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Problema:
Un deposito abierto de laton con base cuadrada y capacidad para 4000 litros, ¿ que dimensiones
debe tener para que su fabricacion sea lo mas economica posible?
Solución:
Lo que se necesita para que el costo sea el más económico es que la cantidad de material con que
se formará el depósito sea la mínima, el material es la base del depósito y las cuatro paredes
laterales (como el depósito es abierto no hay que gasta material en hacerle tapa).
Por otro parte, tener también en cuenta que
, de ahi que el volumen del
depósito tendrá
, estas conversiones las traigo a cuento ya que debemos
hallar las dimensiones de la base y de la altura del depósito y con esta nota nos queda claro que
éstas deben ser expresadas en centimetros.
La cantidad de material necesario es la suma del área de la base del depósito y sus paredes
laterales:
Dejemos sentado de una vez la restricción que nos pone el problema al comenzar(capacidad de
4000 litros=4000
Como la base es cuadrada entonces:
El área de cada cara lateral es , y como son 4 caras laterales éstas sumarán
cantidad de material total necesaria (que llamaremos M) será:
; por lo tanto la
Acabamos de obtener la función M(x), como es cuadrática y
es positivo, su gráfica es una
parábola que abre hacia arriba, lo que significa que tiene un mínimo, al hallar ese mínimo
sabremos cuál es la cantidad de material mínimo que podemos usar.
Para hallar ese mínimo se hace el siguiente procedimiento: Se deriva M, se iguala su derivada a
cero, y se halla x, que será el valor mínimo buscado. (NOTA: la funcion M depende de x pero a su
vez x depende de h, es por esto que la derivación que le vamos a hacer a M, debe ser una
derivación implícita:)
Comenzemos derivando implícitamente la funcion M:
(
Para obtener algo que nos pueda reemplazar
)
, derivamos (también implicitamente) la
restriccion (1) respecto a x:
Reemplazamos (3) en (2):
(
(
)
(
))
Ahora si, igualamos la derivada a cero para hallar el x mínimo:
Como ya dijimos más arriba, el x hallado en (4) es un mínimo de la función M(x); según 4 tenemos
que:
Y reemplazando esta h en la restricción (1) obtenemos:
( )
Como x=20 entonces h=10 (reemplazando en (5)), y por lo tanto: Las dimensiones que debe tener
el depósito para que la cantidad de material con que se debe hacer, sea el mínimo son:
Lado de la base: 20 cm
Altura: 10 cm
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