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Relación de problemas 4
Muestreo sistemático. Curso 2007-2008
1. Se dispone de una encuesta realizada al terminar un curso de formación en
informática avanzada. Entre las preguntas que se hicieron se encuentran
las siguientes:
Pregunta 1. A su juicio, el nivel de conocimientos impartidos en el
curso es
a) Bajo
b) Medio
c) Alto
Pregunta 2. ¿Aplicará los conceptos aprendidos aqui en su actividad
laboral?
Pregunta 3. Indique aproximadamente el número de horas invertidas
para superar el examen final de conocimientos.
Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
Entrevistado
Respuesta 1
Respuesta 2
Respuesta 3
Entrevistado
Respuesta 1
Respuesta 2
Respuesta 3
Entrevistado
Respuesta 1
Respuesta 2
Respuesta 3
1
Bajo
Si
10
9
Alto
No
12
17
Alto
Si
18
2
Alto
Si
15
10
Alto
No
19
18
Bajo
Si
21
3
Medio
No
17
11
Medio
Si
20
19
Bajo
No
19
4
Medio
No
13
12
Medio
No
13
20
Medio
No
16
5
Bajo
Si
16
13
Alto
No
21
21
Alto
Si
25
6
Medio
Si
14
14
Alto
Si
18
22
Alto
Si
18
7
Alto
No
19
15
Alto
Si
19
23
Alto
No
12
8
Alto
Si
23
16
Alto
Si
23
24
Bajo
No
20
A partir de una muestra sistemática de tamaño 8, estimar el número de participantes en el curso que utilizarán los conocimientos adquiridos en su actividad laboral. Dar una estimación del error de
estimación suponiendo aleatoriedad en la población.
Seleccionar dos muestras sistemáticas de tamaño 6 para estimar de
forma combinada la media de horas de estudio invertidas para superar
el examen de conocimientos. Dar una estimación del error utilizando
el método de las muestras interpenetrantes.
Estimar la proporción de participantes en el curso que consideran que
el nivel de conocimientos impartidos ha sido “Alto” a partir de una
muestra sistemática de tamaño 6. Determinar el error de estimación
a partir de todas las muestras sistemáticas posibles.
1
2. El departamento de control de calidad de una empresa productora de
latas de conserva, utiliza de forma periódica muestreo sistemático para
estimar el peso medio de las latas en gramos. Un dı́a concreto en el que se
produjeron 240 latas en una hora elegida al azar, se extrajo una muestra
sistemática de tamaño 16 con los siguientes pesos en gramos de las latas
muestreadas
12, 11.97, 12.01, 12.03, 12.01, 11.8, 11.91, 11.98, 12.03, 11.98, 12, 11.83,
11.87, 12.01, 11.98, 11.97.
Estimar el peso medio de las latas producidas. Dar una estimación del error
de muestreo mediante el método de las diferencias sucesivas, ası́ como un
intervalo de confianza al 95 % para dicha estimación.
3. En una determinada comunidad en la que se está realizando un censo,
además de la información usual se les ha preguntado a los ocupantes de
cada vigésima casa cuánto tiempo (en años) la han habitado. Denotando
por xi el tiempo (en años) en que los habitantes han habitado las casa se tienen los siguientes resultados obtenidos a partir de una muestra
sistemática
n
n
X
X
n = 115, N = 2300,
xi = 407,1,
x2i = 2011,15.
i=1
i=1
Estimar el tiempo medio de estancia en las viviendas muestreadas y determinar el error de estimación suponiendo aleatoriedad en la población
de estudio.
4. Los funcionarios de un museo están interesados en determinar el número
total de personas que lo visitan durante un periodo de 180 dı́as en los
que está en exhibición una costosa colección de antiguedades. El control
de visitantes en el museo cada dı́a es muy costoso y se encarga a los funcionarios obtener los datos de las visitas cada décimo dı́a. La información
disponible está en la siguiente tabla.
Dı́a
Xi
3
160
13
350
23
325
33
283
43
289
53
293
63
296
73
385
83
327
Dı́a
Xi
113
316
123
290
133
293
143
295
153
306
163
298
173
290
93
298
103
289
Estimar el número total de personas que han visitado el museo durante el
periodo de exposición de la colección de antiguedades. Estimar el error de
muestreo mediante el método de las diferencias sucesivas.
5. La primer fase de un examen consistió en aprobar un cuestionario de 65
preguntas. Una vez finalizado el examen se procedió a ordenar alfabéticamente los cuestionarios para los 40 alumnos presentados y se determinó el
número de errores cometidos en cada cuestionario obteniéndose los siguientes resultados (ordenados por filas)
2
20
19
23
35
34
22
49
17
56
33
54
32
0
3
51
43
24
12
20
45
0
3
4
25
10
25
38
52
18
12
11
2
11
30
1
29
4
10
32
31
Extraer dos muestras sistemáticas de tamaño 10 (una con arranque
aleatorio en 2 y otra en 4) y estimar la proporción de cuestionarios
aprobados en cada caso y dar una estimación del error estándar de
tales estimadores (un cuestionario se considera aprobado si posee un
número de errores menor o igual que 30). A partir de las dos muestras
anteriores obtener una estimación combinada de la proporción de
cuestionarios aprobados y estimar su error estándar.
Extraer una muestra sistemática de tamaño 10 con arranque aleatorio
en el número 3 y estimar el número medio de errores cometidos.
Dar una estimación del error de estimación utilizando el método de
diferencias sucesivas.
Supongamos que la población está ordenadas al azar, calcular el tamaño de muestra necesario para obtener la estimación de la proporción de cuestionarios aprobados con un error de muestreo de 0.05.
6. Se dispone de una lista de N = 20 viviendas. Calcula todas las posibles
muestras sistemáticas de tamaño n = 5. Si se supone que en la lista sólo los
7 primeros pisos son de protección oficial, estima la proporción de viviendas de protección oficial a partir de cada una de las muestras sistemáticas.
Calcula además la varianza del estimador a partir de su definición.
7. Dada la población siguiente
ui
Xi
u1
1
u2
3
u3
5
u4
2
u5
4
u6
6
u7
2
u8
7
u9
3
se desea obtener una muestra sistemática de tamaño 3. Determinar el espacio muestral y las probabilidades asociadas a las muestras posibles para
este tipo de muestreo. Calcular la varianzas de los estimadores insesgados
del total y de la media. Comparar la precisión de este tipo de muestreo
con la del muestreo aleatorio simple.
8. Sea una muestra sistemática de n = 40 elementos de una población de N
= 4000. Los datos obtenidos en el orden seleccionado fueron los siguientes:
10, 8, 6, 5, 9, 8, 8, 5, 9, 9, 9, 10, 4, 3, 1, 1, 3, 4, 0, 6, 3, 5, 0, 3, 0, 0, 4, 0,
8, 0, 10, 5, 6, 1, 3, 3, 1, 5, 5, 4
Obtener un estimador de la media y estimar su varianza por el método de
las diferencias sucesivas.
9. La tabla siguiente corresponde a habitantes de 24 fincas que componen un
pueblo
3
4
3
3
4
5
4
3
6
4
7
7
6
4
2
6
1
2
2
5
3
2
2
2
4
Realiza un muestreo sistemático con n = 5 fincas para obtener estimación del número total de personas y del error estándar de este
estimador (usar el número aleatorio 5 como arranque).
Realiza otro muestreo sistemático cambiando el número de arranque
(usar el número aleatorio 3).
A partir de las dos muestras anteriores, obtener una estimación combinada de la caracterı́stica del error estándar.
10. Dada la población siguiente
ui
Xi
u1
1
u2
3
u3
5
u4
2
u5
4
u6
6
u7
2
u8
7
se realiza un muestreo sistemático 1 en 2. Calcular las varianzas de los
estimadores insesgados del total y de la media. Estimar dichas varianzas
y seleccionar la muestra más precisa.
11. Las 36 viviendas de una calle numeradas del 1 al 36 se ordenan alfabéticamente en un archivo de acuerdo con el apellido del jefe de familia. Las
viviendas cuyo jefe de familia es extranjero son las que tienen los números
3, 5-7, 11-13, 15-16, 20-22, 25-26, 28 y 30-34. Comparar la precisión de una
muestra sistemática 1 en 4 con una muestra aleatoria simple del mismo
tamaño para estimar la proporción de viviendas en las cuales el jefe de
familia es extranjero.
4