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Análisis de señales en geofı́sica
18 de septiembre de 2015
Trabajo Práctico No 4
Respuesta en frecuencia de sistemas lineales e invariantes
1) Sea hn la respuesta impulsiva de un sistema lineal e invariante. Demuestre que la función
discreta xn = eiωn , donde ω es la frecuencia angular digital, es una función propia del sistema
lineal y que
H(ω) =
X
hk e−iωk ,
k
es el valor propio asociado. Llamaremos a H(ω) respuesta en frecuencia del sistema. Observe
que H(ω) es una función continua y periódica en ω, con perı́odo 2π. H(ω) puede interpretarse
además como la transformada Z de la respuesta impulsiva del sistema H(Z) evaluada en
Z = e−iω ; es decir, sobre el cı́rculo unidad |Z| = 1.
2) Haciendo uso de la expresión dada por el desarrollo en serie de Fourier de cierta función f (t)
de perı́odo T :
f (t) =
+∞
X
n=−∞
nt
i 2π
T
cn e
1
⇔ cn =
T
Z
+T /2
2π
f (t)e−i T
nt
dt.
−T /2
Intercambie t ↔ ω, f (t) ↔ H(ω) y n ↔ −k y demuestre que la respuesta impulsiva del
sistema hk se puede obtener a partir de su respuesta en frecuencia H(ω) mediante:
Z π
1
H(ω)eiωk dω.
hk =
2π −π
3) Veremos más adelante que la respuesta en frecuencia es un tipo de transformada de Fourier.
Como tal, su módulo se denomina espectro de amplitud y su fase espectro de fase. Demuestre
que si la respuesta impulsiva hn es real, entonces el espectro de amplitud es par.
Ayuda: Demuestre primero la propiedad hermı́tica de la respuesta en frecuencia de operadores
reales: H ∗ (ω) = H(−ω).
4) Sea un sistema lineal e invariante cuya respuesta impulsiva hn es de longitud impar N =
2M + 1.
a) Demuestre que si hn es par entonces su respuesta en frecuencia se puede escribir como:
H(ω) = h0 + 2
M
X
hk cos(ωk)
k=1
Nota: Observe que si la respuesta impulsiva además es real, su respuesta en frecuencia
también será real, es decir, de fase cero.
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b) Demuestre que si hn es impar entonces su respuesta en frecuencia se puede escribir como:
H(ω) = −2 i
M
X
hk sin(ωk)
k=1
5) Para suavizar una de serie de datos se decide utilizar el operador de promedio simple de
tres puntos: yn =
1
3
(xn−1 + xn + xn+1 ). Calcule la respuesta en frecuencia del sistema y
grafı́quela. Calcule y grafique también el espectro de amplitud y el espectro de fase. ¿Es el
operador apropiado para suavizar los datos? ¿Qué desventajas presenta? Utilice el código
GNU-OCTAVE provisto en la página de la materia para controlar los resultados.
6) Calcule y grafique la respuesta en frecuencia para el operador que otorga distintos pesos a los
3 puntos del ejercicio 5: yn =
1
4
(xn−1 + 2xn + xn+1 ). ¿Es este un operador más apropiado
para suavizar los datos que el del ejercicio 5? ¿Por qué?
7) Vuelva a graficar la respuesta en frecuencia del filtro del ejercicio 6 pero esta vez hágalo en
función de la frecuencia angular. Para ello necesitará conocer el intervalo de muestreo ∆t.
Grafique para ∆t = 12 , 1 y 2. ¿Cómo se comparan estos gráficos con los del ejercicio anterior?
8) Para señales continuas, la derivada en el dominio de la frecuencia está dada por:
F 0 (ω) = i ω F (ω).
Esta operación debe ser aproximada para señales discretas utilizando las muestras disponibles. Calcule la respuesta en frecuencia del operador que aplica la diferencia de primer orden
hacia adelante: yt = xt+1 − xt . Realice un desarrollo en serie de Taylor y compárela con la
respuesta en frecuencia del diferenciador exacto H(ω) = i ω. Grafique ambos espectros de
amplitud y de fase (utilice el código en GNU-OCTAVE provisto en la página de la materia). ¿Para qué frecuencias la diferencia de primer orden es una buena aproximación de la derivada?
¿Coincide el espectro de fase con el del diferenciador exacto?
9) Obtenga ahora la respuesta en frecuencia de la diferencia central de primer orden: yt =
1
2 (xt+1 − xt−1 ).
Mediante una expresión analı́tica a partir de un desarrollo en serie de Taylor,
compárela con la respuesta en frecuencia del diferenciador exacto. Grafique ambos espectros
de amplitud. ¿Coincide el espectro de fase con el del diferenciador exacto?
10) Es posible aproximar una ecuación diferencial como una ecuación de diferencias. Podemos
reemplazar las derivadas por diferencias hacia adelante o hacia atrás: yn = xn − xn−1 . Sin
embargo, al hacer esto estamos asignando la diferencia a la muestra n cuando en realidad, en
el caso de diferencia hacia atrás, deberı́amos asignarla a la muestra n− 12 , lo cual no es posible.
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Los errores generados por el corrimiento se propagan y acumulan generando problemas de
estabilidad en la solución. Una alternativa para solucionar este problema es la siguiente:
yn− 1 '
2
1
(yn + yn−1 ) = xn − xn−1
2
a) Pruebe que la función de transferencia de este operador, conocida como transformación
bilineal, está dada por:
H(Z) = 2
1−Z
.
1+Z
b) ¿Cómo se compara esta transformación bilineal con la transformada Z de la aproximación
trapezoidal de la integración calculada en la práctica anterior?
c) Divida el numerador y el denominador de la transformación bilineal por
Z=
e−iω ,
√
Z , sustituya
y demuestre la validez de la siguiente aproximación para las bajas frecuencias:
2
1−Z
ω
= 2 i tan( ) ' iω.
1+Z
2
d) Compare el espectro de amplitud y el espectro de fase de la transformación bilineal con
los espectros correspondientes al diferenciador exacto.
Nota: Una propiedad importante de la transformación bilineal es que preserva la condición
de fase mı́nima. Luego, si una ecuación diferencial estable es convertida en una ecuación de
diferencias usando la transformación bilineal, la solución también será estable. Esto muchas
veces no es cierto si utilizamos diferencias hacia adelante o hacia atrás.
11) Para resumir, grafique el espectro de amplitud en decibeles de la respuesta en frecuencia de
la diferencia de primer orden hacia adelante, de la diferencia central, y de la transformada
bilineal, en todos los casos normalizados por la respuesta en frecuencia del diferenciador
ideal i ω. Controlar los gráficos mediante el código en GNU-OCTAVE provisto en la página de la
materia. ¿Cuáles de estos operadores producen el mismo cambio de fase que el diferenciador
exacto?
Nota: Recordar que si bien el espectro de amplitud de la diferencia de primer orden hacia
adelante se parece más al espectro de amplitud del diferenciador exacto, este es logrado a
expensas de un corrimiento de fase lineal que alcanza los 90◦ cuando ω = π. En cambio, la
transformación bilineal tiene el comportamiento en fase deseado para todas las frecuencias:
φ(ω) = π/2.
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Respuesta en frecuencia de series interesantes
12) Considere la versión discreta de la distribución δ(t − t0 ):

1, si n = k;
δn−k =
0, caso contrario.
para n, k ∈ Z. Calcule su respuesta en frecuencia y demuestre que puede escribirse como
X(ω) = e−iωk .
Calcule el espectro de amplitud y observe que |X(ω)| = 1 para todo k. Por último grafique
y compare la respuesta en frecuencia obtenida con la transformada de Fourier de δ(t − t0 ).
13) Considere la versión discreta de la función cajón (boxcar ):

1, si 0 < n < L − 1;
bn =
0, caso contrario.
para n ∈ Z. Calcule su respuesta en frecuencia y demuestre que puede escribirse como
B(ω) =
sen(ωL/2) −iω(L−1)/2
e
.
sen(ω/2)
¿Qué valor toma B(ω) para ω = 0 y cuando L = 1? Grafique y compare la respuesta en
frecuencia obtenida con la transformada de Fourier de la función cajón contı́nua.
Nota: La función DL (ω) =
sen(ωL/2)
L sen(ω/2)
suele conocerse como función de Dirichlet (diric en
GNU-OCTAVE) y es la encargada de generar la periodicidad de la función seno cardinal asociada a la transformada de Fourier del cajón.
Ayuda: Recuerde que
L−1
X
k=0
ak =
1 − aL
y también observe que 1 − a−1 = a−1/2 (a1/2 − a−1/2 ).
1−a
14) Considere ahora la versión discreta de la función cajón (boxcar ) centrada:

1, si − M 6 n 6 +M ;
cn =
0, caso contrario.
para n ∈ Z. Calcule su respuesta en frecuencia y demuestre que puede escribirse como
C(ω) = 1 + 2
M
X
cos(ωn).
n=1
Este resultado puede reescribirse como la razón entre dos funciones sinusoidales en la misma
forma que DL (ω). Grafique y compare la respuesta en frecuencia obtenida con la función
DL (ω) para L = 2M + 1.
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15) Considere L muestras de la versión discreta de la función cos(Ωt):
xn = cos(ω0 n),
para n = 0, · · · , L − 1. Calcule su respuesta en frecuencia y demuestre que puede escribirse
como
X(ω) =
1
1
B(ω − ω0 ) + B(ω + ω0 )
2
2
Grafique y compare la respuesta en frecuencia obtenida con la transformada de Fourier de
la función contı́nua.
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Preguntas claves
I) ¿A que función se le llama función propia de un sistema lineal e invariante? ¿Por qué?
¿Cuál serı́a el valor propio? ¿Qué nombre recibe este valor propio y cómo está definido?
II) ¿Qué diferencia hay entre respuesta en frecuencia y espectro de amplitud?
III) ¿Qué es la frecuencia angular digital ω ? ¿Qué valores toman las frecuencias de Nyquist y
de muestreo en esta nueva frecuencia?
IV) ¿Qué diferencia existe entre graficar la respuesta en frecuencia (o el espectro de amplitud y
el de fase) en función de la frecuencia angular digital y graficar en función de la frecuencia
angular?
V) Vimos que para respuestas impulsivas reales, el espectro de amplitud es par. Teniendo en
cuenta que la respuesta en frecuencia es periódica de perı́odo 2π, ¿en qué intervalo alcanza
conocer el espectro de amplitud para describirlo completamente en estos casos? ¿Cómo se
relaciona esto con la frecuencia de Nyquist?
VI) ¿Cómo se denomina a un operador real y simétrico? ¿Qué ocurre con su respuesta en
frecuencia?
VII) ¿Podemos decir que un sistema lineal e invariante queda perfectamente definido dando su
respuesta en frecuencia? ¿Por qué?
VIII) La respuesta en frecuencia de un diferenciador ideal es iω . ¿Cuáles son las consecuencias
en el dominio del tiempo de multiplicar la transformada de Fourier de una función por i
y por ω?
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