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Procesamiento digital de señales (DSP)
aplicado a datos crudos de radares de
apertura sintética. Parte 1era.: algunos
fundamentos de DSP
Dr. A. Zozaya
Investigador Prometeo
Quito, mar/2015
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
DSP-SaR
Quito, mar/2015
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Introducción
Introducción
DSP o FPGA
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Introducción
Contenido
1era. Parte
1 Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Convolución de tiempo discreto
Transformada de Fourier
Transformada Discreta de Fourier
Muestreo de señales analógicas
2 Compresión de pulsos de señales moduladas linealmente
en frecuencia
Señal modulada linealmente en frecuencia
Comprensión de pulsos
3 Referencias
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Convolución de tiempo continúo
2 filtrar ) convolución
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Convolución de tiempo continúo
2 filtrar ) convolución
y (t) = s(t) ˜ h(t)
Z
1
Z
`1
1
y (t) = s(t) ˜ h(t) =
s(u)h(t ` u) du
s(t ` u)h(u) du
=
`1
2 h(t): respuesta impulsiva del filtro. s(t): la señal.
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Convolución de tiempo continúo
2 filtrar ) convolución
y (t) = s(t) ˜ h(t)
Z
1
Z
`1
1
y (t) = s(t) ˜ h(t) =
s(u)h(t ` u) du
s(t ` u)h(u) du
=
`1
2 h(t): respuesta impulsiva del filtro. s(t): la señal.
Filtro de duración finita T
Z
t+T =2
y (t) = s(t) ˜ h(t) =
s(u)h(t ` u) du
t`T =2
Z
T =2
s(t ` u)h(u) du
=
`T =2
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Algunas propiedades y la
correlación
Linealidad
[¸s1 (x ) + ˛s2 (x )] ˜ h(x ) = ¸s1 (x ) ˜ h(x ) + ˛s2 (x ) ˜ h(x )
Conmutatividad
s(t) ˜ h(t) = h(t) ˜ s(t)
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Algunas propiedades y la
correlación
Linealidad
[¸s1 (x ) + ˛s2 (x )] ˜ h(x ) = ¸s1 (x ) ˜ h(x ) + ˛s2 (x ) ˜ h(x )
Conmutatividad
s(t) ˜ h(t) = h(t) ˜ s(t)
Correlación (cruzada)
Z
1
s(u)h˜ (u ` t) du
Φsh (t) =
`1
2 es una medida de la similitud de dos formas de onda como una función
de un retraso de tiempo fi aplicado a uno de ellos.
2 el eje de tiempo del filtro no es reversado y h(t) se conjuga.
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Algunas propiedades y la
correlación
La correlación cruzada no es conmutativa!!!
Φsh (t) = Φ˜hs (`t)
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo continuo
Algunas propiedades y la
correlación
La correlación cruzada no es conmutativa!!!
Φsh (t) = Φ˜hs (`t)
Correlación (cruzada) y convolución
Z
1
s(u)h˜ (t ` u) du = s(t) ˜ h˜ (`t)
Φsh (t) =
`1
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Convolución de tiempo discreto
Convolución de tiempo discreto
Convolución de tiempo discreto (www)
y (n) =s[n] ˜ h[n]
=
M`1
X
k=0
2
2
2
2
n
X
s[n ` k]h[k] =
s[k]h[n ` k]
k=n`(M`1)
N: número de muestras de la señal s[n].
M: número de muestras de la respuesta impulsiva del filtro.
Normalmente (caso SAR) M<N.
Ej. s=[1/2 1 1/2] y h=[1 1].
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier (tiempo
continuo)
Ecuación de análisis
Z
1
g(t)e`|2ıft dt
G (f ) =
`1
Ecuación de síntesis
Z
1
G (f )e|2ıft df
g(t) =
`1
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
I
DFT
G [k] =
N`1
X
g[n]e`|
2ık
N
n
;
k = 0; 1; : : : ; N ` 1
n=0
2 ∆f = fs =N, 2 G [k] = G (kfs =N). From www:
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
II
Evaluación numérica de la DFT
2
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
4
G [0]
6
G [1] 7
7
6
7
6
..
7
6
7
6
.
7 = exp 6`j 2ı
7
6
G [k] 7
N
6
7
6
..
7
6
5
4
.
G [N ` 1]
3
2
|
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
32
0
1 C
C“
.. C
C 0
. A|
N`1
0
1
B
B
B
B
@
|
{z
Nˆ1
}
{z
NˆN
DSP-SaR
1
´´´
{z
1ˆN
76
76
76
6
”7
76
6
N`1 7
76
6
}7
76
76
54
g[0]
g[1] 7
7
7
..
7
7
.
7
g[n] 7
7
7
..
7
5
.
g[N ` 1]
3
}
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
III
En MATLAB
function X=dft(x)
N=length(x);
W=exp(-j*(2*pi/N)*[0:N-1]’*[0:N-1]);
X=W*x’;
IDFT
g[n] =
N`1
2ık
1 X
G [k]e| N n ;
N
n = 0; 1; : : : ; N ` 1
k=0
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier
IV
Evaluación numérica de la IDFT
g[0]
6 g[1] 7
6
7
6
6
7
6
6
..
7
6
6
„ «
7
6
6 2ı
1
.
7=
6
6j
exp
6 g[n] 7
6
N
6
7
6 N
7
6
6
.
7
6
6
.
5
4
4
.
g[N ` 1]
2
3
|
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
G [0]
7 6 G [1] 7
7
76
7
76
..
7
6
”7
7
76
.
7
6
N`1 7
7 6 G [k] 7
6
7
}7
7
76
..
7
76
5
54
.
G [N ` 1]
32
2
0
1 C
C“
.. C
C 0
. A|
N`1
0
1
B
B
B
B
@
|
{z
Nˆ1
}
{z
NˆN
DSP-SaR
1
´´´
{z
1ˆN
3
}
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier I
Conjugación compleja
g ˜ (t) $ G ˜ (`f )
Linealidad
¸g1 (t) + ˛g2 (t) $ ¸G1 (f ) + ˛G2 (f )
Escalamiento
g(at) $
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1
G
jaj
DSP-SaR
f
a
„ «
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier II
Desplazamiento/modulación
g(t ` t0 ) $G (f )e`2ıft0
g(t)e2ıf0 t $G (f ` f0 )
Valor medio (caso continuo)
Z
1
G (0) =
g(t) dt
`1
Z 1
g(0) =
G (f ) df
`1
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier III
Valor medio (caso discreto)
G [0] =
N`1
X
g[t]
n=0
N`1
1 X
g[0] =
G [f ]
N n=0
Simetría
G (f ) = G ˜ (`f )
2 Cierto para g(t) real
2 Simetría conjugada
2 RealfG (f )g es simétrica respecto f = 0
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier IV
2 ImagfG (f )g es antisimétrica respecto f = 0
2 g(t) complejo: frecuencias + y ` representan información
independiente
Teorema de Parseval (caso continuo)
Z
1
1
Z
jg(t)j2 dt =
`1
jG (f )j2 df
`1
Teorema de Parseval (caso discreto)
N`1
X
n=0
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
jg[t]j2 =
N`1
1 X
jG [f ]j2
N n=0
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier V
Convolución $ multiplicación (www)
g1 (t) ˜ g2 (t) $G1 (f )G2 (f )
g1 (t)g2 (t) $G1 (f ) ˜ G2 (f )
Convolución circular $ multiplicación (www)
g1 [n] N g2 [n] $G1 [k]G2 [k]
g1 [n]g2 [n] $G1 [k] N G2 [k]
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier VI
Convolución circular (ver www)
3
2N`1
X
g1 [k]g2 [((n ` k))N ]5 RN [n]
g1 [n] N g2 [n] = 4
k=0
donde g2 [((n))N ] =
P1
‘=`1 g2 [n ` ‘N] es la «extensión periódica» de g2 [n].
g1 [n] N g2 [n] = [g1 [n] ˜ g2 [((n))N ]] RN [n]
Convolución circular
2 Convolución circular ) convolución lineal + aliasing
2 En general:
g1 [n] N g2 [n] 6= g1 [n] ˜ g2 [n]
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Propiedades de la transformada
de Fourier VII
Zero padding
2
2
2
2
2
añadir ceros al final de una secuencia
interpolar en el dominio transformado
ajustar la separación entre muestras
tamaño de la secuencia ! 2M , M apropiado para la FFT
no cambia la información de la secuencia
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Ejemplos de la transformada de
Fourier I
Pulsos rectangular/sinc (ver [www])
t
$ fi sinc(f fi )
fi
„ «
t
sinc
$ fi rect(f fi )
fi
„
«
rect
donde
(
rect(x ) =
1;
0;
if jx j » 0:5
en el resto
sin(ıx )
ıx
2 ancho de 3 dB de la función sinc(x ) ı 0:886=fi
sinc(x ) =
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Ejemplos de la transformada de
Fourier II
rect(t/τ), τ = 1 [s]
sinc(fτ)
1
1
0.5
0.5
0
−1
−0.5
0
t [s]
0.5
1
0
−4
−2
0
f [Hz]
2
4
−2
0
f [Hz]
2
4
τ = 0.5 [s]
1
1
0.5
0.5
0
−1
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−0.5
0
t [s]
0.5
1
DSP-SaR
0
−4
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Ejemplos de la transformada de
Fourier III
Tono puro
e|2ıf0 t $ ‹(f ` f0 )
2 Un tono puro se transforma en un pulso
2 Para «verlo» tal cual se requiere que la frecuencia f0 del pulso
coincida con algún valor de las muestras de frecuencias kfs =N, o sea
existe un k 0 tal que k 0 fs =N = f0 .
2 De otra forma, la energía de la función monocromática se «derrama»
(leakage) en las muestras vecinas (Ejemplo)
Caso discreto (ver [www])
“
„
rect
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
n
T
«
$
sin ı Kk N
“
sin ı Kk
”
”
DSP-SaR
ı Nsinc
„
N
k
K
«
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Ejemplos de la transformada de
Fourier IV
donde N es el número de unos, y K el número total de muestras,
incluyendo los ceros añadidos para hacer zero padding y mejorar la
«resolución» gráfica
10
9
¡ k ¢
sin π K
N
¡ k¢
sin π K
8
µ
¶
k
Nsinc N
K
7
6
5
4
3
2
1
0
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
0
100
200
300
400
500
k
DSP-SaR
600
700
800
900
1000
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Ejemplos de la transformada de
Fourier V
Tren de impulsos
1
X
n=`1
1
X
‹(t ` nTs ) $
‹(f ` nfs )
n=`1
donde fs = 1=Ts .
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Transformada Discreta de Fourier
Convolución usando la DFT I
Convolución cíclica
s[n] ˙ h[n] = IDFT fDFT fs[n]gDFT fh[n]gg
donde s(n) es de duración n1 , h(n) de duración n2 , tal que (usualmente
en SAR) n1 > n2 , y donde h(n) es completada con ceros hasta alcanzar
una longitud de n1 para obtener n1 ` n2 + 1 convoluciones completas
[CW05]. O ambas se completan con cero hasta N = n1 + n2 ` 1 si se
desea obtener las convolución líneal a partir de la cíclica.
En MATLAB
ifft(fft(s,N).*fft(h,N));
donde N es tal que 2N – n1 + n2 ` 1 si se desea obtener la convolución
lineal a partir de la ciclíca, o N se escoge de manera que 2N – n1 ` n2 + 1
si solo nos interesan las convoluciones completas [CW05].
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Muestreo de señales I
t-continuo, duración 1
t-continuo, duración finita
t-discreto, duración 1
t-discreto, duración finita
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Muestreo de señales II
Tasa de muestreo de Nyquist
2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual al doble de la más
alta componente en fecuencia de la señal, si esta es real.
2 La frecuencia de muestreo ha de ser mayor o igual a la más alta
componente en fecuencia de la señal, si esta es compleja.
Factor de sobremuestreo
rata actual de muestreo
rata de muestreo de Nyquist
2 Usualmente del orden de 1.1 a 1.4 [CW05].
factor de sobremuestreo =
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Ventanas de suavizado I
Propósito
2 Aliviar efectos del truncamiento abrupto ! secuencias finitas
2 secuencias simétricas
2 secuencias reales
2 «weighting»: mayor «peso» en el centro que hacia los extremos
2 En la compresión de pulsos: control de lóbulos laterales + preservar
la resolución (ancho de 3 dB del lóbulo principal, ej.: 0.886 del ancho
de cruce por cero de la sinc(x))
2 Varias ventanas: Kaiser, Hanning, Hamming, etc.
2 Ventana de Kaiser: mejor compromiso reducción de lóbulos
laterales/resolución
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Ventanas de suavizado II
Ventana de Kaiser (dominio t)
J0
„ q
˛
wk (t; fi ) =
1 ` (2t=fi )2
«
J0 (˛)
;
(x 2 =4)m
`
fi
fi
»t »
2
2
Rı
m
donde J0 (x ) = 1
, o J0 (x ) = (1=ı) 0 e|x cos „ d„, es la
m=0 (`1)
(m!)2
función de Bessel de orden cero, y el parámetro ˛ permite ajustar el
suavizado o caída de la ventana hacia los extremos.
P
Ventana de Kaiser (dominio f)
J0
Wk (f ; F ) =
„ q
˛
1 ` (2f =F )2
J0 (˛)
«
;
`
F
F
»f »
2
2
2 ˛ = 0 ! ventana de Kaiser = ventana rectangular
2 para ˛ > 0 el suavizado hacia los extremos produce un
ensanchamiento del ancho de 3 dB en el dominio transformado, a la vez
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Ventanas de suavizado III
que reduce la relación valor pico del lóbulo principal al valor pico del
lóbulo lateral más grande.
2 Un valor adecuado de ˛ = 2:5: peso en los extremos = 1=3 peso en el
centro.
En MATLAB
w=kaiser(N,beta)
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Interpolación I
g(t) =
X
g[n]h(t ` nTs )
n
donde:
2 g[n]: muestras de g(t)
2 g[n] = g(t) cuando nTs = t, siendo Ts la tasa de muestreo que cumple
el criterio de Nyquist
2 h(t) es la función interpoladora, o núcleo de interpolación
2 h(t) es una función par de t: h(n ` t) = h(t ` n)
2 la muestra de g(t) en n, g[n], hace de peso de la función interpoladora
h(t ` nTs )
2 el valor g(t) interpolado en t, se obtiene mediante la suma de los
productos de la función interpoladora h(t), desplazada nTs segundos:
h(t ` nTs ), evaluada en t, por las muestras g[n] alrededor de t.
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Fundamentos de procesamiento digital de señales
Muestreo de señales analógicas
Interpolación II
De acuerdo al Teorema de muestreo de Nyquist:
2 si g(t) es limitada en frecuencia
2 la frecuencia de muestreo es igual o mayor al doble de la máxima
frecuencia de g(t), siendo g(t) real, entonces:
Función de interpolación sinc(t)
h(t) = sinc(t) =
g(t) =
X
sin ıt
ıt
g(n)sinc(t ` n)
n
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Compresión de señales FM
Compresión de pulsos
Introducción
2
2
2
2
2
SNR " ! (a) PTx `peak ", ó (b) fip "
PTx `peak ": limitaciones físicas
fip " compromete la resolución en distancia
menor fi mayor resolución: ‹R = cfi =2
SNR y resolución = conflicto
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33 / 52
Compresión de señales FM
Compresión de pulsos
fip " ) B #
τsinc (τf )
2
½
µ ¶¾
t
FT rect
,
τ
½
µ ¶¾
t
FT rect
,
τ
1.5
1
τ = 1 [s]
τ = 2 [s]
0.5
0
−0.5
−4
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
−3
−2
−1
0
f [Hz]
DSP-SaR
1
2
3
4
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34 / 52
Compresión de señales FM
Compresión de pulsos
Cómo resolver el conflicto?
2
2
2
2
2
compresión de pulsos ! técnica del procesamiento de señales
Usada en los sistemas de «sondeo»: radar, sonar, sísmico, etc.
minimizar el «pico» de potencia
maximizar el SNR (Signal to Noise Ratio)
«buena» resolución
Cómo lograr fi " ) B "
2 Respuesta: señal chirp
Señal FM de radio frecuencia
„
sRF (t) = w
t
fi
«
cos 2ıf0 t + ıKt 2
`
´
donde fi es la duración de la ventana w(t=fi ), `fi =2 < t < fi =2 el tiempo
en segundos, K la «rata» de modulación lineal de frecuencia en hercios
por segundo, y f0 es la frecuencia de portadora
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DSP-SaR
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Señal FM en el tiempo
Señal FM en banda base
„
s(t) = rect
t
fi
«
exp |ıKt 2
`
´
2 donde fi es la duración del pulso rectangular, `fi =2 < t < fi =2 el
tiempo en segundos y K la «rata» de modulación lineal de frecuencia en
hercios por segundo
2 Ancho de banda B = jK jfi (fi " ) B ")
2 Ejemplo: fi = 7:24 [—s], B = 5:8 [Mz], TBP = fi ˆ B = 42, factor de
sobremuestreo = 5
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Señal FM en el tiempo
`fi =2 < t < fi =2
(a) Parte real de s(t)
(c) Fase de s(t)
1
100
Radianes
Amplitud
0.5
0
−0.5
−1
−4
−2
0
t [s]
2
50
0
−50
−4
4
−6
1
4
0.5
2
[Hz]
Amplitud
x 10
(b) Parte imaginaria de s(t)
0
−0.5
−1
−4
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
−2
0
t [s]
2
0
t [s]
2
4
−6
x 10
6
x 10 (d) Frecuencia de s(t)
0
−2
−2
0
t [s]
2
4
−6
x 10
DSP-SaR
−4
−4
−2
4
−6
x 10
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Señal FM en el tiempo
0 < t < fi
(c) Fase de s(t)
300
0.5
200
Radianes
Amplitud
(a) Parte real de s(t)
1
0
−0.5
−1
0
2
4
t [s]
6
8
100
0
−100
0
−6
x 10
(b) Parte imaginaria de s(t)
1
6
4
t [s]
6
8
−6
x 10
6
x 10 (d) Frecuencia de s(t)
2
−0.5
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
6
4
0
−1
0
4
t [s]
[Hz]
Amplitud
0.5
2
2
4
t [s]
6
8
−6
x 10
DSP-SaR
0
0
2
8
−6
x 10
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Señal FM en la frecuencia
Z
1
„
rect
S(f ) =
`1
t
fi
«
exp |ıKt 2 e`|2ıft dt
`
´
2 Para TBP = fi ˆ B > 100:
Solución analítica aproximada (POSP)
„
S(f ) = rect
f
K fi
«
exp
`|ı
f2
K
!
2 POSP: Principle of Stationary Phase
2 Ejemplo: TBP = 720, factor de sobremuestreo = 1:25
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Señal FM en la frecuencia
(a) Parte real de S(f)
(c) Espectro de magnitudes |S(f)|
40
40
30
Magnitud
Amplitud
20
0
20
10
−20
0
−40
−0.1
−0.05
0
fN
0.05
0.1
−0.5
(b) Parte imaginaria de S(f)
0
fN
0.5
(d) Fase de S(f)
40
600
[Hz]
Amplitud
20
0
200
−20
−40
−0.1
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
400
−0.05
0
fN
0.05
0.1
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0
−0.5
0
fN
0.5
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Muestreo de la señal FM I
Frecuencia de muestreo de la señal FM
2 fs > B
2 Factor de sobremuestreo ¸os :
¸os =
fs
fs
=
B
jK jfi
2 No gap ! rata de muestreo muy baja
2 gap > 20 % de fs , la rata de muestreo es mayor que la óptima en
términos de eficiencia de procesado [CW05]
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Señal modulada linealmente en frecuencia
Muestreo de la señal FM II
Parte real de s(t)
Espectro de magnitudes
15
10
5
0
1
0
−1
−2
0
2
α =1.4
os
Espectro de magnitudes
15
10
5
0
200 400 600 800 1000
−5
0
−6
x 10
15
10
5
0
1
0
−1
−2
0
2
α =1.2
os
15
10
5
0
200 400 600 800 1000
−5
0
−6
x 10
15
10
5
0
0
−1
−2
0
2
αos=1
15
10
5
0
200 400 600 800 1000
−5
−6
−1
−2
0
2
Tiempo [s] x 10−6
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
5
x 10
15
10
5
0
0
0
6
x 10
1
5
6
x 10
1
5
6
x 10
αos=0.8
200 400 600 800 1000
Frecuencia [k]
DSP-SaR
15
10
5
0
−4
−2
0
2
4
Frecuencia [Hz] x 106
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos I
Principios
2 Como comprimir un pulso chirp?
2 «correlando» el pulso consigo mismo:
Z
1
s(u)s ˜ (u ` t) du
sM (t) =
`1
2 «convolucionando» el pulso con una función de transferencia (filtro
adaptado)
h(t) = s ˜ (`t)
Z
1
sM (t) = s(t) ˜ h(t) =
s(u)h(t ` u) du
`1
Z 1
sM (t) = s(t) ˜ s ˜ (`t) =
s(u)s ˜ (u ` t) du
`1
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos II
2 Medida cuantitativa de la compresión:
razón de compresión = Cr =
longitud del pulso original
ancho de 3 dB del pulso comprimido
2 Cr ı TBP (orden de 100s ¨ 1000s)
Compresión en el dominio del tiempo
2 eco:
„
s(t) = rect
t ` ∆t
fi
«
exp |ıK (t ` ∆t)2
ˆ
˜
2 filtro adaptado:
„
h(t) = rect
t
fi
«
exp `|ıK (t)2
ˆ
˜
2 ∆t = 0
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos III
para TBP elevado:
sM (t) ı fi sinc (K fi (t ` ∆t))
2 Cr ı 0:886jK jfi 2
2 Problema: para K = 0:41 ˆ 1012 [Hz/s] y fi = 42 ˆ 10`6 [s] (Caso:
RADARSAT, haz de media resolución), calcular: (a) B, (b), resolución
en [s] y (c) Cr (pág. 84 de [CW05]).
2 Ejemplo: K = 0:8011 ˆ 1012 [Hz/s], fi = 7:24 ˆ 10`6 [s]:
B = K fi = 5:8 [MHz] y la resolución ı 0:15 [—s].
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos IV
(b) Señal comprimida sM(t)
(a) Parte real de s(t)
0
Magnitud [dB]
Amplitud
1
0.5
0
−0.5
−1
−2
0
t [s]
−10
−20
−30
2
−6
x 10
(c) Señal comprimida sM(t)
Radianes
Amplitud
4
3.5
t [s]
4
4.5
−6
5
200
100
0
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
3.5
t [s]
x 10
(d) Señal comprimida sM(t)
300
−100
0
3
2
4
t [s]
0
−5
6
−6
x 10
DSP-SaR
3
4.5
−6
x 10
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos V
(b) Señal comprimida sM(t)
(a) Parte real de s(t)
0
Magnitud [dB]
Amplitud
2
0
−2
−2
0
t [s]
−10
−20
−30
2
−6
x 10
(c) Señal comprimida sM(t)
4
3.5
t [s]
4
4.5
−6
5
200
Radianes
Amplitud
3.5
t [s]
x 10
(d) Señal comprimida sM(t)
300
100
0
−100
0
3
2
4
t [s]
0
−5
6
−6
x 10
3
4.5
−6
x 10
s=s+randn(size(s))*0.75: SNR=2.5 dB.
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos VI
Compresión en el dominio de la frecuencia
2 eco (usando la aproximación POSP):
„
S(f ) = rect
f
K fi
«
exp
`|
f2
K
!
exp(`|2ıf ∆)
2 filtro adaptado:
„
H(f ) = rect
f
K fi
!
exp
f2
|
K
f
K fi
exp(`|2ıf ∆)
«
2 salida del filtro
„
SM (f ) = S(f )H(f ) = rect
«
sM (t) = K fi sinc (K fi (t ` ∆))
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos VII
Implementación con MATLAB (Opción 1)
t=-tau/2:Ts:tau/2;
s=exp(1j*pi*K*(t.ˆ2));
h=exp(-1j*pi*K*(t.ˆ2));
N=512;
S=fft(s,N);
H=fft(h,N);
SM=S.*H;
sM=ifft(SM);
2 Ejercicio Replicar los resultados anteriores usando la Opción 1.
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Compresión de pulsos VIII
Implementación con MATLAB (Opción 2)
t=-tau/2:Ts:tau/2;
s=exp(1j*pi*K*(t.ˆ2));
N=512;
S=fft(s,N);
H=conj(S)
SM=S.*H;
sM=ifft(SM);
2 Ejercicio Replicar los resultados anteriores usando la Opción 2.
2 Ejercicio Comparar ambos resultados y concluir.
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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Compresión de señales FM
Comprensión de pulsos
Efecto del suavizado
(b) Señal comprimida sM(t)
(a) Parte real de s(t)
0
Magnitud [dB]
Amplitud
1
0.5
0
−0.5
−20
−40
−1
−2
0
t [s]
2
3
−6
x 10
(c) Señal comprimida sM(t)
Radianes
Amplitud
3.5
t [s]
4
4.5
−6
5
100
50
0
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
4
x 10
(d) Señal comprimida sM(t)
150
0
3.5
t [s]
2
4
t [s]
0
−5
6
−6
x 10
DSP-SaR
3
4.5
−6
x 10
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Referencias
Referencias I
Ian G. Cumming and Frank H. Wong.
Digital processing of synthetic aperture radar data, algorithm and
implementation.
Artech House, 2005.
Merril I. Skolnik.
Introduction to Radar Systems.
Mc Graw Hill, 1990.
Mehrdad Soumekh.
Synthetic Aperture Radar. Signal Processing with MATLAB
Algorithms.
John Wiley & Sons, Inc., 1999.
George W. Stimson.
Introduction to Airborne RADAR.
Scitech Publishing, Inc., 1998.
A. J. Zozaya @ IEE (iee)
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