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Simplificar fracciones
SIMPLIFICAR FRACCIONES.
Fuerte rollo. Casi todos los alumnos aprenden a simplificar y no saben cómo lo aprenden. Es más,
de vez en cuando los profesores le dicen que una está mal y alucinan porque no tiene ni idea de por qué
está mal. ¿No se trata de tachar en el numerador y el denominador?.
Vale, para empezar veamos dos simplificaciones leídas en algunos exámenes:
30 24 + 6
=
= 24 ¿correcto?
6
6
o
30 6 ⋅ 5 6
30 6 ⋅ 5
=
=
= 5)
= ⋅ 5 = 1 ⋅ 5 = 5 (en realidad puso
6
6
6
6
6
evidentemente es correcta la 2ª, ¿o es que 30 entre 6 no es 5?.
3x 2 x + x
=
= 2 x ¿correcto?
x
x
o
3x
x
3x
= 3 ⋅ = 3 ⋅ 1 = 3 , en resumen
=3
x
x
x
también es evidente que la correcta es la 2ª. Y si no, aquí está la prueba
¿Por qué tachar en
x
0
3
24 + 6
= 24 no es correcto?. Sencillamente porque “tachar” números por la
6
cara no es una operación. En
6⋅5
= 5 casualmente el tachado corresponde con el resultado de unas
6
cuantas operaciones (producto de fracción y entero
pero el tachado de
3x
6
⋅ 5 , división 6 entre 6 y da 1·5, producto y da 5),
6
24 + 6
= 24 no se corresponde con ninguna combinación de operaciones.
6
Dos ejemplos más que son correctos, con el proceso completo y el “tachado” equivalente
2
2x 2 ⋅ x 2 x 2
= ⋅ = ⋅1 =
=
2
x
x⋅x x x x
x
preparación
separación
en producto
división
x entre x
5 entre 5
5 5
30 6 ⋅ 5 6 5
= ⋅ = 1⋅ =
=
3 3
18 6 ⋅ 3 6 3
¿Y cómo se sabe que
resumen
2x 2 ⋅ x 2
=
=
x2 x ⋅ x x
algunos escriben
2x 2
=
x2 x
producto por 1
resumen
30 6 ⋅ 5 5
=
=
18 6 ⋅ 3 3
24 + 6 2x + x
no corresponden a ninguna combinación de operaciones?. Por
o
6
x
dos motivos: 1.- Porque es evidente que
24 + 6
30
que es 5 y no 24
corresponde a
6
6
2.- Porque la operación SUMA que aparece en el numerador correspondería al resultado de
SUMAR DOS FRACCIONES; y todos sabemos que el resultado de sumar dos fracciones (que además
exige el mismo denominador) se obtiene sumando los numeradores y dejando el mismo denominador.
1
Simplificar fracciones
24 6 24 + 6 30 30 24 + 6 24 6
o
+ =
=
=
=
+ esto sí sería correcto ( y de hecho da 4+1 que es 5)
6
6
6 6
6
6 6
6
2x + x 2x x
=
+ también sería correcto, aunque una tontería hacerlo.
x
x x
Algunos ejemplos más
21
21
1
=
= incorrecto
28 21 + 7 7
21 18 + 3
3
= incorrecto
=
28 18 + 10 10
21 7 ⋅ 3 3
3 3
21 7 ⋅ 3 7 3
= ⋅ = 1 ⋅ = correcto; y resumido con tachado
=
=
=
28 7 ⋅ 4 4
4 4
28 7 ⋅ 4 7 4
preparación
separación
en producto
división
producto por 1
7 entre 7
m entre m
5m 3m + 2m
=
= 2m incorrecto
3m
3m
5
5m 5 m 5
5m 5
= ⋅ = ⋅ 1 = correcto; y resumido
=
3
3m 3
3m 3 m 3
CONCLUSIÓN RESUMEN.
Si una fracción está escrita como
producto
el tachado de factores iguales es correcto porque se
producto
corresponde con ........................................................................................................................................
Si una fracción está escrita como
producto
suma
suma
o con restas en lugar de sumas, el
o
o
suma
producto suma
tachado NO es correcto porque no existe combinación de operaciones cuyo resultado corresponda a esa
eliminación “por la cara”.
A LA CARGA DE NUEVO.
¿Qué hacer cuando las fracciones son algebraicas (fracciones con letras)?. Dos cosas:
•
1ª cosa. Transformar las sumas y restas que aparezcan en el numerador y denominador en
PRODUCTOS (y esto se hace utilizando los factores comunes que haya)
a)
x 2 + x x ⋅ ( x + 1) x
=
= ⋅ ( x + 1) = 1 ⋅ ( x + 1) = x + 1 correcto;
x
x
x
2
x +x
= x 2 incorrecto
x
preparación
b)
separación
en producto
división
x entre x
x 2 + x x( x + 1)
resumido :
=
= x +1
x
x
producto por 1
10 + 4 x 2 ⋅ (5 + 2 x) 2 5 + 2 x
5 + 2x 5 + 2x
=
= ⋅
= 1⋅
=
correcto;
10
2⋅5
2
5
5
5
10 + 4x
= 4 x incorrecto
10
resumido (rellénalo)
división 2 entre 2
¿y de
5 + 2x
5 + 2x
qué?.¿Se puede hacer
= 2 x ?. Pues no. ¿Qué se puede hacer?: la 2ª cosa
5
5
2
Simplificar fracciones
5 + 2x
no hay nada que hacer. Sería estupendo que se pudieran tachar los dos
2ª cosa. NADA. En
5
•
5, pero no. Y se puede comprobar con cualquier número:
7 5 + 2x
5 + 2x
con x=1
con x=1 da y
5
5
5
da 2, así que este tachado no puede ser correcto.
Tampoco pasa nada. Hay montones de fracciones numéricas que no se pueden simplificar,
72 121 2
,
, , montones, así que no nos vamos a empeñar en simplificar cuando hay letras por el simple
55 21 3
hecho de que “¡es que me dieron unas ganas de tachar!”.
A LO QUE VAMOS.
Un par de ejemplos más y después los ejercicios
m
m
m
1
1
1
=
= ⋅
= 1⋅
=
2
m( x + 3m) m x + 3m
x + 3m x + 3m
mx + 3m
x 2 + 3x x ( x + 3)
x+3
=
= x⋅
= x ⋅1 = x
x+3
x+3
x+3
m
m
1
=
=
2
m( x + 3m) x + 3m
mx + 3m
x 2 + 3x x ( x + 3)
=
=x
x+3
x+3
Bueno, otros ejemplos de cosas correctas y no correctas:
m
2
m + 2m
=
1
1
no
señor,
no
es
correcto,
lo
correcto
sería
m+2
m2 + 2
pq
pq
p q
q
q
q
=
= ⋅
= 1⋅
=
correcto, y
no se puede simplificar. Ya puestos hay
pq + p p(q + 1) p q + 1
q +1 q +1
q +1
un par de variantes incorrectas
pq
1
= NO
pq + p p
y llegar a
q
q
= 1 fuerte barbaridad.
y ...
q +1
q +1
Ahora se trata de simplificar las fracciones siguientes haciendo el proceso completo primero y
después con el tachado. ¿Aburrido?. ¿Y desde cuándo hacer una misma cosa setecientas veces no es
aburrido?. Se debe intentar que el proceso completo de simplificación quede grabado en el subconsciente
para que en el futuro salte como un resorte cuando se vaya a hacer algo mal por descuido.
AVISO: En algunas habrá que sacar factor común, en otras no; algunas se podrán simplificar, otras no.
a)
3x + 9
6
b)
8
8 - 2x
c)
2m
2m + 4m3
d)
5m
m+5
e)
f)
v2 − u
uv
g)
ab
2
a bc + bc
h)
3pr
pr - 3p
i)
x -3
3x - 9
j)
ab
a 2 bc
a - a2
2a
¿Y cómo se puede saber que las simplificaciones hechas son correctas?: Que las revise alguien que ya
sepa de esto. Hay una manera de casi comprobarlo. Se les da a las letras que intervengan dos o tres
3
Simplificar fracciones
valores, se calculan los resultados antes de simplificar y después de simplificar; si salen las mismas
fracciones numéricas casi seguro que están bien las simplificaciones, si no salen seguro que están mal.
Por ejemplo
m
1
= 2
m + 2m m + 2
con m = 1 da
2
1 1
2 1
= , vaya, pero con m = 2 da = lo cual no es correcto , así que la
3 3
8 6
simplificación no es correcta.
BARBARIDADES Y ACIERTOS CURIOSOS.
¿Es cierto que
a2 − a a2 a
=
−
?. Sí señor. Poniéndolo al revés no podemos tener dudas a estas alturas:
2a
2a 2a
a2 a
a2 − a
−
=
resultado de restar dos fracciones con el mismo denominador. ¿Y no dicen que las
2a 2a
2a
matemáticas son exactas? ¡Debería dar el mismo resultado que simplificando!. Ya lo creo que da, solo
que así hay que hacer dos operaciones más:
a2 − a a2 a
a 1 a −1
=
−
= − =
2a
2a 2a 2 2
2
separar en resta
de dos fracciones
simplificar las
dos fracciones
(*)
y simplificando
a 2 − a a (a − 1) a a − 1
a −1 a −1
=
= ⋅
= 1⋅
=
2a
2a
a 2
2
2
restar
las dos fracciones
Bueno, pues hay gente que deduce de esto que hacer
2a
2a 2a
es también correcto. Tremenda
= 2−
a
a −a a
2
barbaridad. Esto es hacer matemáticas como el que maneja machanguitos. Claro que para darse cuenta de
que eso no es correcto hay que tomarse la molestia de restar lo último escrito y restarlo bien, con el
mismo denominador y todo eso:
a2 y a son como 9 y 3 o 16 y 4 o 100 y 10, así que el denominador del resultado debe ser a2
2a 2a 2a 2a 2 2a − 2a 2
2a
no se parece en nada a 2
excepto en la a.
−
= 2− 2 =
2
2
a
a
a
a
a
a −a
Y hay otros que hacen cosas como esta
ax
ax 1
1
=
⋅
=
y se quedan tan panchos.
ax − x ax − x − x
SEGUNDA TANDA.
Simplificaciones completas y después se hacen tachados y todo lo que se quiera. Es más, no
vendría mal hacer cosas como la del (*) cuando se pueda.
4x - 2
a)
2
3
b)
3x - 6
4 + 7m
g)
7m
x
h) 2
x −1
m2
c) 2
m − 3m
3up 2 r
i) 2 2
p r
ab
d)
ab - b
ab - a 2
e)
ab
2x 2
j)
2 + 6x
k)
p-7
2p - 14
5x
5x − 10x
x -7
l)
x - 14
f)
2
4