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JUNIO 2015
Universidad de Castilla la Mancha – Junio 2.015
Opción A
1.A.- Dada la función f(x) = esen x + x2 + ax + b, a, b  R:
a) Determina los parámetros a, b  R sabiendo que la gráfica de f(x) pasa por el punto (0,2) y que en dicho punto tiene un
extremo relativo.
b) Para los valores de los parámetros encontrados, estudia si dicho extremo relativo es un máximo o un mínimo.
Si pasa por el punto (0,2)  f(0)=2:
f(0) = e0 + b = 2  b = 1  f(x) = esen x + x2 + ax + 1
Si tiene un extremo relativo en (0,2)  f’(0)=0:
f’(x) = cos x · esen x + 2x + a  f’(0) = 1 + a  1 + a = 0  a = -1  f(x) = esen x + x2 - x + 1
Para saber si es un máximo o un mínimo, estudiamos el signo de la segunda derivada en x=0:
f’’(x) = -sen x · esen x + cos2x · esen x + 2  f’’(0) = -1·e0 + 12·e0+2 = 2 > 0  (0,2) es un Mínimo
2.A.- Dada la función: g(x)=
2x + 4
si -2 ≤ x < 0
2
(2x-2)
si 0 ≤ x ≤ 1
Esboza la región encerrada entre la gráfica de g(x) y el eje de abscisas.
Calcula el área de la región anterior.
a)
b)
4
2x + 4
g(x)=
2
(2x-2)
si -2 ≤ x < 0
2x + 4
→ g(x)=
si 0 ≤ x ≤ 1
4x2 -8x+4
si -2 ≤ x < 0
si 0 ≤ x ≤ 1
-1
-2
A=
0
2x+4 dx +
-2
1
4x2 -8x+4 dx = x2+4x
0
3.A.- a) Despeja X en la ecuación
0
b) Calcula X, siendo: A= 1
2
0
-2
+
4x3
-4x2 +4x
3
1
= 0-(-4) +
0
4
-4+4-0
3
=4 +
1
4
12+4-12+12
16 2
-4+4 =
→ A=
u
3
3
3
matricial X·A+B=X, donde A, B y X son matrices cuadradas de orden 3.
0 3 -2
0 0
0 0 y B = -1 4 0
1 0
1 2 1
XA+B = X  B = X - XA  B = X(I-A)  B(I-A)-1 = X(I-A)(I-A)-1  X = B·(I-A)-1
1
I-A = 0
0
0 0
0 0 0
1 0 - 1 0 0
0 1
2 1 0
1 1
I-A d = 0 1
0 0
1
→ I-A = -1
-2
3
t
1 → I-A d =
1
0
X = -1
1
0 0
1 0 → I-A =
-1 1
1 0 0
1 1 0 → I-A
3 1 1
1 0 0
3 -2
4 0 · 1 1 0
2 1
3 1 1
4.A- a) Calcula la distancia del punto P (-1,2,0) a la recta r≡
1
-1
-2
0
1
-1
0
0 =1
1
1 0
1
-1
=
· 1 1
1
3 1
-3 1
→ X= 3 4
6 3
→ ≠0 → ∃ I-A
0
-1
0 → (I-A) =
1
-2
0
1
-1
→ I-A
-1
1 0
1 1
3 1
0
0
1
=
1
I-A
I-A
d t
-x-y+2z=0
y+z=1
b) Calcula el punto simétrico de P respecto de r.
Primero comprobamos que el punto P no pertenece a la recta r:
r≡
-(-1)-2+2(0)=0
→ -1≠ 0 → P ∉ r
2≠1
2+0=1
Para hallar la distancia primero calculamos el plano  perpendicular a r y que contiene a P. Es decir, el vector normal del plano
será el vector director de la recta, ya que ambos vectores son perpendiculares:
dr = -1,1,2 x 0,1,1 → dr= -1,1,-1 → nπ= -1,1,-1 → π ≡ -1(x+1)+1(y-2)-1(z-0) = 0 → π ≡ -x+y-z-3=0
P
r

Q
á
á
2
Examen Selectividad _ Matemáticas _ CC _ Castilla la Mancha
Segundo hallamos el punto Q como intersección entre el plano y la recta:
8
5
0
8 6 1
6
→ Q = - , ,1 → y=
5 5 5
5
1
1
z=5
x=-
-x-y+2z=0
y+z=1 →
-x+y-z=3
-1 -1 2
0 1 1
-1 1 -1
0
-1 -1 2
→ 0 1 1
1 →
F3 -F1
3
0 2 -3
0
-1 -1 2
→ 0 1 1
1 →
F3 -2F2
3
0 0 -5
Por último hallamos la distancia entre P y Q:
8
- +1
5
d(P,Q)= PQ =
2
+
6
-2
5
2
1
+ - -0
5
2
=
9 16 1
26
+
+
→ d(P,Q)=
u
25 25 25
5
El punto Q es el punto medio entre P y su simétrico P’ respecto a la recta r
P
r
Q
P’
8 6 1
-1+x 2+y 0+z
Q = MPP' → - , ,=
,
,
→ P' =
5 5 5
2
2
2
-
11 2 2
, ,5 5 5
Opción B
1.B- Calcula el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones:
2x - x
f x =
x-2
g x =
x2
x3
– 4x + 4
Para estudiar el dominio de f(x) tenemos que fijarnos en la raíz cuadrada del numerador y en el denominador:
2x → 2x ≥ 0 → x ≥ 0
x – 2 → x-2=0 → x = 2
0
2
Dom (f) = [0,2) ∪ (2,+∞)
Para estudiar el dominio de g(x) tenemos que fijarnos en el denominador únicamente:
x2 – 4x + 4 = 0 → x = 2 → Dom (g) = R - {2}
Asíntota vertical en  limx → k f(x) = ∞ (siendo k los valores para los cuales la función no existe):
f x =
2x - x
2x - x
0
→ lim
=
x→2 x - 2
x-2
0
g x =
x2
L'Hôpital
x3
x3
→ lim 2
= ∞ → ∃ A.V en x = 2
x → 2 x – 4x + 4
– 4x + 4
Asíntotas horizontales  limx → ∞ f(x) = k
f x =
2x - x
2x - x
∞
→ lim
=
x→∞ x - 2
x-2
∞
g x =
1
-1
1
1
-3
lim 2x
= lim
-1= -1=
→ ∄ A.V
x→2
x → 2 2x
1
4
4
L'Hôpital
1
-1
1
1
lim 2x
= lim
- 1 = - 1 =-1 → ∃ A.H en x = -1
x→∞
x → ∞ 2x
1
∞
x3
x3
∞
1
1
→ lim 2
=
→ lim
= = ∞→ ∄ A.H
x → ∞ x – 4x + 4
x→∞1
4
4
∞
0
x2 – 4x + 4
x – x2 + x3
No existen Asíntotas Oblicuas cuando hay horizontales, por tanto sólo vamos a estudiar las asíntotas oblicuas de g(x):
x3
x3
1
1
– 4x + 4 = lim
m = lim
= lim lim
= →m = 1
3
x→∞
x → ∞ x – 4x2 + 4x
x→∞x→∞
4
4
x
1
1– x + 2
x
→ ∃ A.V en y = x+4
4
4+ x
x3
4x2 - 4x
4
n = lim 2
-x= lim 2
= lim
= →n = 4
x → ∞ x – 4x + 4
x → ∞ x – 4x + 4
x→∞
4
4
1
1–
+ 2
x
x
x2
g x =
x2
x3
→
– 4x + 4
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JUNIO 2015
2.B.- Dada la función f(x) = (x+1)e2x, se pide:
a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x).
b) Encuentra una primitiva de la función f(x) que pase por el origen de coordenadas.
Para estudiar la curvatura analizamos el signo de la segunda derivada:
f' x = e2x +(x+1)·2e2x = e2x (1+2x+2) → f' x = e2x (3+2x)
2x
2x
2x
f’’(-3)<0
2x
f'' x = e (3+2x)= 2e (3+2x)+e (2)→ f'' x = e (8+4x) → f'' x = 0
2x
→ e2x (8+4x) = 0 → e ≠ 0
x = -2
Convexa: (-,-2)
Cóncava: (-2,+)
f’’(3)>0
-2
Punto de Inflexión: (-2, -e-4)
3.B.- He pensado un número de tres cifras tal que la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Además, si a
dicho número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198. Por último, las tres cifras de mi
número suman 12.
a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que recoja la información anterior y clasifícalo. Para ello, puede serte útil
observar que el número cuya cifra de las centenas es x, la de las decenas y, y la de las unidades z, puede expresarse
como 100x + 10y + z.
b) Determina, si el problema tiene solución, el número de tres cifras que he pensado.
Siendo el número: 100x+10y+z
x+z
x-y+z=0
2
→ 99x-99z=198 →
100x+10y+z-(x+10y+100z)=198
x+y+z=12
x+y+z=12
y=
1 -1
1
→ 0 99 -198
0 2
0
1 -1 1
99 0 -99
1 1
1
0
198 → F2 -99F1
F3 -F1
12
0
198 → y =6 → z =2 → x =4 → 462
12
4.B.- Dados los puntos A(1,+1,-1), B(2,,0) y C(+2,0,1), se pide:
a)
a)
Estudia si existe algún valor del parámetro   R para el que A, B y C estén alineados.
Para =-1, da la ecuación implícita del plano  que contiene a los puntos A, B y C.
A
B
C
Si los 3 puntos están alineados significa que los vectores AB y AC tienen la misma dirección, sus vectores directores serán
proporcionales:
AB = 1,-1,1
AC = λ+1,-λ-1,2
→
1
-1
1
1 -1 1
=
= →λ= 1→ =
=
λ+1 -λ-1 2
2 -2 2
Por tanto, para  = 1 los 3 puntos estarán alineados.
Para Para  = -1, los puntos no están alineados, por lo que para calcular la ecuación implícita del plano  emplearemos el
producto vectorial de los vectores AB y AC, ya que el vector normal del plano es perpendicular a estos dos vectores. Y como
punto usaremos el punto A:
A = (1,0,-1)
AB = 1,-1,1
λ =1 → B = (2,-1,0) →
→ nπ = 1,-1,1 × 0,0,2 → nπ = -2,-2,0 → π ≡ -2(x-1)-2(y-0)+0(z+1)=0
AC = 0,0,2
C = (1,0,1)
→ π ≡ -2x -2 y + 2 = 0 → π ≡ -x - y + 1 = 0