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Fonones: Cuantización de las vibraciones de la
red cristalina.
Onda de longitud larga → k ≈ 0 → Ondas elásticas...
Ondas de longitud corta λ ≈ a o k ≈ π/a → tenemos
que tener en cuenta la estructura atómica del cristal.
fonón longitudinal
fonón transversal
Base monoatómica: Consideremos que las interacciones son elásticas, con constantes
que dependerán de la dirección de propagación y la polarización de la onda. Las
fuerzas son proporcionales al desplazamiento y consideramos sólo interacciones entre
planos vecinos. La fuerza sobre un átomo del plano s viene de los planos s+1 y s-1:
Fs = C (us+1 – us ) + C (us-1 – us )
La ecuación del movimiento para el átomo:
d 2u s
= C (u s +1 + u s −1 − 2u s )
M
2
dt
Una onda viajando en la dirección K (perpendicular al plano) es:
u s = u0 exp(iKsa − iωt )
y por tanto
u s ±1 = u s e ± iKa
Sustituyendo queda: - Mω2 = C [exp(iKa) + exp(-iKa) –2] y por tanto:
ω2 = (2C/M)(1- cos Ka)
La solución no cambia si K→K± n 2 π/a.
Luego –π/a < K < π/a .(1ª Zona de Brillouin).
Kmax = π/a es una onda estacionaria.
Velocidad de grupo de las ondas: vg = dω/dK o vg = gradK ω(K).
Para la relación de dispersión que hemos visto vg(K) = (Ca2/M)½ cos (½ Ka).
En K= π/a , vg = 0.
Límite continuo: si Ka <<1 ω2 = (C/M)K2a2 . (Ca2/M) ½ = velocidad ondas elásticas.
Base diatómica: En general si hay p átomos por celda unidad, hay 3p ramas en la
relación de dispersión. 3 ramas acústicas y 3p – 3 ópticas (en 3 dimensiones). Veamos
cómo se obtienen.
d 2u s
M 1 2 = C (vs + vs −1 − 2u s )
dt
d 2 vs
M 2 2 = C (u s +1 + u s − 2vs )
dt
Probemos soluciones de la forma us = u exp(isKa-iωt) y vs = v exp(isKa-iωt).
Sustituyendo obtenemos:
Este sistema tiene solución si:
para Ka << 1 tenemos
u/v = - (M2/M1) K=0
u= v K = 0
La estructura de las relaciones de dispersión es en general complicada:
“Cuantización” de las ondas elásticas:
La ondas elásticas son osciladores armónicas que están cuantizados y se les asocia
partículas (FONÓN). La energía es por tanto:
En = (n + ½ ) ħ ω.
Esto implica que la amplitud de las ondas está cuantizada.
<E> = ¼ ρVω2 u02 = (n+ ½) ħ ω. ⇒ u02 = 4(n + ½ ) ħ/ρVω.
El momento del fonón :
Una onda elástica o fonón no transporta momento lineal, sin embargo los fonones
se comportan como si su momento fuera P = ħK . En procesos de colisión, creación
y destrucción, se conserva el momento lineal.
Propiedades Térmicas:
Las ondas elásticas o fonones determinan gran parte de las propiedades térmicas:
Calor Específico.
Conductividad Térmica.
Energía Interna de las ondas elásticas a temperatura T:
U = ∑∑ U K , p
K
p
T
= ∑∑ nK , p
K
p
T
hω K , p
¿Cómo se hacen las sumas en K?.
¿Cuánto vale la contribución a la energía media de un onda de frecuencia ω(k)?.
¿Cuánto vale el número medio de fonones a temperatura T?.
Distribución de Planck ( en otro contexto Bose-Einstein ):
La probabilidad de que un oscilador esté en un estado de energía En:
P(En ) = (1/Z) exp ( - En /kBT) donde Z (T) es una constante de normalización.
Se tiene que cumplir que ∑n P(En ) = 1. Luego Z = ∑n exp( - En /kBT).
Las distintas energías en los que puede estar un oscilador de frecuencia ω(k) son
En =(n+ ½) ħ ω. La función Z es por tanto,
∞
Z (T ) = ∑ exp[− (n + 1 / 2)hω K / k BT ] = e
− hω / 2 k BT
n =0
1
1 − e − hω K / k B T
La contribución de la onda elástica a la energía media es:
U K = ∑ (n + 1 2 )hω K P ( En ) = (1 / Z )∑ (n + 1 2 )hω K e − ( n +1/ 2 ) hω / k BT
n
n
(
U K = 1 − e − hω / k BT
)∑ (n + )hω
)∑ nhω e
1
2
− nhω / k BT
=
e
K
n
(
= 1 2 hω k + 1 − e −hω / k BT
− n hω / k B T
K
=
n
(
= 1 2 hω k + 1 − e
=
1
2
hω k + hω K
n( E ) =
− hω / k BT
)
(1 − e
1
e
hω / k BT
−1
1
e
hω K e −hω / k BT
E / k BT
−1
)
− hω / k BT 2
=
= 1 2 hω k + hω K n(ω K )
Distribución de Planck (Bose-Einstein)
La energía interna queda entonces :
U = ∑∑
p
K
hω K , p
e
hω K , p / k BT
−1
+
1
2
∑∑ hω
K
p
El calor específico se obtiene como :
CV =
∂U
= k B ∑∑
∂T
p K
(hω
K , p / k BT ) e
2
(e
hω K , p / k BT
Sólo nos queda por ver cómo sumamos en K.
hω K , p / k B T
)
−1
2
Enumeración de modos normales (K). Ya hemos visto que sólo tienen sentido
los modos dentro de la 1ªZB. Impongamos ahora condiciones de contorno (N+1
partículas con:
Condiciones fijas: u0 = 0 y uN+1 = 0. Para que cumplan esas condiciones se
deben formar ondas estacionarias: us = u0 sin (sKa) exp(iωt) .Las K permitidas
son cumplen sin(NKa) = 0 y son
Tenemos por tanto N-1 modos
distintos entre 0 y π/a.
La densidad de modos es (N grande)
D(K) = Na/π = L/π .
Condiciones periódicas: Imponemos que us + N = us. Esto
nos restringe a aquellas K entre –π/a y π/a tales que y KNa
= ±m 2π o K = ± m 2π /L.
Tenemos N modos distintos entre –π/a y π/a luego la densidad es D(K) = L/2π.
En dos dimensiones : N2 modos en una ZB de
superficie (2π/a)2. Luego D(K) = L2 /4π2.
En tres dimensiones : N3 modos en una ZB de
volumen (2π/a)3. Luego D(K) = L3 /8π3.
Si N = L/a es grande (que lo es) podemos sustituir las sumas en K por integrales:
En 3d
∑ F ( K ) → ∫ F ( K ) D( K )dV ( K )
K
ZB
Densidad de estados en frecuencias D(ω) : Es el número de estados (modos) que
tenemos por unidad de frecuencia . Si conocemos la relación de dispersión ω(K) es
fácil relacionarla con D(K) (al menos en este caso).
número de estados d N = D(ω) d ω = D(K) dV(K)
En 3d dV(K) = dKx dKy d Kz o = 4πK2 dK, luego si la frecuencia solo depende
del módulo de K tenemos
D(ω) = D(K) 4πK2 dK/dω = (VK2/2π2) (dK/dω ) donde V= L3.
Modelo de Debye:
1.- Asumimos la relación de dispersión de las ondas elásticas ω(K) = v K .
Esto implica que la densidad de estados es D(ω) = Vω2 /2π2v3.
2.- El número de estados por polarización es N (número de celdas unidad). Tenemos
entonces una frecuencia máxima ωD.
ωD
N =∫
0
D(ω )dω
⇒ ω D3 = 6π 2 v 3 N / V
Que implica un vector de ondas máximo: KD = ωD /v = (6π2 N/V)1/3 . Daros cuenta
que (V/N)1/3 ≈ a.
Tomemos una velocidad de propagación “promedio”:
Vω
D
(
)
ω
=
∑p p
2π 2
2
 1 2  3Vω 2
 3 + 3  = 2 3
 vL vT  2π v
3
1
2
=
+
v 3 v 3L v 3T
La energía interna queda:
 3Vω 2  hω

U = ∑ ∫ U (ω ) T D(ω )dω = ∫ dω  2 3  hω / k BT
=
0
0
−1 
p
 2π v  e
ω3
3Vh ω D
3Vk B4T 4 xD
x3
= 2 3 ∫ d ω hω / k B T
=
dx x
2 3 3 ∫0
0
− 1 2π v h
2π v
e
e −1
ωD
ωD
Donde hemos definido x = ħω / kBT y xD = ħωD / kBT = θ/T . Esto define la llamada
temperatura de Debye (θ) dada por:
1/ 3
hv  6π 2 N 

θ = 
kB  V 
Utilizando esta definición:
T 
U = 9 Nk BT  
θ 
3
∫
xD
0
x3
dx x
e −1
El calor específico queda:
3Vh 2
CV = 2 3
2π v k BT 2
ωD
∫
0
ω 4 e hω / k B T
T 
dω hω / k BT
9
Nk
=

B
− 1) 2
θ
(e
 
3
θ
∫
0
T
x 4e x
dx x
(e − 1) 2
Límite de temperatura alta (θ/Τ) << 1 : ex ≈ 1 (ex -1)2 ≈ x2.
T 
CV = 9 Nk B  
θ 
3
θ
∫
0
T
x 2 dx = 3Nk B
Ley de Dulong- Petit.
Límite de baja temperatura (T/θ) << 1 (θ/T) → ∞.
T 
CV = 125 π 4 Nk B  
θ 
3
Ley T3.
∫
∞
0
x 4e x
4π 4
=
dx x
2
(e − 1)
5
Modelo de Einstein:
1.- La frecuencia es independiente de K , ω = ω0 , (aproximación para las ramas ópticas).
2.- Tenemos también N modos x 3 polarizaciones 3N estados.
Consecuencia de 1 y 2 es D(ω) = 3N δ (ω –ω0). Definimos ħω0 / kBT = θΕ/T
U=
3Nhω 0
y la capacidad calorífica queda
hω 0 / k BT
−1
e
2
 hω 0 
e hω 0 / k B T
 ∂U 

CV = 
 = 3Nk B 
2
hω / k T
 ∂T V
 k BT  e 0 B − 1
(
)
Diamante θΕ = 1320K
Para T/ θΕ >> 1 Cv = 3N kB.
Para T/ θΕ << 1 Cv ∝ exp ( - θΕ/T)