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ANEXO PRÁCTICA 2. CÁLCULO DE INCERTERTIDUMBRES
Exceptuando los casos en qué se miden sistemas discretos del tipo del número de partículas que llegan a un detector o del número de ovejas de un rebaño, ninguna medida experimental es exacta. Y en el
caso en qué, por casualidad, leggeumos a obtener el valor exacto de una magnitud, nunca lo podríamos saber. El concepto de error se asigna a una medida individual i es la diferencia entre le valor real de la magnitud nedida y el valor obtenido en la medida.
Como el valor real mes desconocido, también lo es el error cometido en la medida. Entonces hay
que hacer una estimación, tanto de la cantidad medidad como del nivel de incertidumbre (o de precisión)
con que se ha realizado la medida. Entonces, un resultado experimental no es un valor numético exacto, si
no un intérvalo de valores, dentro del cual pressuponemos quie se necuentra el valopr real que estamos
buscando. En consecuencia, la forma correcta de presentar un resultado experimental és con el valor medido± la incertidumbre estimada de la medidad realizada.
A.1 Cálculo de la incertidumbre en la lectura del código de colores
En el código de colores, el último valor se corresponde con la tolerancia con que ha sido fabricada
la resistencia. Es decir, el valor que nos da el fabricante es el punto medio de un intervalo de valores
(RN±∆RN) dentro del cual se encuentra el valor verdadero de la resistencia, cuyo valor exacto se desconoce.
Cuanto más pequeño es este intervalo con más precisión está fabricada la resistencia. Entonces, el último
color del código de colores nos permite conocer el valor de la incertidumbre de la resistencia ∆RN, según
los datos del fabricante.
A.2 Cálculo de incertidumbres en medidas directas
Cuando realizamos una medida sucede algo parecido: no podemos conocer el valor exacto de la
misma, sino que siempre tendremos un margen de incertidumbre en torno al valor que supongamos como
bueno. Esto quiere decir que un valor medido experimentalmente debe venir acompañado por su
incertidumbre de la forma R±∆R, indicativo de que el valor medido se encuentra en el intervalo (R-∆R,
R+∆R), siendo ∆R, la incertidumbre con que se ha realizado la medida. A menor incertidumbre, mayor
precisión en la medida.
El origen de la falta de precisión en las medidas lo encontramos en factores aleatorios basados en
los límites físicos de los aparatos de medida o en perturbaciones ambientales o del propio sistema de
medida, lo que se denominan errores de medida accidentales. Los aparatos electrónicos vienen
acompañados por los datos suficientes para poder calcular la incertidumbre de una medida, cuando ésta se
realiza en condiciones apropiadas y el aparato está calibrado y sujeto a un proceso adecuado de mantenimiento.
En los aparatos digitales la incertidumbre se calcula generalmente como la suma del error de
precisión y el error de lectura. El error de precisión viene dado como un porcentaje de la lectura realizada y
el error de lectura es como mínimo una unidad al último dígito:se debe a que la última cifra que muestra la
pantalla está ajustada ante la imposibilidad de mostrar más valores. En las hojas de características de los
aparatos suelen aparecer errores de lectura
superiores a la unidad y nos tendremos que
ajustar a lo que nos dicen. Pero siempre, ante
un posible funcionamiento anómalo del
aparato, ajustaremos el error de lectura a la
realidad de nuestra percepción, aunque
siempre con valores superiores a los dados por
el fabricante.
En la figura se muestran dos ejemplos para un aparato digital con error de precisión del 2% y error
de lectura de 1d,, y el cálculo correspondiente de la incertidumbre de una medida. La figura de la derecha
muestra el caso en que hay ruido en la medida y el último valor está cambiando constantemente, razón por
la cual de ajustado el error de lectura a la realidad.
Siempre tendremos que ajustar el cálculo de
Trabajaremos siempre con las escaleras que nos incertidumbres
a la realidad de nuestra observación. Que la
dan la mayor precisión posible minimizando al pantalla esté sucia
o que la aguja vibre, son motivo suficiente
máximo el error de lectura.
para ajustar el error a las condiciones reales de lectura.
mayorándolo: el valor real siempre estará dentro de
Hay aparatos que incorporan otros valores a Siempre
un intervalo del error mayorado, mientras si nos engañamos
añadir al cálculo de la incertidumbre, como puede presentando un intervalo minorado, el valor real podría
ser un porcentaje del fondo de escala. En cualquier quedar fuera.
También hay que tener en cuenta las condiciones en
caso nos ajustaremos siempre, en primera que trabaja
el experimentador/a, puesto que, quizás, no sean
instancia, a las indicaciones del fabricante. En ell las más adecuadas (por ejemplo si ha perdido las gafas,
ordenador encontraréis un fichero con las dormido poco o bebido demasiado alcohol)
La figura siguiente muestra dos posibles situaciones en las
características dadas por el fabricante.
que tenemos que ajustar el error de lectura a las condiciones
En aparatos analógicos, la incertidumbre reales de trabajo.
se calcula como el sumatorio de la incertidumbre
debida al error de clase (que es un % del fondo de
escala) más la debida al error de lectura. La clase
es un indicativo de la calidad y precisión del
aparato y puede ser la misma para todas las escalas,
aunque no siempre lo será, y suele estar indicada en la pantalla.
El error de lectura es una estimación subjetiva de la capacidad del experimentador/a para precisar la
lectura de la medida. Hace falta recordar que la lectura se tiene que hacer siempre mirando
perpendicularmente a la pantalla. En una situación buena, con la aguja parada y la pantalla limpia,
tendremos que ver en cuántas partes podemos dividir mentalmente la división más pequeña de la escala para
hacer una lectura fiable de la posición de la aguja En circunstancias muy habituales, se puede situar la aguja
en cuatro posiciones: por la zona de la señal de división, en el primer cuarto, en la zona central y en el
segundo cuarto. Esto implica que, al dividir la división en
cuatro partes, independientemente del valor leído, nuestra
precisión es de un cuarto de división (0.25 x el valor de la
división más pequeña). La figura de la izquierda muestra
esta situación. Pero podría suceder que las divisiones estén
muy juntas (figura de la derecha). En este caso habría que
calcular el error de lectura teniendo en cuenta las
circunstancias reales de lectura.
A.3 Cálculo de incertidumbres en medidas indirectas
Cuando obtenemos el valor de una magnitud haciendo uso de una expresión matemática y del valor
de otras magnitudes que hemos medido directamente, decimos que hemos realizado una medida indirecta.
Así, por ejemplo, la superficie de un rectángulo la conocemos de manera indirecta después de medir (de
manera directa) sus lados y de multiplicar ambos valores.
Sea h una magnitud, el valor de la cual queremos conocer, dependiendo de las magnitudes x, y y z según una
expresión matemática h=h(x,y,z). Si las magnitudes x, y y z son medibles directamente y han dado como
resultado de la medida los valores x±∆x, y±∆y y z±∆z, respectivamente, podremos conocer el valor de h,
sustituyendo los valores medidos de x, y y z en la expresión anterior, y la incertidumbre del resultado a
partir de la expresión
donde las derivadas de h(x,y,z) son derivadas parciales, es decir, en su cálculo se considera constantes todas
las variables excepto la que es el objeto de la derivación. La aplicación de valores absolutos asegura que
todos los sumandos son positivos, puesto que los errores son acumulativos: en caso contrario dos
incertidumbres grandes, pero de signo contrario, se podrían anular mutuamente obteniendo un resultado
numérico que indica una precissió que no es la real.
Si lo qué estamos midiendo es una resistencia, por aplicación de la ley de Ohm, la incertidumbre se calcula de la manera siguiente:
El valor experimental de la resistencia es: R±∆R
Hemos medido los lados de un rectángulo y obtenido los valores X=10,0±0,1 m i Y=15,5±0,1 m. Si representamos el
resultado en un dibujo, el valor de X está incluido entre 9,9 y 10,1 m y el de Y entre 15,3 y 15,7 m. En la figura, el valor de la
superficie estará en los dos rectángulos representados y su incertidumbre será la zona tachada.
Si aplicamos la expresión en derivadas parciales, teniendo en cuenta que la ecuación que nos permite calcular la superficie de
un rectángulo en función de sus lados, es S=XY, obtenemos:
Si nos fijamos en la figura, la expresión se corresponde aproximadamente con la
zona tachada (Es un poco mayor, exactamente es un valor ∆X∆Y superior, pero d
que este producto es muy pequeño a penas si afecta al resultado. En cualquier caso lo
qué hace es aumentar muy ligeramente el valor de la incertidumbre, lo cual no es
incorrecta).
Una vez hemos calculado la incertidumbre en la medida, el resultado experimental
es:
donde el resultado final se ha ajustado a la normativa de presentación de resultados
A.4 Representación gráfica de los resultados experimentales. Rectángulo de errores
El objetivo de hacer una representación gráfica de los resultados experimental puede ser tanto el de
ordenar y obtener una representación que facilite la interpretación y el análisis, así cómo el de preparar una
presentación para que otra persona acceda y lea con facilidad los resultados de nuestra experiencia. En
ambos casos, la selección de las escalas y su representación tiene que facilitar la lectura de los resultados.
Por ejemplo, nunca colocaremos, salvo situaciones excepcionales, en los ejes los valores experimentales
obtenidos, si no que estos tendrán que ser leídos haciendo uso de la escala; cada escala, vendrá siempre
acompañada de la magnitud y las unidades correspondientes, y tanto el origen de cada escala como su
amplitud serán seleccionados para facilitar la lectura; así mismo, los resultados vendrán, siempre que sea
posible, acompañados de los rectángulos de error:
Rectángulos de error
El resultado experimental no es un punto sino un intervalo y por lo tanto se representa como un
segmento en el eje de coordinadas correspondiente.
Por ejemplo: Suponemos que hemos medido una resistencia de valor nominal RN±∆RN y hemos obtenido el
valor R±∆R. Al situar el resultado en un gráfico, representaremos el valor nominal (del fabricante) en el eje de
abscisas haciendo uso de un segmento entre RN-∆RN i
RN+∆RN. Por su parte, el resultado experimental lo
representaremos en el eje de ordenadas con un segmento entre
R-∆R y R+∆R. Al cruzar ambos segmentos en el gráfico
obtenemos un rectángulo que se denomina rectángulo de error
y que se corresponde con una representación del resultado
experimental obtenido. El valor real, con mucha probabilidad,
será un punto (no sabemos cuál) dentro de este rectángulo,
aunque los valores más probables se encuentran en la zona central.
Cuando se ajustan un conjunto de medidas a una única curva, dado que el resultado experimental son los
rectángulos de error, dibujaremos la curva que, siguiendo la ecuación indicada a los conocimientos teórico,
pase por los rectángulos de error y se ajuste lo mejor posible a los puntos centrales de estos (porque son los
valores de mayor probabilidad).
EXERCICI: S’ha mesurat amb un muntatge curt (pràctica 1, sessió 2) una resistència amb franges amb els
colors següents: Marró, roig, taronja, argent. L’amperímetre utilitzat ha estat un Demestres 3801-A i la
mesura d’intensitat obtinguda, en l’escala de 2 mA, ha estat de 0,702 mA. Per mesurar la tensió s’ha aplicat
un voltímetre analògic de classe 2, amb una resistència interna de 20kΩ, fons d’escala de 20V. S’ha
considerat que l’error de lectura és mitja divisió, ja que la lectura permet llegir dues posicions de l'agulla en
cada divisió (el valor d’una divisió és de 0,1 V). El resultat de la mesura ha estat de 5 V.
Qüestió 1: Quina és la Resistència segons el fabricant i la seua incertesa de fabricació?: RN±∆RN
Qüestió 2: Quin és el valor de la Intensitat i de la seua incertesa I±I
Qüestió 3: Quin és el valor de la tensió i la seua incertesa? V±V
Qüestió 4: Quin és el valor de la resistència que hem obtingut i el de la seua incertesa: Rn±Rn ?
Qüestió 5: Escriviu correctament els resultats obtinguts.
Qüestió 6: Quin és el valor mesurat de la resistència després d’haver corregit l’error sistemàtic?
Qüestió 1: Apliquen el codi de colors, on el quart color és la incertesa experesada en un tant per cent del valor nominal de la resistència.
Marró, roig, taronja, argent
1
2 103 10%
RN±∆RN =12000±1200 Ω
Qüestió 2: Les especificacions del Demestres les trobareu al fitxer “codi de colors i característiques aparells”
Error de precisió: 0,8% de 0,702 = 0,0056 mA
Error de lectura: 1 digit = 0,001 mA
Incertesa de la mesura: ∆I=0,0056+0,001=0,0066 mA
Qüestió 3:
Error degut a la classe: 2% de 20 = 0,4 V
Error de lectura: 0,5 x 0,1 = 0,05 V
Incertesa de la mesura: % V= 0,4 + 0,05 = 0,45 V
I±I = 0,702 ± 0,0066 mA
V ±V= 5 ± 0,45 V
Qüestió 4: En tractar-se d'una mesura indtrecta:
kΩ= 708Ω
R=V/I=5/0,702=7,123 kΩ=7123Ω
R ±R = 7123 ± 708 Ω
Qüestió 5:
Qüestió 6: L’error sistemàtic succeeix perquè, al muntatge curt, la resistència que realment estem
mesurant és l’associació en paral•lel de la resistència que volem mesurar i la resistència interna del
voltímetre. És a dir:
Si d’ací traiem R, obtenim:
Si calculem aquest valor, obtindrem el valor sense error sistemàtic de la resistència que estem mesurant: