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Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle
Hoja #4 de problemas para “Ecuaciones diferenciales”. Profesor Manuel Villegas.
Período agosto-diciembre de 2015
50. Un recipiente contiene V cm3 de solución de una sustancia X disuelta en agua. Al tiempo t0
contiene m0 gramos de la sustancia. Al recipiente entra agua a razón de q cm3 por segundo,
mezclándose uniformente con la solución y salen q cm3 de mezcla por segundo. ¿Cuántos
gramos de sustancia X se encuentran en el recipiente al tiempo t?
51. Un tanque contiene 800 litros de salmuera (agua con sal) al 2 %. A partir de cierto instante entran al tanque 3 litros por minuto de salmuera al 5 % y simultáneamente salen 3
litros por minuto. Suponiendo que la mezcla en el tanque se mantiene uniforme mediante
agitación, ¿cuál es la cantidad de sal en el tanque después de 15 minutos?.
52. En un cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento es proporcional al número presente. a) Si se ha hallado que el número se duplica en 4 horas, ¿Qué número se debe esperar
al cabo de 12 horas?. b) Si hay 104 al cabo de 3 horas y 4 · 104 al cabo de 5 horas ¿cuántos
había al principio?
53. Halle las trayectorias ortogonales a la familia de elipses x2 + 2y 2 = a2 , a ∈ R.
54. Halle las trayectorias ortogonales a la familia de hipérbolas xy = a, a ∈ R.
La ley de enfriamiento de Newton establece que la razón con que cambia la temperatura, T (t), de un objeto (Localizado en un medio ambiente de temperatura fija Tm ) es
proporcional a la diferencia entre su temperatura T (t) y la temperatura del medio, Tm ,
dT
∝ T − Tm
dt
o sea,
dT
= k(T − Tm ),
dt
k = cte.
55. Al cabo de un minuto la temperatura de una taza de café es 50◦ C, y cuatro minutos más
tarde es 30◦ C. Si la temperatura del ambiente es 28◦ C, ¿cuál era la temperatura inicial del
café? (suponga que la temperatura de la taza de café obedece a la ley de enfriamiento de
Newton)
56. Suponga que la temperatura de un cadáver es de 29◦ C cuando se descubre un crimen. Si
dos horas más tarde, a las 2:00 p.m., su temperatura es de 24◦ C . ¿A qué horas ocurrió
el crimen? (Suponga que el modelo responde a la ley de enfriamiento de Newton y que la
temperatura ambiente es de 20◦ C).
57. Suponga que un alumno portador de virus de gripe regresa a una escuela aislada de 1000
alumnos. Suponga que la rapidez con la que se propaga la enfermedad es directamente
proporcional a la cantidad de interacciones entre los alumnos con gripe (x(t)) y los que
aún no se han contagiado. Si después de dos días hay 10 contagiados, ¿en cúanto tiempo
se habrán enfermado todos?.
58. Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada para estimar la fecha de eleboración de
pinturas prehistóricas y rupestres en las paredes y los techos de una caberna en LascauxFrancia. Determine la edad aproximada de un trozo de madera, si se encontró que había
desaparecido el 85,5 % del carbono 14. (ver información en la tercera hoja).
59. Un cuerpo que pesa 8 libras cae desde el reposo hacia la tierra desde una gran altura.
Suponga que a medida que cae, la resistencia del aire que actúa sobre él es numéricamente
igual a 2v, siendo v la velocidad de caída del cuerpo (en pies por segundo). Calcule la
velocidad y la distancia recorrida después de t segundos (g = 32pie/seg2 ).
60. Un hombre equipado con un paracaidas y otro equipo esencial cae desde el reposo hacia la
tierra. El peso total del hombre más el equipo es de 160 lb. Antes de que el paracaídas se
abra, la resistencia del aire (en libras) es numéricamente igual 21 v, siendo v la velocidad de
caída del cuerpo (en pies por segundo). El paracaídas se abre 5 segundos después de que
inicia la caída. Después de que se abre, resistencia del aire (en libras) es numéricamente
igual 58 v 2 . Calcule la velocidad del hombre (a) antes de que se abra el paracaídas y (b)
después de que se abre el paracaídas.
Algunos problemas especiales
61. Ley de Torricelli. Consideremos un tanque semiesférico de altura h lleno de agua que
tiene un agujero en el fondo de área a. Sean y(t) la profundidad y V (t) el volumen de agua
en el tanque en un instante t. Suponiendo que en el instante t = 0 se abre el agujero del
fondo, determinar y(t) y el tiempo que se tardará en vaciarse. (ver hoja tres).
62. Un punto se mueve en el eje x y arrastra un punto M , conectado mediante una barra de
longitud a. ¿Cuál es la trayectoria de M ? (Tractriz)
63. Un tanque con volumen de 1000 litros, al tiempo t0 = 0 está medio lleno de agua pura.
Entran 4 litros por minuto de salmuera al 3 %, y cada minuto se pierde, por una fuga, 1
litro del contenido bien mezclado. Determine la cantidad de sal perdida hasta el tanque se
desborda.
64. En el problema anterior, ¿cuál es la concentración cuando el tanque comienza desbordarse?
¿cuándo se alcanza una concentración del 2 %, respectivamente del 2,9 %?
65. ¿Qué forma debe tener un espejo para que los rayos paralelos al eje x sean concentrados
en el origen? (Suponga que se trata de una superficie de rotación alrededor del eje x y que
el ángulo de incidencia es igual al de reflexión)
66. Después de que la taza de café del problema 55 alcanza los 30◦ C, la temperatura del ambiente Ta disminuye según la ley Ta (t) = 18 + 10 exp(−t/20). ¿Al cabo de cuántos minutos
el café tiene una temperatura de 20◦ C?
67. Determine una familia de trayectorias oblicuas que interseque a la familia de rectas y = cx
tan θ + tan α
a un ángulo de 45o . (Sug.: Si β = θ ± α, tan(β) = tan(θ ± α) =
)
1 ∓ tan θ · tan α
Para tener en cuenta:
1. Determinación de fechas mediante radicarbono: La teoría para determinar la
edad de fósiles con carbono radiactivo (Willard Libby, 1950) se basa en que el isótopo
del carbono 14 (C-14) se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica
sobre el nitrógeno. Se estima que la razón (cociente) entre la cantidad de C-14 y el
carbono ordinario en la atmósfera es constante y por ello, la cantidad proporcional del
isótopo presente en todos los organismos vivos es igual a la de la atmósfera. Cuando
un organismo muere, la adsorción (por respiración o alimentación) de C-14 se detiene.
Así, si se compara la cantidad proporcional de C-14 presente por ejemplo en un fósil,
con la relación constante presente en la atmósfera, es posible obtener una estimación
razonable de su antigüedad. El método se limita a aproxi. 50000 años y se basa en
que la desintegración del C-14 obedece a una ley de decrecimiento exponencial y se
sabe que la vida media del C-14 es, aproximadamente, 5600 años.
2. Ley de Torricelli: En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece, que la rapidez
de salida del agua de un tanque a través de un agujero en el fondo del tanque y a una
profundidad y, es la misma que la rapidez que un cuerpo (en este caso, una gota de
agua) adquiriría al caer libremente desde una altura y. Puesto que la enrgía potencial
mgy es igual a la energía cinética, 12 mν 2 , tenemos que dicha rapidez (v = dy
) está
dt
√
dada por, ν = 2gy, donde g es la aceleración debida a la gravedad.
Si ah es el área transversal del √
hueco (de bordes agudos), el volumen que sale del
tanque por segundo es ah v = ah 2gy. De aquí se tiene que el cambio en el volumen
en el tanque es
p
dV
= −ah 2gy.
dt
De otro lado, si A(y) representa el área de la sección transversal horizontal del tanque
a una altura y (área del espejo o superficie superior del agua), se tendrá entonces:
Z y
V =
A(y)dy.
0
Esto indica que
dV
dV dy
dV
= A(y) ⇒
=
·
= A(y)y 0 (t).
dy
dt
dy dt
A(y)
h
y
ah
Figura 1: