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2015
Matemática 1er Año EPET Nº 9
Matemática 1° Año
E.P.E.T. N° 9
Eduardo Víctor Gatti
Plottier
Material Teórico
Prof : Pérez Pertino Juan Pablo
2015
Matemática 1er Año EPET Nº 9
2015
INDICE:


Programa de Cursado de Matemática 1º Año Epet Nº 9

NUMEROS ENTEROS (Z):




Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje
o
o
Signos y Símbolos Matemáticos. Conjuntos
1a2
Números Naturales (N): Definición, representación, propiedades de N. Adición y sustracción con
N , propiedades de la suma y resta en N
3a4
o
Números Enteros (Z): Introducción, definición, propiedades de Z. Representación. Valor
Absoluto, opuesto de un número, orden en Z
5a7
o
o
Suma Algebraica, regla para la suma de Z. Operaciones con paréntesis corchetes y llaves
Multiplicación en Z . División en Z: División exacta, División Entera. Comportamiento del cero en
la división. Reglas de los signos para multiplicación y división en Z . Propiedades para la
multiplicación y división en Z . Propiedad distributiva
8 a 10
o
Lenguaje simbólico. Ecuaciones : definición. Reducción y cancelación de términos. Resolución
de ecuaciones: método de transposición ( o método de la balanza). Reglas prácticas para la
resolución de una ecuación
11 a 14
7
NUMEROS RACIONALES (Q)
o
Introducción. Distintos significados de un número racional. Conjunto de los números racionales
(Q) . Definición, términos de una fracción. Representación. Fracciones equivalentes. Expresiones
decimales. Orden en Q
15 a 19
o
Divisibilidad: números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad. Máximo común divisor
(MCD), mínimo común múltiplo (mcm). Mínimo Común denominador (mcd)
o
Operaciones con Q: Suma algebraica de Q , multiplicación de Q, División de Q, Operaciones
combinadas
19 a 21
21 a 22
o
Ecuaciones con Q
23
GEOMETRIA: ANGULOS
o
o
o
Introducción : ¿Qué es la matemática?
o
o
Ángulos determinados por dos rectas y una transversal. Ángulos entre paralelas
Repasemos : Punto, Recta, Plano, semirecta, segmento. Posiciones de 2 rectas en el plano
Ángulos : Clasificación, Ángulos complementarios y suplementarios. Ángulos adyacentes y
opuestos por el vértice. Sistema Sexagesimal.
Ejercitación básica (no incluye ejercitación con ángulos entre paralelas ni ecuaciones)
24
25 a 26
27 a 28
29
30 a 33
POTENCIACION y RADICACION
o
Potenciación : definición , casos especiales , Regla de los signos para potenciaición.
Propiedades de la Potenciación. Potencia de exponente negativo. Notación científica
34 a 36
o
Radicación: Definición, regla de los signos para radicación. Propiedad distributiva
36 a 37
o
o
o
o
o
Simela : Medir , Magnitud, Cantidad, Unidad
38 a 39
39 a 41
41
41 a 42
43
SIMELA
Longitud, Superficie, Volumen, Capacidad , Masa/Peso
Relación entre las unidades de Volumen, capacidad y Masa/Peso
Sistema Agrario . Sistema Horario, Sistema Ingles
Ejercitación básica
 Bibliografía






Matemática 8 EGB (Ed. Puerto de Palos – Varios)
Matemática 1 y 2 (Ed. Santillana- Amenedo y otros)
Matemática 8 (Ed Mc Graw Hill – Martinez y Rodriguez)
Matemática 8 y 9 EGB (Ed. Kapeluz-Seveso y otros )
Matemática 8 EGB.. (Ed. A. Z.Semino-Englebert-Pedemonti)
Matemática 8 EGB. (Ed. Aique Bindstein-Handfeing)
Programa de MATEMÁTICA - 1º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2015
INTRODUCCION

Elaboración del cuadernillo de ambientación. Diagnostico Inicial
UNIDAD N° 1: NUMEROS ENTEROS




Signos y símbolos matemáticos. Conjunto, definición por extensión y por comprensión; unión e intersección
Números Naturales. Concepto. Representación.
Números Enteros: Concepto, recta numérica. Suma Algebraica. Supresión de llaves, corchetes y paréntesis
Multiplicación y división, reglas de signos. Ecuaciones : concepto , resolución.
Ejercicios combinados y ecuaciones con las cuatro operaciones en Z. Problemas
UNIDAD N° 2: NUMEROS RACIONALES



Concepto. Representación. Lectura. Equivalencia y orden. Fracciones: propia, unidad, impropia, aparente.
Números primos y compuestos, MCD y mcm.
Operaciones: suma, resta, multiplicación y división, propiedades, reglas de signos. Fracción: decimal, decimal
periódico, número mixto, transformaciones. Porcentaje.
Ejercicios combinados y ecuaciones. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Problemas
UNIDAD N° 3: ANGULOS



Entes primitivos: Punto, recta, plano, semiplano, segmento, semirrecta. Posiciones de dos rectas en el plano.
Angulo: Definición y clasificación. Figuras cóncavas y convexas. Sistemas de medición de ángulos. Ángulos
consecutivos, complementarios, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice. Operaciones con ángulos:
Suma, resta.
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Ejercicios.
UNIDAD N° 4: POTENCIACION Y RADICACION



Potenciación de enteros- racionales con exponente entero. Concepto. Regla de signos. Propiedades. Exponente
Negativo
Radicación de enteros -racionales con índice entero. Concepto. Regla de los signos .Propiedades.
Resolución de Ejercicios combinados y ecuaciones con cuatro y seis operaciones con Z y Q.
UNIDAD N° 5: SIMELA

SIMELA: Magnitud, Cantidad. Longitud, masa, capacidad, superficie y volumen. Reducciones y equivalencias.
Problemas.
UNIDAD N° 6: FIGURAS PLANAS




Figuras planas: Poligonal. Polígono : definición, clasificación, polígono regular. Circunferencia.
Triángulos: definición; clasificación. Propiedades de los ángulos y los lados, relaciones entre lados y ángulos.
Perímetros superficie.
Cuadriláteros: definición; clasificación. Propiedades de los ángulos y los lados. Perímetros superficie
Resolución de problemas sencillos aplicando conceptos de SIMELA y figuras planas.
OBJETIVOS PROMOCIONALES:

Resolver 4 operaciones con Nº Enteros (Z) y con Nº Racionales (Q) (ejercicios combinados y ecuaciones)

Resolver 6 operaciones con números Racionales (Q) (ejercicios combinados y ecuaciones)

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos ángulos. Calcular ángulos en diferentes configuraciones
incluidos ángulos entre paralelas aplicando clasificaciones y propiedades

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos de SIMELA las equivalencias de unidades necesarias

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos relativas a figuras planas sencillas. Calcular lados, ángulos y
superficie en distintas figuras planas sencillas

Cuaderno y Trabajos Prácticos aprobados.
IMPORTANTE: El alumno debe tener su cuaderno completo para aprobar la materia.
Bibliografía:
Firma Alumno
Cuaderno de clase
Matemática 8 y 9 EGB ( M. Rodriguez – M. Martinez) (Ed. Mc Graw Hill)
Matemática 1 (Amenedo-Carranza y otros) (Ed. Santillana)
Matemática 8 y 9 EGB (Varios) (Ed. Puerto Palos)
Matemática 8 EGB (Seveso y otros) (Ed. Kapelusz)
Firma Padre
Firma Profesor
Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje
1)
La carpeta o cuaderno es elemento fundamental para el trabajo en el aula y para el estudio de la materia,
por lo tanto debe estar completa, prolija y ordenada siempre. El docente la revisará y controlará periódicamente.
Al comenzar el año, el alumno/a deberá tener un cuaderno tamaño A4 cuadriculado de 80 a 100 hojas,
preferentemente de tapa dura.
2)
La primera hoja se destina a carátula (según la consigna del profesor/a , incluyendo por lo menos la
siguiente información: Nombre y apellido del alumno/a, Asignatura, Establecimiento, Curso , Año lectivo y
Apellido y Nombre del Profesor/a ); en la segunda hoja se pegaran estas Pautas firmadas por el alumno/a,
padre, madre y profesor/a. Y en la tercera el Programa de cursado del año de Matemática.
3)
Todas las clases, el alumno/a debe:
 mantener un ambiente cordial de trabajo; por lo tanto, está prohibido el uso de aparatos electrónicos
(teléfono celular, mp3, etc.) en el aula;
 respetar las indicaciones del profesor/a;
 tener los elementos necesarios en clase: lápiz , lapicera , goma, regla y todo otro elemento necesario
según los temas a estudiar;
 Posibilitar el vinculo entre los padres y el profesor/a. Para ello debe hacer firmar por los padres o el
tutor/a toda comunicación que se realice en el cuaderno de comunicaciones y/o de clase , como asi
debe hacer firmar las evaluaciones apenas le son entregadas.
4)
En el cuaderno, el alumno/a copiara toda la teoría y los ejemplos desarrollados en clase (Si falta, deberá
copiar el trabajo desarrollado antes de la siguiente clase); así podrá estudiar para la siguiente clase la teoría, y
pedir nueva explicación en caso necesario. Tratará de realizar las tareas encomendadas aun con errores para
permitirle mejorar, a partir de la corrección de la ejercitación principal-tipo que se hará en el pizarrón, en la
carpeta o en las mismas evaluaciones. De esta manera llegará a la evaluación suficientemente preparado
5)
Las evaluaciones escritas serán avisadas con siete días de anticipación como mínimo al igual que las
entregas de los trabajos prácticos. Dichas evaluaciones serán sobre los temas y ejercicios similares a los dados
en clase previéndose distintos tipos de dificultad.
6)
Los procesos de enseñanza aprendizaje y los objetivos propios del año son reforzados a través del
armado curricular propio del año y de todo el ciclo por lo que el alumno puede tratar de superar sus dificultades
retomando los contenidos en forma continua y preguntando cuando sea necesario o participando de las clases
de consulta.
7)
El alumno no debe faltar a las evaluaciones avisadas. En caso de faltar deberá traer certificado médico
dentro de las 24 horas, pudiéndose tomar luego la evaluación en forma oral o escrita.
8)
El respeto y la solidaridad por cada uno de los compañeros, por los profesores y la institución forman
parte del proceso enseñanza aprendizaje y serán tenidos en cuenta.
9)
El alumno debe realizar los esfuerzos necesarios para crecer en forma autónoma, responsable y creativa.
Para ello deberá organizar sus tiempos tanto en la casa como en la escuela.
10)
La calificación de cada trimestre será el resultado de las evaluaciones, el cumplimiento de las tareas, ,los
trabajos prácticos encomendados –ya sea grupal o individualmente- la confección de la carpeta y la actitud frente
a la asignatura y el respeto y solidaridad como fuera indicado anteriormente.
11)
El alumno cuenta con Clases de Consulta gratuitas, dictadas por la Jefe de Departamento en los
siguientes horarios (completar con horarios que brinden los jefes de depto ):
Prof. Patricia Baqué
Prof. Juan Pablo Pérez Pertino
( Asistir con el cuaderno de clases y la guía de ejercitación)
Agradecido por su atención y quedando a su disposición.
Firma Alumno
Firma Padre/ Madre/ Tutor
Profesor de Matemática
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Signos y símbolos Matemáticos:
=
igual
≠
No es igual a; distinto
>
mayor que
<
menor que
no es mayor que
≥
no es menor que
mayor o igual que
^
≤
menor o igual que
pertenece a
no pertenece a
y
o en sentido inclusivo
o en sentido exclusivo
/
tal que
para todo
en consecuencia, por lo tanto
≡
unión o reunión
determinan
Intersección
existe por lo menos uno
Φ
conjunto vacío
→
Implica, es condición necesaria
↔
implica doblemente,
∞
Infinito
Si y solo si.
Es condición necesaria y suficiente
Alfabeto Griego:
α
alfa
β
beta
γ
gamma
δ
delta
ε
epsilon
ζ
zeta
η
eta
θ
theta
ι
iota
κ
kappa
λ
lambda
μ
mu
ν
nu
ξ
xi
ο
omicron
π
pi
ρ
ro
σ
sigma
τ
tau
υ
ípsilon
φ
phi
χ
ji o chi
ψ
psi
ω
omega
CONJUNTO:
Llamamos conjunto a toda agrupación o colección de objetos de cualquier naturaleza
Ejemplos:
 Conjunto de los jugadores de futbol de un equipo
 Conjunto de los alumnos del curso ….
 Conjunto de las letras del abecedario
 Conjunto de los muebles de una casa
Un conjunto se denomina con letras mayúsculas.

Un conjunto esta definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo forman.

Un conjunto esta definido por compresión si establecemos una propiedad que caracteriza a todos los
elementos del conjunto y solo a ellos.
Página 1
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Ejemplo:
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
 El Conjunto de los días de la semana
Por extensión:
A  lunes, martes, miercoles, jueves, viernes, sabado, do min go
A  x / x es dia de semana
Por compresión:
Ejemplo:
 El Conjunto de los números naturales
N  1,2,3,4,.....
Por extensión:
N  x / x es núúmer natural
Por compresión:
Representación gráfica de conjuntos:
Se usa el diagrama de Venn (curvas o polígonos cerrados dentro de las cuales se indican mediante puntos los
elementos que pertenecen al conjunto)
Ejemplo:
 El Conjunto de las notas musicales
B  do, re, mi, fa, sol,la, si
Por extensión:
Por compresión:
B  x / x es nota musical
Unión de conjuntos:
Dados dos conjuntos A y B denominamos A unión B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al
conjunto A o al conjunto B
A  B  x / x  A
Ej:
x  B
R  x / x es letra de la palabra racimo
S  x / x es letra de la palabra remito
R  S  r, a, c, i, m, o,t, e
Intersección de conjuntos:
Dados dos conjuntos A y B denominamos A intersección B al conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto A y al conjunto B
A  B  x / x  A
Ej:
x  B
R  x / x es letra de la palabra racimo
S  x / x es letra de la palabra remito
R  S  r, i, m, o
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Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
NUMEROS NATURALES :
Llamamos Números Naturales a aquellos que se usan para contar , y que son los primeros en aprenderse y
usarse (hasta en forma intuitiva o natural). Esos son los números 1, 2, 3, 4, 5, …..
N  1,2,3,4,5,.......
N  x / x es núúmer natural
N  x / x  N 
Naturales : N : [ 1,2,3, 4 , 5,.........]
0
En forma de diagrama de conjuntos tendríamos:
Representación del conjunto N0 en la Recta numérica:
Resulta práctico y demostrativo en muchos casos representar al conjunto de los números naturales (N) y el
cero (0) que forman el conjunto de N0 en una recta a la que denominamos recta numérica. En una semirrecta se
toma un segmento arbitrario , que llamamos unidad y trasladándolo a partir del 0 sobre la semirrecta determinamos
los números naturales.
En general podemos decir que en la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que este
ubicado a su izquierda , y es menor que cualquier otro número que se se encuentre a su derecha.
Propiedades del conjunto de los número naturales:

El conjunto Z es infinito

Tiene primer elemento y no tiene último elemento

Todo número Z tienen un sucesor
2 es sucesor de 1
28 es sucesor de 27

Todo numero natural tiene un antecesor menos el 1. En caso de considerarse el conjunto N0 el antecesor del
1 es el cero

Entre dos números naturales existe un número finito de números naturales . Por esto el conjunto de los
número naturales (N) es discreto
Entre el 2 y el 9 hay 6 números naturales : 3, 4, 5, 6, 7 y 8
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Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Adición de números Naturales
Se llama suma de dos números a y b al número s cuyos elementos están formados por los a y b elementos
del primer y segundo conjunto
a+b=s
6 + 4 = 10
La operación mediante la cual se obtiene la suma de dos o mas números se llama adición o suma , y cada numero
de la suma se llama sumando o termino.
Sustracción de números Naturales
Restar de un número p un número q es encontrar un número r tal que sumado a q de por resultado p
p- q=r
→
27 - 12 = 15
r +q =p
→
La operación se llama sustracción o resta
15 + 12 = 27
El número p se llama minuendo
El número q se llama sustraendo
El número r se llama resta o diferencia
Propiedades de la suma y resta
Ley de Cierre
SUMA
RESTA
Cumple.
No cumple
La suma de dos N es otro N
La resta de dos N no es siempre otro N
4 -7 = -3
Elemento Neutro
-3 N
a+0=0+a=a
a–0 0–a
8+0=0+8=8
7–00–7
Es el cero
7 -7
Es el cero pero solo a la derecha
Conmutativa
Asociativa
Propiedad Uniforme
a+b=b+a
a-bb-a
2+9=9+2
7 -3  3 - 7
11 = 11
4  -4
Se cumple
No se cumple
(a+b)+c=a+(b+c)
(a-b)-ca-(b-c)
(3+6)+5=3+(6+5)
(9-5)-39-(5-3)
9 + 5 = 3 + 11
4-39-2
14 = 14
17
Se cumple
No se cumple
a=b
a=b
c=d
c=d
a+c=b+d
a-c=b-d
8=3+5
9=2+7
1+6=7
2+3=5
8+1+6=3+5+7
9 – ( 2 + 3 ) =( 2 + 7) - 5
15 = 15
4=4
Propiedad uniforme : sumando o restando miembro a miembro dos igualdades se obtiene
otra igualdad
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Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
NUMERO ENTEROS :
Introducción:
En el dibujo podemos ubicar a varias personas que están realizando diferentes actividades . Indica en un cuadro adjunto
la diferencia de altura entre cada una de ellas:
Persona
Actividad
1
2
Persona
3
4
5
1
2
3
4
5
El hombre común conoce los números naturales desde el momento en que tuvo necesidad de contar. Pero estos
números no le alcanzaron cuando tuvo que expresar situaciones donde debía bienes en un intercambio comercial . Es muy
probable entonces que la idea de números negativos ya se tuviese desde la antigüedad , aunque la conceptualización de los
mismos (y la creación como conjunto numérico) se hiciese muchísimos años después..
La utilización del número natural en la sustracción exigió preguntarse por aquellos casos en que la diferencia del dos
números no era natural.
Debemos tener en cuenta que palabras relacionadas con la posición o suceso de algo, tales como:
arriba, - abajo
antes – después
derecha - izquierda ;
o las palabras como : debe – falta , sobra - excede , supera
nos dicen que hay una referencia establecida , y que respecto de ella consideramos las situaciones , sucesos o cosas .
En la realidad fijamos un punto de referencia ( nivel del mar, la P.B. de un edificio , el kilometro cero de una ruta y
respecto de esta referencia suponemos valores positivos y negativos para indicarnos la posición o situación. Para indicar todas
esas situaciones conformamos los números enteros, con los positivos, los negativos y el cero.
Definición:
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales o
enteros positivos , el cero (que no es positivo ,ni negativo) y los enteros negativos.
Naturales ( N ) : [ 1,2,3, 4 , 5,.........]
0
Negativos ( Z- ) : [ -1, -2, -3 ,-4 , ......]
Z (Enteros)
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Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
En forma de diagrama de conjuntos tendríamos:
Observación : A medida que se desarrollen los temas se darán ejemplos para que el alumno
pueda descubrir , interpretar y elaborar cada apartado. Los ejemplos pueden ser incluidos en
los espacios libres de este material teórico, en el reverso de las hojas del mismo o formar parte
de la práctica que el alumno lleva en su cuadernos de clase.
Propiedades del conjunto de los número enteros:

El conjunto Z es infinito

No tiene primer elemento ni último elemento

Todo número Z tienen un sucesor y un antecesor

Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros . Por esto el conjunto de los número enteros (Z)
es discreto
Representación en la Recta numérica:
Resulta práctico y demostrativo representar al conjunto de los números enteros (incluidos naturales , el cero y los
enteros negativos) en una recta a la que denominamos recta numérica.
En general podemos decir que en la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que este ubicado a su
izquierda , y es menor que cualquier otro número que se se encuentre a su derecha.
Valor absoluto ( o Módulo)
La distancia entre cualquier
número entero (positivo o negativo) y el
cero se denomina valor absoluto o
módulo del número.
Simbólicamente :
Ejemplo:
 a = a ( se lee valor absoluto de a )
La distancia entre el 6 y 0 es 6
La distancia entre el –6 y el 0 es 6
Por lo tanto la separación es igual por lo que podemos decir
6 = -6
= 6
Opuesto de un número :
Los números que tienen igual valor absoluto y
diferente signo se llaman opuestos. La posición de estos
números es simétrica respecto del cero en la recta numérica.
Orden de los números enteros:

Todo entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Todo entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.
Página 6
8 es el número opuesto de - 8
-3 es el número opuesto de 3
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo.

Entre dos número enteros el mayor es el de mayor valor absoluto. (el que esta más lejos del cero en la recta numérica)

Entre dos números enteros negativos el mayor es el de menor valor absoluto ( el que esta más cerca del cero en la recta numérica)
Suma Algebraica:
Una suma algebraica es una combinación de términos aditivos y sustractivos (sumas y restas)
Ejemplo : - 3 + 8 – 6 + 10 = 9
Regla para la suma de enteros:

Si los dos números son de igual signo; se suman y se pone el signo de dichos números :
5 + 3 = +8

- 6 - 4 = - 10
Si los dos números son de distinto signo se restan y se coloca el signo del numero
mayor valor absoluto :
10 - 3 = + 7
4 - 12 = - 8
Observación : Explicar en clase algoritmos usados usualmente en la primaria y mostrar el algoritmo con cuanta auxiliar teniendo
en cuenta la regla para suma de enteros.
Ejemplo : 15 – 23 +14 -10 – 8 + 32 =
Operación con paréntesis , corchetes y llaves ( ) ; [ ] ; { }
Analicemos la siguiente situación:
“Clara va a hacer compras. Sale con 400 $ . Primero va al supermercado donde gasta 156 $ , luego a una tienda donde compra
para ella gastando 45 $ y además compra un regalo para su madre de 102 $. Antes de ir a pagar la luz , cuya boleta tiene un
importe de 65 $ , pasa por el banco para sacar 200 $ ¿Cuánta plata le queda después de pagar la luz?
¿Cómo podríamos plantear el problema? Hay diferentes maneras de pensarlo y es interesante plantearlas , resolverlas y ver que
nos darán lo mismo.
Vemos entonces que en muchos problemas podemos plantear operaciones donde aparezcan restas y sumas combinadas , con o
sin el uso de paréntesis. Para operar en forma sencilla hacemos:

Resolver la operación en el interior del ( ) ; [ ] ; { }

Suprimir luego el ( ) ; [ ] ; { }
Para suprimir un ( ) ; [ ] ; { } debemos tener en cuenta el signo que precede a dicho ( ) ; [ ] ; { }
Regla para la supresión de ( ) ; [ ] ; { }
Ejemplos:
 Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo menos (-) se cambian los signos de los términos encerrados en él.

Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo mas (+) se conservan los signos de los términos encerrados en él.
(
+ ) CONSERVA
Página 7
( - ) CAMBIA
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS Multiplicación
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
La multiplicación es una operación que se origina en la suma reiterada de un mismo número.
Ejemplo: 3 .2 = 3 + 3 = 6
o
En general podemos decir
2+2+2=6
( Dos veces 3
o
tres veces 2 )
a , b se llaman factores
a. b = p
p se llama producto
Ejemplos:
División
División Exacta :
Ejemplo :
Dividir un numero entero por otro es hallar un tercer número tal que multiplicando a este
por el segundo nos de por resultado el primero
8:4=2 
En forma general podemos decir :
2.4=8
D:d=c

D se llama dividendo
d se llama divisor ( 0)
c se llama cociente
D,d , c  Z
c.d=D
Para que la división sea entera el Dividendo debe ser múltiplo del divisor (dicho de otra manera el dividendo debe ser
divisible por el divisor) en caso de no cumplirse esto tenemos la :
Ejemplos:
División Entera:
En este caso al realizar la división tenemos un resto
Ejemplo: 65 : 6 = 10 + resto (5)

En forma general podemos decir :
6 x 10 + 5 = 65
D : d = c con resto  0

c . d + r =D
D , d , c significan lo mismo que en la división entera , r se llama resto.
Comportamiento del cero en la división:

El cero como dividendo :
0:n=0

El cero como divisor :
n : 0 = indeterminado ( no hay número que por cero de n)

El cero como dividendo y divisor
0 : 0 = indeterminado
( 0 : 4 es 0 porque 0 . 4 = 0 )
Regla de los signos para la multiplicación y división de números enteros:
Se realizarán en
clase ejercicios para
representar la multiplicación o
división de Z en las rectas
numéricas como sumas
reiteradas pudiendo descubrir
y enunciar las siguientes
reglas :
El producto o cociente de 2 números enteros de igual signo es positivo :
+ . + = +
+ : + = +
- . - = +
- : - = +
igual signo +
El producto o el cociente de 2 números enteros de distinto signo es negativo:
+ . - = -
+ : - = -
- . + = -
- : + = Página 8
distinto signo -
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Ejemplos:
Propiedades de la multiplicación y división de números enteros:
MULTIPLICACION
Elemento Neutro
a.1=1.a=a
a:1= a
1: a  a
8.1=1.8=8
7:1=7
1: 6  6
Es el uno
Elemento Absorbente
a.0=0.a=0
7.0=0.7=0
Es el cero
Conmutativa
Suma
Resta
Distributiva a izquierda
Suma
Resta
CONCLUSION DISTRIBUTIVA
a:0 a
0:a= 0
5: 0  5 (indeterminado)
0:9=0
Es el cero pero solo como dividendo
a:bb:a
2.9=9.2
-9 :3  3 : (-9)
-3  -1/3
(No se cumple )
(a.b).c=a.(b.c)
(a:b):ca:(b:c)
(3.6).5=3.(6.5)
( 24 : 4 ) : 2  24 : ( 4 : 2 )
18 . 5 = 3 . 30
6 : 2  24 : 2
90 = 90 Se cumple
Distributiva a derecha
Es el uno pero solo como divisor
a.b=b.a
18 = 18 (Se cumple)
Asociativa
DIVISION
3  12 No se cumple
p . ( a  b) = p . a  p . b
p : ( a  b)  p : a  p : b
6 . ( 2 + 3) = 6 . 2 + 6 . 3
60 : ( 15 + 5)  60 : 15 + 60 : 5
6 . 5 = 12 +18
60 : 20  4 + 12
30 = 30
3  16
(-2) . ( 8 - 5) = (-2). 8 – (-2) .5
(-120) : ( 20 - 8)  (-120): 20 – (-120) : 8
(-2) . 3 = -16 +10
(-120) : 12  -6 +15
-6 = -6
-10  9
( a  b). p = a . p  b . p
( a  b): p = a : p  b : p
( 6 + 2) . 4 = 6 . 4 + 2 . 4
( 36 + 6) : 3 = 36 : 3 + 6 : 3
8 . 4 = 24 + 8
42 : 3 = 12 + 2
32 = 32
14 = 14
( 3 -5 ) . (-3) = 3 . (-3.) -5 .(-3)
( 48 -12 ) : (-4) = 48 : (-4.) -12 :(-4)
(-2) . (-3) = -9 + 15
(36) : (-4) = -12 + 3
6=6
-9 = -9
La multiplicación es distributiva en la
suma y en la resta , tanto a derecha como
a izquierda
La división solo es distributiva en la suma y en la
resta cuando la suma algebraica esta como
dividendo , o sea a la izquierda
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MULTIPLICACION
Siendo a , b y c pertenecientes a los números enteros resolver los productos indicados
a
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Ejercicio Nº 1
b
c
3
2
a
8
Ejercicio Nº 2
b
c
-3
5
a
Ejercicio Nº 3
b
c
-4
-9
3
a. b
b . a
a .1
b .1
a .0
0 .a
(a . b) . c
a . ( b . c)
a.(b+c)
a.b + a .c
(a + b) .c
a. c + b . c
a.(b-c)
a.b - a .c
(a- b) .c
a. c - b . c
DIVISION
Siendo a , b y c pertenecientes a los números enteros resolver los cocientes indicados
Ejercicio Nº 1
a
b
c
36
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9
3
Ejercicio Nº 2
a
b
c
48
a: b
b : a
a :1
b :1
a :0
0 :a
(a : b) : c
a : ( b : c)
a:(b+c)
a:b + a :c
(a + b) :c
a: c + b : c
a:(b-c)
a:b - a :c
(a- b) :c
a:c- b:c
Página 10
-8
4
Ejercicio Nº 3
a
b
c
20
-10
-2
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El Lenguaje de la Matemática:
Para expresar enunciados o nociones matemáticos se puede utilizar el lenguaje coloquial o el simbólico Veamos
algunos ejemplos:
Lenguaje Coloquial
Lenguaje Simbólico
El doble de cuatro disminuido en tres
2.4 -3
El siguiente de un número
x+1
Cualquier número mayor que 4
x>4
El lenguaje simbólico es de utilidad para expresar fórmulas , simplificar o acortar expresiones.
Muchos problemas se pueden resolver traduciendo los enunciados al lenguaje simbólico.
Ejemplos:

Para ir a la escuela Roberto recorre una cierta distancia solo , y luego el doble de
esa distancia la recorre con su amigo Ezequiel. Si desde la casa de Roberto a la
escuela hay 12 cuadras ¿Cuántas cuadras recorre solo?
Si analizamos el problema veremos que los números son sencillos y
podríamos realizar tanteos hasta encontrar la solución. Sino llamamos d
a la distancia que Roberto camina solo. Entonces la distancia que
camina solo sería d , mientras que con Ezequiel camina 2d .Además
sabemos que la suma de las dos distancias son 12 cuadras. Podemos
plantear toda la información a través de una igualdad donde d sería la
incógnita. (d + 2d = 12) .
. 
Pedro , Juan y Cristian son tres amigos que deciden salir al cine. Pedro paga su
entrada y la de Juan y cuando termina la película invita a todos a tomar un helado
gastando 12 $ mas. Cristian, por su parte paga su entrada y compra golosinas y
gaseosas gastando 20 $ en total que es lo mismo que gasto Pedro ¿Cuánto cuesta
la entrada?
Acá la incógnita es el valor de la entrada y la llamamos e . Por lo
tanto Pedro gasto su entrada ( e) mas la entrada de Juan ( e)
mas 12 $ . El gasto de Pedro sería : e + e + 12. Este gasto es
igual a lo que pago Cristian que es su entrada ( e) mas 20 $, por
lo que el gasto de Cristian sería : e + 20 . Como ambos gastos
son iguales podemos plantear una igualdad donde e sería la
incognita ( e + e + 12 = e + 20)
Ecuaciones :
Definición: Llamamos ecuación a las igualdades en las que aparecen
elementos desconocidos que llamamos INCOGNITAS. Las incógnitas
se expresan mediante símbolos arbitrarios o letras tales como x, y , z ,
hasta tanto se pueda determinar el número con el que se verifica la
igualdad.
Página 11
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Ejemplos: Las siguientes expresiones son ecuaciones que por si mismas pueden parecer incompletas :
3 b = 21
L² = 4
p + 2,8 = 5
x3 = 27
2x + 2y = 10
Pero podrían responder a los siguientes enunciados :

El costo de tres lapiceras es 21 $ ( donde la incógnita sería b = el valor de cada lapicera)

El área de un cuadrado de lado L es igual a 4 ( donde la incógnita es L = el valor del lado )

Se ha pagado un kg de peras con 5 $ y el vuelto fueron 2,8 $ ( donde la incógnita sería p = el precio del kg de peras)

El volumen de un cubo es igual a 27 cm3 (donde la incógnita sería x = el valor de la arista del cubo)

El perímetro de un rectángulo es igual a 10 cm ( donde las incógnitas serían x e y = los lados del rectángulo)
Podemos ver que en todos los casos se pueden obtener los valores de las incógnitas ( o la solución de la ecuación) a
través de cálculos mentales sencillos. (en el caso del rectángulo pueden haber más de una solución) . Pero no siempre es tan
fácil resolver mentalmente las situaciones que se nos plantean .
Reducción y cancelación de términos
En toda igualdad tenemos dos miembros:
35 2 4  7 53 23 4
primer miembro
segundo miembro
Reducir términos significa eliminar en un mismo miembro de una igualdad dos números de igual
valor absoluto pero signo contrario
En nuestro ejemplo se pueden suprimir en el segundo miembro el +3 y el –3 y la igualdad
no varía
Cancelar términos significa eliminar en distintos miembros de una igualdad dos números de igual
valor absoluto y de igual signo (ley cancelativa)
En nuestro ejemplo se pueden cancelar el +5 presente en ambos miembros y la igualdad no varía
Resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Se llaman de primer grado porque las incógnitas están elevadas al exponente 1
Ej.: 2x +4
En cambio 2x² -3 =4 es una ecuación de segundo grado

Se llaman con una incógnita porque solo uno de los valores es desconocido. (En el
ejemplo anterior solo desconocemos a la x)
En cambio 2x + 4y =50 tiene dos incógnitas que son x e y

Todas las ecuaciones, una vez resueltas deben ser verificadas, permitiendo que quien las
resuelva, realice las operaciones de autocontrol implicadas

Resolver una ecuación significa encontrar el (los)valor(es) de la (las) incógnita(s) que
hacen verdadera la igualdad, es decir que permiten verificar dicha igualdad. Tales valores
se llaman soluciones o raíces de la ecuación.
Página 12
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Método de transposición ( o método de la balanza)
Pensemos en la ecuación como una balanza en equilibrio. Cualquier modificación que hagamos a uno de los platillos
(que son los miembros de la ecuación) la desequilibrara (no será más una igualdad) y tendremos que compensarla para que
vuelva a equilibrarse (volverla a convertir en una igualdad) matemáticamente usaremos la ley uniforme vista anteriormente
Por ejemplo queremos resolver 7 x + 1 = 5 x + 9 (Dibujar en clase la balanza y la posición que toma en cada caso)
Balanza
Pasos a seguir
Expresión algebraica
7x + 1 = 5x +9
7x + 1
5x +9
Sacamos 5x en el lado derecho.
(la balanza se desequilibrara)
7x + 1
9
7x + 1  5x +9 –5x
Para equilibrar la balanza sacamos 5x en el plato
izquierdo
2x + 1
9
7x + 1- 5x = 5x +9 –5x
Queda
2x+1=9
Sacamos 1 en el lado izquierdo
(la balanza se desequilibrara)
2x
9
2x + 1 – 1  9
Sacamos uno del lado derecho para que la balanza se
equilibre
2x
8
2x + 1 -1 = 9 – 1
Queda
2x =8
Seguimos despejando. Para ello dividimos por dos en el
lado izquierdo.
(la balanza se desequilibrara)
x
8
2x : 2  8
Dividimos por dos en el lado derecho para equilibrar la
balanza y obtenemos la solución
x
4
2x : 2 = 8 : 2
Se obtiene
X=4
Verifiquemos la igualdad en la ecuación:
7.4+1=5.4 +9
28 +1 = 20 +9
29 = 29
Volvamos ahora a dos ejemplos planteados al principio
En el primer ejemplo teníamos :
Por lo tanto
En el segundo ejemplo teníamos:
Reducimos e en el segundo miembro
Quedando
Reducimos 12 en el primer miembro
Quedando
d + 2d = 12
3d = 12
3d/3 = 12/3
d=4
e + e + 12 = e + 20
2 e + 12 = e + 20
2 e + 12 –e = e – e + 20
e + 12 = 20
e + 12 – 12 = 20 – 12
e =8
Página 13
Verificamos:
4 + 2 . 4 = 12
4 + 8 = 12
12 = 12
Verificamos:
8 + 8 + 12 = 8 + 20
20 = 20
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Reglas prácticas para la resolución de una ecuación
(A estas reglas se deberán agregar algunos pasos cuando trabajemos con número racionales para contemplar las
particularidades de estos números, pero el procedimiento será el mismo)

Separar en términos

Operar en cada miembro ( siempre que sea posible reduciendo y cancelando términos)

Aplicar la propiedad distributiva si fuera necesario. Es necesario cuando hay dos o mas x , encontrándose alguna
de ellas dentro de un ( ) ; [ ] o una { }

Reducir y cancelar todos los términos posibles

Asociar en un mismo miembro todos los términos con la incógnita y en el otro miembro los términos
independientes (las x con las x, los números con los números) operando luego en cada miembro.

Para realizar el paso anterior y despejar la incógnita, se transponen (pasan) primero los términos y por último los
factores y divisores. Los términos pasan realizando la operación inversa a la que están realizando, es decir que si
están sumando pasan restando y si están restando pasan sumando. En cambio los factores que acompañan a la
incógnita pasan como divisores, y los divisores pasan como factores. En el caso de factores y divisores pasan
haciendo la operación inversa pero CON SU SIGNO.
Ejemplos:
 2x + 4 = 10
Resuelvo: 2x = 10 -4
Ejemplo sin distributiva
2x = 6
x = 6 :: 2
x = 3
Con este valor reemplazo en la ecuación original y verifico la igualdad:
2. 3 + 4 = 10
6 +4 = 10
10 = 10

5. (x + 4) = 3x + 31 – 3
Ejemplo con distributiva – Dos x y una de ellas esta entre ( )
5 .x + 5 .4 = 3x + 28
5x + 20 = 3x + 28
5x – 3x = 28 – 20
2x = 8
x=8: 2
x= 4
Con este valor reemplazo en la ecuación original y verifico la igualdad:
5 .( 4 + 4) = 3 . 4 +31 -3
5 . 8 = 12 +31 – 3
40 = 40
Para resolver problemas (enunciados coloquialmente) a través del planteo y resolución de ecuaciones debemos:







Leer atentamente el enunciado
Identificar la incógnita y los datos
Escribir los datos en función de la incógnita
Plantear la ecuación (igualdad)
Operar para expresar la ecuación en forma más sencilla posible
Hallar la solución para la ecuación
Comprobar que la solución hallada cumple las condiciones del problema (verificar)
Resolver siguiendo los pasos enunciados anteriormente el siguiente ejemplo:
Diego le dice a un amigo “ El doble de la edad que tengo más la edad que tendré dentro de tres años es 48 ¿Cuántos años
tengo?”
Página 14
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números RACIONALES Introducción:
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
En el cuadernillo de ambientación trabajamos con los números racionales en varias de sus expresiones (fracciones,
decimales , porcentaje) Volvamos sobre estos Distintos significados , maneras de entender y usar una fracción antes de
comenzar a trabajar con las mismas
Observación : Al igual que mencionamos en Números Enteros a medida que se desarrollen los
temas , se darán ejemplos para que el alumno pueda descubrir , interpretar y elaborar cada
apartado. Los ejemplos pueden ser incluidos en los espacios libres de este material teórico, en
el reverso de las hojas del mismo o formar parte de la práctica que el alumno lleva en su
cuadernos de clase.
1.
Fracción como cociente
8/5 no da un resultado exacto .No es un número entero , sino que si hacemos el cociente nos da 1,6 8/5 es un número
racional que nos expresa el cociente de 8 dividido 5.
1
23
2
9
5
25
17
1
31
4 ?
¿Cuánto nos da el cociente de 3
4
2
1000
3
16
3
8
5
6
15
9
Recordemos entonces que si tenemos en forma general una fracción
2.
a
b
a
se llama numerador
b se llama denominador
Fracción como parte de un todo
La fracción indica partes iguales de un todo :
Decimos que 3 partes de 4 de una torta es 3 / 4 de torta
¿Qué fracción representa en cada caso la parte sombreada? :
3.
Fracción como operador
Por ejemplo : 3/4 del electorado voto por el candidato 1. Si el total de los votantes fueron 1000 ¿Cuantos votaron por el
Candidato 1 ?
3 x 1000 = 750 votantes
4

Si un teatro vende la mitad de sus 320 localidades ¿cuantas son las entradas vendidas?

Si una persona compra 2/5 kg de nueces ¿Cuantos gramos de nueces compro?

Si una persona gasta 3/8 de su sueldo de 500 $ en comida ¿Cuánto gasto en comida? ¿Qué parte le quedo?

Un caminante hizo la tercera parte de un camino de 4,5 km ¿Cuántos metros recorrió?

En una clase de 40 minutos el preceptor uso la quinta parte para dar informaciones generales ¿Qué tiempo utilizo?
4.
Fracción como indicadora de probabilidad.

La probabilidad de que un equipo gane el campeonato de primera división es pequeña (cual sería la probabilidad si es
un campeonato con 20 equipos)

Si tiro un dado , la probabilidad de que salga el 1 en 150 tiros es 1 =
6

25
150
Si tiro dos dados ¿Cuáles son las sumas que se pueden obtener? ¿Cuál es la suma más fácil de obtener? ¿Porque?
Ayúdate con el siguiente cuadro
Página 15
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números RACIONALES 1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
El 4 se puede obtener 3 veces sobre 36 :
El 7 se puede obtener de
5.
6.
6 maneras :
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3
36
6
36
=1
6

¿Cuál es la probabilidad de sacar un numero determinado en la ruleta? ¿Y de sacar negro o rojo?

Se tiene un cajon con treinta camisetas de las cuales 6 son azules y las demás blancas . Si se extrae una camiseta
¿Cuál es la más probable de sacar? Cual es la probabilidad? Si se sacaron diez camisetas blancas ¿Cuál es la
probabilidad de sacar otra blanca?
Como porcentaje

Una persona gasta la mitad del dinero que tiene. ¿Qué porcentaje gasto?

Veamos otro ejemplo : Si hay 34 alumnos en un curso y 25 son varones ¿Qué fracción representa a los varones y cual
a las mujeres? ¿Qué porcentaje de varones y mujeres hay? ¿Cuánto suman las dos fracciones que representan
varones y mujeres?¿Cuánto suman los dos porcentajes?
Fracción como razón ( para proporcionalidad)

El kiosquero de la esquina vende 3 revistas por 5 $ ¿Cuantas se pueden Compra por 10 $? ¿Cuanta plata necesito
para 18 revistas?
3 revistas =
3
Relación entre cantidades de diferente tipo que sirve
5$
5
para calcular el resto de los datos.

Si dos kg de papas cuestan 90 centavos ¿Cuánto cuestan 7 kg?
Conjunto de los números Racionales (Q)
Se llama número racional a todo aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números.
Ej:
3
9
3
0,5 
1
2
0
0
9
 0,375  
3
8
 10  
50
5
2,6 
13
10
El conjunto de los números enteros unido al conjunto de los números fraccionarios , forma el conjunto de los números
racionales.
O sea :
Z U F = Q
N (naturales)
0
Z – (Negativos)
Z (Enteros)
Q (Racionales)
F (Fracciones)
Ejemplos :
-7  Z  -7  Q
¾  F  ¾  Q
6  N  6 Z6 Q
Página 16
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Términos de una Fracción
Los números fraccionarios son de la forma P donde P y Q son números enteros distintos de cero . P y Q se llaman
Q
numerador de la fracción y denominador de ella respectivamente. El denominador indica la cantidad de partes iguales en que se
divide el entero , y el numerador cuantas de esas partes debemos considerar.
3

4
5

3
3

3
Clasificación de fracciones
 Propias: Son aquellas donde el numerador es menor que el denominador, y representan un número menor que 1
Ejemplo: 5  1
7
 Impropias: Son aquellas donde el numerador es mayor que el denominador, y representan un número mayor que 1
Ejemplo: 11  1
8
Estás fracciones pueden expresarse también como números mixtos. Ejemplo: 16  16 : 3  5 1
3
3
 Aparentes: Son aquellas donde el numerador es múltiplo del denominador, y representan un número entero Ejemplo:
8
2
4
También atendiendo a su denominador podemos mencionar a las fracciones decimales que son las que tienen el
denominador formador por el uno seguido de ceros. ( Ejemplos: 7 ;  3 ; 145 ;  471
10
100
10
1000
Representación Geómetrica de números racionales :
Dada una recta R donde están ya representados los números enteros como hemos visto anteriormente para
representar cada número fraccionario P
se divide en Q partes iguales cada unidad, y se cuentan P divisiones a partir del
Q
cero en el sentido que indique el signo de la fracción P
. Otra manera de representarlos es usando la expresión decimal de
Q
cada fracción.
Fracciones Equivalentes:
Son aquellas que representan la misma cantidad.
Para obtener fracciones equivalentes se debe multiplicar o dividir el numerador y denominador de la fracción por un
mismo numero distinto de cero.
Cuando se multiplica se esta amplificando la fracción:
2 2.3 6


5 5 . 3 15
Cuando se divide se esta simplificando la fracción:
2:2 1
12 12 : 6 2




72 72 : 6 12 12 : 2 6
Cuando simplificamos encontramos una fracción equivalente a la dada tal que sus términos son menores que los de la
fracción original. Cuando los términos ya son primos entre sí las dos fracciones no pueden simplificarse más y se dice que la
fracción es Irreductible o Irreducible
Página 17
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1 2 4 3
  
2 4 8 6
Gráficamente podemos ver por ejemplo:
Toda fracción tiene una cantidad infinita de fracciones equivalentes:
0
0
2
0
4
1
1
4
1
2
2
4
3
4
2
2
2
4
4
5
4
3
2
6
4
7
4
4
2
8
4
Expresiones decimales:
Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción el cociente de dicha división es la
expresión decimal de dicha fracción
CLASIFICACIÓN de las EXPRESIONES DECIMALES
Pasaje de fracción a decimal
EXACTAS
EXPRESIONES DECIMALES
(Ver reglas de pasaje aparte)
(falta realizar la simplificación final donde
correspondiera)
6
 6 : 5  1,2
5
18
10
327
32,7 
10
23
 23 : 1000  0,023
1000
( En “algún” momento el
resto se hace 0)
15
 15 : 10  1,5
10
PURAS

2
 2 : 3  0,6666....  0,6
3
PERIÓDICAS

14
 14 : 9  1,5555....  1,5
9
( El resto “nunca” se hace
0)
85
 85 : 99  0,858585....  0,85
99
IMPURAS o
MIXTAS
Pasaje de decimal a fracción
(se efectúa el cociente entre numerador y
denominador)

37
 37 : 30  1,2333...  1,23
30

49
 49 : 75  0,653333...  0,653
75
128
 128 : 495  0,25858...  0,258
495
1,8 
0,05 
5
100

3
0,3 
9
 17  1 16
1,7 

9
9
2,27 
227  2
225

99
99
238  23
215

90
90
813  81 732
0,813 

900
900
2,38 
1,237 
1237  12 1225

990
990
Pasaje de decimal exacto a fracción: Se escribe el numero completo en forma entera en el numerador, y en el denominador se
coloca el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.
Pasaje de decimal periódico a fracción: En el numerador se escribe el número completo en forma entera y se le resta la parte
no periódica ( entera y decimal) expresada también en forma entera. En el
denominador se coloca tantos nueves como cifras periódicas tenga el número
seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número.
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Reconocimiento del orden de los números racionales:
La relación de orden en Q nos permite establecer cuando una fracción es mayor , menor o igual que otra.
A)
Igualdad en Q : Dos números racionales son iguales cuando lo son sus productos cruzados.
Dados 7 y 35
5
25
B)
Desigualdad en Q :
son iguales
a c
  a.d b.c
b d
ya que 7 . 25 = 5 . 35
175 = 175
Dos números racionales son desiguales cuando sus productos cruzados no son iguales
a c
  a.d b.c
b d
a c
  a.d b.c
b d
3 
7
4
5
pues
3. 5  7 .4
21 
5
7
2
pues
21 . 2  5 . 7
-10  -23
7
20
pues
(-10 ) . 20  7 . ( -23)
pues
( -1) . 3
-1 
2
25
3
pues 15  28
pues 42  35
 2 . 25
pues -200  -161
pues - 3  50
DIVISIBILIDAD:
Repasemos a continuación algunos conceptos vistos en la primaria acerca de divisibilidad.

Números Primos: Son aquellos que tienen solo dos divisores : el uno y si mismo. Ej: 7 , 5 , 13 , 31

Números Compuestos: Son aquellos que admiten otros divisores además del uno y de si mismo. ( Ej: 6 pues sus
divisores son el 6 y el 1 , pero además el 2 y el 3)
El número 0 no es ni primo ni compuesto pues no tiene un número finito de divisores
El número 1 no es ni primo ni compuesto porque no tiene dos divisores distintos

Los números que multiplican se llaman factores , y los que dividen divisores.

Los divisores deben ser distintos de 0 ( sino la división da indeterminada)

El uno es divisor de todos los números

El cero es múltiplo de todos los números.

Los múltiplos de un número son divisibles por ese número.

Es equivalente decir “ES MÚLTIPLO DE” o “ ES DIVISIBLE POR”
Criterios de divisibilidad:
 Un número es divisible por 2 si y solo si termina en 0 , 2 , 4, 6, u 8
 Un número es divisible por tres si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 3
 Un número es divisible por 4 si y solo si sus últimas dos cifras son múltiplos de 4
 Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 5 o 0
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 Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3 a la vez
 Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 9
 Un número es divisible por 10 si y solo si su última cifra es 0
 Un número es divisible por 11 si y solo si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la
suma de las cifras que ocupan un lugar impar ( o viceversa) es múltiplo de 11 o 0)
ejemplo: 62678 es múltiplo de 11 porque ( 6 + 6 + 8) – ( 2 + 7) = 20 – 9 = 11
Descomposición de un número en sus factores primos:
Todo número puede descomponerse de una sola manera en sus factores primos. Para ello se efectuan divisiones
comenzando por el número primo más chico posible (2)
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
48
24
12
6
3
1
120=23 . 3 . 5
2
2
2
2
3
108
54
27
9
3
1
48=24 . 3
2
2
3
3
3
72
36
18
9
3
1
108=22 . 33
2
2
2
3
3
72=23 . 32
Máximo común Divisor (MCD):
El máximo común divisor de dos o más números distintos de 0 , es el mayor de los divisores comunes de los números
dados.
Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se descomponen estos en sus factores primos y el MCD es
el producto de los factores comunes a todas las descomposiciones elevados al menor exponente. En nuestro ejemplo el MDC
(120,48,108,72) = 22 . 3 = 12
Mínimo común múltiplo (mcm):
El mínimo común múltiplo de dos o más números , es el menor de los múltiplos distintos de 0 comunes de los números
dados.
Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se descomponen estos en sus factores primos y el mcm
es el producto de los factores comunes y no comunes a todas las descomposiciones elevados a su mayor exponente. En nuestro
ejemplo el mcm (120,48,108,72) = 24 . 33 . 5 = 2160
Reducción de fracciones a MINIMO COMUN DENOMINADOR (mcd) :
Reducir varias fracciones a MINIMO COMUN DENOMINADOR (mcd) significa encontrar otras tantas fracciones
equivalentes a las dadas, tales que el denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores dados.
Metódo Práctico:
Dados dos o más fracciones , para reducirlas a mínimo común denominador en forma práctica utilizaremos el siguiente
método :
1)
Se elige el denominador de mayor valor absoluto = n
2)
Verificamos si es múltiplo ( o sea si es divisible ) de todos los otros denominadores .En caso de serlo dicho denominador es el mínimo
común denominador.
3)
En caso de que no sea múltiplo se multiplica dicho denominador por 2 , 3 , 4 y así sucesivamente hasta encontrar un denominador que
sea múltiplo de todos los restantes, siendo este el mínimo común denominador.
4)
Una vez encontrado el mínimo común denominador , lo dividimos por todos y cada uno de los denominadores dados y lo
multiplicamos a este cociente por el numerador correspondiente de cada una y todas las fracciones dadas.
Ejemplo : Averigua el m.c.d. de
1)
2)
3)
1,
8
2,
5
5
2
El denominador de mayor valor absoluto es = 8
8 No es divisible por 5
Calculamos 8 . 2 = 16 . 16 No es divisible por 5
Calculamos 8 . 3 = 24 . 24 no es divisible por 5.
Calculamos 8 . 4 = 32 . 32 no es divisible por 5.
Calculamos 8 . 5 = 40 . Siendo 40 divisible por todos los denominadores .
Página 20
Luego 40 es el
mínimo común denominador
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Para hallar las fracciones equivalentes con el mínimo común denominador hacemos :
40 : 8 = 5
5.1 = 5 
1 =
5
8
40
40 : 5 = 8
8 . 2 = 16

2 =
16
4
40
40 : 2 = 20
20 .5 = 100

5 =
100
2
40
OPERACIONES DE NÚMEROS RACIONALES
Suma algebraica de Números Racionales
Para sumar o restar fracciones se deben buscar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean el mínimo
común múltiplo de los denominadores ( es decir el mínimo común denominador – mcd) Luego se hallan los numeradores de
las fracciones equivalentes , se opera algebraicamente con ellos y de ser posible se simplifica al final.
Ej: 3  1  7  9  6  14  29
4
2
6
12
12
Observación : Si hay decimales , se deben pasar primero a fracción y simplificar de ser posible
Ej: 0,75  1  5  0,375  75  1  5  375  3  1  5  3  6  4  40  3   33
2
100
2
1000
4
2
8
8
40
Multiplicación de Números Racionales
Para la multiplicación de fracciones, primero , si se puede, se debe
simplificar cualquier numerador con cualquier denominador de las distintas
fracciones. Luego se multiplican los numeradores y los denominadores entre
si , teniendo en cuenta el signo de cada fracción y aplicando la regla de los
signos.
Dados a y h
b
p
Definimos
a . h
b p
= a . h
b . p
Ejemplo : 7 . 5 = 7 . 5 = 35
2
3
2 . 3
6
2 12  15 
.
.   
3 5  4
6
4  3   10  22
4
.   . 


.
5  11   24  9
18
Elemento Inverso :
Dado p
q
su elemento inverso es q
2
9
p
Ejemplos: El inverso de –9 es  1 , el inverso de 2 es 3
9
3
2
Página 21
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División de Números racionales
La división es la operación inversa de la multiplicación , por ello :
Dados a y h
b
p
Definimos
a : h
b p
= a . p
b . h
Invertimos el divisor transformando a la división en multiplicación
Ejemplo :
5 : 2 = 5 . 3 =
4 3
4 . 2
15
8
Para facilitar la división de fracciones en relación con las reglas antedichas para multiplicación podemos decir en forma
práctica que para dividir fracciones debemos:
Primero, si se puede, se debe simplificar en forma horizontal los numeradores o los
denominadores de las distintas fracciones. Luego se multiplica cruzado , es decir , el
numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y ese producto se
coloca en el numerador de la fracción resultado. Luego se multiplica el denominador de
la primera con el numerador de la segunda y ese producto se coloca en el
denominador del resultado
Ejemplo:

2 4
3
:

5 15
2
Regla resumen:
9
3
: 12 
5
20

7  14  4
:     2
2  8 2
Multiplicación Q :
Multiplica derecho / Simplifica cruzado
División Q:
Multiplica cruzado / Simplifica derecho
Operaciones combinadas :
Para resolver un cálculo combinado con números racionales debe respetarse el orden de resolución de operaciones
que fuera visto en números enteros. Si existiesen decimales previamente a la resolución deben pasarse a fracciones y
simplificarse de ser posible. Cuando se realicen las multiplicaciones o divisiones se debe simplificar previamente de ser posible.
Esto permitirá manejar fracciones equivalentes cuyos términos sean menores y por ende más fáciles de operar.
Ej:
5
2
 3
 
  0,8  :
3
10
6


2
8
5

 3
 
 
:
 3 10  10 6
5
2 4 3
 
  :
 3 5  10 6
5
 10  12  3
 

:
15
10
6


2
3
5
:
 
15 10 6
4 5
  
9 6
 8  15

18
7
18

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Resolución de Ecuaciones con Q:
Usaremos la misma regla práctica vista para enteros , pero luego de separar en términos y antes de aplicar distributiva
si fuera necesario o asociar las x , en el caso de existir decimales deben pasarse a fracciones y simplificarse de ser posible.
También debe tenerse en cuenta al aplicar la distributiva las reglas prácticas vistas para multiplicación o división de racionales.

Ejemplo con distributiva y números racionales:
Verificamos:
0,2 . x  3  2 x  1
2
. x  3  2 x  1
10
1
. x  3  2 x  1
5
1
1
x  .3  2 x  1
5
5
1
3
x  2x  1 
5
5
x  10 x
53

5
5
9
2
 x
5
5
2  9
x  : 
5  5
2
x
9

1  2 
 2
.   3   2 .    1
5  9 
 9
1   2  27 
4
.
   1
5  9 
9
1 25  4  9
. 
5 9
9
5 5

9 9
Ejemplo de ecuación con distributiva y/o despeje en números racionales:
5 2 5
1

 3x   .   
4 3 6
3

Distributiva
Despeje
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Introducción:
Esta introducción la podríamos haber hecho al comenzar el año , pero la dejamos para este momento. Después de
transitar varios meses por la materia quizás sea este el tiempo de preguntarnos:
¿Que es la matemática?¿Como podemos definir a la matemática?
Podemos encontrar muchas definiciones , y vamos a ver que todas coinciden en que es una ciencia ( ¿Qué es una
ciencia? Pregunta interesante para buscar información y pensar en ella. )
Podríamos encontrar una definición como esta:

Ciencia que estudia mediante el uso de números y símbolos las cantidades y formas ,sus propiedades y
relaciones. La matemática emplea el método lógico ,plantea una serie de supuestos (axiomas y postulados)
de los cuales se deducen proporciones que expresan una relación (teorema). Las matemáticas elementales
estudian los números y el espacio y sus proporciones tienen una relación directa con la experiencia física,
las matemáticas puras o abstractas pueden basarse en supuestos que no tengan nada que ver con el mundo
material. Sus principales divisiones son : Aritmética, Algebra, Geometría. Trigonometría , Cálculo
infinitesimal y análisis matemático (Fuente : Diccionario enciclopedico Marred)
Definición larga y con muchas palabras que no conocemos.¿no?
Busquemos otra definición más corta y sin tantas palabras difíciles:

Es una ciencia que engloba a través del razonamiento y la logica el estudio de los entes abstractos tales
como los números ,las figuras geométricas , la filosofía y operaciones que conectan los diferentes
conceptos entre sí. (Hispanico enciclopedia – Macropedia Vol 9 – Ed: Enciclopedia Britanica
Publishmers – Autor Rand –Mc Nally
Sigue siendo difícil . Una definición parecida a la anterior pero mas corta podría ser:

Es la ciencia que estudia por razonamiento deductivo las propiedades de los seres abstractos (
números , figuras geométricas , ect) y las relaciones que tienen entre si (Diccionario enciclopedico
Laurousse)
No hay una única definición. Podrán encontrar muchas, algunas con un tono casi filosófico:

Conjunto de conocimientos en constante evolución y que sirven para responder a necesidades reales del
ser humano. (EGB 9 – Margarita Rodriguez –Miguel Martinez)
Así planteada la matemática podría ser también muchas otras ciencias. Veamos otra definición corta pero no por ello
menos sustanciosas:

Conjunto de las ciencias que trata de la cantidad ,el tamaño y el orden como entes abstractos, y de sus
relaciones ( Diccionario Basico Aique)
Y volvamos para terminar a una de las definiciones largas :

La matemática para los antiguos griegos representaba la ciencia dedicada al estudio de las propiedades
generales de los números (aritmética) y las figuras (geometría)Mas tarde adquirieron carácter autónomo
otras ramas: el álgebra , el análisis, las varias derivaciones de la geometría, la teoría de conjuntos , la
topología , el cálculo de probabilidades , ect.. Desde la antigüedad las matemáticas han tenido una función
fundamental en las ciencias de la naturaleza ya que proporcionan un lenguaje riguroso y sintético para
expresar los hechos de la naturaleza y para hallar los vínculos en la máxima economía de pensamiento, y
son un material inextinguible para crear nuevos modelos de interpretación de los fenómenos revelados or
la experiencia. (pequeña enciclopedia temática Larousse en color IV – Ramon García –Pelayo y Gross- ed
Laurosse)
Ahora tratemos de armar una definición sencilla usando las palabras que consideramos mas importantes de todas las
definiciones anteriores. Usemos palabras simples que conocemos y tratemos de darles forma a través de una definición que nos
sea clara y útil.
Página 24
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Hemos armado una definición y en ella seguramente aparecieron las palabras: forma o figura
Estas palabras se relacionan con la palabra GEOMETRIA y esa es la parte de la matemática que nos interesa
empezar a ver ahora
Geometría : Repasemos lo que sabemos de Ángulos
Desde los griegos en matemática se parten de ciertos conceptos primitivos que no tienen definición. A partir de ellos se
establecen axiomas (o postulados) que no tienen definición , que se consideran verdaderos y no se demuestran; y desde allí se
comienza la construcción de propiedades.
En geometría comenzaremos con la idea de algunos conceptos geométricos que usamos habitualmente y que nos
permiten definir todos los elementos que usaremos tanto en los temas siguientes como en todos los temas de geometría en
general. Ellos son el punto, la recta y el plano-espacio.
PUNTO: Es toda marca que deja un objeto punzante sobre una superficie cualquiera.
Por ejemplo una aguja en un papel, la tiza en el pizarrón. Se los denomina
con una letra minúscula.
RECTA: es una sucesión infinita de puntos alineados que no tiene
principio ni fin. Se las nombra con letras de imprenta
mayúscula.
PLANO : es un conjunto infinito de puntos que forman una superficie. Se
los nombra con letras griegas. Por ejemplo la pared, el
pizarrón, etc.
AXIOMAS:
1.
Por un punto pasan infinitas rectas.
2.
Por una recta pasan infinitos planos
3.
Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen.
4.
Tres puntos no alineados determinan un plano al cual pertenecen
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SEMIRRECTA: es una sucesión infinita de puntos alineados que tiene
principio pero no tiene fin. Se nombra el origen (donde
comienza) y un punto cualquiera por donde pasa, con una
flecha sobre ellos.
SEMIRRECTAS OPUESTAS : son aquellas que tienen el mismo origen pero van en sentido
contrario.
a
m
p
ma y mp son semirrectas opuestas
SEGMENTO : es una sucesión infinita de puntos alineados que tiene principio y fin.
Se nombra los puntos origen y extremo con letras minúsculas, y con
una rayita sobre ellos.
SEMIPLANO : es una porción de plano limitada por una recta
El plano  se divide en dos semiplanos
Spl ( R, a )
Spl ( R, b )
SEGMENTOS CONSECUTIVOS : son aquellos que el origen de uno coincide con el extremo del otro.
segmentos consecutivos no alineados
pues no están en la misma recta.
segmentos consecutivos, alineados
, pues pertenecen a la misma recta
POSICIONES RELATIVAS de 2 RECTAS en el PLANO:
Las rectas incluidas en un mismo plano se llaman coplanares y pueden ser incidentes ( si tienen un punto en común) o
paralelas ( si no tienen ningún punto en común)
Incidentes oblicuas
Incidentes Perpendiculares
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Paralelas
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ANGULO : Un ángulo es la región del plano determinada por dos
semirectas cuyo origen es el mismo punto.
Elementos : Lado ba y bc ( Semirectas)
Vértice b ( punto)
Amplitud abc ( ángulo en^grados )
En el ejemplo mencionado tenemos dos ángulos, el cóncavo y el convexo, por lo que otra manera de definir
los ángulos es mediante la intersección de semiplanos que contengan a los diferentes puntos.
Clasificación de ángulos:
Clase
Cóncavo
Convexo
Amplitud
Clasificación
180 º <  < 360 º
 = 180 º
90 º <  <180 º
 = 90 º
0 º <  < 90 º
 =0 º
Cóncavo
Llano
Obtuso
Recto
Agudo
Nulo
ÁNGULOS CONSECUTIVOS : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común
Si ob es semirecta en común
Entonces los ángulos
^ y boc^son consecutivos
aob
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS :
Dos ángulos se llaman así cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°.
abc
^ + def ^= 90°
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°
^ + def =^ 180°
abc
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Tanto los ángulos complementarios como los suplementarios pueden ser ángulos consecutivos ( es decir que tienen un lado en
común y el mismo vértice) o no consecutivos ( estar “separados” pero sumar 90º o 180 º )
ÁNGULOS ADYACENTES :
Son aquellos que tienen un par de semirectas
opuestas y un lado en común.
boa
^y
aod
^
oa
semirecta en común
ob y
od son semirectas opuestas
Propiedad : Los ángulos adyacentes son suplementarios
^
boa +
^
aod = 180°
ÁNGULOS OPUESTOS por el VÉRTICE :
Se llaman así cuando los lados de uno son semirectas
opuestas a los lados del otro.
^
boa
^
doc
oa
ob
es opuesta a
oc
es opuesta a od
^ = doc
^
boa
Propiedad : Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes
SISTEMA SEXAGESIMAL:
Para la medición de ángulos, se utiliza varios sistemas de medición ( centesimal, radianes) y siendo el mas usual el sistema
sexagesimal, en el cual un giro completo esta dividido en 360 partes iguales ( grados ) , cada grado esta dividido en 60 partes
iguales ( minuto ) y cada minuto en otras 60 partes iguales ( segundo ).
Hagamos un ejemplo de cómo realizar sumas y restas en el sistema sexagesimal:
Suma de ángulos
95 º
+ 12 º
107 º
+ 1º
108 º
35 ´
58 ´
93 ´
+ 1´
94 ´
- 60 ´
34 ´
Resta de ángulos
-
54 “
36 “
90 “
60 “
30 “
-
95 º 35 ´ 54” + 12 º 58 ´36 “ = 108º 34 ´ 30 “
94 º
95 ´
95 º
12 º
82 º
35 ´
58 ´
37 ´
54 “
36 “
18 “
95 º 35 ´ 54 “ – 12 º 58 ´ 36 “ = 82 º 37 ´ 18 “
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ANGULOS DETERMINADOS por DOS RECTAS y una TRANSVERSAL
(para el siguiente tema denominar ángulos en los dibujos del apunte con los alumnos y luego descubrir nombres ,
significados y propiedades)
Si tenemos dos rectas B y C cortadas por una tercera A , llamada transversal se forman 8 ángulos. Los mismos se clasifican en :
Ángulos alternos:
Internos:
1 y 4
2 y 3
Externos:
5 y 8
6 y 7
Internos:
1 y 3
2 y 4
Externos:
5 y 7
6 y 8
Ángulos Conjugados:
Ángulos Correspondientes:
Son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal , pero no es interno y el otro es externo , y
no son adyacentes.
1 y 7
6 y 4
2 y8
5y 3
ANGULOS entre PARALELAS
En el caso particular donde las dos rectas M y N son paralelas y estan cortadas por la transversal R los ocho ángulos
determinados entre ellas cumples las siguientes relaciones o propiedades.
Ángulos alternos:
Propiedad : Son IGUALES
Internos
c=f
d=e
Externos
a=h
b=g
Ángulos Conjugados:
Propiedad : Son SUPLEMENTARIOS
Internos
c + e = 180º
d + f = 180º
Externos
a + g = 180º
b +h = 180º
Ângulos Correspondientes:
Propiedad : SON IGUALES
a=e
c= g
b= f
d=h
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Ejercitación (básica a ampliar según el curso y objetivos propuestos, no incluye angulos entre paralelas ni
ejercicios que incluyan la resolución de ecuaciones de primer grado con una incognita) :
 Dibujar en una hoja aparte los siguientes ángulos indicando la clasificación de cada uno:
1^= 67 º
^
4 = 180 º
^2 = 0 º
^3 = 123º
^5 = 45 º
^6 = 255º
 Medir y clasificar los ángulos interiores en las siguientes figuras:
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 Indicar si las siguientes frases son verdaderas o falsas:
Verdadero
Falso
Dos ángulos adyacentes son consecutivos
Dos ángulos adyacentes son complementarios
Dos ángulos adyacentes son suplementarios
Dos ángulos consecutivos son adyacentes
Dos ángulos suplementarios son adyacentes
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes
 Halla el valor de cada ángulo indicado en los dibujos siguientes: (Justificar en cada caso)
 Resolver cada una de las siguientes operaciones:
47º 52´ 39“ + 85º 24´ 45“ =
95º 12´ 21” - 53º 50´ 28” =
26º 14´ 30“ + 57º 50´ 9“ =
126º 14´ 30” - 57º 50´ 9” =
 Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos. (Justificar en cada caso)
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Observando el plano adjunto de nuestra ciudad responde las siguientes preguntas:
 Nombra dos calles que sean paralelas ………………………………………………………………..
 Nombra dos calles que sean perpendiculares …………………………………………………….
 Nombra dos calles que sean paralelas y estén separadas entre si seis cuadras
……………………………………………………………………………………………………………………………….
 Nombra dos calles que forman un ángulo agudo entre si. Mídelo.
…………………………………………………………………………………………………………………………………
 Nombra dos calles que formen un ángulo obtuso entre ellas. Mídelo
…………………………………………………………………………………………………………………………………
 ¿Qué ángulo forma la calle Libertad con la ruta 22? …………………………………….
 ¿Qué ángulo forma la calle Santa Fe y la Avenida Riavitz? …………………………..
 ¿Qué ángulo forma la calle Corrientes con la horizontal? (Dirección Este-Oeste) ………….
 Marca la ubicación de la escuela. Traza una línea entre el centro de la plaza y la escuela. Que ángulo forma
dicha línea con el Norte. …………………………………………………..
 Indica las calles que limitarían un rectángulo cuya superficie fuera aproximadamente 8 cuadras
…………………………………………………………………………………………………………………………
 ¿Qué calles delimitarían una forma aproximada a un paralelogramo?
……………….……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
 ¿Qué calles encerrarían una figura que se aproxime a un trapecio rectángulo?
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
 Marca el perímetro delimitado por las calles Zabaleta , San Juan, Nacimiento y Mendoza. ¿Qué figura se forma?
Mide los ángulos interiores . Verifica su suma.
……………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………
Página 33
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Potenciación y Radicación -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
POTENCIACIÓN:
Es la operación que indica la multiplicación sucesiva de un mismo número b (llamado base), tantas
veces como lo indique un número e ( llamado exponente)
p = b
n= exponente
n
bn = b . b . b . . . . . . . . . . . . .b = p
n veces
p= potencia o
resultado
b=base
Ejemplos:
(3)4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
2
 5
 5
    
 4
 4
(0,2)3 = (0,2) . (0,2) . (0,2) =0,008
 5  25
  
 4  16
3
 2
 2
    
5


 5
 2
 
 5
8
 2
   
5
125


CASOS ESPECIALES:
1) El uno como exponente :
a1 =
a
Ej: 5 1 = 5
2) El uno como base :
1n =
1
Ej: 1 6 = 1
3) El uno como base y exponente :
4) El cero como exponente :
11 =
a0 =
1
El resultado es la base
Pues : 1.1.1.1.1.1= 1 El resultado es 1
Por cumplimiento de las condiciones 1) y 2)
1
Ej: 7 0 = 1
El resultado es siempre 1
Demostración : Tomando la propedad de Cociente de potencias de igual base ( Ver punto siguiente)
a
5–5
= a
0
= a5 =
a5
5) El cero como base
0n =
6) El cero como base y exponente :
00 =
a. a .a . a . a = Simplificando = 1
a .a . a . a .a
0
Ej: 0 3 = 0
Pues : 0.0.0 = 0 El resultado es siempre 0
indeterminado
Como base daría : 0 0 =
Como exponente daría:
Como se ve ambos resultados son distintos.
REGLA DE LOS SIGNOS:
1) Base positiva :
2) Base negativa :
Exponente par :
El resultado es positivo
( + 8) 2 = + 64
Exponente impar :
El resultado es positivo
( + 5) 3 = + 125
Exponente par :
El resultado es positivo
( - 3) 2 = + 9
Exponente impar :
El resultado es negativo
( -2 ) 5 = - 32
El único caso en que la potencia es negativa es cuando la base es negativa y el exponente impar.
Página 34
0
00 =
1
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Potenciación y Radicación -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:
1)Producto de potencias de igual base:
Ej:
a3 . a
= a
2
= a5
3+2
23.2 . 20. 2 5= 2
3+1+0+5
(- 3) -1 . ( -3) 0 . (-3) 4= ( -3 )
2)Cociente de potencias de igual base:
Ej:
a5: a
2
= a
5-2
3 –(-1)
3)Potencia de otra potencia:
5 2
4 
2 3
a . bn
(3.5)
Ej:
2
= 3 2.5
= 9 . 25
225
= 225
2
2
4
2
= ( -7 ) 3
x 
n m
= 16 2 : 8
3    3
 xn . m
 30  1
2
a  bn  a n  b n
Respecto a la suma
Ej:
(4+6)
10 2
100
2
Ej:
(7-3)
42
16
4
 42 +6 2
 16 + 36
 52
a  bn  a n  b n
Respecto a la resta
= 256 : 64
=
4.  1 . 0
0
4 1
2
a : bn  a n : b n
( 16 : 8 )
5-2
NO SE CUMPLE
 an . bn
15 2
Respecto al cociente
x n : x m  x nm
= 54
 4 6  256
4) Propiedad distributiva:
SE CUMPLE
Ej:
= ( -3 ) 3
Se multiplican los exponentes
 a10
Respecto al producto
-1+0+4
= a3
(- 7) 5 : ( -7) 2 = ( -7 )
a 
= 29
Se restan los exponentes
5 3 : 5 -1 = 5
Ej:
x n . x m  x nm
Se suman los exponentes
2
 72- 3
 49 - 9

40
2
CONCLUSIÓN : La potencia es distributiva respecto del producto y el cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.
POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO:
Toda potencia con exponente negativo es igual a otra potencia con la base
invertida y el mismo exponente pero positivo. Se conserva el signo de la base
r
b
r
1
1
   r
b
b
Por ejemplo :
35 : 38  358  33
2
 
3
3
 
3
27
3
  
8
2
33333
35
1
1
1

 Simplifica ndo queda 
 3 
8
33333333
333 3
27
3
 42    1 
 4
Página 35
2

1
16
 5
 
 3
3
3
27
 3
    
125
 5
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Potenciación y Radicación -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
NOTACIÓN CIENTÍFICA:
Las potencias de 10 tienen especial importancia , tanto en Matemática como en otras ciencias , ya que nos
permiten escribir números muy grandes o muy pequeños en forma sencilla.
Por ejemplo la masa de un protón es 1,67 . 10 –27 kg. , y la masa de la Tierra es 5,98 . 10 24 kg.
Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de una potencia de 10 por otro número , cuyo
valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10

647,25 tiene 3 cifras enteras , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la izquierda dos lugares .
Entonces queda 647,25 = 6,4725 . 10 2

0,00000894 tiene una cifra entera nula , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la derecha hasta la
primer cifra decimal no nula, es decir seis lugares. . Luego 0,00000894 = 8,94 . 10 -6
Los cálculos con números muy grandes o muy pequeños se realizan fácilmente al trabajar con notación científica:
240000000 . 0,0000012 2,4 .10 8 . 1,2 .10 6 2,4 . 1,2


.10 865   0,8 .10 7  8 .10 6
0,000036
3,6
3,6 .10 5
RADICACIÓN: Es la operación inversa de la potenciación. (Así como la división lo es de la
multiplicación y la resta de la suma)
Se llama raíz enésima de un número a al número b tal que b elevado al exponente n de por resultado el
número a
b= raiz o resultado
n= índice
n
n
a
= Signo radical
= b
a
=b
a= Radicando
Observación: En este curso trabajaremos con raíces cuyo resultado sean racionales (exactas).
Ejemplos:
9
3

4
2
Pues
 
 3 2 9
 2
4

2
3
9



2
4



3
27
3

125
5
3
Pues
27
 3
  
5
125
 
3
 27  3 Pues
 33  27
REGLA DE LOS SIGNOS:
Radicando positivo :
 25  5   5  25
La raíz es doble tomando valores opuestos
2
Índice par
 25  5   5  25
2
Radicando negativo :
No existe Solución en los números racionales
 49 No Existe en R
ya que
Radicando positivo :
El resultado es positivo
Radicando negativo
El resultado es negativo
3
Índice impar
CONCLUSION: Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando
Página 36
3
7 2  49  49
 7 2  49  49
 8  2   2  8
3
 27  3   3  27
3
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Potenciación y Radicación -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
SE CUMPLE
n
Respecto al producto
3
NO SE CUMPLE
a.b  n a .n b
Respecto a la suma
n
ab n a 
16  9  9 
25  3  4
8 . 125  3 8 . 3 125
3 1000  2 . 5
n
a:b  n a : n b
36 : 9 
36 :
b
n
b
16
57
10  10
Respecto al cociente
n
n
Respecto a la resta
a b  n a 
25  9  25 
16  5  3
9
4  6:3
9
42
22
PROPIEDAD ASOCIATIVA ( Reciproca de la DISTRIBUTIVA)
Respecto al producto
n
a . n b  n a.b
Respecto a la suma
n
a : n b  n a :b
b  n a b
n
225  64
289
23  17
12  12
Respecto al cociente
a
225  64 
15  8 
64 . 3 27  3 64 . 27
4 . 3  3 1728
3
n
Respecto a la resta
n
a
n
b  n a b
169  144  169  144
13  12  25
400 : 4  400 : 4
20 : 2  100
1 5
10  10
CONCLUSIÓN : La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.
Página 37
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA -
SIMELA (un tema que nos permite ver
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
lo anterior desde otra óptica )
Introducción:
El hombre desde las civilizaciones más antiguas necesito construir casas, delimitar tierras para cultivo , comerciar con
los vecinos , o conocer el movimiento de los astros.
Para ello fue necesario MEDIR : Medir longitudes , areás , volumenes , pesos y tiempos , como asi también establecer
un sistema monetario ( que permitio dejar atrás el trueque)
MEDIR: Es comparar con una unidad
El problema a lo largo de la historia fue la diferencia de criterios adoptados para medir , es decir la diferencia de
unidades con que podía ser comparado algo, mas si tomamos en cuenta que los sistemas en la antigüedad se basaban en partes
del cuerpo humano (pie, pulgada, codo , palmo , ect..)
La gran diversidad de unidades y el incremento del comercio y las comunicaciones hizo cada vez más evidente la
necesidad de unificar las unidades de medida.
SIMELA:
Durante la Revolución Francesa , mediante una ley (7/4/1795) se creo el Sistema Métrico Decimal . En 1840 fue obligatorio
para toda Francia. En nuestro país se adopto por ley en 1863. El 7 de marzo de 1972 se creo por ley en nuestro país el SIMELA
(Sistema Métrico Legal Argentino) basado en el Sistema Métrico Decimal Internacional (SI)
EL VALOR DE ESTE SISTEMA NO RESIDE EN EL TAMAÑO DE SUS UNIDADES SINO EN SU LOGICA , que
permite a partir de unidades fundamentales (tomadas arbitrariamente) obtener mediante simples conversiones los múltiplos y
submúltiplos de cada magnitud utilizada.
MAGNITUD: Cualidad de un cuerpo o fenómeno que referida a una unidad de la misma especie puede medirse.
En forma simple podemos decir que Magnitud es todo aquello que puede medirse
MAGNITUDES FÍSICAS:
Son las propiedades de los cuerpos y de los procesos naturales que pueden medirse.
Medir una magnitud física es COMPARAR dicha cantidad con un patrón o cantidad de la misma magnitud previamente
definida como unidad , determinando el número de veces que lo contiene y expresando el resultado como un número seguido de
la correspondiente unidad.
CANTIDAD : es el resultado de la medición expresada en las unidades elegidas.
Número (6)
6 m
Unidad (m)
Cantidad (6 m) ( de la magnitud llamada longitud)
Las cantidades pueden compararse y operarse entre si cuando son homogéneas , para ello deben llevarse las distintas
cantidades medidas a una sola unidad (Reducción)
UNIDAD:
Es la cantidad elegida como término de comparación para medir las demás cantidades de la misma especie
Para indicar los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad en el sistema Internacional se usan los siguientes prefijos:
Página 38
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA PREFIJO
Abreviatura
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Tera
T
Equivalencia respecto a la
Unidad
1.000.000.000.000
Giga
G
1.000.000.000
10 9
Mega
M
1.000.000
10 6
Kilo
K
1.000
10 3
Hecto
H
100
10 2
Deca
Da
10
10 1
UNIDAD
Expresión Científica
1012
1
Deci
d
0,1
10-1
Centi
c
0,01
10-2
Mili
m
0,001
10-3
Micro

0,000001
10-6
Las magnitudes pueden dividirse en Fundamentales y Derivadas. Las primeras no pueden definirse en función de
ninguna otra (Ej: Longitud , masa , tiempo) En cambio las segundas se definen a partir de las fundamentales como una
combinación de ellas.(Ej: Superficie ,Volumen , Densidad, Velocidad , ect..)
LONGITUD :
Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en una dimensión. (Ej : el largo del pizarrón , el ancho de una hoja
, la altura de un edificio) Sus unidades varían de 10 en 10
Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Nombre
Kilómetro
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Símbolo
Km
Hm
Dam
m
dm
Cm
mm
1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Equivalencia
Observación: Para hacer las reducciones mostradas en los ejemplos se debe tener en cuenta:

Colocar la unidad del número en la unidad de la magnitud correspondiente

Completar el numero a izquierda y derecha
Ejemplos
147,5 dam a cm
0,047 m a Hm
Km
Hm
Dam
m
dm
cm
1
4
7
5
0
0
0,
0
0
0
4
Página 39
mm
147,5 dam = 147.500 cm
7
0,047 m = 0,00047 Hm
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
SUPERFICIE :
Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en dos dimensiones.
(Ej : la extensión del pizarrón o de una hoja de papel) Sus unidades varían de 100
en 100
Múltiplos
Nombre
Símbolo
Equivalencia
Unidad
Submúltiplos
Kilómetro
cuadrado
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
cuadrado
cuadrado
Cuadrado
cuadrado
Cuadrado
Cuadrado
Km²
Hm²
Dam²
m²
dm²
cm²
Mm²
1.000.000
10.000
100
1
0,01
0,0001
0,000001
Ejemplos
Km²
_
Hm²
_
Dam²
_
m²
_
0
0
0
5
0,
5
0,
0
0
4
0,00505 Hm² a m²
43,25 dm² a dam²
dm²
_
cm²
_
mm²
0,00505 Hm² = 50,5 m²
3
2
5
43,25 dm² = 0,004325 dam²
VOLUMEN :
Es la magnitud que indica el espacio ocupado por un cuerpo. (Ej : El
lugar que ocupa la yerba , el azucar en un paquete cerrado) Sus unidades varían
de 1.000 en 1.000
Múltiplos
Kilómetro cúbico
Nombre
Ejemplos
Submúltiplos
Hectómetro
Decámetro
Metro
Decímetro
Centímetro
Milímetro
Cúbico
cúbico
cúbico
Cúbico
Cúbico
Cúbico
Km3
Hm3
Dam3
m3
dm3
cm3
Mm3
1.000.000.000
1.000.000
1000
1
0,001
0,000001
0,000000001
Símbolo
Equivalencia
Unidad
Km3
0,0187 Hm3 a dm3
_
_
Hm3
_
_
Dam3
_
_
m3
_
_
dm3
0
0
1
8
7
0
0
0
0
0
0,
0
7
2
8
72,8 m3 a dam3
_
_
cm3
_
_
mm3
0,0187 Hm3 =18.700.000 dm3
72,8 m3 = 0,0728 dam3
CAPACIDAD :
Es la magnitud que indica el espacio libre de un cuerpo. (Ej : el lugar vacío en una botella ) Sus unidades varían de 10
en 10
Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Nombre
Kilolitro
Hectolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Mililitro
Símbolo
Kl
Hl
Dal
l
dl
cl
Ml
1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Equivalencia
Página 40
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA Ejemplos
88,005 Hl a dl
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Kl
Hl
Dal
l
dl
8
8
0
0
5
0,
5
53.4 cl a l
cl
ml
88,005 Hl = 88.005 dl
3
4
53,4 cl = 0,534 l
MASA :
Es la magnitud que indica la cantidad de materia que forma un cuerpo. ( El peso de un cuerpo esta en relación con su
masa y es lo que medimos con una balanza) Sus unidades varían de 10 en 10
Múltiplos
Unidad
Submúltiplos
Nombre
Kilogramo
Hectogramo
Decagramo
Gramo
Decigramo
Centigramo
Miligramo
Símbolo
Kg
Hg
Dag
g
dg
cg
mg
1.000
100
10
1
0,1
0,01
0,001
Equivalencia
Ejemplos
240 cg a kg
Kg
Hg
Dag
g
dg
cg
0,
0
0
2
4
0
3
2
5
3,25 dag a dg
mg
240 cg = 0,00240 kg
3,25 dag = 325 dg
Relaciones entre las unidades de volumen , capacidad y masa/peso :
La equivalencia básica esta dada por la definición de que 1 litro corresponde a 1 dm3 y que para agua destilada en condiciones
particulares de presión y temperatura corresponde a 1 kg
VOLUMEN
m3
dm3
cm3
CAPACIDAD
Kl
l (litro)
ml
MASA /PESO
T (Tonelada)
Kg
g (gramo)
Ejemplo:
Pasar 140 dg a dm3
Para hacer esta reducción debemos pasar los 140 dg a kg que es la unidad que coincide con el dm3
Así tendríamos que
140 dg = 0,0140 kg = 0,0140 dm3
Sistema agrario:
Para medir la superficie de campos la unidad m² resulta muy pequeña , por lo que se adoptan las llamadas medidas
agrarias. (esta palabra proviene del latín agro que significa campo) La unidad elegida es el área que coincide con el decámetro
cuadrado. Hay un solo múltiplo y un solo submúltiplo.
Múltiplo
Unidad
Submúltiplo
Nombre
Hectárea
área
Centiárea
Símbolo
Ha
a
ca
Equivalencia en
superficie
Hm²
dam²
m²
10.000
100
1
Valor en m²
Página 41
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA -
Ejemplos
14,45 dam² a Ha
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Ha
a
ca
Hm²
Dam²
m²
0,
2326 ca a a
1
4
4
5
14,45 dam² = 0,1445 Ha
2
3,
2
6
2326 ca = 23,26 a
Sistema Horario
Para la medición del tiempo usamos un sistema sexagesimal (la unidad se divide en 60 partes no en 10 como en el
sistema decimal)
Segundo=
1s
Minuto= 1 min = 60 s
Hora=
1h=
60 min = 3600 s
Día=
1d=
24 h =
1440 min 86400 s
Sistema Inglés
Solo mencionaremos algunas de las unidades más frecuentes:
LONGITUD
Nombre
Pulgada
Pie
Yarda
Simbolo
Equivalencia en sistema
ingles
in
Valor aprox.
En cm
2,54 cm
ft
12 in
30,48 cm
yd
3 ft
91,44 cm
1 milla terrestre equivale a 1609, 32 m ( aproximadamente 1.600 metros)
1 milla marina equivale a 1.853,15 m ( aproximadamente 1.850 metros)
Unidades de superficie: yarda cuadrada , pie cuadrado y pulgada cuadrada
Unidades de volumen : Yarda cúbica , pie cúbico y pulgada cúbica
Unidades de peso/masa :
1 libra = 16 onzas ( equivale a 453,593 g – aproximad. 450 g)
1 onza equivale a 28,344 g – aproximadamente 28 g)
Página 42
Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA -
Prof : Pérez Pertino , J. Pablo
Ejercitación (básica a ampliar según el curso y objetivos propuestos)
1. Completar el siguiente cuadro
25,3 m
dm
42,05 Hm
2530
Dam
4,205
mm
0,000481
dm
42050
4,81 cm
m
423 mm
Dam
0,0055 Km
cm
5500
Hm
249,001 Dam
mm
24900,1
m
842,8 m²
mm²
0,08428
dm²
7000
m²
0,007 Hm²
Hm
0,7
327 cm²
m²
0,000327
0,725 dm²
Hm²
0,00725
0 ,423
Dam²
72500
2. Pasa a la unidad indicada y ordena en forma creciente:

Pasar a dm : 432 cm ; 5/2 m

Pasar a kg : 5.9 hg ; 599 g ; 15.000 dg ; 7/5 dg

Pasar a m² :
3. Expresar en metros
:
75.000 cm²
; 5000 mm ; 3/40 dam
0,751 dm²
72/1000 dam²
751.400 mm²
3,25 km – 1,13 dam
5,26 Hm +0,28 dam + 5 m
2,5 dm+ ¾ dam + ½ Hm
4. Expresar en m²
32,3 dam² -0,1508 Hm²
4/5 Hm² -1708 m² +450,7 dm²
7/2 dm² +150 cm²
5.
¿ Cuantos vasos de 5 dl podrán llenarse con una docena de botellas de ¾ litro ?
6.
Si una persona da pasos de 85 cm ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer 45,3 Dam?
7.
¿Cuantas latas de gaseosa de 355 cm3 son necesarias para llenar una botella de 2 litros ¼ ? ¿ Cuantos dl sobran de la
última lata ? ¿Qué porcentaje representa del volumen de una lata?
8.
Para obtener 1,35 kg ¿Cuántos dg se deben agregar a 50.000 cg?
9.
En un camino de 25 km se habilita ¼ parte del mismo y un mes después se habilitan 3/5 más de su longitud ¿Cuántos Dam
faltan habilitar?
10. Se plantaron las 2/3 parte de un campo rectangular cuyas dimensiones son 3,5 Hm por 450 m ¿Qué superficie libre queda?
¿Qué porcentaje queda libre del terreno y que porcentaje se planto?
11. Con una botella de gaseosa de 1,5 litros se llenaron 2 vasos de 2 dl cada uno .Indicar el porcentaje que queda de líquido en
la botella
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