1. Educación

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DE
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PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
OBTENCIÓN DE LOS FACTORES DE REDUCCIÓN POR ÁREA EN LA CUENCA ALTA
DEL RÍO GRIJALVA, UTILIZANDO INFORMACIÓN ACTUALIZADA
Guichard Romero Delva1, Coello Cruz Daniela1, Aguilar Suárez Miguel Ángel1,
Domínguez Mora Ramón2 y Muciño Porras Juan José1
1
Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Chiapas. Boulevard Belisario Domínguez km 1081 S/N,
Col. Terán, Tuxtla Gutiérrez, Tuxtla Gutiérrez, Chiapas. C.P. 29050
2
Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México. Circuito Escolar S/N, Edif. 5,
Ciudad Universitaria, Del. Coyoacán, México D.F., México. C.P. 04510
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
INTRODUCCIÓN
Se seleccionó la región del alto río Grijalva situada aguas
arriba de la presa Malpaso, que pertenece a la Depresión
Central de Chiapas y se caracteriza por estar protegida de la
incidencia directa de huracanes. El área total de la región
considerada es de 30,570 km2 y no incluye la parte
correspondiente a Guatemala debido a que no se cuenta con
información suficiente.
El objetivo de este trabajo fue calcular los Factores de
Reducción por Área (FRA), de área geográfica fija y
compararlos con los obtenidos por (Guichard y Domínguez,
1998) en que se contaba con menos información de
precipitaciones.
La información generada en este estudio es útil para
diseñadores de obras hidráulicas y para dependencias como la
Comisión Federal de Electricidad y la Comisión Nacional del
Agua.
Estos factores se obtienen para cada evento y el área
representativa es el centro de tormenta (punto de máxima
precipitación), se calculan con la ecuación (2).
FRA 
P'
P
P’ es la precipitación máxima areal en la zona de la tormenta,
para la duración y área de interés y P es la precipitación
máxima puntual en la zona de tormenta, para la misma
duración.
Este tipo de FRA puede ser una buena herramienta para
caracterizar la estructura espacial de las tormentas.
Factores de reducción de área geográfica fija.
Los FRA de área geográfica fija (fixed-area) se obtienen
utilizando registros de máximos, para derivar tormentas de
diseño. La ecuación utilizada es la (3).
ANTECEDENTES
El Factor de Reducción por Área (FRA) es un coeficiente que
se emplea para convertir precipitaciones puntuales en areales,
y es una forma de considerar el efecto de la variabilidad
espacial de las lluvias. El concepto surge en los Estados
Unidos, en la década de los 60 (US Weather Bureau, 1957;
Hershfield, 1962). En los 70 dichos factores empezaron a
utilizarse en el Reino Unido (NERC, 1975; Bell, 1976).
Conocido el FRA, la precipitación areal se obtiene con la
ecuación (1).
Pa  FRA  Pp
(1)
Pa es la precipitación areal para la duración y área de interés, y
Pp es la media de los valores puntuales para la misma área y
duración.
Hersfield en 1962 identificó dos tipos de FRA, los de centro
de tormenta y los de área geográfica fija.
Factores de reducción de centro de tormenta
Los FRA de centro de tormenta (Storm-centered) se usaron en
un principio, especialmente, para convertir valores puntuales
en areales, de Precipitación Máxima Problable (PMP).
(2)
FRA 
P'
P
(3)
P’ es la precipitación areal máxima anual, para la duración y
área de interés y P es la media areal de los valores máximos
puntuales, para la duración y área de análisis.
Los FRA de área geográfica fija son aplicables a los análisis
de frecuencia, es por ello que también se conocen como
factores de reducción por área estadísticos.
A través del tiempo, se han propuesto diversos métodos para
la obtención de los FRA. Estos métodos, de acuerdo con las
bases de su concepción, podrían considerarse empíricos (U. S.
Wheather Bureau, 1957; NERC, 1975; Bell, 1976; Desbortes
et al., 1984), teóricos (Roche, 1963; R. Iturbe y Mejía, 1974;
Nguyen et al., 1981; Bacchi y Ranzi, 1996; Sivapalan y Blösh,
1998 y De Michele et al., 2001) o teórico-empíricos (Myers y
Zehr, 1980).
Los métodos empíricos relacionan la precipitación areal
máxima (obtenida por diferentes procedimientos) con la
máxima puntual, y dentro de ellos destacan los del USWB
(Viessman, 1996), NERC (1975) y Bell (1976).
Dichos métodos aún son una referencia tanto para diseño
como para efectos de comparación con otros métodos (como
los teóricos), por lo que siguen siendo vigentes.
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Desbordes et al. (1984) proponen una variante a los métodos
empíricos, para la obtención de los FRA correspondientes a
eventos aislados. Identifican dos tipos de factores para cada
evento, los derivados de la relación entre la precipitación
máxima areal y la precipitación registrada durante el mismo
período de tiempo en la estación analizada. De acuerdo a la
metodología propuesta por los autores, los FRA son en
algunos casos mayores que la unidad y naturalmente se
obtienen tantos como estaciones se tengan. El segundo tipo se
obtiene al relacionar el valor máximo areal con el máximo
puntual, esto es, se obtiene un solo factor para cada evento,
siempre menor que la unidad.
En cuanto a las aportaciones teóricas, se han propuesto a partir
de 1963 diferentes metodologías:
Roche (1963), considera la lluvia como un proceso isótropo,
de tal forma que las precipitaciones puntuales siguen la misma
ley de frecuencias teórica, en diferentes localizaciones. El
método de Roche hace uso de una serie de figuras, cuya
integración por métodos gráficos permite encontrar la
precipitación media para diferentes niveles de probabilidad.
Este método se refiere a FRA de eventos analizados
individualmente.
Rodríguez Iturbe y Mejía (1974) proponen una extensión del
método de Roche, basándose en la estructura de correlación
espacio-temporal de la lluvia. El enfoque permite obtener, en
realidad, el factor de reducción de varianza de un evento
aislado.
Nguyen, Rousselle y McPherson (1981) consideran la lluvia
como un proceso estocástico, intermitente y positivo; y que la
distribución de frecuencias de las lluvias horarias puntuales y
areales es de tipo exponencial. Encuentran que los factores de
reducción pueden ser mayores que la unidad.
Sivapalan y Blösh (1998) plantean una metodología basada en
la de Rodríguez Iturbe y Mejía, pero considerando la
distribución de valores extremos y no únicamente la
distribución del proceso original de lluvias. Suponen, también,
que el campo de lluvias es isótropo y estacionario en el
espacio y que el área es de forma cuadrada. El método
considera una distribución exponencial para el proceso
original y una Gamma para el proceso areal, que
posteriormente se transforma en una de valores extremos.
Asquith y Famiglietti (2000) presentan un método
denominado máximo anual centrado, que considera
específicamente la distribución de precipitaciones simultáneas
circundantes a la precipitación máxima anual. El método
supone un proceso espacial isótropo y que el volumen
potencial de la tormenta de diseño ocurre cuando el centro de
la tormenta coincide con el centroide de la cuenca.
De Michelle, Kottegoda y Rosso (2001) proponen una
metodología basada en las propiedades de escalado en el
espacio y en el tiempo, usando los conceptos de escalado
dinámico y autosimilitud estadística. Nuevamente, consideran
que el proceso de lluvias es isótropo en el espacio. Con esta
propuesta llegan a obtener las curvas IDAF (intensidadduración-área-frecuencia) y las IDF (intensidad-duraciónfrecuencia), de las que derivan los factores de reducción por
área.
Por último, en relación a los métodos teórico-empíricos, la
propuesta de Myers y Zehr (1980), consiste en obtener los
estadísticos de cada estación por separado, de pares de
estaciones y de grupos de cinco estaciones. Mediante la
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combinación de dichos estadísticos se obtienen los factores de
reducción por área. Los autores trabajaron con áreas
circulares.
En cuanto a las aplicaciones encontradas desde que se
introdujo el concepto de factor de reducción por área, destacan
las siguientes: África (Roche, 1963; Rodríguez Iturbe y
Mejía, 1974), Australia (Omolayo, 1993), Austria (Sivapalan
y Blösch, 1998), Canadá (Nguyen et al., 1981), España
(Lorente y Redaño, 1990), Estados Unidos de América
(Hersfield, 1962; Viessman, 1996), Francia (Desbordes et al.,
1984; Neppel et al., 2003), Italia (Bacchi y Ranzi, 1996; De
Michelle et al., 2001), México (DGCOH, 1982; Franco, 1998;
Guichard y Domínguez, 1998), Reino Unido (NERC, 1975;
Bell, 1976), Suecia (Niemczynowicz, 1984).
METODOLOGÍA
Como se dijo, los FRA de área geográfica fija son aplicables a
los análisis de frecuencia, es por ello que también se conocen
como factores de reducción por área estadísticos.
Para el análisis considerando el efecto de simultaneidad de las
lluvias (P´) los registros fueron completados utilizando el
método de inverso de la distancia al cuadrado.
Ya que para derivar tormentas de diseño es importante contar
con los FRA asociados a distintos periodos de retorno, tanto
las precipitaciones de cada estación por separado (análisis
puntual) como para el análisis areal (considerando el efecto de
simultaneidad) fueron ajustadas a funciones de distribución de
probabilidades del tipo Gumbel y Doble Gumbel, utilizando el
programa AX, desarrollado por (Jiménez et al., 1997).
Por último, para obtener los promedios tanto de
precipitaciones areales como puntuales se utilizó el método de
los Polígonos de Thiessen.
Así, los factores de reducción por área pueden calcularse por
el siguiente procedimiento (Guichard, 2005):
1)
Se seleccionan diversas áreas Ai dentro de la región
de análisis, así como los períodos de retorno
deseados para el análisis.
Proceso tradicional (análisis de cada estación por
separado)
2)
Con los datos de precipitaciones máximas anuales
de cada estación por separado, se ajustan las
funciones de distribución de probabilidades
correspondientes y se extrapolan, para obtener las
precipitaciones puntuales asociadas a cada periodo
de retorno seleccionado.
3)
En los planos de la región estudiada se dibujan las
líneas de precipitación correspondiente a cada
periodo de retorno, y con algún procedimiento de
cálculo del promedio espacial (con las isoyetas o los
polígonos de Thiessen, por ejemplo) se obtiene la
precipitación media correspondiente al área
seleccionada en el paso 1.
Análisis estadístico de precipitaciones simultáneas
4)
Se determina la media espacial de las
precipitaciones de todas las estaciones para cada día
de registro simultáneo. Así, para un registro
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simultáneo de 30 años será necesario calcular la
precipitación media para cada uno de los 365x30
días del registro y para cada área Ai seleccionada en
el paso 1.
5)
6)
AMH
FACTORES DE REDUCCIÓN POR AREA CUENCA ALTO GRIJALVA
Tabla 1. Resultados obtenidos en este estudio.
Ubicación
AREA km2
Ni
A
P
FRA-2 FRA-5 FRA-10 FRA-25 FRA-50 FRA-100 FRA-500 PROMEDIO
Aguas Arriba Margen Derecha
5327.38
8 13 0.590 0.592 0.592 0.601 0.567
0.552
0.531
0.575
Aguas Arriba Margen Izquierda
6506.55
14 18 0.526 0.477 0.535 0.558 0.548
0.546
0.543
0.533
Aguas Abajo Margen Izquierda
9369.99
12 17 0.535 0.559 0.598 0.551 0.476
0.444
0.401
0.509
Agua Abajo Margen Derecha
9737.82
18 36 0.736 0.699 0.666 0.636 0.599
0.582
0.555
0.639
Aguas Arriba
11833.93
22 31 0.467 0.477 0.499 0.467 0.418 0.397
0.366
0.441
Margen Derecha
15065.13
26 49 0.569 0.599 0.568 0.528 0.475
0.448
0.407
0.514
Se ajusta una función de distribución de
probabilidades a los valores de la muestra obtenida
en el paso 5 y se extrapola a los períodos de retorno
seleccionados.
Margen Izquierda
15876.54
26 35 0.434 0.433 0.515 0.500 0.459 0.442
0.418
0.457
Aguas Abajo
19108.51
30 53 0.477 0.511 0.561 0.543 0.502
0.483
0.453
0.505
Cuenca Total
30942.44
52 84 0.389 0.379 0.553 0.636 0.664
0.678
0.643
0.563
Para cada área seleccionada Ai (incluyendo el área
total de la región) y cada período de retorno T, se
calcula el factor de reducción FRA(A,T) dividiendo
la precipitación obtenida en el paso 6 entre la
obtenida en el paso 3. Es decir
FRA A, T  
Donde
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Para cada año se selecciona la precipitación media
máxima y se forma una muestra de tantos valores
máximos como años que tenga el registro
simultáneo.
Calculo de factores de reducción por área
7)
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~( A, T )
P
~( A, T )
P
Pˆ ( A, T )
es el valor medio obtenido al considerar la
ˆ ( A, T ) el
simultaneidad en las precipitaciones (paso 6) y P
estimado al analizar cada estación por separado sin tomar en
cuenta la simultaneidad (paso 3).
Al aplicar el procedimiento anterior con varias áreas dentro de
la región, es posible construir una gráfica como la figura 1
para cada periodo de retorno analizado. Si no se encuentran
diferencias significativas entre las gráficas se considera que al
factor de reducción por área es independiente del periodo de
retorno, es decir, que:
Y, en la tabla 2 se muestran los resultados obtenidos en el
estudio de (Guichard y Domínguez, 1998) con el fin de
compararlos con los de este estudio.
Tabla 2. Resultados obtenidos por (Guichard y Domínguez, 1998).
AREA km2
4162
5610
7711
9862
12524
12997
16570
20707
30570
FRA-2
0.760
0.670
0.610
0.490
0.480
0.520
0.500
0.450
0.406
FRA-5
0.740
0.620
0.550
0.460
0.420
0.480
0.480
0.410
0.370
FRA-10
0.730
0.600
0.520
0.450
0.390
0.470
0.470
0.390
0.354
FRA-25
0.730
0.570
0.490
0.440
0.370
0.450
0.460
0.370
0.339
FRA-50
0.720
0.560
0.470
0.430
0.360
0.440
0.460
0.360
0.331
FRA-100
0.720
0.550
0.460
0.430
0.350
0.430
0.460
0.360
0.324
FRA-500 PROMEDIO
0.710
0.730
0.530
0.590
0.440
0.510
0.420
0.450
0.330
0.390
0.420
0.460
0.450
0.470
0.340
0.380
0.312
0.500
Las ilustraciones 1 a 5 muestran la relación entre el área y el
FRA para los periodos de retorno estudiados y la línea de
tendencia que resultó ser de tipo logarítmica para todos los
casos, según la ecuación siguiente:
FRA= -a LnA+b
FRA A, T   FRA( A)
RESULTADOS
Se analizaron diversas áreas dentro de la región de estudio, en
un intervalo de 400 a 30,000 km2. Se logró trabajar con un
período de registro común de 30 años, de 1981 a 2010. Cabe
comentar que en 1998 se analizó un período de 19 años.
Empleando la metodología descrita se obtuvieron los
resultados mostrados en la tabla 1. Donde Ni es el número de
estaciones empleadas en cada caso y FRA-T es el Factor de
Reducción por Área correspondiente a cada período de
retorno.
Ilustración 1. Relación A-FRA para Periodo de retorno de 10
años.
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Ilustración 2. Relación A-FRA para Periodo de retorno de 25
años.
Ilustración 5. Relación A-FRA para Periodo de retorno de 500
años.
La tabla 3 muestra los valores de a, b y R2 (coeficiente de
correlación) para loa diferentes períodos de retorno.
Tabla 3. Valores de a, b y R2 para diferentes periodos de retorno.
Ilustración 3. Relación A-FRA para Periodo de retorno de 50
años.
Tr
a
b
R²
5
0.030
0.8037
0.7674
10
0.020
0.8157
0.9024
25
0.027
0.8107
0.8600
50
0.029
0.7944
0.7920
100
0.030
0.7872
0.7559
500
0.031
0.7761
0.7675
CONCLUSIONES
De los resultados mostrados en las tablas 1, 2 y 3, y las figuras
1 a 5, se derivan las siguientes conclusiones.
Ilustración 4. Relación A-FRA para Periodo de retorno de 100
años.
1)
Para la cuenca completa y periodos de retorno de 2 y
5 años los FRA, obtenidos en ambos estudios, son
muy similares. Para Tr de 10 años y mayores los
FRA de este estudio son mayores que los de 1998.
Esto puede deberse a que las funciones de
distribución de probabilidad sean diferentes en los
dos trabajos comparados. Sin embargo los valores
de FRA promedio para 1998 y este estudio son
prácticamente iguales.
2)
Tanto para el estudio de 1998 como en esta
investigación no se encontró variación de los FRA
con respecto al periodo de retorno.
3)
En este trabajo se utilizó información actualizada en
que se contemplan eventos extremos importantes
como son los de 1998, 2005 y 2010; mismos que
pueden influir en los resultados obtenidos.
4)
La relación A-FRA, resultó de tipo logarítmica, con
coeficientes de correlación entre 0.76 y 0.9, para los
distintos periodos de retorno.
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