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COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JULIOL 2015
JULIO 2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
SOCIALES II
BAREMO DEL EXAMEN:
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.
Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de los tres.
Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni
almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar
siempre debidamente justificados.
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.
Problema 1. Una empresa fabrica dos productos diferentes, P1 y P2, que vende a 300 y 350 € por tonelada (t),
respectivamente. Para ello utiliza dos tipos de materias primas (A y B) y mano de obra. Las disponibilidades
semanales de las materias primas son 30 t de A y 36 t de B, y las horas de mano de obra disponibles a la semana son
160. En la tabla siguiente se resumen los requerimientos (en t) de las materias primas y las horas de trabajo necesarias
para la producción de una tonelada de cada producto:
Producto
P1
P2
materia prima (t)
A
B
2
3
3
1
Mano de obra (h)
4
20
Determina la producción semanal que maximiza los ingresos de la empresa sabiendo que un estudio de mercado
indica que la demanda del producto P2 nunca supera a la del producto P1. ¿A cuánto ascienden los ingresos máximos?
x2 + 2

Problema 2. Sea la función f ( x) =  6
 2
 x +1
x ≤1
1< x
a) Estudia la continuidad de f ( x) en el intervalo ] − ∞, +∞[ .
b) Calcula los máximos y mínimos locales de f ( x) .
c) Calcula el área de la región limitada por f ( x) y las rectas x = −1 y x = 1 .
Problema 3. El 25% de los estudiantes de un instituto no realizan ninguna actividad extraescolar, mientras que el
55% realizan una actividad extraescolar deportiva. Sabemos además que uno de cada cuatro estudiantes que practican
una actividad extraescolar no deportiva también practica una deportiva. Se pide:
a) Calcular la probabilidad de que un estudiante elegido al azar practique una actividad extraescolar deportiva y
otra no deportiva.
b) Calcular la probabilidad de que un estudiante practique solo una actividad extraescolar deportiva.
c) ¿Son independientes los sucesos "Practicar una actividad extraescolar deportiva" y "Practicar una actividad
extraescolar no deportiva"? Razona tu respuesta.
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.
 1 2
2 2 
 1 −1 
Problema 1. Sean las matrices A = 
, B =
 y C =
.
 −1 4 
 1 −1
 1 −3 
a) Halla la matriz X que satisface la ecuación AX − BCX = 3C.
b) Calcula la matriz inversa de At + B , donde At representa la matriz traspuesta de A.
Problema 2. Cierta empresa de material fotográfico oferta una máquina que es capaz de revelar 15,5 fotografías por
minuto. Sin embargo, sus cualidades se van deteriorando con el tiempo de forma que el número de fotografías
reveladas por minuto viene dado por la función f ( x) , donde x es la antigüedad de la máquina en años.
15,5 − 1,1x 0 ≤ x ≤ 5

f ( x) =  5 x + 45
x>5
 x + 2
a) Estudia la continuidad de f ( x) en el intervalo [0, +∞[ .
b) Comprueba que el número de fotografías reveladas por minuto decrece con la antigüedad de la máquina.
Justifica que si la máquina tiene más de 5 años revelará menos de 10 fotografías por minuto.
c) ¿Es cierto que la máquina nunca revelará menos de 5 fotografías por minuto? ¿Por qué?
Problema 3. En un aeropuerto, 1/3 de los aviones que vienen del extranjero lo hacen con retraso, mientras que si
proceden del propio país lo hacen con retraso el 5%. Si del extranjero vienen el 25% de los vuelos, se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo seleccionado al azar llegue con retraso?
b) Si un avión seleccionado al azar ha llegado sin retraso, ¿cuál es la probabilidad de que venga del extranjero?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vuelo seleccionado al azar llegue a su hora o provenga del extranjero?
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CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JUNY 2015
JUNIO 2015
MATEMÁTICAS APLICADAS
A LAS CIENCIAS SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
BAREMO DEL EXAMEN:
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción.
Cada problema se valorará de 0 a 10 puntos y la nota final será la media aritmética de los tres.
Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables y que no puedan realizar cálculo simbólico ni
almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar
siempre debidamente justificados.
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.
Problema 1. Se dispone de 200 hectáreas de terreno en las que se desea cultivar patatas y zanahorias. Cada
hectárea dedicada al cultivo de patatas necesita 12,5 litros de agua de riego al mes, mientras que cada una de
zanahorias necesita 40 litros, disponiéndose mensualmente de un total de 5000 litros de agua para el riego.
Por otra parte, las necesidades por hectárea de abono nitrogenado son de 20 kg para las patatas y de 30 kg
para las zanahorias, disponiéndose de un total de 4500 kg de abono nitrogenado. Si la ganancia por hectárea
sembrada de patatas es de 300 € y de 400 € la ganancia por cada hectárea de zanahorias, ¿qué cantidad de
hectáreas conviene dedicar a cada cultivo para maximizar la ganancia? ¿Cuál sería esta?
Problema 2. Calcula:
a) Todas las asíntotas verticales y horizontales de la función f ( x) =
2 x3 + 2 x − 1
.
x3 − 9 x
b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g ( x) = x 4 + 4 x3 + 4 x 2 − 8 .
c) Los máximos y mínimos de la función g ( x) del apartado anterior.
Problema 3. El 25% de los estudiantes de un instituto ha leído algún libro sobre Harry Potter y el 65% ha
visto alguna película de este protagonista. Se sabe también que el 10% ha leído algún libro y ha visto alguna
de las películas de este personaje. Si se elige al azar un estudiante:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya visto alguna película de este personaje y no haya leído ningún
libro sobre Harry Potter?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya leído ningún libro sobre Harry Potter y no haya visto
ninguna película sobre este personaje?
c) Si se sabe que ha leído algún libro de Harry Potter, ¿cuál es la probabilidad de que haya visto
alguna película de este personaje?
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de estar debidamente razonadas.
Problema 1. En una sucursal de una agencia de viajes se vende un total de 60 billetes de avión con destino a
Londres, París y Roma. Sabiendo que el número de billetes para París es el doble de los vendidos para los
otros dos destinos conjuntamente y que para Roma se emiten dos billetes más que la mitad de los vendidos
para Londres, ¿cuántos billetes se han vendido para cada uno de los destinos?
Problema 2. El rendimiento de un estudiante durante las primeras 6 horas de estudio viene dado (en una
700t
escala de 0 a 100) por la función R (t ) = 2
, donde t es el número de horas transcurrido.
4t + 9
a) Calcula el rendimiento a las 3 horas de estudio.
b) Determina la evolución del rendimiento durante las primeras 6 horas de estudio (cuándo aumenta y
cuándo disminuye). ¿Cuál es el rendimiento máximo?
c) Una vez alcanzado el rendimiento máximo, ¿en qué momento el rendimiento es igual a 35?
Problema 3. La probabilidad de que tenga lugar el suceso A es 2 3 , la probabilidad de que no ocurra el
suceso B es 1 4 y la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B es 19 24 . Calcula:
a) La probabilidad de que ocurran a la vez el suceso A y el suceso B.
b) La probabilidad de que no ocurra A y no ocurra B.
c) La probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
d) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
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COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JULIOL 2014
2014
MATEMÁTICAS APLICADAS
A LAS CIENCIAS SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’OPCIÓ A o l’OPCIÓ B, de la qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS TRES
PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá la OPCIÓN A o la OPCIÓN B, de la que se harán los TRES problemas propuestos.
LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Dos matrices A y B satisfacen las siguientes igualdades:
5 3
A+ B =
,
 3 0
 1 1
A− B =

 −1 0 
a) Calcula A y B.
b) Calcula la matriz X sabiendo que AXA = B.
Problema 2. Dada la función f ( x) =
x 2 − 8 x + 16
, se pide:
x 2 − 8 x + 15
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
Problema 3. Probamos una vacuna contra la gripe en un grupo de 400 personas, de las que 180 son hombres y 220
mujeres. De las mujeres, 25 contraen la gripe y de los hombres 23. Calcula las siguientes probabilidades:
a) Que al seleccionar una persona al azar resulte que no tiene gripe.
b) Que al seleccionar una persona al azar resulte ser una mujer que no tiene gripe.
c) Que seleccionada una persona al azar que no tiene gripe, resulte ser un hombre.
d) Que seleccionada una mujer al azar, resulte no tener gripe.
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Cierta persona invierte un total de 7000 € en acciones de las empresas A y B y en un depósito a 12 meses
al 1 %. Pasado un año, vende sus acciones, obteniendo una rentabilidad del 5 % en las acciones de la empresa A y del
3 % en las de B. El beneficio total de sus tres inversiones es 202 €. Determina qué cantidad destinó a cada inversión si
sabemos que el dinero total destinado a comprar acciones superó en 2600 € al dinero del depósito.
a

Problema 2. Sea la función f ( x) =  x
 x 2 − 3 x − 8
2≤ x<5
5≤ x≤7
a) Calcula el valor de a para el que f ( x) es continua en el intervalo [2,7].
b) Para a = 15, estudia el crecimiento y decrecimiento de f ( x) en el intervalo [2,7].
c) Calcula
∫
6
5
f ( x ) dx .
Problema 3. La probabilidad de que ocurra el contrario de un suceso A es 1/3; la probabilidad de un suceso B es 3/4 y
la probabilidad de que ocurran a la vez los sucesos A y B es 5/8.
a) Calcula la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B.
b) Calcula la probabilidad de que no ocurra ni el suceso A ni el suceso B.
c) Calcula la probabilidad de que ocurra A, sabiendo que ha ocurrido B.
d) ¿Son independientes los sucesos A y B? Razona tu respuesta.
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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JUNY 2014
JUNIO 2014
MATEMÁTICAS APLICADAS
A LAS CIENCIAS SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’OPCIÓ A o l’OPCIÓ B, de la qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS TRES
PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá la OPCIÓN A o la OPCIÓN B, de la que se harán los TRES problemas propuestos.
LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Representa gráficamente la región determinada por el sistema de inecuaciones:
y

x≥

2

760
+
370
≤ 94500
x
y


x

y + ≥ 100
2

y calcula sus vértices. ¿Cuál es el máximo de la función f ( x, y) = x + y en esta región? ¿En qué punto se alcanza?
Problema 2. En una sesión, el valor de cierta acción, en euros, vino dado por la función:
0≤ x≤3
 − x + 15
 2
f ( x) =  x − 8 x + 26 3 < x ≤ 6
 2x + 2
6< x≤8

donde x representa el tiempo, en horas, transcurrido desde el inicio de la sesión. Se pide:
a) Estudiar la continuidad de f ( x).
b) Calcular el valor máximo y el valor mínimo que alcanzó la acción.
c) ¿En qué momentos convino comprar y vender para maximizar el beneficio? ¿Cuál hubiera sido este?
Problema 3. Una factoría dispone de tres máquinas para fabricar una misma pieza. La más antigua fabrica 1000
unidades al día, de las que el 2 % son defectuosas. La segunda máquina más antigua, 3000 unidades al día, de las que
el 1,5 % son defectuosas. La más moderna fabrica 4000 unidades al día, con el 0,5 % defectuosas. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa?
b) Si una pieza elegida al azar es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la máquina
más antigua?
c) Sabiendo que una pieza elegida al azar no es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada
en la máquina más moderna?
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Después de aplicar un descuento del 10 % a cada uno de los precios originales, se ha pagado por un
rotulador, un cuaderno y una carpeta 3,96 euros. Se sabe que el precio del cuaderno es la mitad del precio del rotulador
y que el precio de la carpeta es igual al precio del cuaderno más el 20 % del precio del rotulador. Calcula el precio
original de cada objeto.
Problema 2. Dada la función f ( x) = ( x − 1) 2 ( x + 2) 2 , se pide:
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Máximos y mínimos locales.
d) El valor de la integral definida de f ( x) entre x = −1 y x = 1.
Problema 3. En una empresa el 30 % de los trabajadores son técnicos informáticos y el 20 % son técnicos
electrónicos, mientras que un 10 % tienen las dos especialidades.
a) Calcula la probabilidad de que un trabajador de dicha empresa seleccionado al azar sea técnico informático o
electrónico.
b) Si seleccionamos al azar a un técnico electrónico, ¿cuál es la probabilidad de que sea también técnico
informático?
c) Si seleccionamos un trabajador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea un técnico que tiene solo una de las
dos especialidades?
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JULIO 2013
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’OPCIÓ A o l’OPCIÓ B, de la qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS TRES
PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá la OPCIÓN A o la OPCIÓN B, de la que se harán los TRES problemas propuestos.
LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Sean las matrices:
( )
(
)
A = 1 2 , B = 2 −1
0 3
1 2
(
)
y C= 0 1 .
−1 2
Resuelve la ecuación XAB − XC = 2C .
Problema 2. Una cadena de montaje está especializada en la producción de cierto modelo de motocicleta. Los costes
de producción en euros, C(x), están relacionados con el número de motocicletas fabricadas, x, mediante la siguiente
expresión:
C ( x ) = 10 x 2 + 2000 x + 250000 .
Si el precio de venta de cada motocicleta es de 8000 euros y se venden todas las motocicletas fabricadas, se pide:
a) Definir la función de ingresos que obtiene la cadena de montaje en función de las ventas de las motocicletas
producidas.
b) ¿Cuál es la función que expresa los beneficios de la cadena de montaje?
c) ¿Cuántas motocicletas debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?
Problema 3. Una empresa de telefonía móvil ofrece 3 tipos diferentes de tarifas, A, B y C, cifrándose en un 45%, 30%
y 25% el porcentaje de clientes abonados a cada una ellas, respectivamente. Se ha detectado que el 3%, 5% y 1% de
los abonados a la tarifa A, B y C, respectivamente, cancelan su contrato una vez transcurrido el periodo de
permanencia. Se pide:
a) Si un cliente elegido al azar cancela su contrato una vez transcurrido el periodo de permanencia ¿cuál es la
probabilidad de que estuviera abonado a la tarifa C?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar no cancele su contrato una vez transcurrido el periodo
de permanencia?
c) Si se selecciona un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté abonado a la tarifa A y decida cancelar su
contrato una vez transcurrido el periodo de permanencia?
d) Si se selecciona un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no esté abonado a la tarifa B y decida
cancelar su contrato una vez transcurrido el periodo de permanencia?
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Un estudiante reparte propaganda publicitaria para conseguir ingresos. Le pagan 8 cts. de euro por cada
impreso colocado en el parabrisas de un coche y 12 cts. por cada uno depositado en un buzón. Ha calculado que cada
día puede repartir como máximo 150 impresos y la empresa le exige diariamente que la diferencia entre los colocados
en coches y el doble de los colocados en buzones no sea inferior a 30 unidades. Además, tiene que introducir en
buzones al menos 15 impresos diariamente. ¿Cuántos impresos debe colocar en coches y buzones para maximizar sus
ingresos diarios? ¿Cuál es este ingreso máximo?
Problema 2. La gráfica de la función f (x) es la siguiente:
1
−2
−1
1
2
−1
Se pide:
a) Su dominio y puntos de intersección con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c) Valores de x para los que la función derivada de f (x) es positiva, negativa o nula, respectivamente.
d) El valor de los siguientes límites: lí m f ( x) y lí m+ f ( x) .
x →+∞
1
e) Calcular
∫ (x
0
4
x →0
+ 2 x 3 − 3 x 2 − 4 x + 4)dx .
Problema 3. El 50% de los jóvenes de cierta población afirma practicar el deporte A y el 40% afirma practicar el
deporte B. Además, se sabe que el 70% de los jóvenes de dicha población practica el deporte A o el B. Si
seleccionamos un joven al azar, se pide:
a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes.
b) La probabilidad de que practique el deporte A y no practique el B.
c) Si practica el deporte B, ¿cuál es la probabilidad de que practique el deporte A?
d) ¿Son independientes los sucesos “Practicar el deporte A” y “Practicar el deporte B”? ¿Por qué?
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PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
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PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JUNY 2013
JUNIO 2013
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÁTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’OPCIÓ A o l’OPCIÓ B, de la qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS TRES
PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá la OPCIÓN A o la OPCIÓN B, de la que se harán los TRES problemas propuestos.
LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Resuelve las siguientes cuestiones:
( ) y 2 X − Y = ( −70 −53) .
a) Calcula las matrices X e Y sabiendo que X + Y = 3 1
4 3
( )
c) Obtén la matriz X tal que XA = ( 1 0 ) .
8 6
b) Obtén la inversa de la matriz A = 3 2 .
2 2
Problema 2. Dada la función f ( x) =
− x2 + 4x − 4
, se pide:
x2 − 4 x + 3
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
Problema 3. Un tarro contiene 25 caramelos de naranja, 12 de limón y 8 de café. Se extraen dos caramelos
al azar. Calcula:
a) La probabilidad de que ambos sean de naranja.
b) La probabilidad de que ambos sean del mismo sabor.
c) La probabilidad de que ninguno sea de café.
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Una persona adquirió en el mercado cierta cantidad de unidades de memoria externa, de
lectores de libros electrónicos y de tabletas gráficas a un precio de 100, 120 y 150 euros la unidad,
respectivamente. El importe total de la compra fue de 1160€ y el número total de unidades adquiridas 9.
Además, compró una unidad más de tabletas gráficas que de lectores de libros electrónicos. ¿Cuántas
unidades adquirió de cada producto?
Problema 2. Dada la función
si − 2 ≤ x < 0
⎧x + 2
⎪ 2
f ( x) = ⎨ x − 2 x + 2 si 0 ≤ x < 3
⎪
si 3 ≤ x ≤ 5
⎩3 x − 1
a) Estudia la continuidad de la función en todos los puntos del intervalo [ −2 , 5] .
5⎤
⎡
b) Calcula los máximos y mínimos absolutos de f ( x) en el intervalo ⎢ −2, ⎥ .
2⎦
⎣
c) Calcula
∫
2
1
f ( x)dx .
Problema 3. Sabiendo que P( A) = 0,3 ; P( B) = 0, 4 y P ( A B ) = 0, 2 , contesta las siguientes cuestiones:
(
)
a) Calcula P A ∪ B .
b) Calcula P ( B A ) .
c) Calcula P ( A ∩ B ) .
d) ¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
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COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
SETEMBRE 2012
SEPTIEMBRE 2012
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS
TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que se harán los TRES problemas
propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema
⎛ 2 3
⎜ −4 2
⎜ 2 2
⎝
1. Plantea y escribe el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es
−1 ⎞
⎛ 3⎞
1⎟ y cuyo término independiente es ⎜ 0 ⎟ . Resuelve el sistema.
⎜1⎟
−1⎟⎠
⎝ ⎠
Problema 2. Se estima que el beneficio anual B (t ) , en %, que produce cierta inversión viene determinado
por el tiempo t en meses que se mantiene dicha inversión a través de la siguiente expresión:
B (t ) =
36t
+ 1, t ≥ 0.
t + 324
2
a) Describe la evolución del beneficio en función del tiempo durante los primeros 30 meses.
b) Calcula razonadamente cuánto tiempo debe mantenerse dicha inversión para que el beneficio sea
máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo?
c) ¿Cuál sería el beneficio de dicha inversión si ésta se mantuviera en el tiempo de forma indefinida?
Problema 3. Se ha hecho un estudio de un nuevo tratamiento en un colectivo de 120 personas aquejadas de
cierta enfermedad, 30 de las cuales ya habían padecido la enfermedad con anterioridad. Entre las que habían
padecido la enfermedad con anterioridad, el 80% ha reaccionado positivamente al nuevo tratamiento. Entre
las que no la habían padecido, ha sido el 90% el que reaccionó positivamente.
a) Si elegimos un paciente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no reaccione positivamente al nuevo
tratamiento?
b) Si un paciente ha reaccionado positivamente al tratamiento, ¿cuál es la probabilidad de que no haya
padecido la enfermedad con anterioridad?
c) Si elegimos dos pacientes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que los dos hayan padecido la
enfermedad con anterioridad?
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Sea el siguiente sistema de inecuaciones lineales:
⎧ x + y ≥1
⎪⎪ x + y ≤ 2
⎨− x + y ≤ 1
⎪
⎪⎩ x − y ≤ 1
a) Resuélvelo gráficamente.
b) Halla el máximo y el mínimo de la función z = 2 x + y en el conjunto solución de dicho sistema.
Problema 2. Sea la función f ( x) = ( x2 + x)2 . Se pide:
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Los máximos y mínimos locales.
e) La representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
Problema 3. Una urna A contiene cinco bolas rojas y dos azules. Otra urna B contiene cuatro bolas rojas y
una azul. Tomamos al azar una bola de la urna A y, sin mirarla, la pasamos a la urna B. A continuación
extraemos con reemplazamiento dos bolas de la urna B. Halla la probabilidad de que:
a) Ambas bolas sean de color rojo.
b) Ambas bolas sean de distinto color.
c) Si la primera bola extraída es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la bola que hemos pasado de la urna
A a la urna B haya sido azul?
4
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
JUNY 2012
JUNIO
2012
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS
TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que se harán los TRES problemas
propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Un comerciante quiere invertir hasta 1000 euros en la compra de dos tipos de aparatos, A y B,
pudiendo almacenar en total hasta 80 aparatos. Cada aparato de tipo A le cuesta 15 euros y lo vende a 22,
cada uno del tipo B le cuesta 11 y lo vende a 17 euros. ¿Cuántos aparatos debe comprar de cada tipo para
maximizar su beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?
Problema 2. Dibuja la gráfica de la función y
f ( x) sabiendo que:
a) Está definida para todos los valores de x salvo para x 1 , siendo la recta x 1 la única asíntota
vertical.
b) La recta y
3 es la única asíntota horizontal.
c) El único punto de corte con los ejes es el (0, 0).
d) La derivada de la función y
f ( x) sólo se anula en x 3 / 2 .
e)
f !( x) " 0 en el conjunto #%&, 1$ ' #1, 3 / 2$ .
f)
f !( x) ( 0 en el intervalo #3 / 2, ) &$ .
g)
f (3 / 2) 13 / 2 .
Problema 3. El 15% de los habitantes de cierta población son socios de un club de futbol y el 3% son
pelirrojos. Si los sucesos “ser socio de un club de futbol” y “ser pelirrojo” son independientes, calcula las
probabilidades de que al elegir al azar un habitante de esa población, dicho habitante:
a) Sea pelirrojo y no sea socio de un club de futbol.
b) Sea pelirrojo o sea socio de un club de futbol.
c) Sea socio de un club de futbol si sabemos que no es pelirrojo.
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Dadas matrices A
X
* %11 23+
* %21 %%62+ , obtén todas las matrices de la forma
y B
* xy 0z + que satisfacen la relación AX % XA
B.
Problema 2. Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750
euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de
cada uno disminuyen en 250 euros. Calcula:
a) Los ingresos mensuales de la empresa proporcionados por los 15 comerciales.
b) La función que determina los ingresos mensuales que se obtendrían si se contrataran x comerciales
más.
c) El número total de comerciales que debe tener la empresa para que los ingresos por este medio sean
máximos.
d) Los ingresos máximos.
Problema 3. Tenemos tres urnas: la primera contiene 3 bolas azules, la segunda 2 bolas azules y 2 rojas y la
tercera, 1 bola azul y 3 rojas. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. Calcula:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea roja.
b) La probabilidad de que se haya elegido la segunda urna si la bola extraída ha sido roja.
4
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
CONVOCATÒRIA:
PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CONVOCATORIA:
SETEMBRE 2011
SEPTIEMBRE 2011
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
MATEMÁTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS II
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS
TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que se harán los TRES problemas
propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 10 paquetes de pipas, 30 chicles y 18
bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes: El tipo A estará
formado por un paquete de pipas, dos chicles y dos bombones y se venderá a 1,5 euros. El tipo B estará
formado por un paquete de pipas, cuatro chicles y un bombón y se venderá a 2 euros. ¿Cuántos paquetes de
cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máximos? Determina los ingresos máximos.
Problema 2. Dada la función f ( x) =
3x + 2
, se pide:
x2 − 1
a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
Problema 3. En una cierta empresa de exportación el 62,5% de los empleados habla inglés. Por otra parte,
entre los empleados que hablan inglés, el 80% habla también alemán. Se sabe que sólo la tercera parte de los
empleados que no hablan inglés sí habla alemán.
a) ¿Qué porcentaje de empleados habla las dos lenguas?
b) ¿Qué porcentaje de empleados habla alemán?
c) Si un empleado no habla alemán, ¿cuál es la probabilidad de que hable inglés?
3
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
⎛ 2 −1 ⎞
⎛3 1⎞
⎛ −1 2 ⎞
⎛8 8⎞
Problema 1. Sean las matrices A = ⎜
⎟ y D=⎜
⎟, B =⎜
⎟, C = ⎜
⎟.
⎝ 2 4⎠
⎝ 0 1⎠
⎝ 1 −2 ⎠
⎝ 8 3⎠
a) Calcula AB + 3C .
b) Determina la matriz X que verifica que AX + I = D , donde I es la matriz identidad.
Problema 2. Un ganadero ordeña una vaca desde el día siguiente al día que ésta pare hasta 300 días después
del parto. La producción diaria en litros de leche que obtiene de dicha vaca viene dada por la función:
f ( x) =
120 x − x 2
+ 40
5000
donde x representa el número de días transcurridos desde el parto. Se pide:
a) El día de máxima producción y la producción máxima.
b) El día de mínima producción y la producción mínima.
Problema 3. En un instituto hay dos grupos de segundo de Bachillerato. En el grupo A hay 10 chicas y 15
chicos, de los que 2 chicas y 2 chicos cursan francés. En el grupo B hay 12 chicas y 13 chicos, de los que 2
chicas y 3 chicos cursan francés.
a) Se elige una persona de segundo de Bachillerato al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no curse
francés?
b) Sabemos que una determinada persona matriculada en segundo de Bachillerato cursa francés. ¿Cuál es
la probabilidad de que pertenezca al grupo B?
c)
Se elige al azar una persona de segundo de Bachillerato del grupo A. ¿Cuál es la probabilidad de que
sea un chico y no curse francés?
4
BAREM DE L’EXAMEN: Cal triar l’EXERCICI A o l’EXERCICI B, del qual s’han de fer els TRES problemes proposats. ELS
TRES PROBLEMES PUNTUEN PER IGUAL.
Cada estudiant pot disposar d’una calculadora científica o gràfica per a fer l’examen. Es prohibeix la utilització indeguda d’aquesta
(per a guardar fórmules en la memòria).
BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que se harán los TRES problemas
propuestos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
OPCIÓN A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Un comerciante vende tres tipos de relojes, A, B y C. Los del tipo A los vende a 200 euros, los
del tipo B a 500 euros y los del tipo C a 250 euros. En un mes determinado vendió 200 relojes en total. Si la
cantidad de los que vendió ese mes de tipo B fue igual a los que vendió de tipo A y tipo C conjuntamente,
calcula cuántos vendió de cada tipo si la recaudación de ese mes fue de 73500 euros.
x3
Problema 2. Sea la función f ( x) = 2
. Calcula:
x −1
a) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales, si las hay.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
Máximos y mínimos locales.
Problema 3. En un instituto se estudian tres modalidades de Bachillerato: Tecnología, Humanidades y
Artes. El curso pasado el 25% de los alumnos estudió Tecnología, el 60% Humanidades y el 15% Artes. En
la convocatoria de junio aprobó todas las asignaturas el 70% de los estudiantes de Tecnología, el 80% de los
de Humanidades y el 90% de los de Artes. Si se elige un estudiante al azar del curso pasado de ese instituto:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya aprobado todas las asignaturas en la convocatoria de junio?
b) Si nos dice que ha aprobado todas las asignaturas en la convocatoria de junio, ¿cuál es la probabilidad
de que haya estudiado Humanidades?
OPCIÓN B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
Problema 1. Dadas las matrices:
⎛ 1 −2 ⎞
A=⎜
⎟,
⎝ −1 4 ⎠
⎛1 0⎞
B=⎜
⎟
⎝ −2 −1⎠
y
⎛3 1 ⎞
C =⎜
⎟
⎝ 2 −1 ⎠
a) Calcula la matriz inversa de la matriz C.
b) Obtén la matriz X que verifica AX + B = C , siendo B la matriz transpuesta de B.
t
⎧− x 2 − 2 x + 3
Problema 2. Dada la función f ( x) = ⎨
⎩x −1
t
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x ≤ 3
a) Estudia la continuidad de la función en el intervalo [ 0,3] .
b) Calcula los máximos y mínimos absolutos de f(x).
c) Calcula el área de la región determinada por la gráfica de la función y las rectas x = 0 , y = 0 y x = 3 .
Problema 3. Se realiza un análisis de mercado para estudiar la aceptación de las revistas A y B. Este refleja
que del total de entrevistados que conocen ambas revistas, al 75 % les gusta la revista A, al 30 % no les
gusta la revista B y sí les gusta la revista A y al 15 % no les gusta ninguna de las dos. Suponiendo que estos
datos son representativos de toda la población y que se ha elegido al azar un individuo que conoce ambas
revistas, se pide:
a) La probabilidad de que le gusten las dos revistas.
b) La probabilidad de que le guste la revista B.
c) Si sabemos que le gusta la revista A, la probabilidad de que no le guste la revista B.
BAREM DE L’EXAMEN:
BAREMO DEL EXAMEN:Se el
egi
rá elEJERCICIO A o elEJERCICIO B,delque se harán l
os TRES probl
emas
propuestos.LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudi
antepodrá di
sponerdeuna cal
cul
adora ci
entí
fi
ca o gráfi
ca para real
i
zarelexamen.Seprohí
besu uti
l
i
zaci
ón
i
ndebi
da(paraguardarfórmul
asenmemori
a).
OPCIÓN A
Todaslasrespuestashan deserdebidamenterazonadas.
Problema 1.Un ganadero disponedealimento concentrado yforrajeparaalimentarsusvacas.Cadakg.de
alimento concentrado contiene300 gr.deProteínaCruda(PC),100 gr.deFibraCruda(FC)y 2 Mcal.de
EnergíaNetadeLactancia(ENL)ysucostees11euros.Porsuparte,cadakg.deforrajecontiene400gr.de
PC,300gr.deFC y1Mcal.deENL,siendosucoste6,
5euros.Determinalaraciónalimenticiademínimo
costesisabemosquecadavacadebeingeriralmenos3500 gr.dePC,1500 gr.deFC y15 Mcal.deENL.
¿Cuálessucoste?
Problema 2.Una pasteleríahacomprobado queelnúmero depastelesdeun determinado tipo quevende
semanalmentedependedesuprecio p eneuros,segúnlafunción:
n(p )= 2000− 1000p
donde n(p )eselnúmerodepastelesvendidoscadasemana.Calcula:
a) Lafunción I(p )queexpresalosingresossemanalesdelapasteleríaenfuncióndelprecio p decada
pastel.
b) Elprecioalquehayquevendercadapastelparaobtenerlosingresossemanalesmáximos.¿A cuánto
ascenderándichosingresosmáximos?Justificalarespuesta.
Problema 3.En un colegio se va a haceruna excursión a una estación de esquícon tresautobuses:uno
grande,uno mediano y uno pequeño.La cuarta parte de losalumnosapuntadosa la excursión irá en el
autobúspequeño,laterceraparteenelmedianoyelrestoenelgrande.Sabenesquiarel80% delosalumnos
queviajaránenelautobúspequeño,el60% delosqueiránenelmedianoyel40% delosdelautobúsgrande.
a) Calculalaprobabilidaddequeunalumnodelaexcursión,elegidoalazar,sepaesquiar.
b) Elegimosunalumnodelaexcursiónalazaryseobservaquenosabeesquiar.¿Cuáleslaprobabilidad
dequeviajeenelautobúsmediano?
c) Setomaun alumno delaexcursiónalazaryseobservaquesabeesquiar.¿Cuáleslaprobabilidadde
queviajeenelautobúsgrandeoenelpequeño?
3
OPCIÓN B
Todaslasrespuestashan deserdebidamenterazonadas.
Problema1.Enuncinesehanvendidoenunasemanauntotalde1405entradasylarecaudaciónhasidode
7920 euros.Elprecio delaentradanormalesde6 eurosyladeldíadelespectador4 euros.Elpreciodela
entrada para losjubiladosessiempre de 3 euros.Se sabe,además,que la recaudación de lasentradasde
precio reducido esigualal10% delarecaudación delasentradasnormales.¿Cuántasentradasdecadatipo
sehanvendido?
Problema2.Sealafunción:
2
x
f(x)= 1
− x 2 + 6x − 8
0
si1≤ x ≤ 2
si2 < x ≤ 3
si3< x ≤ 4
si4 < x ≤ 5
definidaenelintervalo [1,5] .Sepide:
a) Estudialacontinuidadentodoslospuntosdelintervalo [1,5] .
b) Calcula elárea de la región delplano limitada poreleje de abscisas,lasrectas x = 2 y x = 4 y la
gráficade y= f()
x .
Problema 3.Se tienen diez monedasen una bolsa.Seismonedasson legalesmientrasque lasrestantes
tienendoscaras.Seeligealazarunamoneda.
a) Calculalaprobabilidaddeobtenercaraallanzarla.
b) Siallanzarlasehaobtenidocara,¿cuáleslaprobabilidaddequelamonedaseadecursolegal?
Sisesacandosmonedasalazarsucesivamenteysinreemplazamiento
c) ¿Cuáleslaprobabilidaddequeunasealegalylaotranolosea?
4
BAREM DE L’EXAMEN:
BAREMO DEL EXAMEN:Se el
egi
rá elEJERCICIO A o elEJERCICIO B,delque se harán l
os TRES probl
emas
propuestos.LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudi
antepodrá di
sponerdeuna cal
cul
adora ci
entí
fi
ca o gráfi
ca para real
i
zarelexamen.Seprohí
besu uti
l
i
zaci
ón
i
ndebi
da(paraguardarfórmul
asenmemori
a).
OPCIÓN A
Todaslasrespuestashan deserdebidamenterazonadas.
Problema 1.En un horno mallorquín se fabrican dos tipos de ensaimadas,grandes y pequeñas. Cada
ensaimadagranderequiereparasuelaboración500g. demasay250g. derelleno,mientrasqueunapequeña
requiere250 g. demasay250 g. derelleno. Sedisponede20kg. demasay15kg. derelleno. Elbeneficio
obtenidoporlaventadeunaensaimadagrandeesde2 eurosyeldeunapequeñaesde1,
5euros.
a) ¿Cuántasensaimadasdecadatipotienequefabricarelhornoparaqueelbeneficioobtenidosea
máximo?
b) ¿Cuáleselbeneficiomáximo?
x2 + 1
Problema2.Dadalafunción f (x)= 2
,sepide:
x −9
a) Sudominioypuntosdecorteconlosejescoordenados.
b) Ecuacióndelasasíntotashorizontalesyverticales.
c) Intervalosdecrecimientoydecrecimiento.
d) Máximosymínimoslocales.
e) Representacióngráficaapartirdelainformacióndelosapartadosanteriores.
Problema3.Sesabeque p(B A)= 0,9 ,p(A B)= 0,2 y p(A)= 0,
1.
a) Calcula p(A∩ B )y p(B ).
b) ¿SonindependienteslossucesosA yB?¿Porqué?
c) Calcula p(A∪ B ),donde B representaelsucesocomplementarioocontrariode B .
3
OPCIÓN B
Todaslasrespuestashan deserdebidamenterazonadas.
Problema1.ObténlamatrizX queverifica:
1
2 2
3 2 0 −1 2
X − 2 = 4 −1 3 5
−1 −3 −3 Problema 2.Lasiguientefunción representalavaloración deunaempresaen millonesdeeurosenfunción
deltiempo,t,alolargodelosúltimos13 años:
5− 0,
1t
0≤ t < 5
f ()
t = 4,5+ 0,05(t − 5) 5≤ t < 10
1(t − 10)2 10≤ t ≤ 13
4,75+ 0,
13]:
Estudiaanalíticamenteenelintervalo [0,
a) Silafunción f ()
t esonocontinua,indicandoencasonegativolospuntosdediscontinuidad.
b) Instantet enelquelavaloracióndelaempresaesmáximaydichavaloraciónmáxima.
c) Instantet enelquelavaloracióndelaempresaesmínimaydichavaloraciónmínima.
Problema 3.Al80% de losmiembrosde una sociedad gastronómica le gusta elvino Raïm Negre. Entre
estos,al75% legustaelqueso decabra. Además,aun 4% delosmiembrosdeestasociedadnolegustael
vinoRaïm Negrenielquesodecabra.
a) ¿A quéporcentajelegustatantoelvinoRaïm Negrecomoelquesodecabra?
b) ¿A quéporcentajenolegustaelquesodecabra?
c) Siaun miembro delasociedad legustaelqueso decabra,¿cuáleslaprobabilidaddequelegusteel
vinoRaïm Negre?
d) ¿A quéporcentajelegustaelvinoRaïm Negreentreaquéllosalosquenolesgustaelquesodecabra?
4
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A FACULTATS, ESCOLES TÈCNIQUES SUPERIORS I COL·LEGIS UNIVERSITARIS
PRUEBAS DE ACCESO A FACULTADES, ESCUELAS TÉCNICAS SUPERIORES Y COLEGIOS UNIVERSITARIOS
CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE 2009
SETEMBRE 2009
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
90 minuts
Obligatòria en la via de Ciències Socials i
90 minutos
optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales y optativa
en la de Humanidades
Barem: / Baremo: Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los bloques
elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
BLOQUE A
§ x·
¨ y ¸ que sean soluciones de la ecuación matricial AX
¨z¸
© ¹
PROBLEMA A1. Obtén todas las matrices columna X
§ 1 1 1·
A ¨ 0 1 1¸ y B
¨ 1 2 0¸
©
¹
B , siendo
§ 1·
¨ 1¸ . ¿Cuáles de esas matrices X tienen la primera fila nula?
¨ 0¸
© ¹
PROBLEMA A2. En un sondeo de opinión se obtiene que el número de individuos a favor de cierta normativa duplica a la suma
de los que están en contra y los que no opinan. El total de entrevistados asciende a 360 personas y la diferencia entre los que
expresan su opinión y los que no lo hacen duplica a la diferencia entre el número de individuos a favor y el número de los que
están en contra de la citada normativa. Determina cuántos entrevistados estaban a favor de la normativa, cuántos en contra y
cuántos no opinaron.
BLOQUE B
PROBLEMA B1. Dada la función f ( x)
a)
b)
c)
d)
e)
x
, se pide:
1 x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de las asíntotas horizontales y verticales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA B2. La especialidad de una pastelería es la fabricación de cajas de bombones Xupladits. Los costes de fabricación,
C ( x) en euros, están relacionados con el número de cajas producidas, x, mediante la función:
C ( x)
0,1x 2 20 x 2500
Si el precio de venta de una caja de bombones es de 80 euros y se venden todas las cajas producidas, se pide:
a) La función de ingresos que obtiene la pastelería con la venta de las cajas.
b) La función de beneficios, entendida como diferencia entre ingresos y costes de fabricación.
c) El número de cajas de bombones que se deben producir para maximizar el beneficio y el beneficio máximo.
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PRUEBAS DE ACCESO A FACULTADES, ESCUELAS TÉCNICAS SUPERIORES Y COLEGIOS UNIVERSITARIOS
CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE 2009
SETEMBRE 2009
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS
SOCIALES II
Obligatòria en la via de Ciències Socials i
optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales y
optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Barem: / Baremo: Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los bloques
elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
BLOQUE C
PROBLEMA C1. Cierto estudio de mercado revela que el 50% de los entrevistados consume el producto A, el 40% consume el
B y el 25% no consume ninguno de ellos. Si seleccionamos al azar un individuo de los entrevistados, expresa los siguientes
sucesos en función de los sucesos simples A={Consumir A} y B={Consumir B}, y calcula su probabilidad:
a) Que consuma los dos productos.
b) Que sólo consuma uno de los productos.
c) Si sabemos que consume el producto A, que consuma también el B.
PROBLEMA C2. Se realiza un estudio de mercado sobre la venta de turismos y coches todoterreno y se observa que el 20% de
las compras de todoterreno corresponden a personas que adquieren un coche por primera vez, mientras que este porcentaje se
duplica en el caso de los turismos. Además, el 75% de las ventas de coches corresponde a turismos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer coche adquirido por una persona sea un turismo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona que ha comprado un coche y que éste no sea el primer coche que compra
y, además, sea un todoterreno?
BLOQUE D
PROBLEMA D1. Una empresa va a construir dos tipos de apartamentos, uno de lujo y otro de superlujo. El coste del modelo de
lujo es de 1 millón de euros y del de superlujo de 1,5 millones, disponiendo para la operación de 60 millones de euros. Para evitar
riesgos, se cree conveniente construir al menos tantos apartamentos de lujo como de superlujo y, en todo caso, no construir más de
45 apartamentos de lujo. ¿Cuántos apartamentos de cada tipo le interesa construir a la empresa si quiere maximizar el número total
de apartamentos construidos? ¿Agotará el presupuesto disponible?
PROBLEMA D2. Dado el siguiente sistema de inecuaciones:
­ x t 2
°x 3y 5 t 0
°
® y 4 x t 6
°3 y x d 4
°y x d 2
¯
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del mismo y determina sus vértices.
b) Obtén los puntos donde la función f ( x, y ) 2 x 3 y alcanza los valores mínimo y máximo en dicha región.
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A FACULTATS, ESCOLES TÈCNIQUES SUPERIORS I COL·LEGIS UNIVERSITARIS
PRUEBAS DE ACCESO A FACULTADES, ESCUELAS TÉCNICAS SUPERIORES Y COLEGIOS UNIVERSITARIOS
CONVOCATORIA DE JUNIO 2009
CONVOCATÒRIA DE JUNY 2009
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències Socials
i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los
bloques elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
BLOQUE A
PROBLEMA A1. Un frutero quiere liquidar 500 kg de naranjas, 400 kg de manzanas y 230 de peras. Para ello prepara dos bolsas
de fruta de oferta: la bolsa A consta de 1 kg de naranjas y 2 de manzanas y la bolsa B consta de 2 kg de naranjas, 1 kg de
manzanas y 1 kg de peras. Por cada bolsa del tipo A obtiene un beneficio de 2,5 euros y 3 euros por cada una del tipo B.
Suponiendo que vende todas las bolsas, ¿cuántas bolsas de cada tipo debe preparar para maximizar sus ganancias? ¿Cuál es el
beneficio máximo?
PROBLEMA A2. Resuelve el sistema:
⎧x + y − z = 2
⎪
⎨2 x + z = 3
⎪x + 5 y − 7z = 4
⎩
Si ( x, y, 0) es una solución del sistema anterior, ¿cuáles son los valores de x y de y?
BLOQUE B
PROBLEMA B1. Dada la siguiente función:
⎧− x
x < −1
⎪
f ( x) = ⎨ x − 1
−1 ≤ x < 4
⎪ x2 − 2 x − 6 4 ≤ x < 6
⎩
a) Estudia la continuidad de la función f ( x ) en el intervalo ] − 2, 6[ .
b) Calcula el área de la región del plano limitada por y = f ( x) y por las rectas y = 0 , x = 1 y x = 5 .
PROBLEMA B2. Dada la función f ( x) = x3 − 6 x , se pide:
a)
b)
c)
d)
e)
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos locales.
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
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MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
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i optativa en la d’Humanitats
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90 minuts
90 minutos
Se elegirán TRES de los cuatro bloques y se contestará UN problema de cada uno de los
bloques elegidos. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
BLOQUE C
PROBLEMA C1. Al 20% de los alumnos de 2º de Bachillerato le gusta un grupo musical A, mientras que al 80% restante no le
gusta este grupo. En cambio otro grupo musical B gusta a la mitad y no a la otra mitad. Hay un 30% de alumnos de 2º de
Bachillerato al que no gusta ninguno de los dos grupos. Si se elige un estudiante de 2º de Bachillerato al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que le gusten los dos grupos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos grupos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el grupo B y no el grupo A?
PROBLEMA C2. El 52% de los habitantes en edad de votar de cierto municipio son hombres. Los resultados de un sondeo
electoral determinan que el 70% de las mujeres opina que va a ganar el candidato A, mientras que el 35% de los hombres cree que
ganará el candidato B. Si todos los habitantes han optado por un candidato, contesta las siguientes preguntas:
a) Si hemos preguntado a una persona que cree que ganará B, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona seleccionada al azar sea mujer o crea que va a ganar el candidato A?
BLOQUE D
PROBLEMA D1. El rendimiento de cierto producto en función del tiempo de uso (medido en años) viene dado por la expresión:
f ( x) = 8,5 +
3x
, x ≥ 0.
1 + x2
a) ¿Existen intervalos de tiempo en los que el rendimiento crece? ¿Y en los que decrece? ¿Cuáles son?
b) ¿En qué punto se alcanza el rendimiento máximo? ¿Cuánto vale éste?
c) Por mucho que pase el tiempo, ¿puede llegar a ser el rendimiento inferior al rendimiento que el producto tenía
inicialmente? ¿Por qué?
PROBLEMA D2. Dada la función f ( x) = x3 − 12 x + 7 , se pide:
a)
b)
c)
d)
Hallar sus máximos y mínimos relativos.
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−3,3] .
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−4, 4] .
Hallar sus máximos y mínimos absolutos en el intervalo [−5,5] .
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CONVOCATORIA DE
SETEMBRE 2008
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MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
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i optativa en la d’Humanitats
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90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo integramente
comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la
suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la
mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no se comprara la cámara digital y
todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje.
PROBLEMA 2. Dada la función
a)
x3
, se pide:
1 − x2
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e)
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA 3. Obtén los parámetros r, s y t para que la función f ( x) = x 3 + rx 2 + sx + t tenga un máximo en x = −2 , un
mínimo en x = 0 y pase por el punto (1,-1).
PROBLEMA 4. Una empresa automovilística fabrica su modelo Assegurat en cuatro factorías distintas, A, B, C y D. La factoría
A produce el 40% de los coches de este modelo con un 5% de defectuosos, la B produce el 30% con un 4% de defectuosos, la C el
20% con un 3% de defectuosos y, por último, la factoría D el 10% restante con un 2% de defectuosos. Si elegimos un coche del
modelo Assegurat al azar, calcula:
a)
La probabilidad de que sea defectuoso.
b) Si no es defectuoso, la probabilidad de que haya sido fabricado en la factoría C.
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2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
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i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
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90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
§1 3·
PROBLEMA 1. Dada la matriz A = ¨
¸.
© 4 2¹
a) Halla su inversa.
8 ·
§6
b) Resuelve la ecuación X A2 + 5A = ¨
¸.
©10 −20 ¹
PROBLEMA 2. Cierto armador se dedica a la pesca de rape y merluza. Las cuotas pesqueras imponen que sus capturas totales no
excedan las 30 toneladas (Tm). Por otro lado, la cantidad de rape como máximo puede triplicar a la de merluza y, además, esta
última no puede superar las 18 Tm. Si el precio del rape es de 15 €/kg y el de la merluza 10 €/kg, ¿qué cantidades de cada especie
debe pescar para maximizar sus ingresos?
PROBLEMA 3. La cuenta de resultados (pérdidas o ganancias) en millones de euros, y, de una empresa vienen dadas por la
siguiente función de los años de existencia x de la misma:
y=
a)
5 x 2 + 20 x − 25
x2 + 7
¿A partir de qué año deja la empresa de tener pérdidas?
b) ¿En qué momento alcanza la empresa sus ganancias máximas? ¿A cuánto ascienden éstas?
c)
Describe la evolución de la cuenta de resultados de la empresa. ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?
PROBLEMA 4. Sean A y B dos sucesos aleatorios tales que P( A) = 0,7 , P( B) = 0, 2 y P( A B) = 1 .
a)
Calcula las probabilidades siguientes: P( A ∩ B ) , P( A ∪ B ) y P( B A) .
b) ¿Son los sucesos A y B independientes?
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2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
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90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias
obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2.000 euros, 4.000 euros por una en la urbanización B y
6.000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización
C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la
urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B.
PROBLEMA 2.
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones:
­3 x 2 y t 5
° x 2 y t 1
°
®
°5 x 4 y d 16
°¯ x y d 5
b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior.
c)
Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y )
3x y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.
PROBLEMA 3.
a) Calcula los máximos y mínimos absolutos de la función f ( x)
puntos encontrados son máximos o mínimos absolutos.
x3 6 x 2 9 x 1 en el intervalo [1,4]. Justifica que los
b) Estudia la continuidad en el intervalo [0,4] de la siguiente función:
f ( x)
­2 x 3
® 3
2
¯x 6x 9x 1
0 d x 1
1d x d 4
PROBLEMA 4. Dados dos sucesos A y B , sabemos que p( A ˆ B ) 0,1 , p( A ‰ B ) 0,7 y p( A | B ) 0, 2 .
a) Calcula p( A) y p( B ) .
b) ¿Son independientes los sucesos A y B ? ¿Por qué?
c) Calcula p( A ‰ B ) , donde A representa el suceso complementario o contrario de A .
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2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Determina la matriz X que verifica la ecuación AX I
§ 1 1·
AB t , siendo I la matriz identidad, A ¨
¸,
© 1 1¹
§ 2 1·
t
B ¨
¸ y B la transpuesta de la matriz B.
© 1 1¹
PROBLEMA 2. Dada la función f ( x)
a)
x2
4 x2
, determina:
Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos relativos.
e)
Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.
PROBLEMA 3. El coste de fabricación en euros de x unidades de un artículo viene dado por la función f ( x)
a)
x 2 x 20 .
¿Cuál es la función que determina el coste de fabricación unitario?
b) ¿Para qué producción resulta mínimo el coste unitario? ¿Cuánto vale éste? Justifica que es mínimo.
PROBLEMA 4. El 60% de los alumnos de cierta asignatura aprueba en junio. El 80% de los presentados en septiembre también
aprueba la asignatura. Sabiendo que los alumnos que se presentaron en septiembre son todos los que no aprobaron en junio,
determina:
a)
La probabilidad de que un alumno seleccionado al azar haya aprobado la asignatura.
b) Si sabemos que un estudiante ha aprobado la asignatura, la probabilidad de que haya sido en junio.
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A LES CIÈNCIES SOCIALS II
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Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
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90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Se están preparando dosis con dos tipos de complementos para los astronautas de la nave Enterprise. Cada gramo
del complemento A contiene 2 unidades de riboflavina, 3 de hierro y 2 de carbohidratos. Cada gramo del complemento B contiene
2 unidades de riboflavina, 1 de hierro y 4 de carbohidratos. ¿Cuántos gramos de cada complemento son necesarios para producir
exactamente una dosis con 12 unidades de riboflavina, 16 de hierro y 14 de carbohidratos?
PROBLEMA 2.
a) Halla los vértices de la región determinada por las siguientes inecuaciones:
x
3x y d 12 ,
x 2 y t 3 ,
y t 2,
2
b) Calcula los puntos de la región donde la función f ( x)
2x 3 y t 1 .
3x 2 y alcanza los valores máximo y mínimo y determina éstos.
PROBLEMA 3. Dada la función:
f ( x)
a)
Halla el valor de a para que la función y
­x 2
° 2
® x 6 x 12
°¯2 x a
f ( x) sea continua en el intervalo [0,8].
b) Halla los máximos y mínimos absolutos de y
máximos y mínimos absolutos.
c)
f ( x) en el intervalo [0,4]. Justifica que los puntos encontrados son
Calcula el área de la región del plano limitada por las rectas de ecuación y
PROBLEMA 4. Se sabe que p( A)
a)
0d x2
2 d x d 4
4 x d8
0, 4 , p( B )
0, 6 y p( A ‰ B )
0, x
0, x
0, 7 .
¿Son independientes los sucesos A y B? ¿Por qué?
b) Calcula p( A ˆ B ) , donde B representa el suceso complementario o contrario de B .
c)
Calcula p( A ˆ B ) .
3 y la gráfica de y
f ( x) .
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problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Obtén todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales:
­ x y z 1
°
® 2x y z 0
°¯ 2 x 7 y z 4
PROBLEMA 2. Dada la función f ( x)
a)
x2 4
, se pide:
2x 3
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas verticales y horizontales.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos locales.
e)
Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA 3. Dada la función y
a)
x 3 9 x 2 24 x 3 :
Calcula los máximos y mínimos locales. Justifica que los puntos encontrados son máximos y mínimos locales.
b) Halla el área de la región del plano determinada por la gráfica de y
f ( x) y las rectas y
0, x
0 y x
5.
PROBLEMA 4. De dos tiradores se sabe que uno de ellos hace 2 dianas de cada 3 disparos, y el otro consigue 3 dianas de cada 4
disparos. Si los dos disparan simultáneamente, calcula:
a)
La probabilidad de que los dos acierten.
b) La probabilidad de que uno acierte y el otro no.
c)
La probabilidad de que ninguno acierte.
d) La probabilidad de que alguno acierte.
e)
Sumar las probabilidades de a), b) y c), justificando la suma obtenida.
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90 minuts
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Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
(
)
PROBLEMA 1. Dada la matriz A = 1 2 , calcula A ⋅ At − 5 A−1 , siendo At y A−1 las matrices transpuesta e inversa de A ,
−1 3
respectivamente.
PROBLEMA 2. Una fábrica de fertilizantes produce dos tipos de abono, A y B, a partir de dos materias primas M1y M2. Para
fabricar 1 tonelada de A hacen falta 500 Kg. de M1 y 750 Kg. de M2, mientras que las cantidades de M1 y M2 utilizadas para
fabricar 1 Tm. de B son 800 Kg. y 400 Kg., respectivamente. La empresa tiene contratado un suministro máximo de 10 Tm. de
cada materia prima y vende a 1.000 € y 1.500 € cada Tm. de abono A y B, respectivamente. Sabiendo que la demanda de B nunca
llega a triplicar la de A, ¿cuántas toneladas de cada abono debe fabricar para maximizar sus ingresos y cuáles son éstos?
PROBLEMA 3.
a)
Estudia la continuidad de la función y = f ( x) en el intervalo [ −4, 2] , siendo:
2

f ( x) =  x 2
 1
x ≤ −3
−3 < x < 1
x ≥1
b) Calcula el área limitada por la gráfica de la función y = f ( x) , las rectas x = −3, x = 2 y el eje de abscisas.
PROBLEMA 4. Un test para detectar si una persona es portadora del virus de la gripe aviar da positivo en el 96% de los pacientes
que la padecen y da negativo en el 94% de los pacientes que no la padecen. Si una de cada ciento cuarenta y cinco personas es
portadora del virus y una persona se somete al test, calcula:
a)
La probabilidad de que el test dé positivo.
b) La probabilidad de que sea portadora del virus, si el resultado del test es positivo.
c)
La probabilidad de que el test sea negativo y no sea portadora del virus.
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MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
JUNIO 2007
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES
A LES CIÈNCIES SOCIALS II
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències Socials
i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria).
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas.
PROBLEMA 1. Los tres modelos existentes de una marca de automóviles cuestan 12.000, 15.000 y 22.000 euros,
respectivamente. Un concesionario ha ingresado 1.265.000 euros por la venta de automóviles de esta marca. ¿Cuántos coches ha
vendido de cada modelo si del más barato se vendieron tantos como de los otros dos juntos y del más caro la tercera parte de los
coches que cuestan 15.000 euros?
PROBLEMA 2.
a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema determinado por las siguientes inecuaciones:
3y − 4x − 8 ≤ 0 ,
y ≥ −4 x + 4 ,
y≥2,
x ≤ 1.
b) Halla los vértices de la región anterior.
c)
Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función f ( x, y ) = 3 x − y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.
PROBLEMA 3. La función y = f ( x) tiene las siguientes propiedades:
• Su dominio es la recta real salvo los puntos −1 y 1. Es continua en todo su dominio y corta al eje OX en el punto
(2, 0) .
• Tiene una asíntota horizontal en y = 0 , con f ( x) < 0 si x > 2 y f ( x) > 0 si x < 2 , x ≠ 1 , x ≠ −1 .
• Tiene una asíntota vertical en x = 1 , con lim+ f ( x) = +∞ y lim− f ( x) = +∞ .
x →1
x →1
• Tiene una asíntota vertical en x = −1 , con lim+ f ( x) = +∞ y lim− f ( x) = +∞ .
x →−1
x →−1
• Tiene un mínimo en (4, −2) y otro en (0,3) . No tiene máximos.
a)
Representa gráficamente dicha función.
b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
PROBLEMA 4. La probabilidad de que haya un incidente en una fábrica que dispone de alarma es 0,1. La probabilidad de que
suene ésta si se ha producido algún incidente es 0,97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0,02.
a)
Calcula la probabilidad de que no suene la alarma.
b) En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT
COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
PROVES D’ACCÉS A FACULTATS, ESCOLES TÈCNIQUES SUPERIORS I COL·LEGIS UNIVERSITARIS
PRUEBAS DE ACCESO A FACULTADES, ESCUELAS TÉCNICAS SUPERIORES Y COLEGIOS UNIVERSITARIOS
CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE
SETEMBRE 2006
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE):
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE):
SEPTIEMBRE 2006
d’Humanitats i Ciències Socials
de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
Barem: / Baremo:
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria)
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
 3 −1
t
PROBLEMA 1. Determina la matriz A que verifica la ecuación AB + A = 2 Bt , donde B = 
 y B representa la matriz
0
2


transpuesta de B.
PROBLEMA 2. Una destilería produce dos tipos de whisky blend mezclando sólo dos maltas destiladas distintas, A y B. El
primero tiene un 70% de malta A y se vende a 12 €/litro, mientras que el segundo tiene un 50% de dicha malta y se vende a 16
€/litro. La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente ¿Cuántos litros de cada whisky debe producir la
destilería para maximizar sus ingresos, sabiendo que la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del
80%? ¿Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería?.
PROBLEMA 3.
a)
Determina el valor de a para que la siguiente función sea continua en x = −1 :
x < −1
3x + a

f ( x) = ax + 2
−1 ≤ x < 1
(2 x − 11) /( x − 3) x ≥ 1

b) Estudia la continuidad de la función anterior en el caso a = 0 .
c)
Halla la integral entre −2 y 2 de la función f ( x) = x3 − 2 .
PROBLEMA 4. Un estudio revela que el 10% de los oyentes de radio sintoniza a diario las cadenas Music y Rhythm, que un 35%
sintoniza a diario Music y que el 55% de los oyentes no escucha ninguna de las dos emisoras. Obtén:
a)
La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm.
b) La probabilidad de que un oyente elegido al azar sintonice la cadena Rhythm pero no la Music.
c)
La probabilidad de que un oyente, del que sabemos que escucha Rhythm, escuche Music.
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2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES SOCIALS Obligatòria en la via de Ciències Socials
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
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90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria)
EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres
grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad de los del grupo A, las cuatro quintas partes de los
del B y las dos terceras partes de los del C. A una salida fuera del centro acudieron las tres cuartas partes de los alumnos del grupo
A, todos los del B y las dos terceras partes de los del C, sumando en total 52 estudiantes. ¿Cuántos alumnos hay en cada grupo?
PROBLEMA 2. Dada la función f ( x) =
a)
2x
x2 +1
, se pide:
Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Ecuación de sus asíntotas.
c)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
d) Máximos y mínimos relativos.
e)
Utiliza la información anterior para representarla gráficamente.
PROBLEMA 3. El dinero en efectivo, en euros, de una oficina bancaria durante las seis horas que permanece la caja abierta al
público viene dado por la expresión C (t ) = 2000 − 234t + 27t 2 , siendo t el tiempo en horas transcurrido desde la apertura.
Determina:
a)
¿En qué momento hay más dinero en efectivo y cuánto?
b) ¿En qué momento hay menos dinero en efectivo y cuánto?
Justifica que son máximo y mínimo, respectivamente.
PROBLEMA 4. Dados dos sucesos aleatorios independientes se sabe que la probabilidad de que ocurran los dos simultáneamente
es 3/25 y la de que ocurra al menos uno de los dos es 17/25. Calcula la probabilidad de cada uno de los dos sucesos.
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CONVOCATÒRIA DE
CONVOCATORIA DE
JUNY 2006
JUNIO 2006
MODALITAT DEL BATXILLERAT (LOGSE): d’Humanitats i Ciències Socials
MODALIDAD DEL BACHILLERATO (LOGSE): de Humanidades y Ciencias Sociales
IMPORTANT / IMPORTANTE
2n Exercici
2º. Ejercicio
MATEMÀTIQUES APLICADES A LES CIÈNCIES
SOCIALS
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
Barem: / Baremo:
Obligatòria en la via de Ciències
Socials i optativa en la d’Humanitats
Obligatoria en la vía de Ciencias Sociales
y optativa en la de Humanidades
90 minuts
90 minutos
Se eligirá el EJERCICIO A o el EJERCICIO B, del que SÓLO se harán TRES de los cuatro
problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
indebida (para guardar fórmulas en memoria)
EJERCICIO A
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de
euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000,
250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros
en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la
primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la
rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.
PROBLEMA 2. Dada la función y = x 3 + x 2 − 5 x + 3 , se pide:
a)
Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados.
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c)
Máximos y mínimos locales.
d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores.
PROBLEMA 3. Los beneficios anuales B ( x ) , en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen
dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:
B ( x) =
a)
25x
x + 16
2
.
¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio?
Justifica que es máximo.
b) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué?
PROBLEMA 4. Sean A y B dos sucesos tales que P ( A ∪ B ) = 0,9 ; P ( A) = 0, 4 , donde A denota el suceso contrario o
complementario del suceso A, y P ( A ∩ B ) = 0, 2 . Calcula las probabilidades siguientes: P ( B ) , P ( A B) P ( A ∩ B ) y P ( A ∪ B ) .
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CONVOCATORIA DE
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problemas. LOS TRES PROBLEMAS PUNTÚAN POR IGUAL.
Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica para realizar el examen. Se prohíbe su utilización
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EJERCICIO B
Todas las respuestas han de ser debidamente razonadas
PROBLEMA 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Cramer:
x + y −2 z = −6

x
+ z = 5
2x − y
= 11
PROBLEMA 2. Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 y 65 euros por barril,
respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95, 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2
barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1, 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos,
respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26.300 barriles de gasolina 95, 40.600 barriles de gasolina 98 y 29.500
barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de
producción con un coste mínimo y calcula éste.
PROBLEMA 3.
a)
Estudia la continuidad en el intervalo [-3, 3] de la función:
−3 ≤ x < −2
3 x + 10
 2
−2 ≤ x < 1
f ( x) =  x
( x + 3) / 2
1≤ x ≤ 3

b) Halla la integral entre 2 y 3 de la función f ( x ) = 2 x 3 − 3x + 2 .
PROBLEMA 4. El volumen de producción diario en tres fábricas diferentes de una misma empresa es de 1.000 unidades en la
primera fábrica, 1.500 unidades en la segunda y 2.500 en la tercera. Por ciertos desajustes, algunas unidades salen defectuosas.
En concreto, lo son el 1% de las unidades producidas en las dos primeras fábricas y el 3% de las producidas en la tercera.
a)
¿Qué proporción de unidades fabricadas son correctas?
b) Si se tiene una unidad defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricada en la tercera fábrica?