dice que 5
caramelos cuestan 5 pesos y se le pregunta “¿cuánto dinero necesitas para comprar 500
caramelos?”, en un ámbito escolar, producto del contrato didáctico, el estudiante contestará,
29
Capítulo II: Marco Teórico
realizando una regla de tres siempre, que necesita 500 pesos; o bien agrega dos ceros a la
derecha del 5. Sin embargo, si se encuentra en un contexto extra escolar, seguramente ese
estudiante pensará en averiguar cuánto cuesta una bolsa de caramelos y cuántos trae. Por
tanto, nuestra manera de pensar, es decir, nuestra racionalidad, es contextualizada. Esto
mismo ocurre con la relación que uno tiene con el saber: el saber es una función del contexto.
El principio del relativismo epistemológico
Como contraposición al absolutismo epistemológico que afirma “esto es verdad… esto no
lo es” la asunción de universales, la teoría Socioepistemológica concibe que la matemática
escolar no tiene una sola manera de verse, trabajarse, construirse y desarrollarse, sino que
la validez del saber es relativa al individuo y al grupo cultural en el cual éste ha emergido y
respecto a la racionalidad contextualizada que éste posea.
Por ejemplo, en la investigación de Yojcom (2011), él comenta cómo realizan las
proporciones entre distanciamientos y los granos de maíz:
Figura 6: Proporción utilizada por la comunidad Tz‘utujil. (Yojcom, 2011, p.52)
Para cualquier otro individuo que no pertenezca a la comunidad puede no encontrarle
sentido a esta proporción, o bien, asegurar que esa no es la manera más productiva de cosechar ya
que ciertas teorías demuestran que es otra la correcta. Otro ejemplo, puede ser en el ámbito
escolar: una visión determinista de la matemática escolar, no aceptaría como válidas más de
una respuesta a un problema, sin embargo, las situaciones de aprendizaje propuestas por la
Socioepistemología, privilegian la diversidad de las argumentaciones y considera a la
Matemática como la herramienta que ayuda a la toma de decisiones, en donde la respuesta
30
Capítulo II: Marco Teórico
depende de la interpretación y argumentación del estudiante, considerándose, todas como
válidas. Por tanto, se entiende que la validez del saber es relativa al individuo y al grupo
(contextual), y particularmente, la Socioepistemología, acepta que dentro de aquellas
argumentaciones que sean “erradas” existe un pensamiento matemático que debe ser
estudiado y considerado, para de allí, construir conocimiento.
El principio de la resignificación progresiva o apropiación
Una vez que el individuo se ha relacionado con el objeto y construido un significado del
mismo (Inhelder & Piaget, 1972) – significado que dependerá en gran medida del escenario
contextual – produciendo conocimientos que al momento de ponerlos en uso se pueden
denominar saber, este saber puede considerarse como el nuevo punto de partida para
comenzar una nueva etapa de significación, en donde, este saber se enriquecerá con la
resignificación, en la cual se construirán más argumentaciones, espacios de uso,
procedimientos y todo aquello que rodea a un saber. Asimismo, como ejemplo, podemos
considerar a un constructo teórico dentro de la misma teoría y su resignificación progresiva:
al ser una teoría en permanente evolución e innovación, cuyos constructos que en su
momento se han caracterizado, al pasar del tiempo son resignificados con base en los nuevos
descubrimientos y son empleados en función al contexto en el que se desarrolle la
investigación planteada.
En síntesis, la Teoría Socioepistemológica sostiene que las prácticas sociales son los
cimientos de la construcción del conocimiento (normatividad de las prácticas sociales), y que
el contexto determinará el tipo de racionalidad con la cual un individuo o grupo -como
miembro de una cultura- construye conocimiento en tanto lo signifique y ponga en uso
(racionalidad contextualizada). Una vez que este conocimiento es puesto en uso, es decir, se
consolida como un saber, su validez será relativa al individuo o al grupo, ya que de ellos
emergió su construcción y sus respectivas argumentaciones, lo cual dota a ese saber de un
relativismo epistemológico. Así, a causa de la propia evolución de la vida del individuo o
grupo y su interacción con los diversos contextos, se resignificarán esos saberes
enriqueciéndolos de nuevos significados hasta el momento construidos (resignificación
progresiva).
31
Capítulo II: Marco Teórico
II. 3. EL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR
Es aceptado en la comunidad educativa que la matemática que vive en el sistema
escolar es producto de una transposición didáctica que lleva al saber sabio hacia el saber
enseñado (Chevallard, 1999), es decir, el saber de la obra matemática sufre modificaciones
adaptativas progresivas con el fin de seleccionar, organizar y estructurar los conocimientos
matemáticos que serán incluidos en las unidades temáticas de la escuela y la universidad
(matemática escolar). Asimismo, es sabido que el proceso de enseñanza-aprendizaje que
acompaña a los currículos de Matemáticas en los sistemas educativos se centra en los
objetos matemáticos más que en la construcción del conocimiento matemático por parte del
estudiante, es decir, se entiende a la matemática escolar como un cúmulo de objetos
abstractos o definiciones, anteriores por tanto a la praxis social y en consecuencia externas
al individuo, en donde el docente es quien comunica “verdades preexistentes” a los
estudiantes, normado por el discurso Matemático Escolar
(Cantoral, 2003). En varias
ocasiones, esas “verdades preexistentes” carecen de significado tanto para el estudiante
como para el docente.
Es la Socioepistemología, la teoría que emerge de la comunidad de los matemáticos
educativos con el afán de estudiar y potenciar la construcción social del conocimiento
matemático, en donde el triángulo didáctico – conocido y al cual hacemos referencia todos
los docentes inmersos en un ámbito educativo – es ampliado, incorporando una dimensión
imprescindible para nosotros, los socioepistemólogos: el contexto. (Ver figura 7)
Figura 7: El Sistema Didáctico – Unidad mínima de análisis. (Cantoral, 2011)
32
Capítulo II: Marco Teórico
Este sistema didáctico, según Cantoral (2011), está compuesto por tres polos y un
contexto, donde al considerar este sistema en un sentido ampliado, se conciben a los polos de
la siguiente manera: como profesor (p), se concibe al individuo o a la institución; como
alumno (a), al niño o a la comunidad; y como saber (s), al concepto o conocimiento en uso;
todos ellos inmersos en un escenario contextual, esta idea de contexto es fundamental para
la teoría. Esta caracterización del triángulo didáctico es la que permite que se pueda
reflexionar sobre el aprendizaje más allá del contexto áulico. Para su fortalecimiento, la
Socioepistemología utiliza a la transversalidad del conocimiento como herramienta vital de
la construcción integral del conocimiento matemático, es decir, no sólo se tienen en cuenta
los conceptos que en la institución escolar se privilegien, sino que se reconoce y reivindican
los conocimientos previos que tienen los estudiantes, como por ejemplo, los emergentes de su
contexto familiar y cultural; asimismo, el enfrentarse con situaciones en donde los saberes
matemáticos subyazcan en contextos diversos (cotidiano, educativo, físico, químico,
biológico, etc.), permite la resignificación de los mismos y por tanto, un enriquecimiento de
sus argumentaciones y procedimientos, potenciando su apropiación. (Ver Figura 8)
Figura 8: La integración de conceptos emergentes de la institución y conocimientos en uso.
(Cantoral, 2011)
Este reconocimiento, le permite a la Socioepistemología, replantearse el rediseño del
dME, con el fin de que, ahora sí, éste potencie la construcción social del conocimiento
matemático.
33
Capítulo II: Marco Teórico
Cuando el dME aparece en escena, es inevitable hacer referencia instantánea al
discurso hablado o escrito por el docente, sin embargo, es preciso hacer una reflexión al
respecto.
Tomaremos como ejemplo el cuestionamiento que realiza Espinoza Ramírez (2009) en
su investigación, sobre la edición de la obra Theorie de Fonctions Analytiques de Lagrange.
La fundación de la École Polytechnique surge como consecuencia de la Revolución Francesa,
ante la necesidad de formar científicos e ingenieros. Al carecer de libros de texto de apoyo,
se le otorga a Lagrange la responsabilidad de sintetizar -en una obra- la matemática,
elaborando un discurso matemático escolar para esta formación a un nivel masivo sobre la
Teoría de Funciones Analíticas, motivado todo esto por la coyuntura que existía a nivel
sociopolítico y la situación específica de Lagrange 3. ¿Por qué este ejemplo para discutir el
dME? La fundación de la École Polytechnique es una estrategia política para atender una
necesidad nacional, en donde la función de la escuela es formar a los futuros ciudadanos que
Francia necesitaba. Así el dME no se reduce a las páginas, las frases y las letras que ha
escrito Lagrange, sino a los conocimientos matemáticos y las maneras de abordar los
mismos que posee su obra.
Aquí, será oportuno hablar del ciudadano ya que, según lo enunciado anteriormente, es
a éste, a quien el dME pretende atender y formar.
Cuando se enuncia el término ciudadano dependiendo el contexto en el cual estemos
hablando se pueden interpretar distintas consideraciones, por ejemplo, legalmente, es aquel
que es miembro de una comunidad y tiene derechos y deberes, o bien, coloquialmente, es
aquel que habita y pertenece a un lugar en particular. Sin embargo, es necesario
cuestionarnos qué entendemos por ciudadano cuando decimos que la educación tiene como
principal objetivo “la formación de un ciudadano”. Es decir, si consideramos que los
ciudadanos son distintos dependiendo la Nación, es evidente pensar que cada nacionalidad
debe recibir una educación particular, a saber: los programas de Historia, si bien tienen un
apartado que se dedica a la historia mundial, profundiza sobre la Historia de su país; en
Geografía, ocurre igual, si bien poseemos todos el mismo mapamundi, los estudios
específicos refieren a la economía de la geografía específica, por ejemplo; de Lengua y
3
Para mayor detalle, ver Espinoza Ramírez, 2009.
34
Capítulo II: Marco Teórico
Literatura, cada ciudadano recibirá las reglas ortográficas y la literatura específica
correspondientes a cada país, como parte del bien cultural, siendo a veces similar en ciertas
regiones. Ahora bien, ¿en la educación Matemática se tiene esta misma concepción? ¿Se
tienen ciertos contenidos específicos para cada ciudadano? ¿En la educación matemática hay
diferencia en la formación dependiendo la Nación del ciudadano? ¿En la educación
matemática hay diferencia entre las culturas a las cuales pertenecen los ciudadanos? O,
¿simplemente es una generalización? Si se entendiera que la Matemática es universal, pero
su enseñanza, no… estas preguntas serían sencillas de contestar.
Regresando al tema del ejemplo de la Theorie de Fonctions Analytiques de Lagrange,
allí, se ve nítidamente que el dME se entiende como aquello que un sistema educativo
decide que los ciudadanos deberán aprender.
A través de una decisión intelectual y burocrática por parte de los sistemas educativos,
el dME estructuró un mecanismo de educación masiva que provocaría la alfabetización como
ingenieros de los futuros ciudadanos. Asimismo, dotó de una nueva identidad a los docentes
de ese entonces, ya que deberían educar pensando, en específico, en futuros ingenieros.
Entonces, como se dijo anteriormente, los conocimientos matemáticos y las maneras de
abordar los mismos que poseyó ese discurso, normó el comportamiento de esa comunidad. Es
decir, el diseño del dME es una decisión intelectual y burocrática por parte de los sistemas
educativos; por lo cual, a diferencia de la creencia generalizada de que el dME es un ente
que no puede alterarse, es evidente que sí es accesible a modificaciones, sin embargo,
cualquiera sea su modificación, nunca perderá su estatus de normativo y hegemónico.
Por todo lo anterior, nos atrevemos a postular al dME como una práctica social, sin
embargo, su validación deberá estudiarse a través de investigación documental y profunda
que, en esta investigación, no realizaremos, simplemente, nos ha permitido poder hacer esa
conjetura: el dME es una forma específica de práctica social.
Hasta aquí, podemos afirmar que el dME, si bien se estudia e infiere a través del
discurso hablado o escrito, en realidad, su fundamentación se encuentra en la legitimidad de
esos saberes a enseñarse que los sistemas didácticos establecen, de manera normativa y
hegemónica. Sabemos, también, que el dME es factible de sufrir modificaciones, por tanto,
35
Capítulo II: Marco Teórico
nosotros, socioepistemólogos, bajo la concepción de que la esencia de la educación
matemática es la construcción social del conocimiento matemático, y a sabiendas de que el
dME actual no la proporciona, es que creemos indispensable el rediseño del dME. Este
rediseño radica, principalmente, en el cambio de centración, de los objetos a las prácticas,
focalizando en él, los principios de la Socioepistemología, es decir, su carácter
contextualizado, pragmático, relativista y funcional.
Algunas de las investigaciones que evidenciaron la centración en objetos de ciertos
saberes matemático y/o hicieron propuestas que podrían abordarse como parte del rediseño
del dME, como así también, evidenciaron empíricamente la normatividad de las prácticas
sociales, son las siguientes:
•
Cantoral (2003) mediante los ejemplos del cero entre los antiguos mexicanos y la
presentación del binomio de Newton, muestra cómo los procesos de construcción del
conocimiento matemático avanzado tienen un carácter social.
•
Buendía (2004) propone una epistemología de las prácticas sobre lo periódico que se
fundamenta en la relación predicción-periodicidad y propone el ingreso al sistema
didáctico a través de una situación, en la cual resignifica lo periódico a través de la
predicción.
•
Montiel (2011) realiza un estudio en el cual comienza buscando los usos y
significados primarios de la función trigonométrica en el que concluye que dicha
función se presenta en la escuela “como una extensión de las razones y que su única
explicación sobre la unidad de medida radica en la equivalencia entre grados y
radianes en el círculo trigonométrico” (p. 134) y, con base en la confrontación teórica
a esta manera absolutista de abordar la trigonometría y favoreciendo la construcción
social del conocimiento, realiza una propuesta que articula la actividad del
estudiante con una práctica de referencia específica y realista -en y para la vida del
estudiante- en donde se planteó que ambas estaban reguladas por tres prácticas
sociales, a saber: anticipación, predicción y formalización.
•
Covián (2005) estudia los mecanismos de construcción social del conocimiento
matemático en las prácticas de la cultura maya, preguntándose sobre la naturaleza
del conocimiento matemático que se encuentra en la construcción de una vivienda
36
Capítulo II: Marco Teórico
tradicional, la cual responde a ciertos contextos y cultura en la que está inmerso y la
función normativa de la práctica social es la que lo induce. Se hace énfasis, por
ejemplo, en la noción de proporción: “el largo de la hamaca determina el largo de la
casa, la casa es para el habitante y estará en cierta proporción a su altura” (p.164).
•
García (2008) estudia las prácticas en Ingeniería Biomédica, sobre la existencia de
procesos de institucionalización, entendidas como aquellos procesos que, normadas
por la práctica social, permitirían explicar la construcción y difusión de conocimiento
matemático por parte de la sociedad.
•
Tuyub (2008) evidencia cómo se pone en uso el concepto de función en las prácticas
profesionales de los toxicólogos. En su investigación, muestra cómo los toxicólogos
aprecian a la función en cuanto a sus magnitudes, en los procesos de cambio, qué
ocurrió en la confección de las tablas, más que, la función vista como una fórmula o
una regla de correspondencia como se ve en los libros. La mirada particular de estos
científicos, expresan en el discurso y en la práctica, las funciones, de manera
funcional.
•
Espinoza Ramírez (2009) realizó un estudio histórico que tuvo como objetivo
entender la evolución de la analiticidad de las funciones, de manera de encontrar
una línea conceptual que permitiera vincular los conceptos del Cálculo y el Análisis
Matemático con los inicios de la Topología Matemática, para lo cual, construyó un
modelo para explicar el contexto de significación para cierto conocimiento,
definiendo a este como un ámbito en el cual cierta persona o institución sitúa la
significación de cierto conocimiento.
•
Cabrera (2009) estudió los elementos didácticos y metodológicos provenientes del
pensamiento y lenguaje variacional bajo los cuales se diseñaron situaciones de
aprendizaje con el fin de mostrar que éstas favorecerían al desarrollo de
competencias.
•
Gómez (2009) reconoce una construcción social del conocimiento científico, en
particular de la matemática, en tanto se logre una socialización del conocimiento.
Esta socialización se da a través de la relación dialéctica entre un dominio científico,
donde su centración se encuentra en las justificaciones razonadas, impera la
sistematicidad, la estructura, el pensamiento lógico, la deducción, y el dominio
37
Capítulo II: Marco Teórico
cotidiano, donde por el contrario, no se tiene en un a priori la intencionalidad de
generar conocimiento y predominan los usos, las intuiciones, el sentido común, la
funcionalidad.
•
Molfino (2010) problematiza la enseñanza actual del límite bajo la pregunta de
investigación: “¿por qué enseñamos hoy el concepto de límite de la forma que lo
hacemos?” (p. 30). Lejos de centrarse en el límite como objeto preexistente en un
cuerpo de conocimientos matemáticos aceptados socialmente, su estudio trató los
fenómenos de producción, adquisición y difusión de ese conocimiento matemático, lo
cual, desde la Socioepistemología, implicó el análisis de las prácticas sociales que
generan el conocimiento y norman su constitución, como así también la
resignificación de los saberes.
•
Soto (2010), puso en evidencia a través de la construcción de un modelo de exclusión
que “el dME es caracterizado como un sistema de razón SR, que excluye a los actores
del sistema didáctico (estudiantes y docentes) de la construcción del conocimiento
matemático a través de una violencia simbólica VS” (p. 91), mediante la
identificación, caracterización y ejemplificación, a través del análisis del dME del
Teorema de L´Hopital. Asimismo, confeccionó un mapa del dME, que delinea lo que
queda fuera y dentro de “lo normal”. En él se evidencia el carácter hegemónico del
dME, la atomización en los conceptos, la concepción de que la Matemática es un
conocimiento acabado y continuo, el carácter utilitario y no funcional del
conocimiento y la falta de marcos de referencia para resignificar la matemática
escolar.
Los ejemplos mencionados, entre muchos otros, dan evidencia tanto de la necesidad de
un rediseño del dME, como así también, en algunos casos, la posibilidad de hacerlo, al
proponer situaciones de aprendizaje para el aula que privilegien las prácticas sociales como
normativas de la acción humana y como base de la construcción social del conocimiento
matemático por encima del objeto matemático en sí.
Con la investigación de Soto (2010) se despersonifican los problemas relacionados con el
proceso de enseñanza-aprendizaje inhibiendo la afirmación de que éstos, únicamente,
radican en el docente o el estudiante, es decir, se evidencia que la responsabilidad no cae
38
Capítulo II: Marco Teórico
sobre el docente por “enseñar de manera inadecuada”, ni sobre el estudiante por “no
estudiar lo suficiente”, sino que se postula que es el dME –producto de las adaptaciones que
se le realizan al saber de la obra matemática con el fin de convertirlo en un saber enseñado,
centrándose en los objetos matemáticos– lo que excluye a los estudiantes de esta
construcción del conocimiento.
Respecto a las propuestas didácticas que se realizan desde la investigación, Farfán y
Lezama (2001) estudiaron aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al aula,
es decir, cuando ocurre el fenómeno de reproducibilidad. Lezama (2003, 2005) ha estudiado
la reproducibilidad de una situación de aprendizaje, lo que significa buscar y determinar los
factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de ésta, una vez que ha sido
puesta en práctica en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001). De este estudio, se
concluye que “el fenómeno de la reproducibilidad se presenta como frágil, ya que la
repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más
complejos e incontrolables los humanos” (Lezama, 2005, p.357), dejando abiertas las
preguntas de ¿cómo solventar esta fragilidad? ¿Cuáles son las causas que la originan? Entre
otras.
Aunando la argumentación de la elección de la disciplina, comentada en el apartado
anterior, y la del marco teórico diremos:
Nuestra intención es investigar sobre un fenómeno didáctico de naturaleza social que, a
nuestro criterio, su identificación, estudio y caracterización permitirán conjeturar caminos
de mejora de la educación, mediante favorecer, desde la figura docente, retos intelectuales
entre los estudiantes, que propicie la construcción social del conocimiento, con la misma
importancia que la escuela tradicional le da a los conceptos, con base en la problematización
del saber por parte de los actores del sistema didáctico (estudiantes y docentes). La
problematización del saber, radica en buscar las causas que conducen a los individuos a
“hacer lo que hacen” con el conocimiento en juego, es decir, hacer del saber matemático un
problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128), para lo
cual, es necesario un rediseño del dME que privilegie estas características, como así
también, dotar al docente de espacios de reflexión y cuestionamiento de los saberes que
acompañen su proceso de reconstrucción de la concepción de la educación matemática. Por
39
Capítulo II: Marco Teórico
todo esto, se concibe a la Matemática Educativa como la disciplina ad hoc para hacer esta
investigación y a la Teoría Socioepistemológica como aquella que fungirá como herramienta
para analizar el fenómeno.
Por tanto, habiendo explicitado cuáles son las características de la teoría y dada la
naturaleza de nuestra problemática, se elige a la Socioepistemológica como marco teórico
para el análisis del fenómeno detectado, ya que la presente investigación necesita de una
teoría que considere como un campo de investigación a la realidad -concreta y viva-, es decir,
que pueda estudiar un fenómeno que derivara de un hecho empírico, con el fin de
caracterizarlo y conjeturar potenciales caminos a seguir; que favorecieran la construcción
social del conocimiento y pensamiento matemático en ambientes didácticos, privilegiando
las prácticas sociales como normativas de la acción humana y como base de la construcción
social del conocimiento matemático por encima del objeto matemático en sí. El estudio, la
clasificación, organización y el posterior análisis objetivo, caracterización y explicación del
fenómeno, permitirán la innovación de un constructo teórico, a saber: el empoderamiento
docente.
II. 4. CAMBIO DE CENTRACIÓN: DE LOS OBJETOS A LAS PRÁCTICAS
Durante el transcurso de todo este capítulo, como así también del anterior, hemos
mencionado incesantemente que es necesario que sea con base en la construcción social del
conocimiento matemático desde donde se lleven a cabo las clases de Matemática. Esta nueva
concepción del objetivo de la matemática escolar, radica en una idea más profunda que es el
cambio de centración del dME, de los objetos matemáticos propiamente dichos, a las
prácticas que hacen emerger los conocimientos matemáticos.
Cuando nos referimos a objeto matemático, pensamos en el conocimiento matemático en
sí, acompañado de sus definiciones, sus métodos, sus ejemplos, sus algoritmos y sus
procedimientos, concibiendo a este como un ente preexistente al individuo y acabado, el cual
debe transmitirse al estudiante. Es decir, en la actualidad, con base en las recientes
investigaciones, podemos afirmar que se enuncia la definición de un conocimiento
matemático, luego se ejemplifican algunos de sus procedimientos o algoritmos y, para
concluir, se ejercita. Sólo para ejemplificar, la enseñanza de las derivadas y las integrales,
40
Capítulo II: Marco Teórico
distan de ser una reflexión sobre el pensamiento variacional, reduciendo su esencia al
hallazgo de derivadas o integrales de ciertas funciones.
Veamos una diferencia interesante…
Mientras que en un libro de texto que se edita y usa en Argentina, llamado
Logikamente, al cual se puede tener acceso vía internet, aparecen ejercicios como los que se
muestran a continuación, para abordar el concepto de derivada (ver figura 8), lo cual deja
ver la centración en el objeto matemático de la derivada; en una propuesta realizada por
Cabrera (2009), se privilegian las prácticas asociadas a este conocimiento (ver figura 9).
Figura 8: Contenidos temáticos del concepto de Derivada e Integral del libro de texto Logikamente.
Matemática (Logikamente…, 2011, p. 6)
Cabrera (2009), hace una propuesta cuyos datos generales son los siguientes:
41
Capítulo II: Marco Teórico
Figura 9: Datos generales de una propuesta didáctica basada en las prácticas.
(Cabrera, 2009, p. 92)
En estas actividades se estima desarrollar las competencias de utilizar, representar e
interpretar modelos matemáticos, la comprensión de situaciones reales y formales, la
comparación entre variables con el fin de establecer relaciones entre ellas, potenciar la
estimación y aproximación de los comportamientos de ciertos fenómenos del entorno social o
natural. En esta situación, se evidencia el carácter funcional, la pluralidad de prácticas de
referencia, la potenciación de las diversas racionalidades conceptuales y la validación, en
conjunto, de los saberes construidos; es decir, esta propuesta responde al nuevo
planteamiento que se pretende del dME.
Construcción social del conocimiento matemático
Para poder trabajar sobre este tema en particular, es indispensable dejar en claro qué
es lo que se cuestiona, replantea y pretende modificar a través de la investigación, la Teoría
Socioepistemológica: esta teoría se cuestiona qué se enseña, además del cómo se enseña. Por
tanto, cuando afirmamos que se privilegie la construcción social del conocimiento
matemático por sobre la centración en los objetos matemáticos, lo que queremos decir, es
que la Socioepistemología en vez de hablar de objetos matemáticos como conceptos acabados
y preexistentes a la praxis humana, construye un camino alternativo a esta concepción que
es el juego de prácticas: prácticas socialmente compartidas, prácticas sociales y prácticas de
referencias; en donde los conocimientos matemáticos emergerán como herramienta para la
respuesta efectiva a una situación de la cual no conocían su respuesta.
42
Capítulo II: Marco Teórico
En síntesis, cuando la Socioepistemología hable de la construcción social del
conocimiento matemático, más que hablar del cómo aprender matemáticas, refiere al qué
aprender en matemáticas. Es por eso, que al considerarse a las prácticas sociales como las
generadoras de conocimiento, y por tanto considerar al conocimiento como una construcción
social, se estima sean éstas contempladas para realizar diseños de aprendizajes. De esto se
desprende que la construcción social del conocimiento matemático y las prácticas sociales,
tienen una relación simbiótica.
Situación de aprendizaje
La obra de teatro
no es el libreto…
Varios son los elementos que deben tenerse en cuenta cuando se habla de una
situación de aprendizaje (SA), si habláramos únicamente del diseño de la SA, estaríamos
cometiendo un error. Éste radica en que una SA es un proceso, por tanto, el diseño es un
eslabón, necesario mas no suficiente, del mismo.
En la nueva Guía para el maestro de los programas de estudio 2011 de la SEP
(Secretaría de Educación Pública, 2011), se reflexiona sobre la transición de una situación
problema a una situación de aprendizaje de la siguiente manera:
Un diseño didáctico constituye una situación problema si plantea un
conflicto para quien lo aborda, pero lo encamina en un proceso de
pensamientos de resolución que permitan superar el conflicto y construir
nuevos conocimientos. Hacer de ésta una situación de aprendizaje requiere
de la intervención de quien, intencionalmente, busca la construcción de
conocimiento por parte de quien la enfrenta. Una situación de aprendizaje
puede caracterizarse como la articulación de una situación problema y un
contrato didáctico (Montiel, 2005), es decir, exige la consideración de la
interacción del sistema didáctico como una unidad indivisible, a la luz de las
actividades que demande la situación problema.
Esto presupone que la intervención del profesor, desde el diseño y la
planeación, hasta el momento en que se lleva a cabo la experiencia de aula,
está presente para potenciar los aprendizajes que lograrán las y los
estudiantes, es decir para tener control de la actividad didáctica y del
conocimiento que se construye (Alanís et al, 2008). (Secretaría de
Educación Pública, 2011, p. 74)
43
Capítulo II: Marco Teórico
Este planteamiento, realizado por especialistas en Matemática Educativa ayuda a
entender cuál es la esencia de la situación de aprendizaje. Un individuo no se encuentra en
situación de aprender en cualquier circunstancia, ésta hay que propiciarla. Los elementos
que colaboran a ello es que el diseño sea contextualizado a la cotidianidad de la persona, se
parta de su propia realidad (calcular la estatura promedio de las personas involucradas en
el momento, calcular la cantidad de mujeres y hombres que pertenecen a la Cámara de
Diputados de la Nación con el fin de conocer cuál es la proporción de género en la Cámara,
por ejemplo) proponiéndole un enunciado situado -situación problema- que la enfrente a un
reto que pueda ser abordado y ponga en juego los saberes que se quieren. Una vez abordado
el mismo, la respuesta que sea brindada por el individuo se espera que, de ser errónea, el
propio diseño sea el proveedor de que se dé cuenta de la equivocación. En este momento, la
persona está en conflicto y se reconoce que está en “situación de aprendizaje”.
Estas situaciones de aprendizajes promueven la construcción social del conocimiento
con base en la racionalidad contextual, el relativismo epistemológico y el fomento de una
resignificación de los conocimientos previos de los estudiantes. Por ejemplo, una situación 4
que fue diseñada por colegas del DME del Cinvestav-IPN, plantea lo siguiente:
“David quiere trabajar para reunir dinero y comprarse unos patines en línea que cuestan
$400 pesos. Él tiene tres amigos que ya trabajan, y ellos le dijeron que le podían echar
la mano para encontrar trabajo donde ellos laboran. Para decidir en qué trabajar, él les
pregunto cuánto ganan. Las respuestas de sus amigos fueron las siguientes:
Mayra: … pues lo que gano depende del número de periódicos que venda. A mí me dan
$30 pesos por cada día que voy a trabajar y me dan 40 centavos por cada periódico que
venda. Por lo general vendo entre 55 y 63 periódicos. Nunca he venido menos, pero sí
más…
Luis: … pues lo que yo gano también depende únicamente de lo que venda, a mí me
pagan 90 centavos por cada helado. En un día yo vendo entre 57 y 65 helados. Y a
diferencia de Mayra yo nunca he vendido más, pero tampoco he vendido menos…
Erika: … pues yo trabajo en la tienda de mi mamá y ella me paga $45 pesos cada día
que asisto…
Si David quiere reunir el dinero lo antes posible ¿en qué le conviene trabajar?,
¿vendiendo periódicos?, ¿vendiendo helados? o ¿en la tienda de la mamá de Erika?”
4
Esta situación de aprendizaje fue una de las que se utilizaron para reflexionar con los docentes durante la “Especialización…”,
cuyo enunciado lo confeccionó un colega del Cinvestav-IPN como producto de un seminario de investigación. Sin embargo, el
análisis y objetivo que se le da es completamente distinto al que en su momento le había adjudicado quien escribió el enunciado.
Este, es un nuevo ejemplo de que la situación de aprendizaje, no se reduce al mero enunciado.
44
Capítulo II: Marco Teórico
Bajo el principio de que todo conocimiento es generado por prácticas sociales que
norman los comportamientos, encontramos específicamente en la situación:
•
Racionalidad contextualizada: puede abordarse a través de promedios, estadísticas,
gráficas, decisión personal (“es menos cansador…”, “es más divertido”), decisión
contextual (“vivo en Mérida, convienen los helados”, “aquí, en Baja California, no se
comen helados, convienen los periódicos”, “lo más seguro es lo de la mamá de Erika”)
dependiendo cada individuo y contexto.
•
Relativismo epistemológico: cualquiera de las respuestas será válida, mientras que
sus argumentaciones respondan a una coherencia en el contexto desde donde
surgieran.
•
Resignificación progresiva: la puesta en común de todas las propuestas, genera la
reflexión y resignificación de las otras argumentaciones y contextualizaciones
planteadas.
Con esto, podemos afirmar que, las situaciones de aprendizaje, desde la teoría
Socioepistemológica, se sustentan en la nueva propuesta del dME y que son consideradas
las herramientas didácticas que utilizaremos para generar el escenario para que se potencie
la construcción social del conocimiento; y asimismo, la figura del docente, los estudiantes y
su contexto, son indispensables en el éxito de una situación.
En síntesis, así como la obra de teatro no es el libreto, la situación de aprendizaje no
es sólo el enunciado, sino que debemos considerar todos los factores que a ella le competen:
estudiantes, docentes, contexto, entre otros.
II. 5. UNA SÍNTESIS NECESARIA
En este capítulo, hemos comentado sobre el surgimiento de la disciplina Matemática
Educativa; hemos reflexionado sobre los principios de la Teoría Socioepistemológica; hemos
reflexionado sobre el dME y la necesidad de su rediseño con base un cambio de centración de
los objetos matemáticos a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento
matemático y hemos reflexionado sobre éste tipo de construcción; hemos reflexionado sobre
las situaciones de aprendizaje como herramientas que potencien esta construcción, de
45
Capítulo II: Marco Teórico
manera somera ya que no es el meollo de esta investigación, qué es lo que se debe considerar
para potenciar la resignificación progresiva de dicho conocimiento.
Ahora bien, este cambio de centración, en donde se comienzan a privilegiar las prácticas
por encima de los objetos matemáticos en sí, no sólo produce una necesidad de rediseño del
dME, sino que también produce una necesidad en los docentes -tanto de formación inicial
como docentes en servicio con formación continua- de hacer propia esta concepción de la
enseñanza de la matemática. Es decir, de hacer propio el conocimiento matemático en el
sentido hasta ahora analizado, ya que en la actualidad, es la centración en los objetos la que
rige en los sistemas didácticos. Esta apropiación del conocimiento matemático en donde se
privilegia la validación de las distintas argumentaciones, se permite la emergencia de las
diversas racionalidades contextualizadas, se favorece una resignificación progresiva
considerando varios marcos de referencia, sobre la base de considerar a las prácticas
sociales como las generadoras dicho conocimiento, no es algo trivial. Es aquí, en donde, la
Teoría Socioepistemológica, como herramienta de análisis y para la intervención en el
sistema educativo, postula que el empoderamiento docente es lo que debe propiciarse para
que esto ocurra…
46
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
"-¿Cómo quieres que volemos como vuelas tú? -intervino otra voz-.
Tú eres especial y dotado y divino, superior a cualquier pájaro.
-¡Mirad a Pedro, a Terrence, a Carlos Rolando, a María Antonio!
¿Son también ellos especiales y dotados y divinos?
-No más que vosotros, no más que yo.
La única diferencia, realmente la única, es que ellos han empezado a comprender
lo que de verdad son y han empezado a ponerlo en práctica.”
Juan Salvador Gaviota, por Richard Bach
La Socioepistemología tiene la peculiaridad de acuñar constructos teóricos cuya
caracterización emerja de la observación sistemática de la realidad, es decir, con fuerte
sustento empírico. En el caso de esta investigación, la noción de empoderamiento proviene
del análisis de procesos observados en el proyecto de la Especialización de Alto Nivel en la
Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de reproducibilidad
de situaciones didácticas. Ello nos ha permitido, mediante la participación y observación
activa, cuestionarnos, profundizar y caracterizar el proceso que viven los docentes para
problematizar el saber matemático puesto en juego en su práctica docente, explorar la
creación de espacios propicios que provoquen en los estudiantes retos intelectuales que
permitan hacer emerger los significados de los saberes matemáticos, al potenciar los
distintos tipos de razonamientos y reconocer la validez de diversos saberes. La esencia de
este proceso radica en la concepción de que la manera de lograr aprendizajes funcionales a
la vida de los estudiantes, es a través de que el aprendizaje se fundamente en la
construcción social del conocimiento matemático con base en los principios teóricos de la
Socioepistemología. Con base en todo esto, hemos diseñado y propuesto un modelo
conceptual novedoso que puede servir para acompañar el proceso del docente en su
construcción del saber y de la toma de conciencia de su capacidad de intervención sobre el
sistema didáctico, el empoderamiento docente.
49
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
50
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
III.1. DISTINTAS INTERPRETACIONES DE EMPODERAMIENTO
Al colocar la palabra empoderamiento en el diccionario de la Real Academia Española,
nos encontramos con que no es una palabra aceptada hasta el momento. Sin embargo, sí lo
es la acción empoderar, pero está ligada a la acción apoderar, de la cual se infiere lo
siguiente (Real Academia Española, 2011):
1. tr. Dicho de una persona: Dar poder a otra para que la represente en juicio o fuera
de él.
2. tr. ant. Poner algo en poder de alguien o darle la posesión de ello.
3. prnl. Hacerse dueño de algo, ocuparlo, ponerlo bajo su poder. U. t. en sent. fig. El
pánico se apoderó de los espectadores.
4. prnl. ant. Hacerse poderoso o fuerte; prevenirse de poder o de fuerzas.
Asimismo, Wikipedia caracteriza empoderamiento de la siguiente manera:
El término empoderamiento humano abarca una extensa gama de
significados, interpretaciones, definiciones, disciplinas que van desde la
psicología y la filosofía hasta la muy comercializada industria de
automotivación y las ciencias de la motivación.
El diccionario panhispánico de dudas define empoderar como conceder
poder a un colectivo desfavorecido socioeconómicamente para que,
mediante su autogestión, mejore sus condiciones de vida. Este añade: El
verbo empoderar ya existía en español como variante desusada de apoderar.
Su resucitación con este nuevo sentido tiene la ventaja, sobre apoderar, de
usarse hoy únicamente con este significado específico. (Wikipedia, 2011)
Esta acepción, para nosotros, se aleja de lo que se estima que el empoderamiento pueda
lograr; sobre todo, cuando enuncia: “conceder poder a un colectivo”. En contraposición a esto,
Montero (2006) nos cuenta cómo fue que se acuñó el término inglés de empowerment, desde
el campo de la psicología comunitaria, a principios de la década de los 80, como aquel
proceso que es necesario para lograr transformaciones a nivel comunitario y es reconocido
como uno de los aportes fundamentales. En su escrito, la autora deja en claro su postura en
contra de utilizar el término de empoderamiento, considerándolo un “uso horrible de un
neologismo innecesario en la lengua castellana” (Montero, 2006, p.61) proponiendo el
51
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
término fortalecimiento ya que puede producir confusiones en tanto considerar que
empoderarse significa adquirir poder. Sin embargo, esta última interpretación, dista no sólo
de nuestra postura, sino de las que veremos en momentos más.
El fortalecimiento 1, refiere al fortalecimiento de las personas de una comunidad, en
donde “el poder es un logro de la reflexión, conciencia y acción de las personas interesadas, y
no un regalo o donación de otro poderoso” (Montero, 2006, p. 62) y se reconoce como un
proceso en colectivo, cuya participación procura el beneficio para el grupo y para sus
miembros.
Por otra parte, en la actualidad, el libro titulado Innovación para el empoderamiento
ciudadano a través de las TIC (Cibervoluntarios.org, 2011), editado desde una Organización
No Gubernamental (ONG), llamados Cibervoluntarios.org, versa sobre las redes sociales, las
redes de comunicación y todo aquello que tenga que ver con la tecnología, y cómo la
apropiación de éstas por parte de los ciudadanos de todas las condiciones, se puede convertir
en un elemento de cambio social. Si bien, este enfoque, en comparación con el de la
psicología comunitaria, varía ya que este retoma a las TIC´s como potencialidades, ambos
tienen al cambio social como eje.
En este libro, podemos encontrar más caracterizaciones del empoderamiento y una
nueva evidencia de que no tenemos – ni tendremos – una definición, sino que podremos
hablar de interpretaciones de ello y sus caracterizaciones:
Ante la pregunta ¿qué es el empoderamiento para ti? Encontramos las siguientes
respuestas:
It’s enabling an encouraging people to actively participate rather
than just consume things passively, becoming an actor instead of
just a spectator. It’s giving tools and knowledge to people so that
they can act, but also letting them know than they can act. It’s
actually encouraging people to act, stand up, and take their
destiny in their own hands, in order to live the life they want, and
shape the world they want. (Ninot, 2011, p. 161)
1
Utilizaremos fortalecimiento cuando nos refiramos al término descrito por Maritza Montero, con el fin de respetar su postura
ante la terminología.
52
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Cuya traducción dice:
Es lo que permite alentar a las personas para que participen
activamente en lugar de consumir pasivamente las cosas,
convirtiéndose en un actor en vez de un simple espectador. Se
están dando las herramientas y conocimientos a las personas para
que puedan actuar, pero también hacerles saber que ellos pueden
actuar. De hecho, es animar a la gente a actuar, de pie, y tomar su
destino en sus propias manos, con el fin de vivir la vida que
quieren, y dan forma al mundo que ellos quieren.
Asimismo, Blanco enuncia:
(…) Aparte de la definición, el empoderamiento es casi un estado
del ser humano en el que sientes que puedes modificar tus
realidades con más o menos éxito, pero que tienes los canales, que
las posibilidades están ahí y que depende de ti elegir cuáles y cómo
utilizarlas. Un estado en el que sientes que cualquier duda puede
ser resuelta y que tú puedes resolver cientos de dudas. Un estado
en el que sientes que tú puedes manejar tu realidad. La respuesta
más corta sería que para mí empoderamiento significa libertad.
(Blanco, 2011, p. 168)
Si bien en este último caso, Blanco (2011) considera al empoderamiento como un
estado, nosotros diferimos con él, concibiéndolo como un proceso continuo, que genera,
ahora sí coincidimos, que puede manejar su realidad y transformarla.
El empoderamiento como tal, sigue siendo un constructo sin definición única y
absolutista, lo que nos resulta lógico, ya que su caracterización dependerá del tipo de
contexto en el cual se esté potenciando el proceso de empoderarse. A continuación
veremos algunas de las caracterizaciones que se hicieron hasta el momento, desde
diferentes contextos.
53
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Tabla i
Distintas concepciones de empoderamiento.
Fuente y Contexto
Caracterización
Documento del Banco
Mundial
"En un sentido más amplio, empoderamiento es la expansión en la libertad de
escoger y de actuar. Significa aumentar la autoridad y el poder del individuo sobre
los recursos y las decisiones que afectan a su vida."
(Documento del Banco Mundial, párr.2)
Socio-económico
"Empoderar, el poder para, supone que alguien, individuo o grupo, tiene una serie
de capacidades que en principio le permiten asumir la responsabilidad sobre su
Empoderamiento para la
propio
futuro. El individuo o grupo se vuelve agente, es decir tiene la capacidad
innovación social
para afrontar, influir e incluso intentar generar su futuro de acuerdo con su
voluntad y anhelos."
(Martín Maruri, 2011, p. 130)
Psicosocial
"Empoderamiento (del inglés empowerment) es un término de uso común en la
actualidad cuando se habla de intervención social en comunidades y/o en grupos o
colectivos motivados al cambio. Sintetiza los complejos procesos sociales y
humanos que se dan en las personas y las comunidades que, expuestos a un
Empoderamiento: un
gradiente de riesgo psicosocial importante, están fuertemente sensibilizados y
proceso que se logra
predispuestos —tengan conciencia o no— a asumir nuevos comportamientos; todo
mediante el desarrollo aquello que signifique oportunidades, nuevos aprendizajes para el desarrollo de sus
de competencias y de la capacidades potenciales, tomar fuerza del sufrimiento y avanzar hacia una nueva
autoevaluación
percepción. Empoderarse es abrirse a la perspectiva de que la adversidad puede
victimizar a los individuos que la padecen o, por el contrario, llevarlos a enfrentar
los retos que así se convierten en una posibilidad para la transformación."
(Castro Llanes, 2005, p.73)
Autoayuda
Empoderamiento,
Participación y
Autoconcepto de
Persona Socialmente
Comprometida en
Adolescentes Chilenos
"Estas personas empoderadas serán capaces de contribuir a la solución de los
problemas difíciles de enfrentar desde una planificación centralizada (Rappaport,
1981). Esto es particularmente relevante en sectores juveniles en desventaja social,
en los cuales los grupos juveniles con interés por el bien común pueden mejorar su
condición y la de su comunidad en forma sustantiva (Hart, et al., 1998)."
(Silva Dreyer & Martínez Guzmán, 2007, p.135).
Social
Reflexiones
preliminares en torno al
empoderamiento
"Pero para las feministas el empoderamiento es más que esto: comprende la
alteración radical de los procesos y estructuras que reproducen la posición
subordinada de las mujeres como género. En otras palabras, las estrategias para el
empoderamiento no pueden ser sacadas de su contexto histórico, que creó la
carencia de poder en primer lugar, como tampoco pueden ser vistas aisladamente
de los procesos presentes"
Feminismo
(Camacho de la O., 2003, p. 5)
54
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Teoría y práctica de la
psicología comunitaria.
La tensión entre
comunidad y sociedad.
"Definiremos al fortalecimiento, desde la perspectiva comunitaria, como el
proceso mediante el cual los miembros de una comunidad (individuos interesados
y grupos organizados) desarrollan conjuntamente capacidades y recursos para
controlar su situación de vida, actuando de manera comprometida, consciente y
crítica, para lograr la transformación de su entorno según sus necesidades y
aspiraciones, transformándose al mismo tiempo a sí mismos.
El compromiso y la conciencia suponen alguna forma de desarrollo de identidad
social expresada en el sentido de pertenencia y de apego a la comunidad, así como
la generación de estilos de acción marcados por la cultura local, que se manifiestan
incluso en las formas de incorporar conocimientos y técnicas externos que les son
necesarios para alcanzar sus fines. El aspecto crítico se evidencia en la
aproximación evaluativa de las circunstancias, de causas y efectos, de recursos y
de posibilidades."
Psicosocial
(Montero, 2006, p. 72)
En los periódicos actuales, también aparece el término empoderamiento, de las siguientes
maneras:
•
En el periódico Crónica se dice:
No han entendido que la ciencia, tecnología y la innovación los empodera.
El próximo año emprenderemos una estrategia de la academia y
empresarios para que entiendan la importancia de llevar la educación,
ciencia y tecnología a lo largo de sus administraciones. (Ver Figura 10)
(Torres Cruz, 2011)
•
En el Nexo se enuncia:
De ahí la necesidad de empoderarlas, y no hablo aquí de darles el poder que
antes pertenecía a sus esposos. Hablo de darles más oportunidades, hablo
de darles más recursos, hablo de educarlas más de siete años, hablo de
empujar para que lleguen a posiciones de mando en el país. En pocas
palabras, se trata de reconocer a las mujeres como ciudadanas completas:
con cerebro y útero, con manos y pies, con capacidad para cambiar el
destino del país y la responsabilidad de reinventarlo. Porque la causa de
cualquier mujer es una causa nuestra. (Ver Figura 11) (Dresser, 2011)
55
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Figura 10: La estrategia en las políticas de ciencia y desarrollo en México ha sido más retórica que congruente,
afirma el director del Conacyt. La Crónica, 20 de agosto de 2011. (Torres Cruz, 2011)
56
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Figura 11: Mujeres: mejores, en el Nexo (Dresser, 2011)
Pese a que todas las acepciones que hasta aquí se enunciaron son consideradas válidas ya
que responden a un contexto determinado, ninguna de ellas, responde íntegramente al
contexto de la educación, y es el contexto en el cual nosotros caracterizaremos al
empoderamiento;
sin
embargo,
consideramos
importante
enunciar
las
distintas
caracterizaciones que existen sobre dicho término en otros contextos, con el fin de encontrar
sus regularidades.
57
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Ahora bien, en Estados Unidos, Howe y Stubbs (1998, 2003), realizan un trabajo con
docentes en el cual postulan un modelo de desarrollo de liderazgo docente, con base en el
proyecto denominado SCI-LINK.
Daremos una breve descripción de la particularidad del proyecto SCI-LINK (Howe &
Stubbs, 2003), comenzando por rescatar que la relación principal que existe con el
empoderamiento, es el liderazgo. Este proyecto, basado en una serie de talleres y
actividades para profesores de ciencia, pretendió que éstos aprendan acerca de la
investigación científica del momento y pudieran traducir esos conocimientos en lecciones y
actividades para sus estudiantes.
El modo de trabajar, a grandes rasgos, era el siguiente: en primer lugar, exponía un
científico sobre la investigación de vanguardia; en segundo lugar, se daba el espacio para un
debate abierto; posteriormente, la mayoría de las veces se procedía a resolver algunos
problemas prácticos relacionados con la plática inicial y, por último, los profesores
realizaban lecciones y actividades para poder llevarlo al aula, considerando lo aprendido
hasta el momento sobre el tema abordado.
Los objetivos generales del proyecto eran los siguientes (Howe & Stubbs, 2003, p.287288):
a. Que los maestros aumenten su conocimiento de la ciencia del medio
ambiente.
b. Infundir estos nuevos conocimientos en sus propios materiales para el
currículo de aula de ciencias.
c. Ser más seguros de sí mismos como profesionales.
d. Participar en trabajos colaborativos.
Aseguran los autores que “la atención se centró en la mejora de conocimiento por parte de
los profesores de la ciencia, la mejora de la enseñanza de la ciencia y el empoderamiento
como individuos” (Howe & Stubbs, 2003, p.283), entendiendo que “el proceso de
empoderamiento no implica que uno tiene poder sobre los demás, sino que se adquiere el
poder de tomar las riendas de su propio crecimiento y, en la medida de lo posible, de la
propia vida” (Howe & Stubbs, 1998, p.169).
58
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Asimismo, Stolk, de Jong, Bulte y Pilot (2011), en una reciente investigación, se proponen
como objetivo contribuir a la base de conocimiento de cómo diseñar un programa de
desarrollo profesional, evidenciando los resultados de una experiencia con profesores del
área de Química, basándose en un modelo de desarrollo profesional -en el cual retoman
ideas de Howe y Stubbs (1997) cuyos objetivos generales eran los siguientes:
a. Los profesores adquieren una visión general de cómo enseñar una
unidad innovadora.
b. Los profesores son capaces de enseñar a una unidad basada en el
contexto.
c. Los profesores se sienten confiados para enseñar una unidad basada en
el contexto.
Específicamente,
(…) los objetivos consisten en objetivos cognitivos, como la adquisición de
conocimientos de la naturaleza de la innovación curricular (contexto basado
en la educación de la química), y los objetivos afectivos, como la
construcción de la seguridad del docente para aplicar la innovación en su
práctica. (Stolk et al., 2011, p. 371)
El plan de trabajo que se llevó a cabo para el proceso del desarrollo profesional, fue el
siguiente:
Figura 11: Fases del proceso de desarrollo profesional y las actividades del programa
(Stolk et al., 2011, p. 376).
59
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Al analizar ambas investigaciones que refieren al ámbito educativo, nos hemos
encontrado con que sus resultados se apoyan principalmente en la actitud del docente pero
respecto a dos miradas distintas. Por ejemplo, para Howe y Stubbs (2003) la esencia del
empoderamiento radica en el desarrollo del potencial de cada individuo para el liderazgo
dentro de una comunidad de práctica 2 , más que en la mejora de la enseñanza. En
contraposición, Stolk et al. (2011), plantean que respecto a los objetivos perseguidos “todos
los maestros se sentían seguros para enseñar una unidad basada en el contexto. Además,
todos los maestros crecieron profesionalmente en términos de la capacidad de enseñar una
unidad basada en el contexto”, es decir, para ellos el empoderamiento se correlaciona con la
mejora en el desempeño profesional.
Claro está, que en todas las acepciones señaladas, aparecen ciertos elementos que son
transversales a todos los contextos, como por ejemplo: en la mayoría se considera -explícita o
implícitamente- un proceso por el cual transita un individuo en colectivo; aseguran la
necesidad de la reflexión en conjunto de las personas involucradas, cuya participación
procura el beneficio para el grupo; enuncian el propósito de transformar su entorno con base
en la participación activa, en contra posición del consumo pasivo de la realidad, que permita
la construcción y/o incorporación de conocimientos, herramientas y técnicas para alcanzar
los fines deseados; evidencian, por sobre todas las cosas, su carácter innovador y
transformista de la realidad. Es decir, en la caracterización que realizaremos del fenómeno
de empoderamiento, se verán reflejadas específicamente las siguientes consideraciones:
1.
es un proceso del individuo en colectivo;
2.
no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo;
3.
parte de la reflexión y se consolida en la acción;
4.
transforma la realidad.
III.2. CONTRIBUCIÓN DE LA ESPECIALIZACIÓN EN EL FENÓMENO DE
EMPODERAMIENTO DOCENTE
La Especialización de Alto Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de
Secundaria. Estudio de reproducibilidad de situaciones didácticas, jugó un papel
protagónico en el proceso de empoderamiento, por diversos motivos. En primer lugar, fue
2
Aunque no ha sido explícito por los autores, hemos interpretado como “comunidad de práctica” a la comunidad docente.
60
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
allí en donde se observó, generación tras generación, cómo los docentes ingresaban con
cierta actitud (por ejemplo: de desconcierto, tímidos, a la expectativa) y concluían el proceso
presencial con otra, utilizando frases del tipo: “me iba a jubilar, pero ahora, voy a volver al
aula a cambiar las cosas”, “darle el toque de investigación a mi profesión", “trabajo colectivo
para hacer diseño educativo", "uno necesita del otro para poder hacer un cambio en la
educación”, “¿cómo ese jovencito me va a enseñar? Pero pues tomamos en cuenta que son
investigadores que han estado analizando precisamente el desarrollo del conocimiento del
ser humano en el cual nosotros no estamos adentrados, únicamente tenemos la experiencia"
(Profesores partícipes en la Especialización, entrevista de Difusión Cinvestav, 29 de julio de
2010)… como estos, son muchos los comentarios que pueden rescatarse de los profesores que
participaron del proyecto. Puede caerse en el simplismo de considerar que hubo un muy
buen ambiente, o bien, se puede -como lo hemos hecho nosotros- generar la pregunta de
“¿qué es lo que les pasa a los profesores que salen diciendo que ahora pueden cambiar las
cosas?” Así, es como surge nuestra primera hipótesis: el diseño del proyecto, debe ser clave
en esto. He aquí, el segundo motivo por el cual la Especialización juega un papel
fundamental en el proceso del empoderamiento.
Los fundamentos teóricos con los cuales se rige el proyecto, son aquellos que emergen de
la Teoría Socioepistemológica, la cual considera que para poder generar saberes funcionales,
es necesaria la descentración de la mirada atomizada en los objetos matemáticos y comenzar
a buscar alternativas que privilegien en el aula los conocimientos emergentes de la
construcción social, lo cual -con base en sus principios teóricos-, se logra a través de
considerar a las prácticas sociales como generadoras de dicho conocimiento. Durante el
proyecto, los docentes problematizaron el saber; conocieron la epistemología de alguno de
ellos; descubrieron que existen diversas maneras de abordar un mismo problema, en donde,
los resultados distintos no se reducen a errores, sino que son pensamientos diferentes a los
otros y deben potenciarse, entenderse y comunicarse; aprendieron y aprehendieron
matemáticas; discutieron con sus colegas sobre las problemáticas de la práctica docente,
como así también, las maneras de diseñar las clases; resolvieron, discutieron, diseñaron,
aplicaron y rediseñaron situaciones de aprendizajes, entendiendo a éstas como la
herramienta didáctica para llevar esta problematización al aula, respetando los contextos
socioculturales de cada uno de los grupos de estudiantes; discutieron la importancia de la
61
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
transversalidad del saber matemático puesto en juego en la dinámica del aula, y por sobre
todas las cosas, reflexionaron sobre el cambio de centración de los objetos a las prácticas,
entre otras cosas… esto, hacerse dueños del saber que enseñan, era nuestra primera
hipótesis del porqué los docentes se empoderaban. En el capítulo anterior, en el apartado de
Situaciones de aprendizaje, se evidencia, mediante un ejemplo, cómo era que los docentes
abordaban el saber.
Por tanto, la contribución de la Especialización para caracterizar el fenómeno de
empoderamiento ha sido transcendental. En este momento, cuando conocemos cuáles son las
caracterizaciones que hasta el momento se han realizado del empoderamiento y conocemos
cómo es que la Especialización ha aportado al origen de la caracterización de este constructo
teórico para la Teoría, es que profundizaremos sobre el fenómeno de empoderamiento
docente según la Socioepistemología.
III.3. EL FENÓMENO DE EMPODERAMIENTO DOCENTE SEGÚN LA
SOCIOEPISTEMOLOGÍA
En el primer apartado de este capítulo, Distintas interpretaciones de empoderamiento,
hemos observado cómo se ha trabajado con la noción teórica de empoderamiento desde
distintos contextos y en específico, hemos comentado algunos de los proyectos didácticos que
estimulan el empoderamiento docente. La peculiaridad de estos proyectos es que el
empoderamiento se focaliza en darle al docente herramientas para que realicen nuevas
situaciones para el aula poniendo como punto importante la contextualización, ya sea
mediante el conocimiento (conocer que existe) de nuevas investigaciones relacionadas con el
tema a abordar, como así también, mediante la muestra de situaciones que brinden un
contexto a lo que ellos ya conocen. Todo esto, con el objetivo de que obtengan una actitud de
liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas para la enseñanza, enfatizando el hecho de
que adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento.
Sin embargo, si bien nosotros coincidimos plenamente con los resultados que se esperan,
en esta investigación consideramos que este tipo de análisis se reduce a una interpretación
pedagógica, mientras que nuestra intención es adentraremos en la médula de lo que puede
fungir como potencial para el empoderamiento docente, es decir, comenzar por la propia
62
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
problematización del saber puesto en juego por parte de los docentes, con el objetivo de que,
ahora sí, obtengan una actitud de liderazgo, confianza, modificación e incorporación de esta
visión sobre el aprendizaje de la matemática en sus prácticas de la enseñanza, enfatizando
el hecho de que ellos, por sí mismos, adquieran el poder de tomar las riendas de su propio
crecimiento (Howe & Stubbs, 1998; Montero, 2006). Dado que el interés está en este
fenómeno hemos decidido analizarlo en su relación a la exclusión del dME, a la
reproducibilidad y, en particular, al saber matemático; para lo cual, dejamos de lado su
relación con los procesos de formación y de profesionalización, pues estos procesos han sido
ampliamente tratados en la literatura.
III.3.a El fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME
Las investigaciones de Soto (2010) pusieron en evidencia, mediante la construcción de
un modelo de exclusión, que “el dME es caracterizado como un sistema de razón SR, que
excluye a los actores del sistema didáctico (estudiantes y docentes) de la construcción del
conocimiento matemático a través de una violencia simbólica VS” (p. 91).
Figura 12: Modelo de exclusión (Soto, 2010, p. 76).
Asimismo, confeccionó un mapa del dME, que delinea lo que queda fuera y dentro de “lo
normal”. En él se evidencia el carácter hegemónico del dME, la atomización en los
conceptos, la concepción de que la Matemática es un conocimiento acabado y continuo, el
carácter utilitario y no funcional del conocimiento y la falta de marcos de referencia para
resignificar la matemática escolar (Ver figura 13).
63
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Figura 13: Mapa del dME. (Soto, 2010, p.79)
•
Atomización en los conceptos: no considera los aspectos sociales, contextuales y
culturales que permiten la constitución del conocimiento.
•
Carácter hegemónico: supremacía de argumentaciones y significados frente a otras.
•
Concepción de que la matemática es un conocimiento acabado y continuo: lo que ha
generado que la enseñanza de la matemática sea reducida a la mecanización de
procesos o memorización de los conceptos.
•
Carácter utilitario del conocimiento: la organización de la matemática escolar ha
antepuesto la utilidad del conocimiento a cualquiera de sus restantes cualidades. Se
busca que el conocimiento tenga un carácter funcional, en el sentido que logre
integrar tal conocimiento a la vida para transformarla.
•
Falta de marcos de referencia para la resignificacion de la matemática escolar: se ha
soslayado el hecho de que la matemática responde a otras prácticas de referencia y
por tanto es ahí donde encuentra una base de significados naturales. (Soto, 2010,
p.72)
Aquí, puede hacerse un paralelo entre la concepción que se pretende desde la
Socioepistemología -con base en los principios de esta teoría- y la caracterización que hace
Soto (2010) del dME, incluyendo las características que debería poseer un dME que se apoye
en los principios socioepistemológicos (ver figura 14).
Con esta descripción del dME actual, se evidencia que la construcción social del
conocimiento queda completamente soslayada en las prácticas que acompañan a la presente
educación matemática.
64
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
dME actual (Soto, 2010)
Carácter utilitario
Principios de la
Socioepistemología
(Cantoral, 2011)
Normativa de la práctica
social
Propuesta de dME
Carácter funcional
La organización de la matemática
escolar ha antepuesto la utilidad del
conocimiento a cualquiera de sus
restantes cualidades. Se busca que el
conocimiento tenga un carácter
funcional, en el sentido que logre
integrar tal conocimiento a la vida
para transformarla.
La normativa de las
actividades y las prácticas.
La matemática escolar se organiza con
base en el saber y el funcionamiento
cognitivo, didáctico, epistemológico y
social en la vida de los seres humanos,
reconociendo a las prácticas sociales
como las que generan la construcción
del conocimiento.
Atomización en los conceptos
Racionalidad
contextualizada
Racionalidades contextuales diversas
No considera los aspectos sociales,
La relación al saber es una
contextuales y culturales que permiten
función contextual.
la constitución del conocimiento.
Carácter hegemónico
Relativismo
epistemológico
Validación de saberes (conocimientos
construidos)
La validez del saber es
relativa al individuo y al
grupo cultural.
La matemática escolar tiene diversas
maneras de verse, trabajarse,
construirse y desarrollarse, concibiendo
que la validez del saber es relativa al
individuo y al grupo cultural en el cual
éste ha emergido y respecto a la
racionalidad contextualizada que éste
posea.
Resignificación
progresiva
Pluralidad de prácticas de referencia
para la resignificación
La significación no es
estática, es funcional,
relativa y contextual.
La pluralidad de prácticas de
referencia, su interacción con diversos
contextos y la propia evolución de la
vida del individuo o grupo
resignificarán los saberes hasta el
momento construidos, enriqueciéndolos
de nuevos significados.
Supremacía de argumentaciones y
significados frente a otras.
Conocimiento acabado y continuo
Lo que ha generado que la enseñanza
de la matemática sea reducida a la
mecanización de procesos o
memorización de los conceptos.
Falta marcos de referencia para la
resignificación
Se ha soslayado el hecho de que la
matemática responde a otras prácticas
de referencia y por tanto es ahí donde
encuentra una base de significados
naturales.
Se reconocen, privilegian y potencian
diversos tipos de racionalidad relativos
a la realidad en la que el individuo se
encuentre en un momento y lugar;
desde el cual se contruirá
conocimiento.
Figura 14: Cuadro de relación dME actual, Principios de la SE y nueva propuesta.
Es aquí, en donde encontramos la relación dialéctica entre el fenómeno de la exclusión
del dME y el fenómeno de empoderamiento. Concebimos al empoderamiento como aquel
proceso que vive el docente, en conjunto con sus colegas e investigadores, con el objeto de
65
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
comprender, asimilar, asumir, aceptar y sumarse a la nueva propuesta del dME, en donde
se privilegie la validación de las distintas argumentaciones, se permita la emergencia de las
diversas racionalidades contextualizadas, se posea un carácter funcional del saber, se
favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la
base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras de dicho conocimiento.
Asimismo, este proceso de empoderamiento le permite al docente hacerse dueño del saber
que enseña mediante la problematización del mismo, lo cual le brindará confianza y
autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de
situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y
reflexiones con sus estudiantes que hagan emerger los distintos significados del saber
matemático. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que acompañe al rediseño del
dME, para potenciar el aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento, y
así, atender a la exclusión que provoca el dME actual.
III.3.b. El fenómeno de empoderamiento y el fenómeno de reproducibilidad
Ya ha sido demostrada la necesidad de rediseñar el dME con el fin de que se privilegien
las prácticas sociales por encima de la centración en los objetos matemáticos y de la
reducción de los procesos de construcción a meros algoritmos memorísticos. También hemos
visto, en el capítulo anterior, que son varias las propuestas didácticas que se han diseñado
con base en la idea de la construcción social del conocimiento. Ahora bien, en este momento,
nos detendremos a analizar aquello que ocurre cuando estas propuestas son llevadas al
aula, es decir, cuando ocurre el fenómeno de reproducibilidad. Lezama (2003, 2005) ha
estudiado la reproducibilidad de una situación de aprendizaje, lo que significa buscar y
determinar los factores que posibilitan el logro de los propósitos didácticos de ésta, una vez
que ha sido puesta en práctica en distintos escenarios (Farfán & Lezama, 2001).
Retomaremos de las contribuciones de su investigación, aquellos puntos esenciales que
nos permitirán reflexionar sobre la relación que existe entre el fenómeno de
empoderamiento y el fenómeno de reproducibilidad, a saber:
1.
Se reconoce que el docente es un factor fundamental del fenómeno de reproducibilidad y
esencial para alcanzar los propósitos didácticos. Cabe mencionar, que los primeros
66
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
estudios que se realizaron sobre la reproducibilidad (Farfán & Lezama, 2001; Lezama,
2003) se basaron en diseños realizados desde la ingeniería didáctica.
2.
Se retoma la investigación de Perrin Glorian (1993, citado en Lezama 2005) quien
también estudió la reproducibilidad y se reflexiona:
(…) se hizo notorio el fracaso de llevar una ingeniería didáctica diseñada
para un escenario a otro muy distinto porque, a pesar de que se hicieron las
adaptaciones que se consideraron pertinentes, y se trabajó estrechamente
con los profesores de grupo, sobre la marcha se mostraron las enormes
distorsiones que se producían al aplicar las actividades en el aula, debido a
las interpretaciones que hacían los profesores sobre las actividades y a las
características de los grupos. (Lezama, 2005, p. 345)
3.
Se enuncia la idea de que el fracaso de la reproducibilidad también depende de “la
relación personal del profesor con las matemáticas y con el contenido matemático
específico y las ideas acerca de lo que es aprender y enseñar matemática” (Lezama,
2005, p. 346).
4.
Apoyándose en las reflexiones de Artigue (1989, citado en Lezama 2005), reconoce que
la reproducibilidad de las situaciones se componen de una reproducibilidad externa y
una interna, en donde la primera se focaliza en los comportamientos individuales o
colectivos de los estudiantes, o su evolución en el tiempo; y la segunda, profundiza en la
necesidad de una construcción de significados con relación al contenido matemático
específico de la situación didáctica.
5.
Se menciona que para poder llevar a cabo el fenómeno de reproducibilidad deben
contestarse las siguientes preguntas: “¿cómo deberán ser comunicados estos productos
de investigación? Y ¿cómo podrán ser tomados en cuenta o utilizados por el profesor en
su práctica docente?” (Lezama, 2005, p. 347).
6.
Se asegura que:
(…) el propósito didáctico de la ingeniería se mantiene aunque el profesor
cambie, ya que es un elemento objetivo; sin embargo, la manera como el
profesor se apropie de él y lo interprete sí afectará el desempeño de los
estudiantes, debido a que se producirán formas de interacción que estarán
determinadas por el contrato didáctico. (Lezama, 2005, p. 347).
67
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
7. Se afirma que dentro del sistema, la posición del profesor es privilegiada ya que
“domina el contenido matemático de la situación, conoce las características de sus
estudiantes e interviene en el establecimiento de los propósitos de la ingeniería,
adaptándola a partir de las características de sus alumnos.”
8. “El fenómeno de la reproducibilidad se presenta como frágil, ya que la repetición del
efecto didáctico está determinado por múltiples factores, siendo los más complejos e
incontrolables los humanos.” (Lezama, 2005, p.357).
Actualmente, los socioepistemólogos, nos referiremos a las situaciones de aprendizaje
como aquellas herramientas didácticas que se utilizan para generar el escenario propicio en
los que se atienda al aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento, en las
cuales, la figura del docente, los estudiantes y su contexto, son indispensables en el éxito de
la situación; esto último acompaña los resultados obtenidos del estudio de la
reproducibilidad en donde se concibe al docente como factor fundamental en el fenómeno de
reproducibilidad.
Asimismo, coincidimos en que es necesaria la construcción de significados con relación
al contenido matemático específico de la situación que quiera llevarse al aula y que la
manera en que el docente se apropie del propósito didáctico y lo interprete afectará el
desempeño de los estudiantes.
Sin embargo, discrepamos en que este proceso se reduzca a “hacer adaptaciones de la
situación que se consideren pertinentes y trabajar estrechamente con los profesores de
grupo”, o bien, afirmar que los docentes “dominan el contenido matemático de la situación”.
Y este es un punto fino que debe explicarse, para lo cual, nos basaremos en las reflexiones
del apartado anterior – el fenómeno de empoderamiento y la exclusión del dME –.
Los docentes han sido formados, tanto en su educación básica, en su formación inicial,
como en su formación continua, bajo la lógica de que el dME posee un carácter utilitario y
hegemónico, carece de marcos de referencia para la resignificación, está compuesto de
conocimientos acabados y continuos, y posee una atomización en los conceptos (Soto, 2010),
exento por completo de la mirada de la construcción social del conocimiento. En este
contexto, solicitarles que lleven a cabo la reproducibilidad de una situación de aprendizaje
68
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
que privilegie la validación de las distintas argumentaciones, que permita la emergencia de
las diversas racionalidades contextualizadas, que posea un carácter funcional del saber, que
favorezca una resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la
base de considerar a las prácticas sociales como las generadoras dicho conocimiento, es un
hecho que dista de ser trivial. Si creyéramos que es instantáneo… la ingenuidad nos hubiera
ganado. Esta contraposición, entre la formación del docente y la intención de que la relación
personal del profesor con el saber matemático se modifique sin más que haciéndole una
adaptación o apropiación de la situación, es lo que puede explicar la fragilidad del fenómeno
de reproducibilidad que enuncia Lezama (2005) como una de sus conclusiones respecto a los
aspectos generales del mismo.
Ante las preguntas que se hace el autor sobre “¿cómo deberán ser comunicados estos
productos de investigación? Y ¿cómo podrán ser tomados en cuenta o utilizados por el
profesor en su práctica docente?” (Lezama, 2005, p. 347), nosotros tomamos postura.
En primer lugar, consideramos que más que una comunicación de los productos de
investigación, es necesario un paso previo a ésta, que radica en la reflexión y la
problematización del saber matemático en general, lo que llevará a los docentes a
reflexionar y problematizar el saber matemático específico de cada uno de los productos.
Esto, le permitirá a los docentes poder atender la diversidad de pensamientos matemáticos
que surgieran por parte de los estudiantes durante el desarrollo de la situación puesta en
escena; como así también le permitirá, con base en interacciones dialécticas, hacer emerger
los distintos significados de los saberes matemáticos mediante retroalimentaciones
sucesivas entre el humano y su medio ambiente próximo, tanto físico como cultural
(Cantoral et al., 2006).
En segundo lugar, para que los docentes puedan tomar en cuenta o utilizar los
productos que de la investigación surgieran, es indispensable, que conozcan no sólo la
situación problema que se diseñó, sino aquello que fundamenta la propuesta didáctica
(Montiel, 2010). Por ejemplo, dada una situación de aprendizaje en donde se trabaje con un
saber matemático específico, si el docente conoce las distintas argumentación, los distintos
significados de él, los distintos marcos de referencia en donde ese saber está puesto en uso,
es decir, conoce su naturaleza, podrá potenciar las estrategias de aprendizaje de los
69
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
estudiantes con base en la construcción social del conocimiento matemático, ya que tendrá
un abanico de argumentaciones, procedimientos, prácticas de referencia, entre otras, para
lograrlo. Sino, por el contrario, acotará las reflexiones de los estudiantes a aquellos
conocimientos con los cuales él ha sido formado, o bien, aquellos que han sido destacados en
la breve explicación de los objetivos didácticos que se persiguen con la situación.
En este caso, el empoderamiento emerge como una posible respuesta para atender a
aquellas fragilidades que se evidencian en el fenómeno de reproducibilidad y a aquellas
distorsiones que se muestran durante el desempeño de la situación que pudieran llevar al
fracaso la intención didáctica de la misma; dotando al docente, en conjunto con sus colegas e
investigadores, de espacios para reflexionar y problematizar el saber matemático.
III.3.c. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber
El fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso que vive un
individuo en colectivo, por tanto, a través de la interacción con sus pares, sean profesores y/o
investigadores, se potenciará la apropiación del saber que enseña mediante la
problematización del mismo. Cuando enunciamos la problematización del saber, nos
referimos a la integración entre las dimensiones del saber y las componentes de la
construcción social; en tanto se analiza: la naturaleza del saber (dimensión epistemológica);
el uso del saber (dimensión social); la apropiación del saber (dimensión cognitiva) y la
difusión del saber (dimensión didáctica). Aquí, creemos sumamente importante detenernos a
hacer una aclaración.
Estudiar la naturaleza del saber es entender lo que compone a ese saber, lo que lo
caracteriza, su profundidad, su origen, su evolución, los distintos marcos de referencia, entre
otras; si bien puede considerarse como un análisis histórico-epistemológico del mismo, no
concebimos que ésta sea la única manera de estudiarla. Por el contrario, consideramos
cuatro tipos de análisis:
1. La introspección: analizar, uno mismo, matemáticamente el saber. Por ejemplo, ante
un teorema, preguntarse qué pasaría si sus hipótesis se cambiaran, qué ocurriría si
una de ellas se eliminara… es decir, se reflexiona sobre la matemática de ese saber.
70
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
2. El
análisis histórico epistemológico: estudiar y analizar estrictamente la
epistemología del saber, preguntarse, por ejemplo, qué y cómo hizo en su momento
un matemático para llegar a cierto teorema, proposición, conocimiento, etc.; o bien,
preguntarse cómo se utilizó por primera vez, qué resultados se obtuvieron de él,
cuáles fueron los errores que se cometieron en aquellos tiempos, cuáles eran sus
conflictos, qué tipo de conocimientos rodeaban esta creación, entre otras.
3. La mirada del que aprende: analizar la matemática situándonos en la postura del
que desconoce el conocimiento. Poniéndonos en su lugar, podremos entender, por
ejemplo, cómo piensa el que está aprendiendo, cuáles y por qué son sus errores, en
dónde y por qué se dificulta el avance de la construcción o cuáles y cómo se
desarrollan sus estrategias para dicha construcción.
4. Su cotidianeidad: analizar los usos que ese conocimiento posee en los distintos
contextos de la vida de los individuos.
Con esta aclaración, se pretende desmitificar – de existir – la idea de que el docente no
puede abordar la naturaleza del saber; ya que no se espera que se haga un análisis histórico
– epistemológico de cada uno de los saberes matemáticos que atiende el currículum de
matemática, sino, que parta de la introspección, la mirada del que aprende y los usos que
este saber posee en la cotidianeidad, apoyándose en las discusiones y reflexiones colectivas y
en las investigaciones sobre la epistemología del saber que existen, o bien, siendo él mismo
el que se adentre a tal investigación.
Como se puede observar, el uso que se le dé al saber es transversal a todo tipo de
análisis, ya sea el histórico, el actual o el contextual, entre otros; es decir, la dimensión
social del saber matemático estará permeando todos y cada uno de los análisis que se
realicen sobre un saber específico. Aunado a esto, la problematización del saber atañe la
necesidad de una reflexión sobre la dimensión cognitiva del saber, por ejemplo, cómo el
estudiante se apropia del mismo, qué dificultades puede encontrar, en otras palabras, la
necesidad de realizar un análisis a priori en donde se enfaticen las posibles dificultades y
estrategias que los estudiantes pueden abordar a la hora de enfrentarse a una situación de
aprendizaje. Estas reflexiones, consolidarán el tipo de dinámica que se llevará a cabo a la
hora de difundir este saber, vislumbrando en ella los hallazgos realizados del análisis de las
71
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
otras dimensiones y considerando aquellas propuestas didácticas que se hayan aportado
sobre el saber matemático específico.
En síntesis, la problematización del saber, radica en hacer del saber matemático un
problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128). Para
esto, sin duda, es necesario por un lado, como se dijo anteriormente, que se rediseñe el dME,
con el fin de que lo que los estudiantes aprendan sea con base en la construcción social del
conocimiento y, por el otro, dotar a los docentes de espacios de reflexión y cuestionamiento
de los saberes que les permitan potenciar y acompañar dicho aprendizaje por parte de los
estudiantes.
Ante la inminencia de la necesidad del rediseño del dME actual, nos hemos dado a la
tarea de explicar cuál y cómo es el proceso que podría vivir el docente, para que acompañe y
sea parte del cambio de concepción sobre el aprendizaje de la matemática, basada en los
conocimientos matemáticos como emergentes de la construcción social.
Para ello, hemos diseñado un modelo conceptual del desarrollo del conocimiento
matemático, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica, que acompaña las
reflexiones entre docentes, entre investigadores, entre docentes e investigadores, entre
docentes y estudiantes, y sus combinaciones (Ver figura 15).
Figura 15: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios
de la Teoría Socioepistemológica.
72
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Antes de abordar la explicación del modelo, enunciaremos qué entendemos por cada uno
de sus elementos:
Sociocultura.
Para su explicación, nos remitiremos a la investigación de Crespo (2007), quien afirma
que el escenario sociocultural “influye no sólo en las conductas, sino en la manera de actuar
y de pensar de los miembros de la sociedad que lo habita, modelando, de cierta manera sus
acciones y pensamientos, condicionándoles sustancialmente” (Crespo, 2007, p. 38). La
esencia de esta idea radica en entender que la construcción del conocimiento es un producto
sociocultural, es decir, “representativo de la sociedad en la que se gesta” (Crespo, 2007, p.
38).
En particular, entenderemos cultura, como actualmente la interpretan los sociólogos y
antropólogos, para señalar al “conjunto de modos de vida creados, aprendidos y transmitidos
por una generación a otra, entre los miembros de una sociedad particular.” (Abbagnano,
2010, p. 258). Es decir, se interpreta como una formación colectiva de un grupo social en las
instituciones que lo definen.
Contexto
Como es enunciado por Espinoza Ramírez (2009), “el aprendizaje, la significación, la
racionalidad y el conocimiento son situados a cierto contexto” (Espinoza Ramírez, 2009,
p.167), por tanto, consideraremos contexto como aquel en donde se gesta el conocimiento,
pudiendo ser éste el cotidiano, el escolar, el familiar, el callejero, el histórico, entre otros.
Significación
Dotar de significado a algo.
Conocimiento
Es aquello que emerge como respuesta a un problema real del cual no se conocía su
respuesta originalmente.
Saber
Es el conocimiento puesto en uso.
73
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Resignificación
Dotar de nuevo significado o robustecer uno ya existente con base en un nuevo contexto.
Este modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en
los principios de la Teoría Socioepistemológica, pretende esclarecer cómo es que la Teoría
Socioepistemológica
concibe
que
deban
tratarse
didácticamente
los
conocimientos
matemáticos que emergen de la construcción social del conocimiento matemático. Este
modelo muestra cómo se privilegia la validación de las distintas argumentaciones, se
permite la emergencia de las diversas racionalidades contextualizadas, se favorece una
resignificación progresiva considerando varios marcos de referencia, sobre la base de
considerar a las prácticas sociales como las generadoras dicho conocimiento.
Esta nueva concepción de lo que refiere al aprendizaje de la matemática no es algo
trivial ni para el docente ni para los estudiantes, motivo por el cual, se considera que en
paralelo al planteo de un rediseño del dME, deben surgir herramientas para la intervención
en el sistema educativo en tanto se debería trabajar junto al docente esta nueva manera de
concebir al aprendizaje de la matemática. Para ello, se postula que el fenómeno de
empoderamiento docente, es una de las herramientas que pueden considerarse para
propiciar que este tipo de aprendizaje se logre.
El modelo de desarrollo del conocimiento matemático está contemplado como el sustento
para acompañar el proceso de empoderamiento docente, asumiendo que será considerado
también para acompañar el empoderamiento estudiantil, es decir, para que una vez que el
docente comience a transitar este proceso, lo tome como referencia para generar en los
estudiantes, ambientes propicios que privilegien el aprendizaje con base en la construcción
social del conocimiento matemático. Con esto, se deja explícita la transición del saber
matemático al saber didáctico por parte de los docentes como parte fundamental del proceso
de empoderamiento.
En síntesis, el fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso
que vive el individuo en colectivo, fundado en la reflexión en conjunto de las personas
involucradas sobre la problematización del saber con apoyo de las concepciones intrínsecas
en el modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la
74
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Teoría Socioepistemológica. Esto, permitirá la interpretación, entendimiento e incorporación
de las propuestas didácticas que de la investigación surgieran y diseñar sus propias
metodologías de clase, con el afán de propiciar el aprendizaje con base en la construcción
social del conocimiento como camino ideal para la comprensión de la matemática. El proceso
de
empoderamiento, le permitirá, específicamente, lograr una transición de la
problematización del saber matemático a la construcción de herramientas para el saber
didáctico.
III.3.d. El fenómeno de empoderamiento y su relación al saber: el caso de la
proporcionalidad
Dado que el ejemplo de la proporcionalidad, surge de la observación empírica,
acudiremos a realizar una revisión de las investigaciones que la comunidad científica de
Matemática Educativa ha realizado al respecto y a la literatura pertinente que nos ayudará
a confeccionar un cuerpo teórico sobre la noción de proporcionalidad con el fin de poder,
mediante el análisis de la relación que posee el docente con este saber matemático,
identificar elementos que nos permitan postular evidencias sobre el fenómeno que nos
compete: el empoderamiento docente.
Habitualmente, cuando nos referimos al conocimiento matemático de proporcionalidad,
en especial al de proporcionalidad directa, recurrimos a ideas cotidianas coloquiales
utilizando expresiones del tipo “a más-más… a menos-menos…”, trayendo a nuestra mente
el ejemplo claro y sencillo de que si aumenta la cantidad de tortillas que se compre,
aumentará la cantidad de dinero que habrá de pagarse. El empleo del lenguaje coloquial
permite la fluidez de un pensamiento matemático situado, que posteriormente deberá
resignificarse y, por ejemplo, reflejarse de manera escrita a un nivel de objeto simbólico.
Hasta este momento, nos encontramos en un pensamiento proporcional cualitativo. Piaget e
Inhelder (1977) enuncian al respecto que “la noción de proporción se inicia siempre de una
forma cualitativa y lógica, antes de estructurarse cuantitativamente” (Piaget & Inhelder,
1977, p. 141). En este paso de lo coloquial a lo simbólico es donde los estudiantes comienzan
a cuantificar y enfrentarse a la construcción de “lo matemático”, pudiendo considerarse un
medio para construir un significado de “lo proporcional” (Reyes Gasperini & Cantoral, 2011).
75
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Asociadas a este conocimiento matemático, tenemos definiciones, métodos, ejemplos,
etc., que conforman al objeto matemático: definida como relación funcional, como razón
proporcional, como gráfica que pasa por el eje de las coordenadas, como tabla de valores,
como aquella que responde al método de la regla de tres simple, aquella que responde a “a
más, más; a menos, menos”, etc. (Ver figura 16)
Si bien el pensamiento cualitativo que refiere a “a más, más… a menos, menos…” es
válida, debemos proponer situaciones en distintos contextos que permitan al individuo o
grupo resignificar este saber con el fin de enriquecerlo, ya que, esta significación se limita a
las proporcionalidades cuya constante de proporcionalidad es positiva (𝑦 = 𝑘𝑥, 𝑘 ∈ 𝑅 + ), y
propicia a que si se le pregunta a un individuo si la función 𝑦 = −𝑥 es de proporcionalidad
directa, responda que no, ya que su gráfica muestra que cuando x crece, y decrece, lo que le
indica que es de proporcionalidad inversa (Ver figura 17), siendo esto, falso.
Figura 16: La proporcionalidad directa como objeto matemático
Figura 17: Representación gráfica de la función 𝑦 = −𝑥
76
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Esta limitación sobre el conocimiento matemático de la proporcionalidad, es uno más de
los ejemplos de la exclusión producida por el dME respecto a la construcción social del
conocimiento, ya que sólo reconoce el contexto de la vida cotidiana, en la compra-venta, como
significación del mismo, pudiendo en cambio recurrir a distintos marcos de referencia, por
ejemplo el contexto físico (Ley de Hooke), al contexto geométrico (la relación proporcional del
diámetro y la longitud de la circunferencia), el contexto de las culturas mayas (la altura de
la casa de los mayas es proporcional a la altura de la persona), o bien, como se enuncia en
los Elementos de Euclides, que en su definición 6 del Libro V, se llaman proporcionales a las
magnitudes que tiene la misma razón, en donde, según su definición 3, la “razón es una
relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad” (Euclides,
1991, p. 786), entre muchos otros. Asimismo, su carácter hegemónico reduce, en muchos
casos, este concepto a la regla de tres simple (Ruiz, 2006), cuando puede observarse,
también, que la proporcionalidad es la relación que existe entre dos magnitudes
heterogéneas, o bien, el reparto proporcional. La relación existente entre magnitudes, es el
origen de la proporcionalidad, es decir, cuando dos magnitudes eran inconmensurables y no
podía encontrarse la unidad de medida, se procedió a relacionar las magnitudes, de ahí nace
este
conocimiento
matemático,
de
una
necesidad
de
comparar
dos
magnitudes
inconmensurables.
Dimensión cognitiva
Si bien nuestra intención radica principalmente en comprender la dimensión cognitiva
del docente, creímos oportuno comprender cómo opera el pensamiento cognitivo humano en
general, empezando por los niños. Inhelder y Piaget (1972) realizan un estudio experimental
con niños para comprender cómo se desarrolla el pensamiento de lo proporcional, utilizando,
entre otros ejemplos, una situación respecto al equilibrio de la balanza. El objetivo fue
estudiar cómo se elabora el esquema de proporcionalidad en relación con el problema del
equilibrio 3. Sus conclusiones en cuanto al esquema de las proporciones enuncian:
Conviene recordar en primer lugar que en todos los dominios y no sólo en el
caso de nuestras actuales experiencias, la comprensión de las proporciones
no aparece antes del nivel III A. Se observa a menudo en los sujetos del
subestadio II B la búsqueda de una misma relación en el interior de dos
relaciones que se comparan entre sí, pero se concibe que la naturaleza de
3
Para conocer el estudio completo ver Inhelder y Piaget (1977).
77
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
la relación es aditiva: en vez de la proporción P/P´= L´/L, se tiene entonces
una igualdad de diferencias P – P´ = L´– L. La formación de la idea de
proporcionalidad supone pues que en primer lugar, se sustituyan las
simples relaciones de diferencia por la noción de la igualdad de productos
PL = P´L´. Sin embargo importa además señalar que este pasaje de la
diferencia al producto pocas veces se realiza de entrada bajo una formación
métrica: por lo general la cuantificación numérica de la proporción se halla
precedida por un esquema cualitativo fundado en la noción de producto
lógico, vale decir, por la idea de que dos factores que actúan juntos
equivalen a la acción de otros dos factores reunidos. (Inhelder & Piaget,
1977, p. 152, las negritas son nuestras)
Posteriormente, Piaget e Inhelder (1977) sintetizan lo anterior focalizando la atención
en que para construir el esquema de proporcionalidad cualitativa es necesario que el niño, o
sujeto, reconozca un elemento de compensación, es decir, que comprenda que un incremento
en una variable independiente da el mismo resultado que un decremento en la variable
dependiente.
En estas conclusiones, podemos observar, en primer lugar, que se diferencia entre un
modelo cualitativo del pensamiento proporcional y uno cuantitativo. El primero se refiere al
tipo de relación descriptiva entre dos magnitudes, mientras que el segundo, refiere a
relaciones métricas.
Asimismo, se puede identificar, que la primera aproximación para poder lograr un
equilibrio, lo cual nosotros podemos interpretar como hallar una proporción, radica en un
pensamiento aditivo. Godino y Batanero (2002) enuncian respecto a este modelo aditivo que
si bien este tipo de estrategias son útiles para enfrentar con éxito ciertos problemas más
sencillos, no son válidos en el caso general. Asimismo, hacen explícito, al igual que lo
hicieron los autores anteriores en sus conclusiones, que “los estudiantes basan su
razonamiento intuitivo sobre las razones y proporciones en técnicas aditivas y de recuento
en lugar de razonar en términos multiplicativos, lo que indica una diferencia importante”
(Godino &Batanero, 2002, p. 439).
En este momento, nos adentramos al pensamiento cuantitativo de la proporcionalidad,
ya que comenzaremos a postular las relaciones métricas que los subyacen.
78
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Posterior al pensamiento correspondiente al modelo aditivo, se le da lugar al modelo
multiplicativo. Para su análisis, recurriremos al estudio realizado por Carretero (1989),
quien trabajó con los diferentes tipos de estructuras multiplicativas en torno a la
adquisición de la noción de la proporcionalidad. Su objetivo principal es explorar “dos tipos
de “estructuras multiplicativas” en situaciones problemas que implican una o varias
operaciones de multiplicación y/o división” (Carretero, 1989, p. 86), entendiendo por
“estructuras multiplicativas” al campo o espacio conceptual en donde intervienen relaciones,
representaciones y operaciones diferentes, pero en estrecha relación. En particular, buscan
detectar cuáles son las dificultades psicológicas implicadas en el proceso de adquisición de
dichas nociones, como así también, conocer y analizar las dificultades pedagógicas que
determinan la capacidad de resolver un problema determinado.
Con el fin de abordar su problemática, el autor incursionó en la proporción simple en
dos tipos de estructuras: en primer lugar, el “isomorfismo de medidas” y, en segundo lugar,
la “estructura de proporción simple compuesta”. Para nuestra investigación, consideraremos
el estudio de la primera y las conclusiones que de ello derivan.
El isomorfismo de medidas o estructura simple contempla la relación entre dos
variables de dimensión diferente o dos espacios de medida (M1 y M2), dependiendo
linealmente uno del otro, por ejemplo, la cantidad de compra y su costo (Ver Figura 18).
Figura 18: Isomorfismo de medidas o estructura simple. (Carretero, 1989, pp.86-87)
79
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Es necesario aclarar que, en estas estructuras, se trabaja con cuatro magnitudes
puestas en juego (relación cuaternaria), descartando la ley binaria o una relación terciaria
de multiplicación (a ⨯ b = z), y que z representa el valor faltante que el estudiante debería
hallar. Según el autor, en estos esquemas se vislumbran dos tipos de razonamiento o de
relaciones matemáticas, a saber:
•
Estructura 1: la utilización de un operador escalar que permite trasladar en M2 el
operador que relaciona 1 con b en M1, dándole lugar a la división como operador
inverso. La relación se denomina escalar, ya que aquí está dada entre magnitudes
homogéneas, es decir, de un mismo espacio de medida.
•
Estructura 2: la utilización de un operador función para la multiplicación o división,
transfiere en la línea inferior, el operador que une 1 con la magnitud a en la línea
superior. La relación se denomina funcional ya que se establece una relación entre
dos magnitudes heterogéneas.
Luego de realizar el análisis pertinente, se concluye, en cuanto a un plano conceptual, lo
siguiente (Carretero, 1989, p. 95):
•
La división es, evidentemente, una operación más difícil que la multiplicación, a
pesar de la estructura multiplicativa que subyace;
•
La relación de “función inversa” que se trata (…) de la búsqueda de un valor x
conociendo su imagen 𝑓(𝑥) y el valor unitario 𝑓(1) , es más compleja que la relación
“escalar”, donde se debe buscar el valor unitario conociendo 𝑥 → 𝑓(𝑥) .
Por tanto, de este análisis y siguiendo la lógica que hasta ahora llevamos, nos
encontramos con un modelo aditivo , que precede al modelo multiplicativo escalar, el cual, es
menos complejo que el modelo multiplicativo funcional.
De estos últimos dos modelos, Lamon (1994, citado en Martínez y González, 2008)
realiza también una distinción como estrategias de los estudiantes para hallar el valor
faltante de una proporción. El los denomina modelo inter (correspondiente al modelo
multiplicativo escalar) y modelo intra (correspondiente al modelo multiplicativo funcional).
80
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Vergnaud (1990) trabaja sobre la teoría de los campos conceptuales, considerando a un
campo conceptual como un conjunto de situaciones, siendo estas últimas, más que una
situación didáctica una tarea en donde toda situación compleja se pueda “analizar como una
combinación de tareas de las que es importante conocer su naturaleza y la dificultad propia”
(Vergnaud, 1990, p. 140).
Si bien esta teoría no es específica de las matemáticas, se elaboró en sus inicios para dar
cuenta de procesos de conceptualización progresiva de las estructuras aditivas,
multiplicativas, relaciones número-espacio y del álgebra. El autor, compara los campos
conceptuales de las estructuras aditivas y las estructuras multiplicativas. En el primer
campo concentra el conjunto de situaciones que precisan una adición, sustracción o una
combinación de ellas; mientras que en el campo de las estructuras multiplicativas, refiere al
conjunto de situaciones que requieren una multiplicación, una división o una combinación
de tales operaciones. Esto le permite generar una clasificación y análisis de las tareas
cognitivas y en los procedimientos que potencialmente son puestos en juego en cada una de
ellas.
No es superfluo, por el contrario, resaltar que el análisis de las estructuras
multiplicativas es profundamente diferente de las estructuras aditivas. Las
relaciones de base más simples no son ternarias sino cuaternarias, porque
los problemas más simples de multiplicación y de división implican la
proporción simple de dos variables una en relación a la otra. (Vergnaud,
1990, p. 144)
Figura 19: Problemas elementales generados dentro del campo conceptual de las estructuras multiplicativas
según Vergnaud (1990)
81
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Por tanto, podemos observar con la revisión de las investigaciones realizadas por la
comunidad científica, que existe diversos modelos de pensamiento proporcional que abarcan
los pensamientos cualitativos como iniciales, junto a los aditivos y concluyen en los
pensamientos multiplicativos, de los cuales, hay varios y con diferentes grados de
complejidad.
De manera general, nosotros postulamos la conglomeración los siguientes modelos de
pensamiento proporcional, con base en la bibliografía consultada (ver figura 20).
Para finalizar este apartado, es importante mencionar lo que la Socioepistemología
entiende por “lo cognitivo”:
Se cuestiona la idea de que la cognición se reduzca a la acción de recobrar
el entorno inmediato mediante un proceso de representación, para asumir
que la cognición sea así entendida como la capacidad de “hacer emerger”
el significado a partir de realimentaciones sucesivas entre el humano y su
medio ambiente próximo, tanto físico como cultural, a partir de una
interacción “dialéctica” entre protagonistas. Esta interacción, socialmente
normada, da a la práctica, inevitablemente, una connotación de práctica
social. El conocimiento entonces, como se ha señalado en (Varela et al,
1997) depende de las experiencias vividas que, a su vez, modifica las
propias percepciones y creencias. (Cantoral et al., 2006, p. 85).
Por
lo tanto, cuando
abordemos el aspecto cognitivo del docente ante su
empoderamiento, no reduciremos esto a un aumento en cuanto a la cantidad de
conocimiento, sino que también se considerará en términos de aquellas acciones que hagan
emerger los significados a partir de una interacción “dialéctica” entre los protagonistas. En
nuestra investigación, los protagonistas de las interacciones serán el docente, los
estudiantes y la investigadora.
82
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Figura 20: Modelos del pensamiento proporcional
83
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Dimensión epistemológica
En este caso, dado que como dijimos, no es la proporcionalidad en sí nuestro objeto de
estudio, sino el fenómeno de empoderamiento docente, y concebimos a ésta como una
herramienta para caracterizar nuestro fenómeno, para abordar la dimensión epistemológica,
retomaremos una investigación realizada por unos colegas de la comunidad científica
respecto a la epistemología del concepto de proporcionalidad que, de manera breve,
enuncian lo que se concibe como la esencia de este saber matemático.
Si bien fue Eudoxo de Cnidos (390 A. N. E. –337 A. N. E.), filósofo, astrónomo,
matemático y médico griego, discípulo de Platón, quien comenzó a trabajar con la teoría de
proporciones, se reconoce que fue Euclides quien reunió los aportes hechos por él en Los
Elementos. En el Libro V, de sus XIII Libros, esta obra científica enuncia las siguientes
definiciones:
1. Se dice que una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide.
2. Se dice que una magnitud es múltiple de otra menor cuando es medida por ella.
3. Razón es una relación cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su
cantidad.
4. Se dice que dos magnitudes tienen razón cuando se puede multiplicar una de ellas
de modo que supere a la otra.
5. Se dice que la razón de una primera magnitud con una segunda es la misma que la
de una tercera con una cuarta cuando, tomando cualquier múltiplo de la primera y
de la tercera y de la segunda y cuarta, el múltiplo de la primera es mayor, igual o
menor que el de la segunda, según que el de la tercera sea mayor, igual o menor que
el de la cuarta.
6. Las magnitudes que tienen la misma razón se llaman proporcionales.
7. Si entre magnitudes igualmente multiplicadas el múltiplo de la primera supera al
de la segunda, pero el de la tercera no supera al de la cuarta, se dice que la razón de
la primera a la segunda es mayor que la de la tercera a la cuarta.
Así continúa con las definiciones sobre las proporciones durante este Libro y en el
siguiente, comienza a trabajar las proporciones geométricas, sin embargo, las enunciadas
hasta aquí nos servirán para abordar lo que deseamos.
84
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Si en la definición 6, Euclides define que las magnitudes proporcionales son aquellas
que tienen la misma razón y concibe a la razón, en su definición 3, como una relación
cualquiera entre dos magnitudes homogéneas respecto de su cantidad, interpretamos que
este tipo de definiciones se encierran, hasta este momento, en un modelo cualitativo, ya que
no define qué tipo de relación se mantiene, sino que es respecto a su cantidad y refiere a
magnitudes homogéneas.
Con esto, puede observarse en particular que la esencia de la proporcionalidad radica en
la relación entre magnitudes.
5. La introspección: analizar, uno mismo, matemáticamente el saber. Por ejemplo, ante
un teorema, preguntarse qué pasaría si sus hipótesis se cambiaran, qué ocurriría si
una de ellas se eliminara… es decir, se reflexiona sobre la matemática de ese saber.
6. La mirada del que aprende: analizar la matemática situándonos en la postura del
que desconoce el conocimiento. Poniéndonos en su lugar, podremos entender, por
ejemplo, cómo piensa el que está aprendiendo, cuáles y por qué son sus errores, en
dónde y por qué se dificulta el avance de la construcción o cuáles y cómo se
desarrollan sus estrategias para dicha construcción.
7. Su cotidianeidad: analizar los usos que ese conocimiento posee en los distintos
contextos.
Martínez y González (2008) postulan una mirada epistemológica del concepto de
proporcionalidad y enuncian, respecto a las definiciones anteriormente mencionadas, lo
siguiente:
En las definiciones 1 y 2, se establecen relaciones particulares entre
tamaños de magnitudes, esto en un submundo del mundo de las
magnitudes. En la definición 3 se establece cierta relación entre los
tamaños de dos magnitudes homogéneas, a la que se le llamó razón,
es decir, que esta relación se establece entre dos submundos del
mundo de las magnitudes homogéneas, y en la definición 4 se establece
una condición de necesidad para que la relación razón se pueda
establecer entre dos magnitudes, con la cual se descarta el uso de
magnitudes cero o infinitas.
Ahora, en la definición 5, surge una nueva relación, “guardar la misma
razón”, que puede expresarse como guardar la misma “cierta relación”, es
decir, esta nueva relación se establece en el mundo de las razones (mundo
de relaciones) pero para poder evidenciar la relación “guardar la misma
85
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
razón” hay que acudir a la relación “ser múltiplo de” entre los cuatro
elementos que están relacionados dos a dos mediante razones. Hay
que tener claro que la relación “ser múltiplo de” se establece en el
mismo submundo, por lo tanto es coherente comparar los múltiplos de la
primera y la tercera (que pertenecen al mismo submundo) y los múltiplos de
la segunda y la cuarta (que pertenecen al otro submundo, con el que se
estableció la relación “razón”). (Martínez & González, 2008, p.2)
Concluye su análisis formulando que la relación “guarda la misma razón” pretende
resaltar el hecho que a pesar de que cambien los tamaños de las magnitudes, la relación que
se establece entre ellas se conserva, es decir, la razón se mantiene invariante: constante de
proporcionalidad.
Dimensión didáctica
Dado que esta investigación se realiza con docentes mexicanos, comenzaremos
informándonos por aquello que desde el Sistema Educativo Nacional Mexicano se brinda
como documentos de apoyo para los docentes de nivel medio.
En el Libro para el Maestro de México (Secretaría de Educación Pública, 2004), que es
entregado a los docentes de Matemática, es decir, es el concepto validado por el Sistema
Educativo Nacional, cuya distribución es gratuita, figura lo siguiente respecto al tema de
proporcionalidad (Secretaría de Educación Pública, 2004, p. 88):
“Razonamiento proporcional
El razonamiento proporcional en las matemáticas
La noción de razón surge al comparar dos números o magnitudes a través de su cociente,
mientras que las proporciones resultan de comparar los valores de dos listas de números o
cantidades variables para ver si guardan siempre la misma razón entre sí. Si llamamos a y b
a dos cantidades, su razón está dada por el cociente:
𝑎
𝑏
Y si denotamos por x los valores que puede tomar una cantidad variable y por y los valores
correspondientes de la otra, decir que x e y son proporcionales significa que las dos
cantidades están relacionadas por una expresión como la siguiente:
𝑦
= 𝑘 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑥
86
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
o lo que es lo mismo:
𝑦 = 𝑘𝑥
k es llamada la constante o factor de proporcionalidad.
A pesar del aspecto tan sencillo de las fórmulas anteriores, las nociones de proporcionalidad
y sus consecuencias son centrales en todas las matemáticas. En los ejemplos que vienen a
continuación se ilustrará brevemente el papel que juegan en campos como la medición, la
presentación y tratamiento de la información, el estudio de la variación y la geometría.”
Si continuamos profundizando sobre lo que plantea el Libro del Maestro (editado y
difundido desde 1994) sobre el razonamiento proporcional, podemos observar que
contemplan las relaciones con el estudio de la variación, acudiendo a ejemplos como la Ley
de Hooke, la deformación de una viga o la torsión de una varilla de alambre; asimismo, lo
relacionan con la compra-venta en la vida cotidiana o la semejanza de figuras, recorriendo
un vasto camino hasta llegar, por ejemplo, a las técnicas de interpolación y la aproximación.
Sin embargo, cuando realizan la propuesta de Problemas y aplicaciones (Secretaría de
Educación Pública, 2004, p. 98), vuelven a reducir los problemas a aplicaciones de las
técnicas de proporcionalidad: regla de tres simple, reducción a la unidad, comparación de
tablas, entre otras.
En los libros de texto, de igual manera, se define la proporcionalidad directa como
aquella cuyas variables aumentan de forma proporcional, veamos dos casos de presentación
del conocimiento, ahora sí, de distintos países:
Figura 21: Definición de proporcionalidad directa según Logikamente (Pisano, 2011, p. 2)
87
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Figura 22: Definición de proporcionalidad directa según Fractal 1. (Block & García, 2009, p. 47)
En el primer ejemplo, sólo como comparación ya que es un libro argentino, el de
Logikamente (2011), vemos que se reducen, según los modelos planteados en la dimensión
cognitiva, al modelo cualitativo, mientras que el segundo, Block y García (2009), el modelo
que puede observarse es el modelo inter.
El tema de proporcionalidad es uno de los temas transversales de la educación básica,
por tanto, recaen sobre él varias investigaciones sobre aprendizaje, y sobre todo, sobre su
enseñanza. Numerosos son los estudios que se realizaron, y realizan actualmente en
distintos países, sobre las dificultades de la enseñanza y aprendizaje de la proporcionalidad
(Iturbe & Ruiz, 2011; Ruiz, 2006; Salazar & Díaz, 2009; Valdemoros, 2010, entre otros).
Salazar y Díaz (2009), en una reciente investigación, retoman evidencias de otros de sus
trabajos en donde trabajaron con dos grupos de docentes chilenos y abordan un diseño de
enseñanza de fracciones con base en una Ingeniería Didáctica con el fin de superar las
dificultades que tienen los estudiantes para aprender significativamente el concepto de
fracciones y razones. Una de sus conclusiones radicó en evidenciar entre el profesorado la
existencia de obstáculos epistemológicos y didácticos referidos al tema matemático
abordado.
Dentro de estos grupos, se hicieron afirmaciones como las siguientes:
La enseñanza de Razones y Proporciones en la escuela es una de las tareas
difíciles para los maestros y maestras… se manifiesta en el alto porcentaje
de alumnos que presentan problemas al confundir fracciones con razones
matemáticas. Uno de los aspectos que determinan este problema es la
pobreza conceptual que se maneja en la práctica escolar. (Equipo 2; en
Díaz, 2008). (Salazar & Díaz, 2009, p. 213)
88
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Existe una deficiencia en el conocimiento general de Razones y
Proporciones, no sólo por parte de los alumnos, sino también, en alguna
medida, por parte de los Profesores, lo cual conlleva a requerir un esfuerzo
en conjunto para mejorar. (Ávila y equipo, 2007, en Díaz, 2008). (Salazar &
Díaz, 2009, p. 213)
Asimismo, Valdemoros (2010) realizó un estudio longitudinal durante tres años, junto a
un docente mexicano –Roberto–, estudiante de una maestría, sobre el diseño de actividades
que favorecieran el aprendizaje de los estudiantes. Él enuncia que previo a la reflexión
realizada sobre los nuevos diseños para el aula, sus explicaciones “estaban muy cargadas de
algoritmos, aisladas de situaciones reales que viven los alumnos” (Valdemoros, 2010, p.
220). Enuncia también Roberto, que su interés por estar en la maestría era poder lograr que
los estudiantes entendieran los distintos significados de la razón, pero primero, debería
entenderlo él, asumiendo que no lograba reconocer los errores comunes de los estudiantes.
La investigación concluye enunciando que aún el docente experimentaba dificultades
didácticas en cuanto a la enseñanza:
A pesar de haber avanzado mucho como maestro, me cuesta modificar el
estilo algoritmizado de enseñanza que antes tenía; por ejemplo, no me
resultaría sencillo enseñar, sobre los nuevos fundamentos didácticos, la
división de fracciones o la función lineal, mencionando contenidos
matemáticos próximos al que ya trabajé en la maestría. (Valdemoros, 2010,
p. 223)
Desde Argentina, Río Negro, Iturbe y Ruiz (2011) realizan un estudio con docentes de
nivel medio sobre la enseñanza de la proporcionalidad con el objeto de “contribuir al análisis
y a la comprensión de la práctica docente, tanto en lo referente a producir el aprendizaje de
sus alumnos como en lo que se refiere a las características que adquiere su trabajo
profesional” (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1047).
Su investigación es producto del análisis de los resultados obtenidos de un curso – taller
impartido para docentes de nivel medio en donde se analizaron situaciones didácticas para
la enseñanza surgidas en Didáctica de la Matemática; en donde se realizaron encuentros
grupales; se llevó a cabo la implementación de estas propuestas en el aula y se socializó y
analizó en forma colectiva estas implementaciones.
89
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
Las autoras reconocen que la práctica del docente responde a diferentes restricciones y
enumeran algunas de ellas: los hábitos, otros colegas, alumnos, los padres, la
administración
(dimensión
social),
sus
concepciones,
sus
valores
personales,
sus
experiencias, sus conocimientos (dimensión personal). Respecto a estas restricciones y
potenciales cambios en su labor docente, hacen una interesante reflexión:
En la región donde realizamos este trabajo y en general en nuestro país,
gracias a los documentos curriculares que se vienen elaborando hace unos
diez o quince años, los docentes tienen contacto con producciones de
investigaciones y de divulgación de la didáctica de la matemática. Si bien,
en general, acuerdan con los marcos teóricos trabajados, se observa que
difícilmente esto redunde en un cambio de prácticas en sus aulas, es decir
esto no se ve traducido en las prácticas de los docentes, y, como dijimos
anteriormente hay trabajos de investigaciones que abordan esta
problemática (Robert, 2005).
En general las prácticas de enseñanza en el aula se limitan a presentar los
temas y dar ejercicios de aplicación. Sabemos que hay la resistencia a
producir cambios en la forma de presentar los contenidos. (Iturbe & Ruiz,
2011, p. 1052)
Para sintetizar este apartado respecto a la dimensión didáctica de la proporcionalidad,
nos remitiremos a la reflexión que realizan nuestras colegas argentinas, con la cual
concordamos:
La actualización docente constituye una preocupación, las instancias de
formación continua están planteadas, los docentes están dispuestos a
innovar sus prácticas, evidentemente hay otras cosas que influyen en cómo
se traduce esto en las prácticas efectivas de los docentes, y esto es necesario
estudiar. Nos preguntamos ¿qué trabajo hacer en la formación continua?
¿Qué modelo privilegiar? (Iturbe & Ruiz, 2011, p. 1052)
Ellas dejan abierta unas preguntas, que nosotros retomamos para analizar y concluir en
nuestra investigación.
Dimensión social
Bajo nuestra mirada socioepistemológica, al concebir que los conocimientos se dotan de
significados a través de su uso y su funcionalidad, por ejemplo, la noción de
proporcionalidad
se
resignificará en
cuanto
el
individuo
pueda
reconocer
a
la
proporcionalidad como la relación que existe entre magnitudes tanto homogéneas como
90
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
heterogéneas cuya peculiaridad es que su razón se mantiene constante. Para ello,
consideramos necesario recurrir a los orígenes de la construcción de este conocimiento
emergente de la sociedad misma, como así también, a los distintos marcos de referencia en
los cuales puede encontrarse (leyes físicas, relaciones entre magnitudes de las áreas de las
figuras geométricas, compra-venta en la vida cotidiana, entre muchas otras) para generar
situaciones de aprendizaje que privilegien los distintos tipos de razonamientos y
pensamientos proporcionales que en este saber matemático subyacen.
Como hemos mencionado anteriormente, lo esencial para que este tipo de trabajo con los
estudiantes se lleve a cabo, es que se logre la problematización del saber puesto en juego en
las interacciones de aula. Esta problematización radica en hacer del saber matemático un
problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128).
Nuestro objetivo dista de hacer, en esta investigación, una propuesta didáctica que
atienda a la construcción del conocimiento que subyace en el saber matemático de la
proporcional, lo cual llevaría una nueva investigación que contemple como objeto de estudio
a este fenómeno. Por lo cual, en este momento, sólo retomando el modelo conceptual del
desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios de la Teoría
Socioepistemológica, para dar uno de los muchos ejemplos de cómo podría resignificarse la
proporcionalidad. Decimos uno de los muchos, ya que este no es el modelo, sino que cada
individuo o grupo diseñará su propio modelo respecto a la vida de cada quien.
Figura 23: Significación y resignificación de la Proporcionalidad (Primera parte)
91
Capítulo III: El fenómeno de empoderamiento
En esta primera parte, se retomaría el pensamiento cualitativo de la proporcionalidad
que está sumamente apegado a la vida cotidiana de los estudiantes.
Figura 24: Significación y resignificación de la Proporcionalidad (Segunda parte)
En esta segunda parte, con el apoyo de situaciones de aprendizaje contextualizadas que
privilegien la construcción social del conocimiento, se estima que de ellas emergiera la
relación proporcional como respuesta a un conflicto cognitivo generado por la propia
situación, en donde se considere la evolución desde los modelos aditivos a los
multiplicativos, dejando ver la relación invariante que guardan las magnitudes
intervinientes.
Como síntesis de este capítulo, retomaremos una frase de Paulo Freire:
“La práctica de navegar implica la necesidad de saberes fundamentales
como el dominio del barco, de las partes que lo componen y
de la función de cada una de ellas, como el conocimiento de los vientos,
de su fuerza, de su dirección, los vientos y las velas, la posición de las velas,
el papel del motor y de la combinación entre motor y velas.
En la práctica de navegar se confirman, se modifican o se amplían esos saberes.”
(Freire, 2005, p.24)
92
Capítulo IV: Marco Metodológico
Mi mirada
no está dirigida hacia ellos
(profesor y estudiantes),
sino que a través de ellos
pretendo mirar.
Cristina Ochoviet
Para sustentar la evidencia de lo que se afirma teóricamente se precisa de algún
método, aquel que dé coherencia a las técnicas para la toma de datos y que tiene la
particularidad de ser replicable. El método dependerá entonces del tipo de investigación que
se realice, pues no es lo mismo realizar una investigación de corte bibliográfico a otra de
tipo cualitativo o bien, histórica o cuantitativa. Ahora bien, una vez tomados los datos, la
manera de interpretarlos y analizarlos, conformará nuestra metodología, con ella se
transforman los datos en resultados interpretables para la investigación. Esto se logra, sin
duda alguna, mediante la articulación teórica, a través del uso de los constructos teóricos
abalados teóricamente como herramientas de interpretación plausible.
En nuestra investigación, utilizaremos el método del estudio de casos, cuyas técnicas se
sustentarán en entrevistas semi – estructuradas, cuestionarios, observación no participante,
videograbaciones, intervenciones reflexivas, toma escrita de datos y reflexiones sobre las
videograbaciones; y articularemos toda esta diversidad de datos con el empleo de la Teoría
Socioepistemológica a fin de dar cuenta de los resultados obtenidos.
95
Capítulo IV: Marco Metodológico
96
Capítulo IV: Marco Metodológico
IV.1. MÉTODO: ESTUDIO DE CASO
Una vez elegida la aproximación teórica, aplicada al fenómeno estudiado y las
diferentes aportaciones que se refieren a él, nos adentramos en la tarea de realizar un
estudio de naturaleza empírica con el fin de observar cómo vive el fenómeno de
empoderamiento docente en el contexto real de nuestro interés: el salón de clase.
Martínez Carazo (2006) realiza una interesante contraposición entre la metodología
cuantitativa y la cualitativa, siendo dos metodologías con las cuales las investigaciones
pueden realizarse. La primera de ellas, la reconoce como aquella que contrasta teorías ya
existentes a partir de ciertas hipótesis que surgen de la misma, bajo la necesidad de obtener
una muestra representativa de una población o fenómeno objeto de estudio. De aquí, surge
muy notoriamente la necesidad de contar con una teoría ya construida para realizar
estudios cuantitativos, dado que el método científico utilizado es deductivo inferencial. Como
contraposición, enuncia sobre la metodología cualitativa lo siguiente:
(…) consiste en la construcción o generación de una teoría a partir de una
serie de proposiciones extraídas de un cuerpo teórico que servirá de punto
de partida al investigador, para lo cual no es necesario extraer una muestra
representativa, sino una muestra teórica conformada por uno o más casos.
(Martínez Carazo, 2006, p. 169)
Esto último explica la elección de utilizar una metodología cualitativa en esta
investigación, dado el reciente surgimiento del estudio del fenómeno de empoderamiento,
sobre todo en la disciplina de Matemática Educativa. Por tanto, el método de estudio de caso
se utilizará como una valiosa herramienta de exploración y hallazgo para contribuir a la
ampliación, especificación y puntualización de la caracterización del fenómeno de
empoderamiento, considerando su mayor fortaleza: “que a través del mismo, se mide y
registra la conducta de las personas involucradas en el fenómeno estudiado” (Martínez
Carazo, 2006, p. 167).
Para abordar este estudio de caso, utilizaremos la operacionalización del estudio de caso
planteada por Reyes y Hernández (2008) en un artículo en donde reflexionan sobre “El
Estudio de Caso en el contexto de la crisis de la modernidad” en conjunto con las
97
Capítulo IV: Marco Metodológico
aportaciones realizadas por Martínez Carazo (2006). Se elige esta caracterización por su
postura frente al paradigma emergente de la investigación cualitativa, contemplando que no
existe una manera única de mirar los hechos y que la apreciación del investigador debe ser
considerada:
(…) hoy se cree que la trayectoria personal del investigador y la de la
comunidad científica, así como también los valores, creencias y prejuicios
que contienen, son la prueba más íntima del conocimiento: sin ellos el
conjunto de todos los datos, apuntes, cálculos y trabajos de campo carecen
de sentido. (Reyes & Hernández, 2008, p. 74)
Este hecho, acompaña el tipo de idiosincrasia con la cual realizamos esta investigación,
ya que nuestro objetivo no es buscar “verdades” sino, caracterizar un fenómeno didáctico en
un sentido amplio.
Realizaremos una breve descripción de los aspectos que abarca la operacionalización del
estudio de caso según los autores, mientras que también, les realizaremos adaptaciones
necesarias para que se adecúe mejor a nuestra investigación. Este tipo de operacionalización
se divide en tres fases: la primera, la fase documental, en donde se realiza la revisión
bibliográfica, el estado del arte y se reconocen los conceptos clave. La segunda se denomina
referencial – empírica y consiste en describir el caso seleccionado por el investigador, en el
cual se desarrolla el fenómeno de interés. La tercera, se denomina la fase interpretativa, en
la cual se considera los supuestos teóricos y los hallazgos empíricos y se establecen las
relaciones que de ellos surgieran; en síntesis, el objetivo es “detectar la correspondencia
entre los supuestos teóricos y la dimensión empírica referencial seleccionada”.
Los aspectos que se consideran para realizar este estudio son los siguientes:
1) Vía de inferencia
Se analizará el estudio de caso mediante una vía deductiva, partiendo de una revisión
bibliográfica de los aspectos relevantes de investigación. Con ella, se verán las distintas
posturas y caracterizaciones que se le infieren en la literatura al fenómeno a investigar.
98
Capítulo IV: Marco Metodológico
2) Selección de caso
Se selecciona el caso con base en los siguientes criterios: “a) impacto, relevancia o
pertinencia de la propuesta de estudio; b) complejidad, diversidad y número de variables
involucradas en el fenómeno, lo cual aumenta el interés en su estudio y c) consideraciones
pragmáticas: facilidad de acceso a los datos, disponibilidad de tiempo para la interacción del
investigador con el objeto de estudio (…), entre otros” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78)
3) Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información
La unidad de análisis comprende lo que va a ser descrito: “¿qué quiero observar?, ¿a través
de qué lo observo?” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78). Se contextualiza al fenómeno en un
espacio y tiempo. Lo primordial es entender “cómo actúan los actores, cómo perciben y
explican las situaciones y las relaciones emergentes a partir del estudio de uno o varios
casos concretos, los beneficios percibidos y los obstáculos enfrentados, lo cual permitirá
sistematizar la situación, experiencia o fenómeno, logrando una descripción detallada del
mismo.” (Reyes & Hernández, 2008, p. 78-79)
4) Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos
Para realizar el análisis de este aspecto, los autores refieren a las categorías realizadas por
Rusque (2003, citado en Reyes & Hernández, 2008) las cuales se dividen en técnicas de
recolección en datos descriptivos y datos comprensivos. Sobre los datos descriptivos
enuncian que se basan en la descripción que realizan los actores y la forma como describe la
situación o el fenómeno bajo estudio y sus relaciones inherentes. Respecto a la segunda
categoría, describen que aquí se incluyen las reflexiones personales y la vivencia del
investigador, en tanto sus intereses, satisfacciones, aspectos positivos y negativos
detectados, entre otros.
Para las técnicas, realizan una nueva división entre las interactivas y las no interactivas.
Sobre las primeras se destacan la observación directa, la observación participante y la
entrevista abierta, añadiendo nosotros, las entrevistas semi – estructuradas y los
cuestionarios. En cambio, las técnicas no interactivas se fundamentan en la toma escrita de
datos, hojas de resumen de visitas realizadas; informes de sesiones de trabajo puntuales,
grabación y transcripción de entrevistas realizadas indicando la fecha, hora, ubicación y
persona entrevistada y los registros escritos en cuadernos.
99
Capítulo IV: Marco Metodológico
5) Las técnicas de análisis
Lo que se rescatará de este aspecto es la triangulación entre los procesos de teorización, las
técnicas utilizadas para la recolección de datos y la interpretación de éstos con base en la
metodología para obtener los resultados de la investigación.
6) Criterios de la investigación
Se diferencia en los criterios éticos y metodológicos. Los primeros reconocen la necesidad de
enviar una copia de las entrevistas al observado y también los resultados que de ellos se
obtuvieron, para asegurarnos de que sean estos resultados próximos a lo que el observado
piensa, siente y cree, ya que de esta manera aseguramos la credibilidad de los resultados de
investigación obtenidos.
El segundo, que refiere los criterios metodológicos, se divide en criterios relacionados con el
investigador, con el proceso de recolección de datos y con la validez de la investigación,
cuyas características son:
•
Relacionados con el investigador: que el investigador esté involucrado en el caso en
un período suficiente de tiempo, que la aplicación de los instrumentos, la recolección
de datos y las transcripciones deben estar a cargo del investigador o bien, ser
supervisadas por él. Esto facilita y aumenta el nivel de aprendizaje, comprensión y
profundización del caso.
•
Relacionados con el proceso de recolección de datos: elaboración de los instrumentos
de recolección de datos sobre la base de una revisión teórica. Selección adecuada y
consistente del o los participantes. Los procedimientos de recolección y análisis deben
ser, en lo posible, reproducibles o replicables.
•
Relacionados con la validez de la investigación: se seleccionan las técnicas y la
metodología adecuada para que garanticen hallazgos precisos de investigación. Es
preciso aclarar que los resultados obtenidos serán específicos de los actores sociales
involucrados y al contexto en el cual se desenvuelve.
A continuación, abordaremos los aspectos mencionados con base en nuestro estudio de
caso.
100
Capítulo IV: Marco Metodológico
IV. 2.1. Vía de inferencia
Si bien en el capítulo anterior hemos realizado una revisión bibliográfica detallada, aquí
efectuaremos una breve síntesis de aquellos elementos que son transversales a las
diferentes caracterizaciones del fenómeno y cuál ha sido la nuestra en específico.
En todas las acepciones que han sido revisadas, aparecen ciertos elementos que son
transversales a los diferentes contextos, como por ejemplo: todas lo consideran – explícita o
implícitamente – un proceso por el cual transita un individuo en colectivo; aseguran la
necesidad de la reflexión en conjunto de las personas involucradas, cuya participación
procura el beneficio para el grupo; enuncian el propósito de transformar su entorno con base
en la participación activa, en contra posición del consumo pasivo de la realidad, que permita
la construcción y/o incorporación de conocimientos, herramientas y técnicas para alcanzar
los fines deseados; evidencian, por sobre todas las cosas, su carácter innovador y
transformista de la realidad. Es decir, en la caracterización que realizaremos del fenómeno
de empoderamiento, se verán reflejadas específicamente las siguientes consideraciones:
1. es un proceso del individuo en colectivo;
2. no es un suceso que se otorga, sino que se produce desde el individuo;
3. parte de la reflexión y se consolida en la acción;
4. transforma la realidad.
Por tanto y en particular, para nosotros, el fenómeno de empoderamiento docente se
caracteriza por ser un proceso que vive el individuo en colectivo, fundado en la reflexión en
conjunto de las personas involucradas sobre la problematización del saber con apoyo en el
modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la Teoría
Socioepistemológica; permitirá la interpretación, entendimiento e incorporación de las
propuestas didácticas que de la investigación surgieran con el afán de propiciar el
aprendizaje con base en la construcción social del conocimiento como camino ideal para la
comprensión de la matemática. El empoderamiento, le permitirá, específicamente, lograr
una transición de la problematización del saber matemático a la construcción de
herramientas para el saber didáctico.
101
Capítulo IV: Marco Metodológico
IV.2.2. Selección del caso
Para realizar la selección de uno de los profesores partícipes de la Especialización, se
consideró como población un grupo de la tercera experiencia del proyecto, ya que de ella, en
primer lugar, podíamos asegurar cierta estabilidad en las actividades y los objetivos que se
perseguían con los profesores; y, en segundo lugar, las reflexiones sobre el fenómeno de
empoderamiento eran más profundas a causa de las observaciones de las anteriores
experiencias, lo que brindaría una retroalimentación más significativa.
Durante la tercera generación de la Especialización se tuvo la oportunidad de ser tutora
de uno de los grupos, integrado por 12 docentes. Se compartió con ellos la experiencia
presencial del proyecto durante una semana y posteriormente, se realizó un seguimiento a
distancia. Este último estuvo a cargo de otro colega del Cinvestav, gracias al cual hemos
tenido acceso a las conversaciones, a las intervenciones en los foros y en los chat, a los
trabajos de reflexión y producción, de todos y cada uno de los profesores activos del grupo.
Aunado a las observaciones de las dinámicas realizadas en el proyecto, se tuvo acceso a
la evolución de los docentes en cuanto a su examen de admisión y su examen de egreso.
Ambos exámenes contaban con 75 reactivos confeccionados con base en las matemáticas de
secundaria que son abordadas durante su práctica. En el análisis de comparación entre el
ingreso y egreso, pueden observarse las evoluciones generales del examen completo o bien,
puntualizar en cada uno de los reactivos. También, se consideró la opinión de las dos tutoras
presenciales y del tutor a distancia; el tipo de participación de los profesores y la
disponibilidad con la que contaban para poder hacer las observaciones que requeríamos y la
predisposición que demostraban para ello. Esto último era una variable fundamental para
nosotros ya que nuestra intención era mirar por ejemplo, los temores del docente, por tanto,
necesitábamos una sensación de agrado a la observación para poder contar con un docente
relajado y auténtico.
A continuación detallaremos las características del docente elegido según las
consideraciones recientemente mencionadas. Con el fin de mantener la confidencialidad del
profesor seleccionado, le llamaremos Santiago.
102
Capítulo IV: Marco Metodológico
Consideración de la evolución matemática respecto a los exámenes de admisión y egreso
Con el fin de conocer la evolución matemática de los docentes durante el proceso de la
Especialización, como así también, para realizar un estudio sobre el fenómeno de la equidad
de género (tema que nosotros no abordaremos), colegas del Cinvestav realizaron un estudio
de impacto. Para ello, se contrastaron los resultados obtenidos de los exámenes de admisión
y egreso aplicados a los profesores de cada una de las generaciones.
El examen de admisión permitió hacer una valoración diagnóstica sobre el conocimiento
de los profesores participantes de la Especialización. Los reactivos se realizaron con base en
el programa de estudios 2006 avalado por la SEP.
En cuanto al examen de egreso tiene como objetivo establecer avances en el dominio
cognoscitivo de la matemática de los profesores a través de un instrumento diseñado de
acuerdo al desarrollo de la Especialización.
La primera lectura que se realiza a nivel cualitativo por las expertas que han llevado a
cabo esta estadística, tomando una muestra considerable de todos los profesores partícipes
de la Especialización, muestra que respecto a la variación entre el examen de ingreso y
egreso, si bien es mínima, existe un progreso. En particular, el profesor seleccionado tuvo
una evolución muy por encima de la media detectada por el estudio de impacto, porcentajes
que, por cuestiones de confidencialidad, no se darán a conocer.
Consideración de la participación en la etapa presencial
Respecto a la fase presencial, el grupo seleccionado fue considerado por las tutoras
presenciales como un grupo que "es muy participativo, reconocen sus falencias y demuestran
su interés por entender y aprender." (Informes entregados a la Coordinación General del
Proyecto) y concluyeron reconociendo que tanto para diseñar como para rediseñar se debe
tener en cuenta lo siguiente (Informes entregados a la Coordinación General del Proyecto):
•
•
•
•
•
Especificar la intención o el propósito del diseño.
El cual debe ir en concordancia con la visión de la enseñanza que se tenga.
El planteamiento de la actividad o actividades también tendrá relevancia.
Hay que tener la motivación y los intereses del estudiante.
Las estrategias serán la guía de la situación.
103
Capítulo IV: Marco Metodológico
•
•
•
•
•
•
Se deben considerar los conocimientos previos de los estudiantes.
El contexto es fundamental.
Hay que hacer adecuaciones según el grupo.
Es importante realizar consideraciones posteriores a una aplicación para
hacer modificaciones.
El material a emplear debe ser contemplado.
Hay que realizar una evaluación en dos sentidos. El que se incluye en la
actividad para validar el avance del estudiante y la evaluación al diseño
mismo y sus posibles reformulaciones.
En particular, Santiago demostró un constante interés, una participación activa, como
así también, por momentos mantenía un silencio notable, lo cual, a entender de la
investigadora, refería a un análisis de aquello que no era algo “fácil de entender”, ya que al
finalizar la sesión, pedía a alguna de las tutoras platicar sobre el tema que le había quedado
con dudas. En muchas oportunidades ha demostrado su asombro por los conocimientos que
las tutoras demostraban respecto a la matemática y hacía notar su interés personal de
“saber tanto como ellas”. Mostraba una actitud entusiasta y con tendencia para generar
grupos de conocimiento, ya que además de las intervenciones dentro de las horas de
actividades, posterior a eso, generaba autogestiones como potenciales vías de resolución
sobre asuntos de los grupos de colegas que se encontraban junto a él.
Consideración de la participación en la reproducibilidad
Durante la fase de reproducibilidad, participaron 11 de los 12 profesores. Bajo una
mirada cuantitativa, hubo 19 interacciones a través de los chats en la plataforma Moodle,
cuya participación promedio fue de un 54%, mientras que el porcentaje de participación de
Santiago fue de 85% aproximadamente.
Sobre su participación, el Tutor a distancia informa:
El profesor Santiago fue un elemento muy importante durante todas las
semanas de reproducibilidad. Siempre acudió a las sesiones de chat,
inclusive aquellas en las que el resto de los colegas no ingresaban. Se
mostró participativo en todo momento y entusiasta. Su actitud fue siempre
de disposición y lo demostró en todo momento: enviaba sus tareas cuando se
acordaba, inclusive terminó con el envío de sus pendientes antes de concluir
la última semana.
Aunque sus comentarios en los foros fueron muy cortas, durante el rediseño
se mostró participativo y propuso algunos elementos que se consideraron en
104
Capítulo IV: Marco Metodológico
el rediseño final de la situación. Actualmente ya concluyó con todas las
etapas y actividades. (Informes entregados a la Coordinación General del
Proyecto)
Consideración pragmática
Una vez que hubiéramos recibido la opinión de los tutores y sobre todo, del tutor a
distancia, teníamos la recomendación de cuatro potenciales docentes cuyas características
versaban en tanto a la participación activa, la predisposición, la profundidad de las
reflexiones y su compromiso con el proyecto. Posterior a esta propuesta, se realizó una
nueva depuración y el tutor recomendó a dos de esos cuatro docentes con las siguientes
palabras: “mi recomendación está para Juan 1 (1) y Santiago (2), sin lugar a dudas” (Tutor a
distancia, comunicación personal, 27 de marzo, 2011).
La predisposición brindada por Santiago fue constante e instantánea, enviando correos
que comentaban su deseo de ser elegido entre aquellos cuatro que habían sido invitados a
ser parte de estas observaciones: “Claro que me gustaría que estuvieras por acá, estoy
trabajando ya con el grupo de profesores, yo ya mandé mis evidencias, espero ser de los
seleccionados.” (Santiago, comunicación personal, 21 de abril, 2011).
Esta predisposición también la encontramos en otros dos de los docentes (sólo uno no
accedió a ser observado), sin embargo, por cuestiones de seguridad, disponibilidades de
tiempo y facilidades de video grabar que brindaba la Institución, se consideró a Santiago
como el seleccionado.
Consideración del trabajo en la reproducción
El trabajo de reproducción ha sido alcanzado por una parte reducida de los profesores
partícipes del proyecto. En muchos de los casos esto se producía por inconvenientes que
excedían la predisposición del docente, sin embargo, en otros casos fueron los propios
docentes los que invitaban a sus colegas para hacer la reproducción.
Santiago fue uno de los cuales logró concluir con este proceso. Para ello, buscó distintas
maneras de encontrar a los colegas con quienes trabajar. Se comunicó reiteradas veces con
1
Los nombres son ficticios, con el fin de preservar la identidad de los actores.
105
Capítulo IV: Marco Metodológico
los coordinadores del proyecto a fin de solicitar la lista de inscritos para poder invitarlos él
personalmente a participar del proyecto y conformar el equipo de trabajo. Su interés por
continuar activamente y concluir de manera efectiva el proceso era evidente.
IV.2.3. Determinación de la unidad de análisis y de la unidad de información
En esta investigación se pretende caracterizar el fenómeno de empoderamiento, por
tanto, durante la observación se busca identificar aquellos elementos que evidencien
actitudes de empoderamiento, lo cual, podrá observarse a través del mejoramiento en su
desempeño matemático, en su desempeño en el campo didáctico y su actitud de liderazgo
que demuestre en sus acciones, como así también, la interrelación entre ellos. Esto, será
observado en diversos contextos: en su desempeño en la evolución matemática de los
exámenes; en la interacción que mantuvo entre sus colegas durante la fase presencial, la
fase de reproducibilidad y la fase de reproducción; y en su desempeño en su práctica docente,
en el aula.
IV.2.4. Las técnicas e instrumentos para la recolección de datos
En esta investigación, el profesor no conocía cuál era el fenómeno que nosotros
estábamos observando, por tanto, no se le han pedido directamente reflexiones sobre el
mismo. Sin embargo, tuvimos conversaciones personales, como así también, una entrevista
de cierre de la observación en la cual, sin enunciarle cuál es el fenómeno observado, él
realiza comentarios que refieren a ello, desde su actividad y experiencia.
Asimismo, se acompañó al docente durante 4 días de labor didáctica, en los cuales se
observaron 24 “horas reloj” de su práctica, de las que, aproximadamente 20 horas se trabajó
sobre la noción de proporcionalidad. Durante ellas, se realizaron toma de datos escritos y de
9 “horas reloj” se realizaron videograbaciones. También, se le hicieron cuestionarios y
entrevistas semi – estructuradas al docente, como se expresó anteriormente. A este tipo de
interacciones podemos ubicarlas en la recolección de datos descriptivos.
En el capítulo siguiente, a medida que se vaya mostrando la evidencia empírica y se
analice con base en la teoría, se dejarán lucir también las reflexiones personales y la
vivencia de la investigadora durante el período de observación.
106
Capítulo IV: Marco Metodológico
IV.2.5. Las técnicas de análisis
Para realizar el análisis de los datos obtenidos que surgen de la recolección de datos, se
considerará la revisión bibliográfica que se especificó en el Capítulo III sobre el fenómeno de
empoderamiento, se considerarán las investigaciones que desde la comunidad se hayan
realizado para profundizar en el tema matemático abordado, como el que haremos nosotros
mismos y la interpretación que de ellos emergiera como construcción de la caracterización
del fenómeno de empoderamiento.
IV.2.6. Criterios de la investigación
Luego de realizar la recolección de datos y efectuar su análisis respectivo con base en
las técnicas de análisis, en cuanto a los criterios éticos, se considera indispensable, como lo
han mostrado las recientes investigaciones cualitativas, realizar una triangulación
contemplando las observaciones, por un lado del docente observado para que pueda
brindarnos sus observaciones y opiniones sobre los resultados obtenidos con el fin de cotejar
si coinciden con lo que él piensa, siente y cree sobre lo analizado; por el otro,
contemplaremos las observaciones realizadas por una Maestra en Ciencias en la
especialidad de Matemática Educativa, actual estudiante de doctorado, que tiene la
peculiaridad de ser profesora – investigadora con el fin de recibir su mirada como
conocedora del ambiente docente y de la investigación. Asimismo, la maestra con quien se
hará la triangulación ha trabajado sobre temas cercanos al tema abordado en esta
investigación como ejemplo: la proporcionalidad.
En cuanto a los criterios metodológicos, se permaneció, como fue mencionado
anteriormente, durante 4 días de labor didáctica con el docente, compartiendo con él, no sólo
su práctica laboral, sino momentos de su vida personal, como el conocer a su familia y su
rutina semanal. Esto último, nos ha permitido adentrarnos profundamente en lo que se
necesita para realizar una investigación cualitativa, ya que su entorno familiar juega un rol
importante en cuanto a su desempeño académico.
Para la toma de datos, se han considerado las técnicas recomendadas y conocidas para
este tipo de estudios, las cuales fueron diseñadas por los investigadores de manera personal,
para atender al caso en específico.
Con el fin de asegurar el rigor de la investigación, se tendrán en cuenta los criterios de
suficiencia y adecuación de los datos (Rodríguez, Gil & García, 1996). La primera refiere a la
107
Capítulo IV: Marco Metodológico
cantidad de datos recogidos, más que en la cantidad de sujetos observados; es decir, la
suficiencia se consigue cuando se llega al estado de “saturación informativa” y la nueva
información no brinda nuevos aportes. En tanto la adecuación, se refiere a la selección de la
información de acuerdo a las necesidades teóricas del estudio y el modelo emergente.
El tipo de metodología, considerada como la manera de interpretar y analizar los datos
que arroje el método, transformando los datos obtenidos en resultados de la investigación, se
apoyarán en la Teoría Socioepistemológica y en los resultados de investigación que la
comunidad científica ha brindado hasta el momento.
108
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Debido a que la epistemología subjetiva del paradigma
de la investigación cualitativa ve la realidad social
como algo construido por las personas,
el investigador no puede permanecer distante
del fenómeno social en el cual está interesado.
Eleanor Shaw
La metodología es considerada como la manera de interpretar y analizar los datos que
arroje el método, transformando los datos obtenidos en resultados de la investigación. Este
análisis de resultados se apoyará en la Teoría Socioepistemológica y en los resultados de
investigación que la comunidad de matemáticos educativos alcanzó hasta el momento. Como
se especificó en capítulos anteriores, esta investigación tiene como objetivo caracterizar el
fenómeno de empoderamiento docente, por lo cual se buscó, durante la observación,
identificar aquellos elementos que evidencien actitudes de empoderamiento. Para
confeccionar tanto en la presentación de la evidencia empírica como en el análisis de la
misma, se subdividirá este capítulo en tres aspectos: desempeño matemático del docente,
actitudes de liderazgo y desempeño profesional; atendiendo a los requisitos que se necesitan
para asegurar el rigor de la investigación, a saber: los criterios de suficiencia y la adecuación
de los datos. Durante su lectura se observará que los tres aspectos están intrínsecamente
relacionados, por lo cual, se irá de uno a otro de manera natural, enfatizando en cada uno
sus particularidades. Previo a esta presentación se hará una descripción lo más integradora
posible del docente en todos sus aspectos.
111
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
112
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
V.1. DESCRIPCIÓN DEL DOCENTE OBSERVADO
Santiago 1 es un profesor de la tercera generación de la Especialización. Durante la fase
presencial pudimos notar en él una actitud que lo hacía destacar entre sus colegas. Siempre
se mostraba proactivo ante las actividades que se proponían y ante cualquier adversidad, él
buscaba y proponía acciones que encaminaran a una posible resolución del conflicto.
Su participación durante las actividades, hacía referencia a una mirada crítica, o bien,
analizando a dónde se pretendía llegar con lo que estábamos abordando. Esto, lo
confirmamos posteriormente en distintas pláticas que con él compartimos, en las que
mostraba gran interés por entender la dinámica abordada, cómo es que los tutores “sabían
tanto”, entre otros comentarios.
El profesor, oriundo de Baja California, de la ciudad fronteriza de Tijuana, actualmente
desempeña su labor como docente en dos escuelas secundarias, por la mañana y por la
tarde. Su primera profesión fue la de Ingeniero Civil en Obras Urbanas y posteriormente,
comenzó a ejercer como docente de secundaria. Durante su trayectoria profesional como
docente durante 17 años, ha impartido las asignaturas de Español, Biología, Geografía y,
desde hace 15 años, la asignatura de Matemáticas.
En los últimos años ha participado en los siguientes cursos de actualización didáctica,
matemática o tecnología: Exámenes Nacionales, Cursos Estatales de Formación Continua,
Diplomado en línea con el Instituto Tecnológico de Monterrey “Procesos y Competencias
para el Aprendizaje Efectivo de las Matemáticas, “Especialización de alto nivel para la
profesionalización docente en las matemáticas de secundaria. Estudio de reproducibilidad
de situaciones didácticas” a cargo del Cinvestav; como así también, tienen una participación
activa en las reuniones de academias de la zona escolar y en diversos talleres de
actualización.
Santiago nos cuenta que una de sus principales motivaciones para ser docente radicó en
el deseo de saber por qué él no entendía las matemáticas durante su etapa de estudiante y
poder lograr que sus estudiantes las aprendieran con menos dificultad que él.
Santiago reconoce que cuando comenzó a estar frente a grupos, quince años atrás, en
sus clases de Matemáticas era muy cerrado y exigía el resultado correcto de los ejercicios sin
1
Santiago será el nombre ficticio que utilizaremos para referirnos al docente para mantener la confidencialidad del mismo.
113
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
importar los procedimientos, trabajaba más el individualismo con los alumnos y no permitía
usar calculadora. Confiesa que él era el centro de atención en el aula. En contrapartida, hoy
se describe diciendo: “Hoy doy libertad a las y los alumnos para desarrollar las actividades
de aprendizaje, se trabaja en equipos, trato de hacer uso de la tecnología, las y los alumnos
son ahora el eje que me mueve a ser yo sólo un facilitador de ese proceso de aprendizaje de
ellos.”
En una de las encuestas que se le han realizado a Santiago, comenta que para él
enseñar matemáticas significa ir descubriendo junto con las y los alumnos los
razonamientos detrás de los procesos en su aplicación y considera que el alumnado aprende
mejor cuando se les reta a pensar y juzgar la validez de sus ideas, estableciendo argumentos
claros y bien estructurados.
Santiago utiliza un libro de clases para trabajar con sus alumnos ya que considera,
como ventaja, que es un referente para abordar los temas de forma directa, es decir,
evitando el dictado. Asimismo, reflexiona que una de las desventajas que conlleva la
utilización de un libro es que se vuelve indispensable, tiene la visión de un autor y está
secuenciado. Sin embargo, reconoce que no siempre sigue la secuencia didáctica planteada
por éste, ya que en ciertas ocasiones, los alumnos de algunos grupos no logran comprender
el tema, entonces tienen la necesidad de revisar junto con ellos temas previos para el
desarrollo del tema planeado.
En su vida personal, Santiago es uno de los seis hermanos que conforman su familia. Su
hermana mayor, es profesora normalista y ella, es quien ha influido más fuertemente
durante su profesión como docente, orientándolo y discutiendo con él cómo llevar a la
práctica las técnicas didácticas que iban apareciendo en el transcurrir de su labor. Tres de
los otros cuatro hermanos, también son docentes… la docencia es una conversación
cotidiana en su familia.
Santiago es un profesional, que decidió dedicar su vida a la educación.
V.2. ACTITUDES DE LIDERAZGO
En diversas ocasiones durante la fase presencial, Santiago fue considerado como
promotor para reunir a los colegas en las actividades de las conferencias y ha sido uno de los
precursores de buscar estrategias de resolución ante problemas que excedían la labor de la
114
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
coordinación del proyecto. Por ejemplo, ante la falta de internet en el hotel en donde se
alojaban los docentes, lo cual dificultaba la realización de ciertas actividades, fue uno de los
impulsores de crear grupos de trabajo dividiendo a los docentes según una lista de horarios.
Asimismo, durante las interacciones que se tenían en las actividades relacionadas con
la problematización del saber, mostraba su capacidad de escuchar a sus compañeros y
reflexionar con ellos, siendo, en muchas ocasiones el moderador para que las intervenciones
se hicieran en orden y se escucharan entre ellos.
•
Episodio 1, interacciones durante la fase de reproducibilidad.
Durante la fase de reproducibilidad, se lo reconoció como un elemento muy importante
para llevar a cabo las actividades que en ella se realizaron. Recordemos lo que dijo su tutor
a distancia sobre él:
"El profesor Santiago fue un elemento muy importante durante todas las semanas de
reproducibilidad. Siempre acudió a las sesiones de chat, inclusive aquellas en las que el
resto de los colegas no ingresaban. Se mostró participativo en todo momento y
entusiasta. Su actitud fue siempre de disposición y lo demostró en todo momento:
enviaba sus tareas cuando se acordaba, inclusive terminó con el envío de sus
pendientes antes de concluir la última semana.
Aunque sus comentarios en los foros fueron muy cortas, durante el rediseño se mostró
participativo y propuso algunos elementos que se consideraron en el rediseño final de
la situación. Actualmente ya concluyó con todas las etapas y actividades." (Informes
entregados a la Coordinación General del Proyecto)
Esta, para nosotros, es una nueva evidencia de que el docente sobresale entre el resto a
causa de su incesante predisposición y colaboración para generar conocimiento de todo tipo.
A modo de ejemplificación, mostraremos algunas de las intervenciones realizadas por
Santiago durante esta fase.
En el foro llamado “Docencia en Matemáticas” que se basaba en la reflexión sobre una
plática a cargo del Dr. Lezama en la cual se reflexionó sobre el rol que juega el profesor de
matemáticas dentro de este campo, el tutor a distancia realizó las siguientes preguntas
como disparadoras del debate:
•
¿Qué opinan al respecto de los comentarios que realiza el doctor?
•
Específicamente, ¿consideran que el profesor de matemáticas debe saber
únicamente matemáticas, es decir, manejar bien los contenidos de su
115
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
asignatura? Entonces, ¿qué conocimientos debe manejar el profesor de
matemáticas?
•
¿Será necesario ser un Matemático Profesional para ser un profesor de
Matemáticas?
La intervención de Santiago a estas preguntas fue la siguiente:
Figura 25: Intervención de Santiago en un foro de discusión sobre la “Docencia en Matemáticas”
Dado que una de las características que posee el proceso de empoderamiento es que este
tipo de procesos parten de la reflexión y se consolida en la acción, como así también,
procuran transformar la realidad, en esta intervención, se ve un indicio en su persona de ese
proceso, en particular, nos referimos a la siguiente frase:
“yo considero que ya somos profesionales lo único que falta es darnos nosotros mismos
ese lugar y cómo lo lograremos, pues con la realización de nuestro trabajo con mente
amplia y dispuesta a cambios y sobre todo convencidos de que podemos marcar la
diferencia en estos tiempos de globalización” (Santiago, Foro de “Docencia de las
Matemáticas”, 15 de marzo de 2011)
El segundo foro en el que se debatió sobre una plática llamada “La perspectiva del
género en la enseñanza de las matemáticas” que estuvo dirigida por Dra. Sonia Ursini
Legovich, M. en C. Gisela Espinosa Guia, M. en C. Patricia Ramírez Mercado y M. en C.
Claudia Rodríguez Muñoz. En la plática se expusieron diferentes perspectivas acerca del
116
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
género en la enseñanza de las matemáticas, con el objetivo de mostrar que
inconscientemente se hacen diferencias de género, buscando cuáles eran las dificultades que
esto conllevaba.
En este caso, el tutor a distancia propone las siguientes preguntas para comenzar a
discutir este tópico:
•
•
•
•
Quisiera que todos postearan una opinión sobre el tema que se discute en el
círculo de estudio de Género. Poniendo especial énfasis en lo que les llamó más la
atención; y si eran conscientes de este fenómeno de diferencia de género en sus
prácticas docentes.
Como docentes, reflexionen sobre cómo influimos con el discurso o con los libros
de texto, o con los ejemplos, con nuestras actitudes en la formación y el
reforzamiento de las diferencias de género.
Se comenta durante la charla cómo ciertas acciones estereotipan a las mujeres y
a los hombres; comenten al respecto si esto tendrá algún efecto en el desempeño
de nuestras alumnas y alumnos.
Propón una estrategia para aminorar las diferencias de género.
La intervención de Santiago fue la siguiente:
Figura 26: Intervención de Santiago en un foro de discusión sobre la “Género y Matemáticas”
117
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Es relevante notar de esta interacción que para Santiago, la educación influye en el
futuro del estudiante, no sólo en cuanto a sus saberes matemáticos como bagaje de
herramientas, sino también, en la toma de decisión futura como ciudadano. Es decir,
podemos inferir con esta intervención que considera al estudiante como un ciudadano
inmerso en una sociedad y no, como un individuo aislado.
Posterior a la experiencia que ha tenido el docente acompañado de los tutores, él llevó a
cabo la fase de reproducción de la experiencia vivida en Cinvestav. En esta fase, Santiago
asumió la responsabilidad de ser tutor frente a su grupo de profesores, con quienes
discutieron los materiales vistos durante la fase presencial y de reproducibilidad.
Mostraremos algunas de las interacciones 2 que se llevaron a cabo durante la fase de
reproducibilidad, en la cual los docentes comparten sus experiencias y se da evidencia de
cómo pueden empoderarse un grupo y comenzar a construir redes bajo propuestas de
cambio.
Si bien los episodios que se mostrarán a continuación son extensos, creemos pertinentes
mostrarlos completos, ya que es su completitud, la que vislumbra el empoderamiento, como
es considerado por Montero (2006), afirmando que “el poder es un logro de la reflexión,
conciencia y acción de las personas interesadas, y no un regalo o donación de otro poderoso”
(Montero, 2006, p. 62). Retomaremos un fragmento de la autora, con el fin de
contextualizarnos en lo que a continuación se evidenciará:
Definiremos al fortalecimiento 3, desde la perspectiva comunitaria, como el
proceso mediante el cual los miembros de una comunidad (individuos
interesados y grupos organizados) desarrollan conjuntamente capacidades y
recursos para controlar su situación de vida, actuando de manera
comprometida, consciente y crítica, para lograr la transformación de su
entorno según sus necesidades y aspiraciones, transformándose al mismo
tiempo a sí mismos.
El compromiso y la conciencia suponen alguna forma de desarrollo de
identidad social expresada en el sentido de pertenencia y de apego a la
comunidad, así como la generación de estilos de acción marcados por la
cultura local, que se manifiestan incluso en las formas de incorporar
conocimientos y técnicas externos que les son necesarios para alcanzar sus
fines. El aspecto crítico se evidencia en la aproximación evaluativa de las
2
Las transcripciones se consideraron tal cual fueron realizadas, sólo corrigiendo los errores de tipeo o de ortografía en donde se
consideró necesario.
3
Recordemos que para Montero (2006) fortalecimiento es un símil de empoderamiento.
118
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
circunstancias, de causas y efectos, de recursos y de posibilidades. (Montero,
2006, p. 72)
Resaltaremos en negrita, aquellos momentos que se consideran esenciales para este
análisis y denotaremos como D1, D2 y D3 a los distintos docentes que intervienen en la
conversación. Las intervenciones de Santiago, llevarán su nombre para identificarlas.
•
Episodio 2, primera interacción de Santiago con los colegas, 4 de mayo de 2011.
22:57 Santiago: son reflexiones individuales, que se comentan en esta sala
22:57 Santiago: es lo suave de estos cursos
22:57 D1: Así será, ayer estaba la Profesora D3, hoy no la veo
22:58 Santiago: que te permiten intercambiar experiencias
22:58 Santiago: Sí que lastima
22:58 D1: Esperemos que le haga la lucha
22:59 Santiago: el objetivo de este tipo de cursos más que nada es crear una gran red de docentes
22:59 D1: Esta dinámica me está gustando, es muy gratificante con el intercambio de experiencias
22:59 Santiago: si eso espero
Minutos después se incorporan más colegas a la plática.
23:16 Santiago: D1 como crees que ayudarías a los y las alumnas
23:17 D1: Como dice en el video "docencia en matemáticas", compartir las experiencias es todo un reto
23:17 Santiago: como lo que estamos haciendo aquí
23:18 Santiago: eso es lo que nos falta, no lo creen? D2 , D1
23:18 D1: En el video se hace menciona al proceso y la enseñanza de las matemáticas.
23:18 Santiago: así es un proceso
23:19 D1: Para mí todo proceso es la investigación y la enseñanza, es como yo acomodo la información
para que mis alumnos entiendan las matemáticas
23:20 D1: Toda la investigación que se realiza tiene un objetivo y en este caso el objetivo es que los
alumnos no rechacen las matemáticas
23:20 Santiago: pero tomas en cuenta a los y las alumnas en cuanto a sus necesidades?
23:20 Santiago: de acuerdo D1
23:20 D1: Claro ya nunca aprenden por igual,
23:21 D1: Habrá alumnos que sólo nos necesitan como guía y otros como tutores
23:21 Santiago: de ahí que se torne más grande nuestro reto
23:21 Santiago: como docentes
119
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
23:22 Santiago: que dices D2?
23:22 D1: Pero aplicando la equidad se puede aprovechar el potencial de aquellos alumnos más
avanzados y ayudar a los alumnos menos avanzados
23:22: D3 entró a la sala
23:23 Santiago: buenas noches D3
23:23 D1: Hola D3 buenas noches
23:23 D2: los alumnos tienen otras necesidades en estos momentos y tienes que adaptar el curriculum
23:24 Santiago: estamos comentando sobre los videos
23:24 D2: como las tecnologías
23:24 D3: buenas noches si gracias por incluirme
23:24 Santiago: para lo cual tenemos que estar preparados D2
23:24 D2: en donde nosotros como maestros nos falta por aprender a enseñar
23:25 D1: También hace mención que toda la investigación, comunicación de lo desconocido y
explorar lo que no se conoce, esto es para el desarrollo de toda la educación
23:25 D3: en el video del Dr. Lezama concuerdo que nuestra práctica debe ser una dualidad donde
una de las partes es profesionar nuestra practica cómo? siendo investigadores de nosotros
mismos
23:25 Santiago: así es D1
23:26 D2: algunas veces nos excusamos con las necesidades sociales del alumno pero más sin embargo
por más que no les tomes en cuenta algunas veces no se puede
23:26 Santiago: si D3
23:26 D1: Creo que estamos luchando contra viento y marea, pero ese es el reto para el futuro
inmediato
23:27 D2: se tiene uno que esforzar para obtener del alumno la capacidad de querer aprender
23:27 D1: Espero que el uso de las TICS pronto se haga realidad
23:27 Santiago: y créanme que es muy reconfortante hacerlo
23:27 D3: para autoevaluarnos y fortalecer áreas que en la docencia deben estar acordes a las nuevas
generaciones que nuestros alumnos requieren para aprender se incluyen las tics
23:28 D1: Porque sorpresa el plan de estudios te marca el uso de la calculadora y en los exámenes de
enlace prohibido usarlas
23:28 Santiago: es el objetivo de este curso como se los dije hace rato
23:28 D2: tenemos que trabajar con lo que tengamos a la mano
23:28 D3: ese esfuerzo sólo es en dosis pequeñas y diarias como lectura y práctica de tecnología
como este chat
23:28 Santiago: de acuerdo contigo D3
23:29 D1: Si pero hay que luchar para lograr algo bueno con los alumnos
23:29 Santiago: creen posible que esto lo podamos hacer con nuestros alumnos y alumnas?
120
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
23:29 D3: los alumnos lo hacen tan frecuente que sólo es que nosotros se los comuniquemos y ellos nos
muestras sin tabús lo que saben o lo que nos pueden ayudar
23:30 D3: si, yo les dije que hoy estaría con ustedes y me ayudaron a escribirme brevemente una tutoría
para entrar solita
23:30 D1: El problema es el desinterés y la baja autoestima entre los alumnos
23:30 Santiago: que bueno D3
23:31 Santiago: aquí en la plataforma esta también un tutorial
23:31 D3: por otro lado estoy en facebuk conectada por si tengo problemas mis alumnos ahorita son mis
profes
23:31 Santiago: que puedes consultar
23:31 D3: porque ellos quieren aprender mate de forma dinámica
23:32 Santiago: que bien D3
23:32 D3: es fantástico aprovechar el tiempo y además actualizarnos nos abre un abanico de
oportunidades para mejorar en mi parte debilidades al
23:32 D1: Por eso comentaba que el uso de las TICS ya no está lejos de que se aplique en las escuelas
23:32 D3: trasmitir matemáticas
23:33 Santiago: de hecho ya se aplican en algunos estados a nivel escuelas
23:33 Santiago: pero falta mucho
23:34 D3: mientras llegan las tics a la escuela, los chicos la usan fuera incluso hay lugares públicos que
proveen membresías y dan asesorías para formar mini chat sobre alguna tarea o problema de
matemáticas
23:34 D1: Si por eso cada vez que tengo oportunidad de platicar con la jefa de nivel se lo menciono
23:35 Santiago: que mejor para que seamos nosotros los que marquemos esa diferencia
23:35 D3: de acuerdo
23:36 D1: Lo que se puede hacer es abrir el diálogo con los alumnos que tienen las TICS en casa y
poder ayudarles en las actividades de matemáticas
23:36 Santiago: pues aquí tenemos la oportunidad de hacerlo
23:37 Santiago: primero entre nosotros
23:37 D1: Creo que vamos por el camino correcto, este es el despegue de mejorar nuestro quehacer
cotidiano
23:38 Santiago: yo estoy convencido D1
23:38 Santiago: D2
23:38 Santiago: D1
23:39 D3: y optimizar tiempos en asesoría, exámenes y valuaciones
23:39 D1: Hay que platicar con los demás compañeros de trabajo para que también nos apoyen, ya
que la educación es de todos
23:39 Santiago: totalmente de acuerdo
121
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
23:40 D3: cierto,
23:40 Santiago: tenemos que caminar primero para después poder correr
23:40 D1: Vemos que así como hay maestros interesados en mejorar, hay quienes obstaculizan nuestro
esfuerzo por mejorar
23:40 Santiago: tendrán que entrar al aro
23:41 D1: Por eso es el chat hay que caminar pero a pasos firmes
23:41 Santiago: si D1 así es
23:41 D1: Convencidos de que nos gusta nuestro trabajo y que hacemos mucho por cambiar
23:42 D1: Esperemos que todo esto nos motive a seguir luchando por mejorar
23:42 D3: pero también es probable que sea involuntario su obstrucción, considero esta oportunidad
para interactuar con esos compañeros y hacer sinergia en nuevas formas de llevar a la
práctica nuestra docencia
23:43 Santiago: creo que el día de hoy hemos dado un gran paso y les manifiesto que me da mucho gusto
23:44 D1: Esperemos que sigamos poniendo nuestro granito de arena, recuerden que así se
construyeron la pirámide pieza por pieza.
Es importante reiterar que estas pláticas no eran supervisadas por tutor alguno, por
tanto, este tipo de reflexiones eran generadas por Santiago y sus colegas. Durante esta
primera interacción, los docentes comienzan a dialogar sobre la importancia que tienen este
tipo de interacciones, como así también, empiezan a planear estrategias para ampliar y
robustecer la actividad de reproducción que entre ellos estaban llevando a cabo. Por ejemplo
D1 realiza dos propuestas: la primera, dirigida a una innovación en su propia práctica
docente, a saber: “Lo que se puede hacer es abrir el diálogo con los alumnos que tienen las
TICS en casa y poder ayudarles en las actividades de matemáticas”; y la segunda, respecto a
la comunidad docente: “Hay que platicar con los demás compañeros de trabajo para que
también nos apoyen, ya que la educación es de todos”. D3, también propone reflexiona y
realiza una propuesta que pueda incidir en la práctica docente: “considero esta oportunidad
para interactuar con esos compañeros y hacer sinergia en nuevas formas de llevar a la
práctica nuestra docencia”.
•
Episodio 3, segunda interacción de Santiago con los colegas, 12 de mayo de 2011.
22:30 D1: Así es, mañana les voy a poner el trabajo a los alumnos
22:30 Santiago: recibiste las actividades del diseño
22:30 Santiago: ?
22:31 D1: Si
122
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
22:31 Santiago: que bueno D1
22:31 Santiago: ya la resolviste
22:31 Santiago: ?
22:31 D1: Solo espero que mañana mismo estén terminadas
22:31 Santiago: ¿Qué te pareció?
22:31 D1: Muy bien ya que ocupan mucho análisis
(…)
22:34 Santiago: ¿Qué grado seleccionaste?
22:34 D1: segundo
22:35 Santiago: ¿Crees que tengan alguna dificultad para resolverla?
22:36 D1: No creo algunos les pedí el cuaderno de física y tenían apuntes de las fórmulas
22:36 Santiago: ¿Qué les permitirás utilizar?
22:37 D1: Es bueno ver qué dificultades presentan, para ir viendo cómo les ayudo en la orientación,
dejarlos hasta qué punto pueden trabajar y con todas las herramientas a su alcance
22:38 Santiago: perfecto la intención es qué tanto pueden hacer por sí solos
22:39 D1: Esa ha sido mi metodología en este siclo que termina
22:39 Santiago: y la intervención que sea sin darles concretamente las respuestas
22:40 Santiago: es lo interesante del planteamiento
22:40 D1: Así es, le permito utilizar la computadora del salón y que al final argumenten sus resultados
22:40 Santiago: excelente
22:41 Santiago: te preguntaba
22:41 D1: Esa es la intención que ellos solos exploren sus competencias
(…)
22:46: D3 entró a la sala
22:47 Santiago: buenas noches D3
22:47 D1: Bien venida D3
22:47 D3: Bubuenas choches profsro
22:47 D3: Hola
22:47 Santiago: ¿Cómo vas con tus trabajos?
22:48 D3: Muchas gracias, estoy súper emocionada, terminé hoy
22:48 D3: las actividades en los 8 grupos
22:48 D3: me falta enviarle las fotos y el video
22:48 Santiago: Que bueno te felicito
22:49 Santiago: y ¿cómo observaste a tus muchachos?
22:49 D3: Bueno están súper motivados porque mañana entramos
22:49 D3: al aula de medios para que conozcan
123
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
22:49 D3: la página de X
22:50 Santiago: ¿Ahí aplicaras el ejercicio?
22:50 Santiago: ha perdón ya lo aplicaste
22:50 D3: Ya los ejercicios los hicimos en hojas impresas quiero que vean el
22:51 D3: video de la página principal
22:51 D3: y vean que si estudian pueden llegar a esos niveles de
22:51 D3: escuela
22:51 Santiago: te refieres a la del Cinvestav ¿verdad?
22:52 D3: sip, pero mi Director del vespertino me autorizó el miércoles que vean una conferencia
22:52 D1: Eso es lo que se requiere, que sí hay alumnos comprometidos
22:52 D3: si, es un grupo que los demás maestros los consideran problemas
22:53 D3: son hiperactivos como yo
22:53 Santiago: Así es D1 y también docentes como ustedes
22:53 D3: Entonces a ellos les agradan actividades así
22:53 Santiago: Una pregunta D3
22:54 D3: Diga maestro
22:54 Santiago: ¿Crees que esta forma de trabajar sería posible que la siguiéramos fomentando con
nuestros colegas?
22:55 Santiago: y sobre todo ¿con las y los alumnos?
22:55 D3: En maestros con experiencia de más de quince años es difícil, con los docentes nuevos es
muy fácil pues ellos así trabajan
22:55 Santiago: ¿Qué opinas D1?
22:55 D3: utilizando foro y chat del facebok u otras plataformas
22:56 D1: Me parece bien este tipo de actividades deja más aprendizaje
22:57 D3: Sí, al menos yo como docente aprendo de ellos, y me motivan a llevar algo diferente
22:57 Santiago: De acuerdo con ustedes
22:57 D1: Es parecido a la red de tutorías que estoy llevando con otros maestros del municipio
22:58 D3: con estas generaciones de alumnos la coevaluación, autoevaluación es cosa del diario vivir
22:58 D1: Los orientamos con preguntas, pero sin decirles el resultado ellos encuentran la forma de
resolverlos
22:58 Santiago: una pregunta D1
22:58 D3: Estoy de acuerdo
22:59 D1: Los alumnos arrojan más evidencias y sobre todo uno aprende con ellos
22:59 Santiago: ¿Eres tutor de algún curso?
22:59 D1: Estoy en X
23:00 Santiago: Algo así me imaginé, te felicito sabes entonces de lo que estamos haciendo acá
124
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
23:01 Santiago: ahora otra pregunta para los dos
23:01 Santiago: D3 y D1
23:01 D1: Si
23:01 D3: Atiendo
23:01 Santiago: ¿Podremos incorporar esta forma de trabajo en nuestra planeación?
23:02 Santiago: ¿Es decir con actividades de este tipo?
23:02 D3: Por supuesto hoy la entregué por escrito a mi inspector y al jefe del departamento que
nos visitó en la x
23:02 D1: Sería viable ya la directora sabe que estamos trabajando así en algunos momentos
23:03 Santiago: y ¿cuál fue su comentario al respecto?
23:03 D1: Los alumnos argumentan sus soluciones y discuten sus procesos de aprendizajes
23:03 D3: Dejó instrucciones para que reciba apoyo en sacar copias que requieran los alumnos
23:04 D3: y envió un memorándum a los padres de familia
23:04 D3: Haciéndoles saber lo que estamos trabajando en matemáticas
23:04 D1: Lo bueno que tenemos directores que nos apoyan con las copias
23:04 Santiago: Excelente D3
23:04 D3: Si
23:05 Santiago: Eso es muy importante para este proyecto
23:05 Santiago: Excelente D1
23:05 D3: Yo estoy FELIZ esto de ver que no hay trabas o tabús al trabajo como este proyecto
23:06 D1: Les comentamos a otros maestros y ya están trabajando algunos con español
23:06 Santiago: de eso se trata que seamos punta de lanza para abrir estos espacios
23:06 D3: De acuerdo
23:07 D1: Creo que vamos por el camino correcto y cambiar las opiniones que la sociedad tiene con
respecto al docente
23:07 Santiago: la intención es como dijo D1, hacer una red nacional de docentes de las diferentes
especialidades
23:07 Santiago: para intercambiar todas nuestras experiencias
23:07 D3: Buen reto
23:08 D1: Respecto a este punto está un maestro de x que quiere entrar
23:08 Santiago: Así es D3 todo un reto.
23:08 Santiago: ¿A este curso, D1?
23:09 D1: A lo mejor lo conoce es el profesor x.
23:09 D1: Sí, a este foro.
23:09 D3: Creo que por eso no cuesta trabajo compartir el proyecto con otros profes.
23:09 D1: También es x.
125
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
23:10 Santiago: Pero no está en este grupo, lo veo un poco difícil.
23:10 D1: No, no está en el grupo.
23:10 Santiago: Tendría que estar registrado en la lista del Cinvestav y dado de alta por un servidor.
23:11 D1: Creo que no está registrado.
23:11 D3: Por eso yo les agradezco el privilegio de compartir con Grandes Maestros como Ustedes
23:11 Santiago: lo que pasa que los tiempos ya no alcanzan.
23:12 Santiago: Gracias D3 hacemos nuestro mejor esfuerzo.
23:12 D1: Eso le comenté, pero está dispuesto para la próxima.
23:12 Santiago: Sin duda
23:13 Santiago: Dile que se comunique con los otros tutores del municipio.
23:13 D1: Yo le digo mañana que lo vea.
23:13 Santiago: o con la profesora X del centro de maestros.
(…)
23:19 D1: Las reflexiones son las que nos dan la pauta a continuar mejorando nuestro trabajo
Esta interacción entre los docentes, deja ver cómo se consolida la relación y se tejen las
redes que ellos mismos construían para la transformación de la realidad. Por un lado, las
preguntas de Santiago como visionario de las redes sociales, son sumamente interesantes, a
saber: “¿Podremos incorporar esta forma de trabajo en nuestra planeación?”; “¿Crees que
esta forma de trabajar sería posible que la siguiéramos fomentando con nuestros colegas? Y
sobre todo ¿con las y los alumnos?”. Ante estas preguntas, las respuestas de los colegas
fueron sumamente positivas.
Por otro lado, se deja ver cómo los docentes comienzan a expandir la red involucrando a
otros actores sociales involucrados en su labor docente. Por ejemplo, D1 involucró al Director
de su escuela en el proyecto pidiéndole autorización para ver, junto a sus estudiantes, una
de las conferencias que se reflexionaron durante la reproducción
con el fin de que los
estudiantes conocieran lo que se realiza en Cinvestav; asimismo, comenta que los padres
recibirían un memorándum en donde se enterarían de lo que estaban trabajando en
matemáticas. También, D3, expresa que había comentado con otros docentes de su
institución sobre esta manera de trabajar y que los docentes de español la habían
considerado para su práctica. D3 hace una reflexión muy interesante que es: “Creo que
vamos por el camino correcto y cambiar las opiniones que la sociedad tiene con respecto al
docente”.
126
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Concluye Santiago diciendo: “la intención es como dijo D1, hacer una red nacional de
docentes de las diferentes especialidades para intercambiar todas nuestras experiencias”.
Esto, para nosotros, es evidencia explícita de que el empoderamiento es un proceso
natural que se da a través del tiempo mediante la interacción en comunidad, la intervención
y la reflexión sobre su práctica; y que particularmente, Santiago, es un ejemplo de ello.
Síntesis de actitudes de liderazgo
Si bien creemos que este tipo de actitudes son propias de cada individuo, en particular,
que las actitudes de liderazgo en él han de ser innatas, consideramos que los espacios
brindados han permitido su potencialidad y explicitación. El hecho de que Santiago haya
asumido diversos roles en su paso por el proyecto, en cuanto a la cantidad y la cualidad, lo
entendemos como un estímulo para su empoderamiento, ya que, como hemos mencionado en
capítulos anteriores, la esencia del empoderamiento radica en el desarrollo del potencial de
cada individuo para el liderazgo dentro de una comunidad de práctica (Howe & Stubbs,
2003).
V.3. DESEMPEÑO MATEMÁTICO
Para evaluar la evolución de su desempeño matemático, en primer lugar, se considerará
el examen de ingreso y egreso de Santiago; y en segundo lugar, el progreso en cuanto a los
modelos proporcionales que fueron modificados por el docente, lo cual está estrechamente
relacionado con su desempeño profesional.
Si bien la evolución general en cuanto a la comparación de las notas más elevadas entre
los exámenes de ingreso y egreso fue de 1%, en particular, la evolución de Santiago, supera
ampliamente esta media, hasta llegar a un 18% de evolución respecto al conocimiento
matemático. Esto nos lleva a conjeturar que durante las sesiones de trabajo con situaciones
de aprendizaje en la Especialización se han problematizado diversos saberes matemáticos
que propiciaron la evolución de su desempeño al enfrentarse con distintos reactivos,
confeccionados con base en las matemáticas de secundaria correspondientes a los tres ejes
temáticos que son abordadas durante su práctica docente, referentes al programa de
estudios 2006 avalado por la SEP.
127
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Para analizar la problematización del saber proporcional, acudiremos a las
videograbaciones y la toma de datos realizada durante la observación. En primer lugar,
mostraremos distintos episodios de interacción con
los estudiantes; en segundo lugar,
explicaremos la reflexión en cuanto al saber matemático de la proporcionalidad que se tuvo
con el docente y, por último, mostraremos un episodio en donde se evidencia su modificación
en el discurso escolar producto de la problematización del saber.
Llamaremos episodios a los momentos que retomaremos la clase entera que nos serán
útiles para analizar la relación del docente con el saber matemático de la proporcionalidad.
El primer día de observación, únicamente se tomaron notas escritas ya que recién nos
estábamos dando a conocer con los estudiantes, por lo cual, se consideró pertinente dejarles
un espacio de confianza y luego comenzar a realizar filmaciones.
Para comentar el episodio del primer día de observación, 6 de junio de 2011, se
transcribirán las notas que se registraron en el cuaderno de observación. Antes de comenzar
es importante aclarar que sólo se tomó nota de aquello que la investigadora consideró
pertinente en su momento.
La Actividad 1, que consta de dos consignas sobre las cuales harán referencias los
episodios transcriptos son las siguientes:
128
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Figura 27: Actividad 1
129
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
•
Episodio 1, primer año, curso D, 6 de junio de 2011
Figura 28: Transcripción de la observación (parte 1 de 2)
130
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Figura 29: Transcripción de la observación (parte 2 de 2)
En este primer episodio observamos que de la interacción entre los estudiantes y el
docente, emergieron dos tipos de pensamiento en cuanto a los modelos de la
proporcionalidad directa, según los estudiados en el capítulo III: el modelo cualitativo y el
modelo aditivo.
En primer lugar, surge el modelo cualitativo cuando el docente enuncia:
P: A medida que aumentaba la cantidad de kilos, aumentaba el precio… se
mantiene constante los 13 pesos…
En segundo lugar, el modelo aditivo se evidencia cuando argumenta la manera de
obtener los valores subsiguientes al del valor unitario.
131
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Hemos visto que este tipo de modelos emergen al comienzo del trabajo con la noción de
proporcionalidad, pero que es necesario generar situaciones e interacciones en las cuales el
modelo multiplicativo emerja, con el fin de comenzar a trabajar con los operadores tanto
escalar como funcional dentro de la proporcionalidad (Carretero, 1989; Martínez & González,
2008; Vergnaud, 1990).
Asimismo, la manera de interpretar la gráfica que se dio como contraejemplo de la
proporcionalidad directa – ya que no es el tema a abordar la proporcionalidad inversa – es
incorrecta, lo cual podemos considerarlo como un indicio de que existen falencias en cuanto
a la problematización de este saber matemático.
•
Episodio 2, primer año, curso A, 7 de junio de 2011.
[1]
P
El tema de proporcionalidad, que no es la primera vez que lo vemos el día
de hoy, nosotros ya trabajamos anteriormente ese tema, hace varios
bimestres y fue acompañado de varios… de varios temas a la vez.
[2]
P
Voy a iniciar por preguntarles… si alguien recuerda el término de
proporcionalidad y cómo lo aplicamos… ¿En qué situaciones de la vida
cotidiana lo hemos aplicado? Y hemos dado ejemplos anteriormente.
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
P
P
E1
P
E1
P
E1
P
E1
P
TODOS
E1
E2
E3
P
P
Alguien que se acuerde.
¿Cuándo hablamos de proporcionalidad? ¿Qué era proporcional?
Cuando…
Levantando la mano… ¿Cuándo qué?
Cuando tiene que ser la misma cantidad.
Cuándo tiene que ser la misma cantidad, ¿de qué?… Un ejemplo
Dos panes y dos panes
¿Dos… qué?
Dos panes y dos panes
Dos panes y dos panes
(risas)
Un pan y un pan tienen que tener la misma proporcionalidad ¿no?
Así como ir repartiendo un pastel entre dos, tiene que ser lo mismo…
Como mitad y mitad… y si son muchos…
Un medio y un medio, sí…
(murmullo)
A ver, ¿alguien más? ¿E3?
[20]
[21]
[22]
E3
P
E3
La relación que tiene un número con otro.
¿La relación que tiene qué?
Un número con otro
132
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[23]
P
Un número con otro… en este caso, por ejemplo: un pan y un pan, un
medio y un medio… A ver, y ¿un ejemplo de la vida cotidiana?, un
ejemplo de la vida cotidiana.
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
E3
P
E4
P
Se compra unas papas que le cuestan a siete, y si compran dos papas a 14
Y ¿aquí que dijeron?
El kilo de tortillas
¡Ah, el kilo de tortillas, ese es famoso el kilo de tortillas!
(risas)
¿Qué dijimos del kilo de tortillas?, al igual que lo dijo E3, ¿qué dijimos del
kilo de tortillas?, ya no vale lo mismo que dijimos.
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
[40]
[41]
[42]
[43]
[44]
[45]
P
TODOS
P
TODOS
P
[46]
[47]
[48]
[49]
[50]
[51]
E4
P
E4
P
TODOS
P
26
¿Y cuántos kilogramos habré comprado con 52 pesos?
¿52 pesos?
¿Cuántos?
4
Bien, entonces vamos a ver… en su ejercicio… proporcionalidad tratando
de buscar el valor que les hace falta, del tipo de valor faltante ¿sí?
[52]
P
Yo puse en el pizarrón 13 pesos un kilogramo, dos kilogramos, 26. Y les
puse al revés, les puse 52 y no les puse los kilogramos… ¿Sí?
[53]
[54]
P
Y si les pregunto ¿10 kilogramos?
(se cae sobre una estudiante una cartulina que estaba pegada en la pared y
genera disturbios)
[55]
E5
130… ¡Profe, 130!
P
P
P
E3
P
E3
P
E3
P
¿Alguien se acuerda de lo que dijimos que valía en aquel tiempo?
10
10, 10, 10… Y¿ahora?
13
13, correcto.
(murmullo)
Y A3 nos habló ¿de qué?
(mucho ruido)
Shhh, ¡ya parece manifestación esto!
E3 nos dijo también que ¿las qué E3?
¿Unas papas?
Unas papas… ¿cuánto valen?
7
7… ¿y dos?
14
14. El kilogramo de tortillas uno a 13, y E4 ¿dos kilogramos? Dos
kilogramos de gordas… ¿Dos kilogramos de gordas?
133
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[56]
P
¡130 dice E5, correcto! Lo que han estado haciendo entonces es encontrar el
valor que les hace falta ¿sí?
[57]
P
Y qué observamos tanto en el kilogramo de tortillas… en el kilogramo de
tortillas y en la adquisición de papas, frituras. Dice E3 un paquete de papas:
7 pesos, ¿dos paquetes?
[58]
[59]
[60]
[61]
TODOS
P
TODOS
P
14
14. ¿Tres paquetes?
21
¿Cuál sería ahí el valor que está siendo el constante… que se está
manteniendo? ¿en las papas el qué?
[62]
[63]
[64]
[65]
[66]
[67]
[68]
TODOS
P
TODOS
P
E6
P
P
7
¿Y en las tortillas?
13
Entonces a ese es a lo que le llamamos constante de proporcionalidad.
Sí, es como que… porque ese siempre va a ser el mismo
Correcto, ese siempre va a ser el mismo ¿de acuerdo?
Ese es el concepto de de constante de proporcionalidad, el valor que se
mantiene, por eso es “constante”. De acuerdo ¿ok?
[69]
P
Una pregunta, después de eso vimos el otro tema: ¿cómo podemos
organizar esa información?
[70]
[71]
[72]
P
E7
P
¿Qué agregamos para organizarlo? En que lo…
¿Una tabla?
Sí, una tabla. ¿La dibujas con ese dato que tengo ahí, por favor, de las
tortillas y de las papas?
En este episodio, hay dos momentos relevantes para analizar:
Primer momento, de la línea [20] a la [27]:
Cuando se analiza el video, se observa cómo el docente titubea al decir en la línea [23]
“un número con otro”, y lo confirma al continuar su frase “un pan y un pan, un medio y un
medio”. Este hecho, podría considerarse como un indicio de que Santiago carece de
herramientas para poder problematizar el saber, concibiendo que hacerlo, hubiera permitido
hacer del saber matemático un problema “localizando y analizando su uso y su razón de ser”
(Montiel, 2011, p. 128), en tanto generaría preguntas que provocaran emerger la noción de
que la “razón de ser” de la proporcionalidad subyace en una relación cualquiera que
mantienen dos magnitudes respecto a su cantidad. Sin embargo, hasta aquí, no podemos
más que conjeturar e inferirlo, ya que la evidencia no es del todo transparente.
134
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Segundo momento, de la línea [61] a la [69]
Para poder analizar este apartado, es importante aclarar, que “la reducción al valor
unitario” es un procedimiento para hallar un valor faltante, más que un pensamiento
proporcional. Puede verificarse en la bibliografía consultada, que en ningún momento se
habla de éste como un pensamiento, sino como una manera de operar para encontrar un
cuarto valor.
Ahora sí, en este apartado de la interacción de Santiago, podemos observar, por un lado,
que utiliza uno de los procedimientos para hallar el valor faltante como definición de la
constante de proporcionalidad, y por el otro, que responde a un modelo aditivo de
pensamiento proporcional, cuya particularidad es que el dominio de la función proporcional
se reduce a los números naturales, ya que si se quisiera obtener el valor de medio kilo de
tortillas, dada la explicación que abordó el docente, “el 13 no se mantendría”.
• Episodio 3, primer año, curso A, 7 de junio de 2011.
Para este episodio, los estudiantes discutirán entorno a la consigna 1 de la Actividad 1,
presentada anteriormente.
[1]
P
El valor de la ordenada del punto cuyo abscisa es 1, y se fueron todos con
la gráfica que está ahí, posiblemente vayan a tener un error… posiblemente
alguien puso que corresponde 1… posiblemente alguien haya puesto otro
valor diferente a ese.
[2]
[3]
[4]
P
P
P
Otros acertaron, o pusieron el valor que corresponde de otra manera.
Bien, nos explica por favor, este… ¡E8!
¿Qué valor obtuvo cuándo usted… puso el valor de la abscisa cuando éste
está a 1?
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
E8
P
E8
P
P
2.5
2.5 ¿Cómo lo obtuvieron?
Porque dividí 50 entre 20
Ponlo en el pizarrón, por favor…
Acá abajito de donde están las coordenadas que están ahí.
(la estudiante pasa al pizarrón y anota la división 50 dividido 20, cuyo
cociente es 2.5)
[11]
[12]
P
P
Ok
Y ese valor de 2.5, si hacemos una comparación con la tablita de las
tortillas y con la tablita de las papitas, el valor que acaba de obtener su
compañera, de 2.5, ¿a qué cantidad correspondería?
[13]
[14]
[15]
P
El de las papas…
(anota en el pizarrón “1 – 7 ”)
El de las tortillas…
P
135
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[16]
[17]
(anota en el pizarrón “1 – 13”)
Imagen del pizarrón del profesor
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
P
P
TODOS
P
TODOS
P
¿A qué cantidad correspondían estos valores?
¿A cuántas tortillas, a cuántos kilogramos?
A uno
¿A cuántas papas?
Uno
Entonces, eso que está ahí… a ¿qué tiempo corresponde? ¿De la travesía de
la moto?
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
P
TODOS
P
P
TODOS
P
TODOS
P
TODOS
P
P
P
P
Según la primer pregunta que le están haciendo
A una
A una… al valor de uno, ¿verdad?, ¿sí? Al valor de uno.
¿Cuál era la constante de proporcionalidad de las papas? ... En las papas
7
¿Y en las tortillas?
13
¿En la travesía de la moto?
2.5
Ahí tienen una respuesta.
Díganme, ¿cuál es el valor de la ordenada? Ya la tienen.
¿Cuál es la constante de proporcionalidad? Ya la tienen.
Y, ¿cuál es la expresión algebraica que me dice cómo le corresponde a la
gráfica?
[37]
[38]
[39]
P
E8
P
[40]
[41]
P
[42]
[43]
[44]
E10
P
E10
¿Cuál sería la expresión algebraica de esa gráfica, de esa situación?
ye es igual a 2.5 por…
Ponla por favor… eso mismo que me está diciendo E8, es la misma
respuesta que me dio E9 ¡exactamente!, salvo que él me dio otro
planteamiento que… me reservo su forma de llegar al resultado.
(silencio)
E10, de las opciones que tienes en la parte de abajo ¿cuál de las dos puede
estar asociada, puede ser la que esté representando el ejercicio que
acabamos de hacer?
La b
La letra b, ¡correcto!.. ¿Por qué razón?
Porque divide
136
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[45]
[46]
[47]
[48]
P
A9
P
E10
¿Qué divide?
50 entre 20
Y, ¿qué son los 50 y qué son los 20?
Los centímetros que miden los libros que hay y los centímetros que mide
cada libro.
[49]
[50]
[51]
[52]
[53]
[54]
[55]
[56]
[57]
[58]
P
E10
P
E10
P
E10
P
P
E10
P
¿Cuál es el grosor del libro?
50 centímetros
¿Cuánto?
50
Apilados todos, ¿no? ¿Y de cada libro?
2.5
Y ¿qué relación hay de ese 2.5 centímetros con el 2.5 de arriba?
¿En dónde está la relación?
Es la misma
En la misma y ¿qué tendría qué hacer con los libros en la gráfica… cómo
fueron estos colocados, o cómo…?
[59]
[60]
[61]
[62]
P
E10
P
P
¿Para qué den esa altura?
¿Los fueron apilando hacia arriba?
¡Ah, los fueron apilando arriba!
Entonces, quiere decir que conforme iban poniendo un libro, ponían un
libro y tenían una altura, ¿verdad?, ¿cuál es esta?, ¿de cuánto?
[63]
[64]
[65]
[66]
[67]
[68]
[69]
E10
P
TODOS
P
P
TODOS
[70]
[71]
P
P
2.5
2.5. Ponían dos libros…
5
Iban al 5…
Ponían 3 libros ¿sí?
7.5
Imagen del pizarrón del profesor
Pusieron 20 libros aquí, fueron 50 centímetros
Entonces, ahí tienen ustedes la situación que nos describe la
proporcionalidad.
137
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Este episodio, lo dividiremos en dos momentos:
Primer momento, de la línea [1] a la [33]:
Nuevamente, el tipo de argumentos que emergen en este momento, recaen en la
búsqueda del valor unitario y en la búsqueda de un patrón entre los ejemplos anteriores y el
que se estaba trabajando.
Segundo momento, de la línea [37] a la [71]:
Este episodio, generó un gran desconcierto durante la observación, ya que hasta aquí
sus interacciones con los estudiantes no permitían ver un manejo de los operadores
escalaros o funcionales, pero en este análisis de la gráfica, deja ver que las argumentaciones
que acompañan el análisis emergen de una relación funcional entre las magnitudes.
• Episodio 4, primer año, curso C, 7 de junio de 2011.
En este episodio se trabaja con la consigna 1 de la Actividad 1.
[1]
[2]
P
P
[3]
[4]
[5]
P
TODOS
P
[6]
P
[7]
[8]
[9]
[10]
P
P
E2
P
[11]
E2
¡Sí, eso! Los datos del problema, de la consigna. ¡Los demás seguimos en
el ejercicio!
Con base en el gráfico de la travesía de una moto de carreras que va a una
velocidad constante y se encuentra en determinado momento en el punto a,
abscisa b, coordenada (50, 20). Contesta las siguientes preguntas.
[12]
[13]
[14]
P
E3
P
¿Qué datos nos da el ejercicio?
Que la x es la abscisa y la…
Ok, como datos, ¿Qué datos da? ¿Qué datos da?
¡Pongan atención, vamos a ver, vamos a ayudar!
Una pregunta antes, una pregunta antes: ¿sacaste el factor de
proporcionalidad? Como va aumentando aquí… ¿aquí cuál era?
¿En éste cuál es el factor de proporcionalidad? En el ejemplo de E1
9
Ok, factor de proporcionalidad o constante de proporcionalidad 9, para el
ejemplo de E1
E2: ¿cómo podemos sacar la constante de proporcionalidad del ejercicio
que estamos resolviendo?
¿Qué tenemos como dato?
A ver, ¡lee el problema… y los demás me siguen!
¿Esto?
138
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[15]
E3
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
P
TODOS
P
P
P
P
P
E4
P
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
[30]
[31]
[32]
[33]
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
Las ordenadas, son 50… máxima, en la abscisa, si unes una línea así (el
estudiante hace un gesto con la mano simulando una recta creciente), llega
como 20 abscisa y la subes y 50.
20 y 50. Ordenada, pónganle aquí, ordenadas, ¿qué letra llevaría?
La y
La y 50. y 50
Y igual a 50
¿Y la x? Abajo. Ok.
Pregunta ¿con esos dos valores podemos encontrar una proporcionalidad?
¡E4!, ¿sí?, ¿cómo?
Aumentando…
¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x valga 20, que la x valga
40?
E4
Va aumentando…
P
Allá
E5
100
P
100, ¡sale!
P
¿Cuál sería el valor de y si el de la x es 1?
ALGUNOS 2
P
A ver
ALGUNOS Uno… dos… uno y medio…
P
Yo dije: ya tenemos el del 20, 50, 40, y 100 y 1
E6
2 y medio
P
¿Cuánto? 2 y medio
E6
2 y medio
P
¡El que dijo 2 y medio que venga y me diga por qué!
P
¡Sale, sale, sale!
P
Sí, hazlo, hazlo ¡adelante!
Pasa el estudiante al pizarrón. Transcurre 1 minuto y comienza nuevamente la interacción con los
estudiantes, mientras E6 resuelve el problema en el pizarrón.
[40]
[41]
P
P
[42]
[43]
[44]
[45]
[46]
[47]
[48]
P
P
E5
P
E5 y E7
P
E2
¡No señorita, no espere que termine, inténtelo! Yo ya les di un caminito…
yo pregunté…
Bueno ¡va!
Si el valor de la x es 10
(lluvia de ideas)
4
Si en la x es 10
La y es 25
Entonces ¿cuál es el valor de y cuando la x vale 1, E8?
139
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[49]
[50]
[51]
[52]
[53]
[54]
[55]
[56]
[57]
[58]
[59]
[60]
[61]
E8
P
[62]
[63]
[64]
[65]
P
P
P
E6
[66]
[67]
[68]
[69]
P
E6
P
P
[70]
[71]
[72]
P
E6
P
[73]
E6
[74]
[75]
P
P
E8
E5
P
E5
P
P
E2
P
P
¿2?
Aquí tenemos otra… 10 y la mitad… y ¿cuándo la x vale 5?
(lluvia de ideas)
¿Cuánto?
2 y medio
¿Cuánto profe?
5 a la x
Y la y ¿12.5?
¡Sale!
Y ¿cuando la x vale 1? ¡E2!
2.5
¡Sale!
La pregunta que hizo R2 hace ratito… síguele, síguele, decía que
escucharas a R2. ¡Sale! Ahora, ¡explícamelo tú!
¡A ver, acá!, por acá. Adelante E6.
A ver si se parece a lo que tú dijiste.
A ver, ¡ponemos atención!
Va proporcionando por 4. Si aquí está el 4, es la ordenada, sería 10
ordenadas… si fuera 1, sería 2.5
Tú dedujiste que la… ¿en base a qué? Al 10 y al 4 o al… o ¿a otro valor?
Lo hice a todas
¿A todas?, uno por uno.
(el estudiante muestra la hoja al profesor en donde figuran los cálculos)
¡Correcto! Correcto y te dio iba aumentando, ¿de cuánto en cuánto?
De 4 en 4
El de las abscisas, o sea 4 de las abscisas correspondía a 10 en de las
ordenadas.
Y por 1 daría 2.5
Imagen de la resolución por parte del estudiante.
Ok.
E2, ¿coincidió el valor que acaba de dar tu compañero con el tuyo?
140
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[76]
[77]
[78]
[79]
[80]
E2
P
E2
P
P
[81]
[82]
P
[83]
P
De ahí nace la inquietud de ponerlo en el pizarrón. Yo les quise orientar de
aquel lado, dando valores que atinadamente E5 sí estaba contestando y
alguien más por acá, E1.
[84]
P
Y luego tú me diste un valor, y te pregunté cuál fue tu coeficiente, me
dijiste 2.5. Y E6 te lo explicó de otra manera, y él llegó al mismo
resultado.
[85]
[86]
E2
P
¿De uno en uno fue aumentando?
Él lo hizo de… dándole valores a x 4, él tomó como base 4, en las abscisas,
y se dio cuenta que eran 10 en las ordenas.
[87]
P
[88]
P
[89]
[90]
[91]
[92]
[93]
[94]
[95]
[96]
TODOS
P
TODOS
[97]
[98]
[99]
E5
P
P
P
P
E6
P
Sí.
¿Cuál fue?
10, 20
E2, hay que poner atención…
Preguntaste. Todos lo que estamos haciendo surge de la pregunta que
hiciste tú: ¿cuál es el coeficiente de proporcionalidad?
De ahí sale la primera pregunta.
(Suena el timbre de recreo y el profesor dice: “no se preocupen, nos
quedamos” y continúa para cerrar la idea)
Entonces, ¿qué más hiciste? Si a 10 le correspondía 4 en las abscisas… a 1,
de las abscisas, le correspondió 2.5 de la ordenada. Y ahí tienen la primera
respuesta.
Ahora sí, ya tenemos el valor constante de proporcionalidad en la ecuación
algebraica, ya la deben de tener por ahí también. ¿Sería, 20?
No
¿Cuál sería?
2.5
(unos segundos de silencio)
¿Ya?
¿E6? ¿Vas a explicar a E5?
No, estoy pidiendo borrador
Ya tienen 2 constantes de proporcionalidad. La de los refrescos que fue
¿cuánto?
9
9… Y ¿la de la del ejercicio?
Ahora sí podrán contestar la segunda parte. El ejercicio 2.
141
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Primer momento, de la línea [1] a la [6]:
El tipo de pregunta que realiza el docente, está centrada en una argumentación del tipo
aditiva, que hace explícito en su frase:
[2] Una pregunta antes, una pregunta antes: ¿sacaste el factor de
proporcionalidad? Como va aumentando aquí… ¿aquí cuál era?
Segundo momento, de la línea [22] a la [28]:
Detrás de la pregunta de la línea [24] “¿Cuál sería el valor de la y si en lugar de que la x
valga 20, que la x valga 40?” se deja ver que Santiago está generando espacios de reflexión
en torno a una relación entre las magnitudes homogéneas, ya que está trabajando con el
doble de un valor conocido, lo cual, supera aquel pensamiento meramente aditivo. Y en la
línea [25], cuando el estudiante contesta que “va aumentando” no se observa ninguna
intervención del docente sobre esa respuesta, por tanto, se entiende que manipula ambas
argumentaciones como válidas, lo cual, concebimos como algo oportuno.
Tercer momento, de la línea [48] a la [60]:
Cuando Santiago pregunta en la línea [50]: “Aquí tenemos otra: 10… y la mitad… y
¿cuándo la x vale 5?”, se asemeja a lo enunciado por Piaget e Inhelder (1977) en donde
afirman que:
La comprensión comienza cuando el niño percibe que hay equivalencia de
resultados cada vez que, de un lado, se aumenta un peso sin cambiar la
longitud; y de otro, aumenta la longitud sin cambiar el peso: saca en seguida
la hipótesis (que verifica ordinalmente) de que, partiendo de dos pesos
iguales a las mismas distancias del centro, se conserva el equilibrio
disminuyendo uno pero alejándose, y aumentando el otro, pero
aproximándose al centro. Entonces, y sólo entonces, llega a las proporciones
métricas simples
𝑃 2𝑃
=
, 𝑒𝑡𝑐
𝐿 2𝐿
pero únicamente las descubre a partir de la proporción cualitativa
precedente, que puede expresarse como sigue: disminuir el peso
142
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
aumentando la longitud equivale a aumentar el peso
disminuyendo la longitud. (Piaget & Inhelder, 1997, pp. 141-142)
Es decir, comienza a generar interacciones en las cuales puedan emerger las
argumentaciones desde un pensamiento proporcional como relación entre variables, que
parte de un modelo cualitativo hasta llegar a la relación entre magnitudes.
Cuarto momento, de la línea [65] a la [74]:
Nuevamente, en la línea [70], se vuelve al modelo aditivo, por parte del docente, sin
embargo, en las argumentaciones que está dando el estudiante, puede notarse que E6 lo que
realiza es una relación entre las magnitudes, e inferimos que al tratar de responder a la
pregunta de Santiago, quien ha recurrido continuamente a trabajar con las adiciones, el
estudiante contesta erróneamente en la línea [70] “de 4 en 4”.
Quinto momento, de la línea [84] a la [88]:
En este apartado de líneas, es confusa la explicación que realiza Santiago respecto a los
razonamientos realizados por E6 para obtener la constante de proporcionalidad:
[86] “Él lo hizo de… dándole valores a x 4, él tomó como base 4, en las
abscisas, y se dio cuenta que eran 10 en las ordenas.”
En esta argumentación que hace el docente, no podemos entender qué es lo que quiso
hacer ver con “en base 4”, ya que es la primera y única vez que vemos en todas las
observaciones, este tipo de argumentación.
Nótese que hasta el momento únicamente ha aparecido en dos oportunidades la réplica
de Santiago de preguntar “¿por qué?”, en la línea [43] del episodio 3 y en la línea [37], de
este último episodio.
•
Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011.
[100]
P
¡E7! ¿Cuál fue la situación que asocia al ejercicio que acabamos de
plantear en el pizarrón?
[101]
[102]
[103]
E7
P
E7
La b
¿Por qué razón?
Por…
143
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[104]
[105]
[106]
[107]
[108]
[109]
[110]
[111]
[112]
[113]
[114]
[115]
[116]
[117]
[118]
[119]
[120]
E7
P
TODOS
P
E7
E5
P
P
P
E5
P
E11
P
E1
P
E1
[121]
[122]
[123]
[124]
P
E1
P
E1
(silencio de unos segundos)
Porque cada contorno es de 2.5
Ok, el grosor ¿del qué?
Del libro, de cada libro…
Ok, y ¿qué tiene que ver ese valor con el ejercicio anterior ese valor?
Porque la gráfica 2.5 representa…
Porque representa en la gráfica del 2.5
¿Qué representa la gráfica del 2.5?
¡E10! (se refiere a él solicitándole silencio)
¿Qué representa el 2.5 en la gráfica, E5?
El grosor de un libro
Y ¿acá cómo se representó? ¿En la gráfica cómo se representó?
Como 2 de la gráfica
Pero ¿cómo se le llamaba o qué? ¡R1!
¿Cómo se representó aquí? Porque 30 libros…aquí puedo ponerle…
Gráficamente
Gráficamente uno es igual a 20 libros y un centímetro… no… y un
centímetro es igual a 50
Y ¿quién habla de centímetros?
Aquí dice.
Ah, Ok, Ok
Entonces, aquí puedes poner 20 y aquí 50 (ver figura 30)
Con sus manos indica en la gráfica dónde pondría los valores
Figura 30: Imagen de E1 explicando con sus manos la relación entre las magnitudes
[125]
[126]
P
E1
¿Cuál es el grosor del libro?
2.5
144
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[127]
P
[128]
[129]
E12
P
En la proporcionalidad.
¿En la qué proporcionalidad? ¿Específicamente en qué? ¿En dónde? ¿En
qué pregunta?
[130]
[131]
[132]
[133]
[134]
[135]
[136]
[137]
[138]
[139]
[140]
[141]
[142]
[143]
[144]
[145]
[146]
[147]
[148]
E12
P
E12
P
E12
P
E13
P
TODOS
P
E1
E12
P
E5
P
E3
P
TODOS
P
¿En la primera?
¿Qué dice?
¿Cuál es el valor de la ordenada del punto cuya abscisa es 1?
¿Y abajo?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
Ok, y del libro y de la abscisa ¿cuál es la relación?
Pues, lo mismo
De un libro ¿cuánto es el grosor?
2.5
¿Un valor de la ordenada, de la abscisa, cuánto valor de la ordenada?
2.5
Uno de la abscisa es 2.5 de la ordenada
Correcto. ¿Y un libro?
Igual, el grosor
El grosor es 2.5, ok. Y ¿por qué no la A? A ver, vamos analizando la A.
Porque ahí hay un problema
A ver, échate el problema
¡Yo, yo, yo!
“Yo, yo, yo”, ¡no!, “Yo, yo, yo”, ¡no!, es levante la mano, y va a tener la
palabra el que levante la mano.
[149]
Y ¿cómo lo…? ¿Y dónde mencionan el 2.5 en la gráfica? ¡E12! ¿En
dónde?
(se interrumpe la clase ya que uno de los estudiantes se estaba quedando
dormido y el profesor le pide que vaya a pedir algo afuera para que se
despierte)
[150]
[151]
P
E3
[152]
[153]
[154]
[155]
[156]
[157]
[158]
[159]
[160]
TODOS
P
E3
P
E3
P
E3
¿Con quién estaba, con E3?
A ver, ven para acá. ¿Quieres pasar a explicárnoslo porque yo ya no le
entendí?
Yo
Ok, sale ¿quién empieza? E1. Échale, rapidito. Ahí.
(pasan E3 y E5 al pizarrón)
Luis tiene 50 años.
Luis tiene 50 años.
Y Ana 20.
Ana tiene 20.
Ok
Si Diana tiene 1 año ¿cuántos años tendrá Pablo, Luis?
145
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[161]
interrumpen para hablar con el docente, los estudiantes continúan
pensando (ver figura 31)
Figura 31: Imagen los estudiantes discutiendo el problema planteado.
[162]
[163]
[164]
[165]
[166]
[167]
[168]
[169]
[170]
[171]
[172]
[173]
E14
E5
TODOS
E3 y E5
[174]
[175]
[176]
[177]
[178]
[179]
[180]
E3
TODOS
P
E3
TODOS
E3
P
P
TODOS
P
TODOS
P
TODOS
P
¡31! E3, 31. Es 31. 31 porque… (no se logra escuchar su explicación)
Bueno fácil mira… aquí
¡¡¡31!!!
¡Ya sé! Espérate. Ya entendimos es 31 pero estamos haciendo….
(vuelve el profesor a la clase)
Bien. ¿Qué edad tenía el papá?
31
¿Antes de que naciera?
30
Sale. 30. Y ¿si ella cumplió un año?
31
Pregunto yo. Si ella tenía un año y él 31. ¿Sería posible asociar ese
ejercicio, esa… planteamiento con…?
¿Una gráfica? No
No
¿Por qué dijiste que no?
Porque…
No
No porque no tiene nada relación, uno tiene 31 y otro tiene un año.
¿Alguien analizó esa opción? (PONER TEXTO)
146
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Queda sin contestar esta situación y para nuevamente E5 al pizarrón y tiene una conversación, que
se nos hizo imposible escuchar ya que fue muy lejos de donde estaba situada la cámara, sin embargo,
logramos observar que el planteo del estudiante fue el siguiente:
Al cual, el docente se rió y continuó su clase, preguntó si ya habían terminado y pidió que
acomodaran las sillas. Luego de trabajar en silencio de manera individual durante 10 minutos, se retomó
la discusión grupal. Algunos estudiantes se acercan al pizarrón a preguntarle. Ingresa una de las
preceptoras del colegio para darle algunas indicaciones. Se lleva 4 minutos de clase. Se continúa con la
actividad.
[182]
P
¿Cuál de las expresiones es la que corresponde a esta situación, cuál es la
constante de proporcionalidad ahí?, ¿cuál es el valor numérico?
[183]
Como los 9 pesos, como los 2.5, es una constante de proporcionalidad,
como los 13 pesos el kilo de tortilla es una constante de proporcionalidad.
[184]
[185]
¿Aquí cuál es la constante de proporcionalidad, por qué pusiste ésta?
Pero esta distancia ¿a cuántas horas corresponde? ¿Sacaste de la de una
hora?
[186]
[187]
[188]
P
¡Sácala!
(el profesor pasa por los bancos)
Si se fijaron en el ejercicio que puse en el pizarrón, cuando les estaba
ayudando yo con los valores de x y de y, hay uno de ellos que les ayuda a
encontrar la constante de proporcionalidad, no sé si lo vean ahí en el
pizarrón, en el ejercicio anterior.
[189]
[190]
[191]
E6
P
¿Cuál fue? ¿El valor de x 20? ¿El valor de x 40? ¿10? ¿5? ¿Cuál?
20
¿20? Sí, te lo puede dar, ¿pero cuál fue el que te lo dio directamente?
¿Cuándo le dimos un valor a x de cuánto?
[192]
E6
y igual 50
147
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[193]
P
El 50 es 20. La constante de proporcionalidad que encontraste en la
anterior, ¿cuál te la dio de lo que está en el pizarrón?
[194]
[195]
[196]
[197]
E5
P
E5
P
Profe
¿Cuál fue? ¿Cuál fue? ¿Cuál fue? La constante
Profesor, profe, ¡profesor!
Andabas en la luna, te pasó de noche… y fuiste de los que viniste aquí eh,
fuiste de los que viniste aquí.
El profesor pasa por los bancos y contesta preguntas.
Presenta la Actividad 2, que consta de dos nuevas consignas para trabajar.
Figura 31: Actividad 2.
148
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[199]
[200]
[201]
[202]
[203]
[204]
[205]
[206]
[207]
[208]
[209]
[210]
[211]
[212]
[213]
[214]
[215]
[216]
[217]
[218]
[219]
[220]
[221]
[222]
[223]
[224]
[225]
[226]
[227]
[228]
[229]
[230]
[231]
[232]
[233]
[234]
[235]
[236]
P
E17
P
E17
P
E17
P
E17
P
E17
P
E1
P
E18
P
E17
P
E1
P
E1
P
E1
P
E19
P
TODOS
P
E5
P
E5
Nos explicas primeramente de dónde sale el 120.
El yoyo no va a pasar, bajen la mano. Ya está la persona aquí enfrente. Ya
está la persona enfrente
¿De dónde sale el 120?
Bueno aquí son tres y… aquí nomás lo dividí en 2
Lo dividiste en 2 ¿por qué?
Porque aquí es 1.5.
Y el 1.5 qué tiene que ver con el 3.
Porque el 1.5 es lo doble del 3.
El 1.5 es lo doble del 3, ¿están de acuerdo?
Sí
Voy a repetirlo: el 1.5 es el doble del 3.
No, es la mitad. 2.5 es igual a 3
2.5 es igual a 3 (risas)
Es la mitad de tres
¡Ayúdale, tú eres su equipo! Tú eres su equipo, ayúdale. (se dirige a E18)
El 1.5 es la mitad de 3
El 1.5 es la mitad de 3, ¿correcto?
No me digan que el 1.5 es el doble del 3, ¿de acuerdo? Ok, sale y vale, un
error a cualquiera.
De acuerdo, de ahí salió el 120 y ¿el 400?
El 400, bueno, sale, después… 240 lo dividí entre 3 y me salió 80
Ok, vamos haciendo la división aquí, vamos haciendo la división.
¿Qué representa el 80?
¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién?
El valor… representa… mmm
No sabe ¿verdad?
Representa la constante de proporcionalidad
¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad?
Porque 240 entre 3 es 80
Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19?
De una hora
El valor de una hora. Ponle, una hora por favor
Sale, una hora son 80, ¿qué son, kilómetros?
Sí
Sale, kilómetros
Pregunta para el grupo ¿díganme, por favor, la distancia en dos horas? ¡E5!
Acá estoy.
Échale. Yo estoy volteando para acá.
d es igual 80
149
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[237]
[238]
[239]
[240]
[241]
[242]
P
E5
P
¿Por?
3
Que es el tiempo
Correcto. Ya tienen la respuesta ahí.
Síganle. Y ¿luego? ¿De dónde salió el 400?
¡E20! Si ya lo tienen ¿ustedes ya lo tiene verdad? Esa tabla ya le tiene
llena, ¿verdad? ¿Con los mismos valores? Sale. ¿El 400 cómo salió, el 400
que tienes ahí?
[243]
[244]
[245]
[246]
[247]
[248]
[249]
[250]
E19
P
E17
P
E17
P
E17
P
Se puede multiplicar 80 por 5
¿Se puede multiplicar qué?
5 por 80
Correcto, 5 por 80 y te da 400. Y ¿cómo salió el 9 de arriba?
Bueno, yo… de los 10 primeros de acá abajo…
Y ¿cómo te dio el 9?
Porque el 10 son 800… y el 9 le quito una hora y son 720…
Le quitaste lo de una hora. Correcto. Gracias.
Primer momento, de la línea [100] a la [230]:
El objetivo de este episodio es argumentar por qué la situación “En una librería hay una
pila de 20 libros iguales que alcanzan una altura de 50 cm. ¿De qué grosor es cada libro?”
puede asociarse con la actividad de la travesía de la moto. En las líneas [100] a la [143] se
observa cómo es que el docente encamina las reflexiones de los estudiantes hacia la
obtención del valor unitario para argumentar que esas situaciones pueden asociarse,
potenciando, como ya lo habíamos observado anteriormente, la noción de constante de
proporcionalidad como el procedimiento para hallarla: la reducción a la unidad.
Posteriormente, en la línea [188] Santiago les comenta a los estudiantes que en el
pizarrón encontrarán un valor que “les ayudará a encontrar
la constante de
proporcionalidad”. Uno de los estudiantes, propone que 20 es un valor que puede usarse
para encontrarla (línea [190]), lo cual, dejaría notar que el docente interpreta como posible
hallar la constante de proporcionalidad como la razón entre esas dos magnitudes. Sin
embargo, este pensamiento se distorsiona en las líneas [220] a la [229], en donde es evidente
que el docente no logra reconocer la argumentación brindada por E1.
150
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Creemos necesario retomar la transcripción:
[220]
[221]
[222]
[223]
[224]
[225]
[226]
[227]
[228]
[229]
P
P
E1
P
E1
P
E1
P
E19
P
¿Qué representa el 80?
¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién?
El valor… representa… mmm
No sabe ¿verdad?
Representa la constante de proporcionalidad
¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad?
Porque 240 entre 3 es 80
Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19?
De una hora
El valor de una hora. Ponle, una hora por favor
En la línea [227], el adverbio “pero”, el cual se utiliza como enlace que une dos oraciones
cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y enfatizando nuevamente en
la pregunta de “¿qué representa el 80?”, da evidencia de que Santiago no reconoce la
relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de constante de
proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que confirma, que
en todos los hechos anteriores, era correcta la interpretación de que el docente reconoce a la
constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el procedimiento de reducción
a la unidad.
Segundo momento, de la línea [241] a la [250]:
La interacción que se observa en estas líneas responden a dos tipos de modelos: el
modelo multiplicativo y el modelo aditivo. Respecto al primero, el estudiante procede a
multiplicar una de las magnitudes por la constante de proporcionalidad hallada; mientras
que en el segundo, realiza una sustracción del valor de una constante de proporcionalidad,
para hallar el valor faltante.
Para finalizar, con la constante ya encontrada, los estudiantes recurren a un
pensamiento multiplicativo para argumentar sus respuestas.
Hasta aquí, quienes realizamos esta investigación, creemos que hemos, en primer lugar,
seleccionado la información precisa para poder interpretar la relación que posee el docente
con el saber, y en segundo lugar, hemos alcanzado el estado de “saturación informativa” ya
que se ha llegado a un hecho que comprueba las hipótesis de la observación que reiteradas
veces se fueron infiriendo.
151
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
En este momento, durante la observación, decidimos tomar la postura de intervenir e
interactuar, matemáticamente, con el docente. Esta elección radicó, sobre todo, en concebir
que el empoderamiento es un proceso que vive el individuo en colectivo, para el cual, es
indispensable reflexionar y problematizar el saber, con el fin de se apropie del saber que
enseña, que sea haga dueño de él, es decir, que pueda estar consciente de las distintas
argumentaciones que puedan emerger de un mismo saber matemático, como así también,
que pueda interactuar y potenciar el pensamiento matemático en los estudiantes con base
en la construcción social del conocimiento.
• Episodio 6, problematización del saber con Santiago, 8 de junio de 2011.
La interacción que se mantuvo con el docente fue el patio del colegio, en una hora libre
que había entre las clases. Este ambiente permitía que Santiago sintiera que era una
plática sobre el saber que estaba abordando en las clases, más que una clase para él. En
ningún momento se le insinuó ninguna intención de que esa fuera “la manera” en que se
tenían que abordar las clases subsiguientes, sino que era una reflexión amena que se estaba
teniendo con él. De trasfondo, la docente era consciente que estaría problematizando el
saber con el docente, con base en la construcción social del conocimiento, enfatizando en que
era interesante reflexionar sobre el saber que estaba abordando en clase y potenciar el
reconocimiento de las distintas argumentaciones que podían surgir de la interacción.
Respecto a esto último, en varias oportunidades Santiago consultaba si en algún momento
íbamos a hacer comentarios respecto a su labor como docente, a lo cual se contestaba que no
estábamos viendo su labor, sino que estábamos observando a través de él, un fenómeno
social, sin ampliar en el tema, con el fin de que ninguna de nuestras explicaciones pudiera
incidir en autenticidad de la observación.
Lo primero que se le preguntó al docente fue “¿qué significaba proporcionalidad
directa?” a lo cual el docente contestó: “cuando una aumenta y la otra aumenta o cuando
una disminuye y la otra disminuye”, lo que corresponde con el Episodio 1, dicho por él en
clase:
P: A medida que aumentaba la cantidad de kilos, aumentaba el precio… se
mantiene constante los 13 pesos…
152
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Ante esta respuesta, se le graficó la función 𝑦 = −𝑥 y se le preguntó si correspondía a
una función de proporcionalidad directa. El docente contestó que no, ya que una aumentaba
y la otra disminuía.
Aquí es donde se comienza a problematizar el saber junto a Santiago, recurriendo a la
epistemología del conocimiento proporcional (dimensión epistemológica), al tipo de
argumentaciones que pueden emerger en cuanto al nivel cognitivo (dimensión cognitiva), las
dificultades en su enseñanza – aprendizaje (dimensión didáctica) y ciertos ejemplos de la
vida cotidiana en los cuales se encuentra la proporcionalidad (dimensión social).
El esquema que se trabajó con Santiago, en una hoja del cuaderno de notas, sobre
proporcionalidad directa fue el siguiente:
Figura 31: Hoja de reflexión con el docente (Parte 1 de 2)
Como se puede observar, se analizaron los siguientes tópicos:
•
Reflexión 1: El modelo cualitativo, en cuanto expresar a la proporcionalidad como
“cuando aumenta una, aumenta la otra” debe superarse ya que limita a la
proporcionalidad a aquellas constantes de proporcionalidad que son positivas.
Reconociendo que este tipo de argumentaciones provienen de algo muy arraigado que
153
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
es la vida de los individuos, ya que en la compra-venta, si no existen los descuentos,
son continuamente trabajadas.
•
Reflexión 2: La relación entre las magnitudes y la constante de proporcionalidad
como la razón que guardan las variables. Esta reflexión se abordó para buscar
nuevas argumentaciones que hicieran emerger el significado de constante en la
noción de constante de proporcionalidad y mostrar cómo es que se evidenciaba en la
•
función 𝑦 = −𝑥 que era una función de proporcionalidad directa.
Reflexión 3: Dado que el docente estaba trabajando también las expresiones
algebraicas que refieren a la proporcionalidad directa, se reflexionó sobre ella, con
base en analizar las distintas representaciones de la proporcionalidad, es decir, que
pudiera observar cómo de cada una de las representaciones emergía la noción de
proporcionalidad.
•
Reflexión 4: Retomando lo que dijo el estudiante E3 en la línea [20] del Episodio 2, se
muestra la importancia de poder atender a las argumentaciones que devienen de los
estudiantes e interpretar lo que E3 podría haber querido decir.
•
Reflexión 5 y 6: Se evidencian los modelos cognitivos de pensamientos que subyacen
en la noción de la proporcionalidad Y se reflexiona sobre las limitantes del primer
modelo, lo cual, evidencia un salto en el desarrollo del pensamiento. Con esto se
pretendía mostrar la necesidad de profundizar sobre el saber matemático con el fin
de atender y generar espacios en donde surgieran
Respecto a la proporcionalidad inversa, si bien no se problematizó con la misma
intensidad que se hizo con la proporcionalidad directa, se reflexionó lo siguiente:
Figura 32: Hoja de reflexión con el docente (Parte 2 de 2)
154
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
En particular, se enfatizó en la interpretación de la gráfica planteada por el docente en
clase, entendiendo cuál era la información que nos brindaba cada uno de los puntos de la
gráfica, por ejemplo: que si se tienen 20 obreros, se necesitará una semana para terminar un
trabajo, pero si se tiene la mitad de los obreros, se necesitará el doble de tiempo. Reiteramos
que de la proporcionalidad inversa no se hizo una problematización del saber en particular,
sino que se correlacionó y, sobre todo, diferenció de la proporcionalidad directa.
Como podrá observarse, durante esta reflexión con el docente, sólo se problematizó el
saber. Cuando decimos sólo, nos referimos a que en ningún momento se planteó cómo podría
llevarse esto a la clase, ni mucho menos, asegurar que esto es lo que se debería hacer. La
intención fue problematizar el saber con el docente para su propio conocimiento.
Inmediatamente después de tener esta plática con Santiago, ingresamos a la clase con
uno de los cursos en donde se abordó la Actividad 2, ya citada en los Episodios anteriores.
•
Episodio 7, primer año, curso A, 8 de junio de 2011.
Inicia la clase con mucho murmullo y se solicita que alguno de los estudiantes pase al
pizarrón para resolver la consigna.
La estudiante que pasa al pizarrón copia la tabla y el profesor le solicita que coloque los
resultados para después discutir cómo se resolvieron.
[1]
E1
Un automóvil viaja a una velocidad constante, algunas distancias y tiempos
de recorrido se muestran en la tabla. Completa los datos que hacen falta en
ella y contesta las preguntas.
[2]
P
Estos son los datos que tú y tu equipo marcaron el día de ayer (se refiere a
los datos que introdujo en la tabla)
[3]
[4]
[5]
E1
P
P
Yo lo hice individual
Individualmente, sale.
Ahora, nos podrías dar una explicación de cómo obtuviste los datos, los
valores que hacían falta.
[6]
[7]
[8]
E1
P
E1
Pues yo dividí entre 3…. 80 x 1.5 (anota en el pizarrón las cuentas)
¿Por qué dividiste 240 entre 3?
Porque es el dato que tengo de… en 3 horas recorrió 240 y hizo en tiempo
3, en 3 horas
[9]
[10]
P
P
Ok
¿Y el 80? ¿Qué valor es?
155
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[11]
[12]
[13]
E1
P
E1
Es el valor que le toca a una hora.
¿Puedes agregarla por allá?
Y después de hacer esto, tengo que multiplicarlo por 5. (ver figura 33)
Figura 33: Cuentas realizadas por E1.
[14]
[15]
E1
E1
Y me dio este resultado (señala 400)
Y luego, pues, fui multiplicando hasta ver qué número me dio, me dio éste
(señala el 720)
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
P
E1
P
E1
P
¿Y cuál fue?
9
¿Habría otra manera de encontrar otro valor? ¿El 9?
Pues eh… no sé
¿Alguien cree que podría haber otra forma en lugar de ir multiplicando el
valor que dé igual?
[21]
[22]
[23]
[24]
[25]
[26]
[27]
[28]
[29]
E2
P
E2
P
Yo
¿Y te dio los mismos resultados?
Sí
A ver, pásale
(pasa otra estudiante al pizarrón)
Yo tengo diferente este número (señala el valor 400)
¿Por qué? A ver, dime por qué.
A ver vamos a ver el primero, el 120, ¿de dónde sale el 120?
Porque el 720 son por…
E2
P
P
E2
156
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Figura 34: Tabla de valores realizada por E2.
[30]
[31]
[32]
E2
[33]
P
[34]
[35]
[36]
[37]
[38]
[39]
[40]
[41]
[42]
P
Lo dividiste por…
(la estudiante se queda pensando)
Y me da… sí es correcto… este me dio 3 porque es 3 veces mayor que 240,
entonces se va… se va… de 120, 240, 240 y 240 me da 480 y, 480 y 480
me da 720.
¿La tabla, la tabla que datos tenía primero? 3, tiene el 1.5, tiene el 3, tiene
el 5… tiene 240 y ¿qué más?
TODOS 720
P
720
¿Con cuál iniciaste? ¿Cuál es el primer valor que encontraste?
E2
El de 120
P
El de 120, ¿cómo le sacaste el de 120?
E2
Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240
P
¿Cuál es tres veces más que el 240?
E2
720
P
A ver… en 240, perdón, en 720 es tres veces más que en 240. ¿Estamos
bien?
[43]
[44]
[45]
E2
P
P
Sí
¿Y eso qué te sirvió para poner? ¿Cuál valor sacaste primero?
Tú tienes aquí una… tú estás considerando dos valores el 720 y el 240, ¿sí?
Y ¿cuál valor obtuviste con ese?
[46]
E2
El 480… no, no, porque yo aquí probé que es el triple, entonces hice aquí
como… aquí está el doble de este… aquí está el triple.
[47]
[48]
[49]
[50]
[51]
[52]
P
E2
P
Sí, pero ese no lo tenías.
No.
Entonces, vamos borrando el 120.
Vamos borrando el 480, ¿ok? Ahora sí.
El 240 déjalo ahí…
Ahora sí, en cada una de las divisiones que hiciste y te diste cuenta que al
dividirlo por dos, el 720 es el triple de 240.
157
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[53]
[54]
E2
[55]
[56]
[57]
[58]
[59]
[60]
[61]
P
E2
P
[62]
[63]
[64]
[65]
E2
P
E2
P
E2 y
TODOS
Te escuchamos…
Has de cuenta que da 240 y 720, entonces dividí 720 entre 240 y me dio 3
que es el triple. Entonces aquí tengo el doble de este.
A ver, ¿por qué sería el doble de ese?
Porque si lo sumo a 240 me da 480.
Ok. Pero el 240 ¿a qué tiempo corresponde?
Ahí está en la tabla.
¿A cuántas horas el 240 corresponde?
A3
A 3 horas… y si tú me estás diciendo que el valor de 480 efectivamente es
el doble que el de 240, la pregunta que te haría yo es ¿cuántas horas serían
en 480 entre la distancia, en el tiempo transcurrido?
5
¿Por qué? Si 480 es el doble de 240 y 240 transcurre en 3 horas…?
¿Sería correcto el 5?
No.
[66]
[67]
[68]
[69]
[70]
[71]
P
E2
P
E2
P
¿Por qué?
Porque 5 no es el doble de 3.
¿Por qué?
Porque 5 no es el doble de 3.
Porque 5 no es el doble de 3.
¿Tamos bien? Ta bien, ta bien… no hay broncas. Esta es la manera de
solucionar esto…
[72]
[73]
[74]
[75]
P
E1
P
E1
E1, ¿le estabas ayudando en algo ahí?
¿Yo?
Sí
Yo le estaba entendiendo a ella de que la división… (no se alcanza a
escuchar lo que dice)
[76]
[77]
Haga de cuenta que ella lo dividió, lo dividió entre 3. O sea se refiere a las
3 horas que recorrió. Y llegamos a todos los resultados dividiendo…
P
[78]
[79]
[80]
Ella dijo que tenía un valor distinto al tuyo… y ya vimos cómo lo obtuvo y
tenía una diferencia en contigo en la tercer columna de 80, ¿no?
Si bien dicho lo que hizo acá bajo estaba… este... matemáticamente bien…
las operaciones etc. A la hora de buscarle el tiempo, no correspondía a las 5
horas.
E1
P
Es que lo que hizo E2 es como una comprobación a los resultados.
¡Ah! Hizo una comprobación a los resultados pero no podemos comprobar,
no podemos comprobar algo, sin antes saber cómo se obtiene el número
que va a aparecer en la tabla.
158
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[81]
Es como si ustedes me dijeran en una multiplicación ahí, de varias
multiplicaciones y todos quisieran hacer una comprobación… dados los
resultados de una multiplicación sí, y luego de ¿dónde salieron esas? Esos
resultados: el 6, el 20, el 30, el 40, el 50...
[82]
Que son los elementos que pudieran estar en una tabla, pero luego ¿de
dónde salieron?
[83]
[84]
E1
P
¿De una multiplicación?
Sí, pero hay que ver qué valores son los que estábamos tomando en cuenta
para esos resultados. Porque pueden ser varias opciones.
[85]
[86]
E1
P
Por eso estábamos pensando en la multiplicación…
Sí, lo que te quiero decir es que este valor no estaba, este valor o estaba…
ni este (el profesor se acerca al pizarrón y borra de la tabla del pizarrón
aquellos valores que no estaban en la tabla de la consigna, las estudiantes
intervienen para indicarle cuáles debe borrar)
[87]
Entonces, tu compañera viene y pone este valor aquí (se refiere a la tabla
en general) y nos dice cómo lo obtiene, ¿sí?, pero no puede hacer la
comprobación de todo, porque estos valores no los tiene (señala los valores
que faltan en la tabla) este que está aquí no lo tiene, este no lo tiene… y
tampoco este de acá...
[88]
[89]
[90]
Puesto que es lo que están pidiendo en el ejercicio que hagan.
¿Sí, E1? O ¿no? (E1 se sonríe y dice que sí)
Bueno entonces… los valores… ahora sí yo quisiera que me explicaras por
acá tú E1.
[91]
¿Cómo pudiéramos comprobar que esos… que ahí hay una… cómo
podemos saber si existe o no proporcionalidad?
[92]
(el profe invita a sentarse a E2)
Primer momento, de la línea [39] a la [70]:
El docente reconoce en E2 la argumentación que emerge de un pensamiento basado en
la relación entre las magnitudes (modelo inter) evidenciado en particular cuando E2 dice en
la línea [39] “Pues con esto, porque es tres veces más grande que 240.”, o bien en la línea
[54], “Haz de cuenta que da 240 y 720, entonces dividí 720 entre 240 y me dio 3 que es el
triple. Entonces aquí tengo el doble de este.”. Si bien E2 había cometido un error de cálculo
numérico al encontrar el valor faltante correspondiente a las 5 horas, Santiago logró
acompañar, mediante preguntas, a que ella pudiera ver la contradicción que se generaba
entre su pensamiento y el resultado obtenido.
Aquí observamos dos cuestiones interesantes. Por un lado, el docente reconoce el tipo de
argumentaciones que emergen del pensamiento de la estudiante (como lo venía haciendo
159
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
hasta ahora con este tipo de argumentaciones) y, por el otro, mediante sus preguntas guía a
la estudiante a que ella misma reconozca su contradicción y la corrija.
Segundo momento, de la línea [71] a la [90]:
Santiago enfatiza en la necesidad de poder explicar el modo en que se llegó a los
resultados, es decir, que los estudiantes puedan explicar de manera clara cuál fue el
razonamiento que hicieron hasta llegar a éstos, lo cual nos brinda un indicio de su constante
interés en conocer el cómo es su razonamiento, más que cuál es el resultado final.
• Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011.
Pues yo creo que sí hay proporcionalidad…
[93]
E1
¿Habrá? ¿Cómo podríamos comprobar si es que la hay?
[94]
P
Porque tiene una… tabla… (se la nota confundida a E1)
[95]
E1
Sí a ver, una tabla…
[96]
P
Estamos verificando…
[97]
E1
Sí
[98]
P
Ya ves que empecé a dividir primero (señala en el pizarrón la primera
[99]
E1
división que fue 240/80) y para sacar esto (señala el lugar de la distancia
desconocida para 1.5 horas) tuve que multiplicar por 1.5, tuve que
multiplicar por… 5, y también tuve que multiplicar por 6, por 7, por 8 y por
9 para llegar a ese resultado...
[100]
E1
Como Ud. nos dijo la… la… ayer… que si era proporcional hay que
recordar que son… 3, 6, 9, 12… es como la tabla del 3
[101]
[102]
[103]
[104]
[105]
[106]
[107]
[108]
[109]
[110]
P
E1
P
P
P
E1
P
E1
P
P
Sí, ¿y acá de este lado qué habría?
¿Acá?
Sí ¿Qué valores habría?
Obviamente está recurriendo su compañera a otro ejemplo…
El 3 ¿a qué valor correspondería?
A1
A 1. ¿El siguiente?
A 2, a 3 y a 4.
Ehhh…. (el docente hace un silencio)
¿Cómo podemos comprobar ahí, lo que me acabas de decir tú: que hay una
proporcionalidad)
[111]
E1
Es que, haga de cuenta que es como una tabla, la tabla del tres, pero en vez
de ser la tabla del 3 es la tabla del 80 y se va multiplicando.
[112]
P
Y para comprobar comprobar que hay proporcionalidad ahí… ¿cómo le
podríamos hacer? ¿Cómo podríamos verificar?
[113]
[114]
E1
P
Con una tabla… con una gráfica…
A ver, permíteme (el docente se acerca al pizarrón y dibuja la tabla,
encerrando a los números que E1 había colocado allí)
160
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
[115]
P
[116]
[117]
E1
P
[118]
[119]
[120]
[121]
[122]
[123]
[124]
[125]
[126]
[127]
[128]
[129]
[130]
[131]
[132]
[133]
[134]
[135]
[136]
[137]
[138]
[139]
[140]
¿Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una
tabla, la tabla ¿Del qué?
Del tres
(el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del
tres… Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí
(6,2), ¿Cómo podemos decir que son… que hay una proporcionalidad,
dame una justificación, qué otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa
proporcionalidad?
Dividiendo
E1
Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir?
P
Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9
E1
entre 3 me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que
dar 3.
Y eso ¿qué me indicará?
P
Que es la tabla del 3
E1
Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación
P
que estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala
los pares ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las
divisiones que daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y
sencilla razón…
TODOS Son proporcionales
Son ¿qué?
P
TODOS Proporcionales
Proporcionales… Ok. Gracias E1. (se sienta E1)
P
Si regresamos al ejercicio original de la consigna, tomando en cuenta esto
P
último que hizo E1, esto último (señala la tabla en donde buscó la
constante de proporcionalidad) acá los valores que habría que hacer esto
¿Cuáles serían?
Dividir
E1
¿Dividir?
P
A ver, por ahí atrás… ¿qué valores tomaríamos en cuenta para hacer algo…
P
y encontrar la proporcionalidad allá? ¿Qué valores tomamos en cuenta allá,
en la tabla aquella? ¿Cuáles?
P
E3
P
E4
P
E3
¿Dividir?
¿Cuáles? Ahí los tienen
La distancia entre tiempo
Entonces la distancia entre tiempo, y ¿cuáles son los valores?
(todos juntos empiezan a dictarle al profesor cuáles eran los valores que se
deberían tomar en cuenta, no se puede distinguir cuáles E intervenían)
120 entre 1.5… 240 entre 3… 400 entre 5 y…
P
¿Y cuánto daría?
P
E1 y E5 80
161
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
En las líneas de la [93] a la [126], el docente mantiene un interacción dialéctica
(concibiendo a este tipo de interacción como aquella que parte de la reflexión en pro de una
acción que a su vez modifica la reflexión) en búsqueda de hacer emerger las
argumentaciones de “¿por qué es proporcional?”, retando a los estudiantes, mediante el
retroalimentaciones sucesivas de las argumentaciones de cada uno, significado de lo
proporcional (Cantoral, et al., 2006), en donde, en este caso, sí se contempla la relación entre
las magnitudes heterogéneas, evidenciando que la razón entre ellas se mantiene constante.
Por tanto, la constante de proporcionalidad ya no se somete a la reducción a la unidad, sino
que comienza a analizarse como una relación entre las magnitudes.
Síntesis de desempeño matemático
Tanto la evolución en los resultados obtenidos en el examen de ingreso y egreso, como la
evolución en cuanto a las situaciones que ha podido generar el docente con el fin de hacer
emerger distintos pensamientos que subyacen en la noción de proporcionalidad, a partir de
una interacción dialéctica, tanto con los estudiantes, como con la investigadora; ambos
hechos, son una característica fundamental del fenómeno de empoderamiento docente. Si
bien es importante, y hasta imprescindible, que el docente adquiera confianza y pueda tener
la iniciativa de modificar la didáctica del aula, no basta para poder hablar de
empoderamiento. Es decir, el mejoramiento en el desempeño matemático del docente es
indispensable para poder generar modificaciones en su desempeño profesional.
La problematización del saber es un eslabón fundamental para poder atender la
diversidad de pensamientos matemáticos que surgieran por parte de los estudiantes
durante el desarrollo de la situación puesta en escena y generar espacios de interacción
“dialéctica” entre los estudiantes y el docente, como se dijo anteriormente, que permitan
hacer emerger los significados del saber matemático abordado.
En síntesis, se reconoce la importancia del mejoramiento en el desempeño matemático,
la importancia de la problematización del saber como precursora de permitir al docente
desarrollar procesos de interacción dialéctica con los estudiantes y la importancia de la
adquisición de confianza e iniciativa para modificar su didáctica de aula; las cuales, en
conjunto, nos dan evidencia del proceso de empoderamiento por parte del docente.
162
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
V.4. DESEMPEÑO PROFESIONAL
Una vez finalizada la observación, se le realizó a Santiago una entrevista semi –
estructurada, en un ambiente tranquilo, que generara un espacio de introspección, ya que
sería enfocada en todo el proceso vivido desde su comienzo como docente, pasando por los
cursos de profesionalización a los que había asistido, hasta llegar al día de la entrevista, que
fue el último día de observación, el 8 de junio de 2011.
• Episodio 1: las clases en sus comienzos
En la entrevista, Santiago recuerda sus clases como estudiante. Las reconstruye como
clases de corte tradicionalistas, donde el docente era el protagonista y manejaba la situación
de aula, mientras que los estudiantes reducían sus interacciones a escribir, tomar nota y
hacer los ejercicios o trabajos que eran encargados por el docente. Automáticamente, se
siente identificado en ese tipo de clases, pero ahora, como docente. Reconoce que este
modelo, era el que él creía funcionaba para dar clases y así trabajó en sus inicios y afirma
que desde el punto de vista de lo que se pretendía que aprendiera en ese entonces, los
estudiantes
“sí aprendían matemáticas, tal vez no como miramos desde el punto de vista de ahora, le
interesaba que supiera el joven sumar, restar, multiplicar, dividir, era lo básico, y sigue
siendo lo básico también, pero lo aplicaba uno como de manera mecánica, de manera
esencial y primordial, a lo mejor con técnicas rudimentarias”
Esta reflexión de Santiago es sumamente interesante ya que reflexiona sobre lo que se
pretende que un estudiante aprenda, asegurando que no es el aprendizaje de un mecanismo
a lo que se aspira, sino que reconoce que en su momento lo fue y la didáctica que se utilizaba
resultaba productiva.
También, recuerda sus temores en aquella época, en la que tenía que enfrentarse por
primera vez a los estudiantes como profesor, y menciona a sus hermanos, también docentes,
como primeros referentes para sus prácticas. Ellos le dieron más o menos una guía de qué
hacer, en qué consistía la docencia y asegura que “uno no termina de apreciar eso hasta que
no está en la realidad”. Admite que en las primeras clases no iba “súper preparado” y que
vivenció el sentir que necesitaba superarse a él mismo, que le faltaban herramientas para
manejar las situaciones de clase con las que se encontraba.
163
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
• Episodio 2: los lazos entre sus profesiones
Entusiasta, como hemos visto durante toda la experiencia con él, es lógico que haya
podido relacionar sus dos labores. Asegura que las profesiones de Ingeniero Civil y de
Profesor de Matemáticas pueden relacionarse, y así lo hace, en tanto asegura
“definitivamente que hay bastante correlación entre eso que hay en la Ingeniería Civil en
cuanto a las matemáticas y obviamente en la materia en sí que se imparte en la escuela. Sí,
hay bastante de dónde relacionarlas”. Sobre esto, cuenta cómo ve él la importancia de llevar
este tipo de relaciones al aula:
Hemos, por ejemplo, en el cálculo de superficies, me gusta mucho utilizar por ejemplo
el de pisos. Estamos viendo superficies, me gusta mucho ver las decoraciones de los
pisos con loseta, la zona de la loseta, la superficie de la loseta y sí llevamos esos
ejemplos al aula y los llevamos porque son cosas cotidianas que el día de mañana o
alguno de los jóvenes va a poder decir “bueno, si yo tengo en mi casa un trabajador,
quiero que me ponga un piso de loseta, yo quiero saber de cuántos metros cuadrados me
va a llevar y no nada más que me pida tal o cual cantidad y luego me ande sobrando y
luego ando gastando de más, etc. Es importante que relacionen el tema de superficies
porque en la vida cotidiana lo van a llevar a cabo.
Él se concibe como un facilitador del aprendizaje, quien tiene responsabilidades dentro
del aula y debe favorecer espacios de aprendizaje, sin embargo, reconoce algunas debilidades
en esa interacción con los estudiantes:
Debilidades… Primero, sentir inseguridad tal vez por no conocer a profundidad un
tema, eh… Una debilidad es que somos muy aprensivos con las situaciones, también.
Que sentimos, a veces, que no controlamos cuando no dominamos algo frente a los
muchachos. Y,
pienso yo que pudieran ser esas dos principales debilidades que
tenemos.
Como contraposición, se caracteriza como un docente que brinda oportunidades a los
jóvenes, que deja que se expresen, que se manifiesten, que desarrollen, que les brinda
libertad y deja que ellos mismos tomen la iniciativa. Esta caracterización hecha por él
mismo, nosotros, al observar sus clases, podemos afirmar que son ciertas.
164
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
• Episodio 3: su experiencia en la Especialización
La experiencia de Santiago, vivida en la ciudad de Querétaro, según nos cuenta, lo ha
marcado. Dejamos en palabras de él, la descripción:
Créeme que en el primer momento te das cuenta de que a veces hacemos juicios
adelantados y cuando sales de ahí es otro mundo. Ves que las cosas sí se pueden
hacer de manera diferente, te das cuenta del compromiso que tienes.
Y la estancia en Cinvestav, en la Especialización es motivante, es agradable, porque
la actividad que uno estaba haciendo a lo mejor sin nombre, lo que estamos
haciendo en Tijuana sin nombre, ahora ya podemos poner nombre y apellido, yo
creo.
Quiero decir con esto que muchas de las cosas que he hecho o he intentado hacer, me di
cuenta que no estaban mal en muchos sentidos. Esa libertad de darle a los jóvenes de
expresarse, la tuvimos en la especialización, nos llevó a comprender la cuestión
matemática más cosas, verla de otra manera.
Sí teníamos una imagen de que era aburrido, por el desconocimiento del tema de la
matemática, ahora vemos que no: ningún tema de matemáticas es aburrido si
sabemos abordarlo.
Y en la especialización nos dimos cuenta que por ejemplo, las gráficas no eran
aburridas no se trataba de graficar, sino de verle sentido a lo que tenía eso y así
como ese ejemplo me agradó muchísimo lo de la anticipación de resultados. Casi
sin mover el lápiz, el decir qué va a pasar en esta función o qué va a pasar en esta
gráfica, y eso me quedó grabado.
Y recuerdo mucho la clase en la que Daniela, empezaste a preguntar y yo veía que mis
compañeros y yo mismo empezamos a hacer cálculos operaciones, tablitas y cuando
vuelves a preguntar por segunda, tercera ocasión: y ¿esta función, cuál sería la
característica o el bosquejo? A la tercera, suelto el lápiz ya no hice nada, me quedé
viendo y analizando lo que estaba en la pizarra y dije “si Daniela quiere que no
tabulemos, que no calculemos nada, nada más empecemos a decir de qué grado es, se
es…”. Ya analizando desde el punto de vista que ustedes querían, pues dije, “esto
ya no necesita de escribir tanto sino vamos a ponernos a razonar eso que estaba en
frente”.
Y esa forma… yo llegué presumiendo en Tijuana allá nos enseñaron a anticipar
resultados sin hacer nada ¿cómo? Y sí, eso lo estoy repasando aquí en la casa para
poderlo dominar y transmitirlo a un compañero maestro más a que se anime a los cursos
de reproducibilidad.
165
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Pero sí, esa estancia en Cinvestav marca un paréntesis para reevaluar, reiniciar
hacer algunos cambios, y yo creo que cambios profundos para poder plantarme en
el aula o modificar para que llevemos más, cómo te puedo decir, más conocimiento
de lo que estás haciendo y con la confianza de que tus muchachos van a entender
porque hay formas divertidas, más agradables, diferentes e interesantes como esa
experiencia del Cinvestav que podemos platicar y que de hecho ya lo hacemos con
los jóvenes, poco a poco, no te puedo presumir que al 100 por ciento, pero ahí
vamos, el inicio ya está y eso que vienes hacer de la observación ya dimos un pasito
más y yo creo que sí fue bastante más adelante.
Podemos inferir de las palabras de Santiago diversas circunstancias: en primer lugar,
Santiago reconoce que hay un antes y un después de la especialización “cuando sales de ahí
es otro mundo. Ves que las cosas sí se pueden hacer de manera diferente, te das cuenta del
compromiso que tienes.”. Asimismo, él reconoce que hay una disciplina que se ocupa de su
práctica docente, que existe una comunidad educativa que acompaña su quehacer cotidiano
e investiga sobre y para él: “la actividad que uno estaba haciendo a lo mejor sin nombre, lo
que estamos haciendo en Tijuana sin nombre, ahora ya podemos poner nombre y apellido, yo
creo.”
Santiago también cuenta aquellas cosas que ha aprendido en la Especialización, cuando
habla de la anticipación de las gráficas. Aquí es importante aclarar, que a la situación que el
docente se refiere, es a la “situación de bienvenida” con la cual se comenzó la tercera
generación de la Especialización. Ésta, tenía como objetivo abordar con los docentes un tema
cuya reflexión fuera la esencia más que la manipulación numérica, provocando en ellos que
utilicen argumentos conceptuales para poder dar respuesta a lo que estaban asegurando.
Santiago, en este relato deja ver que analizaba toda la riqueza que la situación de
aprendizaje estaba brindando: el tipo de interacciones que se estaban generando, la
matemática que estaba de trasfondo, los objetivos que se perseguían con la situación, entre
otras.
Termina su reflexión sobre la Especialización diciendo que este es el comienzo, que este
es un paso… y nosotros agregamos: de un proceso de empoderamiento y cambio.
• Episodio 4: su relación con el saber antes de la problematización del mismo
Aunado a la información que habíamos obtenido por medio de las interacciones con el
docente y las observaciones de las clases hemos inferido ciertas relaciones que tenía el
docente con el saber, le preguntamos a él cómo reconocía, previo a la problematización del
166
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
saber, que un estudiante “había aprendido” proporcionalidad. Esto, con el fin de contrastar
lo que él hace (información brindada por las videograbaciones) y lo que dice que hace.
Pues, el hecho de que nos dijera… en un problema específico siempre puse algo que
hacemos los niños, o lo hicimos de niños más bien, y ellos de niños y adolescentes,
cuando los mandan a comprar tortillas, por ahí, yo siempre, se me hacía el ejemplo más
fácil decirles cuánto cuesta el kilo de tortillas y si son dos, tres, y les preguntaba ahí
¿sería proporcional o no? y me decían “sí, profe, porque si compra esta cantidad son
10 pesos y si compra dos son 20, aumentan los kilos y aumenta el precio”, sí y
entonces decía “está aumentando esta situación” y lo dabas por hecho que si aumentaba
en proporción los kilogramos, aumentaba en proporcionalidad en esa misma, no en esa
misma, en la proporcionalidad del peso, aumentaban las tortillas.
Entonces, preguntabas tú, cuál era la constante de proporcionalidad y ellos decían: 10
pesos, ¿por qué? Porque va de 10 en 10. Entonces, dabas tú por hecho que ¡ahí!
estaba el concepto de proporcionalidad. Pero, bueno, eso era antes de la reflexión.
De esta semana de observación y como vemos, si bien es cierto que ahí estaba
escondidita o pensábamos que eran esas diferencias que se estaban dando en el
costo, por ejemplo de las tortillas. Pues vemos que la situación de proporcionalidad
que es esa relación que había, sí había relación entre las dos cosas llamémoslas
variables, para decir con más con propiedad, que son variables entre el kilo
tortillas y el precio, y que bueno, la constante estaba ahí, simplemente había que
relacionarlas a través de una operación, que eran las mismas que yo enseñaba hace
años que era la básica, una división, de una variable dividirla entre la otra, en este
caso, la variable independiente entre una dependiente y si aparecía en la primera
razón de un kilogramo y si aparecía en la segunda y en la tercera, cuál fuera más
adelante se mantenía esa razón constante, pues ahí estaba la proporcionalidad.
Ahora sí les puedo presumir mis alumnos cuando toque el tema de proporcionalidad
¡ahora sí me lo sé completamente!
Aquí podemos ver cómo el docente reconoce que, previa problematización del saber,
privilegiaba un modelo aditivo (Capítulo III) y sobre él se basaban sus interacciones
dialécticas con los estudiantes, mientras que ahora, propone situaciones en las que genera
cuestionamientos, debates y reflexiones que permitan hacer emerger el significado de la
proporcionalidad como una relación entre las variables (Cantoral et al., 2006) con base en
un modelo inter e intra.
167
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
• Episodio 5: su interacción con el saber matemático
Ahora, creemos importante transcribir textual lo que el docente contestó cuando se le
preguntó sobre la reflexión que se tuvo con él sobre el saber de la proporcionalidad,
solicitándole que nos cuente qué era lo que había sentido durante y después de la reflexión.
Santiago: Cuando tú manejas durante muchos años ciertos conceptos, ciertos temas, en
el caso de la proporcionalidad que me estás comentando, das por asentado que lo que
has estado trabajando durante tanto tiempo es válido, es una verdad.
Y cuando se sienta uno a analizar contigo, Dany, la reflexión, y lo reflexionamos y
haces ver el porqué de eso y te das cuenta que estabas cercano a ese concepto, pero no
era el que tú pensabas y que te abren los ojos, lo analizas, lo constatas de que tiene
sentido.
Y posterior de que te das cuenta que es válido y lo llevas al aula y lo aplicas, te
sientes mucho mejor ¿no? ¿Por qué? Porque sabes que no andabas mal, que el
concepto ahí estaba, nada más era meterse un poquito más y con el apoyo de
alguien que ha estudiado un poquito más esos aspectos de las matemáticas, y pues
aceptarlo con humildad cuando uno se equivoca, cuando uno se equivoca o tiene un
concepto erróneo o ha manejado una situación de manera no correcta.
A mí me ha servido bastante y se siente muy bien, cuando ya estás en el aula, se
siente ahora si como el piloto de auto carrera, es un aprendiz cuando apenas va
empezando y andas queriendo chocar con todo, pero ahora no, ahora te sientes el
amo de la pista y hasta le das recio al vehículo, ¿no? se siente suave, se siente muy
bien.
Entrevistadora: Y eso de que te sientes el amo de la pista, cómo profe ¿qué es, “que te
sientas el amo de la pista”?
Profesor: Pues, la misma una seguridad de que ya conociste, de que ya sabes algo,
que puedes sustentar, argumentar con certeza, sin temor de equivocarte que eso es
y pues de que eso que digas eso es verdad que está fundamentado y se lo transmitas
a un chico y que un chico lo desarrolle, un joven, y le digas o él te diga “es esto
profesor, es esto” y coincida con lo que tú ya sabes, estás diciendo “qué bueno que
tenga 14 años y lo está aprendiendo ahorita y que no se espera 49 años a que… a
conocer ese conocimiento, a aprender eso, y qué bueno” de esa manera se siente uno
muy bien.
En primer lugar, Santiago con la expresión: “das por asentado que lo que has estado
trabajando durante tanto tiempo es válido, es una verdad”, muestra que no se ha
cuestionado el conocimiento matemático que trabaja con los estudiantes, lo cual, nos
168
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
permite postular una evidencia más del carácter legítimo y hegemónico del dME trabajado
por Soto (2010).
Como se dijo durante el apartado de desempeño matemático, en ningún momento se le
dijo al docente que se estaría problematizando el saber, “localizando y analizando su uso y
su razón de ser” (Montiel, 2011, p. 128), sin embargo, el sentir de Santiago es que “haces ver
el porqué de eso y te das cuenta que estabas cercano a ese concepto, pero no era el que tú
pensabas y que te abren los ojos, lo analizas, lo constatas de que tiene sentido”. Es decir, sin
duda, Santiago, a vivenciado una problematización del saber.
En su frase: “Porque sabes que no andabas mal, que el concepto ahí estaba, nada más
era meterse un poquito más y con el apoyo de alguien que ha estudiado un poquito más esos
aspectos de las matemáticas”, podemos inferir que él siente que no ha aprendido más
Matemáticas, sino que ha profundizado sobre ellas. Esto es lo que afirma el
empoderamiento: no habla de aumentar la cantidad de conocimientos matemáticos, ya que
partimos de la base de que los docentes conocen y manejan los contenidos curriculares, sino
que entiende a la problematización del saber como la esencia para privilegiar aquellos
significados que, como dice el profesor “ahí estaban, nada más era meterse un poquito más”
para lograr encontrar y analizar la razón de ser de ese saber. Lo que lo llevará al docente a
potenciar las interacciones dialécticas con los estudiantes buscando hacer emerger las
argumentaciones para significar un saber.
Una de los fines que se logran cuando un docente comienza a vivir el proceso de
empoderamiento, según lo hemos caracterizado en el capítulo III, es obtener una actitud de
liderazgo, confianza y mejora en sus prácticas de la enseñanza, enfatizando el hecho de que
adquieran el poder de tomar las riendas de su propio crecimiento y, Santiago, después de la
problematización del saber, enuncia lo siguiente:
A mí me ha servido bastante y se siente muy bien, cuando ya estás en el aula, se siente
ahora sí como el piloto de auto carrera, es un aprendiz cuando apenas va empezando y
andas queriendo chocar con todo, pero ahora no, ahora te sientes el amo de la pista y
hasta le das recio al vehículo, ¿no? se siente suave, se siente muy bien.
(…)
Una seguridad de que ya conociste, de que ya sabes algo, que puedes sustentar,
argumentar con certeza, sin temor de equivocarte que eso es y pues de que eso que
digas, eso es verdad, que está fundamentado.
169
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
La última frase de Santiago “eso que digas eso es verdad, que está fundamentado” lo
concebimos, como fundamental, como un indicio de que durante la problematización se ha
cuestionado el saber, se ha preguntado el porqué de lo que se dice, sin duda, ha vivenciado
algo que no había hecho antes.
• Episodio 6: la incidencia en su práctica docente
La posibilidad de analizar las videograbaciones y de haber visto a Santiago
personalmente mientras daba clase, muestran la actitud de un docente que les da lugar
para reflexionar a sus estudiantes, que los deja participar, que recorre a todo el grupo en las
interacciones, entre muchas otras actitudes del docente frente a grupo. Es decir, no es su
didáctica la que ahora estamos analizando, sino que vamos más profundamente sobre su
práctica. Él, respecto a qué sintió que se modificó en sus prácticas después del período de la
Especialización y la observación concluye:
Te das cuenta que sí, que si les llevas algo diferente, no diferente, algo más acorde a
sus realidades, si conjugas esa libertad que le das al joven para que se exprese, si le
das una ayudadita en irle preguntando y que él mismo vaya aportando, y que uno
mismo sienta la seguridad de que conoce eso que va a ver con los muchachos, y
me di cuenta que es más fácil: se vuelven más participativos, te vuelves más activo tú
con ellos, se te va el tiempo más rápido.
Porque, como lo vimos en esta semana y como lo he visto siempre que hay un tema
del agrado que hay un interés, una sola alma no basta para atender a los treinta tantos
chamacos que tenemos, y todos piden tu atención y eso aunque es un poquito
desgastante, pero creo que vale la pena, es una satisfacción estar viendo y qué es lo
que hacen y estar atendiéndolos a todos, eso te demuestra que hay un interés y si hay
un interés tenemos un campo fértil para que ellos aprendan y aprenden uno
también.
Yo creo que ha sido lo bueno de esta semana, no ha sido de observación, ha sido de
reflexión aunque a veces salía con mis carotas, como de molestia, a lo mejor estaba
enojado conmigo por no saber por no… porque como dicen, cuando le pican el orgullo
a uno, hay que hacerlo por eso. Es bueno porque nos va a motivar a hacer cosas
más atrevidas, más arriesgadas y creo que valen la pena.
Aquí, podemos ver que el docente reconoce que luego de esto, se siente más seguro ante
la clase, es decir, ha tomado confianza. Esta confianza, le permitirá abrir caminos a la
innovación de situaciones que permitan interactuar con el estudiante, cada vez más
intensamente.
170
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
• Episodio 7: lo que sigue
Santiago asegura que es necesario preguntarse:
Cómo buscar, dónde buscar para que todo eso que quieres ver con los muchachos,
con los jóvenes, tengas los elementos para poderlo desarrollar y obviamente al tener…
conocerlos, al tenerlos, al apropiarte de ellos, yo creo que va a ser más fácil, y ese
temor o esa situación de incomodidad para tratar de transmitirles algo o que ellos
aprendan algo va a desaparecer, pienso que es la única manera.
Yo siento que ahora, como te decía hace ratito, debo de -y estoy convencido que
lo voy a hacer-, de hacerme de eso que me hace falta, eso que yo siento que me
hace falta, en los temas, sí es cierto que, por ejemplo si hay un tema, buscar la
manera de apropiarme de él, independientemente de la fuente que sea y
abordarlo, abordarlo ya no así, “bueno, vamos a ver esto así y nada más hasta donde
yo me sienta seguro es lo que vamos a ver”, no, es abordarlo bien y con confianza
porque nunca sabemos en el aula con que nos vamos a encontrar.
Ya sucedió, ha sucedido muchas veces y en estos días me ha sucedido más. Entonces,
no sacarle, no tenerle miedo, si ya decidí estar en esto pues porque no vale la pena
de una vez “me echo el clavado completo” y hay que buscar la manera de que no le
saquemos la vuelta a nada de esto.
Nunca le he sacado la vuelta a nada, pero sí, vamos a… hay que trabajar en esto de no
decir “esto no porque no le sé”, al contrario, esto “esto sí porque lo quiero saber,
porque necesito saberlo porque mis muchachos, y es seguro que sí, a alguien le
interese y lo va a aplicar, lo va a necesitar” ¿no?
Para él, este proceso no termina… para nosotros tampoco. El empoderamiento es un
proceso, no un estado del docente. No podríamos contestar, así llanamente si el docente se
empoderó o no, pues se trata de un proceso permanente, dinámico y continuo. Como puede
apreciarse, él comienza a pensar qué es lo que hará de ahora en adelante para seguir
cuestionándose el saber.
Asimismo, y muy importante para nosotros, el docente en su comentario y su actitud
sobre lo que continúa, deja ver que no es indispensable que se realicen cursos de cada uno de
los temas que se abordan, como hemos visto que en la actualidad los hay (Ver capítulo I, La
problemática), sino, que refieren a la manera en que se aborda el saber matemático. Con
esto último, no pensamos en la didáctica con la que se debe llevar al aula, ya que hemos
visto durante la reflexión con el docente, que no se habló en ningún momento de su
171
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
didáctica, sino que es la misma problematización la que genera en el docente innovar en
herramientas para llevar al aula el saber.
Síntesis de desempeño profesional
En síntesis, el empoderamiento le permite al docente hacerse dueño del saber que
enseña mediante la problematización del mismo, lo cual le brinda confianza y autonomía
para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de situaciones de
aprendizaje, sino también, en la generación de cuestionamientos, debates y reflexiones con
sus estudiantes. En palabras de él, también podemos ver, que el docente está viviendo un
proceso de empoderamiento.
V.5. UNA SÍNTESIS NECESARIA
En el capítulo III mostramos distintos ejemplos donde diversas investigaciones han
acudido y reflexionado sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje, en particular de la
proporcionalidad. Algunas de las conclusiones a las que llegan las investigaciones son las
siguientes:
•
Si bien han logrado avances como maestro, no han podido incorporar los contenidos
matemáticos abordados en el curso (Valdemoros, 2010);
•
Aunque los docentes tienen contacto con producciones de la investigación y de la
divulgación de la didáctica de la matemática, y aunado a esto, acuerdan con los
teóricos trabajados, se observa que difícilmente esto redunde en un cambio de prácticas en sus
aulas, es decir esto no se ve traducido en las prácticas de los docentes (Iturbe & Ruiz, 2011);
•
En el fenómeno de reproducibilidad – basado en la reproducción de una misma
situación de la Ingeniería Didáctica en distintos escenarios – existe una fragilidad a
causa de que la repetición del efecto didáctico está determinado por múltiples
factores, siendo los más complejos e incontrolables los humanos, asegurando que “la
relación personal del profesor con las matemáticas y con el contenido matemático
específico y las ideas acerca de lo que es aprender y enseñar matemática” (Lezama,
2005, p. 346)
Todas estas investigaciones, dan cuenta de lo complejo que es “cambiar las prácticas”
del docente, para la Socioepistemología esto es el aprendizaje.
172
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
Nosotros, durante el análisis de los datos brindados por el método de estudio de caso,
hemos podido evidenciar que el docente ha modificado su práctica. En particular,
considerando la misma situación problema, él ha podido generar interacciones dialécticas
con los estudiantes que permitieron hacer emerger nuevos significados del saber
matemático abordado. Este hecho, se lo adjudicamos, en primer lugar, a que el docente se ha
hecho dueño del saber que enseña mediante la problematización del mismo (tanto en el
proyecto de la Especialización como en la interacción con la observadora), lo cual le brindó
confianza y autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o
implementaciones de situaciones de aprendizaje, sino también, en la generación de
cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes. En segundo lugar, su actitud
de liderazgo, innata en él pero que ha podido potenciar y explicitar en este largo proceso, es
otro de los indicios que consideramos como relevantes ya que la esencia del
empoderamiento, radica en el desarrollo del potencial individual para el liderazgo dentro de
una comunidad de prácticas.
Dejaremos la síntesis final, en palabras explícitas de Santiago:
Para mí esta Especialización me hizo crecer como persona ya que descubrí que soy líder
en el sentido positivo, también me permitió conocer a profesores de la República
mexicana muy valiosos para la educación, en lo académico me enseñó otras formas de
ver las matemáticas y me invitó a buscar más información de la metodología empleada
en la Especialización.
He comprobado según los resultados de mis alumnos que la forma que aplico de abordar
las matemáticas desde la visión de la especialización da mejores resultados en el
aprendizaje de los estudiantes.
173
Capítulo V: Evidencia empírica y análisis de datos
174
Capítulo VI: Conclusiones
Nada él conozca por haberlo escuchado de ustedes,
sino únicamente por haberlo comprendido por sí mismo:
que no aprenda la ciencia, que la descubra.
Si en su mente llegaran a sustituir la autoridad de la razón,
no razonará más;
no será sino el rastro cimbel de la opinión de otros.
Jean-Jacques Rousseau
Como anunciamos en la Introducción de esta tesis, finalizaremos con este Capítulo VI
desarrollando las conclusiones de esta investigación. El fenómeno de empoderamiento,
caracterizado en capítulos anteriores, será analizado desde un punto de vista teórico a fin de
explicar el proceso de apropiación del saber en situación escolar por parte del docente y que
sostenemos esta hipótesis, incide directamente sobre su propia práctica profesional.
177
Capítulo VI: Conclusiones
178
Capítulo VI: Conclusiones
Cuando nos hemos planteado analizar el fenómeno de empoderamiento, partimos de la
base de que la apropiación del conocimiento matemático cuando se privilegia la concurrencia
de distintas
argumentaciones, permite la emergencia de diversas racionalidades
contextualizadas, se favorece una resignificación progresiva del saber considerando varios
marcos de referencia, todo sobre la base de la consideración de las prácticas sociales como
generadoras de conocimiento, esto es, se acepte un rediseño del dME, claramente ello no es
trivial. No basta entonces con ofrecer al docente cursos o talleres donde se discutan
herramientas didácticas o metodologías pedagógicas diversas. Se precisa, sin duda, de un
posicionamiento frente al saber matemático y a su constitución.
Ejemplos de lo anterior los hemos afrontado en el Capítulo III, cuando abordamos la
dimensión didáctica de un saber específico, aquel referido a la noción de proporcionalidad
(Salazar & Díaz, 2009, Iturbe & Ruiz, 2011; Valdemoros, 2010). Asimismo, sin especificar en
un saber matemático particular, Andrade, Salazar y Leguizamón (2007) estudian cuatro
cursos de un programa de licenciatura en matemáticas que poseían planteamientos
innovadores para el trabajo con profesores. Luego de este trabajo, concluyen que a pesar de
que la metodología varía dependiendo el área de formación de los cursos y del profesor, en
general no presenta mayores diferencias con la que, en algunos países, suele llamarse
convencional; es decir, no hay cambios sustanciales que se evidencien por ejemplo, en la
forma de abordar los temas matemáticos.
Este hecho nos llevó a preguntarnos, explícitamente: ¿qué es lo que tiene que ocurrir
para que un profesor se sienta en condiciones de generar cambios en su práctica docente? Es
aquí donde, la Teoría Socioepistemológica, como herramienta para la intervención en el
sistema educativo, postula que el empoderamiento docente es lo que debe propiciarse para
que esto ocurra. Es con esta tesis de maestría, que la noción es explícita y empleada para el
análisis didáctico en el campo de las matemáticas.
En esta investigación, mediante el análisis del proyecto de la Especialización de Alto
Nivel en la Profesionalización Docente en las Matemáticas de Secundaria. Estudio de
reproducibilidad de situaciones didácticas y un estudio de caso de un profesor partícipe de la
misma, hemos evidenciado que la conjunción entre la problematización del saber y las
179
Capítulo VI: Conclusiones
actitudes de liderazgo, son elementos clave del proceso de empoderamiento, para generar un
cambio en la práctica docente.
¿De qué depende el proceso de empoderamiento docente en el curso de una particular
estrategia de profesionalización? Dicho en otros términos, ¿podríamos explicar sobre la base
de la Socioepistemología, cuáles son las condiciones de producción del empoderamiento?
Estas dos preguntas guiarán la escritura de estas conclusiones.
Para enfrentar lo anterior, haremos uso de algunas nociones teóricas, como saber,
discurso Matemática Escolar y reproducibilidad, las cuales permitirán explicar la relación
entre el fenómeno de empoderamiento y otros dos fenómenos, el de la exclusión (Soto, 2010)
y la reproducibilidad (Lezama, 2005).
En el Capítulo III estudiamos distintas caracterizaciones del empoderamiento según la
literatura, encontrando como elementos transversales que es un proceso que parte de la
reflexión y se consolida en la acción, desde el individuo en colectivo, sin ser otorgado sino
generado, con el fin de transformar la realidad.
Concebimos al empoderamiento como aquel proceso que vive el docente, en conjunto con
sus colegas e investigadores, con el objeto de comprender, asimilar, asumir, aceptar y
sumarse a una nueva propuesta para el dME, donde se privilegie la articulación de distintas
argumentaciones, se permita la emergencia de diversas racionalidades situadas o
contextualizadas, se posea o desarrolle el carácter funcional del saber, se favorezca la
resignificación progresiva al considerar varios marcos de referencia, todo sobre la base de la
consideración de las prácticas sociales como generadoras de conocimiento.
Asimismo, este proceso de empoderamiento permite al docente hacerse dueño del saber
que enseña mediante una problematización del saber, lo cual le brindará confianza y
autonomía para abrir caminos a la innovación, no sólo de diseños o implementaciones de
situaciones de aprendizaje que la investigación ofrezca, sino también, en la generación de
cuestionamientos, debates y reflexiones con sus estudiantes que hagan emerger los distintos
significados del saber matemático. Todo ello, como uno de los mecanismos didácticos que
acompañe al rediseño del dME, para potenciar el aprendizaje con base en la construcción
180
Capítulo VI: Conclusiones
social del conocimiento, y así, atender a la exclusión que provoca el dME actual y poder
acceder, de manera efectiva, a las propuestas didácticas que propone la investigación (ver
Capítulo III).
Con la caracterización realizada en esta investigación podemos afirmar que existe una
relación de causalidad entre el empoderamiento y la posibilidad de enfrentar la exclusión o
más precisamente al fenómeno de exclusión derivado del dME. Esto es posible, gracias a
que el empoderamiento se deriva del dominio o apropiación del saber matemático
contextualizado, a lo que hemos llamado problematización del saber, uso y razón del ser
(Montiel, 2011).
Como dijimos en el Capítulo III, la fragilidad detectada en el fenómeno de
reproducibilidad de las situaciones didácticas (Lezama, 2005), puede encararse mediante la
problematización del saber matemático ya que, como vimos en el Capítulo V, ante una
misma situación problema (considerado ésta como el enunciado de una situación de
aprendizaje) el docente procede de maneras distintas antes y después de la problematización
del saber, específicamente, de la proporcionalidad. En particular, las interacciones
dialécticas que mantuvo el docente después de la problematización, hicieron emerger
distintos significados del saber matemático de la proporcionalidad, como así también, le
permitió validar las distintas argumentaciones que los estudiantes construían para
responder a la situación planteada, las cuales, previa problematización, eran soslayadas por
el docente. Daremos un ejemplo de ello:
Tabla ii
Interacciones previas a la problematización del saber. (Episodio 5, primer año, curso C, 7 de junio de 2011)
[220]
[221]
[222]
[223]
[224]
[225]
[226]
[227]
[228]
[229]
P
E1
P
E1
P
E1
P
E19
P
¿Qué representa el 80?
¿Alguien habló allá atrás? ¡E1! ¿Qué representa el 80, el valor de quién?
El valor… representa… mmm
No sabe ¿verdad?
Representa la constante de proporcionalidad
¿Por qué?, ¿por qué representa la constante de proporcionalidad?
Porque 240 entre 3 es 80
Ya lo tiene ahí, pero ¿80 qué representa, el valor de qué E19?
De una hora
El valor de una hora. Ponle, una hora por favor
181
Capítulo VI: Conclusiones
En este fragmento del episodio, se evidencia que el docente no puede reconocer la
argumentación brindada por E1. En la línea [227], el adverbio “pero”, el cual se utiliza como
enlace que une dos oraciones cuyos significados se contraponen, se restringen o se limitan, y
enfatizando nuevamente en la pregunta de “¿qué representa el 80?”, da evidencia de que
Santiago no reconoce la relación entre lo que plantea E1 en la línea [226] y la noción de
constante de proporcionalidad. Se denota su aceptación a la respuesta dada por E19, lo que
confirma, que en todos los hechos anteriores, era correcta la interpretación de que el docente
reconoce a la constante de proporcionalidad como aquella que está dada por el
procedimiento de reducción a la unidad. (Ver Capítulo III).
Tabla iii
Interacciones previas a la problematización del saber. (Episodio 8, primer año, curso A, 8 de junio de 2011)
[115]
[116]
[117]
[118]
[119]
[120]
[121]
[122]
[123]
[124]
[125]
[126]
Dónde o cómo presientes que esto… bueno ya me dices que esto es una tabla, la
tabla ¿Del qué?
E1
Del tres.
(el profesor, en el pizarrón con E1, toma el plumón y comienza anotar) Del tres…
Este valor y este que está aquí (3,1), este valor y este que está aquí (6,2), ¿Cómo
P
podemos decir que son… que hay una proporcionalidad, dame una justificación, qué
otra forma? ¿Cómo podremos comprobar esa proporcionalidad?
E1
Dividiendo.
P
Ok, ¿qué valor y qué valor vas a dividir?
Voy a dividir 3 entre 1 y da igual a 3; 6 entre 2, me da igual a 3; si divido 9 entre 3
E1
me da igual a 3 y 12 entre 4 da igual a 3 y así, todos me tienen que dar 3.
P
Y eso ¿qué me indicará?
E1
Que es la tabla del 3.
Eso que acabas de hacer tú, eso exactamente la relación ¿qué? La relación que
estableció ella, entre estos dos, entre estos dos, entre estos dos (señala los pares
P
ordenados)… y aquí, aquí la tienen (señala los resultados de las divisiones que
daban 3) sale el mismo valor, ¿sí? Y por esa simple y sencilla razón…
TODOS Son proporcionales.
P
Son ¿qué?
TODOS Proporcionales.
P
En contraposición a lo anterior, aquí el docente modificó, en primer lugar, su relación al
saber matemático, privilegiando la relación entre las magnitudes heterogéneas y su razón
constante para referirse a la constante de proporcionalidad. En segundo lugar, puede verse
en el Capítulo V, que la situación que se aborda en ambos episodios es la misma, por lo cual,
182
Capítulo VI: Conclusiones
el mismo docente modificó su metodología didáctica para abordar con los estudiantes, ya que
las interacciones dialécticas que mantuvo con los estudiantes fueron diferentes. En tercer y
último lugar, se evidencia que el docente generó un cambio de práctica en comparación entre
una y otra (para más detalles, remitirse al Capítulo V).
Por tanto, la apropiación del saber en el caso del docente influye en su puesta en
funcionamiento en el contexto áulico, permitiéndole una movilidad mayor, pues la amplitud
que le brinda el juego de roles, le permite adquirir un rol de liderazgo hasta entonces
inusual en sus prácticas, esto es, el docente participante en esta investigación no limita su
acción a la reproducción de una clase, a la repetición de una lección previamente concebida,
sino que asume un rol crítico ante las herramientas didácticas, según la problematización
desarrollada.
Si bien la problematización del saber es un elemento indispensable, no es suficiente
para referirnos al empoderamiento, ya que éste no se reduce a hacerse dueño del saber que
enseña sino que también, y con la misma jerarquía, contempla las actitudes de liderazgo,
confianza y autonomía para generar espacios de innovación y transformación de la realidad.
Este hecho, lo hemos evidenciado, también, con la evidencia mostrada en el desarrollo del
Capítulo V, en particular, en el apartado de actitudes de liderazgo, donde reconocemos que
este tipo de actitudes pueden ser propias del individuo, sin embargo, los distintos roles
asumidos en su paso por el proyecto y durante la observación, en cuanto a la cantidad y la
cualidad, lo entendemos como un estímulo para su empoderamiento, dado que este espacio
ha permitido su potencialidad y explicitación (Ver Capítulo V, Actitudes de Liderazgo). En
este apartado, se muestra cómo el docente comienza a generar situaciones para propiciar
una red de docentes, haciendo, por ejemplo, las siguientes preguntas: “¿Podremos incorporar
esta forma de trabajo en nuestra planeación?”; “¿Crees que esta forma de trabajar sería
posible que la siguiéramos fomentando con nuestros colegas? Y sobre todo ¿con las y los
alumnos?” (Ver Capítulo V). Posterior a ello, se da evidencia de que los docentes comienzan
a incluir en este proceso a distintos actores didácticos: directores de escuela, docentes de
otras áreas y, hasta, padres de familia.
183
Capítulo VI: Conclusiones
En síntesis, diremos que no puede haber el uno sin el otro, es decir, cuando nos
refiramos al empoderamiento, no podemos hablar de la problematización del saber sin las
actitudes de liderazgo, ni bastarían las actitudes de liderazgo si no hay una verdadera
apropiación
del
saber.
El
empoderamiento
se
compone
de
ambos
elementos:
problematización y apropiación del saber más la actitud de liderazgo que le permita innovar
en su práctica docente. Esta afirmación supera, en nuestra opinión, los intentos previos por
caracterizar el cambio de práctica a las que nos referimos al principio de esta tesis.
Al contestarnos estos dos aspectos, pudimos evidenciar que el empoderamiento,
mediante la problematización del saber y el liderazgo, produce dos logros significativos en el
docente. Por un lado, provoca el cuestionamiento del saber, es decir, estimula al docente a
dejar de considerar al dME como algo legítimo e incuestionable. Por el otro, a pesar de que
la discusión radica en el saber matemático, los resultados que se observan también afectan
a las metodologías pedagógicas y las herramientas didácticas que los docentes emplean. Es
decir, la modificación en las prácticas de los docentes es el resultado obtenido directamente
por ellos, son quienes toman la iniciativa de realizar las modificaciones pertinentes
considerando a los estudiantes de sus aulas.
Con el fin de validar y enriquecer las conclusiones, la triangulación de datos fue
necesaria. Tanto con el docente participante como con la investigadora-docente, nos han
permitido garantizar la validez de este estudio mostrando que los resultados no dependieron
de la toma de datos, ni del tipo de análisis realizado. Pero, también, nos permiten
enriquecer y precisar las conclusiones.
Al docente participante se le enviaron los análisis realizados en el capítulo V, se le
solicitó una reflexión sobre ellos. Si bien al comienzo él manifiesta su disconformidad ante el
análisis sobre la lectura de la gráfica de una función de proporcionalidad inversa, luego de
conversar con el docente, aceptó que sí había cometido un error matemático en cuanto a su
lectura. Por tanto, la aceptación del docente fue por completo. Concluye su reflexión de la
siguiente manera:
En cuanto al resto de los episodios subsecuentes, en los que mencionas
algunas debilidades que tenía en el manejo del tema de proporcionalidad,
184
Capítulo VI: Conclusiones
estoy completamente de acuerdo contigo, en ese momento aunque yo creía
tener los conocimientos suficientes del tema, no bastaba, necesitaba
profundizar en el tema a través de una reflexión sobre su problematización,
ya que sin ella no podía atender las necesidades de las y los estudiantes en su
proceso de aprendizaje.
Quiero comentarte que después de la plática de reflexión que tuvimos sobre
el tema de proporcionalidad, a la fecha me he sentido con mucha más
confianza a la hora de trabajar los temas en el aula, ya que logré entender
gracias a esa profundización del saber, lo que como profesor necesito hacer
diariamente para mejorar mis prácticas docentes, sé que me falta mucho por
aprender pero acepto el reto.
Sobre el capítulo “Una Síntesis Necesaria”, no estoy de acuerdo con lo que
los investigadores dicen (Valdemoros, Iturbide y Ruiz, Lezama), si es
posible cambiar las prácticas docentes, yo soy ejemplo de que las y los
profesores si podemos modificar esas prácticas, sólo se necesita aceptar
primero nuestra debilidades como docentes, y luego la voluntad y deseo de
hacer mejor nuestro quehacer para beneficio no sólo de nosotros mismos
sino de toda la sociedad en especial nuestros alumnos (as) , “Yo ya estoy
realizando esos cambios y estoy seguro que muchos profesores
comprometidos lo harán”.
Su reflexión, nos deja ver que los análisis realizados respecto a su relación al saber y las
actitudes de liderazgo, son válidas para él, por tanto, le da confianza a los resultados
obtenidos.
En cuenta a la investigadora-docente, a quien se le entregó la investigación completa
para que pudiera también cotejar toda la información y en particular aquella que se
derivaba de la observación, concluyó que tanto las observaciones, como los hallazgos y la
propuesta que se realiza para finalizar, son de gran interés. Reconoce que las
interpretaciones son pertinentes en cuanto a los instrumentos utilizados para la recolección
de datos, dejando observa cómo se desenvuelve el docente y en dónde se observan
dificultades. Respecto al escenario en cuanto a cómo se desarrollaron las clases, asegura que
el docente recurrió a varios elementos que acude un profesor que intenta ayudar al
estudiante, que se preocupa por ellos y en particular, eso que se observa de él, si es parte de
la realidad de alguno de los docentes, pero no de todos.
185
Capítulo VI: Conclusiones
Al igual que nosotros, concuerda con la afirmación de que “no podríamos contestar si el
docente se empoderó o no, porque es un proceso permanente, dinámico y continuo”. Aclara
que con el seguimiento de un profesor no es suficiente para generalizar nuestra tesis, sin
embargo, en esta investigación, más que generalizar, la intención es estudiar a profundidad
para entender
y dar
racionalidad
a lo que observamos. El
constructo teórico
empoderamiento ya existe (capítulo III) y nosotros lo que hicimos fue replantearnos las
posibles causas de él, dotándolo de sentido en la Matemática Educativa, a través de la
asociación con los fenómenos de exclusión y reproducibilidad.
Asimismo, la triangulación también se realiza con el marco teórico que es lo que hemos
estado haciendo durante toda la investigación. En particular, la importancia teórica de la
situación de aprendizaje situada y su diseño radica en su capacidad de vertebración del
proceso de empoderamiento (Capítulo II). El espacio que se abrió en la Especialización ha
sido singular en cuanto al tipo de cursos que habitualmente, hemos visto, se llevan a cabo
para los docentes. Los fundamentos teóricos en los que se basó el proyecto, son aquellos que
emergen de la Teoría Socioepistemológica, la cual considera que para poder generar saberes
funcionales, es necesaria la descentración de la mirada atomizada en los objetos
matemáticos y comenzar a buscar alternativas que privilegien en el aula los conocimientos
que emergen de la construcción social, lo cual -con base en sus principios teóricos-, se logra a
través de considerar a las prácticas sociales como generadoras de dicho conocimiento
(Capítulo II). Durante el proyecto, los docentes han vivido una modalidad de inmersión total,
en la cual problematizaron el saber; conocieron la epistemología de alguno de ellos;
descubrieron que existen diversas maneras de abordar un mismo problema, en donde, los
resultados distintos no se reducen a errores, sino que son pensamientos diferentes a los
otros y deben potenciarse, entenderse y comunicarse; aprendieron y aprehendieron
matemáticas; discutieron con sus colegas sobre las problemáticas de la práctica docente,
como así también, las maneras de diseñar las clases; escucharon y discutieron las
conferencias impartidas por investigadores de primer nivel en el campo de la Matemática
Educativa y en campos que evidencian la transversalidad de ésta con otras áreas del
conocimiento; resolvieron, discutieron, diseñaron, aplicaron y rediseñaron situaciones de
aprendizajes, entendiendo a éstas como la herramienta didáctica para llevar esta
problematización al aula, respetando los contextos socioculturales de cada uno de los grupos
186
Capítulo VI: Conclusiones
de estudiantes; reflexionaron sobre los resultados obtenidos en las aplicaciones; discutieron
la importancia de la transversalidad del saber matemático puesto en juego en la dinámica
del aula, y por sobre todas las cosas, reflexionaron sobre el cambio de centración de los
objetos a las prácticas; asumieron el rol de tutor para llevar a cabo la reproducción de la
experiencia vivida en Cinvestav con colegas de su estado… La diversidad de roles que los
docentes vivenciaron en el proyecto, es lo que nosotros concebimos como un indicio para que
ellos se hagan dueños del saber que enseñan y puedan cambiar su práctica docente.
La peculiaridad de este proyecto, es que el docente no sólo “tomó un curso”, sino que
diseñó él mismo situaciones de aprendizaje, las puso en práctica en su contexto áulico,
reflexionó sobre los resultados obtenidos y reprodujo la vivencia con otros colegas, todo ello,
asistido por los miembros del equipo académico del proyecto. Es decir, hubo un
acompañamiento integral en este proceso.
Hasta aquí hemos mostramos una articulación de los elementos teóricos con las
evidencias empíricas. Nuestra originalidad radica en que dicha articulación se sustenta en
el contexto y en las circunstancias sociales y culturales que caracterizan al acto educativo en
el México contemporáneo. Toda conclusión por su parte, cierra, a la vez que abre, una
reflexión y una problemática. Intentaremos por ese motivo, dejar planteados los hilos a
seguir en investigaciones futuras. Es aquí, en las conclusiones finales, donde mostraremos
la fuerza y amplitud de la Teoría Socioepistemológica.
Con nuestra investigación, hemos caracterizado al fenómeno de empoderamiento
docente como el proceso que vive un individuo en colectivo, fundado en la reflexión en
conjunto de las personas involucradas sobre la problematización del saber con apoyo en el
modelo conceptual del desarrollo del conocimiento, basado en los principios de la Teoría
Socioepistemológica (Ver figura 35); esta problematización en conjunto con la actitud de
liderazgo, confianza y autonomía que el docente conciba, le permitirá realizar diseños e
interpretar, entender e incorporar las propuestas didácticas que de la investigación
surgieran con el afán de propiciar el aprendizaje con base en la construcción social del
conocimiento como camino ideal para la comprensión de la matemática. El empoderamiento,
187
Capítulo VI: Conclusiones
le permitirá, específicamente, lograr una transición de la problematización del saber
matemático a la construcción de herramientas para el saber didáctico.
Figura 35: Modelo dinámico conceptual del desarrollo del conocimiento matemático, basado en los principios
de la Teoría Socioepistemológica.
El modelo dinámico de desarrollo del conocimiento matemático está contemplado como
el sustento para acompañar el proceso de empoderamiento docente, asumiendo que será
considerado también para acompañar el empoderamiento estudiantil, es decir, para que una
vez que el docente comience a transitar este proceso, lo tome como referencia para generar
en los estudiantes, ambientes propicios que privilegien el aprendizaje con base en la
construcción social del conocimiento matemático. Con esto, se deja explícita la transición del
saber matemático al saber didáctico por parte de los docentes como parte fundamental del
proceso de empoderamiento.
Esta nueva concepción de lo que refiere al aprendizaje de la matemática no es algo
trivial ni para el docente ni para los estudiantes, motivo por el cual, se considera que en
paralelo al planteo de un rediseño del dME, deben surgir herramientas para la intervención
en el sistema educativo en tanto se debe trabajar junto al docente esta nueva manera de
concebir al aprendizaje de la matemática. Para ello, se postula que el fenómeno de
empoderamiento docente, es una de las herramientas que pueden considerarse para
propiciar que este tipo de aprendizaje se logre en los futuros proyectos de profesionalización
docente.
188
Capítulo VI: Conclusiones
En síntesis, el fenómeno de empoderamiento docente se caracteriza por ser un proceso
que vive el individuo en colectivo, cuyos elementos clave son la problematización del saber y
la incidencia en las actitudes de liderazgo, fundado en la reflexión en conjunto de las
personas involucradas con apoyo en el modelo dinámico conceptual del desarrollo del
conocimiento, basado en los principios de la Teoría Socioepistemológica. Permitiendo que el
docente logre una transición de la problematización del saber matemático a la construcción
de herramientas para el saber didáctico, es decir, una modificación y mejoramiento en su
práctica docente.
Para concluir, creemos pertinente dejar en palabras del docente partícipe de esta
investigación, la más nítida de las evidencias que nos permiten postular que el
empoderamiento docente es un nuevo constructo teórico que de la observación empírica se
ha caracterizado:
Pregunta: Sabiendo que ha asistido a distintos cursos de profesionalización docente,
¿encuentra alguna diferencia entre esos cursos y la Especialización?
Respuesta: Definitivamente sí, sin menospreciar la entrega y conocimientos de mis
colegas, siento que en los cursos que había recibido solamente se cubría el requisito y
no me aportaban mucho y se hacían sin tener un seguimiento ni por parte mía ni de las
autoridades, en cambio la especialización fue un parte aguas en mi carrera docente que
vino a modificar y confirmar que lo que hacía, estaba bien, pero que ahora lo hago
mucho mejor y los resultados en mis alumnos así lo dejan ver.
Pregunta: ¿Qué sintió antes (en la reflexión con la investigadora), durante (mientras
trabajaba con los estudiantes en la hora de clase) y después (una vez concluida la clase)
de haber problematizado el saber matemático de la proporcionalidad?
Respuesta: Antes de la plática desconcertado e intrigado por no saber lo que me diría,
durante la plática desesperado por no entender y no aceptar lo que me estaba diciendo.
Esto considero yo que por mucho tiempo manejé esa información y la daba por buena,
pero después de aclarar el concepto de proporcionalidad para el cual ella (investigadora)
me guió a descubrir, me sentí muy seguro de mí mismo al estar frente a los alumnos y
desarrollar la clase, por tener ahora sí toda la información del tema. Al concluir la clase
con el grupo me sentí aliviado y seguro de abordar el tema en los grupos subsecuentes y
en los bloques donde se traten temas relacionados con proporcionalidad. (Docente
partícipe de la investigación, encuesta, octubre de 2011).
En síntesis, con esta investigación se postula que es indispensable que el docente
vivencie un proceso de empoderamiento para poder lograr modificaciones en su práctica.
189
Capítulo VI: Conclusiones
190
Buscar la democratización del saber, no es una tarea sencilla
y somos consciente de eso, sin embargo,
los socioepistemólogos,
desde la comunidad
de matemáticos educativos,
nos lo proponemos a diario.
Los que aseguran que es imposible,
no deberían interrumpir a los que estamos intentándolo.
Thomas Alva Edison.
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