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Hoja 3
FUNDAMENTOS DE CIENCIA DE MATERIALES
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Hoja de problemas 3
1.
Dibuje aproximadamente un elemento de volumen antes y después de sufrir la matriz de
desplazamientos relativos:
− 0.05 0
 0.2
uij = − 0.15 − 0.3 0
 0
0
0
2. ¿Cuál sería la longitud final de una barra de acero (E=210 GPa) de 10mm de diámetro y 2 m
de longitud inicial si se carga elásticamente a tracción con 5 KN?
3. a) Calcule el cambio de dimensiones de una columna de fundición gris (E = 145 GPa) que
tiene dos tramos de 1.5 m cada uno y diámetros de 0.1 m y 0.15 m, al soportar una carga de
500 kN. ¿Está bien dimensionada la columna si el límite elástico de la fundición gris es 260
MPa?
b) Id. si la columna fuera troncocónica de 3 m de altura, y los diámetros de sus bases variaran
entre 0.1 m y 0.15 m.
4. a) Calcule la deformación volumétrica durante la extensión elástica de una barra cilíndrica
sometida a tracción axial. El material es isótropo y la deformación se supone pequeña.
b) ¿Para qué valor del módulo de Poisson, ν, el alargamiento ocurre sin cambio de volumen?
c) El módulo de Poisson de la mayoría de metales es aprox. 0.3. El del corcho, aprox. 0,0 y el
del caucho cercano a 0,5. ¿Cuáles son las deformaciones volumétricas de esos materiales al
someterlos a una compresión elástica ε <0?
5. Una chapa de aluminio (E =69 GPa, ν = 0,3), de espesor t = 1 mm, se curva elásticamente
para formar por soldadura un tubo de 1 m de diámetro. Determine las tensiones elásticas que
se desarrollarán en la superficie de la chapa por efecto del curvado.
6. Los ortodoncistas usan alambres de bajo módulo de Young y alto límite elástico para corregir
la posición de los dientes mediante arcos tensores. ¿Por qué?
7. Para perforar pozos petrolíferos se usan segmentos tubulares de acero ferrítico unidos
mediante racores. El primer segmento lleva la turbina de perforación y todo el conjunto está
suspendido de la torre. Si el diámetro exterior de los tubos es 120 mm, la pared tiene un
espesor de 15 mm y son de acero con un límite elástico (tensión máxima en el régimen
elástico) de 900 MPa, ¿Cuál es la máxima profundidad de perforación realizable con un factor
de seguridad igual a 2?
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8. Una varilla vertical de una bomba de mina tiene 180 m de longitud y ha de soportar en su
extremo inferior una carga P = 1.400 kg. Se pide:
a) Determinar la sección transversal circular que ha de tener la varilla para que la
tensión máxima valga 1000 kg/cm2.
b) Una vez fijada la sección transversal de la barra, determinar su alargamiento.
Se tendrá en cuenta el peso propio del material, que es acero (E=210 GPa) con un peso
específico de 7.850 Kg/m3.
9. Se tiene una barra de acero (E=210 GPa) de 3 m de longitud y está sujeta rígidamente en sus
extremos de tal modo que resulta impedida cualquier variación de longitud. Determinar la
tensión a la que se ve sometida, si su temperatura aumenta 30 ºC, sabiendo que su coeficiente
de dilatación térmica lineal es de 0,000012.
10. Una persona de 130 kg de masa va a realizar un salto de goming (salto al vacío atado con una
goma elástica) desde una plataforma suspendida de una grúa a 53 metros del suelo. El
saltador está unido a la plataforma por una goma de 16 metros de longitud total en reposo. Al
ensayar una goma idéntica a la empleada (tanto en respuesta mecánica como en dimensiones)
se ha obtenido la curva fuerza-alargamiento mostrada en la siguiente figura (a).
F (N)
2500
1000
Alargamiento (m)
(a)
15 m
(b)
Para simplificar el problema, se considera que la goma se comporta como se muestra en la
figura (b). El alargamiento máximo admitido de la goma ensayada es de 15 metros.
(a) ¿Será la goma capaz absorber la caída del saltador?
(b) ¿Cuál será la masa máxima de la persona que pueda disfrutar del salto saliendo ileso del
mismo?
(c) Si la goma está enganchada a la plataforma con un mosquetón que es capaz de soportar
sólo 2000 N de carga, ¿Cuál será la masa máxima del muchacho que pueda saltar?
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11. Demostrar que para un material isótropo elástico lineal se cumple la siguiente relación:
G=
E
2(1 + ν )
12. Se quiere diseñar un sistema para frenar unas vagonetas de 300 kg de masa (ver figura (a)).
Se sabe que las vagonetas se mueven a una velocidad de 36 km/h. Para frenar las vagonetas,
éstas impactan con una pieza de goma cuya respuesta mecánica a compresión viene dada por
la figura (b). La pieza de goma tiene un área transversal de 0,03 m2 y su longitud en reposo de
0,20 m. Por razones de seguridad, la goma no ha de superar una deformación de 0,5.
(a)
(b)
σn
15 MPa
0
0,5
εn
a) ¿Será capaz la goma de frenar la vagoneta de forma segura?
b) ¿Cuál es la masa máxima de la vagoneta que viajando a 36 km/h puede detener el sistema
de forma segura, esto es, sin deformar la goma más de 0.5?
c) ¿Que fuerza máxima soportan los tornillos que fijan el sistema de frenado al suelo cuando
este detiene la vagoneta cuya masa ha sido calculada en el apartado b) que avanza a 36
km/h?
NOTA: Considerar que para este problema las curvas tensión-deformación reales e ingenieriles coinciden y
que el área transversal de la goma permanece constante durante la deformación.
13. Supongamos que tenemos dos placas del mismo material pegadas con pegamento a través del
plano OA y que las placas están sometidas al siguiente estado de tensión plana:
y
A
O
30º
 σ

− σ
− σ

2σ 
¿Cuál será el valor máximo de σ para que la pieza aguante sin despegarse? El pegamento
aguanta como máximo tensiones tractivas de 100 MPa y tensiones tangenciales de 75 MPa.
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14. Sea una chapa de un material monocristalino cúbico sometido al estado de tensiones
representado en la figura: una tensión σ tractiva en dirección [100] y una tensión compresiva
–σ en la dirección [010]. Suponiendo condiciones de tensión plana calcular:
a) La orientación del plano sobre el que la tensión de cortadura τ es máxima y el
valor de dicha tensión.
b) ¿Cuál será la tensión normal sobre dicho plano?
c) ¿Se corresponde con algún plano cristalográfico? ¿Cuáles son sus índices de
Miller?
d) Suponiendo que el cristal se puede considerar elástico isótropo lineal con módulos
elásticos E y ν, calcular la energía elástica por unidad de volumen almacenada en
el material.
[010]
−σ
[100]
[001]
σ
σ
−σ
15. Responda al apartado c) del problema anterior si las tensiones estuvieran aplicadas en las
direcciones indicadas en la figura:
[101]
−σ
[010]
[101]
σ
σ
−σ
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16. Para fabricar un tirachinas se dispone de tres tipos de cauchos. Se han realizado ensayos de
tracción de dichos cauchos empleando probetas de dimensiones idénticas a las del tiragomas.
Dichas gomas se han comportado de forma elástica-lineal hasta la rotura. Las cargas y los
alargamientos a rotura son los que aparecen en la siguiente tabla.
Caucho A
Caucho B
Caucho C
Alargamiento Rotura
[m]
0.50
0.60
1.15
Carga de Rotura [N]
110
50
35
(a) ¿Qué goma será la ideal para diseñar el tirachinas, suponiendo que las gomas se pueden
estirar justo hasta antes de la rotura?
Se sabe, a partir de estudios estadísticos, que una persona es capaz de desarrollar una fuerza
máxima de 50 N sobre la goma del tirachinas, y que no es capaz de estirarla más de 60
centímetros.
(b) Con estas nuevas condiciones, ¿qué goma será la ideal para diseñar el tirachinas?
(c) ¿A qué velocidad lanzará el tirachinas del apartado (b) una piedra de 15 g ?
17. Una placa cuadrada de acero (E=200 GPa; ν=0,3) de 1 m de lado se deforma elásticamente
como se indica en la figura. Calcular:
a) Las deformaciones (εx, εy, γxy) de la placa.
b) El estado de tensiones en el que se encontrará la placa
c) La energía elástica almacenada en la placa
y
2 mm
1000 mm
1001 mm
x
998,5 mm
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18. Supongamos dos placas pegadas sometidas a una tensión tractiva (a) en una dirección paralela
al plano de unión y (b) en una dirección perpendicular, como se indica en la figura. Si las
curvas tensión-deformación de los materiales A y B son las indicadas en la figura (con sus
correspondientes límites de comportamiento elástico). Calcular el estado de tensiones en cada
una de las placas para que el comportamiento sea siempre elástico lineal.
(a)
(b)
F
F
B
A
A
B
F
F
σ
2σ0
Material B
Material A
σ0
ε0
2ε0
ε
Suponga ahora que se eliminan las fuerzas aplicadas pero que el montaje sufre un descenso
de temperatura de –40º C. Suponiendo que el coeficiente de expansión térmica del material
A es el doble que el de B (αA=2αB), calcular las tensiones que aparecerán en cada una de las
placas en función de aA y EA.
19. Un cubo se introduce en un agujero tal y como se indica en la figura (el material en el que
está hecho el agujero es indeformable). A continuación, se aplica una tensión compresiva al
cubo. Calcular las tensiones y las deformaciones en el cubo si el material tiene un módulo
elástico E y un módulo de Poisson ν=1/3.
σ
z
y
x
Material
rígido
Cubo
E, ν=1/3
σ