1. Educación

Guía Aplicación de Funciones
Jorge Gaona
1. Sea K : [400; 2500] ! R
p
p !
+ 25
200
una función que entrega la cantidad de kilos de palta K (kg) que vende
una comerciante, cuando se conoce el precio de venta p ($), en base a esta
información determine
(a) El grá…co de K.Interprete
(b) La imagen de 1000. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(c) La imagen de 2200. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(d) La preimagen de 12; 5. Si existe esta preimagen interprete y ubique
la coordenada en el grá…co.
(e) La preimagen de 24. Si existe esta preimagen interprete y ubique la
coordenada en el grá…co.
2. Sea R : [40; 150] ! R
v
v2
+
540 3
una función que entrega el rendimiento R (km/lt) en relación con la velocidad (km/hr) de este, en base a esta información determine
v !
(a) El grá…co de R:Interprete
(b) La imagen de 70. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(c) La imagen de 100. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(d) La imagen de 120. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(e) La preimagen de 10. Si existe esta preimagen interprete y ubique la
coordenada en el grá…co.
(f) La preimagen de 15. Si existe esta preimagen interprete y ubique la
coordenada en el grá…co.
(g) La preimagen de 17. Si existe esta preimagen interprete y ubique la
coordenada en el grá…co.
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3. Sea U : [0; 5000] ! R
x ! 2000x
2500000
una función que entrega la utilidad U en relación con la cantidad de artículos vendidos x, en base a esta información determine
(a) El grá…co de U . Interprete
(b) La imagen de 500. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(c) La imagen de 1000. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(d) La imagen de 4500. Interprete y ubique la coordenada en el grá…co.
(e) La preimagen de 0. Si existe esta preimagen interprete y ubique la
coordenada en el grá…co.
(f) La preimagen de 7:100:000.Si existe esta preimagen interprete y ubique
la coordenada en el grá…co.
(g) La preimagen de 10:000:000. Si existe esta preimagen interprete y
ubique la coordenada en el grá…co.
4. Efecto de la altura en el peso: si un objeto pesa m kg al nivel del mar,
entonces su peso a h metros de altura está dado por la función W (h) =
2
1815
, en base a esta onformación determine:
m
1815 + h
(a) El dominio de la función considerando el contexto del problema
(b) La grá…ca de la función utilizando una tabla de valores
(c) El peso de un objeto que pesa 100 kg a la altura de la montaña más
alta de Chile
5. Una empresa tiene la siguiente función para calcular la ganancia G al
vender x productos dada por: G (x) = x2 + 6:000x 5:000:000, cuyo
dominio es el intervalo [0; 5000]
(a) Gra…que la función e indique cortes con el eje e x y con el eje y,
vértice
(b) Si la empresa vende 0 [u] ¿cuál es la ganancia? interprete la respuesta
(c) Si la empresa vende 1500 [u] ¿cuál es la ganancia? interprete la respuesta
(d) ¿Cuántas unidaddes debería vender para que la empresa no gane ni
pierda dinero?
(e) ¿Cuántas unidaddes debería vender para que la empresa maximice
sus utilidades?
(f) Explique en palabras el comportamiento de la función
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6. Considere la siguiente …gura:
La función V : [0; 50] ! R
x ! 0; 04x2 + 16x
entrega el volumen V (lts) del estanque en función de la altura x (cm), en
base a esta información determine:
(a) El grá…co de V
(b) La capacidad máxima del estanque
(c) La altura a la cual se obtiene el 50% de la capacidad máxima del
estanque
7. Sea V (x) =
85 3
27 x
si x 2 [0; 3]
3x + 76 si x 2 ]3; 10]
la función que determina el volumen en litros V de un estanque cuando
se conoce la altura x en decímetros (dcm), para visualizar el problema se
sabe que el estaqnue es un cilindro en la parte inferior es un cono y la
parte superior un cilindro, en base a esta información determine:
(a) El grá…co de f
(b) Los litros que contiene el estenque si la altura del líquido es de 2 dcm
(c) Los litros que contiene el estenque si la altura del líquido es de 5 dcm
(d) La capacidad máxima del estanque
(e) La altura a la cual el estanque alcanza un 50% del total de su capacidad
(f) La altura a la cual el estanque alcanza un 90% del total de su capacidad
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8. Una página con dimensiones de 8,5 por 11 pulgadas tiene un margen de
ancho uniforme x como muestra la …gura:
En base a esta información determine:
(a) Una función que determine el área impresa de la página en relación
con el ancho x del margen. Indique dominio
(b) Gra…que la función e interprétela
9. Una empresa que produce una tabla de surf tiene dos opciones para arrendar una fábrica que las produzca, la fábrica A tiene costos …jos por
$1.500.000 y el costo de producir una tabla es de $25.000, la fábrica B
tiene costos …jos por $2.500.000 y el costo de producir una tabla es de
$20.000, se sabe que la esructura de costos de una empresa se puede establecer mediante la fórmula: Costos = Costos F ijos+Costos V ariables.
En base a esta información determine:
(a) Una fórmula para determinar los costos de la fábrica A
(b) Una fórmula para determinar los costos de la fábrica B
(c) La grá…ca de cada una indicando la interseción de las funciones con
los ejes x e y
(d) La intersección de las dos funciones y la interpretación del punto en
el que se encuentran
(e) Determine cual de las dos plantas eligiría, justi…cando su respuesta
10. Utilice el mismo tipo de función usado en el ejercicio 9 para comparar el
gasto de un hervidor eléctrico y una tetéra convencional
11. Sea x = 7:500:000 375:000p la ecuación que relaciona la cantidad de
calculadoras vendidas x en función del precio p de estas en $. En base a
esta información determine:
(a) El grá…co de la función e interprete el grá…co
(b) Determine la expresión analítica y la grá…ca de la función ingreso
(Ayuda: Ingreso = precio cantidad)
(c) Explique el signi…cado del grá…co
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12. Un proyectil es disparado desde un acantilado a 500 pies por encima del
agua con una inclinación de 45 respecto de la horizontal (como se muestra en la …gura), la velocidad desl disparo es de 400 pies por segundo.
Aplicando las leyes de Newton, se puede demostrar que la altura h (pies)
por encima del agua está dada por
h (x) =
32x2
2
(400)
+ x + 500
donde x (mt) es la distancia horizontal del proyectil a la base del acantilado
13. Una canaleta para captar agua de lluvia es fabricado con hojas de aluminio
de 12 pulgadas de ancho, doblando los lados 90 hacia arriba, como se
muestra en la …gura:
La función que entrega al área de la sección transversal está dada por:
A (x) = 12x
2x2 , con x 2 ]0; 6[, en base a esta información determine:
(a) El grá…co de A
(b) El valor de x que maximiza el área y por ende el ‡ujo del agua
(c) Indique como podría deducir la fórmula e indicar porque el dominio
tiene que ser el intervalo ]0; 6[
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14. La resistencia eléctrica R de un alambre depende de la temperatura T del
mismo. Un experimento mide la resistencia en Ohm ( ) de un alambre a diferentes temperaturas en grados Celsius ( C). Los resultados del
experimento se presentan en la tabla siguiente:
T
R
34.2
4.61
40.6
4.8
47
4.99
53.4
5.18
59.8
5.37
66.2
5.56
Exprese la resistencia como función de la temperatura
15. La Empresa “Construciones siglo XXI”experimenta un decrecimiento lineal en sus ganancias en la última década. En cambio la empresa “Constructora Innova” experimenta un crecimiento lineal en sus ganancias en
el mismo período. Los datos están expresados en la tabla siguiente
Construciones siglo XXI
Constructora Innova
Año
2002
2001
Ganancias*
9
3
Año
2010
2011
Ganancias*
2
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(a) En un solo grá…co muestre ambos casos
(b) Encuentre la ecuación que describe el comportamiento de cada empresa
(c) ¿En qué año, ambas empresas, obtuvieron la misma ganancia?
* Las ganancias están en millones de pesos
16. Una empresa que fabrica cintas de audio estima que el costo C (en dólares)
al producir x cintas es una función de la forma:
C = 200x + 100, con x > 0
(a) Calcule el costo al producir 50 unidades.
(b) Si el costo es 1900 dólares, ¿cuántas unidades se produjeron?
(c) Gra…que el costo v/s unidades producidas
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17. Con el propósito de tener mayor seguridad, un fabricante planea cercar
un área de almacenamiento rectangular de 10.800 m2 , que es adyacente
a un edi…cio, el cual se utilizará como uno de los lados del área cercada.
La cerca paralela al edi…cio da a una carretera y costará $1.500 por metro
instalado, mientras que la cerca de los otros dos lados costará $2.000 por
metro instalado.
(a) Exprese el costo total como función de la longitud del lado paralelo
al edi…cio.
(b) Determine el dominio de la función obtenida.
(c) Gra…que Costo v/s lado
18. El valor V en pesos de un computador está dado por la función:
V = 500:000 1
x
40
donde x se mide en años.
(a) ¿Cuál es el valor inicial del computador?
(b) ¿En qué momento el valor del computador es la mitad de su valor
inicial?
19. Para la empresa usted debe tomar la descición de cual camioneta arrienda
para el transporte de unos materiales. Existen dos ofertas en el mercado,
la primera compañía de arriendo de vehículos cobra $15.000 por día mas
$40 por kilómetro recorrido, mientras que la segunda compañía arrienda
el mismo tipo de autos a $12.500 por día mas $60 por cada kilómetro
recorrido.
(a) Si x representa el no de kilómetros recorridos en un día, encuentre
las funciones CC y CL que representan el costo por arrendar un
auto en la primera y segunda compañía respectivamente, indicando
claramente los dominios y recorridos.
(b) ¿En qué caso conviene arrenda un auto en cada compañía? Entregue
una solución grá…ca
20. Un fabricante de muebles puede vender mesas de comedor a $ 70.000 c/u.
El costo total para el fabricante está formado por costos indirectos …jos
de $ 8.000.000 más costos de producción de $ 30.000 por mesa:
(a) ¿Cuál es la función de costo de esta empresa? Gra…que e interprete
(b) ¿Cuál es la función de ingreso de esta empresa? Gra…que e interprete
(c) ¿Cuál es la función de ganancia de la empresa? Gra…que e interprete
(d) ¿Cuántas mesas debe vender el fabricante para obtener una utilidad
de $ 6.000.000?
(e) ¿Cuál será la utilidad o pérdida del fabricante si vende 150 mesas?
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21. En una cuenta de agua potable se consigna un cargo …jo de $1061. Sabiendo que el modelo de cálculo de tarifas es un modelo lineal y que por un
consumo de 14 m3 se facturó en el mes de octubre $6021, ¿a cuánto se facturó en diciembre si en ese mes el consumo ascendió a 28 m3? Determine
la función que calcula el dinero facturado en función del consumo?
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